bioeconomía: instrumentos para su análisis económico

Bioeconomía: instrumentos para su análisis económico

José de Jesús Brambila Paz

Bioeconomía instrumentos para su análisis econórnico

Bioeconomia instrumentos para su análisis económico


SAGARPA / COLPOS

Por lo Secretaría de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural Pesco y Alimentación

Líe. Francisco Javier Mayorga Castañeda Secretario de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural Pesco y Alimentación Lic. Mariano Ruiz-Funes Macedo Subsecretario de Agricultura Ing. Ernesto Fernandez Arias Subsecretario de Fomento a los Agronegocios Ing. Ignacio Rivera Rodríguez Subsecretario de Desarrollo Rural Dr. José Arnulfo del Toro Morales Dirección General de Vinculación y Desarrollo Tecnológico Ing. Guillermo del Bosque Macfas Director General Adjunto de Bioeconom{o

Bioeconomía: instrumentos para su análisis económico Autor José de Jesús Brambila Paz

Coordinador Verónica Pérez Cerecedo María Magdalena Rojas Rojas

Fotógrafo

Olivia Macias Molina

Editor literario Patricia Castillejos Peral Alvaro Luna Castillejos Amaranta Luna Castillejos

1 a Edición, Texcoco, Estado de México, marzo de 2011 ISBN: 978-607-7668-05-3

D,R, © SECRETARíA DE AGRICULTURA, GANADERíA, DESARROLLO RURA~ PESCA y AUMENTACIÓN Av. Municipio Ubre 377. Col. Santa Cruz Atoyac, Del. Benito Juárez, c.P. 0331 O, México, D.F. Tel: 01 (55)38711 000

[email protected]

Impreso en México

la reproducción total o parcial de esta publicación, ya sea mediante fotocopias o cualquier otro medio, requiere la autorización por escrito del representante legal de la Secretarfa de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación.

l

A Olivia con amor

PRÓLOGO

PRESENTACiÓN

CAPíTULO 1. LAS TASAS PARA MEDIR EL MOVIMIENTO Y SUS USOS PRÁCTICOS EN El ANÁLISIS

ECONÓMICO

1.1 Medición del movimiento absoluto y relativo

1.2 Relación entre tasas de movimiento

1.3 Valor nominal, presente y real

1.3.1 Valor nominal

1.3.2 Valor real

1.3.3 Valor presente

1.3.4 Tasa de interés nominal y real

CAPiTULO 11. El USO DE lA DINÁMICA EN lA TOMA DE DECISIONES

2.1 Las bases de la dinámica

2.2 Cuestión de progresiones

2.3 El valor presente y la dinámica

CAPíTULO 111. El RIESGO DE lA TOMA DE DECISIONES

3.1 Instrumentos básicos para análisis y medición del riesgo

3.1.1 La media o promedio

3.1.2 La volatilidad o desviación estándar

3.1.3 La distribución normal

3.2 Ejemplo para calcular pérdidas esperadas

3.3 Matriz de decisiones en escenarios de incertidumbre

3.4 Selección de un portafolio de productos para disminuir el riesgo

CAPíTULO IV. LA DINÁMICA DE LOS MERCADOS

4.1 Dinámica de un mercado de estructura simple

4.2 Dinámica de un mercado de estructura compleja

íNDICE

9

13

19

19

28

36

36

36

43

47

65

65

70

90

113

113

114

115

116

118

125

130

141

141

150

7

Bioeconomía, instrumentos para su análisis económico

Recuadro 4.2.1 Condición de convergencia de una matriz Am 158

Recuadro 4.2.2 Números complejos y funciones circulares 162

4.3 Multiplicadores de largo plazo 172

Recuadro 4.2.3 Series de Neumann 173

Recuadro 4.2.4 Operando para simplificar 177

CAPiTULO V. LAS OPCIONES REALES YlA TOMA DE DECISIONES 183

5.1 Las opciones reales 183

5.2 La construcción de un árbol binomial tomando en cuenta el riesgo 185

5.3 El valor de la opción real 195

5.4 Las opciones reales medidas con las fórmulas de Black-Scholes y Merton 206

5.5 Ejemplos para practicar e imaginar 210

CAPíTULO VI. Los VALORES CRiTICOS PARA lA TOMA DE DECISIONES 227

6.1 Los valores críticos 227

6.2 Construyendo la razón crítica y el valor crítico 228

6.3 Ejemplos numéricos del valor crítico 235 6.3.1 Los valores críticos de los productos agrícolas 1980-2007 236 6.4 La volatilidad de precios y la toma de decisión de aumentar o disminuir la producción 238

Recuadro 6.4.1 Solución de la ecuación 6.5 y 6.13 242 CAPiTULO VII. EJEMPLOS PRÁCTICOS DE lA BIOECONOMiA 251

7.1 Un negocio de productos de la Bioeconomía: tomate con más licopeno 251

7.2 Una aplicación a nuevas tecnologías para productos de la bioeconomía 256

7.3 Ejercicio para decidir entre un grupo de proyectos 272

7.4 Ejercicio toma de decisión cuando hay caída de precios 292

BIBLlOGRAFIA 297

LISTADO DE CUADROS 301

LISTADO DE FIGURAS 305

ANEXO A. TABLA DE VALORES "Z" 309

ANEXO B. TABLA PARA N(x) CUANDO X;::: O 313

8

José de Jesús Brambila paz

PRÓlOGO En los últimos años, los avances tecnológicos han llevado a la economía tradicional a evolucionar y reinventarse a sí misma, dando como resultado una serie de procesos productivos, comerciales y tecnológicos que en décadas anteriores hubieran sido inimaginables para cualquier empresario por mas visionario que este hubiera podido ser. En el área de la agricultura y en general del sector agroalimentario, dichos procesos han dado lugar a que cada día se demanden más y mejores productos y servicios, capaces de satisfacer las necesidades individualizadas del consumidor; productos y servicios que implican estrategias e inversiones poco tradicionales, y por ende, con un mayor nivel de riesgo e incertidumbre para todos aquellos tomadores de decisiones en el sector, por lo que es necesario contar con nuevos instrumentos de evaluación económico-financiera capaces de considerar las nuevas variables y supuestos que afectan a esta nueva generación de negocios de la Bioeconomiao

El Dro José de Jesús Brambila Paz nos entrega un texto en el que conjunta parte del acervo de conocimientos que como maestro e investigador a reunido a lo largo de los años y de manera didáctica nos introduce a instrumentos de análisis económico y los da una aplicación práctica en la bioeconomíao

"Bioeconomia: Instrumentos para su análisis económico" provee al especialista en formulación y evaluación de proyectos de inversión, al colocador de crédito y financiamiento, al analista de riesgos, al gerente o director de un agronegocio, y en general a todos aquéllos especialistas y tomadores de decisiones en el sector, de una serie de herramientas y técnicas especializadas que permitan evaluar y analizar de manera objetiva y desde un punto de vista económico-financiero, la viabilidad de los proyectos de inversión y riesgo de la Bioeconomiao

Dicha obra ofrece al lector siete capítulos, los cuales presentan de manera progresiva, las herramientas necesarias para una correcta evaluación y toma de decisiones:

Capítulo lo Las tasas para medir el movimiento y sus usos prácticos en el análisis económico: en este capítulo se presentan los conceptos e instrumentos básicos para hacer un análisis económico y evaluar un proyecto en forma tradicional.

9

10


Capítulo 11. El uso de la dinámica en la toma de decisiones: tener la capacidad de percibir como se mueve y la tendencia que toma una variable económica o financiera es un elemento crucial dentro de la toma de decisiones, en este capítulo se presentan los elementos necesarios para vislumbrar dichas tendencias y movimientos.

Capítulo 111. El riesgo en la toma de decisiones: El riesgo es la estimación de que algo salga mal así como la estimación de cuanto es lo que se puede llegar a perder, en este capítulo se presentan los elementos necesarios para poder llevar a cabo un análisis económico y poder llevar a cabo evaluaciones de proyectos considerando los riesgos potenciales que pudieran presentarse.

Capítulo IV. La dinámica de mercados: Conforme las distintas variables que afectan los mercados van cambiando, estos tienden a equilibrarse o desequilibrarse, el conocer hacia dónde va así como el porcentaje de variación en relación a la tendencia del mercado es un dato fundamental para los tomadores de decisiones, en dicho capitulo se revisaran los modelos de mercado de estructura simple y compleja.

Capitulo V. Las opciones reales y la toma de decisiones: las metodologías tradicionales para la valuación y conformación de proyectos de inversión y riesgo fueron desarrolladas durante periodos de tiempo en los que la economía era estable y ofrecía pocos desafíos para los inversionistas, actualmente dichos modelos presentan deficiencias al no considerar todos los factores que afectan al mercado en general. Este capítulo presenta las herramientas necesarias para poder realizar una valuación que considere los nuevos factores que afectan al mercado.

Capítulo VI. Los valores críticos para la toma de decisiones: al momento de llevar a cabo la evaluación de un proyecto bajo una serie de escenarios complejos, es necesario tomar en cuenta la volatilidad así como la tendencia de los flujos de efectivo- a precios reales. En este capítulo se presentan las herramientas necesarias para llevar a cabo dichas consideraciones dentro del modelo de valuación, que van desde la construcción de razones y valores críticos, hasta la determinación de la volatilidad y rentabilidad en los precios bajo escenarios complejos.

Capítulo VII. Ejemplos prácticos de la Bioeconomia: Dentro de este capítulo final, se incluyen algunos ejemplos sobre posibles proyectos de inversión de la Bioeconomia, a fin de que el especialista ponga en práctica las herramientas explicadas a lo largo de esta obra. Dichos ejemplos


muestran escenarios complejos donde es necesario tomar en cuenta variables que antes eran desconocidas o ignoradas para los expertos en la materia, como lo son los factores de desarrollo tecnológico que en algún punto del proyecto y dependiendo de su avance e impacto en el mismo, puedan ser un factor clave para determinar el éxito o el fracaso del mismo.

Este libro deberá ser un texto de consulta para todos aquellos que estén interesados en evaluar proyectos agropecuarios en escenarios de incertidumbre y riesgo.

Ing. Guillermo Del Bosque Macias Director General Adjunto de Bioeconomía

Secretaría de Agricultura Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación (SAGARPA).

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PRESENTACiÓN En los primeros años del siglo XXI se ha acumulado suficiente conocimiento para crear nuevas ciencias (genómica, proteómica, nutrigenómica), nuevas técnicas (biotecnología, nanotecnología) y nuevos sistemas de comunicación (internet, teléfono celular). También queda claro que ahora quien decide qué, cómo y cuándo se debe producir es el consumidor y no el productor, como ocurría en el pasado. El consumidor, por ejemplo, está cambiando el concepto de los alimentos: antes sólo eran para nutrir con proteínas y dar energía con calorías, hoy además de esto, se espera que ayuden a la salud, como ocurre con los nutracéuticos (nutren y tienen sustancias medicinales) y los funcionales (ayudan a que los órganos del cuerpo funcionen mejor, sin deficiencias).

También en estos primeros años del siglo XXI se llegó al punto más alto en el uso y consumo de los derivados del petróleo, por lo que empieza un proceso lento pero consistente para sustituir este insumo (materia orgánica que quedó enterrada y se fue "cocinando" por miles de años) por materia orgánica que transforma el hombre de acuerdo con sus conocimientos y necesidades.

Todo lo anterior nos hace pensar que se está formando algo nuevo. Las ciencias de la vida, la biotecnológica y la nanotecnología son las bases en las que se asienta una nueva sociedad y una nueva economía. Se está formando una Bioeconomía.

En la Bioeconomía se forman negocios agrícolas que producen nuevos tipos de alimentos (nutracéuticos, funcionales, orgánicos) y de no alimentos (cosmecéuticos, biomedicina, biofibras, bioplásticos, biomateriales, biocombustibles, biopinturas) que, por nuevos, son más riesgosos e inciertos para el mercado. Aún más, los negocios tradicionales de genéricos (commodities) también se vuelven más inciertos porque los nuevos productos los impactan de diferentes formas.

14


Así, la forma que se conoce y usa para hacer análisis económico y evaluar proyectos (valor presente neto, tasa interna de retorno, beneficiocosto) tiene que evolucionar para adecuarse a los nuevos escenarios económicos y sociales que conllevan un mayor riesgo e incertidumbre. Este libro tiene como objetivo enseñar las nuevas técnicas para hacer análisis económico y evaluar este tipo de proyectos en el sector agropecuario y sus redes de valor. Se inicia con los conceptos estadísticos y económicos básicos que permiten analizar y evaluar un proyecto en forma tradicional y, a partir de ahí, se van adecuando para incorporar a los nuevos escenarios de riesgo, incertidumbre y dinámica.

No se trata de memorizar fórmulas sino de entender el razonamiento que lleva a ellas para que el lector las pueda adecuar conforme cambian los escenarios económicos y las necesidades de la evaluación.

Por lo anterior, el libro se divide en tres partes: la primera abarca los conceptos básicos que permiten razonar la forma de hacer análisis yevaluar un proyecto en escenarios de riesgo e incertidumbre; la segunda muestra los instrumentos tradicionales y nuevos para analizar y evaluar los proyectos, tomando en cuenta que, en la vida útil de éstos, siempre hay opciones que tiene el director del proyecto para mejorar el valor del mismo y sortear los diferentes riesgos, y la tercera contiene laboratorios de ejercicios que permiten aplicar los conceptos enseñados, para que los lectores vayan adquiriendo práctica.

Varios temas de este libro son resultado de las pláticas que hemos sostenido con el Ing. Javier Delgado Mendoza y con el Dr. Roberto Félix Carvallo Garnica; ambos se desempeñaron como funcionarios de los Fideicomisos Instituidos en Relación con la Agricultura (FIRA) por varios años y actualmente trabajan en el Fondo de Capitalización e Inversión del Sector Rural (FOCIR). Tambien se tuvo oportunidad de hacer comentarios con el Ing. Guillermo del Bosque Macias, quien actualmente se desempeña como Director General Adjunto de Bioeconomía, de la Secretaría de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación (SAGARPA) y con quien hemos observado la necesidad de reinventar los instrumentos y las instituciones que operan en el sector agropecuario, alimentario y no alimentario.

Se contó con el apoyo de la Maestras en Ciencias María Magdalena Rojas Rojas y Verónica Pérez Cereceda, quienes se han especializado en los temas de la Bioeconomía y Redes de Valor. La M.e. Rojas Rojas revisó que las


fórmulas y consistencias en cada tema estuvieran correctas. A ellas mi mayor agradecimiento.

Valga hacer una aclaración: en el libro la mayoría de los instrumentos se explican mediante ejercicios numéricos. A lo largo de los años, en el salón de clases se mostró que con éstos el estudiante comprende mejor los conceptos. Por ello, en el libro se encontrarán muchos ejercicios que son la esencia de lo que se explica y de ninguna manera se debe evitar su revisión cuidadosa. La comprensión de éstos y de los ejemplos es la forma didáctica de entender cada tema. Por lo mismo, se elaboraron gráficas, tablas y cuadros para ejemplificar los conceptos. La M.e. María Magdalena Rojas Rojas estuvo a cargo de la transcripción de las fórmulas, de los cuadros, de las tablas y de las gráficas.

Ninguna de las personas e instituciones mencionadas es responsable directa de lo aquí planteado, la responsabilidad es exclusiva del autor.

Para aquellos que no estén familiarizados con el concepto de Bioeconomía, que se desarrolló en el libro En el umbral de una agricultura nueva, 2006, se presenta una breve definición.

Definición de Bioeconomía: Es la producción y distribución de los bienes y servicios que se obtienen de la transmutación dirigida de los seres vivos y sus sustancias (plantas, animales, bacterias, virus, enzimas), para satisfacer las necesidades individualizadas del consumidor (el ser humano) según sus características y circunstancias.

Donde: Bio: lo relacionado con los seres vivos. Economía: 16 relacionado a la producción y distribución de la riqueza generada. Transmutar: convertir una cosa en otra. Dirigir: encaminar la intención y las operaciones a un determinado fin. Sustancia: ser, esencia natural de las cosas. Característica: atributos peculiares de la persona. Circunstancia: conjunto de lo que está en torno a algo.

Los fundamentos (cimientos en los que se funda una cosa) de la Bioeconomía, como la hemos definido, son los siguientes:

15

16


Primer fundamento La decisión de qué, cuándo y cómo producir, transportar, empacar y distribuir la determinan las circunstancias y características individuales de cada consumidor. Segundo fundamento La individualización (mass customization) de los productos y serVICIOS a costos bajos requiere que se formen redes de valor para poder llevar el bien o los bienes al lugar preciso y en el tiempo adecuado para el consumidor que lo requiere y más valora. Las redes de valor tienen sus reglas de gobernanza en forma explícita. Tercer fundamento La economía basada en la biología (la Bio-Based-Economy) es la sustitución de muchos derivados del petróleo por productos originados de la materia orgánica, transmutada especialmente para que tengan -por lo menos- las mismas características que los sintéticos. Cuarto fundamento En la Bioeconomía que se está formando empieza a exigirse que la red de valor lleve los productos al consumidor individual con un mínimo de contaminación, de destrucción de los recursos naturales y con respeto al ser humano. Esto es, con sustentabilidad y responsabilidad social. Quinto fundamento Es necesaria la formación de un nuevo sistema financiero, con nuevas instituciones e instrumentos, donde el riesgo y su distribución sea el eje principal para apoyar a las nuevas empresas y nuevos productos.

Los conceptos e instrumentos que se explican en este libro son la base para analizar y evaluar los proyectos de la Bioeconomía. Se empieza por lo básico, lo tradicional. como son las tasas de movimiento (de crecimiento), el valor real y el valor presente, y, a partir de ese conocimiento, se construyen los instrumentos para el análisis y evaluación de proyectos más complejos (por darse en escenarios de mayor riesgo e incertidumbre); instrumentos como las opciones reales y los valores críticos.

La Bioeconomía es una etapa superior de la actual economía, no es algo que surja de la nada, sino que continúa y se apoya en la historia de la humanidad. También, los instrumentos econ"ómicos para analizar la Bioeconomía son una etapa superior de aquellos que ya conocemos. Esto significa que hay que entender y dominar los viejos instrumentos para


entender, diseñar y aplicar los nuevos. Por eso, este libro empieza con lo básico y tradicional (los viejos instrumentos) y a partir de ello se explica y aplica lo nuevo.

El autor agradecerá al lector que quiera hacerle saber de algún error en los cálculos, fórmulas o de conceptos los envía a ;[email protected]. Esto permitirá mejorar la calidad del texto. De antemano, gracias por colaborar.

17

CAPíTULO l. LAS TASAS PARA MEDIR El MOVIMIENTO Y SUS

USOS PRÁCTICOS EN El ANÁLISIS ECONÓMICO En este capítulo repasaremos los conceptos e instrumentos básicos para hacer un análisis económico y evaluar un proyecto en forma tradicional.

La tasa para medir el movimiento de alguna variable es el instrumento básico que permite hacer un análisis económico dinámico. Esto es, entender qué sucede con el proyecto mediante el paso del tiempo. En muchos libros se usa la tasa de crecimiento como sinónimo de la tasa de movimiento, cualquiera es correcto.

1.1 Medición del movimiento absoluto y relativo Empecemos con un ejemplo para definir los conceptos: un jardinero planta un árbol que mide 100 cm y cada año lo vuelve a medir para saber cuánto ha crecido, el movimiento (crecimiento) absoluto y relativo se mide de la manera siguiente (cuadro 1.1):

Año

o 1

2

3

4

Cuadro 1.1. Movimiento absoluto y relativo

Tamaño (cm)

100 120

140

160

180

Movimiento absoluto (crecimiento absoluto)

(cm)

20

20

20

20

Fuente: elaboración propia.

Movimiento relativo (crecimiento relativo)

(%)

120 - 100 100

~0.20~ 20%

140 -120 120

~ 0.1667 ~ 16.67%

160-140 140

~0.1429~ 14.29%

180-160 160

~ 0.1250 ~ 1 2.5%

19

20


Hay que hacer notar varios puntos en este ejemplo: • El movimiento (crecimiento) absoluto es igual cada año, 20 cm, pero el

movimiento (crecimiento) relativo (el valor final menos el valor inicial dividido entre el valor inicial) disminuye cada año. Esto se debe a que la base de comparación (el tamaño de la planta) va en aumento cada año. Un número fijo dividido por un número cada vez más grande, resulta en una tasa cada vez más pequeña.

• Si el crecimiento relativo fuera constante cada año, entonces el crecimiento absoluto anual debería aumentar cada vez más. Si el crecimiento relativo fuera de 20% cada año, el crecimiento absoluto a partir de los 100 cm sería de 20 cm en el primer año; 24 cm el segundo; 28.8 cm el tercero y 34.56 cm el último.

Si usamos el ejemplo del principio pero ahora para calcular el tamaño del árbol haciendo uso de la tasa de movimiento relativo, lo haríamos de la manera siguiente (cuadro 1.2):

Cuadro 1.2. Tasa de crecimiento

Año Tamaño del árbol (cm) o 100

120 = 100(1 + 0.20) 2 140=120(1 +0.1667)=100(1 +0.20)(1 +0.1667) 3 160 = 140(1 + 0.1429) = 100(1 + 0.20)(1 + 0.1667)(1 + 0.1429) 4 180 =160(1 + 0.1250) = 100(1 + 0.20)(1 + 0.1667)(1 + 0.1429)(1 +

0.1250) Fuente: elaboración propia.

Nótese que si multiplicamos 1 más la tasa de movimiento por 1 más la siguiente tasa de movimiento, y así sucesivamente, obtenemos 1 más la tasa de crecimiento de todo el periodo, que es 80%.

El cálculo se hace de la manera siguiente:

(1 +0.20)(1 +0.1667)(1 +0.1429)(1 +0.1250)= 1 +0.80


No es el mismo resultado si sólo sumamos las tasas anuales:

0.20 + 0.1667 + 0.1429 + 0.12;;0 = 0.6346

Si sólo sumamos las tasas anuales habremos subestimado el resultado. Esto se debe a que, si sumamos, estamos suponiendo, equivocadamente, que todas las tasas se aplican a una misma base (como si el árbol siempre midiera lo mismo) y esto no es así: cada tasa de crecimiento se aplica a diferente base. De ahí que para obtener el resultado correcto se tiene que multiplicar 1 más la tasa por 1 más la segunda tasa y así sucesivamente. Ell es el factor de arrastre (toma lo que ya pasó).

Para conocer la tasa de todo el periodo, se divide el valor final (VF)

entre el valor inicial (vI) y se le resta ell, como se muestra a continuación:

: = (1 + Tasa relativa total) = (1+ r,)(1+ r2)(1+ r3)(1+ r4) VF --1 = Tasa relativa total VI

(1.1)

Donde Ti es la tasa de crecimiento relativa del periodo. Éste puede ser de un solo año o de varios, como en nuestro ejemplo (cuatro años).

180 100 = (1 + 0.80) = (1 + 0.20 )(1 + 0.1667)(1 + 0.1429)(1 + 0.125)

Hay que notar lo siguiente: • Se obtiene el mismo resultado si se multiplica 1 más la tasa del primer

periodo, por 1 más la tasa del segundo periodo y así sucesivamente. Al resultado final se le resta 1 y se obtiene la tasa relativa total.

• Es interesante notar que el orden del movimiento no altera el resultado final. Veamos varios caminos para llegar a lo mismo.

1.80 = (1 + 0.20) (1 + 0.1667) (1 + 0.1429) (1 + 0.1250) 1.80 = (1 + 0.1667) (1 + 0.1250) (1 + 0.20) (1+ 0.1429) 1.80 = (1 + 0.0) (1 + 0.0) (1 + 0.1429) (1 + 0.5750)

Alterar el orden del crecimiento sólo nos señala que se llegó al resultado final por caminos diferentes (figura 1.1).

21

2


Figura 1.1. Movimiento de la tasa del periodo

Tamaño

180

1 2 3 4 Tiempo


Si generalizamos el ejemplo, llegamos a las fórmulas conocidas:

VF = VI (1 + r1)(1 + r2)(1 + r3)(1 + r4) ," (1.2)

Donde: VF = valor final VI valor inicial f tasa de movimiento relativa

1,2,3,4",

Si todas las f¡ fueran iguales: r1::::r2::::r3=r4= ... =rn= r

Entonces: VF = VI (1 +f)n

Donde:

(1.3)

r = la tasa de movimiento discreta promedio se simboliza como r (con una barra arriba), N = número de periodos (por ejemplo, años)


Aplicaciones de la fórmula general de tasas discretas 7) ¿Cuál es la tasa de movimiento (crecimiento) anual de la población, si

en México en 1970 éramos 50 596 000 personas y en el 2005 éramos 106385 000 personas?

Valor final = 106385000 de personas Valor inicial = 50596000 personas N = 35 años r = ?

Solución S

(VF) l/n (106385)lhs VI - 1 = r = 50596 - 1 = 0.0215 = 2.15%

La tasa anual de crecimiento de la población promedio fue de 2.15%, de 1970 a 2005. Nótese que un supuesto implícito en este cálculo es que los datos son promedio del año, por eso son 35 años. Si fuera de enero de 1970 a diciembre de 2005, entonces serían 36 años. 2) La capacidad de matanza del rastro es de 80 000 animales al año y en

diciembre de 2008 se va a tener una matanza de 60 500 animales. En los últimos 5 años la matanza ha crecido en 5% cada año. Diga cuándo vamos a alcanzar la capacidad máxima y cuándo debemos empezar una ampliación si ésta dura ocho meses en construirse.

Solución Datos: VF = VI =

. 80000

60500 r = 0.05=5% n =?

De la ecuación 1.3 se calcula:

LN = logaritmo natural

VF = VI(l + r)n

(VF) (80000)

LN VI = nLN(l + 1') = LN 60500 = nLN(l + 0.05)

23


0.2794 0.04879 = 5.7266 = n

5 años 0.7266 *12 meses = 8.7192 meses = 8 meses 0.7192 * 30 días = 21.756 días = 22 días n = 5 años, 8 meses, 22 días n = 5 años, 9 meses

Si el dato de 2008 es de diciembre, entonces se va a alcanzar la capacidad máxima del rastro más o menos en septiembre de 2014. Por lo que hay que comenzar la ampliación del rastro aproximadamente en enero de 2014.

3) Las ventas de Harinas integrales S.A. de C.V. (cuadro 1.3) de los últimos cinco años han sido:

Cuadro 1.3. Ventas de Harinas integrales S.A. de C.V. Año Ventas ($)

2007 1 103408

2006

2005

2004

2003

1052506

980742

920642

945005

Nótese que los datos comienzan por el año 2007. Fuente: elaboración propia.

¿Cuál es la tasa de movimiento de las ventas de un año a otro?

Solución

Cuadro 1.4. Tasa de movimiento de ventas de Harinas integrales S.A. de C.V. de un año a otro

Año Tasa de movimiento (%)

2003 2004 -0.0258 = c2.58% 2005 0.0653 = 6.53% 2006 0.0732 = 7.32% 2007 0.0484 = 4.84%

Nota: ahora el orden de los datos se invierte, comienza por el 2003. Fuente: elaboración propia.


Nótese la tasa negativa del primer año; es decir, la tasa de crecimiento de 2003 a 2004.

(920642) _ 1 = -0.0258 = -2.58% 945005

¿Cuál es la tasa de movimiento promedio anual de las ventas? Existen dos formas de llegar al mismo resultado para calcular la tasa

promedio anual. En la primera se multiplica 1 más la tasa (nótese que ésta puede ser

negativa) por 1 más la tasa siguiente y así sucesivamente; el resultado se eleva a la 1 entre n que en este caso n = 4 años.

(1 + (-0.0258))(1 + 0.0653)(1 + 0.0732)(1 + 0.0484) = (1 + 0.1677)"/4 = 1.0395

El crecimiento anual promedio es de 3.95%. La otra forma consiste en tomar el valor final dividido por el valor

inicial (cuadro 1.3.), todo elevado a la ~~~. Nótese que son cuatro datos; n 4

son cinco años pero se pierde un dato al hacerlo en tasas de movimiento.

(1103408)1/4 945005 = (1.1677//4 = 1.0395

Es el mismo resultado 3.95% cada añq (cuadro 1.4). ¿Cuánto espero vender para el201 O?

Respuesta: Para proyectar de 2007 a 2010, se hace de la siguiente manera:

VI = 1 103408 (es el valor de las ventas del 2007) f = 0.0395 = 3.95% n = 3 (de 2008, 2009 Y 201 O) VF ?

VF = (1103408)(1 + 0.0395)3 = 1239395

La tasa de movimiento hasta aquí descrita es conocida como tasa discreta porque se mide en lapsos como un año, un mes, un día. Pero los movimientos económicos y biológicos son continuos, aunque acostumbramos medirlos en forma discreta. La tasa de movimiento continuo

2S

6


se conoce también como instantánea, se mide usando el número e (cuadro 1.5), cuya propiedad es asintótica: se acerca al número 2.71828128 (figura 1.2).

Cuadro 1.5. Cálculo del número e

h

h e h e 1 2 50 2.6916 2 2.25 ... . .. 3 2.3704 100 2.7048 4 2.4414 ... ...

.... ... 1000 2.7169 10 2.5937 ... ... ... ... a 2.7183

.. Fuente. elaboraclon propia .

Figura 1.2. Comportamiento del número e

3

2.5

2

1.5 ..-100 U') N O') U) n1 o ¡--""o:::t rl 00 LI') N O')

rl('i)L{)I..OOOONn1LO¡--"'OOONn1 rlrlrlrlrlrlNNN


(1.4)

Ahora, si usamos el número 2.718281828, la fórmula general que hemos visto se modifica de la siguiente manera:

VF = VI e,n (1.5)

Donde: VF valor final VI = valor inicial e númeroe=2.718281828


í' = tasa de movimiento instantánea con sombrero, r (a diferencia de r, con barra, que simboliza la tasa de movimiento discreta)

n = tiempo

Si la ecuación 1.3, VF = VI(l + f)n, y la ecuación 1.5, VF = VI efn, tienen los mismos valores finales e iniciales, entonces las tasas de movimiento discretas y continuas están relacionadas y podemos calcular una a partir de la otra.

Igualando ecuación 1.3 y 1.5:

nln(l+r}=rn Vaque Ine=l

r= In(1 Fr)

VF = V/(l +1')"

VF= V/ti" V/(l+r}n = v/,j'n

(1.6)

La tasa continua es igual al logaritmo natural (In) de 1 más la tasa discreta. iNo se olvide ell!

En economía se usa mucho la ecuación 1.5 (la tasa continua) para hacer análisis; esto es así por algunas propiedades del número e.

Por ejemplo:

Donde:

y = valor final A = valor inicial

(1.7)

r = tasa continua (para simplificar, no usamos el sombrero, f', sino sólo r). t=tiempo

Si derivamos Y con respecto al tiempo. ay t - = Ae r r at

Si dividimos la derivada entre Y: ay - Aertr -ª1...=--=r y Aert

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8ioeconomía, instrumentos para su análisis económico

Así, jg; = r, la derivada de una función con respecto al tiempo,

dividida entre la función original nos da su tasas de movimiento continua. Otra propiedad:

y = Aert

Expresémosla en logaritmo natural:

lnY = lnA +rtlne

Obtengamos la derivada de In Y con respecto al tiempo. Recuerde que ellne = 1.

alnY ( ) at=r 1.8

La derivada con respecto al tiempo de una variable expresada en logaritmo natural (In) es igual a la tasa de movimiento continua, que hemos simbolizado como f', con sombrero, pero para no complicar las ecuaciones usamos r, sin sombrero.

Esta propiedad nos permite simplificar el análisis económico. En el apartado que sigue veremos varios ejemplos.

1.2. Relación entre tasas de movimiento Entender la relación que hay entre diferentes tasas de movimiento facilita mucho el análisis económico.

Por ejemplo, si tenemos:

Qt = 5 t Rt

Donde:

Q, = producción en el momento t S, = superficie cosechada en el momento t R, = rendimiento promedio por hectárea en el momento t

Nótese que todas las variables están en función del tiempo. Si obtenemos el logaritmo natural, tenemos

In Q t = In St + In Rt

Obtenemos la derivada de cada variable con respecto al tiempo

8lnQt = 8lnSt + 8lnRt

at at at

(1.9)


Como sabemos que la primera derivada con respecto al tiempo de una variable expresada en logaritmo natural es su tasa de movimiento continua r entonces:

rQ = rs + TR

La tasa de movimiento continua de la producción es igual a la suma de las tasas continuas de la superficie y de rendimiento. Nótese que las tasas continuas sí se pueden sumar, a diferencia de las tasas discretas, en las que debe multiplicarse 1 más la tasa discreta por 1 más la siguiente tasa discreta y así sucesivamente. Pero se llega al mismo resultado si se usa 1 más la tasa discreta,(f), que si se usan las continuas (f). Veamos, si existe Qz = SzRz entonces sabemos que para llegar al momento dos hubo un momento uno y tiene una tasa de movimiento discreta.

Así:

Q, = Ql(l + f Q)

S, = Sl(l + fs) R, = R1 (1 + f R )

Ql(l + f Q) = Sl(l + fs)R1 (1 + f R )

Despejando:

(1 + f Q) = (1 + fs)(l + f R )

Ya que

Sabemos que el logaritmo natural de 1 más la tasa discreta (1 + f) es

igual a la tasa'continua f: In(l + f Q) = In(l + fs) + In(l + f R )

(1.10)

Nótese que si se suman las tasas continuas, hay que multiplicar las tasas discretas por 1 más la tasa discreta por 1 más la siguiente tasa discreta. Veamos varios ejemplos de análisis usando tasas discretas y continuas.

Primer ejemplo: La producción de "X" producto agrícola puede tener tasas de crecimiento continuas satisfactorias, de 5% cada año, como se ve en el cuadro 1.6:

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30


Cuadro 1.6. Tasa de crecimiento continua anual de la producción

Periodo

1991-1995

1996-2000

2001-2005

Tasa de crecimiento continua anual de la producción

5%

5%

5%

Las proyecciones para la producción del periodo 2006-2010 seguramente serán de 5% anual, a menos que analicemos las tasas de crecimiento continuas, de la superficie y del rendimiento (cuadro 1.7);

Cuadro 1.7. Tasas continuas de superficie y rendimiento

Periodo Producción Superficie Rendimiento 1991-1995 5% 4% 1% 1996-2000 5% 1% 4% 2001-2005 5% -1% 6%


Nótese que el crecimiento de la producción primero se debe al crecimiento de la superficie, pero esto se fue revirtiendo y se logró compensar con aumentos de rendimiento debido a la inversión en infraestructura e investigación.

Si. en los últimos años no se ha aumentado lo suficiente la inversión, para sostener una tasa de crecimiento del rendimiento de 6 o más por ciento, no será de sorprender que la tasa de crecimiento de la producción baje en el próximo quinquenio. Esto es, tenemos en apariencia una producción de 5% cada año, que crece en forma constante, por lo que es muy fácil pronosticar que seguiremos con ese crecimiento. Pero si estudiamos el comportamiento de las variables fuente, como son superficie y rendimiento, entonces podemos predecir una caída en el crecimiento de la producción.


Segundo ejemplo: Se quiere proyectar el consumo de arroz para 2015. Usemos la ecuación siguiente para proyectar:

CF = Cl(l + fe)' Donde: CF = consumo final para 2015 C/ = consumo del año 2007 re = tasa de crecimiento discreta anual del consumo t = 8 años

Debido a que la tasa de movimiento, fe del consumo de arroz depende a su vez de varias variables, entonces usaremos la función de

demanda para estimar f(, Función de demanda:

Donde: C = consumo de arroz

Nye C=-ph

N = número de consumidores o habitantes y = monto de ingreso de los consumidores o habitantes p = precio real del arroz e = elasticidad ingreso del arroz (si el ingreso sube o baja en 1%, la cantidad demandada de arroz subirá o bajará en e%). h = elasticidad precio del arroz (si el precio sube o baja en 1 %, la cantidad demandada de arroz bajará o subirá en h%. Nótese la relación inversa).

Note que la elasticidad de N = número de consumidores es 1; esto es, si la población crece en 1 %, la demanda de arroz crecerá en 1 %.

Si obtenemos el logaritmo natural de la ecuación del consumo o demanda, tenemos:

In C = InN + e lny - h lnp

Todas las variables se mueven en el tiempo por lo que podemos obtener la primera derivada de cada variable expresada en logaritmos naturales con respecto al tiempo y sabemos que es igual a la tasa de

movimiento continua r. Entonces:

alnC alnN alny alnp -=--+e--h-at at at at

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re = rN + ery - hrp Nótese que las tasas de movimiento continuo quedaron ponderadas

por un factor, que en este caso son las elasticidades. La tasa de movimiento continuo del consumo Te se puede transformar en 1 más la tasa discreta, si

obtenemos el antilogaritmo de Te' Esto es porque sabemos que la relación entre la tasa continua y la

discreta es: Te = ln(l + re)

Así que el antilogaritmo natural de fe será igual a (1 + re)'

Con (1 + re) entonces podemos proyectar CF = CI(l+r,)'

En los análisis económicos es común elaborar varios escenarios posibles para hacer proyecciones. En nuestro caso, presentaremos varios escenarios donde la tasa de movimiento de los precios reales y de los ingresos reales son diferentes.

Veamos un ejemplo numérico. Si los datos son:

C/ = 550000 toneladas de arroz en el año 2007 = consumo inicial t= 8 años e = 1.2 = elasticidad ingreso h = 1.5 = elasticidad precio TN = 1.5% anual = tasa de crecimiento de la población Tp = va de -1.0% a 5.0% Ty = va de 0.0% a 3.0%

Sabemos que:

T~ = TN + eTy - hTp

Así, si elaboramos un escenario con los datos:

Tp = -0.01 Ty = 0.0 TN=0.015 e = 1.2 h=l.5

Entonces

Te = 0.015 + (1.2)0.0 - (1.5)(-0.01) Te = 0.03

El antilogaritmo de Te = 1.0304545

eO.03 = 1.0304545

La proyección será:

CF = C1(1 + Te)' CF = 550000(1.0304545)8 = 699 187

José de jesús Brambila Paz

Claro que da igual si aplicamos la fórmula de tasa continua:

CF = 550000eo.o3(8) = 699187 (la posible diferencia es por el redondeo).

Como son varias posibilidades de movimiento de los precios e ingresos, entonces formamos una matriz de escenarios (cuadro 1.8):

Cuadro 1.8. Consumo esperado de arroz para e12015, base 2007

~O PrecIo 0% 2% 3%

-1.0% 699187.03 847 184.31 932545.81

0.0% 620123.27 751 385.08 827093.94

1.0% 550000.00 666418.78 733566.52 2.0% 487806.24 591 060.44 650615.14 5.0% 340330.87 412368.88 453918.78

Se calculó de la manera siguiente:

0.015 + 1.2(0.02) - 1.5(-0.01) = 0.054 0.015 + 1.2(0.03) - 1.5(-0.01) = 0.066

CF= 550000 eO.054*8 = 847184.31 CF= 550000 eO.066*8 = 932545.81

La proyección del consumo de arroz para 2015 será de maxlmo 932545.81 toneladas, a un mínimo de 340 330.87 toneladas; todo depende del comportamiento del ingreso y del precio real.

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Si usamos las tasas discretas se llega al mismo resultado, se empieza suponiendo que hay un periodo dos:

Q _ NzYze

2 - h P, (1.11)

Para llegar al momento dos, partimos del momento 1 por 1 más la tasa de movimiento discreta. Así:

N1 Yi en

ya que -'- = 1, entonces: Q,

(1+;;) = (1 +rN)(1+ry) , Q (lHp )h

Si obtenemos el logaritmo natural de (1 + f) , que es igual a la tasa continua

ln(l + rQ) = ln(l + rN) + eln(l + ry) - h ln(l + rp)

Entonces:

(1.12)

f Q = f N + e fy - h fp es la misma ecuación usada más arriba, con tasa continua.

Tercer ejemplo

En economía es muy usada la función Cobb-Douglas para estimar la producción en función de la mano de obri'l y el capital.

y = AL"KPemt

Donde:

y = producción A = parámetro tecnológico L = trabajo K = capital M = cambio en el tiempo a = elasticidad de la producción cuando cambia el trabajo (3 = elasticidad de la producción cuando cambia el capital t= tiempo

(1.13)


Podemos obtener el logaritmo natural de las variables. Luego, como las variables están en función del tiempo, obtenemos la primera derivada con respecto al tiempo, que es la tasa de movimiento continua.

in Y = in A + a in L + (J in K + mt

Ya que In e = 1, entonces:

ainY ainL ainK --=a--+(J--+m at at at

(1.14)

La tasa de movimiento continua de la producción (ecuación 1.14) es igual a la tasa de movimiento continua del trabajo ponderada por su elasticidad (si el trabajo aumenta en 1 %, el producto aumenta en a por ciento), más la tasa de movimiento continua del capital ponderada por su elasticidad (si el capital aumenta en 1 %, el producto aumenta en ~ por ciento) más m.

¿Qué es m? Se le ha conocido como el factor "X"; esto es una serie de actividades que no podemos identificar pero sí medir su efecto. Por ejemplo, puede ser el cambio de fechas de siembra o el cambio en la profundidad para colocar la semilla o algún cambio en las labores culturales, en la incidencia de plagas, en las temperaturas; m mide un cambio que no identificamos plenamente pero sí sabemos que afecta la producción ..

Ejemplo numérico Si la producción crece en forma continua en 2%, la mano de obra es la misma, por lo que TL = O Y el capital -digamos el uso de fertilizante y plaguicidas- crece en 2% anual y supongamos que la elasticidad del capital es de 0.3 (esto es, si crece el capital en 1 %, la producción crece en 0.3%), entonces tenemos:

0.02 = a(O.O) + 0.3(0.02) + m

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-S


Por lo que m crece en 1.4% al año. Algunas personas dirían que es la tasa en la que aprendemos a producir o bien la tasa en la que ayuda el buen clima.

Las tasas de movimiento discretas (1 + f) se usan para medir; las tasas de movimiento continuo (f) se usan para hacer análisis. Nótese que las tasas miden el movimiento de una variable en el tiempo, por lo que son la base para hacer análisis dinámico.

