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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir, tienen las mismas letras y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: � Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los

signos de los términos que están dentro del paréntesis. � Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los

signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.

EJEMPLOS 1. ¿Cuál es el valor de x3 : -y2z – x y; Si x = -4, y = -2 y z = 8?

A) -136 B) -10 C) -6 D) 0 E) 120

2. -a2b – 3ab2 + 32a2b – ab2 –

12a2b =

A) -3a2b2 – 4ab2 B) -a2b – 3ab2 C) -a2b – 2ab2

D) -2a b2

– 4ab2

E) -4ab2

C u r s o : Matemática

Material N° 15

2

3. 1 1 3 1 3 1

- x + y + 3y + 2x y x 3 2 8 6 4 2

− − − − =

A) -x + 38y –

18

B) 11 16 7- x y 12 6 8

− −

C) 11 8 1

x y 12 3 8

− −

D) 11 16 1

x y + 12 6 8

−

E) 8 1

x y 3 8

− −

4. 1 1x 0,5 0,25x + x

2 4

− − −

=

A) -1,25 – 0,25 B) -0,25x – 0,75 C) -0,25x + 0,75 D) 0,25x + 0,75 E) 1,75x – 0,75

5. (8m – 3n) – (m + n) =

A) 7m – 3n B) 7m + 3n C) 7m – 4n D) 7m + 4n E) 9m – 4n

6. Si M = x – 1 y N = 1 – x. Entonces, la diferencia entre el antecesor de M y el sucesor

de N es

A) -4 B) 2x – 4 C) 2x – 2 D) 2x E) 2x + 2

3

OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS � MONOMIO POR MONOMIO

Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos.

Es decir: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c � MONOMIO POR POLINOMIO

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad � POLINOMIO POR POLINOMIO

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS 1. Si P = x2 – x + 4 y Q = 2x2 + 3x – 1. Entonces, el valor algebraico de x(Q – P) es

A) x3 + 4x2 – 5x B) x3 – 4x2 + 5x C) x3 – 4x2 – 5x D) x3 + 4x2 + 5x E) x2 + 4x – 5

2. a(a2 + b) – b(–b2 + a) =

A) a3 + 2ab + b3 B) a3 – 2ab + b3 C) a3 + b3 D) a3 – b3 E) (a + b)3

4

3. 225 ab 38 ab

· 19 50

=

A) ab3 B) a2b3

C) 12ab3

D) 12a2b3

E) 2a2b3 4. 4m2n(mn2 – 2) =

A) 4m2n + 8m2n B) 4m2n – 8m2n C) 4m3n3 + 2m2n D) 4m3n3 + 8m2n E) 4m3n3 – 8m2n

5. Si al producto entre (a + b) y (a – b) se le resta la diferencia entre (a + b) y (a – b), se obtiene

A) a2 – b2 – 2a B) a2 – b2 – 2b C) a2 – b2 D) a2 – b2 + 2b E) a2 – b2 + 2a

6. Si x = a – 1 e y = a + 1, entonces -[-(-x) – y – (-x + y)] =

A) 4 B) 4a C) 2a – 2 D) 2a + 2 E) 2a + 4

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PRODUCTOS NOTABLES � CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo.

EJEMPLOS 1. El cuadrado de la diferencia entre 2m y 3n es igual a

A) 4m2 – 9n2 B) 4m2 – 6mn + 9n2 C) 4m2 – 12mn + 9n2 D) 4m2 – 12m2n2 + 9n2 E) m2n2

2. ( 8 2− )2 =

A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12

3. (5x – 2y)2 =

A) 25x2 + 20xy + 4y2 B) 25x2 – 20xy + 4y2 C) 25x2 – 20xy – 4y2 D) 25x2 + 20xy – 4y2 E) 25x2 – 10xy + 4y2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

6

4. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al desarrollo del cuadrado del

binomio 2( x + y) ?

