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1.3 Bsqueda de la Formula de la Solucin.

Las soluciones de una EDO se pueden encontrar en dos casos: Una formula que describa a la solucin; o utilizar el software numrico en la computadora para graficar una curva solucin.

Al proceso para encontrar soluciones de las ecuaciones diferenciales en cualquiera de los casos, se le conoce como resolver a la ecuacin diferencial.

Una forma muy comn es la suposicin. Suponer una solucin es una forma histrica de encontrar soluciones, pero algunas ecuaciones diferenciales desafan toda suposicin para determinar la formula solucin. En estos casos fallan todos los trucos para resolver la ecuacin diferencial y es cuando el empleo del software numrico es la mejor opcin ya que determina y grafica de manera aproximada curvas solucin, sin que se tenga una formula explicita de la solucin.

Pero una clase importante de EDOs tiene formulas para la solucin, y a continuacin se describir esta clase de ecuaciones.

1.3.1 EDOs de primer orden: Lineales o No Lineales.

El orden de una ecuacin diferencial, es el orden de la derivada mayor de la funcin por determinar que contiene la ecuacin.

Todas las EDOs mencionadas en las secciones anteriores son EDOs de primer orden. En las secciones 1.5 y 1.6, se trataran EDOs de segundo orden, como la EDO siguiente:

Y en la seccin 1.7, la EDO de segundo orden

Donde y son constantes positivas.

Analizando mas detenidamente aun clase de EDOs que de frecuentemente se encuentra en los procesos naturales.

Una EDO de primer orden es lineal, si se puede expresar en la forma:

(1)

Donde , y son funciones que no dependen de , pero si dependen de .

Las EDOs lineales escritas en la forma (1), se dice que se encuentran en la forma lineal normal.

La EDO es una EDO de primer orden y es lineal, ya que dividiendo la ecuacin entre , se puede expresar en la forma lineal normal.

Las EDOs de primer orden que no se pueden expresar en la forma lineal normal son no lineales.

En la seccin 1.1, se analizo la EDO de primer orden

Donde y son constantes.

La EDO(2) es una EDO de primer orden lineal. A todas las soluciones de la EDO(2) las describe la formula

Donde es cualquier constante.

En la seccin 1.2 se utilizo software numrico para obtener de manera aproximada curvas solucin de la EDO de primer orden no lineal

En la figura 1.2.3 se muestra el resultado obtenido. La EDO(3) es no lineal debido a que el trmino no permite expresarla en la forma lineal normal.

No importa que una EDO se lineal o no lineal, para construir una formula solucin se emplea la antiderivada.

Por ejemplo, la EDO es una EDO de primer orden.

1.3.2 Buscar Una Formula Solucin.El Teorema Fundamental del Calculo, es la clave para determinar formulas solucin para las EDOs. El concepto bsico del teorema es la antidiferenciacin o antiderivada, (integracin). Una antiderivada de una funcin es una funcin tal que .

Iniciando la bsqueda de la formula para todas las soluciones de la EDO

TEOREMA 1.3.1.

Teorema de la Antiderivada.

Supngase que en el intervalo I, es una antiderivada de una funcin continua en el intervalo.

Entonces todas las soluciones de la EDO.

Estn dadas en el intervalo I, por la formula

Donde C es cualquier constante.

Para comprobar lo anterior, supngase que es una solucin de , que es una antiderivada de , y que es cualquier punto del intervalo I. Entonces integrando de a y empleando el Teorema Fundamental del Clculo, se tiene;

Para toda t en el intervalo, as tiene la forma una constante (en este caso, la constante C de la formula (4) que es igual a ). Por otro lado es una solucin de la EDO para cualquier valor de la constante C, que representa la totalidad de soluciones de la EDO-

El Teorema de la Antiderivada es la base de diversos mtodos para encontrar las soluciones de las EDOs, de tal manera que se puede decir que es la madre de todos los mtodos.

EJEMPLO 1.3.1

Solo Antiderivar (Integrar).

Como , entonces del Teorema 1.3.1, se tiene que la EDO

Tiene a la totalidad de sus soluciones dadas por la formula

Donde C es cualquier constante

Este es un ejemplo del empleo del Teorema de la Antiderivada par determinar una formula solucin de una EDO de primer orden lineal.

EJEMPLO 1.3.2.

Preparacin de una EDO para la Antidiferenciacin (Integracin).

Supngase que es una solucin de la EDO lineal, expresada en la forma normal

multiplicando la EDO por la funcin para obtener

como nunca es cero, cada solucin de la EDO(6) es tambin solucin de la EDO(5), y viceversa. Con la derivada del producto de funciones se tiene

por lo que la expresin (6), puede quedar como

el hecho de multiplicar la EDO(5) por , es para obtener la EDO(7)

aplicando el Teorema 1.3.1 a la EDO(7), es decir integrando

donde C es cualquier constante. Multiplicando por , se tiene

para toda t

con lo que se obtiene una formula para todas las soluciones de la EDO(5)

El multiplicar la EDO(5) por resulto una estrategia adecuada. Se puede pensar que esto fue algo mgico, a continuacin se establece como determinar el factor integrante para todas las EDOs similares a la EDO(1).

1.3.3 El Mtodo del Factor Integrante para la solucin de EDOs Lineales.Sea la EDO de primer orden lineal, expresado en su forma lineal.

Donde el coeficiente y la excitacin (entrada) son funciones continuas en un intervalo I. Si , se dice que la EDO(8) es no excitada. De otra manera la EDO(8) es excitada por la entrada . A continuacin se determinara una formula para todas las soluciones de la EDO(8)

TABLA 1.3.1 Algunas Antiderivadas o Integrales tiles-

Para cualquier constante -

Para cualquier constante -

PROBLEMAS

1. Clasificar cada EDO por su orden y linealidad, si la EDO es lineal expresarla en su forma normal

a

d

b

e

c

f

g

h

2. (Encontrando Soluciones). Las funciones exponenciales simples como , comnmente son soluciones de las EDOs. determinar los valores de la constante r de manera que sea una solucin. {Sugerencia: insertar en la EDO y encontrar valores de r que produzcan una solucin. Por ejemplo, soluciona a , si . Como , se debe tener . As es la solucin de la EDO

a.

b.

c.

c.

3. (Encontrando Soluciones). Algunos mltiplos de una potencia de t, resuelven una EDO. Determinar todos los valores de la constante r, tal que sea una solucin de las EDO siguientes.

a.

b.

c.

4. (Encontrando Soluciones). Algunas veces elegir una valor adecuado para la constante r proporciona una solucin de la forma . Encontrar los valores de r para que , sea una solucin de la EDO.

a.

b.

5. (Utilizando el Teorema de la Antiderivada). En cada caso, emplear el Teorema 1.2.1 para encontrar las soluciones de la EDO. (Sugerencia; expresar como y como )

a.

b.

c.

d.

e.

f.

c.

(Sugerencia: Notar que

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