1.3. Valor nominal, presente y real En economía es importante distinguir entre valores (o precios) nominales, presentes y reales para poder hacer análisis, pues es necesario distinguir qué significa cada valor y cuándo se pueden comparar (sumar, restar, etc.) entre ellos. Para poder estimar y entender los valores mencionados se requiere hacer uso de las tasas de movimiento explicadas anteriormente. Veamos.

7.3.1. Valor nominal

El valor nominal es el que encontramos en el mercado en cualquier día. El precio de la carne el primer jueves de enero fue de $20.00 por kilo (ése es valor nominal); el precio del pescado del último viernes de mayo fue de $22.00 por kilo (también es valor nominal); el salario mínimo diario de hace cinco años fue de $42.50 (también ése es valor nominal). Cualquier valor o precio del día (cualquier día) es nominal. Los valores o precios nominales de diferente fecha no deben compararse ni sumarse, porque tienen diferente poder adquisitivo.

7.3.2. Valor real

El valor real de un bien o servicio es igual a su valor nominal descontado (dividido) por 1 más la tasa de movimiento de todos los precios, que es la inflación. Veamos un ejemplo:

Supongamos que con mi salario sólo puedo comprar papas y que el salario nominal y el precio nominal de las papas se han comportado como en el cuadro 1.9:


Cuadro 1.9. Salario nominal y precio nominal de la papa

Salario nominal Precio nominal Año promedio mensual (kg de papa) 2003 $10000.00 $10.00 2004 $11 500.00 $8.50 2005 $12000.00 $11.00 2006 $12200.00 $12.50 2007 $12500.00 $11.50

Si el salario nominal mensual lo quiero expresar en términos de papa, sólo divido el salario entre el precio de la papa y obtengo la cantidad de las que puedo comprar con mi salario (cuadro 1.10).

Cuadro 1.10. Salario nominal en términos de papas

Año Salario/precio = kg de papas 2003 1 000.0

2004 1 352.9

2005 1 090.9

2006 976.0

2007 1 086.9


El valor real del salario (expresado en términos de papas) va de 1 000 kilos en 2003 a 1 087 kilos en 2007. Precisamente el valor real se refiere a las cosas reales, bienes y servicios que puedo adquirir. Dado que todo está en términos de papas, puedo comparar si gano más o menos en términos de papas. Nótese que el salario nominal siempre sube, pero eso no significa que gane más en términos de papas. Por eso el valor nominal de diferentes años no es comparable entre sí, pero el valor real (todo en términos de papas) sí se puede comparar.

Si mido el comportamiento del precio nominal de las papas como tasas de movimiento discretas, tendríamos (1 + r); entonces los resultados serían como se muestra en el cuadro 1.11.

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Cuadro 1.11. Tasa de movimiento discreta del precio nominal de la papa

Año Precio nominal (1 + tasa de

f (restando el uno) (kg papa) movimiento)

2003 10.0 8.5

=0.85 2004 8.5 10

-0.1500 = -15%

11 =1.2941

2005 11.0 8.5 0.2941 = 29.41 %

2006 12.5 12.50 = 1.1364 0.1364 = 13.64%

11 11.50

=0.92 2007 11.5 12.5

-0.0800 = -8.00%

Nótese que la columna tres es el resultado de (1 + r). Fuente: elaboración propia.

Si el salario nominal lo divido entre 1 más las tasa de movimiento de los precios de la papa de cada año (por ejemplo para 2006 divido entre 1 más la tasa de 2004, por 1 más la tasa de 2005, por 1 más la tasa de 2006), los resultados serían el salario real en pesos de 2003. Esto es, la base de comparación es el 2003 (cuadro 1.12).

Cuadro 1.12. Salario real en términos de papas

Año Salario promedio 1 + tasa de

Salario real en pesos 2003 mensual nominal crecimiento

2003 $10 000.00 1.0000 $10000.00

2004 $11 500.00 0.8500

11500 $13 529 = o:ss

2005 $12000.00 1.2941

12000 $10909 = (0.85)(1.2941)

2006 $12200.00 1.1364

12200 $9760 = (0.85)(1.2941)(1.1364)

12500

2007 $12500.00 0.9200 $10869 = (0.85)(1.2941)(1.1364)(0.92)

Nótese que en la columna cuatro el salario nominal se divide entre (1 + f 1 )(1 + Tz) según los años. Fuente: elaboración propia.


Teniendo el salario real en pesos de 2003, puedo expresarlo en kilos de papas si lo divido entre $10 (el precio del kilo de papas en 2003), que es el mismo resultado anterior del cuadro 1.10.

10000 ----w- = 1 000 kilos

13 529 --= 1352.9 kilos 10 ..

10909 ----w- = 1 090.9 kilos

9769 10 = 976.0 kilos

10869 ----w- = 1 086.9 kilos

También note que hemos aplicado la ecuación 1.1 del apartado 1.1:

VF = VI(l + r1)(1 + r2)(1 + r3 )(1 + r.) El valor final es el valor nominal del año; si lo quiero hacer real (que es

el valor inicial), lo divido entre 1 más la tasa de movimiento de los precios.

VF

(1 + r1)(1 + r2)(1 + r3 )(1 + r.) VI

Por ejemplo, el último año el salario hominal fue de 12500 pesos; lo divido entre 1 más la tasa del movimiento discreta de los precios por 1 más la tasa del movimiento discreta de los precios siguiente y así sucesivamente. Así, obtengo el salario real: 10 869 pesos reales de 2003.

12500 -;:::-c=-;:-c::::-:-:-cc;:-;-;:-::-~::-::c:::- = 1 O 869 (0.85) (1.2941) (1.1364)(0.92)

Ahora, en la economía no sólo hay papas sino miles de productos y servicios que puedo adquirir con mi salario. ¿Cuál sería mi salario real en relación con todas las cosas?

Primero se forma un indicador del precio de las cosas. Esto lo hace el Banco Central (el Banco de México) cuando registra el precio de una canasta de

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cosas (esta canasta contiene mucho más productos y servicios que la canasta básica) y forma el índice Nacional de Precios al Consumidor (lNPC), mejor conocido como el índice de inflación. Éste es el precio de las cosas. Así, puedo calcular el salario real, no en términos de papa, sino en términos de cosas. Si se divide el salario nominal entre el precio de las cosas (el índice) y se multiplica por 100, se obtiene el salario real. Los cálculos se muestran en el cuadro 1.13.

Cuadro 1.13. Salario real en relación allNPc (base 2003)

Año Salario promedio

INPC Salario real a

mensual nominal erecios de 2003

2003 $10000.00 100 $10 000 = 10 000 100 100

2004 $11 500.00 105 $10952 = 11500 100 105

2005 $12000.00 108 $11 111 = ~2000 100 108

2006 $12200.00 112 $10 893 = 12 200 100 112

2007 $12500.00 116 $10 776 = 12500100 116


El salario real me permite saber si puedo comprar más o menos cosas; los valores reales sí pueden compararse porque tienen una base, que en el ejemplo son los valores y los precios de 2003. Los valores nominales de diferentes años (o periodos) no deben compararse.

El mismo resultado se obtiene si el salario nominal se divide entre 1 más la tasa discreta del crecimiento de precios de cada año. Nótese que la tasa discreta es el crecimiento discreto de los precios; esto es, la inflación (1 + n), donde n es el crecimiento porcentual de los precios en el año (o el periodo). Los cálculos con este otro método se muestran en el cuadro 1.14:


Cuadro 1.14. Salario real calculado con tasas de crecimiento discreta del INPC base 2003

Salario 1+tasa Año

promedio INPC discreta Salario real a precios de 2003

mensual nominal

anual

2003 $10000.00 100 1.0000 $10 000 ~ 10000 -

1

2004 $11500.00 105 1.0500 $10 952 ~ 11500

(1)(1.05)

2005 $12000.00 108 1.0286 $11 1l1~- ~OOO_ (J)(1.05)(1.0286)

$12200.00 12200

2006 112 1.0370 $10893~- - - - -(1)(1.05)(1.0286)(1.0370)

2007 $12500.00 116 1.0357 12500

$10776~- - - - .-(1)(1.05)(1.0286)(1.0370)(1.0357)


Nótese que el crecimiento de los precios de 2003 a 2004 fue de 5%; de 2004 a 2005 fue de 2.86%; la inflación de 2005 a 2006 fue de 3.7% y de 2006 a 2007 fue de 3.57%. También note que los resultados son iguales si dividimos entre el índice de inflación, ya que éste va acumulando la tasa de crecimiento de cada año.

La tasa de crecimiento de los precios de 2003 a 2007 fue de 116 = (1 + 0.16), 16 por ciento. Si se suma la inflación de cada año, la tasa 100 .

discreta de cada año 5 + 2.86 + 3.70 + 3.57 = 15.13%, subestimamos la inflación verdadera del periodo, porque -como se explicó anteriormente- las tasas discretas no se suman porque tienen bases distintas; el resultado correcto se obtiene si se multiplica 1 más la tasa discreta por 1 más la tasa discreta del siguiente año y así sucesivamente:

(1 + 0.05)(1 + 0.0286)(1 + 0.0370)(1 + 1.0357) = 1 + 0.16.

Ahora, es común calcular los valores reales tomando como base varios años atrás. En nuestro ejemplo, la base es de 2003, pero es más comprensible para quien hace el análisis si la base es el año más reciente, por ejemplo, 2007. Con una simple regla de tres puede moverse la base. En el cuadro 1.15 se hacen los cálculos para cambiar la base a 2007 y 2005. Para

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2007 sólo se hace la regla de tres: 116 es a 100 como 112 es a "x", para calcular el índice del 2006.

112 * 100 116 = 96.55

Para el dato de 2005, con base en 2007, será 116 es a 100 como 108 es a IIXIl.

108 * 100 116 = 93.10

Nótese que la base es la misma (116) para tener todo a precios de 2007. Si quiero tener la base a precios de 2005, hago la regla de tres pero con la base de 108. Para calcular el índice de 2007 con base en 2005 hago la regla de tres: 108 es a 100 como 116 es a "x".

116 * 100 108 = 107.41

Para 2006, con base en los precios del 2005:

112 * 100 108 = 103.70

El cambio de base no altera la tasa de crecimiento discreta de los precios. Véase cuadro 1.15 para los cálculos de cambio de base y tasa de movimiento discreta anual.

Cuadro 1.15. Cambio de base y tasa de movimiento discreta anual dellNPc

Año INPC INPC INPC 1 + tasa discreta

(base 2003) (base 2007) (base200S) dellNPc

2003 100 86.21 92.59 1.0000

2004 105 90.52 97.22 1.0500

2005 108 93.10 100.00 1.0286

2006 112 96.55 103.70 1.0370

2007 116 100.00 107.41 1.0357



Nótese que la tasa de movimiento del salario real es la misma, no importa la base. El salario real cambia en monto pero el movimiento -la tasa de movimiento- es igual. En el cuadro 1.16 se muestran los salarios reales en diferentes años base y la tasa de crecimiento discreta es la misma.

Cuadro 1.16. Salario real con diferentes años base y tasa discreta de crecimiento

Año Salario real Salario real 1 + tasa discreta de (base 2003) (base 2007) crecimiento del salario

2003 $10000 $11 600 1.0000

2004 $10952 $12704 1.0952 2005 $11 111 $12889 1.0145 2006 $10893 $12636 0.9804

2007 $10776 $12500 0.9893

Fuente: elaboración propia

1.3.3. Valor presente El valor presente es igual al valor nominal descontado (dividido) entre 1 más la tasa de movimiento del precio del dinero o la tasa de interés bancaria.

Veamos un ejemplo: Supongamos que en el 2003 se depositaron en el Banco $10 000.00 Y

cada año se vuelve a reinvertir capital e intereses. El cálculo para la acumulación del capital se muestra en el cuadro 1.17.

Cuadro 1.17. Cálculo de la acumulación de capital

Año Capital Tasa de

Operación acumulado interés (%)

2003 $10000.00

2004 $10500.00 5 10500.10000(1+0.05)

2005 $11130.00 6 11130·10000(1+0.05)(1+0.06)

2006 $11853.50 6.5 11853.5·10000(1+0.05)(1+0.06)(1 +0.065)

2007 $12446.12 5 12446.12 ·10 000(1+ 0.05)(1 + 0.06)(1 + 0.065)(1 + 0.05)


43

l4


Ahora, supongamos que los S 1 O 000.00 se invierten en un proyecto que tiene un flujo nominal de efectivo anual (ingresos-costos) como se señala en el cuadro 1.18 y el flujo se reinvierte en el negocio.

Cuadro 1.18. Cálculo del valor nominal del proyecto

Año Inversión Flujo de Valor nominal del (proyecto) efectivo proyecto

2003 $10000.00 $10000.00 2004 $ 750.00 $ 10750.00 2005 $ 700.00 $ 11 450.00 2006 $ 650.00 $ 12 100.00 2007 $ 600.00 $ 12 700.00

El valor presente del proyecto es el valor nominal dividido entre 1 más la tasa de interés de cada año. El cálculo es como se muestra en el cuadro 1.19:

Donde: VN = valor nominal VP = valor presente

VN VP = --~-~---

(1 + r1)(1 + r 2)(1 + r3 ) •••

r = tasa de interés anual

Cuadro 1.19. Cálculo del valor presente del proyecto

Año

2003

2004

2005

2006

2007

Valor presente

10000

10238.1 10750

(1 + 0.05)

10287.5 = 11450 (1 + 0.05)(1 + 0.06)

10 208.0 = __ 12100 (1 + 0.05)(1 + 0.06)(1 + 0.065)

10204.0 12700

(1 + 0.05)(1 + 0.06)(1 + 0.065)(1 + 0.05)



¿Cómo se interpreta el valor presente? Es lo que hubiera necesitado depositar en el banco en 2003 para

tener un flujo como el del proyecto. Necesitaría haber depositado en el banco $10 238.1 en 2003, para tener un valor igual al del proyecto de $10 750.00 en 2004; depositar en el banco $10 208.00 en 2003 para tener un valor igual al de $12 100.00 en 2006 y así en cada año. En este ejemplo, en todos los casos conviene invertir en el proyecto, ya que sólo requiero $10 000.00 en 2003 para obtener los flujos de efectivo señalados; en cambio, hubiera requerido depositar más de $10 000.00 en el banco para tener un flujo similar: se habrían requerido $10 204.00 en 2003, para tener un capital de $12 700.00 en el banco en 2007.

En el ejemplo anterior se tiene el supuesto implícito de que la inversión en el proyecto y el capital depositado en el banco no tienen riesgo.

Si consideramos que el proyecto es más riesgoso que tener el dinero en el banco o representa un riesgo mayor que cero, entonces la tasa de descuento que se usa será 1 más la tasa de interés bancaria al ahorrador, más los puntos de riesgo que se quiera agregar. Supongamos que el riesgo lo calculamos en 3% (esto es, que de cada 100 pesos en el negocio puedo perder 3). Así, la tasa de descuento con riesgo que se usa para calcular el valor presente será como en el cuadro 1.20.

Tasa de descuento con riesgo = 1 + 0.5 + 0.3 = 1 * 0.08

Valor presente con riesgo para el dato del año 2004:

10750 -:-:---::-;c=-:---;:-= = 9 953.7 O 1 + 0.05 + 0.03

Valor presente con riesgo para el dato del año 2005:

11450 (1 + 0.08)(1 + 0.09) = 9 726.46

4S

46


Cuadro 1.20. Cálculo del valor presente del proyecto con tasa de descuento que incluye riesgo

Año Inversión

2003 $ 10000.00

Flujo nominal

2004 $ 750.00

2005 $ 700.00

2006 $ 650.00 2007 $ 600.00

Valor nominal de I proyecto

$ 10 000.00

$ 10 750.00

$ 11 450.00

$ 12 100.00 $ 12700.00


Tasa de descuento con

riesgo (%)

8.0

9.0

9.5 8.0

Valor presente

$ 9 953.70

$ 9 726.46

$ 9 386.87 $ 9 122.54

Esto quiere decir que con un riesgo de 3% agregado a la tasa de interés, no conviene invertir en el proyecto; es mejor depositar en el banco, pues para tener 12 700 pesos en 2007, se requeriría haber invertido en el banco sólo 9 122.54 en 2003, mientras que el proyecto requiere de 10 000 pesos 2003. Conviene depositar en el banco y no invertir en el proyecto.

¿Cuál sería el flujo nominal mínimo (ingresos-costos) que se requiere en el proyecto para que, tomando en cuenta el riesgo, sea indiferente a depositar en el banco?

El capital multiplicado por la tasa de descuento (que es la tasa de interés más el riesgo) de cada año nos da el flujo nominal mínimo que se requiere. Los cálculos se muestran en el cuadro 1.21.

Cuadro 1.21. Cálculo del flujo nominal

Año Inversión Flujo nominal

2003 10000

2004 10000(1 + 0.08) =10800 $800.00

2005 10000(1+ 0.08)(1+ 0.09)= 11772 $972.00

2006 10000(1 + 0.08)(1 + 0.09)(1.095) =12 890.34 $1118.34

2007 10000(1 + 0.08)(1 + 0.09)(1.095)(1 + 0.08) =13921.57 $1 031.23


Estos son los flujos nominales mínimos que requiero tener en el proyecto para ser indiferente depositar en el banco (sin riesgo) o en el negocio (con riesgo).

7.3.4. La tasa de interés nominal y real Para hacer un análisis económico o financiero y para evaluar un proyecto se requiere tomar en cuenta el valor real y presente del dinero. El dinero, como cualquier mercancía tiene un precio.

El precio nominal del dinero es 1 más la tasa de interés nominal. (1 + i) = precio nominal del dinero

Si pido prestado o presto 1 peso, su precio será (1 + i), donde i es la tasa de interés. Si te presto 1 peso a 2%, me regresas 1.02 pesos. Ése es el precio del dinero.

Como cualquier precio nominal, si lo dividimos entre 1 más la inflación obtendremos el precio real del dinero y la tasa de interés real.

El precio real del dinero y la tasa de interés real se obtienen con la fórmula de Fisher:

1+i = 1 + r (Ecuación de Fisher) 1+rr

Donde:

(1 + i) = precio nominal del dinero i = tasa de interés nominal 1 + n = índice de inflación n = tasa de inflación 1 + r = precio real del dinero r = tasa de interés real

(1.1 S)

Por ejemplo, si la tasa de interés nominal y la tasa de inflación son como se describe en el cuadro 1.22:

47

48


Cuadro 1.22. Tasa de interés nominal y tasa de inflación

Año Tasa de interés nominal (%) Tasa de inflación (%)

2003 5

2004 6 3

2005 6.5 3.5

2006 5 3.8

2007 3 Fuente: elaboración propia.

Entonces puede calcularse el precio real del dinero (1+r) y la tasa de interés real como se describe en el cuadro 1.23:

l+i --= l+r l+rr

Cuadro 1.23. Cálculo del precio del dinero y de la tasa de interés real

Precio real del Interés Tasa de Inflación interés real

Año l+i l+rr dinero nominal n(%) anual

l+r i (%) r(%)

2003 1 +0.05

2004 1 +0.06 1 + 0.03 1+ 0.0194 5 3 1.94

2005 1 +0.065 1+0.035 1 +0.0242 6 3.5 2.42

2006 1 +0.05 1 +0.038 1 +0.0260 6.5 3.8 2.60

2007 1 +0.03 1 + 0.0194 5 3 1.94


El lector notará que la tasa de interés es de un año y la inflación es de otro . . Esto se debe a que la tasa de interés es a futuro (lo que el banco nos va a dar si dejamos el dinero, digamos, un año) y la inflación siempre se calcula en función de lo que ya pasó. Así, por ejemplo, si deposito en junio de 2003 y me ofrecen una tasa de interés por dejar el dinero un año, es una proyección a futuro y la inflación es lo que ya pasó de junio de 2003 a junio de 2004. Así,

José de Jesús 8rambila paz

los tiempos se igualan cuando cobro los intereses y ya pasó la inflación, esto es junio de 2004.

El precio real del dinero (1 + r) y la tasa de interés real (r) son calculadas para cada año. Si queremos saber cuál es el precio real y la tasa real para todo el periodo, se calcula de la manera siguiente:

(1 + 0.05)(1 + 0.06)(1 + 0.065)(1 + 0.05) 1.2446 =

(1 + 0.03)(1 + 0.035)(1 + 0.038)(1 + 0.03) 1.1398

(1 + i , )(l + iz)(l + i 3)(1 + i4 ) = (1 +n,)(l +nz)(l +n3)(1 +n4 )

(1 + rt) = 1.0919 precio real del dinero rt = 9.19% tasa de interés real para todo el periodo

Equivale a hacerlo con 1 más la tasa real, por 1 más la tasa real siguiente y así sucesivamente.

(1 + 0.0194)(1 + 0.0242)(1 + 0.0260)(1 + 0.0194) = 1.0919

rt = 9.19%

La ecuación de Fisher (1.15) la podemos despejar de dos maneras.

l+i --=l+r l+n

La primera:

(1 + i) = (1 + r)(l + n) ( 1.16)

Nótese que el precio nominal del dinero (1 + i) está compuesto por dos partes, 1 más la tasa de interés real (1 + r) y 1 más la inflación (1 + n). La segunda:

i=r+n+rn (1.17)

49

50


Nótese que la tasa de interés nominal tiene dos papeles importantes que jugar. Primero, un "premio" por no gastar el dinero ahora, r (es el "premio" al ahorro o también el "pago" que tengo que hacer por un crédito), y, segundo compensar el valor adquisitivo del dinero por la inflación rr. El tercer elemento es el efecto composición de ry rr.

Supongamos que la tasa de interés real es igual a r = 5% cada año. Sin embargo, la inflación rr aumenta cada año, entonces la tasa de interés nominal aumentará cada año. Véanse los cálculos en el cuadro 1.24.

Año

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Cuadro 1.24. La tasa de interés nominal y la inflación Tasa de interés Efecto

real Inflación

rr (%) composición r (%) rrr(%)

5 O O

5 3 0.15

5 3.5 0.18

5 4 0.20

5 5 0.25

5 10 0.50


Tasa de interés nominal í=r+ll+rll(%)

5.0

8.15

8.68

9.20

10.25

15.5

También se obtiene usando tasas discretas; por ejemplo, para 2004, se calcula:

(1 + 0.05)(1 + 0.03) = (1 + 0.0815)

Alguien atento podría preguntarse, ¿por qué estamos sumando las tasas discretas, si dijimos que se multiplica 1 más la tasa discreta por 1 más la tasa discreta siguiente? La respuesta es que el efecto composición corrige la subestimación de la misma.

(1 + r1)(1 + rz) = 1 + r1 +rz + r1r Z

(1 + i) = (1 + r)(l + rr) = 1 + r + rr + rrr = (1 + i)

í=r+rr+rrr

Para poder comparar las tasas de interés en diferentes países o en distintos años, tiene que calcularse la tasa de interés real. Ya que la tasa


nominal incluye inflación, y si ésta es diferente en los países o tiempos entonces no puede compararse. Al igual que con el salario nominal o precios nominales, éstos no pueden compararse: hay que obtener los salarios reales, los precios reales y la tasa de interés real para compararlas.

Ejemplo: La tasa de interés nominal bancaria en Venezuela es de 20%, en

México es de 6% y en Japón es de 3%. No debe compararse porque detrás de la tasa de interés nominal está

la inflación; sólo pueden compararse si se calculan las tasas de interés real.

Si la inflación en Venezuela es de 25% anual; en México, de 4%, y en Japón, de 0%, entonces la tasa de interés real por país se calcula como en el cuadro 1.25.

México

1.06 = 1.0192 1.04

1.0192 -1 = 0.0192

Cuadro 1.25. Cálculo de la tasa de interés real por país

País

Venezuela México Japón

* (2.:':i.) -1 = r l+n

Tasa de interés nominal

20% 6% 3%

Tasa de inflación anual 25% 4% 0%


Tasa de interés real * -4.0% 1.92% 3.0%

Nótese que cuando la tasa de inflación es superior a la tasa de interés nominal provoca que la tasa de interés real (el "premio al ahorro") sea negativa o que el cobro por un crédito tenga un subsidio financiero. En la economía sí hay tasas de interés reales negativas, lo que no hay son tasas de interés nominales negativas.

En finanzas se usa frecuentemente el término tasa de interés (nominal) efectiva. Esto se debe a que es costumbre de los bancos dividir la

51

S2


tasa de interés nominal entre el número de periodos en los que espera capitalizar. Esto es, por ejemplo, dividir la tasa de interés nominal entre doce (meses) esperando capitalizar anualmente. Pero esto provoca una distorsión.

Capitalización anual

(1 + 0.05)1 = (1+ 0.05)

Capitalizando semestralmente

( 1 + o.;sr = (1 + 0.050625)

Capitalizando trimestralmente

( 1 + o.~st = (1 + 0.05095)

Capitalizando mensualmente

(1 + o~~st = (1 + 0.05116)

Capitalizando continuamente

é05= (1 + 0.05127)

i = 5%

i = 5.063%

i = 5.095%

i=5.116%

i=5.127%

Así que, la forma de operar la capitalización hace una diferencia: a tasas bajas, la distorsión no es mucha, pero a tasas altas o con montos de capital grandes la diferencia es considerable.

(1 +0.80)1 = (1+0.80) i = 80%

( 1 + 0.80)12 = (1 + 1.16943) . 12

i = 116.94%

eOBO= (1 + 1.2255) i = 122.55%

Si alguien ahorra a una tasa de interés de 80% y al final-por la capitalización mensual- le dan intereses de 116.94, se alegra, pero cuando es un crédito y cree que de intereses va a pagar 80 pesos y por la capitalización mensual le cobran 116.94, entonces se siente que lo estafan.

Entender el "juego" entre la tasa de interés nominal, la inflación y la tasa real es de importancia fundamental en la toma de decisiones. Revisemos algunos casos que ejemplifican cómo hacer análisis económicos utilizando los instrumentos y conceptos hasta aquí presentados.


Ejemplo: En la década de 1980, en México una buena parte de los ahorradores

tuvieron una confusión entre tasa nominal y real. Era común escuchar a la gente decir: "vende tu patrimonio (terreno, animales o negocio), deposítalo en el banco y puedes vivir muy bien de los intereses".

Supóngase que alguien vendió su patrimonio en esos años de elevada inflación y, por tanto, de elevadas tasas de interés nominal. Para hacer didáctico el ejemplo, considérese una tasa de interés nominal de 100% = i anual y una tasa de inflación de 100% = 1T anual. Según la ecuación

1.15 (la fórmula de Fisher), 1+i = 1+1 = 1 + O, r = O, la tasa real es cero. iNo l+n 1+1

hay interés real, no hay intereses de los que se pueda vivir cómodamente! Veamos qué ocurrió.

Deposito el año O mi patrimonio de $1 000.00; supongamos que el precio de una manzana es de $1.00, entonces mi capital es de 1 000 manzanas (en términos reales). Si a lo largo de 5 años consumo los intereses nominales, entonces -y dado que no hay intereses reales- lo que verdaderamente estoy consumiendo es mi patrimonio, como se muestra en el cuadro 1.26 y figura 1.3.

Cuadro 1.26. Comportamiento del patrimonio ejemplificado en manzanas

i= 100% rr= 100% r=O% Concepto Año O Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 AñoS

Capital nominal $1000 $1000 $1000 $1000 $1000 $1000 Interés nominal $1000 $1000 $1000 $1000 $1000

Precio de la $1 $2 $4 $8 $16 $32 manzana

Consumo en 500 250 125 62.5 31.25 manzanas

Saldo del patrimonio en

1000 500 250 125 62.5 31.25 manzanas al final de cada año


Nótese: • El capital nominal permanece igual en términos nominales, pero su

poder de compra (patrimonio) se desploma. El patrimonio real (en manzanas) se desploma.

53

54


• El precio de la manzana se dobla en términos nominales cada año, ya que la inflación es den = 100%.1(1 + 1) = 2, 2(1 + 1) = 4 ...

• El interés nominal se mantiene igual ($1 000.00) cada año, ya que el capital nominal permanece igual y la tasa de interés nominal es de i=100%. Pero el poder de compra va disminuyendo (el consumo de manzanas se desploma).

• Como no hay interés real. el consumo en términos de manzanas no puede rebasar las 1 000 unidades. En el año 5 ya lleva consumidas 968.75 manzanas. El consumo se va haciendo asintótico a cero a lo largo del tiempo; la suma del consumo tiene como límite 1 000 manzanas. En apariencia -esto es en términos nominales- se tiene el mismo capital e intereses cada año, pero el fenómeno real es que se gasta (consume) el patrimonio y en el último año ya casi no queda nada.

Figura 1.3. Comportamiento del patrimonio ejemplificado en manzanas

Manzanas 1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

O

1 2 3 4 5 6


• Lo que se consumió fue el patrimonio. Al no alcanzar los intereses para vivir cómodamente, las familias se dieron cuenta de su error, con todas las consecuencias. Por ejemplo, gente que ya se había retirado, empezó a buscar trabajo de lo que fuera.


Otro ejemplo: En la misma década de 1980, se presentó una situación contradictoria

entre las empresas (descapitalizadas), los accionistas (con buenas utilidades) y el fisco (con buena recaudación). Veamos un ejemplo didáctico de lo que estaba pasando.

Supongamos que tenemos una empresa que fabrica muebles en un escenario sin inflación (cuadro 1.27).

Cuadro 1.27. Contabilidad en escenario sin inflación

Concepto

Materia prima (costo y materias primas) Mesa (ingreso) Utilidad bruta Impuesto (tasa de 50%) Utilidad neta


Total $ 100.00 120.00 20.00 10.00 10.00

Ahora, supongamos que entre la compra de la materia prima y la venta de la mesa hay un periodo donde se presenta una inflación de n = 100% (cuadro 1.28)

Cuadro 1.28. Contabilidad en escenario con inflación

Concepto

Materia prima (costo y materias primas) Mesa (ingreso) Utilidad bruta

Impuesto (tasa de 50%) Utilidad neta


Nótese que

Total

$100.00 $240.00 = [120(1+rr)]

$140.00 $70.00 $70.00

• La utilidad neta real de los accionistas pasó de $10.00 (escenario sin . fl ") 70 70 35 ( . . fl " ) A' I In aClon a -=-= escenario con In aClon. SI que, os

l+TT 1+1 accionistas reciben, en términos reales, más utilidades.

• El fisco, que recibe $10.00 reales en impuestos (escenario sin

inflación), luego recibe ~ = ~ = 35 pesos reales (escenario con 1+n 1+1

inflación); hay una mayor captación fiscal.

55


• El problema está en que a la empresa no le alcanza al ir a comprar más materia prima. Esto se debe a que más de 58% de los ingresos ($240.00) se repartieron en utilidades ($70.00) y fisco ($70.00); para continuar el ciclo productivo quedaron tan solo $100.00, pero la materia prima (con una inflación de 100%) ahora cuesta $200.00. Así, para seguir el ciclo productivo habrá que pedir prestados $ 1 00.00. El resultado es el siguiente: empresarios ricos, fisco contento y empresas endeudadas.

Hasta finales de la década de 1980 se corrigió la contabilidad con la publicación del boletín de B-10, donde se permite y especifica la forma de realizar ajustes por inflación a los estados financieros (cuadro 1.29).

Cuadro 1.29. Contabilidad en escenario con boletín 8-10

Concepto

Materia prima (costo y materias primas) Mesa (ingreso) Utilidad bruta Impuesto (tasa de 50%) Utilidad neta

Nótese que:


Total

$200.00 = [1 00(1 +TT)] $240.00 $40.00 $20.00 $20.00

• La utilidad neta real (2'!... = 10) regresó a los niveles de los 1+1

escenarios sin inflación.

• Los impuestos reales (2'!... = 10) regresaron a los niveles de los 1+1

escenarios sin inflación. • De los ingresos por venta ($240.00) se restan $20.00 de utilidades y

$20.00 de impuestos y quedan $200.00, que son exactamente los que aumentan el precio de la materia prima en el escenario con inflación.


Llama la atención que en esos años quienes se oponían a la corrección del boletín B-10 eran las secciones de gobierno que ejercen el gasto; esto es entendible porque se reducía la captación fiscal real.

Otro ejemplo: Siempre ha sido tentador para la autoridad bajar las tasas de interés

nominales por decreto, pero esto ha causado fuertes distorsiones en la toma de decisiones.

Veamos: Un buen proyecto de bienes y servicios que agregan valor puede

fracasar por un mal financiamiento. Un mal proyecto que no puede adicionar valor con ninguna forma financiera se vuelve un buen proyecto. Pero nos podemos engañar, si con el financiamiento transferimos al proyecto recursos reales y los contabilizamos como si fueran parte del valor que agrega este proyecto. Es este caso, el verdadero "negocio" es el financiamiento y no la producción de bienes y servicios. Para explicarlo mejor, hagamos algunos ejercicios.

Escenario 1: El personaje A pide una manzana prestada y promete regresarla después de un año. Al año cumple y no hay problema. Véanse los datos siguientes.

Año Año O 1

1 manzana (prestada) 1 manzana (regresada)

El personaje B pide una manzana prestada o su equivalente que es un peso (el precio de la manzana) y promete regresarlo después de un año. Al año cumple y no hay problema.

Año O

1 manzana (prestada) 1 peso (prestado)

Escenario 2:

Año 1

1 manzana (regresada) 1 peso (regresado)

El personaje e pide una manzana prestada y promete regresarla con 10% adicional. Al año cumple.

57

58


Año O

1 manzana (prestada)

Año 1

1.1 manzanas (regresadas)

El personaje D pide una manzana prestada o su equivalente -1 pesoy promete regresarla con 10% adicional. Al año cumple.

Año O


Año 1

1.1 manzanas (regresadas) 1.1 pesos (regresados)

Ahora para explicar mejor la transferencia de recursos, se incluyen una inflación de 5% anual y una tasa de interés real de 10%, por lo que la tasa de interés nominal será de 15.5%.'

Escenario 3: El mismo personaje A pide una manzana después de un año. Al año cumple.

Año O

prestada y promete regresarla

Año 1

1 Manzana (prestada) 1 Manzana (regresada) El personaje B pide prestada una manzana o su equivalente en pesos y

promete regresarlo después de un año. Ahora hay una inflación de 5%. Al año cumple.

Año O


Año 1

1 manzana (regresada) 1.05 pesos (regresados, porque es el precio de

la manzana, con una inflación de 5%)

I La tasa de interés nominal se cala.Jla con la ecuación de Fisher: 1+i =l+r 1+.

(1.15)

(1.17) Donde: n = inflación

r = tasa real i = tasa nominal

i =r+n+rn


Escenario 4: El personaje e pide una manzana prestada y promete regresarla con 10% adicional. Al año cumple.

Año O


Año 1

1.1 manzana (regresada)

El personaje D pide una manzana prestada o su equivalente en pesos y promete regresarla con 10% adicional, que es el interés real. Ahora hay una inflación de 5%. Al año cumple.

Año n=0.05 Año 1 O


1 peso (prestado)

1.1 manzanas (regresadas) 1.155 pesos (regresados, porque incluye la

inflación de 5% y el 10% adicional)

Hasta aquí no hay problema, y se paga 10% por pedir prestado y 5% para recuperar el poder adquisitivo del dinero.

Escenario 5: El personaje D pide una manzana prestada o su equivalente en pesos y se le fija una tasa de interés preferencial de sólo 2% -porque es productor agrícola de básicos-o El escenario sigue siendo con una inflación de 5%. Al año cumple.

n=0.05 Año

i=0.02 Año

O 1 peso (prestado) 1.02 pesos (regresados)

Pero veamos qué pasa, en términos reales, si el precio de la manzana subió 5%.

Año O


Año 1

1.02 pesos (regresados)

1.05 pesos (precio de la manzana) 0.97 manzanas

59

60


iPedir prestado le redituó 3%, pues sólo devuelve 97% de manzana y no la manzana completa! El proyecto no es rentable, pero el que pide prestado gana 3% y cree que es por su proyecto.

Escenario 6: Un escenario extremo pero que sucedió en México, es cuando la inflación llega a 100% Y se fija una tasa de interés nominal preferencial de 14%.

Año

O

1 peso (prestado)


ll~ 1.0 i~0.14 Año 1

1.14 pesos (regresados)

1.14 pesos (regresados) 0.57 manzanas

2.00 pesos (precio de la manzana)

iPedir prestado reditúa 43%, ya que sólo se devuelve 57% de la manzana y no la manzana completa! El deudor (productor agropecuario) piensa que es un excelente empresario porque el proyecto es muy rentable. Se queda con 43% de la manzana que pidió prestada

Si vemos este último escenario desde el punto de vista del ahorrador, éste deposita una manzana o su equivalente en pesos en el banco y al cabo de un año le devuelven 1.14 pesos, que equivale a 0.57 manzanas, por depositarlo perdió el equivalente a 0.43 de su manzana.

Asi, pedir prestado reditúa, pero para ahorrar se producen pérdidas. Esta forma de operar tiene que explotar por fuerza, porque el problema de raíz es que el proyecto de bienes y servicios no agrega valor; transferirle recursos vía financiamiento sólo dilata una solución verdadera al proyecto. Entonces, hay que reinventar y redireccionar el financiamiento (no sólo el crédito) porque la forma actual de hacerlo en México se ha vuelto un ancla que no permite pasar de una agricultura "vieja" a una "nueva". El financiamiento tradicional encubre la falta de rentabilidad del proyecto real.

Otro ejemplo: En muchos paises se acostumbra financiar (aportar el dinero

necesario para alcanzar un objetivo) a los productores agrícolas con créditos a tasas preferenciales, con subsidios directos, con tasas fiscales bajas, con


precios de garantía por encima de los de mercado, con precios reducidos por los insumas y servicios que utilizan, entre otros apoyos.

En México, en 2003, la suma gruesa de los apoyos al sector agropecuario representó 80% de su producto intemo bruto. Esto es, por cada peso de valor que agregó el sector, recibió un equivalente de 80 centavos de los apoyos. Muy poco de estos apoyos va a la capitalización del sector, la mayoría va al capital de trabajo, al gasto corriente y al gasto familiar.

En el caso de México el problema, que se tiene en el sector agrícola puede ejemplificarse de la manera siguiente:

Supongamos que existe una empresa agrícola que en el año cero es rentable, pero requiere apoyos para poder crecer. Los datos del arranque son los siguientes:

Empresa agrícola

Datos año O (cero) Precio de venta Rendimiento (ha) Costo de producción

$20.0/tonelada 2 toneladas $1 O.O/tonelada

Estado de resultados año O (cero) Ingreso Costos (-) Utilidad (~) Apoyo*(+) Ingresos netos (~)

40 pesos 20 pesos 20 pesos 20 pesos 40 pesos

*Apoyo vía financiamiento, subsidio, fiscal, precios del producto o de 105 insumos, etcétera.

Ahora, en el año 1 los precios han bajado, el rendimiento no ha crecido lo suficiente para compensarlo y los costos, en el mejor de los casos, han bajado un poco.

Datos año 1

Precio de venta $10.0/tonelada Rendimiento (ha) 2.5 toneladas

Costo de $9.0/tonelada

producción

Estado de resultados año 1

Ingreso

Costos (-)

Utilidad (~)

Apoyo* (+)

Ingresos netos (~)

25 pesos

22.5 pesos

2.5 pesos

20 pesos

22.5 pesos

61

62


iLa caída de los ingresos es de 43.8%! iVa no alcanza para sostener a la familia!

Así, se exige más apoyo (subsidio). Supongamos que se decide aumentar este apoyo en 80%: ahora será de 36 pesos y el ingreso neto de 38.5 pesos (2.5 utilidad + 36 apoyo); es decir, menos que en el primer escenario en el cual el ingreso neto fue de 40 pesos, por lo que, a pesar del aumento en los apoyos, sigue sin alcanzarle al productor.

Sería conveniente que el productor cambiara de cultivo por uno de mayor valor. Pero si lo hace, pierde el apoyo' (subsidio), que es parte importante de su ingreso.

Así, el apoyo se convirti!J en un estímulo perverso, pues no le permite al productor "reconvertirse" y cultivar otros productos, que podrían ser maíz con más almidón, frijol con más hierro o estos mismos cultivos con una mayor diferenciación.

Si cambia de productos, además de perder el apoyo, es más riesgos o iniciar nuevos cultivos, no sólo por la falta de experiencia, sino por el desconocimiento de las tendencias del mercado, como en el caso de la individualización de la producción (mass customatization), o el de venderle a los supermercados y a los restaurantes de comida rápida como ocurre con las redes de valor. Así, el productor prefiere el apoyo conocido, que arriesgarse a cruzar el umbral hacia la agricultura nueva (Brambila, 2006).

Conclusión: se puede apoyar al sector agropecuario si entendemos mejor cómo se mezclan y qué resulta de los movimientos de las variables como son precios, tasas de interés, cantidades e inflación, entre otras.

La toma de decisiones debe apoyarse en el correcto uso de las tasas de movimiento:

VF = VI (1 + f)t o

VF = VI eft

• Si deja de producir mafz o frijol, puede perder el apoyo y la atención del gobiemo. Si se pasa a producir hortalizas, flores, funcionales, convenientes, entre otros, ya no va a tener los mismos apoyos, ni la atención del gobierno.


En particular cuando se trata del precio del dinero (1 + i), de la tasa de interés i, del índice de inflación (1 + rr) y de la inflación rr.

Esto nos permite entender y utilizar correctamente la ecuación de Fisher:

1 + i --= l+r l+rr

i=r+rr+rrr En los próximos capítulos veremos cómo se usan estos instrumentos

en dinámica.

63

CAPíTULO 11. El USO DE lA DINÁMICA EN lA TOMA DE DECISIONES Vislumbrar cómo se mueve y hacia dónde va una variable económica o financiera ayuda a tomar decisiones. Es importante saber si una variable tiende a estabilizarse o a desestabilizarse, si su movimiento es oscilatorio o continuo y, lo más novedoso, si se aproxima a niveles que modifican sustancialmente su comportamiento. Esto último se da cuando la acumulación de la cantidad cambia la cualidad del comportamiento. Empecemos a revisar cómo se comporta una variable en el tiempo.

2.1. Las bases de la dinámica Robert Wierner es conocido como el padre de la cibernética, que es la teoría de la autorregulación; esto es, el estudio del funcionamiento de un sistema para conocer si tiende a estabilizarse o no (Lange 1969).

La cibernética empieza con la clásica Fórmula Fundamental de la Regulación (figura 2.1):

Figura 2.1. Sistema de autorregulación 1

x y

65

66


Fuente: Óscar lange, 1969.

