càlcul financer

Más manuales en: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/

© Roger Casadejús Pérez | www.exatienda.com Pàgina: 1

1. INTERÈS SIMPLE. Podem definir l’interès com el rendiment (benefici o pèrdua) que produeix un capital determinat durant un cert període de temps. Si ens fan un préstec de diners ens cobraran un preu al qual denominarem interès. Aquest preu és directament proporcional a l’import que ens deixen (capital), al tant per cada euro (tipus d’interès) i al temps en que els diners estan al nostre poder (temps), és a dir, que un augment o disminució d’aquests factors afecta directament en un augment o disminució de l’interès final. La fórmula és:

(1.1) niCI **= En la que: I = Import dels interessos C = Capital i = Tipus d’interès (en tant per ú) n = Temps El temps s’expressa en aquesta fórmula en tant per ú. A la pràctica el tipus d’interès s’expressa en tant per cent motiu pel qual la fórmula anterior serà:

(1.2) 100** niC

I =

I des d’aquesta fórmula podrem calcular el valor de cada un dels seus factors: Per saber el tipus d’interès:

nC

Ii

*

*100=

Per saber el capital:

ni

IC

*

*100=

Per saber el temps:

iC

In

*

*100=

El temps s’ha expressat en anys. Quan es presenta un càlcul en que el temps s’expressa en mesos per exemple, substituirem el valor n (que per un any és 1) per 12/12 a fi de poder indicar en cada cas el nombre exacte de mesos que no és altre que una part d’un any:



10012

**n

iCI = ,

operant:

12*

100*

niCI =

i finalment:

200.1

** niCI =

De la mateixa manera, si el temps s’expressa en dies la fórmula a aplicar seria:

500.36

** niCI =

La suma d’un capital més els seus interessos és:

(1.3)

+=+=+=100

*1

100

** nio

Cni

oC

oCI

oC

nC

Es a dir, un capital inicial Co junt amb els seus interessos I dóna com a resultat un capital final Cn superior al capital inicial. Per més facilitat la fórmula (1.3) també es podria expressar amb el tipus d’interès en tant per u.

( )nio

Cn

C *1 +=

Si l’expressem en mesos:

+=200.1

*1

nio

Cn

C

i en dies:

+=500.36

*1

nio

Cn

C



De la fórmula anterior podem aïllar el capital inicial Co :

nin

CninC

nin

C

nin

C

oC

*100

*100

100

*100:

1100

*100100

*1

+=

+=

+=

+=

el tipus d’interès i:

no

Co

Cn

Ci

*

)(100 −=

i el temps:

io

Co

Cn

Cn

*

)(100 −=

Amb l’interès simple, al final de cada període, s’aparten els interessos produïts i es pot tornar a reinvertir una altra vegada el capital inicial.



2. INTERÈS COMPOST.

Capitalització

La capitalització dels diners consisteix en fer augmentar un capital inicial afegint-li uns interessos. En el punt anterior hem vist el resultat final d’un capital més els seus interessos mitjançant l’interès simple amb el qual els interessos no s’afegeixen al capital inicial per a una nova reinversió i el capital que es reinverteix en successius períodes és sempre el mateix. Ara bé, si en lloc de retirar els interessos produïts en el període anterior els acumulem al capital inicial perquè l’augmenti i ens rendeixin nous interessos (que seran superiors als del període anterior) ens trobem davant el sistema de capitalització d’interès compost. En l’interès compost els interessos que es van produint en cada període s’afegeixen al capital anterior per generar nous interessos

Imaginem un capital inicial Co capitalitzat durant n períodes a un tipus d’interès anual i

0 1 2 3 n

oC 1C 2C 3C nC

El capital final el primer any serà: )1()*(01 iCiCCC oo +=+=

Al final del segon any serà: 2

001112 )1()1(*)1()1()*( iCiiCiCiCCC +=++=+=+=

I al final del tercer any: 3

02

02223 )1()1(*)1()1()*( iCiiCiCiCCC +=++=+=+=

I al cap de n anys: (2.1) n

n iCC )1(*0 += Considerant el tipus d’interès en tant per u. Si es fa amb tant per cent. La fórmula és:

n

n

iCC )

