bloque 6 trigonométricas

Bloque 16

Funciones Trigonomtricas: Seno y Coseno

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentn Cruz

Bloque 11 Funciones Trigonomtricas: Seno y Coseno

Los propsitos del presente bloque son: (i) Identificar el domino y contradominio de las funciones seno y

coseno. (ii) Expresar como intervalos el dominio y contradominio de las

funciones seno y coseno. (iii) Aplicar transformaciones en el plano a las grficas de las

funciones seno y coseno. (iv) Comprender los conceptos periodo, amplitud y frecuencia en el

contexto de las funciones seno y coseno.

Como en los bloques que preceden a ste, las actividades del presente

bloque se apoyan en la visualizacin de grficas desplegadas por la calculadora para abordar la identificacin del dominio y contradominio de las funciones seno y coseno; se pide a los estudiantes describan esos conjuntos como intervalos con base en su conocimiento previo de los conceptos de intervalo, intervalo abierto e intervalo cerrado. En particular, se hace nfasis en que las funciones seno y coseno son peridicas y que esta caracterstica las distingue de las que se han explorado en los bloques anteriores.

Las hojas de trabajo incluyen tareas para efectuar transformaciones en el plano de las grficas de = sin( + ) + y = cos( + ) + haciendo variar los valores de las constantes a, b, c y d. Lo anterior da lugar al uso y comprensin de los conceptos de periodo, amplitud y frecuencia.

La capacidad grfica de la calculadora permite la exploracin y

reconocimiento de hechos matemticos relacionados con las funciones trigonomtricas, los cuales requieren la aplicacin de procedimientos algebraicos.



HOJA DE TRABAJO 152 FUNCIN SENO

1. Prepara tu calculadora para

trabajar con la escala en grados. Ubica la tecla sin y utilzala para editar la funcin = ().

2. Construye su grfica y dibjala

en el plano de la derecha.

Escala en el eje X: 90, en el eje Y: 1 En este bloque de actividades los ejes de todos los planos tendrn esta escala.

3. Observa la grfica y responde lo que se propone a continuacin. a) Cul es el mximo valor de = ()? _________________________ b) Cul es el mnimo valor de = ()? _________________________ c) Cul es el contradominio de la funcin = ()? Exprsalo como intervalo.

________________________ d) Cul es el dominio de la funcin = ()? ______________________ e) En qu intervalos de x se repiten los valores de = sin ()? __________

_______________________________________________________ Las funciones trigonomtricas son peridicas. El periodo de una funcin es T, si para todo nmero entero n se verifica que f(x)= f(x + nT). Puedes observar en la grfica que la funcin = sin() es peridica, su periodo es 360. Esto significa que cada 360 grados los valores de la funcin seno se repiten. En trminos de la grfica, el periodo es la longitud del segmento del eje X en que una onda completa de la curva se repite. 4. Reproduce la siguiente grfica en la

calculadora y anota su regla de correspondencia.

y= _____________________

5. Cul es el dominio de la funcin que representa la grfica? ________ _________________________

6. Cul es el contradominio de la funcin que representa la grfica? Exprsalo como intervalo ______________

_________________________

7. Construye en la calculadora las siguientes grficas y anota sus reglas de correspondencia.

y= __________

y= __________



HOJA DE TRABAJO 153 AMPLITUD

1. Construye en la calculadora las grficas de las siguientes funciones y dibjalas en los

planos correspondientes, utiliza las lneas horizontales como gua.

y=3sin(x) y=2sin(x) y=0.5sin(x)

2. Qu modificacin sufri la grfica al cambiar los coeficientes de sin(x)? _________________________________________________________ _________________________________________________________

3. Analiza las siguientes grficas y reprodcelas en tu calculadora. Anota las reglas de correspondencia que utilizaste y determina el dominio y contradominio de cda funcin.

y= ____________ y= __________

Dominio: _______________ Contradominio: _______________


y= _________


4. Construye en la calculadora la grfica de la derecha, escribe su regla de correspondencia y explica cmo la encontraste. __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

y= ____________________.



HOJA DE TRABAJO 154 FRECUENCIA

1. Construye las grficas de las siguientes funciones en tu calculadora y dibjalas considerando las intersecciones con el eje X y su amplitud.

y=sin(x)

y=sin(2x)

y=sin(0.5x)

2. Explica qu sucedi con las grficas de la funcin sin(kx) al utilizar las ecuaciones

anteriores con k>0.__________________________________________________ ________________________________________________________________

El factor k determina el perodo de la funcin sin modificar la amplitud de la onda. Entre ms grande sea |k|, el perodo es menor. El valor absoluto de k indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 360, y se llama frecuencia. En la funcin y=sin(x) hay una onda, en y=sin(2x) hay dos ondas y en y=sin(0.5x) hay media onda. Por lo tanto el perodo de cada funcin puede calcularse como: = 360|| . 3. Reproduce las siguientes grficas en la calculadora y anota sus reglas de

correspondencia.

y= ________

Y=________

y=________

y=________

4. Reproduce en la calculadora las grficas que aparecen en el plano cartesiano de la derecha y anota sus reglas de correspondencia.