Donde: S = sistema regulado R = sistema regulante X = estímulo y = objetivo

El ejemplo clásico es que S es una recámara, Yes la temperatura dentro de la recámara y X es la temperatura fuera de ella. Si la temperatura de afuera (Xl baja, la de dentro (Y) también baja. Esta disminución en Y la registra un termostato R, que ordena a la caldera encenderse y elevar la temperatura LlX en la recámara.

Así, el sistema funcionará de la manera siguiente:

XS = y • X es el estímulo de afuera que afecta al sistema S que provoca un efecto en Y

YR = M • El efecto en Y activa R, provocando una respuesta LlX.

MS = y • La respuesta LlX afecta al sistema S provocando un nuevo efecto en Y

La cuestión es si este sistema cerrado se autorregula o se hace explosivo: si la temperatura Y se estabiliza o R sigue instruyendo calentar la recámara hasta que la caldera explota.

En términos matemáticos, el sistema puede quedar reducido de la manera siguiente:

Y= S(X+LlX)

LlX=RY

Uniendo y despejando Y, queda:

(2.1 l


Y=S(X+RY)

y= _s_ X (ésta es la ecuación fundamental de la cibernética) 1-SR

Si S = 1, entonces se reduce la ecuación a:

y = _l_X l-R

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Entonces, como veremos más adelante, el comportamiento de Y -si se va a estabilizar o no- depende de R.

En economía se usa esta ecuación fundamental para saber el efecto de una inversión en el tiempo. Se conoce como el multiplicador keynesiano (figura 2.2).

Y=/+c

C=by

Donde: y =

/ C = b =

(2.5)

(2.6)

producto en la economía (el equivalente a Y en la ecuación fundamental) inversión (el equivalente a X en la ecuación fundamental) consumo (el equivalente a LlX en la ecuación fundamental) propensión marginal a consumir (el equivalente a R en la ecuación fundamental)

S, en el multiplicador keynesiano, es igual a 1 y b -la proporción a consumires la variable que define si el modelo tiende a estabilizarse o no. (Dornbush, 1984).

67

68


Figura 2.2. Sistema de autorregulación 2

El multiplicador es igual a:

y=_l_[ l-b

y


(2.7)

Así, el comportamiento del producto (Y) depende de b (la propenslon marginal a consumir); es decir, por cada peso de ingreso adicional que recibes, cuánto destinas al consumo y cuánto al ahorro. Por lo general, un sistema es estable si b es menor que 1, b< 1. Esto es, de cada peso adicional recibido, el individuo consume menos del peso. En este caso, el sistema es estable, pero si b es igual a 1, b = 1, el sistema es explosivo: te gastas todo lo que recibes y no hay ahorro.

La complejidad de los sistemas cibernéticos o de autorregulación depende del diseño. Pero hay dos sistemas adicionales en economía y en finanzas que son útiles para vislumbrar el posible comportamiento de la variable en cuestión. Primero, el sistema recursivo complejo.


Figura 2.3. Sistema recursivo complejo

I T, L ..

I I I~

.x, x , S y

•

,0(,

I I T2 LoO

I I~

Fuente: Óscar Lange, 1969.

En ecuaciones:

y = S(X + LlX, + LlX2)

Uniendo y despejando:

Y=S(X+ T,y+ T2 Y)

y = s X 1-ST1-STz

(2.8)

El sistema recursivo significa que el efecto de las variables dentro del sistema LlX" LlX2 vuelve a regresar hasta que se estabiliza o explota, eso depende de T, y T,.

Segundo, el sistema de acoplamiento paralelo (figura 2.4).

69

70


Figura 2.4. Sistema de acoplamiento paralelo

En ecuaciones: Y= Y,+ Y2

Y,=T,X Y2 = T2X

x

Uniendo y despejando: Y=T,X+ T2X Y= (T,+ T2)X

III--_Y

Fuente: Óscar lange, 1969.

Nótese que este sistema depende del efecto externo X. Si T, + T2= 1 es un sistema fiel, lo que pase en X pasa en Y.

Si T, + T2> 1 es un sistema ampliado.

Si T, + T/ 1 es un sistema reductor.

2.2. Cuestión de progresiones

(2.9)

Las progresiones nos permiten conocer el movimiento dinámico de una variable y hacia dónde tiende. Lo importante de una progresión es cuánto suma y hacia dónde tiende.

José de Jesús 8rambija Paz

Definición: "Una progresión es una sucesión de números llamados términos".

Definición: "Una progresión aritmética es una sucesión de números, en la cual cualquier término después del primero puede ser obtenido del término anterior mediante la suma de un número constante llamado diferencia común".

Progresión aritmética

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d, ... ,a + (n - 7)d

Nótese que hay n términos, el último vale a + en - l)d

d = diferencia común.

El último término es:

/1 =a+ (n - 7)d

El penúltimo término es:

/1-1 = a + (n - 2)d = a + (n - 7)d - d = /1- d

Nótese que se busca que todos los términos del final queden expresados en valores del último término menos la diferencia común.

El antepenúltimo terminó es:

/1Fa + (n -3)d=a + (n - 7)d-2d =/1-2d

Así, podemos reescribir la serie de números incorporando /1 como último término.

A + d, a + 2d, a + 3d, ... /1-3d, /1- 2d,/1-d, /1

¿Cuánto suma la progresión?

5= a + (a + d) + (a +2d) +(a + 3d) + ... + (W3d) + (/1-2d) + (/1-d) +/1

Para resolverlo, se empieza sumando de atrás para adelante:

5= /1 + (/1-d) + (/1-2d) + (/1-3d) + ... + (a + 3d) + (a + 2d) + (a + d) +a

71

72


Luego, se suman las dos ecuaciones:

3=~+~+~+~+~+~+~+~+ ... +~+~+~+~+~+~+~+~

Nótese que:

(a + d) + (¡¡ - d) = a + ¡¡ Obien

(a + 3d) + (¡¡ - 3d) = a + ¡¡ O bien

(¡¡ - 2d) + (a + 2d) = ¡¡ + a = a + ¡¡ Si son h términos entonces tenemos:

2S = h(a+ ¡J)

Despejando:

S= h(a+p) 2

Donde: a = el primer término ¡J = el último término h = son el número de términos

(2.10)

. Nótese que a;" es el promedio. Así, el valor promedio se multiplica

por el número de términos y obtenemos la suma de la progresión.

Definición: "Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, en el cual cualquier término posterior al primero puede ser obtenido del anterior, multiplicándolo por un número constante llamado razón: 'r' ".

a, ar, ar, af, ... , arh'¡


Nótese que hay n términos, el último vale arh - 1

r= razón

¿Cuánto suma la progresión geométrica?

5 = a+ ar + ar2 + af + ... + arh-2 + arh-1

Para resolverse, se empieza multiplicando la suma por r

r5 = ar+ ar+ ar3+ ... + arh-2+ ayh-l + arh

Luego a la primera suma le restamos la segunda

5-rS = a+ (ar-ar) + (ar-ar2J + (ar3-af) + ... + (arh-2_arh-2) + (arh-l_arh-l) -arh

Por lo que:

5-rS= a-arh

Despejando: l-r h

5= a l-r

Si r < 1 Y h .... a, entonces r h .... O. Esto es si la razón es menor que 1 y h es un número muy grande (0<), entonces r h tiende a ser cero.

Entonces:

1 S=-a

1-r

La suma 5 depende del valor de r (cuadro 2.1) Si a =1, entonces:

Cuadro 2.1. Cálculo de S (suma)

r S 0.2 1.25 0.5 2 0.8 5


(2.11)

73

74


Nótese que a mayor valor de r, mayor valor de S, pero sin que r llegue a 1 y que la S es una generalización del multiplicador keynesiano Y.

1 S=--a

l-r

En economía se usa la progresión para calcular a dónde va o cuánto suma el producto. Veamos un ejemplo:

Y,=O+CY'-1

Donde:

y producto A = inversión C = proporción de Y que se reinvierte t = tiempo actual (t- 1 es un periodo atrás, t+ 1 es un periodo adelante)

Entonces, el sistema se mueve (véase cuadro 2.2.

Cuadro 2.2. Movimiento de una progresión geométrica

Tiempo Sistema en Acumulación

movimiento

O Yo=a ". Yo=a ' ..

Y,=a+(Yo , Y,=a+(Yo=a+(a=a(l +C) L"

2 Y,=a+(Y, Y,=a+(Y,=a+((a(l +())=a(1 +(+(')

3 Y3=a+(Y, .. - Y3= a + (Y,= a(l + (+ ('+ (3)

4 Y4=a+(Y3 ... Y4= a + (Y3= a(l + (+ ('+ (3+ (4)

5 Y5=a+(Y4 '. , Ys=a+(Y4=a(1 +(+('+(3+(4+(5)



En el periodo N, se ha acumulado producto por:

Yn= a (7 + C + (2+ (3+ C4 + c+ ... + Cn-I + (")

El valor de Yy su comportamiento dependen del valor de C.

¿Cuánto suma la progresión de C?

S= 1 + C + (2+ (3+ C4 + C+ ... ++("-I++("

Multipliquemos la S por C

CS = C + (2+ (3+ C4+ C+ ... ++("-1++ cn + ("-1

A S reste CS:

(2.12)

S -CS = 1 +(C -C) + ((2-(2) + ((3-(3) + (C4_C4) + (C-C) + ... + (cn-I_CI1-I) + (("_cn)_cn+1

S-CS= 1-Cn+1

s= l_Cn+1

l-C

Así, Yn es igual a:

(l_C

nU) Yn = -- a

l-C

(2.13)

(2.14)

Si e < 1 Y n -> a, entonces Cn+1 -> O; esto es, si C es menor que 1 y n es un núm:ro muy grande (oc), entonces Cn+1 tiende a ser cero.

Entonces:

(2.1 S)

Es nuestro multiplicador o la ecuación fundamental de la cibernética. Veamos qué sucede con los diferentes valores que puede adquirir C.

Caso 1: Sistema convergente y estable

Si O<C <1 y n a, -+0= 1. Esto es, si C tiene valores entre O y 1, n es un número suficientemente grande, y a es 1.

7S

76


Por ejemplo e = 0.5

Yn= (1 + 0.5 + 0.25 + 0.725 + 0.0625 + 0.03725 + ... )

Por la suma de la progresión que vimos al principio del capítulo, 1

sabemos que Yn = -. 1-c

Por lo que:

1 Yn = 1- 0.5 2

En gráfica:

Figura 2.5. Sistema estable que converge

1 -

t


Es un sistema estable y que converge a casi 2 (ya que es asintótico a 2) (figura 2.5); es convergente a un equilibrio, que en este caso es 2.

José de Jesús 8rambila paz

Caso 2: Sistema oscilatorio pero convergente

Si -1 <C <O y n_a, a= 1. Esto es, C está entre -1 y O, n es suficientemente grandeyaes 1.

Por ejemplo, C = -0.5.

Yn= I+C+(2+(3+C4 + ...

Yn= (1- 0.5 + 0.25 - 0.125 + 0.0625 - 0.03125 + ... )

Nótese el cambio de signo:

1 Yn = 1 _ (-0.5) = 0.666666

En gráfica:

Figura 2.6. Sistema oscilatorio pero convergente

0.666 ----------- ------------

t


77

78

Bioeconom(a, instrumentos para su análisis económico

El sistema es oscilatorio pero convergente a casi 0.666 (ya que es asintótico a 0.666) (figura 2.6): converge a un equilibrio que, en este caso, es 0.666.

Caso 3: Sistema divergente

SiC>7yn_ 0,a=7

Por ejemplo, C=2. Por la ecuación 2.12:

Yn = {7 + C + (2+ C+ ... ) Yn={7+2+4+B+ 76+ ... )

Figura 2.7. Sistema divergente


t

Es un sistema divergente (figura 2.7), no tiende al equilibrio, va aumentando cada vez más. Es potencialmente explosivo.

Caso 4: Sistema oscilatorio y divergente

SiC<-7yn_ a,a= 7.

Por ejemplo, C =-2.

Yn=(7+C+(2+(3+ ... )

Yn= 7 -2+4-8+ 76-32

Nótese el cambio de signos.


Figura 2.8. Sistema oscilatorio y divergente

t


Es un sistema oscilatorio y divergente cada vez son más pronunciadas las altas y las bajas. Éste es un sistema explosivo (figura 2.8).

Caso 5: Sistema de crecimiento constante

Si C = 7 Y n-a, a = 7.

Por la ecuación 2.12:

Yn= 7+C+(2+(3+ ...

Yn= 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + ...

79

80


Figura 2.9. Sistema de crecimiento constante


Es un sistema que crece en forma predecible (figura 2.9).

Caso 6: Sistema de bandas

Si C = -7 Y n-a, a = 7.

Por la ecuación 2.12:

Yn= 7+C+(2+C+ .. .

Yn= 7 - 7 + 7 - 7 + 7 - 7 .. .

t


Figura 2.10. Sistema que se mueve en bandas entre a y b

t


Es un sistema que se mueve en bandas entre a y b (figura 2.10). Es predecible y con un equilibrio alterno.

Caso 7: Sistema estático

Si C=Oyn_ a,a= 1. Por la ecuación 2.12: Yn= I+C+(2+(3+ ... Yn= 1

81

82


Figura 2.11. Sistema estático

t Fuente: elaboración propia.

Es el conocido caso de estática (figura 2.11).

Falta un caso general que incluye tres particulares. ¿Qué caso es? Piénselo, la respuesta está páginas más adelante. Si no puede esperar, entonces vea el Recuadro 4.2.2 del capítulo IV.

Hay varios modelos que están llamando la atención en economía y finanzas porque tienen un comportamiento predecible o conocido, pero cruzando cierto umbral en cantidad el comportamiento se vuelve extraño, ya que la cantidad acumulada transforma la cualidad. Es parte de la Teoría del Caos. (Gleick, 1987 y Shone, 2001).

Por ejemplo:

Sistema estable hasta un umbral que rebasado se vuelve oscilatorio pero predecible.

Si Pt = 1.25 Pt +1 = 2 - O.5P,z (2.16)

1.219 = 2 - 0.5(1.250)2 1.257 = 2 - 0.5(1.219)2 1.210 = 2 - 0.5(1.257)2

1.011 = 2 - 0.5(1.407)2

2.000 = 2 - 0.5(0.002)26


Cuadro 2.3. Datos para la aplicación de la Teoría del Caos en un sistema estable que se vuelve oscilatorio pero predecible

T Pt T Pt O 1.250 15 0.891 1 1.219 16 1.603 2 1.257 17 0.715 3 1.210 18 i.744 4 1.268 19 0.479 5 1.195 20 1.885 6 1.285 21 0.223 7 1.174 22 1.975 8 1.311 23 0.049 9 1.141 24 1.999 10 1.349 25 0.002 11 1.089 26 2.000 12 1.407 27 0.000 13 1.011 28 2.000 14 1.489 29 0.000 15 0.891 30 2.000


83

84


Figura 2.12. Sistema estable hasta que al cruzar un umbral se vuelve oscilatorio pero predecible

Pt 2.5

1 2.0

1.5

1.0 ~ , I

0.51

0.0 j O 2 4 6 8 101214 16 182022242628303234363840

T

Fuente: Shone, 2001,

Durante los primeros tiempos el sistema es muy estable, pero después de cruzar cierto umbral, se vuelve oscilatorio.

Otro ejemplo: Sistema inestable pero que al cruzar un umbral se vuelve estable y predecible

Si Pt = 1.5

(2.17)

4 1 0.58333 = "3 -"3 (1.5)2

_ 4 1 2 1.21991 - "3 -"3 (0.58333)

0.999954 = ~ -; (1.000069)23


Cuadro 2.4. Aplicación de la Teoría del Caos en un sistema que oscila, pero que después de cruzar cierto umbral se vuelve estable

T Pt T Pt O 1.5 12 1.003985 1 0.583333 13 0.997338 2 1.219907 14 1.001772 3 0.837275 15 0.998817 4 1.099657 16 1.000788 5 0.930252 17 0.999474 6 1.044877 18 1.000350 7 0.969411 19 0.999766 8 1.020081 20 1.000156 9 0.986478 21 0.999896 10 1.008954 22 1.000069 11 0.994004 23 0.999954

Fuente: Shone, 2001.

85

86


Figura 2.13. Sistema oscilatorio hasta que al cruzar un umbral se vuelve estable

Pt 1.6

1.4

1.2

0.8

i 0.6 ""]

0.4 J 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12131415161718192021 222324

T Fuente; Shone, 2001.

En los primeros tiempos el sistema oscila, pero después de cruzar cierto umbral cuantitativo se vuelve un sistema estable.

La Teoría del Caos busca en qué punto cuantitativo se transforma la parte cualitativa. En nuestro caso, esto es en qué nivel se convierte un sistema estable en uno oscilatorio o un sistema convergente en uno divergente.

Las ecuaciones clásicas de la Teoría del Caos son:

(2.18)

Donde TI = 3. 747592654


Veamos cómo se comportan con ros; 3.5 Y r '" 3.5 (figuras 2.14 y 2.15).

Figura 2.14. Aplicación de la ecuación clásica de la Teoría del Caos cuandor=2 y X= 0.02

Xn 0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 +-~-'--'--'-~~~-"T"·'·"!-·~,~,~~,~,~r, -f ··'T--'·_· i i i i i-'----¡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 192021 22232425

Fuente: Gleic~ 1987.

Figura 2.15. Aplicación de la ecuación clásica de la Teoría del Caos cuando r= 4y X= 0.02

Xn

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 +-,--,~~~~~~.,--,--,ct...-"_~~-r-~~~~~~

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Fuente: Gleick 1987.

T

87

88


Cuando se va a tomar la decisión de invertir, debe observarse el comportamiento de los precios reales o de la producción.

Veamos algunos ejemplos de la Tasa de movimiento continua de la producción de arroz, frijol, jitomate y maíz (figura 2.16).

Figura 2.16. Tasa de movimiento continua de la producción de arroz, frijol, jitomate y maíz

1 1 Frijol Arroz Palay 0.5 0.5

O O -0.5

-0.5 -1 o ... ca N "' o ... o M "' '" N en ca ..... ... ca ca ca '" '" o o

00 00 00 00 0'1 0'1 0'1 O o -- -- -- -- --- -- --................................................................................. ..... en '" M "- ..... en rloq-r-....OM\OCTlNIJ") ca ca ca '" '" o O ca ca ca '" '" '" '" o o '" '" '" '" '" O O

'" '" '" '" '" '" '" o o ..... ..... ..... .-i .-i N N .-i .-i .-i .-i ..... ..... .-i N N

0.4 ~mate 0.4 0.2 0.2

O - .AA.¡"" I O -0.2

V y ., . 'Ir "" -0.2

-0.4 -0.4 o M "' '" N en ca .-i ... o ... ca N "' o ... 000000000'10'10'100 ca ca ca '" '" O O ................................................................................. :::r -- -- -- -- -- --rlo:::l"r-....OMlDCTlNIJ") en m M "- .-i en ca ca ca '" m m m o o ca ca ca m m o o m m m m m m '" o o m m m m m o o .-i .-i .-i .-i .-i .-i .-i N N .-i .-i ..... .-i .-i N N

Fuente: elaborado con información del SIACON-SAGARPA, 2008.

Observemos ahora la Tasa de movimiento continua de los precios reales para el productor (figura 2.17).

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90


Por ello, no podemos obviar que el cómportamiento de los precios reales y la producción agropecuaria son volátiles. Esto lo señalamos porque la evaluación tradicional de proyectos no toma en cuenta la volatilidad.

2.3. El valor presente y la dinámica El valor presente de un flujo de efectivo (ingreso-costo) es el concepto básico para evaluar proyectos y hacer análisis de situaciones o problemas económicos.

Como se mencionó en el capítulo 1, el valor presente es igual al valor nominal dividido (descontado) entre 1 más la tasa de interés, o de

. descuento, si se incluye el riesgo (Ross, 1999). Si tenemos un flujo de efectivo (ingresos-costos) constante (e) a lo

largo del tiempo y una tasa de descuento fija (r), el valor presente de ese flujo es la suma del flujo nominal descontado por 1 más la tasa de interés, por ejemplo:

e e e vp=-+--+--+ .. · l+r (1+r)2 (1+r)3

(2.19)

Donde:

VP = valor presente e = flujo de ingreso fijo r = tasa de descuento

El flujo e es por tiempo indefinido. La pregunta es cuánto suma esta progresión o -en términos económicos- cuál es el valor presente de este flujo de efectivo.

Para poder sumar necesitamos redefinir algunos términos:

e a = -

1+r (2.20)

1 x= -

1+r (2.21)


Así, la ecuación del valor presente se redefine como:

vp=a(1 +X+X2 +X3 + ... )

NÓtese que la sustitución nos permite formar una progreslon geométrica. Como hicimos anteriormente, buscamos cuánto suma la progresión. Para poder resolver la ecuación del valor presente, multiplicamos la ecuación anterior por x.

(X)VP= a (X + X2 + X3 + ... )

A la ecuación VP le restamos la (x) VP.

Lo que nos da como resultado:

VP-(X) VP= a

Esto, siempre que Xn --> O que es el último término de X(VP). Como x = _, , entonces se requiere que 1 + r > 1 ~ r > O. Esto es, para que Xn

1+,

tienda a O se requiere que 1 + r sea mayor a 1 por lo quer debe ser mayor a O.

Despejando y volviendo a los valores originales, queda que el valor presente es:

e e a - -- e VP = - = 1+~ = 1!~~1 = -

l-X 1-- -- r l+r l+r

(2.22)

El valor presente de un flujo e descontado a una tasa r será e entre r.

Ejemplo numérico:

Si una acción o el bono de una empresa o banco me deja $5000.00 anuales (flujo) y la tasa de descuento (tasa de interés más riesgo) es de 8%. La acción o bono vale hoy (valor presente):

5000 VP = 0.08 = $62 500.00

91

92

Bioeconomfa, instrumentos para su análisis económico

Si quiero vender hoy la acción o bono su precio (valor presente) es de $62500.00

Nótese que si la tasa de interés sube, entonces la tasa de descuento sube y el valor de la acción baja. De ahí que cuando el Banco Central sube las tasas, el valor de las acciones y de la inversión baja. Si la tasa de descuento sube a 10%, el valor presente de la ecuación es:

5000 VP = -- = $50 000.00

0.10

Esta ecuación es muy útil para darse una idea del valor de algunos activos; por ejemplo, de una tierra agrícola en producción que deja alrededor de 5 000 pesos al año.

Si el flujo no es constante, sino que va creciendo a una tasa regular cada año, entonces el valor presente (la suma del flujo) de la acción se calcula de la siguiente manera.

El valor presente de un flujo que crece a tasa constante es:

Nótese que el flujo crece indefinidamente.

Donde: Vp valor presente e = flujo de ingresos 9 = tasa de crecimiento del flujo r = tasas de descuento

Redefinimos las variables de la manera siguiente:

e a=-

1+r

x = 1+9 1+r

(2.23)

(2.24)

(2.25)

T

• I


Sustituyendo:

VP= a (1 +X +X2 +X3+ . .. )

Nótese que la sustitución nos permite formar una progresión geométrica.

Si multiplicamos VP por x:

XVP= a (X +X2 +X3+ ... )

Si a VP le restamos XVP:

VP-XVP=a

Se requiere que el último término (Xn ) sea igual a O, para ello es necesario que r sea mayor a 9 (r > g).

Sustituyendo x y a, la suma -el valor presente de ese flujo de efectivo- es:

e e VP =~= 1+r _ 1+r

l-x (1+9) - Hr 1 9 1-1+T"" 1+r

e r-g

(2.26)

Por racionalidad económica, se requiere que r> o, quer>g y que (r-g) >0. Así, si tenemos una acción o inversión con un flujo de $5 000.00

anuales, la tasa de descuento es r = 8% Y tenemos una tasa de crecimiento de 9 = 2%. Entonces, el valor presente de la acción es de:

5000 VP = 0.08 _ 0.02 = $83 333.33

Si la tasa de crecimiento (g) fuera más alta, la tasa de descuento también debe aumentar porque el riesgo aumenta. A mayor ingreso, mayor riesgo. Pero para aplicar la fórmula se requiere que r > g.

Las ecuaciones anteriores son la base para estimar el valor presente de un flujo de efectivo mucho más complejo, de un proyecto mucho más complejo.

Por ejemplo, supóngase que tengo una plantación que crece en 9 por diez años; luego, en el año 11 un poco más; esto es, además de crecer en g, crece un adicional (h) por otros 10 años y luego, en el año 21, el flujo cae

93

94


repentinamente a un nivel e que es igual a cuando se empezó. El comportamiento del flujo puede ser cualquiera.

iHay que poner atención en los tiempos! Por ejemplo,...E... es al final 1+r

del año uno, no es al principio.

e e(l + 9) e(l + 9)' e(l + 9)" e(l + 9)"(1 + h) vp=--+---+ + ... + + + l+r (1+r)2 (1+r)3 (l+r)l1 (1+r)12

e(l + 0)"(1 + h)' c(1+g)"(l+h)' C(1+g)"(1+h)" C C +. (1 + r)13 + (1+r)14 + ... + (1+r)21 + (1+r)22+ (1+r)23+ ...

En gráfica el flujo tiene el comportamiento siguiente (figura 2.18):

Figura 2.18. Comportamiento del flujo de ingresos en etapas

e

2 Años

Fuente: elaboración propia,

La ecuación anterior se resuelve por partes, tantas como cambios tenga el flujo. Primera parte (le llamaremos VP, al primer tramo):

VP =...E... + e(1+9) + e(1+9)2 + ... + e(1+9)1O 1 1+r (1+r)2 (1+r)3 (1+r) 11

(2.27)

(Aclaración: el primer año el flujo fue e; como es al final del año, se

envía al valor del principio con _1_. Ahora, el flujo crece en 9 por los próximos 1+r


10 años, entonces e (1+9) 10 corresponde al flujo del décimo primer año, por 1

ello lo mandamos a valor presente con -( )11') 1+r

De la ecuación 2.23 sabemos que:

C C(l + g) C(l + g)2 VP = 1 + r + (1 + r)2 + (1 + r)3 +oO'

Siguiendo el método de los ejemplos anteriores, redefinimos las variables para simplificar.

e a=-

1+r

x = 1+g 1+r

Así:

VP = a(l + X + X 2 + oO. )

Multiplicando vp por X:

XVP= a (X+X+X2 + ... )

Si a Vp le restamos xvp:

VP-XVP=a

El mismo resultado que en la ecuación 2.26:

e e 1 - -- e VP -_-~- l+r -

- 1-X - 1_1+9 - l+r 1 9 - r-g l+r l+r

(2.28)

(2.29)

(2.30)

Es igual al resultado anterior, pero ahora sabemos que este

crecimiento 9 sólo llega al año 11, por lo que hay que restarle a ~ todo el r-g

valor que agregamos del año 11 en adelante.

95

96


C(l + g)" C(1 + g)'2 EVP = (1 + r)'2 + (1 + r)'3 + ...

Donde:

EVP = Excedente del valor presente

Redefiniendo:

C(1+g)" a = ":("'1+'"'r::-)1::-2

x = (1+g) (1+r)

EVP=a (1 +X +X2+X3 + ... )

Multiplicando por X:

XEVP=a (X +X2+X3 + ... )

Si a VP le restamos XVP:

EVP-XEVP=a

a EVP=--=

1-X

Ordenando:

C(1 + g)" C(l + g)l1 C(l + g)l1 (1+r)12 _ (1+r)12 _ (1+r)12 1_1+g -1+r-1-g- r 9

1+r 1+r 1+r

EVP = ~ (1+g)"(1+r) = C(1+g)" = ~(1+g)'l r-g (1+r)12 r-g(l+r)ll r-g l+r

Así, al- le debemos restar - -1!. . e e ('+)" r-g r-g l+r

e e (1 + g)l1 e ( (1 + g)11) VP, = r-g - r-g l+r = r-g 1- (l+r)l1

(2.31 )

(2.32)

(2.33)


Recuérdese que una restricción para usar estas ecuaciones es que r > g o r - g > O. El segundo tramo del ejemplo es que el crecimiento aumenta a partir del año 12.

G(l + 9)'0 G(l + 9)'0(1 + h) G(l + 9)'0(1 + h? G(l + 9)'0(1 + h)'0 VP, ~ (l+r)l1 + (l+r)12 + (l+r)13 + ... + (l+r)21

Nótese que se parte del año 11; el valor presente del año 11 ya se contabiliza en la primera parte, por lo que habrá que restarlo. ¿Por qué se agrega? Porque facilita la manipulación de la ecuación.

Redefi n iendo:

e(Hg)'0 a = "'( l"-+'-'r )"'":-

x = Hh Hr

Así:

VP= a (1 +X +X2+X3 + ... )

Multiplicando VP por x:

XVP= a (X +X +X2+X3 + ... )

Si a VP le restamos xvp:

VP-XVP=a

(2.34)

(2.35)

C(l + g)10 C(l + g)'o a (1 + r)" _ (1 + r)" _ C(1 + g)'O(l + r)

VP= 1-X= l+h -l+r-l-h - r-h(1+r)" l--l-+-r l+r

Vp = ~ (1 + )10(1 + r) _1_ = ~ (Hg)'0 r-h g (Hr) 11 r-h (Hr)'0

(2.36)

97

98


Como este crecimiento (h) sólo dura diez años, habrá que restarle el excedente del valor presente: el valor del año 22 en adelante.

C(1+g)'O(1+h)" C(1+g)'0(1+h)12 C(1+g)'0(1+h)13 EVP = + + + ...

(1+r)22 (1+r)23 (1+r)Z4

Redefiniendo:

c(1+g)'O(1+h)" a = ::..c:..'-"'---":~_ (1+r)22

x = 1+h 1+r

Así:

Multiplicando EVP por X:

XEVP=a (X +X2 +X3 +X4 ••• J

C(l + 9)'°(1 + h)"

EVP-XEVP=a

(2.37)

(2.38)

(2.39)

a (1 +r)22 EVP = --= ---'-,:;-7-;:--

C(l + 9)'°(1 + h)" 0+~n C0+~W(1+~"(1+~

l-X l_l+h l+r 1 h r-h0+~n 1+r

e (1+g)'°(1+h)11 EVP=

r-h Cl+r)21

Así:

l+r

e (1 + g)10 e (1 + g)10(1 + h)" VP2 = r _ h -(1 + r)10 - -r ---h (1 + r)21

G(l + g)10

(1 + r)"

(2.40)


Nótese que ya hemos restado el valor del año 11, que antes habíamos empalmado.

VP = C(l + g)"0 [ 1 _ (1 + h)l1 2 r - h (1 + r)"0 (1 + r)21

VP3= valor presente del tercer tramo

e e e VP =--+--+--+ ...

3 (1+r)22 (1+r)23 (1+r)24

Redefiniendo:

e a=-

(1+r)22

X =_"_ 1+r

VP3=a (7 +X +X2 +X3+ ... )

Multiplicando por XVP3 :

XVP3= a (X +X2+X3+ ... )

e e e Vp = (1+r)22 = (1+r)22 = (1+r)22 = C(l+r) = ~_"_

3 1 __ 1 ~ -.!:.-.. r(1+r)22 r (1+r)21 l+r l+r l+r

El valor presente de toda la ecuación es:

VPT = VP1 + VP2 + VP3

Donde:

(r - h) 1 (1 + r)l1

(2.41 )

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

99

100


VP - ~(1- (1+g)")

1 - r-g (1+r)11

VP - C(1+g)lO [1 (1+h)" (r-h) ] 2 - r-h (1+r)10 - (1+r)21 - (l+r)ll

VP _!:.[_1_] 3 - r (1+r)21

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Si le ponemos números, es una plantación que el primer año tiene un flujo de efectivo de $1 000 (e), luego crece a una tasa de 3% anual (g = 3%) los 10 años siguientes, posteriormente se aumenta el crecimiento en 2% (h). La tasa de interés es de 7% y el riesgo de 3%, la tasa de descuento será de 10% (r).

1 000 ( (1 + 0.03)11) VP1 = 1- ( 010)11 = 14285.71(1- 0.4852) = 7354.29 0.10 - 0.03 1 + .

1000(1 + 0.03)10 [ 1 VP2 = 0.10 - 0.02 (1 + 0.10)10

(1 + 0.02)11 _ (0.10 - 0.02)]

(1 + 0.10)21 (1 + 0.10)11

= 16798.95[0.3855 - 0.1680 - 0.0280] = 3 183.40

1000 [ 1 ] VP3 = 0.10 (1 + 0.10)21 = 1351.31

VPT = 7354.29 + 3183.40 + 1351.31 = 11889

VPT = 61.86% + 26.78% + 11.36% = 100%

Si hay duda de que el valor presente total es VPT = 11 889 el resultado se puede comprobar haciéndolo -como se dice en la "jerga" económica y financiera- a pie, con los números año por año. De hecho, cuando el flujo es muy complejo lo mejor es resolverlo como dicen los matemáticos "como caso particular" esto es, ponle números y resuélvelo.


Otro ejemplo interesante que podemos resolver con estas fórmulas es el de sistemas de pagos tradicionales o bien con refinanciamiento de intereses. Veamos:

Se presta una cantidad X a pagar en h anualidades, a una tasa de interés nominal i. ¿Cuál es el pago anual fijo?

La suma a valor presente de los pagos debe ser igual al crédito original. p p p p

X=-+--+--+···+--1+; (H;)' (H;)3 (H;)n

Donde:

X = monto del crédito

P = pago anual fijo

i = tasa de interés

n = número de años

(2.49)

Nótese que el primer pago es hasta el final del primer año, por lo que

se divide entre..!..., para mandarlo a la fecha del crédito (principio de año). H,

La ecuación 2.49 tiene una sola incógnita (P), por lo que puede resolverse con un solo resultado. Adviértase que la ecuación 2.49 es finita: tiene un límite n en el tiempo.

Reordenemos

( 1 1 1 1 )

X = P 1 + i + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n

Si le llamamos S a la progresión:

1 1 1 1 S = 1 + i + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n

Multiplicando S por (1 + i)

1 1 1 1 (1 + i)S = 1 + 1 + i + (1 + i)2 + (1 + i)' + .,. + (1 + i)n 1

101

102


Si a S le restamos (1 + i) S

1 S - (1 + í)S = (1 + í)n 1

1 S-S-iS= -1

(1 + í)n

S= -l+(l+ wn (-l)=l-(l+í)-n ¡ -1 ¡

Entonces:

X=PS

x p=----

l-(1+irn (2.50)

i

La ecuación 2.50 es la fórmula tradicional para calcular los pagos de los créditos.

Ejemplo:

X = S 000 pesos de crédito

I = 5%

n = 5 anualidades

¿Cuál es el pago fijo anual?

5000 5000 p = -:-1-----:(:-:-1-:-+-:0:-:. 0:0-:5:::-)""-5 = 4.3 2 9 5 = 1 154.874

0.05


Cuadro 2.5. Tabla de amortización del crédito cuando i = 5%

Año Pago saldoal Tasa de

Intereses Amortización Saldo final nominal principio interés

1 1154.874 5000.0000 0.05 250.00 -904.8740 4095.1260 2 1154.874 4095.1260 0.05 204.76 -950.1177 3145.0083 3 1154.874 3145.0083 0.05 157.25 -997.6235 2147.3847 4 1 154.874 2147.3847 0.05 107.37 -1 047.5048 1099.8799 5 1154.874 1099.8799 0.05 54.99 -1099.8799 O


Ésta es la forma de calcular los pagos de crédito y la tabla de amortización que se ha usado por varios siglos (cuadro 2.5). A tasas bajas de interés nominal esto funciona bien. Ofrecen un talonario que señala el día (páguese antes del. .. ) que se debe pagar y la cantidad (p = $1154.874). Al momento de pagar el último talón en = 5), queda saldada la cuenta.

En el ejemplo anterior suponemos que no hay inflación, liT = O); entonces, por la fórmula de Fisher (ecuación 1.15), sabemos que la tasa nominal es igual a la real i =r. Los pagos nominales y reales son lo mismo. Así que la distribución de los pagos en el tiempo será la siguiente (cuadro 2.6).

Cuadro 2.6. Distribución de los pagos cuando la 7T = O

Año Pago nominal y real Pago parcial proporcional

1 1 154.874 20% 2 1 154.874 20% 3 1 154.874 20% 4 1 154.874 20% 5 1 154.874 20%

Total 5774.37 100%


Esta fórmula tiene sus limitantes. Funciona bien a niveles bajos de tasa de interés nominal, pero a tasas nominales altas -esto es cuando hay inflaciónya no funciona bien.

103

04

Bioeconomía, instrumentos- para su análisis económico

¿Qué pasa si la tasa de interés nominal aumenta porque aumenta la inflación?

i=r+rr+rrr

i = 0.05 + O + (0.05)(0) = 0.05 ==} r = 0.05 rr=O i=5%

i = 0.05 + 1 + (0.05)(1) = 1.10 ==} r = 0.05 rr = 100% i = 110%

Con fines didácticos, supongamos que la inflación es de TT = 100%; la tasa de interés real se mantiene en r = 5%, y, como resultado, la tasa de interés nominal sube a i = 110%.

Así, los datos del ejemplo anterior quedan igual a excepción de la tasa de interés nominal (cuadro 2.7).

x = 5 000 pesos de crédito i = 110% n=5

5000 5000 p = -:-1-_-(7:'1-+-1-=-.""1),---;0-5 = 0.8868 = 5638.0487

1.1

Cuadro 2.7. Tabla de amortización cuando i = 110%

Año Pago Saldo al Tasa de

Intereses Amortización nominal principio interés 1 5638.0487 5000.00 1.1 5500.00 -139.049 2 5638.0487 4861.95 1.1 5348.15 -289.899 3 5638.0487 4572.05 1.1 5029.26 -608.793 4 5638.0487 3963.26 1.1 4359.58 -1 278.47 5 5638.0487 2684.49 1.1 2953.27 -2684.79

Fuente: elaboración propia,

Saldo final

4861.95 4572.05 3963.26 2684.79

O

Una situación similar a la anterior se presentó en los primeros años de la década de 1980, cuando los créditos se volvían imposibles de pagar; por un crédito de 5 000 pesos, el primer año tenías que pagar, -en términos nominales- 5 638.05 pesos (cuadro 2.8). Esto es un ejemplo de cómo cambia

p


la cualidad del comportamiento de la variable cuando se elevan las cantidades y rebasan un umbral.

El pago nominal no puede sumarse porque hay inflación, por lo que hay que calcular el pago real (pago nominal divido entre 1 más la inflación de cada año) para sumar y comparar.

Año 1 5638.05 (1 + 1) = 2 819.025

Añ02 5638.05

(1 + 1)(1 + 1) 1409.513

Añ03 5638.05

(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) 704.756

y así sucesivamente.

Cuadro 2.8. Pago real cuando la inflación es de TT = 100%

Año Pago Pago real Pago parcial Pago acumulado en % nominal proporcional 1 5638.05 2819.02 51.61 % 51.61 % 2 5638.05 1 409.51 25.81% 77.42% 3 5638.05 704.75 12.90% 90.32% 4 5638.05 352.38 6.45% 96.77% 5 5638.05 176.18 3.23% 100%

Total 5461.84 100%


En el ejemplo sin inflación, los pagos parciales eran de 20% cada año. En este ejemplo, con inflación de lT = 100%, los pagos parciales se adelantan; el primer año tienes que pagar más de la mitad del crédito (51.61 %). Nótese que en el escenario sin inflación el pagoreal total fue de 5 774.37; en el escenario con inflación el pago real total es de 5 461.84. iSí, se paga menos en términos reales!

¿Por qué se paga menos?

105

106


Porque amortizas más rápido el crédito; en el segundo año ya pagaste 77.42%; en el escenario sin inflación en el segundo año llevas pagado sólo 40%. El problema que se presenta es de liquidez, ya que se acelera la amortización. Si suponemos que en la evaluación del acreditado se afirmaba que podía pagar 1 200 pesos anuales (en términos reales, que son lo que se consideran al inicio de la evaluación), entonces la capacidad total de pago real en cinco años será de 6 000 pesos (cuadro 2.9).

Cuadro 2.9. Capacidad de pago

Año Capacidad de pago Pago real sin Pago real con

real anual inflación inflación 1 1 200 1 154.874 2819.02 2 1 200 1154.874 1409.51 3 1 200 1 154.874 704.75 4 1 200 1154.874 352.38 5 1 200 1154.874 176.18

Total 6000 5774.37 5461.84 Fuente: elaboración propia.

Como puede observarse en el cuadro anterior, la capacidad de pago real sí es suficiente para pagar el crédito, pero en el escenario con inflación durante los dos primeros años se rebasa la capacidad anual de pago, y, al final-en los dos últimos años- queda mucha capacidad de pago sin utilizar. Ese es un problema de liquidez: Hoy no me alcanza, mañana me sobra.

En la figura 2.19 puede observarse el problema de acelerar la amortización provocando un problema de liquidez.


Figura 2.19. Comportamiento de la amortización

$

/ Pago real con inflación

Falta de liquidez Excesode liquidez

1,200 I------"-.:::---------:t"-r--+Capacidad de pago

llS4.871----------...;::",,~---+--+Pago real sin inflación

176.18 --------------------------------------------

L----------------~-~Años 5

En México, durante la década de 1980, se atendió este problema de aceleración de la amortización creando un nuevo sistema que se conoce como de refinanciamiento de interés.

Consiste en "amarrar" el pago del crédito en términos reales; de hecho, se usó el salario mínimo como indicador y el pago quedó fijado en determinado número de veces el salario mínimo.

Para hacer didáctico el ejemplo vamos a suponer que la tasa de interés real es r = 0%, la inflación es de lT = 100%, por lo que la tasa de interés nominal es i;" 1 00%.

Como la tasa de interés real es r = 0%, entonces un crédito de 5 000 pesos a pagar en cinco anualidades nos da un pago real de 1 000 pesos al año.

Así, todo el sistema queda "amarrado" en términos reales, pero se dispara la parte nominal. Esto es, el problema queda resuelto económica y financieramente, pero no se va a ver nada bien.

Los datos para construir el sistema de pago con refinanciamiento de interés son:

107

108


x = 5 000 pesos de crédito r =0% TT= 100% i = 100% n = 5 anualidades p = 1000 pago real anual = 5 000/5

En el sistema de refinanciamiento, si el pago nominal es inferior a los intereses nominales, la diferencia se refinancia. Supongamos que el crédito es el valor total de un bien: X = 5 000 pesos es el precio y el crédito para adquirir, por ejemplo, una parcela o un activo inmobiliario.