I) x + y II) x + 2 xy + y

III) x + 2xy + y

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Ninguna de ellas E) Todas ellas

5. El resultado del cuadrado de binomio (x2 + 3)2 es

A) x4 + 6x2 + 3 B) x4 – 6x2 – 9 C) x4 – 6x2 + 9 D) x4 + 6x2 – 9 E) x4 + 6x2 + 9

6. Si P = x2 – 1, entonces el valor de (1 – P)2 es

A) x4 – 4x2 + 4 B) x4 + 4x2 – 4 C) x4 – 4x2 – 4 D) 2 – x2 E) x4

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SUMA POR DIFERENCIA El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más el producto de los términos no comunes. EJEMPLOS 1. (2x + y)(2x – y) =

A) 4x2 + y2 B) 4x2 – y2 C) 4x2 – 4xy + y2 D) 4x2 + 4xy + y2 E) 4x2 + 4xy – y2

2. La expresión (a – 2 + b)(a + 2 + b) equivale a

A) a2 – b2 – 4 B) a2 + b2 – 4 C) (a + b)2 - 4 D) 4 – (a + b)2 E) ninguna de las anteriores.

3. En el rectángulo ABCD de la figura 1, el área del rectángulo achurado es

A) (4m + 3)2 B) (4m – 3)2 C) (4m + 3) (4m – 3) D) 4m2 – 9 E) 7m(4m – 3)

(x + y)(x – y) = x2 – y2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

A B

D C

fig. 1 4m

3

3 4m

8

4. (3x + 1)2 – (2x – 1)2 =

A) 5x2 B) 5x2 + 2 C) 5x2 + 10x D) 5x2 + 2x + 2 E) 5x2 + 10x + 2

5. (a – 3) (a – 2) =

A) a2 + 5a + 6 B) a2 – 5a + 6 C) a2 + 6 D) a2 – 5a E) a2 – 5a – 6

6. (a – b – 3) (a – b – 1)=

A) 2a – 2b – 4 B) 2a + 2b + 4 C) a2 + b2 + 2ab + 4a – 4b – 3 D) a2 – 2ab + b2 – 4a + 4b + 3 E) ninguna de las anteriores.

7. Si x = 1972 + 2 · 197 · 3 + 32, y = 2002 – 22 y z = 199 · 201, ¿cuál de las siguientes

opciones es verdadera?

A) y < x < z B) y < z < x C) x < y < z D) x < z < y E) z = y < x

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FACTORIZACIÓN FACTORIZAR

Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

� FACTOR COMÚN � DIFERENCIA DE CUADRADOS EJEMPLOS 1. El factor común de las siguientes expresiones x – y, 3y – 3x, x2 – y2, -5x + 5y es

A) -5x – 5y B) x2 – y2 C) x – y D) 3y – 3x E) 15(x – y)

2. Al factorizar la expresión 9x2y + 6xy4 – 12x5y se obtiene

A) 3x8y6 B) x(9xy + 6y4 – 12 x5y) C) 3x2y4 D) 3xy(3x + 2y3 – 4x4) E) 3xy(3x – 3y3 – 4x4)

3. La factorización de la expresión (x + 2)(x – 3)2 + (x + 2)2 (x – 3) – x (x – 3)(x + 2) es

A) (x – 1)(x + 2)(x – 3) B) (x – 1)(x + 2)(x – 3)2 C) (x – 1)(x + 2)3(x – 3)2 D) (x – 1)(x + 2)2(x – 3) E) (x – 1)(x + 2)2(x – 3)2

4. Al factorizar x2 + 2ax – bx – 2ab se obtiene

A) (x + 2a) (x – b) B) (x + 2a) (x + b) C) (x – 2a) (x + b) D) (x – 2a) (x – b) E) ninguna de las anteriores.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

ab + ac = a ⋅⋅⋅⋅ (b + c)

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5. Al factorizar 5a2 – 3b2 se obtiene

A) 2a2 b2 B) (5a + 3b)(5a – 3b)

