EKONOMI MANAJERIAL

OPTIMASI EKONOMI

makalah

Kelompok 1

Fajrul marinda 105030201111042

Ainul Chanafi 105030207111034

Putra Firman J 105030207111032

Arif Angestio S 105030207111013

Mohamad ardi F 105030200111025

Ilmu Administrasi Bisnis

Fakultas Ilmu Administrasi

Universitas Brawijaya

2012

OPTIMISASI EKONOMI

A. Maksimisasi Nilai Perusahaan

Dalam ekonomi manajerial, tujuan pokok manajemen adalah memaksimumkan nilai perusahaan.

Tujuan ini ditunjukan dalam persamaan :

Nilai=∑t=1

n Laba(1+i)t

atau Nilai=∑t=1

n TR−TC(1+i )t

Memaksimumkan persamaan merupakan pekerjaan yang kompleks, karena mencakup faktor

penentu penerimaan, biaya, dan tingkat diskonto untuk setiap tahun pada masa yang akan datang.

Penerimaan total (TR) suatu perusahaan secara langsung ditentukan oleh produk yang terjual

dengan harga jualnya. Ini berarti TR adalah harga pokok (P) dikalikan dengan kuantitas (Q), atau TR =

P x R.

Dalam pembuatan keputusan manajerial, hal-hal penting yang harus diperhatikan adalah factor-

faktor yang mempengaruhi harga dan kuantitas saling keterkaitan antara factor-faktor tersebut.

Factor-faktor tersebut adalah :Pemilihan product yang dirancang perusahaan, Pengolahannya,

Penjualannya, Strategi periklanan yang digunakan, Kebijaksanaan harga yang ditetapkan, Bentuk

perekonomian yang dihadapinya, Sifat persaingan yang dihadapi di pasar.

Disisi lain hubungan-hubungan biaya dalam proses produksi suatu produk dari suatu

perusahaan juga kompleks. Analisi biaya memerlukan :Penelaahan system-sistem produksi

alternative, Pilihan-pilihan teknologi, Kemungkinan input yang digunakan.

Harga factor-faktor produksi berperan penting dalam penentuan biaya, dan oleh karena itu

masalah penawaran factor-faktor produksi juga penting untuk dipertimbangkan.Untuk menentukan

tindakan yang optimal , maka keputusan berkenaan dengan pemasaran, produksi, dan keuangan

harus seperti halnya dengan keputusan-keputusan yang berhubungan dengan SDM.

Pengambilan keputusan parsial adalah mengendalai penerapannya dalam pembuatan

keputusan-keputusan perencanaan yang utama.Optimasi parsial adalah menyarikan kompleksitas

dari proses pengambilan keputusan yang terpadu itu dan hanya memusatkan kepada tujuan-tujuan

yang lebih terbatas di dalam berbagai departemen dari perusahaan tersebut.

Pengambilan keputusan yang rumit baik dalam optimasi terpadu ataupun parsial terjadi dalam

dua tahap. Pertama menyajikan hubungan ekonomi tersebut dalam suatu bentuk yang bisa

dianalisis, kedua menerapkan berbagai teknik untuk menentukan penyelesaian yang optimal.

B. Metode Penyajian Hubungan Ekonomi

Hubungan ekonomi seringkali disajikan dalam bentuk persamaan, table dan grafik. Tetapi jika

hubungan nya kompleks maka model persamaan diperlukan agar seseorang bisa menggunakan alat

analisis matematis dan simulasi computer dalam memecahkan masalah tersebut.

1. Model persamaan

Perhatikan hubungan antara jumlah produk yang terjual (Q) dengan penerimaan

total (TR). Dengan menggunakan notasi fungsional kita bisa menunjukan hubungan tersebut

sebagai berikut :

TR = f(Q)Persamaan diatas dibaca “ penerimaan total (TR) merupakan fungsi dari jumlah

produk yang terjual “Suatu hubungan fungsional yang lebih khusus diberikan oleh

persamaan :

TR = P X QDiatas P menunjukan harga tiap unit yang terjual dan hubungan antara variable

dependen dengan variable independen ditetapkan secara tepat.

TR = Rp 150 X Q2. Model Tabel dan Grafik

Model table dan grafik sering digunakan untuk menyajikan hubungan-hubungan

ekonomi.

Hubungan Antara TR dengan

Dengan Jumlah Unit yang terjual Q

TR = 150 X Q

Jumlah unit yang terjual Total Revenue (TR)

1 150

2 300

3 450

4 600

5 750

6 900

Gambar 2.1

C. Hubungan Antara Nilai Total, Rata-Rata, dan Marginal

Hubungan Antara Nilai Total, Rata-Rata, dan Marginal sangat berguna dalam analisis optimisasi.

Hubungan Marginal adalah perubahan variable dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh

perubahan salah satu variable independen sebesar satu unit.

Tujuan dari analisis ini adalah untuk menentukan nilai dari variabel-variabel independen yang

bisa mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat keputusan.