1001(*0 +=

Pel càlcul del capital inicial aplicarem la fórmula:

(2.2) ( )nn

i

CCo

+=

1



Veiem com calcular el tipus d’interès;

Partim de la fórmula : (2.1) n

n iCC )1(*0 +=

Operant: n

o

n iC

C)1( += , de on: i

C

Cn

o

n +=1

Finalment: (2.3) 1n

o

n

C

Ci −=

Pel que fa al temps, partim també de la fórmula (2.1):

Operant: n

o

n iC

C)1( += , de on caldrà operar amb logaritmes per aïllar la n:

( )nn iC

C +=

1loglog

0

i: (2.4) ( )i1log

logC

logC

n 0n

+−=



3. DESCOMPTE

Imaginem una operació de compra venda en la que el comprador i el venedor han pactat uns ajornament del pagament en un o varis terminis i que aquests pagaments que farà el comprador a cada venciment s’instrumenten amb una lletra de canvi (o pagaré). El venedor necessita disposar d’immediat d’aquests diners sense haver d’esperar els venciments futurs, motiu pel qual demana a un banc que li anticipi aquests cobraments. L’operativa serà la següent: El venedor negociarà la lletra amb el seu banc. La negociació o descompte consisteix en la cessió, per part del venedor, del document al banc abans del venciment i que el banc li aboni l’import de la lletra (que haurà de pagar el comprador) que se’n diu valor nominal Vn , menys un import que se’n diu descompte D. El tipus d’interès aplicat per calcular el descompte s’expressa en tant per u i és el tipus de descompte i l’import net que s’abona al venedor és el valor efectiu Ve .

(3.1) niVD n **=

El descompte és doncs una operació contraria a la capitalització i el seu import són els interessos que es resten del valor nominal calculats aplicant les fórmules d’interès.

en VVD −=

(3.2) DVV Ne −=

Substituint D: niVVV nne **−=

(3.3) )*1( niVV ne −=

En principi se sol aplicar el càlcul d’interès basat en l’any comercial de 360 dies i el cedent paga els interessos des de l’inici. Aquest descompte rep el nom de descompte comercial. El sistema que s’utilitza normalment és el descompte comercial que no és el més correcte, ja que en teoria es podria donar el cas que el cedent descompti un efecte i no solament no rebi diners sinó que a més hagi de pagar. Tot i que a la pràctica no és habitual, això es donaria quan l’import dels interessos, en funció del temps i del tipus d’interès, fos superior al valor nominal. A títol de comprensió del concepte de descompte comercial veiem un exemple:



Exemple: Una lletra de 1.000 euros descomptada al 7% i amb un venciment de 15 anys.

Apliquem la fórmula 3.3 anterior: )*1( niVV ne −=

50)005,0(*1000)15*07,01(1000 −=−=−=eV

Es a dir, hauria de pagar 50 euros i no cal dir que al venciment no cobraria el valor nominal de l’efecte. Lògicament i a la pràctica aquest valor no pot sortir mai negatiu. Posem un altre exemple. Que el descompte dels 1.000 euros es fa al 7% i durant un any:

El valor efectiu és: 93093,0*1000)1*07,01(*1000 ==−=eV

Si invertim aquest mateix valor efectiu durant un any és evident que l’import que obtindrem serà sempre inferior a 1.000 euros:

10,995)1*07,0*930(930 =+=Cn

Per aconseguir que el resultat d’aquesta inversió (valor efectiu més els interessos) sigui igual al valor nominal de l’efecte, utilitzarem el descompte racional o matemàtic:

'

' DVV ne −=

En aquest cas el descompte seria no sobre el valor nominal sinó sobre el valor efectiu:

(3.4) niVD e **' =

Com que desconeixem encara el valor efectiu Ve treballarem amb el valor nominal. D’acord amb la fórmula del capital final:

)*1(0 niCCn += Substituint el capital final Cn pel valor nominal Vn i el capital actual Co pel valor efectiu Ve:

)*1( niVV en += , obtenim que en V

ni

V =+ )*1(

Finalment substituirem el valor efectiu de la fórmula del descompte:

nini

VniVD n

e ***1(

**'

+== i finalment, (3.5) )*1(

**'

ni

niVD n

+=



Tipus d’interès nominal i efectiu Partint de la fórmula del descompte comercial:

(3.1) niVD n **=

Podem aïllar el tipus d’interès nominal fórmula 3.6 que es calcula sobre el capital futur:

( 3.6) nV

Di

n *=

De la mateixa manera, partint de la fórmula del descompte racional que es calcula sobre el capital actual:

(3.4) niVD e **' =

Podem aïllar el tipus d’interès efectiu fórmula 3.7:

( 3.7) nV

Di

e *

'

=

Venciment comú i Venciment mig Amb el venciment comú i el venciment mig es porta a terme la substitució de varis efectes per un de nou, modificant el valor nominal o el venciment, de tal manera que ni el deutor ni el creditor no tinguin cap pèrdua o benefici com a conseqüència d’aquesta substitució. La substitució serà correcta quan el valor efectiu del nou efecte sigui igual al total del valor efectiu dels efectes substituïts. La fórmula d’equivalència de nominals és:

(3.9) eeee VVVV =+++ ...321

Amb el venciment comú s’efectua la substitució de varis efectes per un de nou. Caldrà calcular en aquest cas, el nominal del nou efecte o bé el nou venciment. Per calcular el nou valor efectiu, partirem de la fórmula 3.3 del descompte comercial

)*1( niVV ne −=

i substituirem cada un dels valors efectius anteriors per la seva fórmula corresponent:

)*1(...*1()*1( 2211 niVniVniV nnn −=+−+−



Operant: (3.10) ni

nVnViVVV nnnn

n ∗−∗+∗−+= +

1

...).()( 2211...21

On Vn és el Valor nominal del nou efecte que substitueix els demés i que caldrà calcular. Normalment, en el descompte s’opera amb dies:

(3.11) ni

nVnViVVV nnnn

n ∗−∗+∗−+= +

360

...).()(360 2211...21

Si s’ha pactat un nou valor nominal caldrà calcular el nou venciment. Exemple: Tenim 2 efectes de 50.000 euros venciment a 30 dies i 100.000 venciment a 60 dies respectivament. El tipus d’interès és el 10%. Volem substituir aquests dos efectes per un altre amb venciment a 15 dies: Es tracta d’un venciment comú en el que hem de calcular el nominal del nou efecte. Aplicarem la fórmula 3.11

)15*1,0(360

)60*000.10030*000.50(1,0)000.100000.50(360

−+−+=nV

50,358

000.750000.000.54

5,1360

)000.000.6000.500.1(1,0)000.150(360 −=−

+−=nV

536.14850,358

000.250.53 ==nV

El venciment mig és un cas particular del venciment comú. Amb el venciment mig el nominal del nou efecte és la suma de nominals dels efectes que substitueix. Caldrà calcular el venciment n (nombre de dies) d’aquest efecte.

De la igualtat: (3.12) nnnn VVVV =+++ .....321

Substituïm el primer terme de la igualtat per Vn la fórmula (3.11) i quedaria:

Fórmula 3.11 ni

nVnViVVV nnnn

n ∗−∗+∗−+= +

360

...).()(360 2211...21

En el numerador recordem la igualtat nnnn VVVV =+++ .....321 , per tant, substituïm

aquests valors per Vn:

ni

nVnViVV nnn

n ∗−∗+∗−=

360

...).(360 2211



Aïllarem el valor n:

...(360)360( 2211 +∗+∗−∗=∗− nVnViVniV nnnn

...(360)360 2211 +∗+∗−∗=∗− nVnViVniVV nnnnn

...)( 2211 +∗+∗−=∗− nVnViVniVV nnnnn

...)( 2211 +∗+∗=∗ nVnViniV nnn

...)(* 2211 +∗+∗= nVnVnV nnn

n

nnnnn

V

nVnVnVn

*...2211 ++∗+∗=

Substituïm Vn de la igualtat (3.12) nnnnnn VVVVV =++++ .....321 i tenim:

(3.13) nnnn

nnnnn

VVV

nVnVnVn

+++++∗+∗

=...