La evaluación inicial del acreditado nos dice que tiene un flujo neto (ingreso-costo) anual de 2 000 pesos el año de inicio, por lo que bien puede pagar 1 000 pesos anuales es decir, el 50% de su flujo neto.

Construyamos la tabla de amortización o refinanciamiento año por año para ir explicando que sucede (cuadro 2.10);

Cuadro 2.10. Tabla de amortización, primer año

Salario Salarlo Pago Pago Saldo Tasade Amortización Valor del Afi. interés Intereses o refinan- Saldo final ~.I nominal real nominal inicial

100% clamlento bien final

2 DOO 4000 1000 2000 5000 50DO 3000 8000 10,000


El salario real de 2 000 pesos al principio del año, se vuelve 4 000 = 2 000 (1 + n) al final del año, porque la inflación fue de n = 100%. Así, también el pago real de 1 000 pesos al principio del año se vuelve .en nominales 2 000 = 1000 (1 + n) al final del año. Al finalizar el año la proporción pago salario sigue siendo de 50%: 1 000/2000 = 2 000/4 000.

La tasa de interés nominal es de i = 100%, así que los intereses nominales son 5 000 x 1 = 5 000. Como el pago nominal sólo es de 2 000 pesos y los intereses nominales de 5 000 pesos, habrá que refinanciar la diferencia (3 000) Y éste se agrega al saldo 5 000 + 3 000 = 8 000. El saldo nominal al final del primer año es de 8 000 pesos. iSubió en términos nominales! Pero el bien que al principio del año valía 5 000 pesos al final del año vale 10 000 = 5 000 (1 + n). Así que debes 8 000 pesos de un bien que


vale 10 000 pesos; amortizaste -o ya es tuyo- 20% del bien, justo la proporción que quedó "amarrada" en el pago real (1 000/5000 = 20%).

El segundo año (cuadro 2.11):

Cuadro 2.11. Tabla de amortización, segundo año Salarlo Salarlo Pago Pago Saldo Tasa de Amortización

Saldo Valor del

'0. interés Intereses o refinan- bien real nominal real nominal Inldal 100% ciamiento

final final

2000 4000 1000 2000 5000 5000 3000 BODa 10000 2000 8000 1000 4000 8000 8000 4000 12000 20000


El salario real de 2 000 pesos, por la inflación de dos años ahora -en términos nominales- es de 8 000 = 2 000(1+rr)2. Así, el pago real de 1 000, por la inflación de dos años ahora -en términos nominales- es de 4 000 = 1 000(1 +rr)'. Nótese que la relación pago-salario se mantiene.

1000 = 4000 = 50% 2000 8000

El saldo inicial del segundo año es igual al saldo final del primer año 8 000 pesos; la tasa de interés nominal es i = 100%, por lo que los intereses nominales a pagar son 8 000 pesos, pero el pago nominal es sólo de 4 000 pesos por lo que la diferencia se tendrá que refinanciar (8 000 - 4 000 = 4000 pesos). Se le agrega el refinanciamiento al saldo nominal del segundo año que es de 8 000 pesos; así, el saldo nominal final del segundo año será 8 000 + 4 000 = 12 000 pesos.

El valor del bien ahora es de 20 000 = 5 000 (1 +rrJ2 y el saldo final es de 12 000. La proporción de lo que debes (12 000 pesos) y el valor del bien (20000 pesos) es de 12000/20000 = 60%; por lo tanto, ya es tuyo 40%. Tal como se programó, después de dos pagos del equivalente a 20% del valor del bien cada año, 40% de la casa es tuyo.

Afi.

El tercer año (cuadro 2.12):

Cuadro 2.12. Tabla de amortización, tercer año Salarl o real

Salario nominal

Pago real

Pago nominal

Saldo Inicial

Tasa de Interés Intereses


Amortización o reflnan-

Saldo final

Valor del bien final

109

110


El salario real de 2 000 pesos se convierte en 16 000 = 2 000 (1 + 71)3 porque ya son tres años con una inflación de 1T = 100% anual. El pago real de 1 000 se convierte en 8000 = 1 000 (1 + 71)3 por la misma razón. Pero la relación pagosalario se mantiene 1 000/2 000 = 8 000/16 000 = 50%. Nótese que ésta ha sido la forma de superar el problema de amortización acelerada o de liquidez.

El saldo nominal inicial del tercer año (12 000 pesos) se multiplica por la Tasa de interés nominal (i = 100%) Y resultan los intereses nominales a pagar (12 000). Como el pago nominal es de sólo 8 000, entonces hay una diferencia a refinanciar de 4 000 = 12 000 - 8 000. Así que el saldo final del tercer año es de 16000 = 12 000 + 4 000. La razón de este saldo final y valor del bien (16000/40000 = 40%) es lo que debes; por lo tanto, 60% del bien es tuyo, tal como se programó.

El cuarto y quinto año (cuadro 2.13):

Cuadro 2.13. Tabla de amortización, cuarto y quinto año Salario Salario Pago Pago Saldo Tasa de Amortización Saldo Valor del

Afio real nominal real nominal inidal 1~~~~oS Intereses ~~~:~~~ final bien final


El procedimiento es igual que en los años anteriores, sólo hay que notar que en el cuarto año los intereses nominales a pagar son iguales al pago nominal, por lo que ya no hay necesidad de refinanciación y empieza el periodo de amortizar.

. En todo momento se mantiene la relación pago/salario de 50% y cada año se amortiza en términos reales 20% del adeudo total. El sistema de refinanciamiento automático de interés es, en teoría, impecable, pero en la operación se tuvieron varios problemas.

Primero, cuando la inflación es muy alta -como en nuestro caso- el salario real sí tiene un deterioro; por lo que la relación pago/salario, en la práctica, va en aumento. Esto es, el salario real sí disminuye en escenarios de alta inflación, porque no se actualiza a la velocidad necesaria.

1

José de jesús Brambila Paz

Segundo, cuando el pago real no es suficiente para cubrir la tasa de interés real (éste no se ve en el ejemplo porque supusimos r = 0%) entonces el saldo real crece y se hace impagable.

Tercero, en la práctica se le puso tope al refinanciamiento y a la tasa de interés nominal. Lo que provocó una transferencia de recursos entre ahorradores, fisco y acreditado (tal y como se vio en el capítulo anterior con los ejemplos de las manzanas). Así, el que recibía un crédito para obtener una casa no devolvía el valor real del crédito sino sólo una parte, por lo que las instituciones públicas que financiaron vivienda se descapitalizaron.

Cuarto, la ley mexicana prohíbe el anatocismo, que es el cobro de intereses sobre intereses. Se argumentó que esa ley se refería a intereses reales, aunque no en forma explícita, y lo que aquí se refinancia, de hecho, era para actualizar el capital. Pero -como se mencionó anteriormente-, en algunos casos cuando el pago real no alcanzaba a cubrir el interés real, entonces sí se estaban cobrando intereses sobre intereses reales yeso llevó a que varios bancos perdieran demandas.

Con los "errores de diciembre" de 1994, se provocó una caída fuerte del salario mínimo y, a su vez, de la capacidad de pago de la población. Así, el problema de liquidez se volvió un problema de solvencia. No había capacidad para pagar los créditos tal y como se contrataron. Además al caer el pago real éste ya no fue suficiente para cubrir el interés real y los saldos aumentaron superando en mucho el valor del bien; ciertamente no sólo había problemas de anatocismo sino que era poco atractivo pagar un crédito que era varias veces superior al valor del bien.

Por todo lo anterior, el "sistema de refinanciamiento automático" tiene un uso limitado y, desde fines del siglo pasado, se ha vuelto a usar el sistema tradicional -expuesto anteriormente- ya que la inflación se ha mantenido bajo control en los últimos diez años (desde 1999).

Todos los ejemplos y casos presentados en este capítulo sirven para que el lector pueda entender y aplicar los instrumentos y conceptos que hemos revisado.

111

CAPíTULO 111. El RIESGO EN lA TOMA DE DECISIONES Los conceptos e instrumentos revisados en los capítulos anteriores nos sirven de base para empezar a hacer análisis económicos y evaluar proyectos en escenarios más complejos, con riesgo (proximidad de un daño) e incertidumbre (falta de claridad, duda de qué va a pasar).

El riesgo es la probabilidad de que las cosas salgan mal y la estimación de cuánto se puede perder. Para poder medir el riesgo es necesario repasar algunos conceptos de economía y finanzas, así como algunos instrumentos estadísticos.

3.1. Instrumentos básicos para análisis y medición del riesgo En economía y finanzas se analiza y mide el riesgo partiendo del supuesto de que el precio de un bien o servicio resume toda la información que hay en el mercado. Por ello, la variable que se usa frecuentemente para medir el riesgo de un bien, bono, acción o servicio es el comportamiento del precio real. Más precisamente, el riesgo se mide por los cambios del precio: la tasa de movimiento del precio real (es el precio nominal descontado por la inflación).

Recordemos que el precio real se obtiene de dividir el precio nominal entre 1 más la inflación:

~=PR l+rr t

Donde: P, = precio nominal en el momento t TT = tasa de inflación PR, = precio real en el momento t

(3.1 )

Ahora, si dividimos el precio real de hoy entre el precio real de ayer (ecuación 3.2) obtenemos la tasa discreta del movimiento del precio:

113

114


(3.2)

r = Tasa de movimiento discreta del precio real

También podemos obtener la tasa de movimiento continua del precio (véase ecuación 3.3):

In ( PRt ) = In(l + r) = f PRt-l

(3.3)

f = Tasa de movimiento continua del precio real

Recuerde que ya vimos que las tasas continuas sí pueden sumarse; las tasas discretas no se suman a menos que agreguemos factores de corrección, como el efecto composición.

Lo que más usaremos para el análisis del riesgo es la Tasa de movimiento continua de los precios reales. Es lo más usado, pero no lo único.

Al usar la tasa de movimiento y su comportamiento estamos haciendo un análisis dinámico.

Ahora requerimos de tres instrumentos estadísticos para poder analizar el comportamiento de la Tasa de movimiento continua del precio real. Estos instrumentos son la media, la varianza y la distribución normal. Sólo como repaso, recordemos cómo se calculan (Walpole, 1992, Infante, 1984).

3.1.1. La media o promedio La media de una serie de datos, es el promedio esperado y se obtiene de la forma siguiente:

n _ l~ X = ñL.(Xi )

í=1

Donde Xi es el valor que ha tenido la variable en el periodo i y n es el número total de periodos. Así, X es el promedio del valor que ha tenido esa variable en todo el periodo.


La fórmula anterior se usa cuando cada X; tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Ésa es una condición que se cumple cuando se usa la Tasa de movimiento continua de los precios reales. Pues se supone que el precio del día tiene un comportamiento independiente dentro de un rango.

Si hay evidencia de que el cambio de precios X; no tiene la misma probabilidad de ocurrencia en todos los casos, entonces la media se calcula ponderando las Xi por su probabilidad de ocurrencia. Se calcula de la manera siguiente:

n

X ~ L A¡(X¡} i=l

Ya que la suma de las probabilidades de ocurrencia debe ser 1.

Donde: )0.; = es la probabilidad de ocurrencia de X; X = es entonces la media ponderada por las probabilidades.

En este libro vamos a observar ejemplos donde usamos la media simple. Esto es por facilidad y en nada se alteran los ejemplos si usamos medias ponderadas.

3. 1.2. La volatilidad o desviación estándar La varianza es el segundo momento d.i la dispersión de un conjunto de datos, fue llamada así por R. A. Fisher en 1918.

Para calcularla se usa la fórmula.

Donde: r2 = varianza

n

1 I -r2~- (X -Xl2 n-1 t

i=1

Xi = valor de la variable X en el periodo i X = media n = total de periodos

115

116

Bioeconomía, instrumentos para su análisis ecoflómico

La desviación estándar es

r=fo r nos marca qué tan dispersos están los datos con respecto a la

media; por lo mismo es un buen indicador del riesgo. En este libro vamos a llamar volatilidad ([2) a la varianza de los datos y

riesgo (r), a la desviación estándar.

3.1.3. La distribución normal La curva de distribución normal. la presentó Karl F. Gauss (1777-1855), en Europa la llaman la gausiana y en América la normal. Pierre Simon Laplace (1749-1827) aportó el Teorema del Límite Central: si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población con media f1. y varianza finita [2, entonces la forma límite de la distribución será;

z = --oX=--"f.1_

5</n (3.4)

Si n tiende a aumentar, entonces la distribución tiende a ser la normal estándar Z -(0,1), media cero, varianza 1.

También, se considera que la distribución de varias muestras tiende a la normal si aumenta el número de muestras.

En este libro suponemos que opera el Teorema del Límite Central y que nuestras muestras de datos tienen una distribución normal o que el número de datos es suficiente para suponer una distribución normal (Walpole, 1992).

La distribución normal tiene una función (figura 3.1):

(3.5)

y cuenta con las propiedades necesarias que nos sirven para analizar el riesgo, las cuales son:


Toda distribución normal se puede estandarizar a Z- (0,7). Esto es,

media X = ° y varianza r2 = 1. Esto permite tener una relación entre desviación estándar y

probabilidad de ocurrencia de valores específicos.

ir ---> tiene 68.26% de probabilidad de que los valores de Xi ocurran en ese intervalo.

2r ---> tiene 95.44% de probabilidad de que los valores de Xi ocurran en ese intervalo.

3r ---> tiene un 99.74% de probabilidad de que los valores de Xi ocurran en ese intervalo.

Figura 3.1. Curva de distribución normal

Frecuencia

l----+--\ir .. 68.26%

.. 95.44%

Datos

Al final del libro, en el Anexo A se muestra la Tabla de la distribución normal estandarizada: los valores Z - (0, 7) (Walpole, 1992).

117

118


Con estos instrumentos podemos calcular el riesgo, su probabilidad de ocurrencia y los valores paramétricos, como el valor presente, los valores críticos, los valores en riesgo, para tomar decisiones económicas.

3.2. Ejemplo para calcular pérdidas esperadas Supongamos que los precios reales de los últimos 16 meses del producto X son los que se muestran en el cuadro 3.1 y con ellos calculamos la Tasa de movimiento continua de esos precios reales.

Cuadro 3.1. Precios reales

Tasa de movimiento Tasa de movimiento Año Precio real discreta continua

(1 +r) f 1 1 050 2 1 150 1.0952 0.0909 In (1.09S2)~O.0909 3 1 200 1.0435 0.0426 4 1 075 0.8958 -0.1100 5 1 080 1.0047 0.0047 6 1 100 1.0185 0.0183 7 1 350 1.2273 0.2048 8 1 000 0.7407 -0.3002 9 950 0.9500 -0.0513 10 900 0.9474 -0.0540 11 1 050 1.1667 0.1542 12 1 100 1.0476 0.0465 13 1 200 1.0909 0.0870 14 1 100 0.9167 -0.0870 In (1.09167)~-O.O870 15 1 150 1.0455 0.0445 16 1200 1.0435 0.0426 In (1.043S)~O.0426

Recuérdese que la Tasa de movimiento discreta no se debe sumar, pero la continua sí, por lo que podemos calcular la media (X) y la varianza ((2) con las tasas continuas de movimiento de los precios reales. Al convertir los datos en tasas de movimiento "perdemos" una observación.


La media y desviación estándar de nuestro ejemplo se calculan de la manera siguiente:

15 _ 1, 0.1336 X = 151..., (X,) ="""15 = 0.008907 = tendencia = media

i=1

15 2 __ 1_, . _ - 2 = 0.2038283

r - 15 _11...,(X, X) 14 0.014559 = volatilidad i=l

r = 0.12066 = fo = riesgo

Ahora, la curva de distribución de la Tasa de crecimiento continua de los precios reales se aproxima a una normal (figura 3.2). Por lo que podemos hacer uso de la distribución normal estandarizada (z).

Figura 3.2. Curva de distribución de la Tasa de movimiento continua de los precios reales

Frecuencia

7

6

5

4

3

2

1

O

-30

, , , , , ________ L _________ L _______ J _______ _ , , , , , ,

-20 -10 O 10 %

20 30

Si lo hacemos por rangos, también la curva se aproxima a una normal (véase el cuadro 3.2).

119

120


Cuadro 3.2. Frecuencia de observación

Rango Frecuencia de observación < 20.1 I 1

20 a 10.01 m 3 10 a 0.01 mm 6 o a -10.01 m 3

-10 a -20.01 I -20< I

Si se usa la función de la normal, se obtienen los valores de (2J(X) (cuadro 3.3 y figura 3.3). donde puede observarse que los datos se aproximan a la curva normal aunque no es exacta.

Donde: X = 0.008907 r = 0.1206606813 TI = 3.141592654

1 '(X,-X)' i1l(X)=--e-' -r-

.J2rrr'

Cuadro 3.3. Valores de (J){X)

Xi <J>(X) 0.3002 0.1794 0.2048 0.8846 0.1540 1.6000 0.0909 2.6207 0.0870 2.6777 0.0465 3.1451 0.0445 3.1609 0.0426 3.1751 0.0183 3.2914 0.0089 3.3014 0.0047 3.2990

- 0.0513 2.9149 - 0.0540 2.8819 - 0.0870 2.4074 - 0.1100 2.0317

- 0.3002 0.1241


-0.40 -0.30

Figura 3.3. Comportamiento normal de <J)(X)

<!>(X) 3.2914

-0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30

Xi 0.40

Si se agregan más datos se va formando con más claridad la curva normal, por el Teorema del Límite Central.

Una vez aceptado como un buen supuesto que los datos tienen una distribución normal, podemos preguntarnos: ¿cuál es el riesgo que tenemos de que nos vaya mal?

Primero, debernos definir qué queremos decir con que nos vaya rnal. En este ejemplo, lo definirernos como que los precios reales caigan en 10% o más.

Valga aclarar que puede darse el caso de que el precio sea negativo; esto quiere decir que el producto no vale nada y que además tengo que pagar para tirarlo. Este caso lo obviamos.

Ahora cabe preguntarnos ¿cuál es la probabilidad de que los precios bajen en más de 1 O%? Aquí es donde nos sirve que la curva normal se pueda estandarizar; se conoce corno distribución Z ~ (O, 1) (Walpole, 1992).

Para estandarizar se usa la fórmula siguiente:

z = x;-Ji r

-0.10 - 0.008907

0.12066 -0.9026 = z

(3.6)

En las tablas del Anexo A se busca la distribución z, el valor de z = -0.90 (sólo dos decirnales).

P(X; < -0.10) = pez < -0.90) '" 0.1841

121

122


La probabilidad de que los precios caigan en más de 10% es de 18.41 %. Nótese que las probabilidades de la tabla Z se leen de derecha a izquierda. El hecho de que los precios caigan en más de 10% abarca toda el área a la izquierda -después del-1 0- y esa área tiene una probabilidad de 18.41 % (vease figura 3.4).

Si queremos más precisión (z= -0.9026) el cálculo es:

P (Z<-0.9026) '" P (Z<-O.90)-0.26 [Z<-0.90-Z<-O.91] '" 0.1841-0.26 10.1841-0.1814] '" 0.1834

Véase los valores z en el Anexo A. En varios ejemplos vamos a usar sólo el cálculo de valores z de dos

dígitos. Sin embargo, haremos algunos cálculos con cuatro dígitos, sólo para recordar cómo se hace, aunque no sea relevante para el ejemplo.

Así, hay una probabilidad de 18.34% de que los precios tengan bajas de más de 10% (figura 3.4). Véase con la distribución estandarizada Z~(O,l).

Figura 3.4. Probabilidad de que los precios bajen más del 1 0%

Frecuencia

, __________ 1 _____ _ ,

-0.10 o Xi


Si tenemos datos mensuales, podemos anualizarlos; sólo hay que convertir la media y la varianza de I a manera siguiente:

x anua' = xmensua' * 12 = 0.008907 * 12 = 0.106884 "" 10.68%

ranua' = rmensua,m = 0.1206606813m = 0.41798086 "" 41.80%

Y se repiten los cálculos para obtener los valores z. ¿Cuál es el mínimo de datos que nos proporcionaría la confianza de

que la distribución es normal? Por lo general se usan, como mínimo, 30 datos, pero casi siempre la

distribución normal es un buen supuesto (Walpore, 1992: 218). ¿Cuál es la pérdida esperada en el mes si las cosas salen mal? Supongamos que el precio que me hace rentable es de 1 000, Y tengo

problemas si éste cae en más de 10%; o sea que con un precio de 900 o menos tengo pérdidas; es decir, me va mal.

Digamos que si el precio es de 900 tengo una pérdida de 100 y si el precio es de cero pierdo 1 000. El promedio aritmético de la pérdida es de 100+1000 = 550.

2

La pérdida esperada será de 550 pesos multiplicada por 18.34% que es la probabilidad de ocurrencia.

550 * 0.1834 = 100.87

Así, con una reserva de 100 puede cubrirse una caída del precio de más de 10%. O bien la pérdida esperada es de 100.

Es costumbre poner un límite extremo en la baja del precio. Por ejemplo, el mínimo será de 400 pesos, que es un precio de remate; entonces, si bajan los precios en más de 10%, la pérdida será de 100 a 600 pesos. No de 1 000 porque hay un límite de rescate que es 400 pesos. Entonces la pérdida esperada o la reserva para cubrirse será de:

(100 + 600)

0.1834 2 = 0.1834(350) = 64.19 pesos

123

124


Con 64.19 pesos de reserva pueden cubrise caídas de precios extremos.

Hay otro sistema llamado Valor en riesgo (Var) para calcular la pérdida máxima, (Jorion, 2003). Consiste en lo siguiente: el valor en riesgo (Var) resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo establecido.

En nuestro ejemplo, el precio que nos hace rentables es de Po = 1000 Y se observa que la Tasa de crecimiento continua de los precios reales, en promedio, es X = f = 0.008907; la cual se convierte en tasa discreta si obtenemos el antilogaritmo natural a la tasa continua.

antiln(0.008907) = 1 + 0.008947 = /1

Así, esperamos que el precio al mes siguiente sea;

1000(1 + 0.008907) = 1008.91 = precio esperado = P

Ahora la Tasa de movimiento continua más baja que podemos observar es de -0.3002 (véase cuadro 3.1); misma que podemos volver discreta.

antíln(-0.3002) = 0.7407 = R

Así, el precio más bajo que podemos esperar al mes siguiente es:

1000(0.7407) = 740.7 = P *= precio más bajo esperado

El valor en riesgo será:

P - P *= -Po(R - /1)

1008.91- 740.67 = -1 000(0.74067 - 1.008947)

268.24 = 268.24

P = precio esperado

P* :::; precio más bajo esperado

Po :::; precio base

R = tasa discreta más baja


J1 :::; tasa discreta de crecimiento promedio

La pérdida máxima esperada en el mes (268.24) es el valor en riesgo. ¿Qué probabilidad hay de que el precio caiga en más de 30.02%?

Usamos, la curva normal estandarizada:

x·-x -'--=z r -0.3002 - 0.008907

0.12066 -2.562 = z

Z < -2.56 = 0.0052

Véase la tabla Z en el Anexo A.

La probabilidad es de 0.52%, pero puede ocurrir, ya que en los datos se tiene esta caída y la pérdida máxima es de 268.34.

La diferencia entre el primer método y el valor en riesgo (Var) es que el primero es pérdida esperada y el Var es pérdida máxima esperada o posible x.

3.3. Matriz de decisiones en escenarios de incertidumbre Un ejemplo clásico de uso de la distribución normal sirve para formar una matriz de decisiones en escenarios de incertidumbre (cuando hay duda) (Dresdner, 1998).

Ejemplo: La empresa "Flores para Exportación" tiene que tomar la decisión de

cuántos ramos de flores enviar a su cliente en Canadá. Sus datos son:

Precio de venta por ramo en Canadá = 6 dólares Costo de producción y envío desde México = 4 dólares

125

126


Además, están las circunstancias siguientes: En la tienda en Canadá tiene que envolverse cada ramo

efectivamente vendido yeso cuesta 0.50 dólares. Los ramos que no pueden venderse en la tienda, se rematan a un cliente mayorista en tres dólares ramo. Hay un acuerdo con la tienda de que si un cliente busca un ramo de nuestras flores y no hay en existencia, se le regala un cupón de un dólar por cuenta de "Flores para Exportación".

Así que "Flores para Exportación" tiene tres escenarios posibles:

la demanda (O) es exactamente igual a lo que abastecimos (A), O = A La ecuación de ingresos y costos es: 60 = ingreso de lo vendido 4A = costo de lo abastecido 0.50 = costo de la envoltura de lo vendido 60-4A-0.50=S.50-4A= I.SA Tómese en cuenta que, en este caso, O es igual a A. En este primer escenario ganará 1.5 por ramo abastecido

la demanda (O) es menor de lo abastecido (A)

O<A 60 = ingreso de lo vendido 4A = costo de lo abastecido 0.50 = costo de la envoltura de lo vendido 3(A - O) = ingreso por rematar lo que no se vendió en tienda. (Se abasteció pero la demanda fue menor.) 60-4A ,-0.50 + 3(A-0) = 60-0.50-30-4A + 3A = 2.50-A En este escenario puede haber pérdida si A > 2.50.

la demanda (O) es mayor que lo abastecido (A) O>A 60 = ingreso de lo vendido 4A = costo de lo abastecido 0.50 = costo de la envoltura de lo vendido I (O-A) = costo del cupón (en este caso el máximo es de dos mil dólares)

f ¡

josé de Jesús Brambila Paz

6A - 4A - O.5A-l (O-A) = 6A-4A-0.5A-l (0-A)=2.5A - O Nótese que lo máximo que puede venderse y envolverse es A. Así que

la demanda por lo que pagan sólo puede ser igual a A. Por eso 60 se convierte en 6A. Pero O sí puede ser mayor que A al pagar el cupón.

Sabemos que, en el pasado, otras empresas han enviado la siguiente cantidad de ramos:

A,=BOO A2= 1200

A3 = 1500 A4 =2000

Con la información de los envíos pasados y los escenarios descritos, formamos una matriz de decisión (cuadro 3.4), donde estimamos la ganancia en cada escenario.

Cuadro 3.4. Matriz de decisiones, ganancia por escenario

Demanda 01 02 03 04 05 Abasto 800 1200 1500 2000 >2000

A, D=A D>A D>A D>A D>A 800 1200 800 500 O O A, D<A D-A D>A D>A D>A

1200 800 1800 1500 1000 1000 A, D<A D<A D=A D>A D>A

1500 500 1500 2250 1750 1750 A4 D<A D<A D<A D=A D>A

2000 O 1000 1750 3000 3000

El cuadro 3.4 se lee de la siguiente manera: si decido mandar A2 = 1 200 Y la demanda es sólo de O, = BOa, entonces estoy en el escenario O < A. Aplicando la fórmula a la que llegamos: 60 -4" - n.50 + 3(A - O) = 2.50 - A, 2.5 (BOa) - 1 200 = BOa

es la ganancia. ¿Cuántos ramos decide abastecer el lector? ¿Cuál es la mejor decisión de cuánto debe abastecerse?

127

128


(En los diferentes ejercicios prácticos que se hicieron, con estudiantes y con productores, no se pusieron de acuerdo con esta información. Aunque, como un dato curioso, las mujeres en su mayoría escogían A2 = 1 200 Y los hombres A3 = 1 500; el punto es que no se ponían de acuerdo por más que discutían. En lo único que coincidieron era en buscar más información.)

El gerente de "Flores para Exportación" decide pedir a la tienda en Canadá sus listados de ventas anteriores de ramos; le envían sólo los últimos 16 meses (cuadro 3.5). Para facilitar el ejercicio, suponemos que no hay estacionalidad en las ventas.

Cuadro 3.5. Ventas mensuales

Mes Ventas mensuales (ramos) 1 500 2 1000 3 800 4 750 5 1200 6 1500 7 1800 8 1 250 9 1200 10 2250 11 2100 12 1 050 13 1 000 14 900 15 1 500 16 1200

Ahora, como suponemos que los datos tienen una distribución normal (por el Teorema del Límite Central), entonces podemos estandarizarlos y sacar la probabilidad de que ocurra cada demanda (cuadro 3.6).


Cuadro 3.6. Valor y probabilidad de la demanda (D) en una distribución estandarizada (z)

Escenario

1200 < D,< 1500

Valorz

800 - 1 256.25

497.09

1200 - 1 256.25

497.09

-0.9178

-0.1132

1 500 - 1 256.25 -----;=;;-;;-- ~ 0.4904

497.09

2000 -1256.25 -----;=;;-;;-- ~ 1.4962

497.09

l-(P(Z < 1.4962)) ~

*Ver tabla en el Anexo A.

Probabilidad z*

P(Z < -0.9178) ~ 0.1794

P(-0.9178 < Z < -0.1132) ~ 0.4549 - 0.1794 ~ 0.2755

P(-0.1132 < Z < 0.4904) ~ 0.6880 - 0.4549 ~ 0.2331

P(0.4904 < Z < 1.4962) ~ 0.9327 - 0.6880 ~ 0.2447

~ 0.0673

Nótese que el último cálculo es 1 menos el valor de Z (es el mismo valor que el anterior z < 1.4962); esto es porque la suma de las probabilidades es 1 y porque las probabilidades se leen de derecha a izquierda, y se usa el 1 cuando queremos saber la probabilidad de izquierda a derecha.

Ahora se forma la matriz de decisiones con el valor esperado para cada decisión (cuadro 3.7). Por ejemplo, si decidimos enviar A = 1 200 Y resulta que la demanda es de sólo O = 800, ya vimos que aplicando la fórmula de escenarios (D<A) la ganancia es de 800; al ponderar por la probabilidad de ocurrencia resulta la ganancia esperada o el valor esperado; éste es de 800 *0. 1794= 143.52.

El valor esperado de cada decisión de abasto (Aa es la suma de los valores esperados de cada escenario.

A,D, + A,D, + A,D3 + A,D4 + A,Ds = 143.52 + 495.9 + 349.65 + 244.7 + 67.3 = 1301.07

129

130


Cuadro 3.7. Matriz de decisiones con el valor esperado

01 02 03 04 05 Valor

800 1200 1500 2000 2000 esperado

(0.1794) (0.2755) (0.2331) (0.2447) (0.0673) (es la suma)

A, 1200 * 0.1794 800*0.2755 500 * 0.2331 0*0.2447 0*0.0673 552.23

800 = 215.28 = 220.4 = 116.55 =0 =0 A, 800 1800 1500 1000 1000

1 301.07 1200 143.52 495.9 349.65 244.7 67.3

A, 500 1500 2250 1750 1 750 1537.44

1500 89.7 413.25 524.48 428.23 117.78 A4 O 1000 1750 3000 3000

1619.43 2000 O 275.5 407.93 734.1 201.9


Con esta matriz de decisión, ponderada por las probabilidades de ocurrencia para obtener el valor esperado, los estudiantes y los productores ya no tuvieron problema para ponerse de acuerdo. Escogieron mandar 2 000 ramos.

3.4. Selección de un portafolio de productos para disminuir el riesgo En 1990, Harry Markowitz (1927) ganó el premio Nobel de Economía por sus estudios, de principios de la década de 1950, acerca de la forma en que se financia una empresa, así como por sus trabajos respecto a la rentabilidad y el riesgo en la formación de portafolios. Un punto central de los trabajos de Markowitz es que el riesgo (la desviación estándar) de un portafolio puede ser menor que la suma ponderada de los riesgos individuales, y que la rentabilidad del portafolio es la suma ponderada de las rentabilidades individuales (Ros s, 1999).

Supongamos que tenemos dos activos dentro de un portafolio, cuya rentabilidad es la media de la Tasa de movimiento continua del precio real de cada uno y que la rentabilidad del portafolio es igual a la rentabilidad individual ponderada por lo que se tiene de cada activo.

Por ejemplo:


T _ 1" R ='iL.(R,) t=l

Donde Rt = In (~) Pt-l

r,= precio real en el periodo t para el producto i

R, = Tasa de movimiento continua de los precios reales en el periodo t para el producto i

ti i = media de la Tasa de crecimiento continua para el producto i

(Nótese que, para evitar aglomeración de subincisos, obviamos la i, que señala de qué producto o activo se trata.)

Así, tenemos Rl y R2 , que es la media de la Tasa de movimiento continua del bien 1 y 2.

Las varianzas serán: T 1" _ r Z = T _ 1 L. (R, - R)Z = volatilidad

i=l

Así tenemos J? y 122

La aportación de Markowitz fue la siguiente: La rentabilidad esperada del portafolio será:

Rp = X1R1 + X2R2 (3.7)

Donde:

Xi = la proporción que se invierte en el bien i. La suma de X, + X2 debe ser 1. Ahora, puede intuirse que las varianzas ponderadas deben formar la

varianza del portafolio. Esto es:

131

132


Pero esto no es así; veamos la fórmula de la varianza para un portafolio, en este caso de dos bienes (Ross, 1999).

T

rp' = L (X1R1 + X,R, - E(X1R1 + X,R,))' i=l

Ordenando y recordando que ERl = Rv el valor esperado del rendimiento (ER) es igual a su media (R). Además recuérdese que Xl y X2

son parámetros.

T

re' = L((X1Rl -X1Rl) + (X,R, -X,R,))' í=l

Operando:

T

rl = L (X'¡'(Rl + Rl )' + 2X1X,( Rl - Rl)(R, - R,) + x:t(R, - R,)') i=l

Resultado:

(3.8)

Donde:

112 = covarianza entre el bien 1 y 2

Nótese que Xi < 1, por lo que, al elevar al cuadrado, tendremos Xr < Xi, y, como es de esperarse, r# < f#, la varianza (volatilidad) del portafolio es menor a la varianza ponderada; más aún si la covarianza (112) es negativa o lo suficientemente pequeña. También la varianza del portafolio será menor que la varianza de cada producto en particular.

Ejemplo:

Si tenemos los datos siguientes:

R, = 0.175

R2 = 0.055

r,/ = 0.066875

rl = 0.013225

r12 = -0.004875

La media del portafolio será:

X, = 0.6

X2 = 0.4

José de Jesús BrambiJa Paz

Rp = X,R, +XzRz = 0.6(0.175) + 0.4(0.055) = 0.127 '" 12.7%

La Tasa de movimiento continua de los precios reales del portafolio -que contiene dos bienes, de los cuales tenemos una inversión de 60% en el primero y de 40% en el segundo- tiene en promedio un crecimiento de 12.7% por periodo.

Nótese que la rentabilidad de cada bien fija los límites del portafolio; esto es:

0.175 < Rp < 0.055

Ahora la varianza:

(0.36)(0.066875) + 2(0.6)(0.4)(-0.004875) + (0.16)(0.013255) = 0.023852 '" 2.39%

La varianza de la rentabilidad del portafolio es de 2.39%. Nótese que la volatilidad del portafolio (2.39%) es menor que la

volatilidad promedio (4.54%).

r/ < X,Iiz + Xzr} = f/

0.023851 < [(0.6)(0.066875) + (0.4)(0.013225)] = 0.045415

133

134


Además, Markowitz resaltó que puede haber una combinación de ponderadores X, y X2 que resulta en una mínima varianza; esto es, una menor volatilidad o bien un menor riesgo. Aunque se reduce la rentabilidad del portafolio sin dejar los límites R, < Rp < R2 •

Por ejemplo, si cambiamos a X, = 0.20 Y X2 = 0.80, entonces:

Rp = 0.20(0.175) + (0.80)(0.055) = 0.079 = 7.9%

r~ ~ 0.04(0.066875) + 2(0.2)(0.8)(-0.004875) + 0.64(0.013225) ~ 0.009579 '" 0.96%

Nótese que la rentabilidad del portafolio, con las nuevas ponderaciones, pasó de 12.7% a 7.9%, y el riesgo bajó de 2.39% a 0.96%.

Es costumbre graficar rentabilidad y riesgo de cada bien individual para decidir la composición del portafolio. R, r (figura 3.6). Esto es R = rentabilidad y r = riesgo.

Figura 3.5. Rendimiento y riesgo

20R

18

16 .

14

12

10

8

6

4 -.1----- oOTO

5 10

"""""""""'"1-"-"

15

Mínimo riesgo X, = 0.20, X2 = 0.80

Fp = 9.579%

20 25

Rp =7.9%

r 30


De hecho, en la agricultura se acostumbra usar las gráficas rentabilidad-riesgo para comparar el comportamiento de cada producto o si se requiere formar portafolios de cultivos.

Ejemplo numérico para calcular la rentabilidad y el riesgo de un producto. Hay que hacer una aclaración, una empresa agrícola en particular tiene que enfrentar dos tipos de riesgo, el riesgo precio y el riesgo de rendimiento por hectárea. Así, la variable que más se usa para formar escenario de rentabilidad y riesgo es el ingreso bruto.

Consideremos que el ingreso bruto es igual al precio real por rendimiento por hectárea. Así:

J =P*R J = ingreso bruto P = precio real anual R = rendimiento por hectárea

En tasa de crecimiento la ecuación queda:

1 + 1, 1 + P, 1 + R, =

Recuérdese que el logaritmo natural de más la tasa discreta (1 + r) es igual a la tasa continua (f).

In ( 1 + 1, ) = In ( 1 + P, ) + In (_1--,---+ R-,--, ) 1 + 1'-1 1 + P'-l 1 + R'_l

Resultan las tasas continuas de movimiento:

Donde:

r¡ = Tasa de crecimiento continua del ingreso rp = Tasa de crecimiento continua del precio real rR = Tasa de crecimiento continua del rendimiento

(3.9)

135

136


Los datos de los precios reales y el rendimiento por hectárea de x producto son (cuadro 3.8):

Cuadro 3.8. Precio y rendimiento de un producto por hectárea

Año Precio real Rendimiento Ingreso real Tasa de movimiento promedio toneladas por hectárea continua del ingreso

1 50 5.2 260.0 2 55 5.0 275.0 0.0561 3 45 5.5 247.5 -0.1054 4 42 7.0 287.0 0.1481 5 52 6.5 338.0 0.1636 6 64 6.0 384.0 0.1276 7 65 6.5 422.5 0.0956 8 60 6.8 408.0 -0.0349 9 72 6.3 453.6 0.1059 10 75 6.0 450.0 -0.0080 11 68 6.2 421.6 -0.0652 12 52 5.8 301.6 -0.3350 13 48 7.5 360.0 0.1770 14 57 6.0 342.0 -0.0513 15 65 5.4 351.0 0.0260 16 63 6.2 390.6 0.1069


Media

R = ~n:'l(Ri) = 0.407 = 0.0271 '" 2.71% = tendencia del crecimiento de 15 - 15

la rentabilidad

Varianza

r 2 = ~ L.i~l(Ri - R)2 = 0.252369 = 0.018026 '" 1.80% = volatilidad 14 - 14

Desviación estándar

r = 0.1343 '" 13.43% = riesgo


Figura 3.6. Rendimiento y riesgo del ingreso bruto

R

2.71

13.43 r

Nótese que en la línea horizontal se puso la desviación estándar (r), que es el riesgo, y en la línea vertical la media (R), que es el rendimiento promedio, el cual también se define como tendencia de la rentabilidad.

Para formar un portafolio, pueden escogerse todos los productos que se deseen, aunque en el caso agropecuario es suficiente con tener una dispersión de 10 productos; en el caso de acciones o bonos, se recomienda que sean 30 diferentes.

En la matriz (cuadro 3.9), se presenta de manera abreviada la forma de calcular lavarianza de portafolio para h productos.

137

138


Cuadro 3.9. Matriz para calcular la varianza de un portafolio

1 2 3 N

1 x'r' I I X ,X,Cov(R

"R,) X ,X 3Cov(R

"R3 ) X ,X NCov(R

"RN)

2 X,X,GOV(R,,R, ) x~r; X,X3Cov(R"R3 ) X,XNCov(R"RN)

3 X 3 X,Gov(R3 ,R, ) X 3 X,Cov(R3 ,R, ) x~r32 X,XNCov(R"RN )

Fuente: Ross, 1999: 247.

La fórmula de la covarianza es:

(3.10)

La correlación es:

(3.11)

En la figura 3.7 se presenta la rentabilidad (X = media) de la Tasa de movimiento continua del ingreso bruto (precio real por rendimiento por hectárea) y su desviación estándar, para 20 productos agrícolas.

José de Jesús 8rambila Paz

Figura 3.7. Rentabilidad y riesgo de varios cultivos

Rentabilidad (R) 0.04 •

! 0.03 .. ,

002 I Jitomate

• Uva

4 Chile V. B& I11III p'.

Papa • • Cebolla 0.'01 l'il ti

Plátano Calabacita A ,na 0.00 111 Ma~an!~ III'Z~'~~¡;oria ··...,-~A·<i!ogU~a-c..,at-e---,..-

-0.01 .¡ Pepino I11III b IJ:..

""""""1

Riesgo i • Limón Guaya a Garbanzo

-0.02 -¡. Sorgo I cac'1'uate

-0.03 J-' I11III Naranja

::::: I11III Frijol

0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32

Fuente: elaboración propia con datos del SIACON-SAGARPA, 2008 y BANXICO"

(r)

• Café

0.34

A continuación, en el cuadro 3.10 damos los datos del jito mate y cómo calculamos los parámetros.

Los datos fueron tomados del Sistema de Información Agroalimentaria de Consulta (SIACON) y del Banco de México (BANXICO).