1. Hubungan Nilai Total dengan Marginal

Hubungan antara nilai marginal dengan nilai total dalam analisis pengambilan keputusan

berperan penting karena jika nilai marginal tersebut positif maka nilai total akan meningkat, dan jika

Unit output terjual

(Q)

Laba Total Laba Marginal Laba Rata-Rata

0 0 - -

1 19 19 19

2 52 33 26

3 93 41 31

4 136 43 34

5 175 39 35

6 210 35 35

7 217 7 21

8 208 -9 26

nilai marginal tersebut negative maka nilai total akan menurun.Maksimisasi fungsi laba, atau

fungsi apa saja, terjadi pada titik dimana hubungan marginal bergeseser dari positif ke

negative.

2. Hubungan antara nilai rata-rata dengan marginal

Hubungan antara nilai rata-rata dengan marginal juga penting dalam pembuatan

keputusan manajerial. Karena nilai marginal menunjukkan perubahan dari nilai total, maka

jika nilai marginal tersebut lebih besar dari nilai rata-rata, pasti nilai rata-rata tersebut

sedang menaik. Misalnya, jika 10 pekerja rata-rata menghasilkan 200 unit output perhari,

dan pekerja ke 11 (tambahan) menghasilkan 250 unit, maka output rata-rata dari npekerja

meningkat.

3. Penggambaran hubungan antara nilai total, marginal dan rata-rata

Slope adalah suatu ukuran kemiringan sebuah garis, dan didefinisikan sebagai

tingginya kenaikan (penurunan) per unit sepanjang sumbu horisontal. Slope dari sebuah

garis lurus yang melalui titik asal ditentukan dengan pembagian koordinat Y pada setiap titik

pada garis tersebut dengan koordinat X yang cocok.

Hubungan geometris antara nilai total, marginal dan rata-rata terlihat pada kurva

2.2b laba total naik dari titik asal menuju titik C. karena garis yang digambarkan

bersinggungan dengan kurva laba total menjadi lebih curam jika titik singgung tersebut

mendekati titik C, maka laba menaik sampai titik singgung tersebut.

Selain hubungan nilai total rata-rata dan total marginal, hubungan antara nilai

marginal dengan rata-rata juga ditunjukan pada gambar 2.2 b. Pada tingkat output yang

rendah dimana kurva laba marginal terletak di atas kurva laba rata-rata, maka kurva laba

rata-rata sedang menaik. Walaupun laba marginal mencapai titik maksimum pada output Q1

dan kemudian menurun, tapi kurva laba rata-rata terus meningkat sepanjang kurva laba

marginal masih di atasnya

Gambar 2.2

4. Penurunan kurva total dari kurva marginal atau rata-rata

Penurunan laba total dari kurva laba rata-rata (b). Laba total adalah laba rata-rata

dikalikan jumlah output. Laba total yang sesuai dengan output Q1, misalnya adalah laba

rata-rata (A) dikalaikan output (Q1). Laba total tersebut sama dengan luas bidang segi empat

OABQ1.

Hubungan yang sama terjadi antara laba marginal dengan laba total. Secara

geometris, laba total tersebut ditunjukan oleh daerah Y sampai kuantitas output yang

ditentukan. Tingkat output Q1 laba total sama dengan bidang bawah kurva laba marginal

yaitu bidang OCQ1.

D. Kalkulus Diferensial

Teknis analisis kalkulus diferensial bisa digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan

minimum dari suatu fungsi tujuan secara efisien melalui analisis marginal. Konsep kalkulus dasar

mudah mudah dikembangkan untuk masalah pengambilan keputusan yang dibatasi oleh beberapa

kendala.

Fungsi Y =f (X). dengan menggunakan (delta) sebagai tanda perubahan, kita bisa menunjukkan

perubahan nilai variabel independen (X) dengan notasi ∆X dan perubahan variabel dependen (Y)

dengan notasi ∆Y. Perbandingan ∆Y/∆X menunjukkan suatu spesifikasi umum dari konsep marginal:

Marginal Y= ∆Y∆ X

Perubahan Y yaitu ∆Y dibagi dengan perubahan X yaitu ∆X menunjukan perubahan variabel

dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai X.

Gambar 2.3 : perubahan ∆Y/∆X sepanjang sebuah kurva

Secara konseptual, turunan (derivative) merupakan suatu spesifikasi yang tepat dari hubungan

marginal secara umum, ∆Y/∆X. untuk mendapatkan sebuah turunan kita harus mendapatkan nilai

rasio ∆Y/∆X untuk suatu perubahan variabel independen yang sangat kecil. Notasi matematis untuk

sebuah turunan adalah :

dYdX

=limX→ 0

ΔYΔX

#Notasi tersebut dibaca : “turunan Y pada X sama dengan limit dari ∆Y/∆X, jika X mendekati nol”.

Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope kurva pada sebuah titik.

Gambar 2.4 menunjukan konsep tersebut menggunakan gambar yang sama dengan gambar 2.3.

Slope rata-rata dari dari kurva tersebut antara titik A dan D dihitung dengan cara :

∆Y∆ X

= Y 4−Y 1X 4−X1

Ditunjukan sebagai slope dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Slope garis

singgung ini didefenisikan sebagai turunan(dY/dX) fungsi tersebut pada titik D; slope itu menunjukan

perubahan marginal Y yang disebabkan oleh suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik

tersebut.