HOJA DE TRABAJO 155 SIMETRA

1. Construye en tu calculadora la

grfica de y= -sin(x) y dibjala en la pantalla de la derecha.

2. Describe qu modificacin sufri la grfica de y=sin(x) al multiplicar sin(x) por - 1. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

3. Reproduce las siguientes grficas en la calculadora y anota sus reglas de correspondencia.

y=________ y=________

y=________ y=________



HOJA DE TRABAJO 156 FUNCIN COSENO

1. Construye en la calculadora la grfica de la funcin = sin (), la cual aparece a la derecha.

2. Sin borrar la grfica de = sin () construye las grficas de las siguientes funciones. = sin ( + 45) = sin ( 90) = sin ( + 135) = sin ( + 180) = sin( + 90) = sin ( 180)

3. Qu modificacin sufri la grfica de = sin () al escribirla como = sin ( + )? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

4. Ubica en la calculadora la tecla cos. sala para construir la grfica de y=cos(x) y dibjala en la pantalla de la derecha.

5. Qu similitudes observas entre las grficas de las funciones seno y coseno? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

6. Qu diferencias? __________________________________________________ ________________________________________________________________

7. Qu tendras que hacer para obtener la grfica de la funcin coseno a partir de la funcin seno? _____________________________________________________ ________________________________________________________________ Comprueba en la calculadora tu respuesta

8. Reproduce en la calculadora las siguientes grficas usando la funcin coseno y anota

las expresiones que utilizaste.

y=_________ y=_________ Y=_________



HOJA DE TRABAJO 157 FUNCIN COSENO: AMPLITUD, FRECUENCIA Y SIMETRA

1. Construye grficas de la funcin coseno que estn entre las lneas que se muestran en cada una de las siguientes pantallas y anota sus reglas de correspondencia.

y=________ y=________ y=________

2. Reproduce las siguientes grficas en tu calculadora y anotas sus reglas de

correspondencia.

y=________ y=________ y=________

y=________ y=________ y=________

3. Reproduce en la calculadora la figura de la derecha usando la funcin coseno y anota las reglas de correspondencia usadas.



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Elabora una descripcin, a partir de la revisin de las hojas de trabajo del bloque, que concentre las caractersticas de las funciones seno y coseno (forma de su grfica, dominio, contradominio, periodicidad, crecimiento, comportamientos locales, globales, etc.), presntala a tus compaeros, comprala con las de ellos y realiza los ajustes necesarios a tu descripcin.

2. Indaga en fuentes matemticas acerca de las funciones trigonomtricas contenidas en el bloque y sobre la funcin tangente. Considera la precisin de trminos como: periodo, amplitud y frecuencia. Prepara una presentacin y exponla en el grupo.

3. Hay una importante relacin geomtrica entre la grfica de una funcin real uno a uno y la de su funcin inversa:

La grfica de la funcin inversa es la reflexin de la grfica de la funcin con respecto a la recta y=x

a) Determina la funcin inversa de las funciones seno, coseno y tangente. Nota que esas funciones que no son uno a uno, sin embargo hay intervalos en su dominio en donde existe la funcin inversa.

b) Utiliza la calculadora para comprobar la relacin geomtrica entre las grficas de una funcin y su inversa.

c) Prepara una presentacin de lo realizado y comprtela con tu grupo escolar. 4. Elabora un ensayo de la pertinencia de las actividades de este bloque en tu

formacin como futuro docente y como recurso didctico (con los ajustes convenientes). Comprtelo con tus compaeros.

5. Indaga acerca de otras funciones peridicas, prepara actividades relacionadas con dichas funciones, usando la calculadora, y realiza una prctica con tus compaeros. Efecta las modificaciones que consideres convenientes a tus actividades despus de la puesta en prctica.

6. Indaga en fuentes bibliogrficas la relacin que existe entre las funciones seno y coseno que estudiaste en este bloque y la relaciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo. Prepara en equipo un resumen y disctelo con el resto de tus compaeros y tu profesor.

HOJA DE TRABAJO 152FUNCIN SENOHOJA DE TRABAJO 153AMPLITUDHOJA DE TRABAJO 154FRECUENCIAHOJA DE TRABAJO 155SIMETRAHOJA DE TRABAJO 156HOJA DE TRABAJO 157

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