calculo 2

Departamento de Ciencias

LA INTEGRAL INDEFINIDA:LA INTEGRAL INDEFINIDA: SUSTITUCIÓN ALGEBRAICASUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales con una condición inicial, calculando integrales indefinidas a través del método de sustitución algebraica.

Logros de Aprendizaje

¿Podrías Calcular la integral

1x xdx ?

¿Qué antiderivada será?

¿Qué antiderivada será?

Métodos de IntegraciónMétodos de Integración

Por SustituciónPor Sustitución Por Fracciones Parciales

Por Fracciones Parciales

Por PartesPor Partes

AlgebraicaAlgebraica TrigonométricaTrigonométrica

´( )du g x dx

( )u g x

Derivación por Regla de la

cadena

(́( )) g xf g dxx

´( )du g x dx

( )u g x

Integración por Integración por SustituciónSustitución

f u du

u=g(x)4. Regresar a la variable x

3. Reemplazar e Integrar

6

Ejemplo 1 Calcular la integral 3 2dx

xSolución:

Realizando el cambio de variables:

3 2u x 3du dx

Reacomodando los términos en la integral:

3 2

dx

x 1 3

3 3 2

dx

x

du

u

1

3du

u

Reemplazando

Integrando1

)3ln( u

Reemplazando:

3 2

dx

x

1ln(3 2)3

x

2 1

xdx

x Determine:

2 1u x

2 21d d xdxxu

1° Cambio de variable

2° Derivando

3° Efectuando y reemplazando en la integral

2 1

2

2

xdx

x 2 1x C

Solución:

2 u

du Cu

Regresar a la variable x

Ejemplo 2

Determine:

1u x

(1 )d xud x d

1° Cambio de variable

2° Derivando


Solución:

1x x dx

5 32 21 1

5 3x Cx

5/2 3/22 2

5 3u Cu

1x xdx1u x

1 uu du 1/3/2 2 uu u d


Ejemplo 3

Determine:3 4 2x x dx

Solución:

1° Cambio de variable4 2u x

2° Derivando 4 3( 2) 4d d x dxu x 3° Efectuando y reemplazando en la integral

4 32 x x dx1

4u du 3/ 22

3

1

4u C

3/ 21

6u C

Regresar a la variable x 341

62x C

Ejemplo 4

Determine:3cos 2 2xsen xdx

Solución:

1° Cambio de variable 2u sen x2° Derivando ( )2 2cos 2du s den xd x x 3° Efectuando y reemplazando en la integral

3 cos 22sen x xdx 3 1

2uu d 31

2u du

41

2

1

4Cu

Regresar a

la variable x 412

8sen x C

Ejemplo 5

Determine:1

lndx

x xSolución:

1° Cambio de variable lnu x

2° Derivando1

ln( )u xd d dxx


1

ln

dxxx u

du lnu C


ln ln x C

Ejemplo 6

Si el valor actual de la tierra es de $ 5000 por hectárea ¿Cuánto costará dentro de 10 años? Exprese su resultado al dólar más cercano.

dólares por año.

Se estima que en t años, contados a partir de ahora, el valor V (en dólares) de una hectárea de tierra cerca de Pozuzo, provincia de Oxapampa, se incrementa a una tasa de:

Valor de la Tierra

a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial.

b) Si originalmente la máquina valía $5 200, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?

El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende su edad.

Depreciación

/5' 960 tV et

Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es

dólares por año.

calculo 2

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