Misalkan variabel dependen Y adalah penerimaan total (TR) dan variabel independennya adalah

output. Maka turunan dY/dX menunjukan bagaimana hubungan antara penerimaan dengan output

pada suatu tingkat output tertentu. Karena perubahan perubahan penerimaan yang disebabkan oleh

suatu perubahan output didefinisikan sebagai penerimaan marginal (MR), maka turunan TR adalah

sama dengan MR pada setiap tingkat output tertentu.

Gambar 2.4 : penggambaran turunan sebagai slope sebuah kurva

KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI

Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit. Rumus-rumus

atau kaidah-kaidah dasar untuk pendiferensiansian disajikan dibawah ini. Pembuktian-pembuktian

tidak dijelaskan disini, tetapi kalau Anda berminat bisa diperoleh dalam setiap buku teks tentang

kalkulus.

Y=2

X

2

Y

Kaidah Konstanta

Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y = sebuah konstanta, maka :

dYdX

=0

Keadaan ini digambarkan pada Gambar 2.5 untuk Y = 2. Oleh karena Y didefinisikan sebagai

konstanta, maka tidak berubah-ubah walaupun X berubah, dan karena itu dY/dX pasti sama dengan

nol.

Gambar 2.5

Gambar dari sebuah Fungsi yang Konstan:

Y = Konstanta, dY/dX = 0

Kaidah Pangkat

Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aXb dimana a dan b merupakan konstanta adalah

sama dengan pangkat (exponent) b dikalikan dengan koefisiensi a dikalikan dengan variable X

pangkat b-1:

Y=aXb

dYdX

=b. a. X(b-1)

Sebagai contoh adalah fungsi berikut ini:

Y = 2X3

Maka:

dYdX

=3. 2x(3-1)

= 6X2

Sebuah grafik bisa memperjelas konsep fungsi pangkat ini. Pada Gambar 2.6, dua contoh

fungsi pangkat di muka, Y = X3 dan Y = 0,5X dilukiskan. Pertama perhatikan Y = 0,5X. Turunan fungsi

X

YY

Y =

Y= 0,5 X

ini adalah dY/dX = 0,5, merupakan sebuah konstanta, menunjukkan bahwa slope fungsi tersebut

adalah konstan. Hal ini tampak pada gambar tersebut. Turunan mengukur suatu tingkat perubahan.

Jika tingkat perubahan tersebut konstan, jika fungsi tersebut liniear, maka turunan fungsi tersebut

pasti konstan. Fungsi yang kedua, Y = X3, meningkat jika X bertambah. Turunan fungsi tersebut,

dY/dX = 3X2, selalu meningkat jika X bertambah banyak. Hal tersebut menunjukkan bahwa slope

fungsi tersebut meningkat.

Gambar 2.6 Fungsi Pangkat

Kaidah Penjumlahan dan Selisih

Notasi berikut ini akan digunakan terus sampai bab ini unutk menunjukkan sejumlah aturan

diferensiasi:

U = g(X): U adalah g fungsi X

V = h(X): V adalah h fungsi X

Turunan dari suatu penjumlahan (atau selisih) sama dengan jumlah atau selisih) dari turunan

secara individual. Oleh karena itu, jika Y = U + V maka:

dYdX

=dUdX

+ dVdX

misalnya, U = g(X) = 2X2, V = h(X) = -X3, dan

Y = U + V = 2X2 – X3 maka:

dYdX

=4 X=3 X2

Turunan fungsi yang pertama (2X2) sama dengan 4X diperoleh melalui kaidah pangkat;

turunan fungsi yang kedua (-X3) sama dengan 3X2 diperoleh dengan cara yang sama; dan turunan

fungsi secara total merupakan jumlah dari turunan-turunan dari bagian-bagiannya.

Kaidah Perkalian

Turunan dari perkalian antara dua fungsi adalah sama dengan fungsi yang pertama dikalikan

dengan turunan dari fungsi yang kedua, ditambah dengan fungsi yang kedua dikalikan dengan

turunan fungsi yang pertama. Oleh karena itu, jika Y = U . V, maka:

dYdX

=3 X2 ( dVdX )+ (3−X )( dUdX ) = 3X2(-1) + (3 – X)(6X)

= -3X2 + 18X – 6X2

= 18X – 9X2

Faktor yang pertama 3X2 dikalikan dengan turunan dari factor yang kedua -1 dan ditambah dengan

factor yang kedua (3-X) dikalikan dengan turunan factor yang pertama 6X.

