boletin256
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COORDINACIN DE MATEMTICAS
B O L E T N
MATEMTICAS MATEMTICAS
OBTENCIN DE LA INVERSA DE UN MATRIZPOR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
En un sistema S de ecuaciones lineales pueden efectuarse transformaciones en las ecuaciones que
conducen a nuevos sistemas (equivalentes al primero) que tienen la misma naturaleza de Sy las mismas
soluciones en caso de que sea compatible.Esas transformaciones, llamadas elementales, pueden ser de tres tipos: uno consiste en intercambiar la
posicin de dos ecuaciones; otro en multiplicar los dos miembros de una ecuacin por un nmero
diferente de cero; y el tercer tipo consiste en sustituir una ecuacin por la suma de ella ms otra ecuacindel sistema multiplicada por un nmero. Transformaciones de estos tipos efectuadas en los renglones de
una matriz llevan a matrices llamadas equivalentes o semejantes.
Si en la matriz
=4235
4022
2423
A se multiplica el segundo rengln por un medioy despus se
intercambia ese rengln con el primero, se obtiene
=
4235
2423
2011
B que es semejante a la
matriz A . Si el segundo rengln de B se sustituye por la suma de l ms el primero multiplicado por
tres, y el tercer rengln se sustituye por l ms el primero multiplicado por menoscinco se llega a la
matriz
=
6220
4410
2011
C que es semejante tanto a B como a .
Una matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos de su diagonal principaliguales al nmero uno y todos sus elementos fuera de la diagonal principal iguales al nmero cero.
MATEMTICAS Y CULTURA
23.03.2009 No. 256
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Ejemplos de identidad son:
=
100
010
001
3I ;
=
1000
0100
0010
0001
4I ;
=
10
012I .
Se llama matriz elemental a la que se obtiene al aplicar una transformacin elemental a una identidad; si
en la identidad 3I se multiplica el segundo rengln por un medio se tiene
=
100
02
10
001
1E ; si se
intercambian en 3I el primero y segundo renglones se llega a
=
100
001
010
2E . El producto de 12EE es
100
001
02
10
.
Al premultiplicar la matriz A por el producto 12EE se obtiene:
=
=
4235
4022
2423
100
001
02
10
12 AEE
4235
2423
2011
que es igual a la matrizB . Se puede
obtener el producto de dos matrices elementales
=
100
013
001
3E y
=
105
010
001
4E , donde 3E es la
correspondiente a sumar al segundo rengln el primero multiplicado por tres; y 4E a sumar al tercer
rengln el primero multiplicado por menos cinco, esto es
=
105
013
001
34EE ; al premultiplicar la B
por 34EE obtenemos: =
=
4235
2423
2011
105
013
001
34 BEE
6220
4410
2011
que es igual a
la matriz C.
MB
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3En general, el resultado de premultiplicar una matriz D por una elemental, es otra semejante a D a la
que se llega efectuando la transformacin correspondiente a la matriz elemental.
Ya que B = AEE 12 resulta que C= BEE 34 = AEEEE 1234 .
Por otra parte, la inversa de una matriz se define como otra matriz (que se representa con 1 ) tal
que 11 == MI . As que, toda matriz que tiene inversa es permutable con ella lo que implicaque debe ser cuadrada. Pero, no toda matriz cuadrada tiene inversa.
Existen varios mtodos para determinar si una matriz tiene inversa o no la tiene y obtener esa inversa si
existe. Uno de esos mtodos utiliza las transformaciones elementales y lo aplicaremos para determinar la
inversa de la matriz
=
011
102
112
T .