C) ( 5a + 3b)( 5a 3b)−

D) (5a – 3b)2

E) ( 5a + 3b )( 5a 3b )−

6. Al dividir x2 – y2 por (x + y)(x – y) el cociente es

A) 0 B) 1 C) 2

D) 1x

E) x

7. 8 88x 1 8x 1 + ·

5 10 5 10

−

=

A) 6425

x16

B) 1610

x16

C) 1664 1x

25 100−

D) 6464 1x

25 100−

E) ninguna de las anteriores

8. (7x + 3)2 – (5x – 4)2 =

A) 24x2 + 10x – 1 B) (2x + 7)2 C) 4x2 + 28x + 49 D) 24x2 + 82x – 7 E) 4x2 + 14x + 49

11

� TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

� TRINOMIO DE LA FORMA: EJEMPLOS 1. a3 + 4a2b + 4ab2 =

A) a(a2 + 4ab + 4b) B) a(a2 + 4ab + 4) C) a(a2 + 4ab – 4b2) D) a(a + b)2 E) a(a + 2b)2

2. 116

a6 – 2a3b2 + 16b4 =

A) 2

3 2

1a 8b

8

−

B) 2

3 41a + 4b

4

C) 2

3 4

1a 4b

4

−

D) 2

3 21a 4b

4

−

E) 2

6 21a 4b

4

−

3. 4x2 + 12xy + 9y2 =

A) (2x + 3y)2 B) (2x – 3y)2 C) (2x + 3y)(2x + 3) D) (2x + 3y)(2x + y) E) (2x + 3y)(2x – 3y)

x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

12

4. Al factorizar ∆2 – 2∆ – 63 =

A) (∆ + 7)( ∆ + 9) B) (∆ + 7) C) (∆ – 9) D) (∆ + 7)( ∆ – 9) E) (∆ – 7)( ∆ + 9)

5. La expresión numérica 9 + 2⋅⋅⋅⋅ 3⋅⋅⋅⋅ 4 + 16 es equivalente a

A) 32 + 42 B) 2(3 + 4)2 C) 32 + (3 + 4)2 + 42 D) (3 + 4)2 E) (3 – 4)2

6. x2 – 712

x – 1 =

A) (x – 7)(x + 12)

B) (x – 5)(x – 1)

C) 4 3

x + x 3 4

−

D) 4 3

x x 3 4

− −

E) 3 4

x + x 4 3

−

7. x2 + 83x – 1 =

A) (x – 3)1

x + 3

B) (x + 3)1

x 3

−

C) (x + 1)(x – 3)

D) (x + 3) 1

x + 3

E) 1

x 3

−

(x – 3)

13

FRACCIÓN ALGEBRAICA

Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)Q(x)

, donde P(x) y Q(x) son polinomios. La

variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al denominador. SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA

Para ello se debe considerar lo siguiente: � Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. � Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el denominador

y se cancelan los factores comunes.

EJEMPLOS

1. 2

2

3x 15x + 18

x 5x + 6

−

−

=

A) x + 3x 2−

B) x + 2x 3−

C) 3 D) 1 E) 0

2. 2

2

x + 2x 15

3x + 24x + 45

− =

A) x 3x + 2

−

B) 3(x 3)x + 3

−

C) x 33x + 9

−

D) 3x 6x + 3

−

E) 1

12x

3. 2

2

5x 245

x + 2x 63

−

−

=

A) x + 9x 7−

B) x 7x + 9

−

C) 5x + 35x + 9

D) 5x 35x + 9

−

E) 5x + 7x + 9

14

4. 2

2

x + 8x + 15

x + 5x + 6 =

A) x 5x 2

−

−

B) x + 5x + 2

C) x + 5x 2−

D) x 5x + 2

−

E) 8x + 155x + 6

5. 2

2

x 1 1 1 :

y xy

− −

=

A) 2x

B) 2x + yy

C) 2x + yy

D) 2x xyy−

E) 2x + xyy

6.