Kaidah Hasil Bagi

Turunan dari hasil bagi dari suatu fungsi adalah sama dengan penyebut yang dikalikan

dengan turunan pembilang, dikurangi dengan pembilang dikalikan dengan turunan penyebut, dan

kemudian semuanya dibagi dengan penyebut kuadrat. Maka, jika Y = U/V, maka:

dYdX

=V . dUdX

−U . dVdX

V 2

Misalnya, U = 2X – 3 dan V = 6X2, maka :

Y=2 X−36 X 2

dYdX

=6 X2 . 2 (2 X−3 ) 12X36 X 4

=

12 X2−24 X2+36 X36 X 4

=

36 X−12 X2

36 X 4

=

3−X3 X3

Penyebut 6X2 dikalikan dengan turunan dari pembilang yaitu 2. Kemudian hasil tersebut dikurangi

dengan pembilang (2X – 3) dikalikan dengan turunan dari penyebut yaitu 12X. Kemudian hasil

tersebut dibagi dengan penyebut kuadrat yaitu 36X4. Hasil akhirnya merupakan turunan yang dicari.

Kaidah Rantai

Turunan sebuah fungsi dari sebuah fungsi diperoleh dengan cara. Jika Y = f(U), dimana U =

g(X), maka:

dYdX

= dYdU

+ dUdX

Misalkan, Y = 2U – U2, dan U = 2X3, maka kita bisa mendapatkan dY/dX dengan cara berikut:

Langkah 1

dYdU

=2−2U

Dengan mensubtitusikan nilai U diperoleh:

dYdX

=2−2 (2 X3 ) = 2 – 4X3

Langkah 2dYdX

=6 X2

Langkah 3dYdX

= dYdU

x dUdX

= (2 – 4X3)6X2

= 12X2 – 24X5

Dua contoh berikut ini menunjukkan bagaimana penerapan kaidah rantai ini untuk mendapatkan

turunan dari berbagai fungsi.

Contoh 1:

Y=√X2−1

Misalkan U = X2 – 1, maka Y = √U=U 1/2

dYdU

=12U−1/2

=

12U1 /2

Dengan mensubsitusikan X2 – 1 kedalam U pada turunan tersebut maka diperoleh:

dYdU

= 1

2 (X2−1 )1/2

karena U = X2 – 1, maka

Dengan menggunakan kaidah rantai, dYdX

= dYdU

x dUdX , maka:

dYdX

= 1

2 (X2−1 )1/22 x

=

X√X2−1

Penggunaan Turunan Untuk Memaksimalkan/Meminimumkan Fungsi

Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang untuk mendapatkan nilai maksimum

atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau minimum,

maka slopenya atau nilai marginalnya pasti nol. Turunan suatu fungsi ditunjukkan oleh slope atau

nilai marginalnya pada suatu titik tertentu. Oleh karena itu, maksimasi atau minimasi dari suatu

fungsi terjadi jika turunannya sama dengan nol. Untuk menjelaskan hal tersebut, perhatikan fungsi

laba berikut ini:

π=−10 . 000+400Q−2Q2

Disini π = laba total dan Q adalah jumlah output. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.7, jika

ouput sama dnegan nol, maka perusahaan tersebut akan rugi sebesar Rp. 10.000,00 (biaya tetap

atau fixed cost adalah Rp. 10.000.00). Tetapi jika output meningkat, maka laba juga akan meningkat.

Titik impas atau break even point (tingkat output yang menghasilkan laba sama dengan nol) dicapai

pada saat output berjumlah 29 unit. Laba maksimum dicapai pada saat output sebesar 100 unit dan

setelah itu laba menurun.

Gambar 2.7 Laba Sebagai Fungsi Dari Output

Tingkat output yang memaksimumkan laba bisa diperoleh dengan menghitung nilai dari

fungsi tersebut pada tingkat output tertentu, kemudian menggambarkannya seperti Gambar 2.7.

Laba maksimum tersebut bisa juga diperoleh dengan mendapatkan turunan (marginal) dari fungsi

laba tersebut, kemudian menentukan nilai Q yang membuat turunan (marginal) tersebut sama

dengan nol.

Laba Marginal (Mπ ) =

dπdQ

=400−4Q

Dengan menyamarkan turunan tersebut sama dengan nol maka:

400 – 4Q = 0

4Q = 400

Q = 100 unit

Oleh karena itu, jika Q = 100, maka laba marginal sama dengan nol dan laba total adalah maksimum.

Pembedaan Nilai Maksimum dengan Nilai Minimum

Masalah akan muncul jika turunan digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau

minimum. Turunan pertama sebuah fungsi total menunjukkan suatu ukuran apakah fungsi tersebut

sedang menaik atau menurun pada titik tertentu. Agar suatu fungsi menjadi maksimum atau

minimum, maka fungsi tersebut harus tidak dalam keadaan menaik atau menurun. Oleh karena itu

slopenya harus sama dengan nol. Namun demikian, karena nilai marginal akan menjadi nol baik

untuk nilai maksimum maupun minimum dari suatu fungsi, maka analisis selanjutnya perlu untuk

menentukan apakah nilai maksimum atau minimum tersebut telah ditemukan.

Keadaan tersebut dilukiskan dalam Gambar 2.8 di mana tampak bahwa slope dari kurva laba

total adalah nol, baik pada titik A maupun titik B. Namun demikian, titik A menunjukkan tingkat

output yang meminimumkan laba, sedangkan titik B menunjukkan tingkat output yang

memaksimumkan laba.