139


Cuadro 3.10. Cálculo de la rentabilidad, la volatilidad y el riesgo del jitomate por hectárea

Precio Ingreso Tasa de Rendimiento INPC

Ingreso real crecimiento Año nominal nominal base ($/ton)

(ton/ha) bruto ($/ha) 2007

bruto ($/ha) continua del ingreso real

1980 5.47 19.01 103.98 0.090 115505.83 1981 7.30 21.40 156.21 0.115 135633.08 0.16 1982 11.50 22.57 259.58 0.183 141 826.23 0.04 1983 24.16 23.59 570.01 0.369 154271.75 0.08 1984 38.99 23.28 907.49 0.611 148451.84 · 0.04 1985 53.11 23.32 1 238.26 0.964 128407.17 · 0.15 1986 104.12 28.87 3006.05 1.796 167384.87 0.27 1987 287.57 24.02 6908.01 4.163 165923.61 · 0.01 1988 409.28 25.48 10430.09 8.916 116977.04 · 0.35 1989 453.74 24.78 11241.41 10.700 105056.64 · 0.11 1990 780.57 23.12 18046.00 13.552 133159.68 0.24 1991 1 018.93 23.62 24062.03 16.623 144748.07 0.08 1992 1612.36 18.24 29409.45 19.201 153163.63 0.06 1993 1 500.99 22.54 33826.31 21.074 160514.08 0.05 1994 1 356.88 21.02 28527.05 22.542 126552.37 · 0.24 1995 1 320.93 25.63 33856.76 30.431 111 257.03 · 0.13 1996 2263.58 28.21 63846.54 40.893 156131.32 0.34 1997 3443.16 26.75 92104.53 49.327 186721.40 0.18 1998 4117.80 28.56 117604.37 57.184 205658.54 0.10 1999 3725.34 29.22 108854.43 66.669 163276.80 0.23 2000 3836.10 27.95 107219.00 72.997 146882.28 0.11 2001 3047.74 28.88 88018.73 77.645 113360.79 0.26 2002 3123.92 29.54 92280.60 81.551 113157.08 0.00 2003 4226.18 32.10 135660.38 85.259 159115.77 0.34 2004 6210.45 32.37 201 032.27 89.256 225230.59 0.35 2005 4413.71 31.60 139473.24 92.816 150268.87 · 0.40 2006 5882.41 32.73 192531.28 96.185 200168.71 0.29 2007 4752.89 37.44 177 948.20 100.000 177 948.20 · 0.12

Fuente: elaboración propia con datos de! SIACON-SAGARPA, 2008 y BANXICO.

Rentabilidad 0.0160 Volatilidad 0.0454 Riesgo 0.2131

140

CAPíTULO IV. LA DINÁMICA DE lOS MERCADOS Los mercados se mueven en el tiempo y por muchas razones salen del equilibrio. La pregunta es: si el mercado sale del equilibrio, ¿sus propias fuerzas internas lo estabilizan o se vuelve un mercado volátil y no estable? Para una empresa o un inversionista es muy importante saber hacia dónde tiende el mercado en el que está o, en otras palabras, cómo se comporta el mismo.

En este capítulo vamos a revisar dos modelos que representan mercados dinámicos, uno de estructura simple para conocer si es convergente o divergente del equilibrio, y el otro de estructura compleja para poder proyectar hacia dónde tiende.

4.1. Dinámica de un mercado de estructura simple Un proyecto de inversión debe tomar en cuenta si el mercado en el que va a operar es convergente o divergente y proyectar cuál es la tendencia de las variables relevantes.

Supóngase que tenemos la ecuación de la demanda (4.1) Y la oferta (4.2) de un mercado sencillo.

Las variables están expresadas en logaritmos naturales. Demanda:

Qd =0( +aPt

Oferta:

(4.1)

(4.2)

'1

141

142


La oferta de hoy responde al precio de ayer, por lo que el modelo es dinámico y la demanda responde al precio de hoy. Así:

Qd = cantidad demandada en logaritmos naturales

Qo = cantidad ofrecida en logaritmos naturales

La elasticidad precio de la demanda es a < O. Nótese que en la ecuación 4.1 no se señala la relación inversa entre cantidad y precio, porque a es negativa.

b > O = la elasticidad precio de la oferta

0(, f3 son la demanda y la oferta mínimas

Lo que nos interesa de este mercado es saber si tiende a equilibrarse solo; esto es, saber si es convergente. Si no lo es, entonces el mercado tiende al desequilibrio, que se manifiesta por periodos de abundancia (excedentes) y luego cae en escasez (déficit) por lo que los precios son muy volátiles. Hay que intervenir estos mercados desequilibrados con regulación, con reservas, con control de precios, con mecanismos de exportación-importación. Pero muchas veces -si no es que todas- la intervención resulta peor que la desestabilización. ¿Cuáles son los mercados que tienden a estabilizarse solos y cuáles son divergentes?, ¿a qué se d~be que tiendan al equilibrio o al desequilibrio?

Para contestar lo anterior, primero tenemos que definir el equilibrio: es cuando los precios reales del producto son iguales de un periodo a otro, o bien cuando la oferta iguala a la demanda (lo que puede llevar cambio de precios reales). Esto es:

o bien:

1


Así, usando las ecuaciones de demanda (4.1) y oferta (4.2), el equilibrio se define de la siguiente manera:

a + aP, = fJ + bPt - 1

Como los precios son iguales en cualquier periodo, entonces el equilibrio es (ecuación 4.3):

* p-a P = Pt = Pt - 1 = -a-b

(4.3)

Ésta es la condición de equilibrio y P* es el precio de equilibrio. Ahora, por muchas razones (como baja o alzas extraordinarias de

producción), los precios se desvían del precio de equilibrio. Si definimos la desviación del precio actual del equilibrio como p'=Pt - P'.

Donde:

Pt = el precio actual

P' = el precio de equilibrio

p, = la desviación entre ambos

Sustituyendo la definición de equilibrio ¡ti-a) en a-b

definimos como desviación (P = Pt - P') tenemos que:

- (p-a) Pt = Pt - -a-b

la ecuación que

(4.4)

Despejando el precio actual, Pt queda que es igual al precio de equilibrio, más o menos la desviación:

- (p-a) Pt = Pt + -a-b

(4.5)

Así, es de esperarse que en el mercado el precio actual esté alrededor del precio de equilibrio. Esto es, siempre hay una desviación en relación con

143

144


el precio de equilibrio; el punto clave es si esta desviación tiende a desaparecer o se hace cada vez más grande. En otras palabras, si el mercado es estable o inestable, si es convergente a un equilibrio o divergente.

Veamos: Si rezagamos un periodo, la ecuación 4.5 cambiaría a:

- (fJ- CX) Pt - 1 = Pt + -

a-b (4.6)

Nótese que la definición de equilibrio (j3 -a) es igual para cualquier a-b

periodo; el precio actual (p,) y la desviación (Pt-l) sí pueden ser diferentes.

Si sustituimos los valores p, y P'-l en la ecuación donde igualamos la

oferta y la demanda, tendremos:

a + aPt = /3 + bPt- 1

Operando, resulta que:

(4.7)

Por lo que hay que demostrar que:

(a/3 - aa) _ (b/3 - ba)

a+ a-b -/3+ a-b

Esto puede hacerse con despejes algebraicos. La dejamos para que la haga el lector.

Así, la desviación de hoy (Pt ) es función de la desviación de ayer (Pt - 1 ):


Si esta última ecuación la movemos en el tiempo hasta, digamos, k periodo;

_ L (h)Z_ Pz = (iP1 = (i Po

Nótese que sustituimos el valor de P¡ y nos queda que la desviación

en el periodo 2 es función de la desviación inicial Po.

Nótese que sustituimos el valor de Pz, y nos queda que la desviación en el periodo 3 es función de la desviación inicial Po.

(4.8)

Si la desviación Pz tiende a ser cero, a medida que avanzamos en el tiempo, entonces el mercado tiende al equilibrio, porque la desviación del precio tiende a desaparecer, por lo que llegamos al precio del equilibrio.

Esto es:

(4.9)

145

146


Si P, ~O, entonces P, = P *. Esto es, si la desviación Pt tiende a ser

cero a medida que pasa el tiempo, entonces el precio tiende al equilibrio:

P,=P*. Si la desviación p, tiende a aumentar en términos absolutos, significa

que el mercado es divergente y volátil. Esto es, en un momento hay excedentes para tiempo después tener faltantes. Si p, tiende a disminuir

entonces el mercado es estable.

Así, Pk ~ O sólo cuando I~I < l. Esto es, la desviación tiende a ser O sólo

cuando el valor absoluto de 1: 1 es menor que 1; así, al elevarlo a la k, tiende a

I Ik

ser O la relación ¡~ la

Hay que notar varios puntos:

Primero, dado que a < O (es negativa) es la elasticidad de la demanda y

b> O (es positiva) es la elasticidad de la oferta, entonces la relación ~ a

siempre será negativa, por lo que en el tiempo tendremos un mercado que a veces sube y a veces baja sus precios, pero tiende a estabilizarse. Por

ejemplo, si la relación ~ = -0.5, entonces:

b - ~ -0.5, a

a

b 2 (a:) = 0.25; b 3 (a:) ~ -0.125;

(b)21 ". ~ ;:::; -0.000004 tiende a ser cero.

b 4 (a:) = 0.0625; b 5 e;:) ~ -0.03125 ...

if 1


Nótese cómo se alternan los signos más y menos, por lo que el

mercado siempre oscila. Ahora, para que I~I en términos absolutos sea

menor a 1 se requiere que la elasticidad de la demanda sea mayor que la de la oferta: lal > Ibl o, lo que es lo mismo, Ibl < lal.

Una razón por la que la elasticidad de la demanda es mayor, en términos absolutos, que la de la oferta es que el consumidor final tiene sustitutos por los cuales optar. Por ejemplo, la manzana tiene una elasticidad de demanda, en términos absolutos, mayor que la de la oferta; esto es porque hay sustitutos de la manzana, como la pera, el durazno, la ciruela, entre otros, desde el punto de vista del consumidor de frutas. Así que son mercados que convergen a un equilibrio, como también, en el mercado de carnes, el de bovino, el de pollo, el de cerdo pueden ser sustitutos entre sí. desde la perspectiva del consumidor.

Pero hay productos como los básicos, que por definición no tienen muchos sustitutos (por eso son básicos). En el caso de México es el maíz para tortilla, el azúcar, el frijol, quizás el huevo o la leche, donde la elasticidad de la demanda en términos absolutos puede ser menor a la de la oferta. Así, en

estos mercados la relación es I~I > lo

Supóngase que la relación ~ =-1.5, entonces el mercado es explosivo. La a

desviación del precio Pt en periodos sube mucho y luego cae estrepitosamente.

b b 2 a = -1.5, (a) = 2.25; b 3 b 4 (a) = -3.375; (a) = 5.0625;

b 5 (a) = -7.59375 .. '

b 21 ... (a) = -4987.89

Nótese el movimiento oscilatorio (más, menos, más, menos ... ) y cómo la desviación tiende a ser explosiva.

147

p

p*

148


Así, es común que los mercados de productos básicos sean intervenidos para evitar su volatilidad: se fijan precios de garantía, se dan cupones de consumo o se crean reservas. Todas estas medidas tarde o temprano crean más distorsiones.

Hay dos formas de evitar la volatilidad de estos mercados sin distorsionarlos. Una es buscar sustitutos para el consumidor; la otra es abrir el mercado nacional al mercado intemacional. Esto es, dejar libre la importación y la exportación.

Si un mercado es estable, entonces Ibl < lal; (figura 4.1).

Figura 4.1. Mercado estable

Q Tiempo X

Si es un mercado divergente, entonceslbl > lal (figura 4.2).


Figura 4.2. Mercado divergente

P

P*

o Tiempo

Si I~I = 1, entonces es un mercado cíclico y estable (figura 4.3).

Figura 4.3. Mercado cíclico y estable

P 00 P

Od

o Tiempo X

Este modelo de un mercado simple se conoce como el Modelo de Esequiel o de la Telaraña (Tomek, 1981).

149

150


Claro que un mercado es más complejo que el visto aquí. Por ello, pasamos a estudiar un mercado complejo y su dinámica.

4.2. Dinámica de un mercado de estructura compleja Un mercado puede ser descrito por un modelo de múltiples ecuaciones y se le da dinamismo teniendo algunas variables endógenas con rezagos. Este tema está basado en el artículo de Shlomo Reutlinger de 1966, "Analysis of dinamic model, with particular emphasis on long-run projections", (Reutlinger, 1966) que es un clásico en la teoría dinámica en Economía.

Hay algunas definiciones por apuntar para entender cómo se proyecta un modelo dinámico en el corto y largo plazo.

Un sistema es dinámico si su conducta en el tiempo se representa por ecuaciones funcionales en las cuales las variables están esencialmente relacionadas en diferentes puntos del tiempo.

Un sistema es estable si después de salir del equilibrio tiende a regresar a él.

Un sistema es causal cuando las condiciones iniciales nos permiten predecir a largo plazo. Qué sucederá, depende exclusivamente de los cambios iniciales. ¿Qué sucederá si suben los precios del maíz en 10%, por una sola vez?

Un sistema es histórico cuando los cambios actuales de las variables exógenas son parte del análisis. ¿Qué sucederá si cada año sube el ingreso de las personas en 2%?

El siguiente es un modelo dinámico de un mercado de carne de bovino, en Estados Unidos de América, durante la década de 1960. Shlomo usó los datos de 16 años y estimó cada ecuación por separado por mínimos cuadrados .

. La forma estructural del modelo es:

Y1t = 2.8 + 0.930Y1t_l + 0.153Y3t_ 1 - 3.320Z1t_1

Y2t = 1.9 + 0.280Y1t + 0.490Y1t_1 - 0.030Y3t- 1 + 0.800Z1t_1

Y3t = -70 - 2.700Y2t + 0.022Z2t + 0.6Z3t

Donde:

(1 )

(2)

(3)

Variables endógenas Y, = inventario, en millones de cabezas de ganado Y2 = oferta de carne, en miles de millones de libras


Y3 = precio de cabeza de ganado por cada 100 libras de ganado en pie, en dólares

Z, = precio por bushel de maíz, en dólares Z2 = ingresos anuales per cápita, en dólares Z3 = población en millones de personas

Nótese que el modelo incluye oferta de carne y la demanda está representada por la población y por los ingresos.

El modelo estructural puede representarse en forma matricial. Si las ecuaciones son homogéneas y monótonas pueden igualarse a cero. Esto se conoce como la condición implícita. En nuestro ejemplo, como todas las ecuaciones son lineales, se cumple la condición implícita.

AY, + BYt- 1 + CZt = O

Y, = endógenas corrientes Y'-l = endógenas retrasadas Z, = exógenas

(4.10)

Reordenando las ecuaciones en forma matricial y señalando el orden de cada matriz para comprobar que sean conforma bies para operar:

o -0.,53] [YU-'] [-2.8 o 0.030 YU - 1 + -1.9

o o 3_3 Y3t- 1 3.1 70

Donde:

3.32 -0.80

o

o o

-0.022

Zo = 1, por definición (para arrastrar las intercepciones) Z, = Z"-V por conveniencia

Manipulando con álgebra matricial para obtener la forma reducida. Esto es, las variables endógenas corrientes del lado izquierdo del igual, quedando en función de las variables endógenas retrasadas y las exógenas.

151

152


Para obtener la forma reducida se opera:

Yt = -A-1BYt _ l - A-leZt

Recuérdese que:

AYt + BYt - l + eZt = O

AYt = -BYt - l - eZt

A-lA = 1

(4.11 )

Premultiplicando por A-I se obtiene la matriz identidad (1). La matriz A de 3X3 sí tiene inversa por ser cuadrada.

Si llamamos:

Di = -A-lB

D2 = -A-le

Entonces la ecuación matricial se reduce a:

(4.12)

Donde DI Y D 2 son las matrices conocidas como multiplicadores de

impacto. Veamos:

A-1 = [ 0.~8 O

~] 1 -0.746 -2.7

[Y1] [0.930

O 0.153] rlt-1] [2.800 -3.320 O o~J [!;] Y2 = 0.750 O 0.013 Y"-l + 2.684 -0.130 O Y3 -2.026 O -0.035 Y3t- 1 -77.247 0.351 0.022

Así, podemos predecir qué va a pasar en el periodo siguiente. Si los datos están en años, podemos predecir qué va a pasar el próximo año. Si


están en trimestres podemos predecir el trimestre siguiente. En el ejemplo, los datos están en años.

Ejemplos para predecir lo que va a pasar en los años siguientes, si hoy se toma alguna decisión.

Simulación 1. Si aumenta el inventario por importación en un millón de cabezas, ¿cuánto se mueven las variables endógenas?

LlY1t-l = 1 (porque la variable está medida en millones de cabezas)

[

LlYI ] [ 0.930 o LlY2 = 0.750 o LlY3 -2.026 o

Operando:

0.153] [LlY,,_, = 1] [2.800 0.013 LlY2t- I = o + 2.684

-0.035 i\Y3t-I = o -77.247

-3.320 -0.130 0.351

o o LlZ, =O

[

LlZO = 01 o o LlZ-O

0.022 oJ LlZ:: o

LlY¡ = 0.93(1) = 0.930 millones de cabezas. Es decir, para el año siguiente el

inventario aumentará en 930000 cabezas de ganado.

LlY2 = 0.75(1) = 0.750 miles de millones de libras. Es decir, para el año

siguiente la oferta de carne aumentará en 750 millones de libras.

LlY, = -2.026(1) = -2.026 dólares por cada cien libras de ganado en pie. Es

decir, para el año siguiente va a bajar el precio de la carne en 2.026 dólares por cada cien libras de ganado en pie.

Simulación 2. Si el precio del maíz aumenta 10 centavos. Esto es, LlZ, = 0.10, porque está medido en dólares.

Entonces:

GYI ] [0.930 o

LlY2 = 0.750 o Y3 -2.026 o

0.153] [LlY,,-, = O] [2.800 0.013 i\Y2t_ I = o + 2.684

-0.035 i\Y3t- I = o -77.247

-3.320 -0.130 0.351

o o

0.022 [

LlZo = o ] ~] LlZ, = 0.10

LlZ2 = o 0.6 LlZ

3 = o

153

154


Operando:

LlY¡ = -3.32(0.10) = -0.332 millones de cabezas. Esto es, para el año

siguiente va a disminuir el inventario en 332000 cabezas de ganado debido al aumento del precio del maíz.

LlY2 = -0.130(0.10) = -0.013 miles de millones de libras de carne. Esto es,

para el año siguiente se va a reducir la oferta de carne en 13 millones de libras, por el aumento del precio del maíz.

Llr; = 0.351(0.10) = 0.0351 dólares por cada cien libras de ganado en pie.

Esto es, para el año siguiente va a subir en 3.51 centavos de dólar cada 100 libras de ganado en pie, por el aumento del precio del maíz.

Por supuesto que pueden hacerse combinaciones.

Simulación 3. Por ejemplo, si se importa un millón de cabezas y al mismo tiempo sube el precio del bushel del maíz 10 centavos de dólar, el resultado para el año siguiente será:

LlY¡ = 0.93(1) - 3.32(0.10) = 0.598, el inventario va a subir en 598 000

cabezas de ganado.

LlI; = 0.75(1) - 0.130(0.10) = 0.737, la oferta de carne va a aumentar en

737 millones de libras.

Llr; = -2.026(1) + 0.351(0.10) = -1.99, el precio de la carne va a bajar en

1.99 (casi 2 dólares) por cada 100 libras de ganado en pie.

Si queremos predecir en cantidades totales y no en incrementos, entonces lo podemos hacer de la manera siguiente:

Los datos del año anterior son:

Yit-l = 30 millones de cabezas de ganado en inventario

Y2t- 1 = 25 miles de millones de libras

Y3t-l = 25 dólares por cada cien libras de ganado en pie

Zo = 1 por definición

Zl = 1 dólar el bushel de maíz

Zz = 2 100 dólares de ingreso per cápita anual

Z3 = 190 millones de personas


Como el modelo es dinámico para el año siguiente, sólo con la inercia, se esperan los valores siguientes:

[Vil [0.930 o Y2 ~ 0.750 o Y3 -2.026 o

0.153] [Yit - 1 ~ 30] [2.800 0.013 Y"-l ~ 25 + 2.684

-0.035 Y3t- 1 ~ 25 -77.247

-3.320 o o Z, ~ 1 l Zo ~ 1 j -0.130 o . o Z2 ~ 2100 0.351 0.022 o.J Z3 ~ 190

r; ~ 0.930(30) + 0(25) + 0.153(25) + 2.8(1) - 3.32(1) + 0(2100) + 0(190) ~ 31.205

millones de cabezas de inventario.

Y2 ~ 0.750(30) +0(25) + 0.013(25) + 2.684(1) - 0.13(1) + 0(2100) +0(190) ~ 25.378 miles

de millones de libras de oferta de carne

y, ~ -2.026(30) + 0(25) -0.035(25) -77.247(1) + 0.351(1) + 0.022(2100) + 0.6(190) ~ 21.649

dólares por cada cien libras de ganado en pie

Éstos son los resultados si no cambia nada.

Pero si consideramos que en este año vamos a importar un millón de cabezas y a subir en 10 centavos el bushel de maíz, entonces la proyección para el año siguiente será:

Y1t- 1 = 31 millones de cabezas de ganado en inventario, porque se importa un millón de cabezas

YU - 1 = 25 miles de millones de libras

Y3t- 1 = 25 dólares por cada cien libras de ganado en pie

155

156


Zo = 1 (por definición)

Z, = 1.10 dólar el bushel de maíz (aumentó 10 centavos el precio del bushel de maíz)

Z2 = 2 100 dólares de ingreso per cápita anual

Z3 = 190 millones de personas

[Y1 ] [0.930 o Y, = 0.750 o Y, -2.026 o

0.153] [Ylt-l = 31] [2.800 0.013 Y2t- 1 = 25 + 2.684

-0.035 Y3t- 1 = 25 -77.247

-3.320 -0.130 0.351

o o

0.022

o _ Z,- 1.10

[

Zo = 1 ]

O] Z, = 2100 0.6 Z, = 190

1'; = 0.930(31)+0(25) + 0.153(25) + 2.8(1) - 3.32(1) + 0(2100) + 0(190) = 31.803

millones de cabezas de inventario

y, = 0.750(31) + 0(25) + 0.013(25) + 2.684(1) -o. 13(LlO) + 0(2100) + 0(190) = 26.116

miles de millones de libras de oferta de carne

y, = -2.026(31) + 0(25) -0.035(25) -77.247(1) +0.351(1.10) + 0.022(2100) + 0.6(190) = 19.568 dólares por cada cien libras de ganado en pie

Nótese que la diferencia entre las proyecciones sin incremento y con incremento es igual a los resultados de la simulación 3. Son simulaciones para predecir lo que pasará en el periodo siguiente, por ello a O, y O2 se les llama las matrices de multiplicadores de impacto.

Si se quiere proyectar para el segundo año, entonces se usan los resultados del primer año y se opera. Para el tercer año se usan los resultados del segúndo año y así sucesivamente.

Si quiere proyectarse a largo plazo -esto es, hacia dónde tiende el mercado- es necesario satisfacer primero la condición de estabilidad. Se. puede saber a dónde tiende un mercado si éste es estable. En caso contrario se debe proyectar año con año.

La condición de estabilidad El modelo red ucido es:

Yt = D1Yt- l + DZZt


(4.13)

Si lo movemos en el tiempo -agreguemos un periodo y luego otro hasta K periodos:

Yt+l = Dl Yt + DZZt+1

Yt+z = Dl Yt+l + DZZt+z

Introduciendo Yt+l de ecuación (4.14) 'en ecuación (4.15):

Y'+2 = Dl (D1Y, + D2Z,+1) + D2Zt+2 = DfY, + D1D2Z'+1 + D2Z,+2

Haciendo lo mismo para el periodo 3:

(4.14)

(4.15)

Yt+3 = D1Yt+z + DZZt+3 = Dl (DfYt + D1DZZt+l + DzZt+z) + DZZt+3

Yt+3 = DiYt + DfDzZt+l + D1DZZt+z + DZ Zt+3

Generalizando para K periodos:

Yt+K = DfY, + Df-1D2Z'+1 + Df-2D2Zt+2 + ... + D, D2Z,+K-l + D2Zt+K (4.16)

Si la matriz D¡ K = [O] es la matriz nula, entonces los valores de las

variables endógenas en el futuro O"+K) dependen de las variables exógenas

(Z). A mayor distancia en el futuro, K más grande; las variables endógenas tienen menor impacto y las variables exógenas tienen mayor impacto.

Si se cumple esta condición (D¡ K = [O]), entonces la importancia de

las variables exógenas es mayor entre más cerca estén del tiempo t + K. Por

ejemplo, D¡K-¡DzZI+¡ tiene poca importancia porque D¡K-¡ está cerca de la

matriz nula; así, lo que pasa en el periodo t + 1 tiene poca relevancia. En

cambio, los valores de D¡DZZI+K_¡ Y D2ZI+Kson más relevantes, ya que D¡ está lejos de la matriz nula.

157

158


Lo anterior sólo quiere decir que los valores de r:+K se ven muy

influenciados por lo que pasa en los periodos cercanos y menos en los periodos lejanos.

Para saber si una matriz tiende a ser la matriz nula, si D/ ~ [O], se

requiere hacer uso de las raíces características. Véase el Recuadro 4.2.1. Condición de convergencia.

Recuadro 4.2.1. "Condición de convergencia de una matriz Am" Defmición: La matriz A m se aproxima a la matriz nula, cuando m "" a, donde a es un número lo suficientemente grande, si las raíces características (A.¡) de la matriz A poseen un valor ABSOLUTO menor al, IAd < 1.

Demostración:

SeaAX = AX

Donde A es la matriz, X es un vector donde X * O Y A son la o las raíces características. A es un parámetro y se usa el de mayor valor absoluto.

Si

CA -AI)X = O

Entonces, la ecuación característica será:

lA - All = O

Nótese que el determinante es igual a cero. La matriz 1 es la matriz Identidad y es cuadrada. A es un parámetro.

Continúa ... !


Qu~ ti~n~ la propiedad de:

AX=AX Si multiplicamos por A:

Sustituyendo por AX = AX:

Así:

Si ílm "" O, entonces Am "" [O].

La raíz característica (A) caracteriza el comportamiento de la matriz A. Si la raíz característica se eleva a la m potencia y tiende a ser O, la matriz A elevada a la m potencia tiende a ser la matriz nula.

Así, la ecuación característica se puede escribir, si es de 3*3:

~l = O

Ya que X"" O, el vector X es diferente de O.

Las a u son números conocidos, la única incógnita es íl .

Operando:

a11 - íl a12

a2i a 22 - íl a31 a32

Continúa ...

159

160


El detenninante de la matriz es cero, por lo que se puede despejar le. Podernos tener varios valores para le, dependiendo del rango de la matriz. Entonces, para conocer el . comportamiento de Am se escoge la raíz característica de mayor valor absoluto; si éste es menor al, entonces la matriz converge, se estabiliza, de otra manera no se puede predecir de esta fonna el largo plazo.

Regresamos a nuestro ejemplo.

Aplicando la condición de convergencia a nuestra, Dv tendremos:

ID1 -·;U1=0 (4.17)

Donde)¡ es la raíz característica, también conocida como raíz latente o Eigen valor.

I[ 0.93 O

0.153] r O 0]1 0.75 O 0.013 - O íl O = O -2.026 O -0.035 O O íl

10.93 - íl O 0.153 1 0.75 -íl 0.013 = O

-2.026 O -0.035 - íl

Operando y como dos de las matrices menores están precedidas por un cero entonces sólo utilizamos:

_ílI 0.93 - íl 0.153 1 = O -2.026 -0.035 - íl

Dividiendo por - í1., solo queda:

10.93 - íl 0.153 1- O -2.026 -0.035 - íl -

Así, la ecuación del determinante queda:

(0.93 - íl)( -0.035 - íl) - (-2.026)(0.153) = O

-0.03255 + 0.035íl- 0.93íl + íl2 + 0.309978 = O

f I


Se reduce a:

0.277 - 0.895i1. + il.z = O

Se resuelve usando la fórmula conocida:

-b+..Jb 2 -4ac - = A·

Za 1 (4.18)

Donde:

0=1

b =-0.895

c= 0.277

0.895 ± v'0.801025 - 1.108 0.895 ± v'-0.306975 A· = = ----c----'2 2

Hay una raíz negativa, por lo que tenemos un número complejo, una parte real yotra imaginaria.

Al = 0.447 + 0.277í

Az = 0.447 - 0.277í

Para poder seguir adelante véase el Recuadro 4.2.2 ("Números complejos y funciones circulares") ya que tenemos números imaginarios.

161

162


Recuadro 4.2.2. "Números complejos y funciones circulares" Definición: un número imaginario se da cuando tenemos la raíz cuadrada de

un número negativo.

";-9 = V§";-1 = 3i

Donde ,,; -1 = i por definición es imaginario.

Definición: un número complejo es el que tiene una parte imaginaria y una real; (h + vi), donde h es real y vi es imaginario. Por ejemplo, 3 + 5i es un número

complejo.

Así:

0.895 ± ";-0.306975

2

Se resuelve como un número complejo:

0.895 + 0.554053i 0.895 ± ";-0.306975H

2 - = 0.447 ± 0.277i

2

Continúa ...


Un número complejo se puede graficar en un Diagrama de Argand (Figura 4.4), donde los valores reales h están en el eje horizontal y los valores imaginarios vi en el eje vertical.

Figura 4.4. Diagrama de Argand

Valores imaginarios

(h,v)=c

v

o h h Valores

reales

Si tenemos un número complejo, entonces su comportamiento es en forma de ciclo (Función circular) (figura 4.5). Note que la línea punteada de la figura 4.4 se puede mover 360°, esto es lo que la hace ser una función circular.

Continúa ...

163

164


Figura 4.5. Diagrama de Argand, función circular

Si unimos los valles y las cúspides en un diagrama de Argand resultan como en la figura 4.6.

Figura 4.6. Diagrama de Argand, uniendo valles y cúspides

vi

e

M

v

o h h

continúa ...

T


Si conocemos el módulo (M) los valores de v (imaginario) y h (real) entonces podemos calcular el valor del ángulo O (theta).

El módulo (M) de un número complejo es la distancia del origen (O) a la intercepción, e = (h, v).

Oc = M = Vh2 + v 2 , por el Teorema de Pitágoras.

Así, M es el módulo (o valor absoluto) del número complejo h + vi.

Ejemplo:

r 2 + r +4 = O

-1±~1-4(4) -1±-V-I5 -l±VI5i -1±3.872983i ---'--::----'--'- = = = 2 2 2 2

= -0.5 ± 1.93649i

M = ~ (-0.5)2 + (1.93649)2 = VO.25 + 3.75 = 2

Coseno O = !!:. = 0.5 = 0.25 (coseno 0)-1 = 75.52 = O M 2

Seno O = .!'.- = 1.93649 = 0.968245 (seno Or1 = 75.52 = O M 2

Si el círculo tiene 360°, entonces ~60° es 10 que tardamos en completar el ()

círculo; esto es, el tiempo que tarda el ciclo en ir de valle a valle o de pico a

pico: 360° _ = 4.77. Si los datos están en años, tardamos 4 años y, más o 75.52°

menos, 9 meses. Si los datos son meses, entonces tardamos 4 meses y 23 días. Regresemos a nuestro modelo del mercado de carne.

165

66


ili =

Las raíces características son:

0.895 + ;10.801025 - 1.108

2

0.895 ±;I 0.306975

2

0.895 ± ;l0.306975H 0.895 ± 0.554i

Al = 0.447 + 0.277i

A2 = 0.447 - 0.277i

2 2

Esto significa que enfrentamos un mercado que se mueve en ciclos. El módulo de este número complejo será:

M = .J(0.447)2 + (0.277)2 = 0.527

Si M < 1 es un mercado cíclico pero convergente.

Si M > 1 es un mercado cíclico pero divergente.

Si M = 1 es un mercado cíclico permanente.

Éstas son las tres particularidades del caso general (números complejos) que nos falta ver en el capítulo 11.

Lo largo del ciclo será:

0.447 Coseno () = 0.527 = 0.84819

0.277 seno O = . = 0.52562

0.527

Se despeja e, obteniendo el coseno- l (inverso) de 0.84819 o el seno -1 de 0.52562.

coseno- l 0.84819 = 31.9846 = ()

seno-I 0.52562 = 31.7098 = O


El ciclo dura:

3600

3600 1125--=--= . anos e 31.9846

Dado que los datos están en años, el ciclo dura aproximadamente un poco más de 11 años.

Para saber si la matriz DI m tiende a ser la matriz nula, se revisan el

comportamiento de la A dominante (el mayor valor absoluto), o, si se tiene un número complejo, se revisa su módulo (M). Si tenemos A -que es un parámetro- el análisis del comportamiento del mercado es igual al que hicimos en el capítulo 11. Sólo como repaso veamos.

Se escoge la /Al de mayor valor absoluto y se revisa su comportamiento como A, con todo y signo.

Si O < A < 1, el sistema es estable; ya que D/tiende a 0, K tiende a a (figura 4.7). Esto es, 0 , elevado a la k, que es un número suficientemente grande, entonces el sistema es estable.

Figura 4.7. Sistema estable

y

t

Si íl > 1, el sistema es divergente (figura 4.8).

167

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y

t

Si -1 < il < O, el sistema oscila pero converge en forma irregular (figura 4.9).


Yt

t

Si il < -1, el sistema oscila pero diverge, es un sistema explosivo (figura 4.10).


Figura 4.10. Sistema oscilatorio pero divergente, explosivo

y

t

Si A = 1, el sistema es de un cambio instantáneo (figura 4.11).

y,

Figura 4.11. Sistema instantáneo

p

t

/ /

/

/

/ /

/

o bien es un modelo de crecimiento constante (figura 4.12).

Q

169

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Figura 4.12. Sistema constante

Yt

2 3 4 5 t

Si A = -1, es un sistema estable, pero se repite alternando valores a y b (figura 4.13).


Yt

a

b

t

Si la raíz dominante es un número complejo: A = h + vi

Sabemos que se mueve en ciclos. Pero para saber si son convergentes (para que se pueda proyectar) o divergentes es necesario obtener el módulo.

M = .Jh2 +v2

+


Si M < 7, entonces el modelo se mueve en ciclos pero sus valles son cada vez menos profundos y sus picos menos altos, por lo que el sistema es estable y converge (figura 4.14).

Figura 4.14. Sistema estable que converge

y

t

Si M > 7 el modelo diverge; cada vez son más profundos sus valles y más altos sus picos (figura 4.15).

Figura 4.1 S. Sistema divergente

y

t

Si M = 1, el modelo es estable y constante (figura 4.16).

171

172


Figura 4.16. Sistema estable y constante

Yt

t

Así que nuestro mercado de carne es cíclico (dura poco más de 11 años) y

como M = 0.527 entonces es convergente (D¡ K tiende a [O]) por lo que , podemos predecir a largo plazo.

4.3. Multiplicadores de largo plazo Seguimos con el modelo del mercado de carne del inciso anterior, pero ahora vamos a hacer proyecciones de largo plazo, que es un poco más complejo.

Volviendo a la ecuación 4.16, el modelo se movió a K periodos:

Yt+K "" DfYt + Df-1DzZt+1 + Df-zDzZt+z + ... + D1DzZt+K-l + DZZt+K

Como (D¡K tiende a [al) entonces los valores de Y'+k dependen de los , valores exógenos (Z).

Proyectamos primero un modelo causal: Un sistema es causal cuando sus valores endógenos dependen de los

cambios que se presentaron una sola vez en las variables exógenas. Esto es:

Z' = Zt+l = Zt+z = Zt+3 = ... = Zt+K-l = Zt+K (4.17)


Por ejemplo, ¿qué pasaría en el largo plazo si se sube el precio del bushel de maíz en 0.10 dólares por una sola vez? Así, todas las Z serán 1.10 dólares.

La ecuación 4.16 la podemos reescribir para un sistema causal como sigue:

(4.18)

Por las series de Neumann (véase el recuadro 4.2.3) podemos reducir la ecuación 4.18 a:

Yt+K = (1- D1 )-lD2Z*

Donde:

(4.19)

(1- D1r 1D2 = es la matriz de multiplicadores de largo plazo, para un sistema causal.

Recuadro 4.2.3 Series de Neumann Sea:

(I - Ar' = l + A + A2 + A3 + ...

Demostración, premultiplíquese por (1 - A):

(l- A)(l- A)-l = (l- A)(I + A + A2 + A3 + ... )

Opérese: l = I+A+A2 +A3+"'_A_A2 _A3 - ...

Nótese que hay A positiva y A negativa, A2 positiva y A2 negativa, y así sucesivamente. Por lo que:

l=l Se requiere que Ah "" [O] cuando h es un número suficientemente grande.

Regresemos a nuestro modelo de carne.

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r;+K = (1 - D¡)-l D 2Z'

l

Y1t+1] l-23.3300 Y2t+1 = -15.19506 Y3t+1 -28.97471

-8.8474 -6.54238 17.66462

0.0088 0.0066

0.00403

0.24005] [~Ol 0.18155 / 0.10983 Z~

Así podemos proyectar en el largo plazo. Por ejemplo, si no hay cambios en las variables exógenas:

Z o = 1 (por defi n ición)

Zl = 1 dólares de bushel de maíz

Zz = 2 100 dólares de ingreso per cápita

Z3 = 190 millones de habitantes

Nótese que son los mismos datos que usamos para la producción de corto plazo y ahora lo hacemos a largo plazo.

Entonces en el largo plazo, las variables endógenas tendrán los valores siguientes:

Y1t+K = -23.33(1) - 8.8474(1) + 0.0088(2100) + 0.24005(190) = 31.91 millones de cabezas de ganado de inventario

Y2t+K = -15.19506(1) - 6.54238(1) + 0.0066(2100) + 0.18155(190) = 26.62 oferta de came en miles de millones de libras

l','+K = -28.97471(1) + 17.66462(1) + 0.00403(2100) +0.10983(190) = 18.02

dólares por cada cien libras de ganado en pie

Si sube el precio de bushel de maíz a 1.10 de una sola vez, en lugar de a 1.00 dólares. Los datos cambian a:


Zl = 1. 10 dólares por bushel de maíz

José de jesús 8rambila paz

Z2 = 2 100 dólares de ingreso per cápita

Z3 = 190 millones de habitantes

Entonces, la proyección de largo plazo será:

Y1t+K = -23.33(1) - 8.8474(1.10) + 0.0088(2100) + 0.24005(190) = 31.03 millones de cabezas de ganado de inventario

Y, .. K = -15.19506(1) -6.54238(1.10) + 0.0066(2100) + 0.18155(190) = 25.96

oferta de carne en miles de millones de libras

Y,'+K = -28.97471(1)+ 17.66462(1.10)+0.00403(2100) +0.10983(190) = 19.79

dólares por cada cien Ii bras de ganado en pie.

Así que un aumento de 10 centavos en el precio del bushel de maíz provoca a largo plazo los efectos siguientes:

Los inventarios de ganado (Y,) bajarán en 880 000 cabezas (-0.88=31.03-31.91 ).

Las oferta de carne bajará en 660 millones de libras (-0.66=25.96-26.62). El precio subirá en 1.77 dólares por cada cien libras de ganado en pie

(1.77=19.79-18.02). Ahora proyecternos un rnodelo histórico. Un sistema es histórico cuando alguna o todas las variables exógenas

tienen un movimiento en el tiempo en forma independiente. Así, es más cornpleja su proyección a largo plazo que el sistema causal, porque ahora se perrnite que las variables exógenas se muevan en el tiernpo.

Por ejemplo:

Zt = Eo +E1T (4.20)

Las variables (Z) tienen un crecirniento de El cada periodo, t es el tiempo. Eo es el valor inicial de la variable exógena.

175

176


Para proyectar a largo plazo, volvamos a nuestra ecuación 4.16 en el periodo K:

Yt+K = DfYt + Df-1DzZt+1 + Df-zDzZt+z + ... + D1DZZt+K-l + DZZt+K

Como Df "" [O] Y las variables Z se mueven en el tiempo:

Sustituyendo:

Zt+l = Eo + E1(T + 1)

Zt+z = Eo + E1(T + 2)

Zt+K-l = Eo + E1(T + K -1)

Zt+K = Eo + E1(T + K)

l'¡+K = D¡K-¡Dz[Eo + E¡(T + 1)]+ D¡K-Z Dz[Eo + E¡ (T + 2)]+ ... +

D¡Dz[Eo +E¡(T +K -l)]+DzlEo +E¡(T+K)]

Operando (véase apartado siguiente) resulta:

l'¡+K = (l +D¡ + D/ + D¡3 + ... + D¡K-Z + D¡K-¡)D2[Eo + E¡ (T + K)]-

(4.21)

2 3 K-l ) (D¡ +2D¡ +3D¡ + ... +K -lD¡ )D2E¡ (4.22

T: I


Recuadro 4.2.4. Operando para simplificar Si en la ecuación 4.21 empezamos por el último término y vamos encontrando el factor común en todos los tém1inos hasta el primero, tenemos (recuérdese que esto nlismo hicimos cuando vimos las progresiones y cuanto suman):

Último ténnino

Penúltimo ténnino

Antepenúltimo ténnino

D, D2 [Eo + E,(T + K -1)]

DfD2 [Eo + E,(T + K - 2)]

D2 [Eo + E, (T + K)]

D, D2 [Eo + E,(T + K)]

DfD2 [Eo + E,(T + K)]

y así sucesivamente:

DiD2[Eo +E,(T + K - 3)]

Dj'-2D2[Eo + E, (T + 2)]

Dj'- l D2[Eo + E,(T + 1)] ~

T+K-K+1

T +K - (K-1)

DiD2[Eo + E,(T + K)] -3DiD2E,

Dj'-2D2[Eo + E, (T + K)] -(K - 2)Dj'-2D2E,

Dj'- l D2[Eo + E, (T + K)] -(K -1)Dj'-' D2E,

--.. ~- --- ---'---v--'

}

Es la forma que pasamos de

T + 1 a T + K y resta (K -1).

Ordenando el primer término dellado derecho que tiene como factor común

Así que:

(I + Di + D"f + Dl+ ... + Df-z + Df-i)Dz[Eo + Ei (T + K)] (4.23)

Continúa ...

177

178


Las series de Neumann (véase recuadro 4.2.3) señalan que:

Entonces reducimos la ecuación 4.23 y el primer término del lado derecho de la ecuación 4.22 queda de la manera siguiente:

El segundo término de la ecuación 4.22 tiene como factor común DzEv así que se puede reordenar como:

El término entre paréntesis es igual a:

D1 (I + 2D{ + 3Df+ ... + (K - 2)Df-3 + (K - l)Df-z

y por las series de Neumarm podemos mostrar que:

(I + 2D{ + 3Dr+ ... + (K - 2)Df-3 + (K - 1)Di'-2 = (I - DI)-2

= (I - DI)-I(I - DI)-I

= (I + DI + Dr + Di + ... )(I + DI + Dr + Di + ... ) = (operando)

= 1 + DI + Dr + Di + ... DI + Dr + Di + Di + ... + Dr + Di + Di

+ Di' + "'+Di +Di + Dí + ... = (sumando)

= (I + 2DI + 3Dr + 4Di + ... + (K - 2)Df-3 + (K - 1)Df-2 + ...