*...

21

2211



4. PRÉSTECS. Préstecs amortitzables mitjançant pagament únic de capital i d’interessos Amb aquest sistema els interessos s’acumulen al capital fins a la data de venciment del préstec. S’aplica la fórmula (2.1) de la capitalització a interès compost:

( )nio

CCn += 1

En la que: Cn = Capital final Co = Capital inicial i= Tipus d’interès (en tant per ú) n= Temps Préstecs amortitzables mitjançant pagament únic de capital i periòdic d’interessos Es igual que el cas anterior però els interessos es paguen periòdicament. En el darrer venciment es pagarà el capital més els interessos acreditats en el darrer període. Aquest sistema s’utilitza molt en els emprèstits (préstec de molt import que s’obtenen a través de l’emissió de títols com obligacions, bons, etc.) Donat que no hi ha amortització de capital fins al final el capital nominal pendent serà sempre el mateix, per tant, per al càlcul dels interessos farem servir la fórmula de l’interès simple. Suposem, el préstec següent: Import del préstec: 500.000 € Tipus d’interès: 7% Durada: 2 anys Pagament d’interessos: trimestral Devolució de capital: única en el darrer venciment

niCI **=

750.81200

3*7*500000 ==I



Venciments Trimestrals

Prestatari REP

Prestatari TORNA

Inici 500.000,00 1T 8.750,00 2T 8.750,00 3T 8.750,00 4T 8.750,00 5T 8.750,00 6T 8.750,00 7T 8.750,00 Venciment 508.750,00 Total Venciment 570.000,00 Préstecs amortitzables mitjançant pagaments periòdi cs de capital i periòdic d’interessos Són els casos més habituals i en general solen ser a més llarg termini (hipotecaris, consum, inversions en immobilitzat, etc.) Podem trobar diferents modalitats a) Amb pagament constant: Coneguts també per sistema francès o progressiu, consisteix en que tots els pagaments (amortització de capital + pagament d’interessos) tenen el mateix import. La periodicitat dels pagaments pot ser mensual, trimestral, anual...i en cada un d’ells la quota conté els interessos del préstec, calculats aplicant el tipus d’interès que correspon al capital pendent d’amortitzar en la data del càlcul. En cada quota (pagament) es rebaixa una part del capital pendent d’amortitzar, motiu pel qual l’import dels interessos a pagar també va disminuint i a la vegada la quota d’amortització de capital va augmentant, sense que en cap moment variï la quota total. La suma final del capital i dels interessos prestats s’obtindria aplicant la fórmula de l’interès compost.

( )nio

CCn += 1

En qualsevol operació de préstec s’ha de produir una equivalència entre l’import del préstec i la suma dels reembossaments que es portaran a terme. Es a dir, quin ha de ser el capital inicial del préstec que sigui igual a aquest capital inicial més la seva capitalització a interès compost. Per això, aïllarem Co (capital inicial) de la fórmula anterior:

( )nn

i

CCo

+=

1



La suma dels imports de les quotes periòdiques (QP) actualitzades a l’instant de l’obtenció del préstec aplicant el tipus d’interès fixat, ha de ser igual a l’import del préstec Obtenint l’equació d’equivalència de capitals:

( ) ( )ni

QP

i

QP

i

QPprestec

+++

++

+=

1(...2

11)1.4(

Exemple 1: Import del préstec: 100.000 € Tipus d’interès: 6% Durada: 3 anys Pagament d’interessos: anuals D’acord amb la fórmula anterior:

( ) ( )32 06,01)06,0106,01000.100

++

++

+= QPQPQP

( ) ( ) QPQPQP ++++=+ )06,01(06.0106.01000.100 23

( ) ( )[ ]1)06,01(06.0106.01000.100 23 ++++=+ QP 119101,60= QP(1,1236+1.06+1)

