bloque vi integrales

BLOQUE VI: INTEGRALES Prof. María del Valle Heredia

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1. CONCEPTO DE FUNCIÓN PRIMITIVA

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se llama función primitiva de f(x) a otra función

F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir: F´(x) = f(x) para todo x de [a, b]

Ejemplo 1: F(x)= sen x es una primitiva de f(x)= cos x ya que (sen x)’ =cos x

Ejemplo 2:

2. PROPIEDAD ELEMENTAL DE LAS FUNCIONES PRIMITIVAS

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número) la función F(x) + C es otra primitiva de f(x)

Esto pasa porque la derivada de una constante C cualquiera es cero y porque la suma de las derivadas es la derivada de

la suma

De esta propiedad se deduce que una función f(x) que tiene una primitiva f(x), tiene infinitas primitivas dadas por F(x) +

C (para cualquier “C” perteneciente al conjunto de los números reales)

Habíamos dicho que si f(x)= cos x entonces f(x)=sen x es primitiva de f(x)

Ahora con esta propiedad podemos decir que F(x) = sen x + 1 también es primitiva de f(x)

O bien que F(x)= sen x– 2 también es primitiva de f(x)

3. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN

Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de la función f(x) y se simboliza

Por tanto si F(x) es primitiva de f(x) entonces

Ejemplo 3: Calculemos la integral de

Para encontrar las funciones primitivas más comunes existe una TABLA DE INTEGRALES DIRECTAS. La misma se anexa al

final

4. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

La integral de una suma o resta de funciones es respectivamente la suma o resta de las integrales de las funciones

La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función


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La integral directa más sencilla de todas:

Ejemplo 5: Calculemos la siguiente integral

5. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN

REGLA DE BARROW

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) una función definida en [a, b] derivable y primitiva de f(x),

es decir F´(x)= f(x) para cualquier x (a, b) entonces

6. CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida entre “a” y “b” de una función, representa al área debajo de la curva de la función integrada entre

los valores “a” y “b”

Ejemplo 6: Calcula el área debajo de la curva .Garficar

7. ÁREA ENTRE CURVAS

Para calcular el área entre dos curvas, restamos el área de las curvas. Y como límites de integración, usamos las

intersecciones entre las curvas

Ejemplo 7: Calcula el área entre las curvas


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Si restamos al revés las funciones, o si calculamos un área que está por debajo del eje x, nos da un valor negativo, pero

correcto, ya que lo que nos interesa es el valor absoluto del área

Si queremos calcular el área de una curva entre “a” y “b” y la curva corta al eje x entre esos valores, tenemos que partir

la integral en dos partes, desde “a” hasta la raíz y desde la raíz hasta “b” ya que la parte que está debajo del eje x va a

dar negativa y la tenemos que sumar, si no partimos la integral, cuando calculamos el área total queda restada la parte

que está debajo del eje x en vez de sumada y el valor final del área sería incorrecto

8. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE VARIABLE

Veamos por medio de ejemplos cómo se resuelve

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

Este método se usa cuando tenemos la integral de una función racional y además, el grado del numerador es menor al

grado del denominador. Se descompone una fracción en fracciones simples con denominador de raíces reales únicas o

raíces reales múltiples

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:


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9. APLICACIONES A LA ECONOMÍA

EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y FABRICANTES

La determinación de áreas de regiones tiene aplicaciones en Economía. En el gráfico se muestran las curvas de oferta y

demanda para un producto. Indica el precio p por unidad al cual el fabricante vende (u ofrece) q unidades. También se

muestra la curva de demanda para el producto. Indica el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o

demandan) q unidades. El punto en donde estas curvas se cortan se denomina PUNTO DE EQUILIBRIO. Aquí,

es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad de un producto que los fabricantes

desean vender a ese precio. En términos breves es el precio al cual ocurre la estabilidad en la relación entre

fabricante y consumidor

Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y que el precio por unidad del producto es de acuerdo con la

curva de demanda existen consumidores que estarían dispuestos a pagar MÁS que . Por ejemplo, al precio de por

unidad los consumidores comprarían unidades. Estos consumidores se estarían BENEFICIANDO del menor precio de

equilibrio

La franja vertical tiene un área de .Esta expresión puede pensarse también como la cantidad total de dinero que los

consumidores gastarían comprando unidades del producto si el precio por unidad fuera . Debido a que el precio en

realidad es dichos consumidores gastan sólo en estas unidades y por ello se benefician en la cantidad

. Esto puede escribirse como que es el área de un rectángulo con anchura y longitud

. Sumando las áreas de todos esos rectángulos de mediante integración definida, se tiene

Esta integral, en ciertas condiciones, representa la GANANCIA TOTAL para los consumidores que están dispuestos a

pagar un precio superior al de equilibrio. A esta ganancia total se le denomina excedente de los consumidores que se

anota EC. Si la función de demanda está dada por p = f(q) entonces:

En términos geométricos el excedente de los consumidores está representado por el área que se encuentra entre la

recta y la curva de demanda


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Algunos de los fabricantes también obtiene beneficios por el precio de equilibrio ya que están dispuestos a ofrecer el

producto a precios INFERIORES a . En ciertas condiciones la GANANCIA total para los fabricantes está representada en

términos geométricos por el área que está entre la recta y la curva de oferta

Esta ganancia se denomina excedente de los fabricantes y se abrevia EF, está dada por:

Ejemplo 14: La función de demanda para un producto es en donde p es el precio por unidad

(en dólares) de q unidades. La función de oferta es . Determina el excedente de los consumidores

y el excedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio

Ejemplo 15: la ecuación de demanda para un producto es y la ecuación de oferta es

. Calcular el excedente de los fabricantes y de los consumidores cuando se ha establecido el equilibrio

del mercado


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