Konsep turunan kedua (second-order derivative) digunakan untuk membedakan nilai

maksimum dengan minimum dari suatu fungsi. Turunan kedua ini merupakan turunan dari turunan

pertama. Jika laba total ditunjukkan oleh persamaan π= a – bQ + cQ2 – dQ3, seperti ditunjukkan

Gambar 2.8, maka turunan pertamanya yang merupakan fungsi laba marginal adalah:

dπdQ

=Mπ=−b+2 cQ−3dQ2(2.7)

Turunan kedua dari fungsi laba total adalah turunan dari fungsi laba marginal (turunan persamaan

2.7) yaitu:

d2 πdQ2

=dM πdQ

=2c−6 dQ

Gambar 2.8 Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

Jika turunan pertama menunjukkan slope fungsi laba total, maka turunan kedua tersebut

menunjukkan slope dari turunan pertama tersebut yakni slope dari kurva laba marginal. Kita bisa

menggunakan turunan kedua tersebut untuk membedakan titik maksimum dan minimum. Jika

turunan kedua dari sebuah fungsi negatif maka titik yang ditentukan adalah maksimum, demikian

sebaliknya.

Alasan dari hubungan yang terbalik tersebut bisa dilihat dari Gambar 2.8. Perhatikan bahwa

laba mencapai minimum pada titik A, karena laba marginal, yang tadinya negatif dan karena itu

menyebabkan laba total turun, tiba-tiba menjadi positif. Oleh karena itu slopenya positif. Keadaan

yang berlawanan terjadi pada titik maksimum nilai laba marginal tersebut adalah positif tetapi

menurun hingga suatu titik dimana fungsi laba total mencapai maksimum, dan negatif setelah titik

tersebut. Oleh karena itu, fungsi marginal tersebut berslope negatif pada titik maksimum fungsi

total.

Sebuah contoh dengan bilangan akan memperjelas konsep ini. Misalkan fungsi laba total

dalam Gambar 2.8 ditunjukkan oleh fungsi berikut:

Laba total (π ) = -3.000 – 2.400Q + 350Q2 – 8,333Q3 (2.8)

Laba marginal ditunjukkan oleh turunan pertama dari laba total tersebut:

Laba marginal (Mπ ) =dπdQ = -2.400 + 700Q – 25Q2 (2.9)

Laba total akan maksimum atau minimum pada titik-titik dimana turunan pertama tersebut (laba

marginal) sama dengan nol, maka:

dπdQ

=-2.400 + 700Q – 25Q2 = 0 (2.10)

Dengan menggunakan rumus abc, kita akan menemukan nilai-nilai output yang memenuhi

persamaan 2.10 yaitu 4 dan 24. Oleh karena itu nilai-nilai tersebut merupakan titik-titik laba

maksimum atau minimum.

Pengujian terhadap turunan kedua dari fungsi laba total pada masing-masing tingkat output

tersebut akan menunjukkan apakah nilai-nilai tersebut minimum ataukah maksimum. Turunan

kedua dari fungsi laba total tersebut didapatkan dengan mencari turuan dari fungsi laba marginal

(persamaan 2.9):

d2 πdQ2

=dM πdQ = 700 – 50Q

Pada tingkat output atau Q = 4:

d2 π

dQ2 = 700 – 50.4 = 500

Karena turunan kedua tersebut positif, yang menunjukkan bahwa laba marginal sedang

menaik, maka laba total adalah minimum pada tingkat output sebesar 4 unit. Dengan kata lain, laba

total pada tingkat output sebesar 4 sesuai dengan titik A pada Gambar 2.8.

Dengan menilai turunan kedua pada tingkat output sebesar 24 unit, kita memperoleh.

d2 πdQ2 = 700 – 50 . 24 = -500

Karena turunan kedua tersebut adalah negatif pada tingkat output sebesar 24, yang

menunjukkan bahwa laba marginal tersebut sedang menurun, maka fungsi laba total mencapai titik

maksimum pada tingkat output sebesar 24 unit. Tingkat output ini sesuai dengan titik B pada

Gambar 2.8.

Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih Antara Dua Fungsi

Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR harus sama dengan MC agar laba

maksimum bisa dicapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada asas optimisasi kalkulus tersebut. Asas

tersebut timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara dua fungsi akan maksimum pada titik

dimana slope kedua fungsi tersebut adalah sama. Gambar 2.9 menggambarkan titik tersebut. Disini

fungsi penerimaan dan fungsi biaya hipotesis ditunjukkan. Laba total sama dengan TR dikurangi TC,

dan oleh Karen aitu sama dengan jarak vertical antara kedua kurva tersebut pada setiap tingkat

output. Jarak tersebut akan maksimum pada tingkat output QB dimana slope dari kurva TR dan TC

Total Cost

Total revenue

Marginal Cost

Marginal revenue

Output (unit/t)

Rp/t

A

tersebut sama. Karena slope kurva TR dan TC masing-masing menunjukkan MR dan MC, maka MR =

MC.