€98,410.371836.3

60,101.119 ==QP cada quota

L’import total final de devolució serà: 37.410,98 + 3 quotes = 112.232,94€, dels quals: 100.000,00€ corresponen a devolució de capital i 12.232,94€ són els interessos acreditats. Per una millor comprensió, si substituïm QP pel seu valor en l’equació d’equivalència de capital tenim:

( ) ( )32 06,01

98,410.37

)06,01

98,410.37

06,01

98,410.37000.100

++

++

+=

100.000=35.293,38+33.295,64+31.410,98



Venciment Quota periòdica Amortització capital Interessos

1 37.410,98 31.410,98 6.000,00 2 37.410,98 33.295,64 4.115,34 3 37.410,98 35.293,38 2.114,60

Fórmula general del càlcul de la quota:

1)1(

)1(*

−++=

n

n

i

iiCQP

ni

iCQP

)1(

11

*

+−

= i (4.2)

i

i

CQPQuota n−+−

=)1(1

)(

Recordar que: QP= Es la quota de pagament periòdica C= Es el capital del préstec i= Es el tipus d’interès n= Es el nombre de períodes (anys, mesos, etc.) Les fórmules anteriors s’utilitzen per pagaments amb anualitats. Quan aquests pagaments es fan vàries vegades a l’any haurem de modificar el tipus d’interès de la fórmula (4.2) expressant-lo en mesos (k/12), trimestres (k/4), etc.

(4.3) 1)1(

)1(*

·

·

−+

+=

kn

kn

k

ik

i

k

i

CQP

k= Nombre de venciments a l’any Per a la confecció d’un quadre d’amortització caldrà:

a. Calcular l’import de la Quota de pagament b. Calcular les quotes dels interessos c. Calcular les quotes de les amortitzacions de capital d. Obtenir les seqüències successives del capital total amortitzat e. Obtenir el capital pendent d’amortitzar



Exemple 2: Import del préstec: 100.000 € Tipus d’interès: 6% Durada: 3 anys Amortització de capital i pagament d’interessos: an ual

98.410.376730166.2

000.100

06.0

160381.0000.100

06.0

)839619.0(1000.100

06.0

)06.01(1

000.1003

===−

=+−

= −QP

El quadre d’amortització contindrà la informació següent: Venciment

Quota total Pagament

Quota d’interès

Quota Amortització de capital

Capital total amortitzat

Capital Pendent d’amortitzar

Inici - - - - 100.000,00 1 37.410,98 6.000,00 31.410,98 31.410,98 68.589,02 2 37.410,98 4.115,34 33.295,64 64.706,62 35.293,38 3 37.410,98 2.114,60 ..35.293,38 100.000,00 0

Totals 37.410,98 12.229,94 100.000,00 Préstecs amortitzables mitjançant pagaments periòdi cs i variables de capital i d’interessos Amb aquesta modalitat l’amortització del préstec es porta a terme amb pagaments periòdics que engloben el capital i els interessos però que són d’import cada vegada diferent. Es poden utilitzar diferents sistemes, el regressius o decreixents que tenen amortització constant de capital i els progressius o creixents en progressió geomètrica. a) Sistema de pagaments decreixents: L’import d’amortització periòdic del capital és sempre el mateix i varia l’import dels interessos, sent cada vegada menor ja que el capital pendent també va disminuint en cada amortització. La quota d’amortització del capital s’obtindrà dividint aquest capital inicial pel nombre de períodes d’amortització i les quotes d’interès aplicant la fórmula d’obtenció d’interès simple calculat pel capital que hi ha pendent en cada moment. b) Sistema de pagaments progressius o creixents: Amb aquest sistema l’import d’amortització periòdic del capital s’obté multiplicant l’import anterior per una quantitat que anomenen r (raó) i que farà que l’import creixi en progressió geomètrica.



5. T.A.E. (Tipus Anual Equivalent).

El T.A.E. (Tipus Anual Equivalent) o també anomenat Taxa Anual Equivalent, és un indicador de preu que expressa el cost o el rendiment efectiu d’un producte financer.

Per al càlcul del TAE es tenen en compte (sempre que calgui) el tipus d’interès nominal, el termini de l’operació i totes les despeses i comissiones que hi recauen.