Continúa ...

f

Recuerde que Df "" O, cuando K "" a.

Así, el segundo término es igual a:

Di (I - Dl )-2D2El

Regresando a la ecuación 4.22.


(4.24)

Así que, operando para simplificar, la ecuación 4.22 se reduce a:

Yt+K = (I - Dlr l D2[Eo + El(T + K)]- (I - Dl )-2D1D2El

"--y-------J \ Y )~ y Multipl1cador de

largo plazo

Valor final de las

variables exógenas

Factor de

corrección

,---------, Crecimiento de las exógenas

en terminos absolutos

Nótese que necesitamos un factor de corrección porque al multiplicador de largo plazo le aplicamos los valores exógenos del último año [Eo + El (T + K)]; es decir, estamos sobreestimando los resultados y hay que corregir a la baja, por lo que el factor de corrección tiene el signo menos.

Seguimos con el ejemplo de la carne.

Supongamos que los valores exógenos son:


Zl = 1 dólar",s el bushel de maíz

Z2 = 2 100 + 60(T) dólares, el ingreso per cápita con un crecimiento anual de 60 dólares

Z3 = 190 + 3(T) millones de habitantes, con un crecimiento anual de 3 millones de habitantes

Esto es, el precio del maíz es igual durante todo el periodo. El ingreso per cápita anual sube cada año en 60 dólares y la población crece en 3 millones

179

180


de personas cada año. Si proyectamos para 9 años, T = 9 entonces las variables exógenas del año 9 serán:


Zl = 1 dólar por bushel de maíz del año 9

Z, = 2640 dólares de ingreso per cápita del año 9

Z3 = 217 millones de habitantes del año 9

Para proyectar al año 9 se aplica nuestra ecuación matricial:

Y1 -23.3300 -8.8474 0.0088 0.24005 Z: = 1 -51.384 -8.023 0.017

[

z ~ 1 ] Y2 = -15.19506 -6.54238 0.0066 0.18155 Z _ 2 640 - -54.546 -12.016 0.018 [rJ L28.97471 17.66462 0.00403 0.,09J ;,-~ 217 [147.276 32.443 -0.05

Operando, las variables endógenas en el año 9 serán:

Y1(9) = 40.8 millones de cabezas de ganado de inventario

Y'(9) = 32.66 oferta de came en miles de millones de libras

Y3(9) = 30.25 dólares por cada cien libras de ganado en pie

0.453 o

[0] 0.504]60

-1.362 3

Éstos son los resultados del mercado de la carne en el largo plazo. Los conceptos e instrumentos para diseñar un modelo que represente un mercado dinámico tienen múltiples usos.

(Para una aplicación de este modelo y el posible impacto que pudiera tener una crisis sanitaria en el ganado bovino en el caso de México, véase la tesis de maestría en ciencias de Herrera (2009).)

Entre más complejo sea el comportamiento de las variables exógenas, más compleja será la proyección.

El uso de este modelo complejo y dinámico permite hacer simulaciones de política económica; es muy útil para prever hacia dónde va el mercado de un bien genérico (commodity) y si su comportamiento es estable, oscilatorio o bien cíclico. Esto es de relevancia para evaluar proyectos individuales.


Por ejemplo, si voy a evaluar una inversión en un rastro TIF, los datos actuales son de un inventario de 30 millones de cabezas de ganado y un precio de 25 dólares por cada cien libras de ganado en pie; pero, con datos duros, es de esperarse que en el año 9 (dentro de 10 años porque empezamos en el año cero) tendremos 40 millones de cabezas de ganado y es muy posible que el precio sea de 30 dólares por cada cien libras de ganado en pie. Esta información mejoraría en mucho la evaluación tradicional de un proyecto. El siguiente capítulo, "Opciones reales y la toma de decisiones", toma en cuenta que un gerente -por ejemplo, el del rastro TIF- va tomando decisiones de acuerdo con la manera en que se van presentando las cosas cada año. Esta capacidad de decidir o cambiar a lo largo de la vida del proyecto tiene un valor hoy, cuando decido si invierto o no. Ésta es la aportación de las opciones reales.

181

CAPíTULO V.LAS OPCIONES REALES Y lA TOMA DE

DECISIONES

5.1. Las opciones reales En la década de 1950 se elaboró una metodología para estimar el valor presente de un bono (emitido por el tesoro americano) que ofrecía un flujo de efectivo mensual por varios años. Esta metodología se extendió para estimar el Valor Actual Neto (VAN) de un proyecto. Si el VAN es positivo se debe invertir, si es negativo se debe rechazar (Mascareñas, 2004).

La fórmula usada es:

t

""Fe. VAN = -[ + ? (1+ ~)i l=l

Donde: = inversión

FC;= el flujo de efectivo para el momento i R = la tasa de descuento = tasa de interés más riesgo t = tiempo de duración del proyecto

(5.1)

El flujo de efectivo es el ingreso menos costos de operación de cada periodo de la vida útil del proyecto.

Esta metodología funcionó bien durante la segunda mitad del siglo xx. Pero el mundo cambió y es necesario adecuar la metodología para evaluar proyectos. En la actualidad se reconoce que ésta no toma en cuenta que a lo largo de vida del proyecto, el gerente del mismo tiene la posibilidad

183

184


de tomar decisiones según se presenten las circunstancias. No se consideró porque la economía de las décadas comprendidas entre 1950 y 1980 fue estable, en comparación con la de 1990 y la primera del siglo XXI. Esta "flexibilidad operativa" le agrega valor al proyecto que la metodología tradicional no toma en cuenta.

Las opciones reales que puede tener el gerente de un proyecto son (Mun, 2007):

a) Diferir o posponer la inversión. Aunque el VAN tradicional sea positivo, el gerente puede posponer su aplicación por varias razones; una muy sencilla es "ver qué pasa en el mercado", lo que se conoce como una opción de aprendizaje.

b) Ampliar. Si el proyecto ya en marcha resulta tener excelentes resultados, el gerente puede decidir ampliarse o bien adquirir empresas que competían con él o bien mejorar su competitividad aumentando su escala. Se conoce como una opción de compra.

e) Reducir. Si el gerente considera que el mercado está muy saturado puede decidir reducir su producción o bien vender parte de los activos para tener mejor liquidez. Se conoce como opción de venta.

d) Abandonar. Si las cosas no salen como se esperaba, el gerente puede decidir cerrar temporalmente o vender el proyecto antes de que concluya. Se conoce como opción de salida.

e) Seguir. Si todo va de acuerdo con lo planeado el gerente tiene la opción de seguir.

f) Cambiar. Si hay otras oportunidades en el mercado, el gerente puede decidir cambiar de producto.

Así, ahora se considera que si el gerente tiene opciones reales entre las que puede optar a lo largo de la vida del proyecto, éstas tienen un valor hoy que debe tomarse en cuenta al evaluar el proyecto.


Otra limitante de la metodología tradicional es que el VAN se basa en precios promedios, sin tener en cuenta la volatilidad de los mismos. Esto es, la evaluación tradicional no toma en cuenta el riesgo, salvo en los puntos que agrega de riesgo la tasa de descuento. Recuérdese que la metodología del VAN tradicional nace de valorar un bono del tesoro americano que no tiene riesgo. Lo más que se hace en la evaluación tradicional es estimar la "resistencia" del VAN con precios bajos. Pero esto no toma en cuenta las probabilidades de que ocurran precios altos y bajos.

Por eso en la actualidad se considera que un proyecto debe aceptarse o rechazarse si el VAN total es positivo o negativo. ¿Qué compone el VAN total? El VAN total está compuesto de la suma del VAN tradicional más el valor actual neto de las opciones reales, de la flexibilidad operativa.

VANtotol = VANtradidonal + valor de la opción real (5.2)

Nótese que puede darse el caso que el VAN tradicional sea negativo (y por tanto querer rechazar el proyecto), pero el valor de la opción real puede ser lo suficientemente grande y positivo para contrarrestar el efecto negativo y así resultar un VAN total positivo y aceptar el proyecto. Éste puede ser el caso de los negocios que empiezan en la Bioeconomía; de varios proyectos en la agricultura, y de proyectos ecológicos.

Una opción es el derecho a ejercer una acción pero no la obligación de hacerlo. La metodología para valuar una opción real se toma de la metodología de valuar una opción financiera, donde por un pago se puede tener el derecho a comprar (cal/) o a vender (put) en un momento previamente fijado, pero no se tiene la obligación. Si es conveniente se ejerce ese derecho, si no se deja pasar y sólo se pierde el pago previo por tener la opción. (Para el caso de las opciones financieras, véase Hull, 2003.) Se les llama opciones reales porque tratan de bienes y servicios reales, lo que los diferencia de las opciones financieras. Veamos algunos ejemplos.

5.2. La construcción de un árbol binomial tomando en cuenta el riesgo Supongamos que se tiene un proyecto donde hay que hacer una inversión inicial de 100 millones de pesos y que el flujo de efectivo descontado con

185

186


una tasa de 15% resultó en 150 millones de pesos, así que el VAN es de 50 millones de pesos.

La fórmula clásica del VAN tradicional es:

T ( X' ) V ANtradicional = -A + Li=l (1+~)i (5.3)

Donde: A = inversión inicial en el año cero Xi = flujo de efectivo del año i (el ingreso menos el costo de operación en el

periodo i) t = el número de periodos a = la tasa de descuento

V ANTradicional = -100 + 150 = 50 millones = V ANT

El VANTradidonal es de 50 millones, pero supongamos que sabemos que la desviación estándar de la tasa continua de los precios reales o del flujo de efectivo real del proyecto es de r = 0.60 que el proyecto dura 4 años y que , la tasa de interés real libre de riesgo es de r = 0.05 (la tasa de rendimiento real de un bono gubernamental).

Entonces, se sabe que los precios o el flujo del proyecto pueden subir o bajar en términos reales. Como en los otros capítulos, lo importante es conocer la Tasa de movimiento continua de los precios reales o del flujo real. Así que la desviación estándar de 0.6 es en referencia a la Tasa de movimie.nto continua de los precios reales o del flujo real y mide el riesgo del mismo. De aquí en adelante sólo nos referimos al movimiento de precios, pero debe quedar claro que puede ser también del flujo de efectivo.

Con la r = 0.60 introducimos el riesgo de los precios. Así podemos definir cuando nos va bien J1 ~ ea, (viene de up) cuando los precios suben y

cuando nos va mal d = e-O.6 (viene de down) cuando los precios bajan. El

flujo de efectivo descontado a 15% es de 150 millones de pesos a valor

:¡;:a


presente. Tomando el riesgo o la volatilidad el comportamiento sería para el primer año (figura 5.1):

!1 = eO•6 = 1.8221 (nos va bien) = los precios suben.

d = e-D·6 = 0.5488 (nos va mal) = los precios bajan.

Nótese que la medida de riesgo es la desviación estándar de los

cambios en los precios reales medido con logaritmos naturales: In(!5 J. Las ~-I

tasas continuas de movimiento sí se pueden sumar. Nótese, además, que se parte del valor presente del flujo de efectivo

(150). No sería conveniente usar, del valor actual neto, 50 millones de pesos, porque esto incluye la inversión inicial y, de hecho, ésta no se ve afectada por la volatilidad de precios. Por ello, es mejor partir del valor presente del flujo de efectivo.

Véase la figura 5.1 para empezar a mover el valor presente del flujo de efectivo en el tiempo, tomando en cuenta que nos puede ir bien (¡.¡) o nos puede ir mal (d).

187

88


Figura 5.1. Valor presente del flujo de efectivo del proyecto en el año O y 1

f1 273.32 =150*1.8221 (Nos va bien, los precios suben.)

d EJ =1 50*0.5488 (Nos va mal, los precios bajan.)

Año O 1

En términos generales sería como se muestra en la figura 5.2.

Figura 5.2. Valor presente del flujo de efectivo del proyecto en términos generales

VD


¿Con qué probabilidad pueden subir los precios y con cuál pueden bajar? Si tomamos en cuenta que conocemos los valores del año 1, porque

son flVo y dVo' entonces podemos calcular la probabilidad de que cada

caso suceda, p y l-p; el resultado lo descontamos por 1 + r, donde r es la tasa de interés real libre de riesgo y debe ser igual al valor presente inicial.

Se parte de la definición de valor presente del flujo de efectivo que, en este caso, es Vo y se considera la probabilidad como ponderador. La fórmula que se usa es:

v. _ PI'Vo + (1 - P )dVo 0- l+r

Donde: Vo = valor presente inicial p = probabilidad Jl = up = eO.6

d = down = e-O.6

r = tasa libre de riesgo

(5.4)

Nótese que lo único que se hace es ponderar con p y 1 - p, el valor de subir JlVo y el de bajar dVo; el resultado se actualiza con 1 + r. Como son conocidos los valores Vo. Jl, d Y r, entonces podemos despejar p. Una ecuación con una sola incógnita (p) tiene una solución única.

Despejamos la probabilidad p:

(1 + r)Vo = Vo[PJl- pd + d]

(1+r)-d = p (probabilidad de subir) I'-d

(1 - p) (probabilidad de bajar)

En tasas continuas:

e' -d

fl-d p

(5.5)

(5.6)

(5.7)

189

90

Bioeconomía, instrumentos- para su análisis económico

En nuestro ejemplo sería:

(1 + o.OS) - 0.5488 = P = 0.3936 es la probabilidad de subir; 1 - P = 0.6064 es 1.8221 - 0.5488

la probabilidad de bajar. Ahora, ¿cuál sería el comportamiento del valor presente del flujo de

efectivo del proyecto, tomando en cuenta el riesgo o la desviación estándar del movimiento de los precios reales o del flujo de efectivo real?

En nuestro ejemplo, el proyecto dura cuatro años yen la figura 5.3 se pueden observar todas las posibilidades en las que puede caer a lo largo de todo el periodo. A cada posibilidad le llamaremos nodo y para llegar a éste se multiplica el valor anterior por la ¡.t o por la d. Por ejemplo, si estoy en el nodo i de 82.32, calculo para subir al nodo h, 1.8221 * 82.32 = 150 o para bajar al nodo ¡, 0.5488 * 82.32 = 45.18. Trate de reproducir el valor de cada nodo de la figura 5.3, usando el ¡.t = 1.8221 Y el d = 0.5488.

Figura 5.3. Valor presente del proyecto con riesgo o volatilidad de precios

o 1 2 3 4

fE !

José de Jesús Brambi!a Paz

Si tomamos en cuenta la volatilidad de precios, entonces a los cuatro años el flujo de efectivo puede valer 1 653.44 o 13.61 millones de pesos. Así que no es de extrañar que en la práctica casi ningún proyecto siga el programa tal y como se evalúa en forma tradicional. Nótese que en promedio el flujo de efectivo es de 150, pero la dispersión es muy amplia (figura 5.3).

Hasta aquí no hemos aplicado ningún tipo de opción al proyecto: el gerente no tiene todavía ninguna opción de ampliar, salir, cambiar, etc., por lo tanto si empezamos con los valores del año 4 y los cambiamos a valor presente con las probabilidades como ponderadores y la tasa libre de interés r = 0.05, llegaremos al año cero con un valor presente de 150 millones de pesos. Esto es, si no se aplica ningún cambio a lo largo de los 4 años, entonces el valor presente del flujo de efectivo en el año cero será de 150 millones de pesos. Aunque, en el año 4 éste puede caer de 1 653.44 a 13.61, sólo por la volatilidad de los precios.

Valga resaltar que el valor presente del flujo de efectivo del año cero no se debe comparar con el valor presente del flujo de efectivo del año uno o de ningún otro año. Sólo se puede hacer con los valores del mismo año. Si queremos comparar años diferentes hay que poner los datos en valores de un solo año. Por eso dividimos entre (1 + r)' o multiplicamos por (1 + rJ'. Si quiero mandar un valor del año 4 al año cero, tengo que dividir entre (1+rj4. Si quiero mandar los datos del año 2 al valor del año 4, tengo que multiplicar por (1 + r)l. Ahora, puedo calcular el valor presente de un nodo viniendo de otros para adelante, pero nótese que de esta manera hay dos valores que intervienen y a cada uno de ellos se llegó con una probabilidad dada.

Calculemos algunos nodos para ejemplificar. Empezando de atrás para adelante y tomando en cuenta que los valores del año cuatro son de los que partimos para modificar el resto. .

El valor del nodo d será:

Pv;, + (1 - P)Vf Vo = ----l:--+-r---'-

191

192


v - 0.3936(1653.44)+(0.6064)(498.02) 907.44 (El redondeo puede causar diferencias.) d - 1+0.05

El valor del nodo n será:

0.3936(45.18) + (0.6064)(13.61) Vn = 1 + 0.05 24.79

El valor del nodo ¡será:

0.3936(150.00) + (0.6064)(45.18) Vd = 1 + 0.05 82.32

Si se calculan todos los nodos, al llegar al nodo a el valor presente será de 150, ya que no hemos aplicado ninguna opción, sólo consideramos la volatilidad de los precios o, en este caso, del flujo de efectivo.

Nótese que para irnos un año atrás es necesario descontar (1 + rJ. ¿Qué probabilidad hay de terminar en el nodo e, f, 1, m, o? (figura 5.3). Esto sin considerar todavía ninguna opción, sólo la volatilidad de los precios, que en este caso es la desviación estándar.

Una forma correcta pero un tanto artesanal de calcular la probabilidad de llegar a un nodo en particular es multiplicar todas las probabilidades de los posibles caminos que llevan a cada nodo. Por ejemplo, para llegar al nodo e, nos tuvo que ir bien los cuatro años. Así que la probabilidad de salir de a y llegar a e es:

(0.3936)(0.3936)(0.3936)(0.3936) = (0.3936)4 = 0.0240 "" 2.4%

2.4% es la probabilidad de llegar al nodo e, saliendo de a. La de salir de a y llegar a 0, esto es si todos los años nos va mal.

(0.6064)(0.6064)(0.6064)(0.6064) = (0.6064)4 = 0.1352"" 13.52%

13.52% es la probabilidad de llegar al nodo o. Para el resto de los nodos hay que ser más cuidadosos, ir observando

todos los posibles caminos. Para ir de a a fnos tiene que ir bien (0.3936) tres veces y una vez mal (0.6064), pero hay cuatro caminos para llegar, así que:

T

194


Una forma más elegante, y que facilita los cálculos a medida que agregamos más años, es usando la fórmula de las probabilidades binomiales (Copeland, 2001: 196).

(J(njT,p) = (~)pn(1_p)T-n Donde:

n = número de nodos en el año en cuestión. En cada año se cuenta de arriba para abajo y termina en n = o. Por ejemplo en el año 4 hay 5 nodos pero se cuenta n = 4, 3, 2, 1, O.

t = total de periodos, en este caso 4 años p = probabilidad

En nuestro ejemplo, en el año 4, tenemos 5 nodos, por lo que nuestros datos son:

N = 4, 3, 2, 1, O (nodos en que podemos estar en el.año 4) T = 4 años transcurridos (estadísticamente, el número de ensayos) P = 0.3936 (probabilidad de que me vaya bien) 1 - P = 0.6064 (probabilidad de que me vaya mal)

Si ponemos números a la ecuación 5.8:

(J(njT,p)= T! pn(1_p)T-n (T-n)!n!

Tenemos que recordar que el factorial (1) de cero es uno (01= 1). Veamos nodo por nodo para el año 4.

Deaaedonden=4:

jJ( 4/4, (0.3936)) = 4 * 3: 2 * 1 (0.3936)4 (0.6064)° = 0.0240 '" 2.4% 4*3*2*1

(5.8)


De a a f donde n = 3:

,8(3/4,(0.3936)) = 4*3*2*\0.3936)3(0.6064)4-3 = 0.1479d4.79% 1*3*2*1

De a a I donde n =2:

4*3*2*1 ,8(2/4,(0.3936)) = -- (0.3936)2(0.6064)4-2 = 0.3418",34.18%

2*1*2*1

Deaamdonden= 7:

,8(1/4,(0.3936)) = 4*3*2*1 (0.3936)'(0.6064)3 = 0.3511", 35.11% 3*2*1*1

De a a o donde n = o:

,8(0/4,(0.3936)) = 4*3*2 *\0.3936)° (0.6064)4 = 0.1352", 13.52% 4*3*2*1

Son las mismas probabilidades si lo hacemos de manera "artesanal". Si en lugar de 4 periodos, lo hacemos para 20, la forma artesanal, aunque posible, es muy laboriosa.

Hasta aquí sólo hemos introducido la volatilidad o riesgo en el valor del flujo de efectivo y calculado la probabilidad de alcanzar cualquier nodo.

5.3. El valor de la opción real En el ejemplo anterior podemos observar que el negocio puede ir mal desde los primeros años y es difícil pensar que el gerente del proyecto no haga nada. Si todo va mal y el gerente no hace nada, es mejor cambiarlo; lo cual es una opción real. El gerente puede tener varias opciones como cambiar de producto, buscar nuevas tecnologías, reducir el tamaño, vender activos o, finalmente, abandonar el proyecto.

195

196


Supongamos que el gerente consigue, el día de hoy, que en el cuarto año se le compre el proyecto por 100 millones de pesos, si así conviene.

Nótese que:

• Ésta puede ser una garantía para el inversionista, donde éste tiene un piso a su pérdida, pero abierta su ganancia.

• En finanzas una opción de este tipo se conoce como put, que es el derecho, pero no la obligación, de vender en una fecha fija a un monto prefijado. En finanzas se conoce como una opción europea cuando sólo se ejerce en una fecha fija. Es una opción americana cuando la opción puede ejercerse en cualquier momento.

Si se tiene la opción de que sólo puede ejercerse -si así conviene- en el cuarto año, ¿cuánto vale el proyecto con la opción real de poder vender en el cuarto año a 100 millones de pesos?

Los valores en los nodos del cuarto año se modifican como vamos a explicar, pero el riesgo del proyecto y las probabilidades quedan igual (cuadro 5.1).

Conviene vender el proyecto, en el cuarto año por 100 millones de pesos, cuando está en el nodo que vale menos de 100 millones. Éste es el caso cuando estamos en el nodo m =45.18y en el nodo o = 13.06 de la figura 5.3, donde sustituimos estos valores por los 100 millones de pesos que tenemos derecho a vender (opción de venta).

Cuadro 5.1. Valor del proyecto en el cuarto año con opción real (ejemplo)

Nodo _V,..a,..lo"""",es",e=::n,,,e,,-1 c"iu;"a::.:'t=o..::a,..ño"--V~a",l",o,,,,e:;;s ",ene.:ee:'l,::cu::¡a-:c't"o",a",ñ=-o Sin opción Con opción

e 1 653.44 1 653.44 f 498.02 498.02

150.02 150.02 m 45.18 100.00}

-"'0'-------:1 "'3.::é06~------;;-1 O~O"'.O;;;O--- jerce la opción.


T'. . ,


Para saber el valor del proyecto hoy, con la posibilidad de ejercer la opción de venta en el cuarto año, se calcula el valor presente de cada nodo, uno por uno, hasta llegar al nodo inicial a. Se empieza de atrás (último año) hasta llegar al nodo a. Los valores para los nodos del año cuatro ya los tenemos, son los del cuadro 5.1 (última columna).

Empecemos: El nodo d tiene un valor de:

pv;, + (1- p)Vf 1+r

Nótese que la vtiene el subíndice del nodo correspondiente.

Donde: p =0.3936 l-p = 0.6064 r =0.05

0.3936(1653.44) + (0.6064)(498.02) 1 + 0.05 = 907.44

Nótese que el valor presente (al tercer año) del nodo d no cambia porque no conviene ejercer la opción en el cuarto año estando en el nodo e y f.

Valor del nodo g:

0.3936(498.02) + (0.6064)(150.00) Vg = 1 + 0.05 = 273.32

Tampoco cambia, por la misma razón no conviene ejercer la opción. El valor del nodo k sí debe cambiar porque en el nodo m, en el cuarto

año, conviene ejercer la opción. Así que el valor del nodo m ya no es 45.18 sino 100 con la opción.

0.3936(150) + (0.6064)(100) Vk = 1 + 0.05 = 113.98

197

198


Nótese que el valor del nodo k pasó de 82.32 a 113.98. El valor del nodo n, cuando se ejerce la opción en el cuarto año, sí va

a cambiar porque conviene ejercer la opción, en el nodo m y o. Así, el valor del nodo n será:

0.3936(100) + (0.6064)(100) Vn = 1 + 0.05 95.24

Nótese que el valor del nodo n pasó de 24.79 sin opción a 95.24 con la posibilidad de ejercer la opción en el cuarto año.

Así, los valores del tercer y cuarto año son (figura 5.5):

Figura 5.5. Valor de los nodos en el cuarto año con la posibilidad de ejercer la opción

3 4

r


(En negritas los valores que cambiaron con la opción de venta.)

Ahora los valores del nodo c:

0.3936(907.44) + (0.6064)(273.32) ¡,;, = 1 + 0.05 = 498.02 (no cambia)

Valor del nodo h: Nótese que ahora se usa el valor del nodo k.

~ 0.3936(273.32) + (0.6064)(113.98)

Vh = 1 + 0.05 = 168.28 (sí cambia)

Nótese que se utilizan los nuevos valores en el nodo k se usa el valor 113.98, ya no el de 82.32. Esto porque se sabe que en el nodo m u o conviene vender a 100.

Valor de;:

0.3936(113.98) + (0.6064)(95.24) J.j = 1 + 0.05 = 97.73 (si cambia)

Así, los valores del segundo, tercer y cuarto año con la opción real europea de venta son (figura 5.6):

199

200


Figura 5.6. Valor de los nodos en el segundo, tercer y cuarto año con la posibilidad de ejercer la opción real europea de venta

2 3 4 '(Los valores en negritas son los que cambian por tener la opción.)

Valores de b, i Y a:

0.3936(498.02) + (0.6064)(168.28) Vb = 1 + 0.05 = 283.87 (sí cambia)

0.3936(168.28) + (0.6064)(97.73) Vi = 1 + 0.05 = 119.52 (sí cambia)

fp


Para calcular el valor presente en a se usan los valores estimados de Vb=283.87 y V¡=119.52.

0.3936(283.87) + (0.6064)(119.52) Va = .. 1 + 0.05 = 175.44

Figura 5.7. Valor del proyecto al tener una opción real de salida europea

o 1 2 3 4

(En negritas todos los valores que cambian, porque tenemos la opción de venta.)

201

202

Bioeconomra, instrumentos P<1-ra su análisis económico

Así, el valor que agrega al proyecto (figura 5.7) tener una opción real de estilo europeo de venta es de:

175.44 - 150 = 25.44

El valor actual neto total con opción será:

VANt = -100 + 150 + 25.44 = 50 + 25.44 = VANtradicional + Valor de la opción = 75.44 = Valor actual neto total

De hecho, si la opción tiene algún costo por el que hay que pagar hoy, se debe restar de los 25.44. Nóteseque 25.44 es el límite que estaríamos dispuestos a pagar por la opción.

Hagamos algunos ejercicios para que el lector vaya imaginando en qué casos puede aplicar las opciones reales.

Si por alguna razón se disminuye la varianza del precio real o del flujo de efectivo real, por ejemplo, al tener una agricultura por contrato o tener cobertura de precios, entonces el valor de la opción es menor. Veamos.

Ejemplo:

Son los mismos datos que en el caso anterior, sólo que la desviación estándar baja de r = 0.60 a r = 0.40. La volatilidad es la varianza, que es de [2= 0.36 a [2= 0.16 en cada caso.

Datos: A = -lOO(inversión inicial) 1 = 150 (flujo de efectivo ya descontado)

r = 0.40 (medición de riesgo) r = 0.50 (tasa de interés libre de riesgo) N =4años

Entonces, cambia el valor del up (que me vaya bien) y el de down (que me vaya mal).

t

d=e-o·4D =0.6703

Por tanto, cambian las probabilidades:

= 1+0.05-(0.6703) =0.4622 p 1.4918-(0.6703)

1-p=0.5378


La opción de salida (put) al cuarto año es de vender a 100 millones de pesos.

Los valores de los nodos se modifican con el cambio de la desviación estándar a r = 0.40.

Calculemos 105 valores de los nodos sin opción de salida en la figura 5.8, pero con los nuevos datos de (.1, d Y p.

203

204


Figura 5.8. Árbol binomial sin opción de salida con r = 0.40

e

e

b

a

150.00

m

o 1 2 3 4

Nótese que, como la desviación estándar es menor, los valores de los nodos son menos dispersos (figura 5.8).


Figura 5.9. Arbol binomial con opción real de salida europea con r= 0.40

e

742.91

f

333.82

150.00

m

100.00

o

100.00

o 1 2 3 4

(En negritas los nodos que cambian de valor.)

205

~6


El valor de la opción de venta (figura 5.9) es ahora de:

762.52- 750= 72.52

El V ANtotal = -100 + 150 + 12.52 = V ANtradicional + Valor de la opción

Nótese que a menor volatilidad el valor de la opción real es menor.

Si r = O entonces hay certidumbre y el valor de la opción sería de O. , Éste es el caso que se supone cuando se usa exclusivamente el VAN tradicional.

Puede ser un tanto "artesanal" la forma de calcular el valor de la opción, pero hay programas que traen algunos libros o se pueden bajar de Internet, previo pago, lo que facilita enormemente los cálculos, aunque no son muy flexibles.

Una forma más elegante pero más limitada para hacer estos cálculos es el Modelo de Black-Sholes y Merton, de la década de 1970 que se usó para calcular el valor de una opción financiera. Este modelo se empezó a utilizar para valorar las opciones reales a fines de la década de 1990.

5.4. Las opciones reales medidas con las fórmulas de Black-Scholes y Merton En junio de 1973, F. Black y M. Scholes publicaron un artículo donde hacen una propuesta para valorar algunas opciones financieras, como son un call, que es el derecho pero no la obligación de comprar una acción en una fecha fija por un monto predeterminado, o bien un put, que es el derecho a vender una acción en una fecha fija y por un monto predeterminado. En septiembre de ese mismo año, R.e. Merton también publicó una propuesta parecida. En 1997, M. Scholes y R.e. Merton ganaron el Premio Nobel por esos trabajos. En 1995, F. Black murió sin obtener el premio Nobel, pues éste sólo se entrega a personas que aún viven.

La metodología de Black-Scholes y Merton parte de suponer que el comportamiento de la variable (su tasa de movimiento) es normal, una distribución gausiana. Las fórmulas de Black-Scholes y Merton para obtener el


valor presente de una opción se encuentran en calculadoras de bolsillo financieras.

Veamos el ejemplo anterior de una opción de venta pero con las fórmulas de Black-Scholes y Merton.

Los datos (seguimos las literales que se usan en la literatura especializada) son:

S = 150 (valor inicial) = flujo de efectivo a valor presente K = 100 (opción de salida predeterminada) = poder vender en el cuarto año r = 0.04879 (la tasa continua libre de riesgo = In(1 + 0.05)) t = 4 (tiempo prefijado para ejercer la opción, si así conviene) r = 0.60 (desviación estándar de los datos de la tasa de movimiento continua de los precios o ingresos reales)

N( -d2 ) = probabilidad a buscar en la tabla de valores Z

N( -dI) = probabilidad a buscar en la tabla de valores Z

Las fórmulas de Black-Scholes y Merton parten del supuesto de que la distribución de los valores es normal.

El valor de una opción real de vender (de un put) será:

Donde: P = valor de la opción real de venta (put) K = lo que me ofrecen por el proyecto en el cuarto año S = el valor presente del flujo de efectivo

(5.9)

(5.10)

(5.11)

207

208


r = tasa continua libre de riesgo r = desviación estándar de la tasa de movimiento continua de los precios o ingresos reales d, y d2 = valores que se localizan en las tablas z de distribución normal estándar en el anexo A.

Así, primero se calculan los valores d, y d2:.

In(~50)+(0.04879+ 0.36)4 d, 100 ............ 2 0.4055+0.9152=1.1006

0.60~ 1.2

d 2 = 1.1006 - 0.60v'4 = -0.0994

Para obtener los valores de N(-d1 ) y N(-d2 ) se buscan en la tabla z del

anexo A. Nótese que debe cambiarse el signo a d, y d2•

N(-d, ) =N(-1.1006) =0.1357 -0.06[0.1357 -0.1335] =0.1356

N( -d2 ) = N(0.0994) = 0.5359 + 0.94[0.5398 - 0.5359] = 0.5396

Así, el valor de la opción de venta o put es:

p = 100e-o.o487~4) (0.5396) -150(0.1356) = 44.39- 20.42 = 24.05

El valor de la opción de salida es 24.05, cercano al 25.44 que se obtuvo en el inicio anterior. La diferencia se debe a que el modelo de Black 5choles y Merton asume una distribución normal, y -como vimos en el inciso anterior- al cuarto año todavía no se muestra una distribución normal clara, pero sí lo suficientemente cerca para tener valores muy aproximados. Si el espacio de tiempo aumenta, digamos a t = 20, entonces lo valores son iguales o casi iguales.


Para complementar el Modelo de Black-Scholes y Merton tenemos que hacer el caso contrario, el de compra; supongamos que la opción es de compra (call), se tiene el derecho de comprar al cuarto año a 100. Entonces las fórmulas y el valor de opción son:

e = SN(d¡}- K e-t

' N(d2 )

d2 = dI - f\/t = --0.0994

N(dI ) = N(1.1006) = 0.8643+ 0.06[0.8665 -0.8643] = 0.8644

N(d2 ) =N(-0.0994) =0.4641-0.94[0.4641-0.4602]=0.4604

(5.12)

Nótese que en el caso del call (comprar) los N(d,) y N(d2) no tienen el signo negativo como en el caso del put (vender). Así, el valor de la opción de compra es de:

e = 150(0.8644)-100(e -<l04879(4)(0.4604) = 129.66-37.88 = 91.78

El valor del call es de 91.78. Esto es, para tener el derecho de comprar el proyecto en el cuarto año por 100, se debe pagar hoy 91.78. Claro, si el proyecto vale en el cuarto año 1 653.44, la opción de compra es muy redituable para el que tiene el derecho. Si el valor del proyecto en el cuarto año es de 13.06, no vale la pena ejercer la opción de compra y se deja pasar, perdiendo los 91.78. Nótese que la pérdida tiene piso 91.78, pero la ganancia está abierta.

Para comprobar que los cálculos están correctos se usa la ecuación de comprobación (ecuación 5.13):

e -p=s - K e-rt (5.13)

91.78-24.05=150-82.27=67.73

209

210


S.S. Ejemplos para practicar e imaginar La idea no es sólo ejercitar lo aprendido sino imaginar qué uso se le puede dar a las opciones reales.

Hasta ahora hemos visto una opción de venta (pul) europea; esto es, a plazo fijo y por un monto predeterminado. Veamos qué pasa si la opción de venta la puedo ejercer en cualquier momento a precio predeterminado. Esto es, una opción americana.

Igual que en el ejemplo anterior empezamos a resolver por el último año, en este cáso el cuarto. Los datos (véase ejemplo anterior de árboles binomiales) son:

S=150

K=lOO r=0.60 1=4 r=0.04879

,u =1.8221 =eO.6

d = 0.5488 = e -0.6

p=0.3936 1- p=0.6064

Figura 5.10. Valor de los nodos con opción de salida al cuarto año

1653.44 498.02 150.02 100.00 100.00

4

Se procede como anteriormente se había descrito, pero tomando en cuenta que puede optarse por salir en cualquier momento.


Los valores de los nodos del año tres son iguales, a excepción del nodo n, ya que su valor es de 95.24, pero como ahora podemos ejercer la opción en cualquier momento, entonces conviene salirse con valor de 100 (figura 5.11).

Figura 5.11. Valor de los nodos en el tercer año al ejercer la opción de salida americana

Año 3 4

(En negritas el nuevo valor.)

Ahora para el año 2 (figura 5.12), los valores r: =498.02 y Vh =168.28

permanecen igual, pero para V. hay que volver a calcular: ]

211

212


v ~ (0.393(j)(113.98)+(0.6064)(100) ~ 100.48 , 1+0.05

Así, los valores de los nodos son los siguientes (figura 5.12).

Figura 5.12. Valor de los nodos en el segundo, tercer y cuarto al ejercer la opción de salida americana

2 3 4

El valor del nodo Vb=283.87 se queda igual, pero el Vi hay que volverlo a calcular porque es menor a 100.

r


v: = (0.3936)(168.28) + (0.6064)(1 00.48¿ = 121.11 , 1+0.05

El valor de a será:

v = (0.3936)(283.87) + (0.6064)(121.11) = 176.35 a 1+0.05

Figura 5.13. Valor presente del proyecto con opción de salida americana

o 1 2 3 4

(En negritas los nuevos valores.)

Así, el valor de la opción de salida -de venta americana- (figura 5.13) (vender a 100 millones de pesos) en cualquier momento será:

176.35 - 150 = 26.35

213

214


Recuérdese que la opción de salida europea tuvo un valor de 25.44. Así que tener la opción de salir, de vender en cualquier momento en lugar de una fecha determinada, sólo agregó en valor:

26.35 - 25.44 = 0.97

El VAN total con opción de salida americana será:

VANtota/= VANtrodidona/+ Valor de la opción = -700 + 750 + 26.35 = 50 + 26.35 = 76.35

Un ejemplo de la Bioeconomía: Con los avances que hay en el genoma de las plantas y de los

animales es muy posible que en unos años se puedan diferenciar las plantas genéricas; por ejemplo, un maíz con más lisina, un jitomate con más licopeno, leche con vacunas.

Veamos un ejemplo donde se tiene la opción real de invertir en el futuro para diferenciar el producto.

Supongamos que tenemos el mismo proyecto:

1 = -100 = inversión inicial hoy, para un producto genérico S = 150 = flujo de efectivo a valor presente r = 0.05 =tasa de interés libre de riesgo t = 4 = años o periodos del proyecto r = 0.60 = desviación estándar de la tasa continua del movimiento del flujo

de efectivo ,u = 1.8221= eO.6 = up

d = 0.5488 = e-O.6 = down

p = 0.3936= probabilidad de que me vaya bien (up)

1-p = 0.6064 = probabilidad de que me vaya mal (down)

Ahora supongamos que en el año 2, si las cosas van mal, el gerente está dispuesto a invertir 20 millones de pesos del año dos para diferenciar su producto y espera que le genere un flujo de efectivo de 100 millones de pesos a partir de ese año (figura 5.14). Veamos cómo se forma el árbol binomial a partir del año 2. Los nodos que hay que revisar son ¡, k, 1, m, n, o.

-·f

Dados el up y el down:

p=1.8221=eo.6

d=0.5488=e-O.6

Los valores f1 y d no cambian.


Figura 5.14. Arbol binomial con diferenciación a partir del año 2

2 3 4

En la figura 5.15 se repite el árbol binomial de la figura 5.3, donde se ve que si me va mal en el segundo año es que estoy en el nodo 11;=45.18 y decido diferenciar. La probabilidad de estar en 11; en el segundo año es de:

p = (0.6064)(0.6064) = 0.3677

La decisión de diferenciar el producto tiene una probabilidad de 36.77%, y de 63.23% de no diferenciarlo.

215

216


Así, se vuelve a calcular el valor de cada nodo que se empalma, ponderando cada valor por la probabilidad de diferenciar o no y tomando en cuenta que en V¡ decido diferenciar.

Veamos cómo se deben recalcular los valores. El árbol original de la figura 5.15 yel de la figura 5.3 es el mismo.

Figura 5.15. Valor presente del proyecto con riesgo o volatilidad de precios

o 1 2 3 4

Se recalculan los valores de los nodos que se empalman. La regla general es escoger el mayor valor (sin o con diferenciación) y donde hay empalme se pondera por la probabilidad de ocurrencia de la diferenciación. Por ejemplo, para llegar V,= 1653.44 es claro que no se escoge diferenciar, pero para llegar a Vo si optamos por diferenciar. Si diferenciamos, el valor es Vo=30.12 (véase

josé de Jesús Brambila paz

la figura 5.14); si no diferenciamos, el valor será de Vo= 13.61 (véase la figura 5.15); por ello, para llegar al Vo máximo conviene diferenciar.

Veamos la decisión para los otros nodos. En Vi escoja el valor máximo MAX(45.18, 100) donde me quedo como

estoy, valor de i en la figura 5.15 o diferenciar con un nuevo valor de V¡= 100 que es el valor de la figura 5.14.

El valor de Vn, se escoge el valor máximo Vn = MAX(24.79, 54.88) que corresponde a Vn = 24.79 de la figura 5.15 que es sin diferenciar y el valor Vn= 54.88 de la figura 5.14 con diferenciación.

Se hace lo mismo para Vo, como ya explicamos VD = MAX(13.61, 30.12), se escoge VD = 30. 12.

Hasta el momento, los valores de los nodos calculados son (figura 5.16):

217

218


Figura 5.16. Valor presente del proyecto con riesgo o volatilidad de precios con y sin diferenciación

o 1 2 3 4

Los valores para k, I Y m tienen que ser calculados ponderando por la probabilidad de diferenciar (36.77%) o no diferenciar (63.23%).

El cálculo para los valores Vk, Ve Vm toma en cuenta la probabilidad de diferenciar o no diferenciar. Por ejemplo, Vk= 82.32 es si decido no diferenciar


y Vk = 182.21 si decido hacerlo. Esto es, para llegar a Vk puedo llegar por Vh donde no diferencio o por Vi donde sí lo hago. Así, el nuevo Vk se calcula usando como ponderadores las probabilidades de diferenciar o no diferenciar.

Ti¡, = (0.6323)(82.32) + (0.3677)(182.21) = 119.05

Lo mismo hago para Ve Vm:

v, = (0.6323)(150)+(0.3677)(332.05) = 216.44

v" = (0.6323)(45.10) + (0.3677)(100) = 65.34

En el caso de Va = 30.12 sólo llego por el camino de la diferenciación y es mayor que el valor Va = 13.61 sin diferenciar.

Nótese que si en el segundo año tengo éxito, o sea me va bien, estoy en Vb=273.32; no tOmo la opción de diferenciar porque el valor de mi flujo es de 273.32 y diferenciado es sólo de 100. Así que, si no diferencia, para el cuarto año los valores para Ve y Vrson los de la figura 5.15.

Así, los nuevos valores del cuarto año (figura 5.17) serán los siguientes.

219

220


Figura 5.17. Valores de los nodos en el año cuatro con diferenciación

e

1653.44

f

498.02

216.44

m

65.34

o

30.12

4

Ve y Vf son los valores de la figura 5.15 sin diferenciar porque son mayores que si diferencio.