Alasan bahwa QB merupakan tingkat output yang memaksimumkan laba bisa tampak dengan

memperhatikan bentuk dari kurva TR dan TC disebelah akan titik A. Pada titik A, TR = TC, berarti di

situ terjadi titik impas (break even point), dan oleh karena itu titik A tersebut menunjukkan tingkat

output yang menghasilkan laba sama dengan nol.

Gambar 2.9 TR, TC, dan Laba Maksimum

Pada tingkat-tingkat output QA, TR meningkat lebih cepat dari TC dengan kata lain, MR > MC. Jika

slope TR sama dengan slope TC, maka kedua kurva tersebut akan sejajar. Keadaan tersebut terjadi

pada tingkat output QB. Setelah melampaui QB. Setelah melampaui QB slope kurva TC lebih besar

slope kurva TR (MC > MR), maka jarak antara kedua kurva tersebut mengecil dan laba total

menurun.

Suatu contoh dengan angka akan memperjelas penggunaan turunan ini. Perhatikan fungsi-

fungsi penerimaan, biaya, dan laba berikut ini. Misalkan:

Total Revenue (TR) = 41,5Q – 1,1Q2

Total Cost (TC) = 150 + 10Q – 0,52 + 0,02Q3

Laba Total = π = TR – TC

Tingkat output yang bisa memaksimumkan laba tersebut bisa diperoleh dengan mensubstitusikan

fungsi TR dan TC kedalam fungsi laba, kemudian menganalisis turunan pertama dan kedua dari

persamaan tersebut.

π= TR – TC

= 41,5Q – 1,1Q2 – (150 + 10Q – 0,5Q2 + 0,02Q3)

= 41,5Q – 1,1Q2 – 150 – 10Q + 0,5Q2 – 0,02Q3

= -150 + 31,5Q – 0,6Q2 – 0,02Q3

Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tersebut adalah:

Mπ= dπdQ

=31 ,5−1,2Q−0 ,06Q2

Dengan menentukan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan rumus abc kita bisa

menemukan kedua akarnya yaitu Q1 = -35 dan Q2 = + 15. Karena output yang negatif tidak mungkin

terjadi, maka Q1 bukan merupakan tingkat output yang bisa digunakan.

Suatu pengujian terhadap turunan kedua dan fungsi laba tersebut pada tingkat Q = 15 akan

menunjukkan apakah ini merupakan titik laba maksimum atau titik laba minimum. Turunan kedua

tersebut adalah:

d2 πdQ2

=dM πdQ

=−1,2−0 ,12Q

Dengan menguji turunan tersebut pada Q = 15 menghasilkan nilai turunan kedua tersebut sebesar -

3, oleh karena itu Q = 15 merupakan titik laba maksimum.

Untuk melihat hubungan MR dan MC dengan maksimisasi laba perhatikan persamaan umum

laba π = TR – TC. Dengan menggunakan kaidah penjumlahan dan selisih dari diferensiasi, maka

persamaan umum laba marginal adalah:

Mπ= dπdQ

=dTRdQ

−dTCdQ

Jika dTR/dQ merupakan MR, dan dTC/dQ merupakan MX, maka

Mπ=MR−MCSekarang, karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama dengan nol, maka

maksimisasi laba akan terjadi jika

Mπ=MR−MC=0atau

MR = MC

Meneruskan contoh kita di muka. MR dan MC diperoleh dengan penurunan fungsi TR dan TC:

MR=dTRdQ

=41 ,5−2,2Q

MC=dTCdQ

=10−Q+0 ,06Q2

Pada tingkat output yang memaksimumkan laba, MR = MC, maka:

MR = 41,5 – 2,2Q = 10 – Q + 0,06Q2 = MC

Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, kemudian diperoleh

-31,5 + 1,2Q + 0,06Q2 = 0

Akhirnya diperoleh Q1 = -35 dan Q2 = 15. Hal ini menunjukkan bukti bahwa MR – MC pada tingkat

output yang menghasilkan laba maksimum.

OPTIMISASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK

Oleh karena hampir semua hubungan ekonomi menggunakan dua variabel atau lebih, maka kita

perlu untuk memperluas konsep diferensiasi ke dalam persamaan-persamaan dengan 3 variabel

atau lebih. Perhatikan fungsi permintaan akan suatu produk di mana kuantitas yang diminta (0)

ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingkat pengeluaran iklàn (A). Fungsi tersebut bisa

dituliskan sebagal berikut:

Q=f(P,A) (2.11)

Untuk menganalisis hubungan variabel majemuk, seperti ditunjukkan persamaan 2.11 kita perlu

mengetahui pengaruh marginal dan setiap variabel indeponden terhadap variabel dependen.

Dengan kata lain, optimisasi datam kasus seperti ini memerlukan suatu analisis bagaimana

perubahan dan setiap variabel independen mempengaruhi variabel dependen, dengan menganggap

pengaruh seluruh variabel independen lainnya konstan. Turunan parsial merupakan konsep kalkulus

yang digunakan untuk analisis marginal seperti ini.