a1 +

a + b2a

1 + b

=

A) 1

a + 2

B) b

a + b

C) 1a

D) 12

E) b2a

15

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos: � Fracciones de igual denominador

Si AB y

CB son fracciones algebraicas, donde B ≠ 0, entonces

A C

B B± =

A CB±

� Fracciones de distinto denominador

Si AB

y CD son fracciones algebraicas, donde B ≠ 0 y D ≠ 0, entonces

AB ±

CD

= A · D B · CB · D

±

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Si AB y

CD son fracciones algebraicas, donde B ≠ 0 y D ≠ 0, entonces:

� La multiplicación AB ·

CD =

A · CB · D

� La división AB :

CD=

A · DB · C

(C ≠ 0)

EJEMPLOS

1. 1 1 x y + +

x y xy−

=

A) x y + 2xy

−

B) 2y

C) 2x

D) 2x + 2y

xy

E) 2xy

16

2. 2 2x x 5 +

3 4 6− x2 =

A) -3x2 B) 2x2

C) - 23x2

D) -2x4

E) 1712

x2

3. 2

2 2

3x + 3 6x

x 1 x 1−

− − =

A) 1

B) 3(x + 1)x 1−

C) 3(x 1)x + 1

−

D) 2

2 6x

x 1

−

−

E) 2

3(x + 1)

x 1−

4. 2

2

4x 8x + 4 x + 1 ·

12x 1

−

−

=

A) 2

2

4x 7x + 5

x 11

−

−

B) x 13−

C) x + 13

D) 9 7x11−

E) 3(x – 1)

5. 2

2 2

m + 2m 15 1 :

m + 8m + 15 m 9

−

−

=

A) 4(m2 – 9) B) m2 – 9 C) m2 + 32 D) (m+3)2 E) m2 – 6m + 9

17

EJERCICIOS 1. Si m = -2 y n = -1, entonces el valor de (m2 + 2mn + 3) : (m3 – mn – 1) es

A) -115

B) -35

C) -311

D) -1

E) 35

2. Si x · y = 12, y · z = 20, x · z = 15 y x es positivo, entonces el valor de x · y · z es

A) 900 B) 180 C) 150 D) 120 E) 60

3. Si x = 12 e y = -

13, entonces el valor de

-1

-1

xy

x y

y x

−

es

A) 11

B) 365

C) 5

D) 59

E) 411

4. 5m -{-[-(m2 – 2) + 3] – m (m – 8)} =

A) 13m + 5 B) 2m2 – 3m + 5 C) 2m2 – 3m + 1 D) 5 – 3m E) -3m + 1

18

5. Calcular el séptimo término de la sucesión: -1 2

x x 1 x + 2 x 3 , , ,

2 3yy 4y

− − , …,

A) 5

x 5

7y

−

B) 5

x 5

6y

−

C) 5

x + 6

7y

D) 6

x 6

7y

−

E) 5

x 7

8y

−

6. El doble del cubo de la diferencia entre a y b, menos el cuadrado del triple de la diferencia entre a y b, en lenguaje algebraico queda

A) 2(a – b)3 – 32 (a2 – b2) B) 2(a3 – b3) – 3 (a – b)2 C) 2(a – b)3 – 3 (a – b)2 D) 2(a – b)3 – [3 (a – b)]2 E) 2(a3 – b3) – [3 (a – b)]2

7. El cuadrado del exceso del doble de x sobre el cuádruplo de y es equivalente a

A) 4x2 – 16xy + 16y2 B) 4x2 – 8xy + 16y2 C) 4x2 + 16xy + 16y2 D) 4x2 + 8xy + 16y2 E) 4x2 – 4y

8. Si se desarrolla la expresión (52n + 5-2n)2 – (54n + 5-4n), se obtiene

A) 0 B) 2 C) -2 D) 2 · 54n E) 2 · (54n + 5-4n + 1)