Los valores VL y Vm son los calculados por la probabilidad de diferenciar y a Vo sólo se llega si diferenciamos.


Nótese que los valores del cuarto año se obtienen de escoger el valor que resulte mayor de tomar la decisión de diferenciar o no, siempre ponderado por la probabilidad de que se diferencie o no.

Para calcular los valores el tercer año (figura 5.18). tomando la probabilidad de que me vaya bien (/1 = 39.36) o que me vaya mal (d=60.64). se opera -como lo hicimos en el ejemplo anterior- de atrás para adelante y descontando por 1 + r, donde r es el valor de la tasa de interés libre de riesgo.

Veamos:

Vd (0.3936)(1653.44) + (0.6064)(498.02) = 907.44 1+0.05

V = (0.3936)(498.02) + (0.6064)(2!6.44) = 311.69 g 1+0.05

(0.3936)(216.44) + (0.6064)(65.34) = 118.87 1+0.05

v = (0.3936)(65.34) + (0.6064)(30.12) = 41.89 n 1+0.05

¿Por qué de atrás para adelante? Porque una vez definidos los valores a los que podemos llegar en el cuarto año, podemos calcular el valor presente de los nodos, descontando con 1 + r cada año y ponderando por las probabilidades.

221

222


Figura 5.18. Valores de los nodos en el año tres y cuatro con diferenciación

e

d 1653.44

907.44 f

498.02 g

311.69

k 216.44

118.87 m

65.34 n

41.89 o

30.12

3 4

(En negritas los valores que cambian).


Para el año 2 (figura 5.19), se hace lo mismo:

v = (0.3936)(907.44) +(0.6064)(311.691) = 520.17 e 1+0.05

v = ~.3936)(311.69) +(0.6064)(118.87) = 185.49 h 1+0.05

v = (0.3936)(118.87) + (0.6064)(41.89) = 68.75 ] 1+0.05

Nótese que el valor de II¡ no es 100 porque la decisión de diferenciar no es una certeza, sino sólo una probabilidad.

223

224


Figura 5.19. Valores de los nodos en el año dos, tres y cuatro con diferenciación

e

1653.44 d

907.44 f e

520.17 498.02 9

h 311.69

185.49 k

216.44

118.87 m

68.75 65.34 n

41.89 o

30.12

2 3 4

(En negritas los valores que cambian).


v = (0.3936)(520.17) + (0.6064)(185.49) = 302 11 b 1+0.05 .

v, = (0.3936)(185.49) + (0.6064)(68.75) = 1 09.24 , 1+0.05

v = (0:3936)(302.11)+(0.6064)(109.24) = 176,34 , 1+0.05

El árbol binomial, con la opción de diferenciar el producto con una inversión de 20 millones de pesos del año 2, será:

Figura 5.20. Valor presente del proyecto con diferenciación

o 1 2 3 4 (En negritas los valores que cambian).

225

226


Así, el flujo de efectivo a valor presente del proyecto con la opción de diferenciar es 176.34 (figura 5.20) y sin la opción de diferenciar es 150 (figura 5.15). La opción de diferenciar en el año 2 vale hoy 26.36.

Ahora el valor actual neto será:

VANtoto/= -100 + 150 + 26.34 -18.14 = 58.2

El -18.14 es el valor presente en el año cero, de los 20 que hay que invertir en el año 2.

-20 =-18.14 (1 + 0.05)'

Así, el VAN sin la opción es 50 =150-100, con la opción es 58.2; tener la opción de diferenciar eleva el valor del proyecto en 8.2.

Ejemplos más sencillos aplicados a la agricultura se pueden encontrar en Domínguez (2009). En el último capítulo de este libro se dan más ejemplos aplicados a la Bioeconomía.

T


CAPíTULO VI. los VALORES CRíTICOS PARA lA TOMA DE

DECISIONES

6.1. Los valores críticos La principal opción real que tiene un gerente es decidir si invierte o no. Uno de los criterios tradicionales es si el beneficio (B) a valor presente, dividido entre el costo (e) a valor presente (incluye la inversión del proyecto), resulta mayor a 1 (B > 1); si es así se invierte, de lo contrario se rechaza el proyecto.

e

Pero ¿qué beneficio debería tener un proyecto en relación con su inversión más costo si tomáramos en cuenta que el proyecto enfrenta volatilidad de sus precios reales o del flujo de efectivo real?

Para valorarlas inversiones en escenarios con incertidumbre o riesgosos un nuevo instrumento es calcular el valor crítico (el beneficio máximo) que debe tener un proyecto en relación con la inversión más costos, tomando en cuenta la volatilidad (varianza (2) y la tendencia (media X), de los precios reales o el flujo de efectivo real.

Si el valor crítico es 1.24, quiere decir que lo mínimo que debemos aceptar del proyecto es un beneficio 1.24 veces mayor a la inversión más el costo. Si la relación B/C es menor a ese 1.24, el proyecto se debe rechazar. Lo que es muy diferente a la decisión tradicional de aceptar el proyecto si la

relación es mayor que uno (~- > 1). Esto es, en la evaluación tradicional se

acepta el proyecto si la relación beneficio/costo es mayor que 1. Si se toma la volatilidad de precios se requiere que la relación beneficio!costo sea mayor a 1.24.

227

228


La parte 6.2 de este capítulo ("Construyendo la razón crítica y el. valor crítico") es un poco complicada y requiere el conocimiento de estadísticas y matemáticas -como es el movimiento browniano o el Lema de Ito- para poder revisarla con cierta soltura. Si el lector no siente el ánimo de revisar este inciso, puede sólo tratar de entender las variables que forman el

parámetro {3, que es la base para estimar el valor crítico (V = .. /3 __ ) y que se /3-1

explica al final de este inciso. El lector no debe desalentarse si no capta a la primera lectura el

contenido de este inciso. Siga adelante para que revise los ejemplos de la Bioeconomía. Entender y poder reproducir los ejemplos le darán confianza para volver a revisar el inciso 6.2.

6.2. Construyendo la razón critica y el valor crítico Esta parte está basada en el capítulo 6 del libro de Dixit y Pindyck, Investment under uncertainty (Inversión en incertidumbre, véase Dixit, 1994, capítulo 6).

Se supone que el proyecto va a desarrollarse en un escenario de precios reales volátiles, por lo que el valor del. proyecto tiene un comportamiento volátil. Para calcular el valor crítico del proyecto se requiere reunir tres conceptos.

a) El movimiento browniano La ecuación del movimiento browniano (o de Weiner) es la más usada para representar el comportamiento del valor del proyecto en escenarios inciertos.

dv - = oc dt + Tdz v

Donde: v = valor del proyecto dv = el aumento (o disminución) del valor del proyecto

(6.1)

oc = tasa continua del movimiento promedio (la media) del valor del proyecto

T


r = la desviación estándar de las tasas continuas del movimiento del valor del proyecto dt = un periodo más en el tiempo dz = un movimiento aleatorio con las condiciones siguientes: s(dz) = O,

dz=s)i,

dt 2 = O Y

E(stst_¡) = O

El valor esperado de dz es cero, dz es un valor aleatorio en el tiempo y los incrementos de tiempo (dt) al cuadrado o elevados a números mayores son cero. La variable s tiene un comportamiento al azar con media cero, varianza cero y no está correlacionada en los periodos.

dv Nótese que si la desviación estándar es cero, entonces es

v simplemente la tasa de crecimiento (a).

b) La ecuación de Bellman Si definimos a F como el valor de la inversión y a f como la tasa de descuento, entonces la ecuación para la programación dinámica -conocida como ecuación de Bellman- será:

fFdt=E(dF) (6.2)

El lado izquierdo de la ecuación es lo que incrementa (o disminuye) el valor de la inversión UF) en el periodo siguiente (dO. Esto debe ser igual al valor

esperado (E) del incremento (o disminución) del valor de inversión (dF).

No es tan complicado como parece. Si el flujo de efectivo aumenta cada periodo en un 3 % en relación con el valor del proyecto que suponemos que es 100, entonces RFdt = (0.03)(100)(1) = 3. El valor esperado del

229

230


incremento del valor del proyecto debe ser lo que en promedio aumenta cada periodo; esto es, E(dF) = 3.

El valor de la inversión (F) es función del valor del proyecto. Así:

F(v)

Sus primeras y segundas derivadas serán:

dF F'(v) = dv

Si aumenta el valor del proyecto, aumenta el de la inversión. De una función como F(v) se puede obtener su ecuación diferencial

usando el Lema de Ito.

e) Lema de Ito

dF = F'(v)dv +~F"(v)(dv)2 2

(6.3)

Cuando (dvY = O para i > 3. Esto es, por conveniencia limitamos el Lema de Ito a sólo la segunda derivada; a partir de la tercera se consideran ceros.

Si a la ecuación 6.3 (el lema de Ito, dF) insertamos el movimiento browniano (dv, ecuación 6.1), entonces:

dF = F(v)(avdt+ rvdz) + ~F"(v)(avdt+ rvdz)2 . 2

Operando y ordenando:

1 dF = avF(v)dt + rvF(v)dz+ _F"(v)(a2v2 dt2 + r 2v'dz' + 2avdtrvdz)

2


Si obtenemos el valor esperado E(dF) para toda la ecuación usamos

las condiciones que le impusimos al movimiento browniano de

c(dz) =0, dz=c,[t y dt 2 =0

Entonces:

c(dz) = O, por lo que rvF'c(dz) = O (segundo término ala derecha)

dt 2 = O, por lo que a 2v 2 dt 2 = O (primer término del paréntesis del tercer

término a la derecha)

c(dz) =0, por lo que 2avdt rvc(dz) =0 (tercertérmino del paréntesis del

tercer término de la derecha)

dz 2 = dt por lo que r 2v2dz2 = r 2v2dt (segundo término del paréntesis ,

del tercer término de la derecha)

La ecuación que resulta es:

E(dF) = avF'(v)dt + ~F"(v)rVdt 2

Esta ecuación 6.4 se inserta en la ecuación 6.2 (de Bellman):

fF(v)dt = avF'(v)dt + ~rV F"(v)dt . 2

Eliminando dty reordenando para igualar a cero:

é1:r 2v 2F"(v)+oc vF'(v) - fF(v) = O 2

(6.4)

(6.5)

Para resolver la ecuación diferencial 6.5, se tienen que poner las condiciones siguientes:

231

'32


Si el valor del proyecto es cero, la inversión es cero.

F(O)=O

El valor crítico (v*) del proyecto menos la inversión (1) debe ser igual al valor de la inversión óptima [F(v*)J. El valor crítico es lo menos que debe valer el proyecto con relación a la inversión, tomando en cuenta la volatilidad de los precios real o del flujo de efectivo real.

F(v*)=v*-J

La condición de cambios suaves de la función es F' (v*) = l. Esto es,

no hay "brincos" en la función. Así que una solución parcial de la ecuación 6.5 es:

F(v*) = Av *fJ

Donde:

F'(v*) = AfJv*P-l = 1, es la condición de cambios suaves.

F(v*)=Av*fJ =v*-J

Con un poco de algebra (véase el recuadro 6.4.1) se puede obtener la solución siguiente:

v*=_P-J p-1

v* = valor crítico

. (jJ _l)P-l A= jJP ¡p-l

Si P > 1, entoncesL > 1 . P -1

(6.6)

pi


Así que, v * = _,8_ > 1. Nótese que ,8 es estrictamente mayor a 1. 1 ,8-1

Lo anterior significa que si hay incertidumbre o riesgo se requiere que

el proyecto por lo menos tenga un valor ~ veces superior a la inversión. ,8-1

Para obtener el valor de ,8 se despeja de la ecuación 6.5:

~r2V2 F"(v)+avr(v)dt-RF(v) = O 2

Dado que

F(v)=Av fJ

r(v) =A,8vfJ- 1

F"(v) = A,8(,8 _1)v fJ- 2

Con un poco de álgebra (véase el recuadro 6.4.1) se llega a:

~ r 2,82 + [ a - ~ r 2 J.s -f! = O

Es una ecuación de segundo grado y se resuelve con la fórmula tradicional.

Así podemos resolver, para el valor de ,8 , por el método tradicional:

,8= -b±,lb2 -4ac 2a

Donde:

233

234


a= 1 r 2

2

c=-f!

[ 1 2]~ 1 2 2 1 2 - a- r ±. (a-T ) -4( r )(-f!)

(3 = 2 2 2 r 2

(6.7)

Nótese que hoy el clásico ± se usa en el resultado que se obtiene de la fórmula con +.

Resumen

El valor crítico se calcula V = -}3-1 ,que es lo menos que se le debe pedir a (3 -1

la relación beneficio/costo para decidir aprobar el proyecto, en un escenario de volatilidad de precios.

Las variables de la fórmula f3 están relacionadas con la Tasa de movimiento continua de los precios reales, o del flujo de efectivo real del proyecto.

a = la media o promedio de las tasas continuas de movimiento de los precios reales.

r = es la desviación estándar de las tasas continuas de movimiento de los precios reales

f = la tasa de descuento (de preferencia en términos continuos) 1 = la inversión a valor presente

T


El lector sólo debe tratar de entender la ecuación 6.7 y sus aplicaciones.

Veamos algunos ejemplos de cómo calcular el valor crítico y algunas aplicaciones.

6.3. Ejemplos numéricos del valor crítico Supóngase que tengo el precio real y el rendimiento por hectárea de un producto agrícola, y que, con su tasa de movimiento en logaritmos naturales (la tasa continua), calculamos sus valores estadísticos.

X=0.02=a = la media de la tasa continua de movimiento de los precios reales o ingreso bruto real

r 2 = 0.10 = varianza de las tasas continuas de movimiento de los precios reales o ingreso bruto real

y la tasa continua de descuento:

R=0.12=0.05+0.07

Donde la tasa de interés real es 5% y el riesgo del proyecto es 7%. El valor crítico de este proyecto es:

v* = {31 {3-1

Se usa la ecuación 6.7.

-[0.02- ~O.lOJ+ ~(0.02_~O.10)2 -4(~0.1O)-0.12) . {3=-- ---=1.878

Así:

v*=L= 1.878 =2.14 J fJ-1 0.878

(0.10)

235

236


Dado el elevado riesgo (r=0.3162) y la volatilidad (r 2 =0.10) del proyecto, sólo se aceptará si nos genera más de 2.14 veces lo invertido si no, debe rechazarse.

Nótese que:

- A mayor valor de f3 , el valor crítico v* es menor.

- A mayor incertidumbre, (r 2), mayor será el valor crítico v" que se requiera.

- Si r2 'V' a (es un número grande) =} f3 'V' 1 =} V' 'V' a. Es decir, si la

volatilidad es muy grande, entonces f3 tiende a 1, por lo tanto el valor crítico Iv") será un número demasiado grande.

- A mayor r 2, es muy posible que se rechace invertir, porque el valor crítico

(lo mínimo que se exige al proyecto por peso invertido) será muy elevado.

6.3.1. Los valores críticos de los productos agrícolas 1980-2007 En este inciso calculamos los valores críticos de varios productos agrícolas. El lector los puede actualizar con el paso del tiempo.

Se empieza por calcular la tasa de movimiento de los precios reales en logaritmo natural más la tasa de movimiento de los rendimientos por hectárea en logaritmo natural y obtenemos la tasa de movimiento del ingreso bruto real por hectárea en logaritmo natural.

Donde:

= ingreso real P = precio real R= rendimiento

Se obtiene la media (co:) y la varianza (r 2 ) para cada producto.

T I I

I

Se aplican las fórmulas:

[ 1 2J ~ 1 2 2 1 2 ~-- a--r ± (a--r) -4(-r )(-f)

p = 2 2 2"----_

v*=L¡ p-l

r 2

La lista de resultados se muestra en el cuadro 6.1.

Cuadro 6.1. Valores críticos (v*)

Producto Valor crítico Producto

Maíz 1.880 Plátano Sorgo 1.291 Uva Trigo 1.278 Manzana Alfalfa 1.485 Limón Caña 1.266 Melón Café 2.923 Sandía Frijol 2.203 Guayaba

Jitomate 2.382 Piña ChileV. 1.895 Cebada

Papa 2.246 Cacahuate Cebolla 3.174 Calabacita Tomate 1.916 Garbanzo Pepino 1.409 Zanahoria

Aguacate 3.006 Durazno

Naranja 2.610

Fuente: elaboración propia con datos de BANXICO.

José de Jésús Brambila Paz

(6.8)

Valor crítico 1.469 1.331 1.467 2.177 1.754 1.291 1.633 1.711 1.502 1.439 1.507 2.090 1.584 1.222

Los productos con mayor volatilidad de precios son los que tienen más altos los valores críticos (cuadro 6.1). Compare con la gráfica de la figura 6.1. "Riesgo y rentabilidad" para sacar conclusiones.

237

238


Figura 6.1. Riesgo y rentabilidad de productos seleccionados

Rentabilidad (R) 0.04

0.03

0.02

0,01 \l1li Jitomate

ChileV. l' lb l1li

+ Uva

• Papa \l1li Cebolla

P atano Calabacita Piña 0.00 +--IIIII--T~:~::~ II1II za~ah~;;~b\-'--·AgUar, c-a-te--.-------R!;;sgo

Pepino l1li Guayaba ¿ (r) -0.01

-0.02

-0.03

-0.04

-0.05

\l1li Limón \l1li Sorgo

0.20 0.22

Cac~uate

llI! Naranja

0.24 0.26

II1II Frijol

0.28 0.30

Garbanzo

0.32

• Café

0.34

Fuente: elaboración propia con datos del SIACON-SAGARPA 2008 y BANXICO.

6.4. La volatilidad de precios y la toma de decisión de aumentar o disminuir la producción En los últimos diez años ha aumentado la producción de hortalizas en invernadero (jitomate, chile morrón, pepino). Las ventajas de producir en invernadero son varias. El cultivo está protegido del clima y de las plagas; se puede planear la oferta, y el producto es homogéneo. Adernás el rendimiento por hectárea se eleva en varias veces; por ejemplo, el jitomate de invernadero puede llegar a rendir 10 veces más en relación con el cultivo a cielo abierto y con riego.

Por otro lado, la inversión necesaria para instalar y operar un invernadero es alta y en caso de fracasar es poco lo que se puede recuperar, por lo que se considera que invertir en un invernadero es un costo hundido o irreversible.

T

i

J


Cuando los precios de las hortalizas en cuestión son lo suficientemente altos, se ve una ampliación al construir los invernaderos. Pero cuando los precios están muy bajos, no sólo se frena la construcción de los mismos sino que se ven muchos abandonados.

Si revisamos el caso de producción en invernaderos como opciones reales, se tiene como una opción call (el derecho pero no la obligación de aumentar la producción en invernaderos cuando los precios son "buenos") y la opción put (el derecho pero no la obligación de salirse de la producción en invernadero cuando los precios son "malos"). Esto es, hay un precio H, en el que el productor decide aumentar la producción en invernadero y hay un precio L, en el que decide salirse de la producción en invernadero.

La teoría económica clásica nos dice que el productor seguirá produciendo mientras el precio sea mayor al costo variable marginal y promedio; en caso contrario dejará de hacerlo. Pero, en la realidad, el productor mantiene la producción aun cuando tenga pérdidas, porque espera que los precios se recuperen. Éste es el caso de los productores de carne, de pollo, de res, de huevo, de leche, de hortalizas en invernadero. Pero si el precio baja o sigue bajando, entonces sí cierran la producción. Esto lleva a considerar que el productor es consciente -en su decisión de aumentar o salir de la producción- de que los precios son volátiles. Así que debe haber un precio H, que provoca el aumento y un precio L. que provoca la salida, en escenarios de alta volatilidad de precios.

Dixit y Pindyck (1994) propusieron un modelo que permite estimar H y L en escenario de volatilidad de precios. Loren Taver (2006) usó ese modelo para estimar los precios mencionados para el caso de los lecheros en Nueva York, su trabajo se titula "When to get in and out of dairy farming: a real option analysis". Jeffrey Price y Michael E. Wetzstein (1999) aplicaron el modelo para el caso de productores de durazno, su artículo se tituló "Irreversible investment decisions in perennial crops with yield and price uncertainty".

El modelo de Dixit y Pindyck nos puede ser útil para estimar el precio H y el precio L para el caso de la producción de hortalizas en invernadero.

El modelo consiste en lo siguiente:

239

240


De la misma manera que para calcular los valores críticos, se parte de suponer que los precios reales o el flujo de efectivo real tienen un comportamiento aleatorio, como el movimiento browniano.

dp = j.1dt + rdz p

Donde: p = precio del producto

dp = movimiento del precio (donde [dp]3 = O Y subsecuentes).

(6.9 )

/1 = la media de los precios, en tasas continuas de movimiento (se interpreta

como la tendencia de los precios). f2 = la volatilidad de los precios r = el riesgo precio dt= incremento del tiempo (dt2 = O Y sus subsecuentes)

dz= variable que sigue un proceso de Wierner (donde dz = [,,(di: donde e

es una variable al azar con una distribución normal N"" (0,1) con media cero, varianza 1. Por lo que el valor esperado de e es cero, E(e) = O, donde

dz2 =dt y E(e¡&H) =0)

El valor del invernadero está en función del precio del producto y del tiempo, v(p,t).

dv dv 1 d 2v 2 dv(p) = -dp+-dt+--(dp)

dp dt 2 dp2 (6.10)

Recuérdese que (dp)3 = O Y (dt y = O Y sus subsecuentes.

Si introducimos 6.9 (movimiento Browniano) en 6.10 (Lema de Ito o expansión de Taylor) obtenemos:

dv dv 1 d 2v dv(p) =-(J.lPdl + Tpdz) + -dI + --2 (J.lPdt+ Tpdz)2

dp dt 2dp

Ordenando y operando:

[dv dv 1 d

2v 2 2] dv dv(p)= -tJP+-+--T P dt+· Tpdz

dp dt 2 dp' dp

Si dv =v'(p), dp

d2

v _ "( ) -, -v p, dp

dv =0 dt

dv(p) =[v'(P)tJP+~V"(P)T2 p2 ]dt + v'(p)rpdz


Si obtenemos el valor esperado de toda la ecuación y recordamos que E(dz) = O porque dztiene una media de cero:

(6.11)

Si usamos la ecuación de Bellman, que dice que el incremento esperado en el valor del proyecto, [E(dv(p))], debe ser igual al valor del

proyecto multiplicado por la tasa de descuento para el periodo siguiente, [fv(p)dt], donde f = tasa de descuento, v(p) = valor del proyecto, dt= un

periodo adicional:

E(dv(p)) = fv(p)dt (6.12)

Si introducimos 6.11 en 6.12 e igualamos a cero resulta:

[v' (p)tJP + ~ v "(p)r' p' Jdt - fv(p)dt = O

241

242


Eliminando dty ordenando:

~v"(p)r2 p' +v'(P)pp -Cv(p) = O 2

(6.13)

Nos queda una ecuación de segundo grado que tiene una solución general de la forma siguiente:

(6.14)

Para encontrar el valor de jJ y a se resuelve la ecuación 6.13 (véase el

recuadro 6.4.1).

Recuadro 6.4.1. Solución de la ecuación 6.5 y 6.13

Empecemos por la solución parcial:

Donde:

veO) = O

Esto es, si el precio o flujo de efectivo es cero, el negocio se para.

v'(p) = AfJ pP-1

v"(p) = AjJ(jJ -l)pP-'

Introduciendo estos resultados en la ecuación 6.13, resulta:

!'(AfJ(fJ-l)pP-z)rzpz + AfJp P-l(pp)-f!A p P =0 2

Operando:

1 pP P AjJ(jJ-l)-z r'p' + AfJL(pp)-f!ApP =0

2 p p

&r'fJz {u-&rz )fJ-f! = O

Continúa ...

Donde:

a=!r2

2

b = /l-!r2

2

c=-f!

21 r 2

2

La solución para {3 y a será:


(6.15)

Para el caso de que el precio del producto sea tan bajo que obligue a cerrar el invernadero, entonces la solución parcial de la ecuación 6.13 será:

(6.16)

243

244


Donde VD (p) indica que el proyecto está cerrado pero vale algo.

Ahora, si redefinimos la ecuación de Bellman (6.12) para que quede explícito el caso de una empresa que está trabajando y tiene un flujo de efectivo:

fv¡ (P)dt = E(dv¡) + (p -c)dt

Donde:

fv¡ (p)dt =aumento normal del valor del proyecto

e = tasa de descuento

(6.17)

v¡ (p) = valor del invernadero trabajando. (Nótese que el subíndice 1 indica

trabajando; el subíndice O indica no trabajando). dt = agregando un periodo más

E(dv¡) = incremento esperado en el valor del proyecto

(p - e) = precio (p) menos el costo (c): flujo de efectivo

Si -como hicimos anteriormente- introducimos la ecuación 6.11 en la ecuación 6.16 e igualamos a cero y dividimos todo por dt, resulta:

Compare con la ecuación 6.13. Una solución general será:

Donde:

(6.18)

~- e =al valor presente del flujo de efectivo a perpetuidad. (Véase f - J.t f capítulo 5 para repasar cómo es que se llega a este resultado).

Así una solución parcial para la ecuación 6.17 será:

v¡(p)=Bpa + ,,-_c R-¡.¡ R


(6.19)

Para poder encontrar el precio H, que induce a invertir en los invernaderos y el precio L, que induce a cerrar los invernaderos, es necesario tomar en cuenta algunas definiciones.

Hay un precio H, donde el proyecto se áctiva [vI(H)l. El valor del

proyecto activo será igual al valor del proyecto cerrado [vo (H)], más la

inversión irreversible (K).

Que es igual a:

vI(H)-vo(H)=K (6.20)

La inversión irreversible es igual a la diferencia entre el valor del proyecto activo menos el valor del proyecto cerrado.

Se requiere que:

(6.21)

Hay un precio L, donde el proyecto que está trabajando [VI (L) 1 se cierra [vo (L) l. El valor del proyecto trabajando a precios bajos debe ser

igual al valor del proyecto cerrado menos el costo'de cerrar.

VI (L) = vo(L) - X

Nótese que a precios bajos (L), vale más el proyecto cerrado que trabajando, por se cierra. Se puede reescribir:

(6.22)

245

246


El costo de cerrar el proyecto puede ser por liquidar la mano de obra. pero si hay algún activo, como inventarios que se rematan, entonces la X que representa el costo se puede volver positiva. Esto es, el proyecto se va a cerrar, por eso se rescata lo que se puede.

Igual que en la ecuación 6.20 se requiere que:

(6.23)

Repetimos las ecuaciones 6.16 y 6.19, que son las soluciones parciales:

(6.16)

e (6.19)

Ji

Donde:

Si introducimos las ecuaciones en 6.16, 6.19 Y sus derivadas en las ecuaciones 6.20, 6.21, 6.22, 6.23 sustituyendo el precio (p) por el precio alto (H) o el precio bajo (L) resulta:

Nótese que se escribe primero la ecuación original e inmediatamente la resultante. Por ejemplo, 6.20 y 6.24.

v¡ (H)-vo(H) = K (6.20)

H e a fJ --- -+BH -AH =K f- Ji f

(6.24)

BaH"-¡ + __ l_-AfJHf3-¡ =0 R-p

-I:.--~+BL" -ALf3 =-x R-p R

v¡'(L)-vo'(L) = O


(6.21)

(6.25)

(6.22)

(6.26)

(6.23)

(6.27)

El sistema de ecuaciones queda: 6.24, 6.25, 6.26, 6.27.

~_ e +BH" -AHP =K R-p R

BaH"-¡ +_I __ AjJHP-¡ =0 R- Ji

~_ e +BL" _& =-X {- Ji R

BaLa-¡ +_I __ AjJLP-¡ =0 R- Ji

Las variables exógenas conocidas son:

R = tasa de descuento

Ji = media de los precios

r = desviación estándar de los precios

247

248


K = inversión irreversible o hundida X = costo de salirse

Las que se estiman con los valores de las variables exógenas son, fJ y

a. Por lo que quedan como variables a calcular A, B, Hy L.

Veamos el ejemplo de invernaderos que producen chile morrón, jitomate y pepino. Se calcula el precio promedio ponderado para todos los

cultivos y se obtiene su tasa de crecimiento continua: r = ln( Ji). El precio es Pt-l

por tonelada. Así, se obtiene:

La media JI = 0.02

La varianza r 2 = 0.40 = volatilidad

La desviación estándar r = 0.6325

La tasa de descuento -a la que obtiene un préstamo- será de f! = 0.08.

El costo de producir una tonelada promedio en invernadero será de 500 dólares y la inversión irreversible -que es el invernadero- es de 120 000 dólares, dividido por cada tonelada (suponiendo que se producen 1 000 toneladas) será de 120 dólares. Suponemos que el costo de producción, los 500 dólares, incluyen el mantenimiento del invernadero.

El costo de cerrar el invernadero será de 50 dólares por tonelada, que es lo que cuesta liquidar la mano de obra. Los datos que tenemos son:

JI = 0.02

F=0.6325 f! =0.08 e = 500 dólares por tonelada K = 120 dólares por tonelada (inversión irreversible) X = 50 dólares por tonelada (costo por cerrar)

Usando la ecuación 6.1 5:

-fl+ ~r' -J(fl-F'J +(2r'p) a=·· ..... <o

fJ = 1.2262 a = -0.3263

r'

Sistema de ecuaciones 6.24, 6.25, 6.26 Y 6.27

H _?~~ + BH-0.3263 _ AH!.2262 = 120 0.08-0.02 0.08

B( _0.3263)H-0.3263.1 + 1 A(1.2262)H!.2262-1 = O 0.08-0.02

L 500. + BL-0.3263 _ ALl.2262 = -50 0.08-0.02 0.08

B( _0.3263)L-o.3263-1 + 1 _ A(1.2262)L!.2262-1 = O 0.08-0.02


Para resolverlo, primero lo reducimos y todas las ecuaciones quedan igual a A. Luego igualamos las ecuaciones con H y las ecuaciones con L, para que queden dos ecuaciones con el lado derecho igual a B.

- 2.4284H1.3263 + 5031.20H°.3264 = B

- 2.4284L1.3263 + 4896.93L°.3264 = B

249

250


Resolviendo numéricamente:

H=999 L = 799 8=24847 A=2.6

Se dejará de producir en invernadero cuando el precio baje a menos de 200 dólares la tonelada, o bien se ampliará la producción cuando el precio suba a más de 1 000 dólares la tonelada. En el rango intermedio la producción sigue como siempre. Intente el lector revisar los resultados modificando la inversión y la volatilidad (Dixit, 1994: 215-218; Taver, 2006, y Price, 1999).

CAPíTULO VII. EJEMPLOS PRÁCTICOS DE lA BIOECONOMíA En este capítulo damos ejemplos para analizar y evaluar proyectos de la Bioeconomía (véase Brambila, 2011). La definición de Bioeconomía que hemos aceptado es la siguiente:

Bioeconomía (Bio-based economy):

Es la producción y distribución de los bienes y servicios que se obtienen de la transmutación dirigida de los seres vivos y sus sustancias (plantas, animales, bacterias, virus, enzimas) para satisfacer las necesidades individuales del consumidor (del ser humano) según sus características y circunstancias.

Bio: lo relacionado con los seres vivos. Economía: lo relacionado a la producción y distribución de la riqueza generada. Transmutar: convertir una cosa en otra. Dirigir: encaminar la intención y las operaciones a un determinado fin. Sustancia: ser, esencia natural de las cosas. Característica: atributos peculiares de la persona (por ejemplo, el genotipo). Circunstancias: conjunto de lo que está en torno a algo (por ejemplo, el ingreso, el trabajo).

7.1. Un negocio de productos de la Bioeconomía: tomate con más licopeno Se tiene un proyecto de producción de tomate con 30% más de licopeno, cultivado en invernadero de una hectárea.

Los datos para hacer la evaluación tradicional se muestran en el cuadro 7.1.

El costo del invernadero, de la tierra y para ponerlo en producción en el año cero es de $700 000.00.

251

252


Cuadro 7.1. Ventas y costos de producción y mantenimiento

Ventas Costos de Costo de Flujo de efectivo Año producción mantenimiento

($) ($) ($) ($)

1 300000.00 250000.00 100000.00 -50000.00 2 350000.00 300000.00 100000.00 -50000.00 3 450000.00 300000.00 100000.00 50000.00 4 570000.00 300000.00 100000.00 170000.00 5 570000.00 300000.00 100000.00 170000.00

(Nótese que a partir del año 4 se estabiliza el proyecto.)

La tasa de descuento es de 15% (la tasa de interés real es de 5% y el riesgo es de 10%).

El valor presente neto se calcula en forma tradicional.

a) El flujo de efectivo neto a partir del año 4 es de $170 000.00 y la tasa de descuento es de 15%. 5u valor presente será:

170000 1 0.15 * (1.15)4 = 647987.01

Véase el capítulo 2, para las fórmulas de valor presente. Nótese que el 170000

valor del flujo constante a partir del año cuatro se estima en ~ ; éste se

lIeva.a valor presente del año cero descontado por ( ~1 )4. 1+0. 5

b) El flujo de los tres primeros años a valor presente será:

-50000 50000 50000 1.15 (1.15)2 + (1.15)3 = -43478.27 - 37 807.18 + 32 875.81 = -48409.64

e) El valor actual neto de este proyecto será:

T


VAN = -700000.00-48409.64+ 647987.01 =-100423.63

Inversión - costo primeros + Beneficio

tres años

Por ello, en la evaluación tradicional el resultado es que debe rechazarse el proyecto.

Ahora, si consideramos que es un proyecto de la Bioeconomía -un producto (jito mate con 30% más licopeno) que puede ayudar a prevenir el cáncer de próstata y que en unos años puede ser de gran éxito-, entonces, podemos evaluar el proyecto desde el punto de vista de una opción de expandir (una opción de comprar la oportunidad de crecer). En el cuarto año podemos ejercer la opción de expandir el proyecto a 6 hectáreas más si el tomate con más licopeno es todo un éxito.

Para calcular el valor de la opción de expandir se usa una opción de compra (CALL) que es el derecho de expandir pero no la obligación. Los precios del tomate tienen una volatilidad (calculada en tasa continua) de [2 = 0.35; como este tomate con más licopeno es nuevo, su volatilidad es mucho mayor [2 = 0.70 (0.35 de volatilidad de precios y 0.35 más por la incertidumbre, ya que es un producto nuevo). De hecho, los productos de la Bioeconomía tienen una volatilidad mayor en sus precios que los productos genéricos.

Si el tomate es un éxito, en el cuarto año tengo la opción de crecer a 6 hectáreas a un costo de $700 000.00 por unidad. Nótese que es el mismo precio real que en el año cero para comprar la tierra, instalar el invernadero y echar a andar la producción. Así, tengo el derecho de invertir en el cuarto año. ¿Cuánto valor agrega al proyecto si tengo una opción de expandir? Veamos, el proyecto puede subir su valor en el cuarto año en $4200000, que es el resultado de multiplicar 700 000 pesos de inversión por las 6 hectáreas (6*700000 = K) (K es el valor del proyecto en el cuarto año). Ahora el flujo de efectivo neto de una hectárea que calculamos en la forma tradicional (647 987.01 - 48 409.64 = 599 577.37) está a valor del año cuatro, que es el año

253

254


que decido expandir. Nótese que todos estos valores están a valor del cuarto año cuando decido expandir.

Como son 6 hectáreas, entonces el flujo de efectivo neto total es de $3 597464 = 6 * 599 577.37, a valor del año cuatro. Ahora hay que llevarlo a valor del año cero:

3597464 (1.15)4 = 2 056 861.84

El valor de la inversión hoy, si decido expandir en el cuarto año, es de 2056861.84 = S, a valor del año cero, y en el año cuatro tengo el derecho de expandir. El ejercer el derecho hace que el valor del proyecto en el año 4 sea 4200000 = K.

Ahora podemos aplicar el modelo de Black-Scholes y Merton (véase el capítulo IV, en particular el apartado 5.4.) para calcular cuánto vale la opción de expandir (e) que es una opción de compra (CALL), el derecho a invertir, no la obligación.

Para aplicar las fórmulas del modelo de Black-Scholes y Merton, se incluye la volatilidad de precios (2= 0.70.

Los datos son:

s K r T (2

=

= = =

$2056861.84 $4 200 000.00 0.05 (tasa libre de riesgo) 4 años 0.70 (varianza de la tasa de movimiento continua de los precios)

Las fórmulas para calcular el valor de opción de compra, de la opción de expandir, son:

(7.1)

José de jesús Brambila paz

d _ ln(~)+H2)t 1 - r,ff

Resolviendo:

1 (2056861.84) + (o 05 + 0.7) 4 d _ n 4 200 000 . 2

1 - 0.83666#

d2 = 0.5296 -1.67332 = -1.1438

-0.7139 + 1.600

1.67332

(7.2)

(7.3)

0.5296

Para calcular N(d,) y N(d2), véanse los valores en la Tabla de distribución normal estandarizada que viene en el Anexo A.

N(d, ) = N(0.5296) = 0.7019

N(d2 ) = N( -1.1438) = 0.1271

Así, el valor de la opción es:

e = 2 056 861.84 (0.7019) - 4200 000 e·(O.oS)(4J(0.1271)

e = 1443 711.33 - 437054.85 = 1006656.48

El valor de la opción de expandirse, si las cosas van bien, es de $1 006656.48. Así, el valor actual neto total del proyecto es igual al valor actual

neto tradicional (-100 422.63) más el valor de la opción de expandirse (1 006656.48).

VAN 10101= - 100422.63 + 1006656.48 = 906233.85

El proyecto con opción de expandirse debe ser aceptado. Ahora el valor de la opción de expandirse es de $1 006656.48. Si necesito apartar las

255

256


tierras para tener la opción de comprar en 4 años no debo pagar por ese derecho más de 906 233.85, porque pagar más hace que el valor actual neto del proyecto se vuelva negativo.

El lector puede "jugar" con los supuestos para ver "qué pasa", por ejemplo, si tengo la opción de conseguir 10 hectáreas o si la volatilidad de precios es sólo de r 2 = 0.50. También, es recomendable intentar evaluar el proyecto como árbol binomial; el resultado es similar, pero da más flexibilidad para introducir otros supuestos como un aumento de rendimiento en el año cuatro por mejor tecnología. Para un desarrollo más detallado de este tema véase Valencia (2010).

7.2. Una aplicación a nuevas tecnologías para productos de la Bioeconomía Supóngase un proyecto agrícola donde se invierten 100 mil pesos en el año cero que genera un flujo de efectivo neto de 30 mil pesos anuales y tiene una tasa de crecimiento por mayores rendimientos a partir del segundo año con una tasa de 2% anual. El proyecto dura 8 años y termina súbitamente. La tasa de descuento la suponemos igual a la tasa de interés. Con estas características, el valor presente tradicional (valor actual neto) se calcula de la manera siguiente:

(Véase el capítulo 11 para el uso de las fórmulas de valor presente.)

30 30(1 + 0.02) 30(1 + 0.02)2 30(1 + 0.02)' VAN = -100 + 1 + 0.05 + (1 + 0.05)2 + (1 + 0.05)' + (1 + 0.05)4

30(1 + 0.02)4 30(1 + 0.02)5 30(1 + 0.02)6 30(1 + 0.02)'

+ (1 + 0.05)5 + (1 + 0.05)6 + (1 + 0.05)' + (1 + 0.05)8

VAN = -100 + 28.57 + 27.76 + 26.96 + 26.19 + 25.44 + 24.72 + 24.0 + 23.32

VAN = -100 + 206.97 = 106.97


El valor actual neto tradicional es de 106.97. El proyecto se debe aceptar.

Ahora, supongamos que el cuarto año hay una posibilidad de (7 - A) = 0.8 (80%) de utilizar una nueva semilla que aumenta el rendimiento en (7 + h) = 1 + 0.20 (20%).

En el año cinco la probabilidad de utilizar la nueva semilla es de (1 - 712)= 0.96 (96%). Nótese que 71 = 0.2 es la probabilidad de no usar la semilla. Para los siguientes años la probabilidad de usar la semilla es:

(1 - 713) = 0.992

(1- 714) = 0.99984

(1 - 715) = 0.99968

Nótese que para el año ocho es casi seguro que se esté usando la nueva semilla, pero siempre es una probabilidad.

El cálculo del valor presente del proyecto -con la posibilidad de usar a partir del cuarto año una nueva semilla y suponiendo que el rendimiento sigue su tendencia de crecer en 2% cada año- es como sigue:

VAN = -100 + 28.57 + 27.76 + 26.96 + 26.19(1 + 0.20(1- 0.2)) +

25.44(1 + 0.20(1- 0.22)) + 24.72(1 + 0.20(1- 0.23)) + 24.01(1 + 0.20(1- 0.24))

+ 23.32( 1 + 0.20(1 - 0.2 5))

VAN = -100 + 28.57 + 27.76 + 26.96 + 30.38 + 30.32 + 29.62 + 28.80 + 27.98

= 130.39

Nótese que el valor de cada término después del segundo ya incluye el crecimiento de 2% anterior. Ahora se agrega, a partir del año 4, el incremento de 71 = 20% (es un salto) por la probabilidad de que ocurra l+h (l-A).

VAN = -100 + 230.39 = 130.39

257

258


Así que la opción de poder aplicar nueva tecnología tiene valor hoy. La diferencia entre el flujo con la nueva semilla 230.39 y el flujo sin la semilla 206.97 es el valor de la opción real tecnológica: 23.42.

230.39 - 206.97 = 23.42

o bien, la diferencia entre el VAN tradicional y el VAN con opción tecnológica

130.39 - 106.97 = 23.42

Ahora, el problema con el sistema tradicional es que no toma en cuenta la volatilidad del flujo de efectivo debido a la volatilidad de los precios.

Recuérdese -como dijimos en capítulos anteriores- que en economía y finanzas un supuesto comúnmente utilizado es que el precio resume toda la información disponible. Por ejemplo, si van a subir los rendimientos, si hay sequía, si va a haber restricciones al comercio, etc., esto se refleja en el precio.

Si suponemos que el flujo de efectivo tiene una volatilidad de [2 = 0.16 Y un riesgo de r = 0.40, entonces podemos construir un árbol binomial de cómo sería el valor presente con volatilidad (figura 5.1.) y después introducir la opción técnica.