Dengan menggunakan fungsi permintaan pada persamaan 2.11, kita bisa memperoleh 2

turunan parsial:

1. Turunan parsial 0 pada harga P ¿∂Q /∂P

2. Turunan parsial 0 pada pengeluaran iklan A ¿∂Q /∂ A

Kaidah untuk menentukan turunan parsial adalah sama dengan kaidah dalam turunan yang

sederhana. Karena konsep turunan parsial menggunakan suatu asumsi bahwa semua variabel,

kecuali satu variabel di mana turunan tersebut diturunkan, tidak berubah. Perhatikan persamaan Y=

10- 4X + 3XZ-Z2. Dalam fungsi mi ada dua variabel independen, yaitu X dan Z, oleh karena itu 2

turunan parsial bisa dihitung. Untuk menentukan turunan tersebut pada X, maka persamaan

tersebut bisa dituliskan kembali sebagai:

Di sini kita mempunyai dua persamaan dengan dua bilangan anu. Penyelesaian secara simuttan

akan menghasilkan nilai X = 3 dan Z = 2 yang mernaks,mumkan fungsi tersebut. Dengan

memasukkan nitai-nilai X dan Z tersebut ke datam persamaan 2.12, kita akan mempeioteh nilai Y = 7,

dan oleh karena itu nilal maksimum dan Y adalah 7.

OPTIMISASI TERKENDALA

Dalam proses pengambilan keputusan yang dihadapi para manajer, ada berbagai kendala yang

membatasi pitihan-pilihan yang tersedia bagi para manajer tersebut. Misalnya, seorang manajer

produksi ditugaskan untuk meminimumkan biaya total (TC)dalam memproduksi sejumlah produk

tertentu dan perusahaannya. Pada waktu yang lain manajer produksi tersebut ditugaskan untuk

memaksimumkan output dan suatu departemen tertentu, dengan sejumlah sumberdaya tertentu

yang tersadia.

Secara umum, masalah optimisasi terkendala ini dikelompokkan menjadi 2 kelompok: Tampak

ada kaitan yang erat sekali antara formulasi maksimisasi dan minimisasi pada masalah optimisasi

terkendala dengan penggunaan sumberdaya yang langka secara optimal.

Cara tersebut bisa melihat penerapannya di dalam masalah minimisasi terkendala. Misalkan

sebuah perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan dua pabriknya dan bekerja

dengan fungsi biaya total (TC) sebagai berikut:

TC=3X2+6Y2-XY

Di manaa X merupakan output dan pabrik yang pertama dan Y merupakan output dan pabrik yang

kedua. Manajemen akan berusaha untuk menentukan kombinasi biaya terendah (least-cost

combination) antara X dan Y, dengan tunduk kepada kendala bahwa produktotal harus 20 unit.

Masalah optimisasi terkendala tersebut bisa dituliskan sebagai berikut:

Minimumkan TC = 3X2 + 6Y2 -XY

dengan kendala: X + Y = 20

Dengan menyelesaikan kendala X dan mensubstitusikan nilai tersebut ke dalam fungsi tujuan

maka:

TC=3 (20−Y )2+6Y 2−(20−Y )Y

¿3¿

¿1200−120Y +3Y 2+6Y 2−20Y +Y 2

¿1200−140Y +10Y 2

Sekarang kita bisa menganggap persamaan 2.13 di atas sebagai masalah minimisasitak-terkendala.

Untuk menyetesaikannya harus dicari turunannya, menyamakan turunan tersebut dengan nol, dan

mendapatkan niiai Y.

dTCdY

=−140+20Y=0

20Y = 140

Y = 7

Karena turunan kedua tersebutadalah positif, maka Y = 7 pastilah merupakan titik minimum.

Dengan memasukkan 7 ke dalam Y di dalam persamaan kendala mernungkinkan kita untuk

menentukan kuantitas optimum yang diproduksikan oleh pabrik X.

X+7 =20

X = 13

Oleh karena itu, produksi output 13 unit pada pabrik X dan 7 unit padapabrik Y adalah kombinasi

biaya terendah dalam menghasiikan 20 unit produk d~-~ perusahaan tersebut. Biaya total (TC)

tersebut adaiah:

TC = 3(13)2 + 6(7)2 (13 x 7)

= 507+294—91

= 710

Angka Pengganda Lagrange

Teknik Lagrange untuk mernecahkan masalah-masalah optimisasi terkendala merupakan suatu

cara yang digunakan untuk mengoptimisasikan sebuah fungsi dengan cara menggabungkan fungsi

tujuan mula-mula dengan persyaratan kendala. Persamaan gabungan mi disebut fungsi Lagrange.

Fungsi mi dibuat untuk memastikan (1) bahwa jika fungsi mencapai nilai maksimum (atau minimum),

fungsi tujuan mula-mula juga akan maksimum (atau minimum), dan (2) bahwa semua persyaratan

kendala terpenuhi.

Pengujian terhadap masalah optimisasi terkendala di muka memperjelas penggunaan teknik mi.

Perhatikan bahwa perusahaan tersebut berusaha untuk meminimumkan fungsi TC = 3X2 — 6Y2 — XY,

dengan tunduk kepada kendala X + Y 20. Persamaan kendala tersebut diubah sebagai berikut:

0 = 20 – X - Y

ini merupakan Iangkah pertama dalam membentuk suatu fungsi Lagrange. Dengan mengalikan

kendala tersebut dengan sebuah faktor yang tidak diketahui “λ” (lambda) dan menambahkan hasil

tersebut pada fungsi tujuan mula-mula menghasilkan persamaan Lagrange.