En definitiva, el TAE indica de manera molt més fidel el rendiment o cost d’una operació que si consideréssim només el tipus d’interès, tot i que en determinats casos com en els préstecs hipotecaris, per exemple, hi ha algunes despeses que no s’inclouen en el TAE.

Per a una millor comprensió d’aquest concepte només tindrem en compte els tipus d’interès (sense considerar cap comissió ni despeses addicionals).

Per al càlcul del TAE és parteix de l’interès compost tot considerant que els interessos obtinguts es reinverteixen aplicant el mateix tipus, és a dir, que es tenen en compte les periodicitats.

Amb capitalització anual (no hi ha períodes intermitjos):

Co Interessos durant 1 any C1

5.000 (capital inicial) Al 8% : 400 Capital final: 5.400

Aplicació de la fórmula (1) de de l’interès simple I = C * n * i

Aplicació de la fórmula (5)

nn iCC )1(*0 +=

Amb Capitalització semestral (Interès Efectiu) 1

Co Co,5 C1

5.000 Int. 6 mesos : 200 5.200 Int. 6 mesos : 208 5.408 Aplicant la fórmula (5) n

n iCC )1(*0 +=

Interès compost pel 1er semestre: 5.000 (1+0,04) = 5.200

Aplicant la fórmula (5) n

n iCC )1(*0 += Interès compost pel 2n. semestre: 5.000 (1+0,04)2 = 5.408

Amb la capitalització semestral hem portat a terme el que s’anomena capitalització composta i, com es pot observar, el resultat final ofereix un rendiment superior que amb una única capitalització anual. Queda clar, per tant, que en aquest cas l’interès “efectiu” final (TAE) no es correspon amb el “nocional” o nominal (8%). En aquestes fórmules: k= Períodes no anuals (trimestrals, mensuals, etc i (k) = Interès efectiu d’un període (mensual, trimestral...) j (k) = Interès nominal (anual) i = TAE (tipus d’interès efectiu anual)

1 El tipus d’interès efectiu és aquell en que la capitalització és diferent a l’any. Per exemple, per a un tipus nominal del 12% anual el seu tipus d’interès efectiu mensual serà el 1%



Per calcular el TAE aplicarem la fórmula:

( 5.1) ( ) 1-+1= k)k(iTAE

A partir de la fórmula anterior podem obtenir el tipus d’interès efectiu del subperíode i(k), també anomenat del període fraccionat:

(5.2) 1k i1)k(i -+=

Recordem que en aquesta fórmula “i” és el TAE en tant per u. Sabent l’interès efectiu del període podem calcular el tipus nominal anual.:

(5.3) )k(i*k)k(j =

On, recordem que j(k) és l’interès nominal i ‘k’ és el nombre de períodes i “i(k)” és l’interès efectiu. Exemple: Calcular l’interès nominal sabent que l’interès efectiu és el 5% semestral: j (k) = 2 * 0,05 = 0,1 (en tant per u), o sigui: 10% anual I a l’inrevés, sabent l’interès nominal anual podem calcular l’interès efectiu d’un període

(5.4) k

)k(j

)k(i =

Exemple: Amb un TAE del 9%, calcular el tipus d’interès efectiu trimestral: Apliquem la fórmula (5.2): 0,021778 1-1,021778 14 0,091(k)i ==+= -

Per calcular l’interès nominal anual aplicaríem la fórmula (5.3): j (k) = 4 * 0,021778 = 0,087112 (en tant per u), o sigui: 8,7112% I efectivament, amb aquest tant nominal també podríem obtenir el TAE: Fórmula (5.4): 8,7112 / 4 = 0,021778 i després:

Fórmula (5.1): ( ) u) per (tant 0,09 1-TAE =0217781= 4, 0 i (k) = 0,021778 3 i (k) = 0,021778 6 i (k) = 0,021778 9 i (k) = 0,021778 12

Representació de l’interès efectiu d’un període

0 j (k) = 0,087112 12

Representació de l’interès nominal

càlcul financer

Documents