9. El área de un rectángulo es 2x2 – 3x – 9. Si el ancho mide (2x + 3), entonces el largo mide

A) 2x – 6 B) 2x – 3 C) x + 3 D) x – 3 E) 2x + 3

19

10. 1 1 1 14 4 4 4m + n · m n

−

=

A) m4 – n4

B) 1 12 2m n−

C) m - n D) m8 – n8

E) 1 18 8m n−

11. (1 + 3 )2 · (1 – 3 )2 =

A) 2 B) 4 C) 6 D) (1 + 3 )2 E) -8

12. Si u = (2 7 – 3) · (3 + 2 7 ), entonces el cuadrado de u es

A) 361 B) 76 C) 31 D) 19 E) 0

13. A = c + 1c

y B = 2c cc 1

−

−, entonces A · B =

A) 0 B) 2c C) c – 1 D) c + 1 E) -c – 1

14. Se define a ◊ b = (a + b)2 y a # b = (a – b)2, entonces (3x ◊ 2) – (3x # 2) =

A) 81x2 B) 0 C) 24x D) 36x2 – 24x E) 8

20

15. ¿Qué valores posibles pueden tomar a y b para que x2 + 12x + 32 = (x – a)(x – b)?

A) a = -8 y b =– 4 B) a = 8 y b =– 4 C) a = 8 y b = 4 D) a = -8 y b = 4 E) Ninguna de las anteriores.

16. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) factor(es) de la expresión algebraica 2x2 – 6x – 20?

I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

17. 16x4 – 81y4 =

A) (16x – 81y)4 B) (16x3 + 81y3)(16x – 81y) C) (16x3 – 81y3)(16x – 81y) D) (2x + 3y)(2x – 3y)(4x2 + 9y2) E) (4x2 – 9y2)2

18. En la expresión K = x2 – 3, si x aumenta en a unidades, entonces K experimenta un

aumento de A) x2 + 2ax + a2 – 3 B) 2ax + a2 – 6 C) 2ax + a2 D) a2 E) a

19. La expresión 9x2 + 6x – 35 =

A) (x + 7) (9x – 5) B) (3x + 7) (3x – 5) C) (3x – 7) (3x + 5) D) (9x + 7) (x – 5) E) (3x + 6) (3x – 5)

21

20. La fracción x + 8 6

: x 7 3x 21− −

, con x ≠ 7, es igual a

A) x + 86

B) x + 43

C) x + 4

D) x + 82

E) x + 4x

21. 2 2

2 2

(x 9x + 18)(x + 5x + 6)

(x 9)(x 4x 12)

−

− − −

=

A) x + 3x 3−

B) x + 2x 2−

C) 1 D) 0 E) -1

22. 3 x

x 3− =

A) 1 B) 0

C) 3 + x3x

D) 9 x3x−

E) 29 x

3x−

22

23. Si p ≠ 0, entonces 3 2

m p nq 1 · :

n q mp p(mp + nq)(mp nq)

mnp

−

− es igual a

A) q B) p

C) 1p

D) 1q

E) 1 24. (m-1 – n-1)-1 · 7(mn)-1 =

A) 7

B) 7mn

C) 7

n m−

D) 2

7

(n m)−

E) 2(n m)

7−

25. 2

2

a b

b a

b1

a

−

−

=

A) a ba−

B) ba

C) 2ab

D) ab

E) 2

2

a

b

23

26. Se puede determinar el valor numérico de 3 3x + yx + y

si se sabe el valor de :

(1) x2 + y2

(2) xy

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el valor numérico de ax – by – ay + bx si :

(1) a + b = 3 y x + y = 4

(2) x = y


28. (a – b)3 = a3 – b3 si :

(1) a · b = 0

(2) a – b = 0


29. Se puede determinar el valor numérico de x2 – y2 si :

(1) x + y = 0

(2) x – y = 4


24

30. Se puede calcular el valor numérico de 2 2 2

2

(m n )

(m + n)

−, con m ≠ ±n, si se conoce el valor

de :

(1) m – n

(2) m2 + 2mn + n2


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