Misalnya:

LTC = 3X2 + 6Y2 — XY + λ (20 — X — Y) (2.14)

# LTC didefinisikan sebagai fungsi Lagrange untuk optimisasi ~rkendala.

Oleh karena fungsi Lagrange tersebut memasukkan kendala ke dalam fungsi tujuan, maka fungsi

Lagrange ini bisa dianggap sebagai masalah optimisasi tak terkendala, dan penyelesaiannya identik

dengan penyelesaian masalah optimisasi terkendala mula-mula. Untuk menggambarkan hal mi,

perhatikan masalah minimisasi dan fungsi Lagrange dalam persamaan 2.14. Pada suatu titik

minimum dan fungsi yang menggunakan variabel majemuk. semua turunan parsial harus sama

dengan nol. Turunan-turunan parsial dan persamaan 2.14 bisa dicari untuk variabel X, Y dan λ,

sebagai berikut:

Dengan menentukan ketiga turunan parsial tersebut sama dengan nol, kita mendapatkan tiga

persamaan dengan tiga bilangan anu:

6X—Y— λ =0 (2.15)

X+12Y— λ =O (2.16)

dan

20—X--Y=0 (2.17)

Perhatikan bahwa persamaan 2.17, turiinan parsial fungsi Lagrange pada λ, merupakan kendala

pada optimisasi mula-mula. HasH tersebut bukanlah terjadi secara kebetulan belaka. Fungsi

Lagrange tersebut dibentuk secara khusus dan oleh karena itu turunan dan fungsi Lagrange pada

angka pengganda Lagrange (X) tersebut akan selalu merupakan kendata mulamula. Selama turunan

tersebut sama dengan nol, yang berarti Ia berada pada keadaan ekstrim (maksimum atau minimum),

maka persyaratan kendala optimisasi mula-muta tersebut akan terpenuhi. Selain itu,jika pada

persyaratan seperti itu suku terakhir dan persamaan Lagrange harus sarna dengan not yaitu 0 =20 - X

- Y, maka fungsi Lagrange tersebut akan tetap pada fungsi tujuan mula-mula, dan oleh karena itu

penyetesaian untuk masalab optimisasi tak terkendala (Lagrange) akan selatu morupakan

penyelesaian bagi masalah optimisasi terkendala mula-mula.

Penyempurnaan analisis dan contoh di muka akan memperjelas hubungan tersebut. Kita mulai

dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai X dan Y yang optimal.

Dengan mengurangkan persamaan 2.15 dengan persamaan 2.16 diperoleh:

7X—13Y=0 (2.18)

Kemudian mengalikan persamaan 2.17 dengan 7 dan kemudiari menambahkan persamaan 2.18

dengan hasil tersebut menghasilkan:

140—7X— 7Y = 0 7x (2.17)

7X—13Y = 0 (2.18)

140 — 20Y = 0

140 = 20Y

7 = Y

Dengan mensubstitusikan 7 ke dalam Y dalam persamaan 2.17 menghasilkan X =13, nilai X pada titik

di manafungsi Lagrange tersebut minimum.

Oleh karena penyelesaian fungsi Lagrange tersebut juga merupakan penyelesaian masalah

optim~sasi tcrkendala dan perusahaan tersebut, maka 13 unit dan pabrik X dan 7 unit dan pabrik V

akan merupaka, kombinasi output yang bisa dihasilkan dengan jumlah pengeluaran biaya terendah,

dengan tunduk pada kendala di mana output total harus sama dengan nol. mi merupakan jawaban

yang sama dengan yang kita dapatkan dengan cara yang telah diungkapkan lebih awal di muka.

Tèknik Lagrange ini merupakan suatu teknik yang Iebih kuat untuk memecahkan masalah

optimisasi terkendala ketimbang metoda substitusi. Teknik mi lebih mudah untuk diterapkan pada

masalah dengan kendala majemuk, dan teknik mi memberikan tambahan informasi yang sangat

berarti bagi para pembuat keputusan. Hal mi disebabkan oleh angka pengganda Lagrange (λ)

memiliki suatu interpretasi ekonomis yang sangat penting. Dengan mensubstitusikan nilai X dan Y ke

dalam persamaan 2.15 kita bisa menentukan nilai dan X dan contoh kita tersebut:

6.13—7— λ =0

Secara lebih umum, setiap angka pengganda Lagrange (λ) menunjukkan pengaruh marginal

terhadap penyelesaian fungsi tujuan mula-mula oleh penurunan atau kenaikan persyaratan kendala

sebesar 1 unit. Seringkali, seperti dalam contoh di atas, hubungan marginal yang dijelaskan oleh

angka pengganda Lagrange itu menunjukkan data ekonomis yang bisa membantu seorang manajer

untuk mengevaluasi manfaat-manfayatpotensial dan pengurangan sebuah kendala.