Se trabaja con una matriz doble separada por una lnea vertical, a la izquierda se coloca la matriz en
cuestin y a la derecha la identidad del mismo orden. Para T tenemos [ ]| 3IT , es decir
100
010
001
011
102
112
, aplicamos a T transformaciones elementales hasta convertirla en la
identidad y aplicamos las mismas transformaciones a la identidad de la derecha. En el ejemplo, para
empezar intercambiamos los renglones primero y tercero quedando
001
010
100
112
102
011
con
esto, se tiene a la derecha una matriz elemental que se puede llamar 1E , en la parte izquierda se tiene elproducto TE1 . Ahora, el segundo rengln se sustituye por la suma de l ms el primero multiplicado
pordos y el tercer rengln se sustituye por la suma de l ms el primero multiplicado por menos dos
que equivale a premultiplicar por el producto de dos matrices elementales
=
102
012
001
23EE y
tenemos
201
210
100
130
120
011
o sea [ ]| 123123 EEETEEE ; en seguida el segundo rengln se
multiplica por menos un medioobteniendo
201
12
10
100
1302
110
011
esto es
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[ ]| 12341234 EEEETEEEE donde
=
100
02
10
001
4E ; despus se agrega al primer rengln el
segundo y al tercero el segundo multiplicado por menos tres lo que significa que premultiplicamos por
=
130
010
011
56EE y queda:
12
3
12
1
02
1
1
0
0
2
100
2
110
2
101
que corresponde a
[ ]| 123456123456 EEEEEETEEEEEE ; ahora, se agrega el tercer rengln tanto al primero, como al
segundo que implica premultiplicar por
=
100
110
101
78EE
con lo que resulta
12
31
011
111
2
100
010
001
equivalente a
[ ]| 1234567812345678 EEEEEEEETEEEEEEEE ; por ltimo se multiplica el tercer rengln por
menos dos(se premultiplica por
=
200
010
001
9E ) y se llega a
2
0
1
32
11
11
100
010
001
es decir [ ]| 123456789123456789 EEEEEEEEETEEEEEEEEE .
La matriz 123456789 EEEEEEEEE =
232
011
111
, que premultiplicada por T es igual a la identidad,
es la inversa de T.
Como un segundo ejemplo aplicaremos el mismo mtodo a la matriz
=
102
111
211
H . Iniciamos
restando al segundo rengln el primero y sumando al tercero el primero multiplicado por menos dos:
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5
10
01
00
0
0
1
102
111
211
~
10
01
00
2
1
1
320
320
211
; ahora al tercer rengln le
restamos el segundo y queda
11
01
00
1
1
1
000
320
211
con esto, no es posible obtener la
identidad en el lado izquierdo debido a que el tercer rengln result formado por ceros, eso implica que
la matriz Hnotiene inversa.
En general, si al aplicar el mtodo se llega a un rengln de ceros, no existe la matriz inversa.
A las matrices que no tienen inversa se les llamasingulares y las que s la tienen son no singulareso
invertibles.
LEDA SPEZIALE SAN VICENTEPROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERA, UNAM
CULTURA CULTURA
EL NMERO PI
Wislawa SzymborskaPremio Nobel de Literatura
El admirable nmero Pitres coma uno cuatro uno.
Las cifras que siguen son tambin preliminarescinco nueve dos porque jams acaba.
No puede abarcarlo seis cinco tres cinco la mirada,
ocho nueve ni el clculosiete nueve ni la imaginacin,
ni siquiera tres dos tres ocho un chiste, es decir, una comparacin
cuatro seis con cualquier otra cosados seis cuatro tres de este mundo.
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La serpiente ms larga de la tierra suma equis metros y se acaba.
Y lo mismo las serpientes mticas aunque tardan ms.El squito de dgitos del nmero Pi
llega al final de la pgina y no se detiene, sigue,
recorre la mesa, el aire,una pared, una hoja, un nido de pjaros, las nubes, hasta llegar
directo al cielo,
perderse en la insondable hinchazn del cielo.Qu breve la cola de un cometa, cual la de un ratn!
Qu endeble el rayo de un astro si se curva en la insignificancia
del espacio!Mientras aqu dos tres quince trescientos diecinueve
mi nmero de telfono la talla de tu camisa
el ao mil novecientos sesenta y tres sexto piso
el nmero de habitantes sesenta y cinco cntimos
dos pulgadas de cintura una charada y un mensaje cifradoque dice vuela mi ruiseor y canta
y tambin se ruega guardar silencio,y se extinguirn cielo y tierra,
pero el nmero Pi no, jams,
seguir su camino con su nada despreciable cincocon su en absoluto vulgar ocho
con su ni por asomo postrero siete,
empujando, ay!, empujando a durar
a la perezosa eternidad.
COLABORACIN DE RAL ESPN NEGRETEESTUDIANTE DE LA FACULTAD DE INGENIERA, UNAM
Las matemticas no mienten, lo que hay son muchos matemticos mentirosos
H.B.Thoreau
http:www.dcb.fi-c.unam.mx
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