Los datos para formar el árbol binomial son:

s = valor de inicio sin opción tecnológica = 206.97

r = tasa de interés = 0.05

r = 0.40 = desviación estándar riesgo 11 = eO.40 = 1.4918 (caso de "nos va bien")

d = e-DAD = 0.6703 (caso de "nos va mal")

r


(1 + 0.05) - 0.6703 P = 1.4918 _ 0.6703 = 0.4622 probabilidad de "nos va bien"

1 - P = 0.5378 probabilidad de "nos va mal"

Figura 7.1. Árbol binomial: escenario sólo con volatilidad de precios

o 2 3 4 5 6 7 8

Ahora, si consideramos la posibilidad de que pueda introducirse la nueva semilla a partir del cuarto año (figura 7.2), entonces el valor de los nodos involucrados varía de la manera siguiente:

4año-(1 +0.20(1-0.20))=7 +0.76

259

260


5 año - (1 + 0.20 (1- 0.2(f')) = 1 + 0.192

6 año - (1 + 0.20 (1- 0.21J3)) = 1 + 0.1984

7 año - (1 + 0.20 (1 - 0.20")) = 1 + 0.19968

9año-(1 +0.20(1-0.20'))= 1 +0.199936

A manera de ejemplo los nodos del año 4 se multiplican por:

(1+0.16)(1025.06)= 1189.15

(1 + 0.16)(460.61) = 534.32

Los del año S se multiplican por:

(1 + 0.192)(1529.19) = 1822.94

(1 + 0.192)(687.13) = 819.10

y así sucesivamente. Por lo que el árbol binomial con opción tecnológica resulta como en figura 7.2.

r


Figura 7.2. Árbol binomial: escenario con volatilidad y opción técnica a partir del cuarto año

Nótese que a partir del año cuatro los valores cambian en relación con la figura 7.1.

Ahora, recuérdese que para calcular el valor presente de un árbol binomial se empieza del último año recalculando los valores de cada nodo (véase el capítulo v para la explicación de cómo se opera). La fórmula es:

VN = P(VNu ) + (I + P)(VNd)

l+r (7.4)

261

262


Por ejemplo, el valor del nodo de hasta arriba del cuarto año en la figura 7.3 se recalculó de la manera siguiente:

(0.4622)(1835.08) + (0.5378)(824.57) VN = 1230.10 = 1 + 0.05

Se toma el valor del VN~ = 1 835.08 Y el VNd = 824.57 de la figura 5.3, se pondera por la probabilidad correspondiente p = 0.4622, que nos vaya bien, y por 1 - P = 0.5378, que nos vaya mal, y todo se descuenta por 1 + r.

Figura 7.3. Árbol binomial: valor presente del proyecto con volatilidad y opción técnica

A 6092.67 1

j 4084.04 K

j 2737.61 K 1 2737.61 I J 1835.08 l 11835.08 l

A 1230.10 K j 1230.09 K ~ 1230.09 1

) 824.58 K j 824.57 K j 824.55 K j 552.74 K ~ 552.75 K ~ 552.76 K ~ 552.71 I

. f 370.53 '{ ~ 370.54 K ~ 370.55 K 370.58 K

r 248.38 K 1 248.38 l 1 248.40 K 1 248.42 K ~ 248.51 I ''{166.50 K 1,66.5, K j 166.52 K j 166.54 K

111.61 K 1111.61 K 1 111 .61 K 1111.59 I ,'{ 74.81 K ~ 74.81 K j 74.78 J\

:'{ 50.14 K j 50.13 K 1 50.14 I ,'{ 33.61 K 1 33.61 K

i,{ 22.52 1 22.53 I 15.10 K

,1 10.12 I

o 2 ,

3 4 5 6 7 ! 8


Si se comparan las columnas de cada año, se observará que en los últimos años hay una ligera variación y, a medida que nos acercamos al año cero, ésta crece (figura 7.3).

(Una pequeña aclaración: en los últimos años, por ejemplo el año 7, hay una ligera variación, cuando vamos del año 6 al 7 el valor es de 4084.17 y cuando vamos del 8 al 7 el valor es de 4084.04. Esto es, debido a que del6 al 71a posibilidad de aumentar el rendimiento pasó de 1 + 0.1894 a 1 + 0.19968 Y al movernos del año 8 al 7 la probabilidad baja de 1 + 0.199936 a 1 + 0.19968, por lo que cambia un poco el valor del nodo. Si multiplicamos 4083.17*(1.199936/1.19968) = 4084.04, como vemos, la diferencia se debe al pequeño cambio de probabilidades. Si la posibilidad de aumentar el rendimiento fuera de 1 + 0.20 por año 6, 7 Y 8, entonces los datos de sus nodos serán iguales yendo del 6 al 7 que del 8 al 7).

Ahora, a partir del cuarto año los cambios son mucho más significativos.

El valor actual neto tradicional del proyecto sin cambio tecnológico fue:

VANtradicional = -100 + 206.97 = 106.97

El valor actual neto del proyecto con cambio tecnológico es de:

VANct = -100 + 230.39 = 130.39 = -100 + 206.97 + 23.42

Así, el valor del cambio tecnológico es de 23.42 = 130.39 - 106.97 sin considerar la volatilidad de precios.

El valor actual neto total del proyecto con cambio tecnológico y con la volatilidad es de:

VANT = -100 + 206.97 + 23.42 + 17.98

Inversión VAN Valor de la Valor de la inicial tradicional opción volatilidad cuando

técnica hay opción técnica

263

264


El 77.98 = 248.37 - 230.39 es la diferencia entre flujos de efectivo sin y con volatilidad, pero ambos con cambio tecnológico.

O bien 77.98 = 748.37 - 730.39 es la diferencia entre el VAN sin volatilidad y el VAN con volatilidad, ambos con cambio tecnológico.

La suma 23.42 + 77.98 = 47.4 es el valor de tener una opción tecnológica en un escenario de volatilidad de precios.

Este mismo proyecto puede ser tratado como una opción de compra (cam de una tecnología en el año cuarto del proyecto y calcular el valor de la opción de cómpra. Para ello puede usarse el modelo de Black-Scholes y Merton; sin embargo, para poder hacerlo hay que cuantificar algunas variables.

Consideramos el valor presente del flujo de efectivo en el año cero en 206.97 (véase figura 7.1). Para la fórmula de Black-Sholes y Merton sería 5=206.97.

Ahora para calcular la K -que es el valor del flujo de efectivo en el cuarto año, tomando en cuenta el aumento de rendimiento y el valor dé cada nodo de ese año- hay que hacer lo siguiente: necesitamos saber cuál es la probabilidad de estar en cada nodo del año cuatro, tomando en cuenta la probabilidad de que me vaya bien (p = 0.462776) Y la probabilidad de que me vaya mal (7 - P = 0.5378).

Recuérdese (capítulo v) que las probabilidades se calculan con la fórmula:

B = T! pn(1 _ p)T-n (T-n)!n!

Donde: n = O, 7,2, 3, 4 T=4 p= 0.462776 7-P= 0.537824

(7.5)

La probabilidad de estar en el nodo de hasta arriba del año cuatro es:

4x3x2x1 4 D_ O! (4 x 3 x 2 x 1) (0.462176) (0.537824) - 0.0456


La probabilidad de estar en el nodo siguiente para abajo es:

4x3x2x1 3 ,_ 1! (3 x 2 x 1) (0.462176) (0.537824) - 0.2124

y así sucesivamente. Resultado de las probabilidades.

n4 = 0.0456 n3 = 0.2124 nz = 0.3707 ni = 0.2876 no = 0.0837

4

La suma de las probabilidades es 1, ¿n; = l. Nótese que la

distribución de las probabilidades se aproxima a una normal. Ahora, todos los nodos del cuarto año de la figura 7.1 los

multiplicamos por 1 + 0.20 (1 - 0.20) = 1.16 -que es el aumento del rendimiento de 20% con una probabilidad de que ocurra de 80%- y el resultado lo multiplicamos por el valor del nodo y por la probabilidad de caer en ese nodo. La suma de los resultados es el valor esperado del flujo de efectivo para el cuarto año; el valor de K en las fórmulas de Black-Scholes y Merton.

Operación:

1025.13 x 1.16 x 0.0456 = 54.23

460.62 x 1.16 x 0.2124 = 113.49

206.97 x 1.16 x 0.3707 = 89.00

93.00 x 1.16 x 0.2876 = 31.03

41.79 x 1.1~ x 0.0837 = 4.06

K = 291.81

265

266


Entonces los datos para aplicar las fórmulas de Black-Scholes y Merton son:

5= 206.97 = inversión inicial = valor presente del flujo de efectivo

K = 291.81 = valor promedio esperado, si hay cambio de tecnología, del flujo de efectivo en el año cuatro

r =0.05

(2=0.16

r =0.40

t =4

Las fórmulas (véase capítulo v para su explicación) son:

Así:

In (D + (r + ~2) t d - --'-'----'=---'--

1 - TVf;

d2 = di -TVf;

-0.3777+0.52 d1 =----

O.B 0.2206

d 2 = 0.2206 - 0.8 = -0.5794

(Véanse los valores en la tabla Z del anexo A.)

N (di) = 0.5871

N (d2) = 0.2810

e = 206.97 (0.5871) -291.81 (0.8187) (0.2810) = 54.38


El valor al año cero de la opción de "compra" de la posibilidad de usar semilla nueva en el cuarto año es de 54.38. El valor -si se usó el árbol binomial- fue de 41.4. Es mayor con las fórmulas de Balck-Scholes y Merton porque todo se termina en el cuarto año y el árbol binomial es a ocho años.

Se le deja al lector aplicar las fórmulas de Black-Scholes y Merton para ocho años.

Este mismo ejemplo puede revisarse con la metodología de los valores críticos.

Recuérdese que el valor crítico es la relación del valor del proyecto

entre inversión (7)' misma que debemos exigir a un proyecto para ser

aceptado en escenarios de volatilidad de precios o de flujo de efectivo; esto es, en escenarios de riesgo e incertidumbre.

Para calcular el valor crítico se utilizan tres ecuaciones clave.

La ecuación de Bellman:

pF(v)dt = E(dF) (7.6)

Donde:

p = tasa de interés F(v) = movimiento del valor del proyecto dt = incremento en el tiempo E(dF) = valor esperado de los incrementos del proyecto

267

268


La ecuación del movimiento Browniano:

Dv=avdt+rvdz (7.7)

Donde:

dv = incremento del valor del proyecto a = tendencia o media de la tasa de movimiento continua del flujo o

precios del proyecto v = valor del proyecto al inicio r = desviación estándar de la tasa continua del movimiento del flujo o

precios del proyecto dz variable al azar con los supuestos siguientes:

dz- N(O, 1)

E(dz) =0

dz2=dt

dt2=0

La ecuación del lema de Ito, una función F(x, t) diferenciable en x yen t de tal manera que:

Df=F'(v)dv+ 1/2F"(v)(dvJ2 17.8)

Suponiendo que las derivadas mayores a la segunda son cero. Combinando las tres ecuaciones 7.6, 7.7 Y 7.8 se obtiene la ecuación 7.9:

::'F"(v)f2v 2 + F'(v)av - pF(v) = O 2

(7.9)

Esta ecuación diferencial de segundo grado tiene una solución parcial:

F(v) =Av~

T


Con la propiedad siguiente:

/3>1

F(a) = a

F(v*) = v*- ¡ •

Donde v* es el valor crítico y ~ es la razón crítica que es: 1

v* P -=--¡ p-1

Para obtener el valor de 13 se sustituyen las ecuaciones siguientes:

é1:F"(v)rZV

Z + F'(v)av - pF(v) = O Z

Con:

F(v) = AvP

F'(v) = Apv f3-1

F"(v) = AP(P - l)vP- Z

v*=L¡ p-l

(7.10)

(7.11 )

(7.12)

(7.13)

(7.14)

Si 1= 1, colapsando todas las ecuaciones 7.10, 7.11, 7.12, 7.13 Y 7.14, obtenemos la ecuación 7.15.

1 fJ p-Z fJ Z fJ p-l fJ fJ P -AfJCP-1)(-) T2

(_) +AfJ(-) a(-)-PA(-) =0 2 fJ-1 fJ-1 fJ-1 fJ-1 fJ-1

1 ZTZfJ(fJ -1) + fJa - P = o

1 1 zT'fJZ - ZTZfJ + fJa - P = O

269

270


(7.15)

Esta ecuación de segundo grado se resuelve con el signo positivo de la fórmula ±.

Donde:

1 a = -r2

2

e =-p

(7.16)

Si la volatilidad es de (2 = O. 76 y el riesgo de r = 0.40, la tasa de interés libre de riesgo r = 0.05 Y la tendencia a = 0.02, entonces la ecuación 7.16 queda:

-(0.02 - i (0.16) + J (0.02 - i (0.16))2 - 4(i (0.16))(-0.05) p=----~----~-.~----~~--~--

2(i (0.16))

0.06 + 0.14 P = 0.16 = 1.25

vx P 1.25 T = p - 1 = 0.25 = 5

r ,

josé de Jesús Brambila Paz

Dada la volatilidad del flujo de efectivo o de los precios, se le deberá eXigir al proyecto una relación de cinco a uno. Por lo que, por pura volatilidad es un proyecto de alto riesgo.

Ahora, si consideramos la opción de usar una mejor semilla que a lo largo del proyecto eleve el rendimiento 20% ((j)=0.20). Entonces la ecuación 7.6 de Bellman se puede reescribir de la siguiente manera:

pF(v)dt + </JF(v)dt = E(dF)

Donde </JF(v)dt es lo que incrementa el valor del proyecto por tener la opción tecnológica.

Así, la ecuación 7.10 se reescribe;

El valor {3 se calcula con los datos siguientes:

a =0.02= media

r =0.40= volatilidad

p = 0.05 = tasa de interés

(j) = 0.20 = incremento del rendimiento

a = .:':r2 = 0.08 2

1 b = a - - r2 = -0.06

2

e = -(p + </J) = -0.25

fJ = 0.06+;10.0036+0.08 = 2.18 0.16

(7.17)

v· = 2.18 = 1.8459 es la relación mínima que se le debe exigir al proyecto, 1 1.18

dado el riesgo y la opción tecnológica.

271

272


Si consideramos que sólo hay una probabilidad (J¡ = 0.80) de que se utilice la opción tecnológica ($ = 0.20). Entonces, la ecuación de Bellman será:

y los datos serán:

a = 0.02 = media

r = 0.40 = volatilidad

p = 0.05 = tasa de interés

pF(v)dt + }..rpF(v)dt = ddF)

$ = 0.20 = incremento tecnológico

/\ = 0.80 = probabilidad de que ocurra el incremento tecnológico

a = Cl:r 2 = 0.08 2

b = a _Cl:r2 = -0.06 2

e = -(p + ?c<jJ) = -0.18

{J = O.06+VO.0036+0.0576 = 1.9212 0,16

~ = 1.9212 = 2.09 1 0.9212

Nótese que, si no es seguro el cambio tecnológico, se requiere un mayor valor crítico: 2.09 en lugar de 1.85. Éste es un ejemplo de los productos de la Bioeconomía.

7.3. Ejercicio para decidir entre un grupo de proyectos En la Bioeconomía las agroindustrias o los productores primarios van a tener que optar por cuál producto diferenciado es más conveniente, dados los riesgos tecnológicos y de mercado. Esto es, no es seguro que podamos


obtener el producto propuesto con las características deseadas, y, si lo logramos, no es seguro que el consumidor lo acepte. Veamos un ejemplo.

Supongamos que el director de una agroindustria solicita proyectos para entrar al mercado de productos de la Bioeconomía. Se presentan 5 proyectos con el presupuesto necesario para desarrollar nuevas variedades de plantas (desarrollo tecnológico) y comercializar el producto (promocionar en el mercado).

Los proyectos se muestran en el cuadro 7.2.

Cuadro 7.2. Proyectos de la Bioeconomía (ejemplo)

Proyecto a) Harina sin gluten para celiacos b) Frijol que se cuece en 20 minutos el Nopal para auxiliar con insulina a los

diabéticos tipo 11

d) Jitomate con licopeno para restar las posibilidades de cáncer de próstata

e) Maíz con máximo contenido de almidón para bioplásticos

f) Jitomate cherry con más licopeno y sabor

Identificación (Celiacos)

(Conveniente)

(Nutracéutico)

(Funcional)

(Bioplásticos)

(Organoléptico)

Cada proyecto se evaluó en la forma tradicional; con una tasa de descuento de 12% y con análisis de sensibilidad se estimó el valor presente máximo y mínimo del flujo de efectivo. Cada uno presentó sus necesidades de presupuesto, todo a valor presente del año cero. Los datos presentados se muestran en el cuadro 7.3.

273

274


Cuadro 7.3. Necesidades de presupuesto de los proyectos de la Bioeconomía (ejemplo)

Valor presente, flujo de Presupuesto VAN (millones) B/C(%) Proyecto efectivo (millones) (millones)

Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo a) Celiacos 2.50 1.50 0.50 2.00 1.00 5.00 3.00 b) Conveniente 3.00 2.20 1.00 2.00 1.20 3.00 2.20 e) Nutraeéutico 3.00 1.80 1.25 1.75 0.55 2.40 1.44 d) Funcional 4.00 2.80 1.50 2.50 1.30 2.67 1.87 e) Bioplásticos 5.00 3.00 1.75 3.25 1.25 2.86 1.71

Nota: *VAN= valor actual neto = valor presente - presupuesto

**B/C = Beneficio/costo = valor presente/presupuesto

El director de la empresa le pidió a cada líder de proyecto que señalara las probabilidades de tener éxito tecnológico (desarrollar la variedad adecuada) y luego la probabilidad de tener éxito en el mercado (la probabilidad de obtener el valor máximo o mínimo del flujo de efectivo). Además les pidió que, en caso de no desarrollar la variedad adecuada, señalaran cuánto del proyecto puede venderse (valor de salida).

Las estimaciones de probabilidades y el valor de salida, en millones de pesos, del año cero que cada líder de proyecto hizo del éxito técnico y del éxito de mercado se anotan en el cuadro 7.4.

Cuadro 7.4. Estimaciones de probabilidad de éxito y de valor de salida para cada proyecto (ejemplo)

ProyeCto

a) Celiacos b) Conveniente e) Nutraeéutico d) Funcional el Bioplástieos

Probabilidad de éxito (%) Tecnológico Mercado

50 50 80 40 40 70 50 60 30 70

Valor de salida (millones de pesos del año O)

0.0 0.1 0.1 0.2 0.5

r


El director de la empresa pretende tener una estimación de cuánto vale la opción real que tiene cada proyecto de seguir adelante si hay éxito técnico (el derecho a seguir) o de cancelar si no se consigue la variedad de planta adecuada (pero no la obligación a seguir).

Para simplificar el ejemplo vamos a suponer que la investigación para las nuevas variedades lleva un año y para alcanzar el máximo o mínimo flujo de efectivo lleva otro año. La tasa libre de riesgo es de r = 0.05 Y la de descuento es de.e = 12%

Así, los valores del flujo de efectivo los movemos del año cero al año dos con la tasa de descuento de 12% (cuadro 7.5).

Cuadro 7.5. Valor presente (máximos y mínimos)

Valor presente del año cero Valor año 2 Proyecto '~-==M"'a'é-'x',Jim=o==='-'M:::'~'n7im=o=-----OM-:a~'x~im=o==M~ín-oi-m-o-

a) Celiacos 2.50 1.50 3.136 1.882 b) Conveniente 3.00 2.20 3.763 2.760 c) Nutracéutico 3.00 1.80 3.763 2.258 d) Funcional 4.00 2.80 5.018 3.513 e) Bioplásticos 5.00 3.00 6.272 3.763

Construimos los árboles binomiales y señalamos la probabilidad de éxito técnico y de éxito de mercado. Nótese que en caso de fallar la tecnología tenemos un nodo de salida.

Los árboles binomiales se construyen en las figuras 7.4 a 7.8 para cada caso.

275

276


al Proyecto para celiacos

Figura 7.4. Arbol binomial del proyecto para celiacos

Máx.

[ 3.136

7 ,------..; Éxito técnico

(vr)

,--------</ Valor esperado

(VE)

'------/ ...... 0.50

( Salir 0.0 1

0.50 Mín.

1.882

Etapa Resultado Resultado del inicial técnico mercado

Año O Año 1 Año 2

T


Ahora, se calcula el valor de cada nodo de atrás para adelante. El valor del nodo señalado como éxito técnico (VT) es:

VT = 0.50(3.136) + 0.50(1.882) = 2.509

Es el promedio ponderado por las probabilidades de los valores máximos y mínimos.

El valor del nodo de salir de vr es como se había señalado: 0.0. El valor del nodo valor esperado (VE) es:

VE = 0.50(2.509) + 0.50(0.0) = 1.255

Es el promedio ponderado por las probabilidades de los valores de los nodos, éxito y salida.

La parte novedosa de esta metodología es el cálculo de la probabilidad que se llama probabilidad libre de riesgo (p) (Mun, 2002), para usarla como ponderador en el cálculo del valor de la opción de seguir adelante (el derecho, no la obligación).

(1 + r)Valor esperado-Valor de salir (1 + r)VI - VS

P = Valor de éxito - Valor de salir = VT - VS (7.18)

Nótese que la ecuación 7.18 multiplica el valor esperado que está en pesos del año cero por 1 más la tasa de interés libre de riesgo (1 + r), para llevar ese valor a pesos del año uno y así poder esperar con pesos del año uno, que son los valores de salida y de éxito técnico.

Con nuestros datos es:

(1 + 0.05)(1.255) - 0.0 p = 2.509 - 0.0 = 0.5252

1- P = 0.4748

Ahora, el cálculo del valor de la opción -una opción de compra (cal/), el derecho de seguir, pero no la obligación-, se hace de la manera siguiente:

277

278


e p(Valor de éxito) + (1- p)(Valor de salir) p = ( ) - resupuesto

l+r

Con nuestros datos

0.5252(2.509) + (0.4748)(0.0) e = ( - 0.50 = 0.7550

1 + 0.05)

(7.19)

La opción real de poder seguir adelante en el caso de éxito tecnológico y con las probabilidades de tener éxito en el mercado tiene un valor de 0.7550 millones de pesos del año cero. Nótese que la ecuación 7.19 está dividida entre (1 + r) para enviar los valores al año cero y se le resta el valor del presupuesto que está en valores del año cero.

Lo mismo se repite para los demás proyectos.


b) Proyecto conveniente

Figura 7.5. Árbol binomial del proyecto conveniente

~--------<'/ Valor

esperado

'-----../'.. 0.20

Etapa inicial

AñoO

Máx.

[ 3.763

~ ___ ~.7 Éxito

técnico

Salir 0.1

Resultado técnico

Año 1

0.60 Min.

2.760

Resultado del mercado

Año2

279


Cálculos:

Valor éxito técnico

VT = 0.40(3.763) + 0.60(2.760) = 3.161

Valor esperado

VE = 0.80(3.161) + 0.20(0.1) = 2.549

Valor de salida , ,

VS = 0.1

Probabilidad libre de riesgo

= (1 + 0.05)2.549 - 0.1 = 0.8417' P 3.161 - 0.1 I

1- P = 0.1583

Valor de la opción e

0.8417(3.161) + 0.1583(0.1) e = 1.0 = 1.5490

(1 + 0.05)2

280


e) Proyecto nutracéutico

Figura 7.6. Arbol binomial del proyecto nutracéutico

Valor

esperado

Etapa inicial

AñoO

/ 0.60

[

Éxito

técnico

Salir 0.1

Resultado técnico

Año 1

[

7 0.30

1

Máx.

3.763

Min.

2.258


Año2

281


Cálculos:


VT = 0.70(3.763} + 0.30(2.258) = 3.312

Valor esperado

VE = 0.40(3.305) + 0.60(0.1) = 1.385

Valor de salida

VS = 0.1


= (1 + 0.05)1.385 - 0.1 = 0.4216' P 3.312 - 0.1 I

1-p = 0.5784


0.4216(3.312) + 0.5784(0.1) e = (1 + 0.05) - 1.25 = 0.1350

182


d) Proyecto funcional

Figura 7.7. Arbol binomial del proyecto funcional

0.50

Valor

esperado

'------->." 0.50

Etapa inicial

AñoO

[ ;7

Éxito

técnico

0.40

Salir 0.2 1

Resultado técnico

Año 1

Máx.

5.018

M/n.

3.513


Año2

283

284


Cálculos:


VT = 0.60(5.018) + 0.40(3.513) = 4.416

Valor esperado

VE = 0.50(4.416) + 0.50(0.2) = 2.308

Valor de salida

VS = 0.2


= (1 + 0.05)2.308 - 0.2 = 0.5274' P 4.416 - 0.2 '

1-p = 0.4726


e = 0.5274(4.416) + 0.4726(0.2) 1.50 = 0.8081 (1 + 0.05)

r


e} Proyecto bioplástico

Figura 7.8. Árbol binomial del proyecto de bioplástico

~--------~~ Valor

esperado

'---------/'.... 0.70

. Etapa inicial

AñoO

Máx.

[ 6.272

~ ______ -<7 Éxito

técnico

Salir 0.5

Resultado técnico

Año 1

0.30 Mín.

3.763


Año2

285

286


Cálculos: Valor éxito técnico

VT = 0.70(6.272) + 0.30(3.763) = 5.519 Valor esperado

VE = 0.30(5.519) + 0.70(0.5) = 2.006 Valor de salida


= (1+ 0.05)2.006 - 0.5 = 0.3200' P 5.519-0.5 I


VS = 0.5

1- P = 0.6800

e = 0.32(5.519) + 0.68(0.5) 1.7 = 0.3057

(1 + 0.05)

Para poder comparar los proyectos entre sí es necesario homogeneizar los resultados. Esto es, dividir el valor de la opción entre el presupuesto. Nótese que el valor de la opción es el valor del proyecto ponderado por las probabilidades de éxito técnico y éxito de mercado menos el presupuesto. En el cuadro 7.6 se presentan los resultados.

Cuadro 7.6. Valor de la opción de los proyectos dela Bioeconomía (ejemplo)

Valor de la Presupuesto Valor de la Proyecto opción opción/presupuesto.

(millones) (millones) (por peso)

al Celiacos 0.7550 0.50 1.51 bl Conveniente 1.5490 1.00 1.55 el Nutraeéutieo 0.1350 1.25 0.11 d) Funcional 0.8081 1.50 0.54 el Bioplásticos 0.3057 1.75 0.17

Nótese que en todos los casos hay mayor beneficio que costo.


Con el sistema tradicional de evaluación por beneficio/costo deberíamos escoger el Proyecto celiacos, pero si se toman en cuenta las probabilidades de éxito técnico y de mercado es mejor optar por el Proyecto conveniente. Aunque el de celiacos sigue siendo buena opción (cuadro 7.6).

En un acto desesperado, el líder del Proyecto funcional comentó que no se había tomado en cuenta que al tener éxito tecnológico era probable que los imitara alguna otra agroindustria y les "robara" parte del mercado.

El director acepta el razonamiento del equipo funcional y le encomienda a un equipo independiente que mida la probabilidad de que la competencia entre y calcule cuánto mercado les puede quitar. Nótese que el estudio del equipo independiente se va a centrar en barreras a la competencia como es el uso de patentes, el acceso a personal calificado, la capacidad de innovación de otras agroindustrias, entre otras.

El resultado se muestra en el cuadro 7.7.

Cuadro 7.7. Probabilidad de que entre la competencia y se pierda parte del mercado

Proyecto

al Celiacos b) Conveniente . el Nutraeéutico dl Funcional el Bioplásticos

Probabilidad de que entre la competencia (%l

80 60 60 30 90

¿Cómo cambian los resultados?

a} Proyecto celiacos

Pérdida del mercado (%l

40 30 50 20 10

Si entra la competencia, entonces lo valores máximo y mínimo del flujo de efectivo disminuyen en 40%.

287

288


Figura 7.9. Árbol binomial del proyecto celiacos cuando entra la competencia

0.5

Éxito tecnológ ico

0.5

Máx.

3.136 - 0.4 (3.136) =

1.8816

Min.

1.882 - 0.4 (1.882) =

1.1292

Resultado del mercado con competencia

Año 2

Como lo hicimos anteriormente, se calcula el valor del nodo anterior, valor técnico VT, con las probabilidades de éxito de mercado, 50%.

VT = 0.50(1.8816) + 0.50(1.1292) = 1.5054

I I


Entonces, el valor del nodo de éxito tecnológico debe ser recalculado y ponderado con competencia y sin competencia (VT). La probabilidad de competencia es de 80%.

VT = 0.20(2.509) + 0.80(1.5054) = 1.7061

Se repiten los cálculos como anteriormente se hizo

VS = 0.0

VE = 0.50(1.7061) + 0.50(0.0) = 0.85305

(1 + 0.05)(0.8531) - 0.0 p = 1.7061- 0.0 = 0.5250; 1- P = 0.4750

e = (0.5250)(1.7061) +5~0.4750)(0.0) _ 1 = -0.1470 (1 + 0.0

Nótese que en este caso el valor del proyecto de celiacos se volvió negativo.

289

290


Figura 7.10. Árbol binomial del proyecto conveniente cuando entra la competencia

0.4

Éxito tecnológico

0.6

Máx.

3.763 - 0.3 (3.763) =

2.6341

Min.

2.76 - 0.3 (3.763) =

1.6311

Resultado del mercado con competencia

Año2

El valor del nodo de éxito tecnologico se recalcula con y sin competencia. La posibilidad de competencia es 60%.

VT = 0.40(2.6341) + 0.60(1.6311) = 2.0323

El valor del nodo ponderado con competencia y sin competencia

(VT):

í


VT = 0.40(3.763) + 0.60(2.0323) = 2.7246

VS = 0.1

VE = 0.80(2.0323) + 0.20(0.1) = 1.6458

(1 + 0.05)(1.6458) - 0.1 P = 2.7246 _ 0.1 = 0.6161; 1 - P = 0.3839

(0.6161)(2.7246) + (0.3839)(0.1) e = 1 = 0.6353

(1 + 0.05)

Se le dejan al lector los cálculos para los proyectos nutracéuticos, funcional y el de bioplásticos. En el cuadro 7.8 se presentan los resultados.

Cuadro 7.8. Valor de la opción de los proyectos de la bioeconomía con y sin competencia

Valor de la opción Valor de la opción

Proyecto (millones) Presupuesto Presupuesto (por peso)

Sin Con (millones) Sin Con competencia competencia competencia competencia

a) Celiacos 0.7550 -0.1470 0.50 1.51 -0.294 b) Conveniente 1.5490 0.6353 1.00 1.55 0.6353 e) Nutracéutico 0.1350 -0.2637 1.25 0.11 -0.2110 d) Funcional 0.8081 0.6753 1.50 0.54 0.4502 e) Bioplásticos 0.3057 0.1423 1.75 0.17 0.0813

Buen intento de parte del Proyecto funcional ya que queda como la segunda opción. Pero sigue siendo mejor opción el Proyecto conveniente. Nótese que al valor de la opción ya se le restó éste, por lo que al dividirlo entre el presupuesto queda lo que se gana por cada peso que se invierte en términos netos.

291

292


7.4. Ejercicio toma de decisión cuando hay caída de precios Los bruscos movimientos de las materias primas agrícolas como son maíz, trigo, arroz, soya son parte de la volatilidad que se espera surja en el tránsito de una economía basada en el petróleo a una basada en la materia orgánica transmutada. Los precios de la materia prima agrícola tendrán alzas y bajas muy pronunciadas. Por ejemplo, el precio del maíz, del tercer trimestre del 2007 al tercer trimestre del 2008, subió en 87.67%; del tercer trimestre del 2008 al tercer trimestre del 2009 se pronosticó una baja de 14.29%. O bien en el caso del trigo, el cuarto trimestre del 2001 el precio sólo aumentó en 7.5% anual, pero del cuarto trimestre del 2005 al cuarto trimestre del 2007 subió a una tasa de 52.97% anual y se espera que del tercer trimestre del 2007 al tercer trimestre del 2009 el precio baje en 16.63% anual.

Por lo anterior, al evaluar un proyecto agropecuario de genéricos (commodities) o de la Bioeconomía se debe tener en cuenta que pueden presentarse bajas pronunciadas y repentinas en los precios en un corto plazo.

Supongamos que los datos nos muestran que la tasa de movimiento continua de los precios reales del maíz -esto es, la tendencia- es de a = 0.05, que la volatilidad es de (2 = 0.0967 Y el riesgo es de r = 0.37, pero esperamos que haya una caída de los mismos de un <p = 0.30 con una probabilidad de il = 0.70.

Si consideramos que la tasa libre de riesgo es r = 0.05, entonces, podemos calcular la razón crítica y el valor crítico para el caso del maíz.

Primero, estimamos la f3 para el caso de la situación actual, sin esperar caída de precios.

Las ecuaciones claves, sólo para recordar son:

Ecuación de Bellman:

Donde: f = tasa Ii bre de riesgo F(v) = valor de la opción

fF(v)dt = E(dF)

dF = incrementos del valor de la opción

T


Lemadelto:

1 dF = F'(v)dv + "iF"(v)(dv)2

Donde: F'(v) = primera derivada con respecto al valor del proyecto IV) dv = aumento del valor del proyecto

El movimiento browniano:

Donde: a = tendencia r = volatilidad dt = tiempo dz = variable aleatoria

dv = avdt + rvdz

Con las condiciones siguientes:

E(dz) = O

(dZ)2 = dt

dt2 = O

Una solución parcial puede ser:

F = Avfl

Entonces, f3 es una ecuación de segundo grado con la forma siguiente:

293

294


Donde:

Así:

Con:

1 a = _r2

2

1 2 b = (f - a) --r

2

e =-f

- [ce - a) - ~ r'] + J [ ce - a) - ~ r' f -4 G r' ) ( -f)

2 (~r')

f = 0.05

a = 0.05

r = 0.31;

(3 = 1.636

V' 1.636

r 2 = 0.0961

T = 0.636 = 2.57

Ahora, si introducimos la probabilidad de una caída en los precios, entonces:

dv = avdt + rvdz - A<jJvdq

Donde:

E(dq) = O


Recuérdese que G es una variable al azar con distribución

N 'Vo (0,1), es media cero y varianza uno. También E(G¡Gf-l) = O.

(dq)2 = dt

e(dzdq) = O

Así, las ecuaciones quedan:

Si la solución parcial es:

F(v) = AvP

Entonces:

Donde:

1 a = - [r 2 +(i)2A2 ] = 00701 2 .

b = [(1 - a) - ~ (r 2+(2)2A2)] = -0.0701

e = -1 = -0.05

(7.20)

295

'96

Bioeconomía. instrumentos para su análisis económico

Donde:

Así:

r = 0.31;

f! = 0.05

r = 0.05

cf> = 0.30

it = 0.70

r2 = 0.0961

p = 1.4815

V* 1.4815 - = 04 5 = 3.077 1 . 81

Si tomamos en cuenta un acontecimiento como la caída de precios de una sola vez con cierta probabilidad de ocurrencia, entonces el valor crítico aumenta. Esto es, se le debe exigir más rentabilidad al proyecto.

La Bioeconomía lleva implícita la creación de nuevos productos en escenarios de mayor riesgo e incertidumbre. Como todo lo nuevo que cambia las costumbres y los valores sociales, al principio se le rechazará, pero poco a poco, cuando se va entendiendo, se le ve como una oportunidad. Este libro busca que el lector tenga mejores instrumentos para analizar y evaluar 105 nuevos proyectos de la Bioeconomía y pueda aprovechar mejor las oportunidades que vaya encontrando.

Como se mencionó en la introducción, si algún lector encuentra algún error de cálculo, de conceptos o le parece que hay partes que no están lo suficientemente claras, mucho le agradeceré lo hagan saber al correo electrónico: [email protected]

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297

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Walpole, Ronald E. y Raymond H. Myers. 1992. Probabilidad y estadística. 4a.

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299

LISTADO DE CUADROS

Cuadro 1.1. Movimiento absoluto y relativo 19 Cuadro 1.2. Tasa de crecimiento 20 Cuadro 1.3. Ventas de Harinas integrales 24 Cuadro 1.4. Tasa de movimiento de ventas de Harinas integrales S.A.

de C.V. de un año a otro 25 Cuadro 1.5. Cálculo del número e Cuadro 1.6. Tasa de crecimiento continua anual de producción 30 Cuadro 1.7. Tasas continuas de superficie y rendimiento 30 Cuadro 1.S. Consumo esperado de arroz para el 2015 base 2007 33 Cuadro 1.9. Salario nominal y precio nominal de la papa 37 Cuadro 1.10. Salario nominal en términos de papas 37 Cuadro 1.11. Tasa de movimiento discreta del precio nominal de la

papa 3S Cuadro 1.12. Salario real en términos de papas 3S Cuadro 1.13. Salario real en relación allNPc (base 2003) 40 Cuadro 1.14. Salario real calculado con tasas de crecimiento discreta del

INPC base 2003 41 Cuadro 1.15. Cambio de base y tasa de movimiento discreta anual del

INPC 42 Cuadro 1.16. Salario real con diferentes años base y tasa discreta de

crecimiento 43 Cuadro 1.17. Cálculo de la acumulación de capital 43

301

302


Cuadro 1.18. Cálculo del valor nominal del proyecto 44 Cuadro 1.19. Cálculo del valor presente del proyecto 44 Cuadro 1.20. Cálculo del valor presente del proyecto con tasa de

descuento que incluye riesgo 46 Cuadro 1.21. Cálculo del flujo nominal 46 Cuadro 1.22. Tasa de interés nominal y tasa de inflación 48 Cuadro 1.23. Cálculo del precio del dinero y de la tasa de interés real 48 Cuadro 1.24. La tasa de interés nominal y la inflación SO Cuadro 1.25. Cálculo de la tasa de interés real por país 51 Cuadro 1.26. Comportamiento del patrimonio ejemplificado en

manzanas 53 Cuadro 1.27. Contabilidad en escenario sin inflación SS Cuadro 1.28. Contabilidad en escenario con inflación SS Cuadro 1.29. Contabilidad en escenario con boletín B-1 O 56 Cuadro 2.1. Cálculo de s (suma) 73 Cuadro 2.2. Movimiento de una progresión geométrica 74 Cuadro 2.3. Datos para la aplicación de la Teoría del Caos en un

sistema estable que se vuelve oscilatorio pero predecible 83 Cuadro 2.4. Aplicación de la Teoría del Caos en un sistema que oscila,

pero que después de cruzar cierto umbral se vuelve estable

Cuadro 2.5. Tabla de amortización del crédito cuando i = 5% Cuadro 2.6. Distribución de los pagos cuando la n = O Cuadro 2.7. Tabla de amortización cuando i = 110% Cuadro 2.8. Pago real cuando la inflación es de n=1 00% Cuadro 2.9. Capacidad de pago Cuadro 2.10. Tabla de amortización, primer año Cuadro 2.11. Tabla de amortización, segundo año Cuadro 2.12. Tabla de amortización, tercer año Cuadro 2.13. Tabla de amortización, cuarto y quinto año Cuadro 3.1. Precios reales Cuadro 3.2. Frecuencia de observación

85 103 103 104 105 106 108 109 109 110 118 120

1 i

3


Cuadro 3.3. Valores de CD (x) 120 Cuadro 3.4. Matriz de decisiones, ganancia por escenario 127 Cuadro 3.5. Ventas mensuales 128 Cuadro 3.6. Valor y probabilidad de la demanda (O) en una

distribución estandarizada (z) 129 Cuadro 3.7. Matriz de decisiones con el valor esperado 130 Cuadro 3.8. Precio y rendimiento de un producto por hectárea 136 Cuadro 3.9. Matriz para calcular la varianza de un portafolio 138 Cuadro 3.10. Cálculo de la rentabilidad, la volatilidad y el riesgo del

jitomate por hectárea 140 Cuadro 5.1. Valor del proyecto en el cuarto año con opción real

(ejemplo) 196 Cuadro 6.1. Valores críticos (v') 237 Cuadro 7.1. Ventas y costos de producción y mantenimiento 252 Cuadro 7.2. Proyectos de la Bioeconomía (ejemplo) 273 Cuadro 7.3. Necesidades de presupuesto de los proyectos de la

Bioeconomía (ejemplo) 274 Cuadro 7.4. Estimaciones de probabilidad de éxito y de valor de salida

para cada proyecto (ejemplo) 274 Cuadro 7.5. Valor presente (máximos y mínimos) 275 Cuadro 7.6. Valor de la opción de los proyectos de la Bioeconomía

(ejemplo) 286 Cuadro 7.7. Probabilidad de que entre la competencia y se pierda

parte del mercado 287 Cuadro 7.8 .. Valor de la opción de los proyectos de la Bioeconomía con

y sin competencia 291

303

í

íNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Movimiento de la tasa del periodo Figura 1.2. Comportamiento del número e

22 26

Figura 1.3. Comportamiento del patrimonio ejemplificado en manzanas 54

Figura 2.1. Sistema de autorregulación 1 65 Figura 2.2. Sistema de autorregulación 2 68

Figura 2.3. Sistema recursivo complejo 69

Figura 2.4. Sistema de acoplamiento paralelo 70

Figura 2.5. Sistema estable que converge 76

Figura 2.6. Sistema oscilatorio pero convergente 77 Figura 2.7. Sistema divergente 78

Figura 2.8. Sistema oscilatorio y divergente 79

Figura 2.9. Sistema de crecimiento constante 80

Figura 2.10. Sistema que se mueve en bandas entre a y b 81 Figura 2.11. Sistema estático 82

Figura 2.12. Sistema estable hasta que al cruzar un umbral se vuelve oscilatorio pero predecible 84

Figura 2.13. Sistema oscilatorio hasta que al cruzar un umbral se vuelve estable 86

Figura 2.14. Aplicación de la ecuación clásica de la Teoría del Caos cuando r = 2 Y x = 0.02 87

305

06


Figura 2.15. Aplicación de la ecuación clásica de la Teoría el Caos cuando r = 4 Y x = 0.02 87

Figura 2.16. Tasa de movimiento continua de la producción de arroz, frijol, jitomate y maíz 88

Figura 2.17. Tasa de movimiento continua de los precios reales al productor de aguacate, frijol, caña de azúcar, maíz, limón y jitomate 89

Figura 2.18. Comportamiento del flujo de ingresos en etapas 94

Figura 2.19. Comportamiento de la amortización 107

Figura 3.1. Curva de distribución normal 117

Figura 3.2. Curva de distribución de la tasa de movimiento continua de los precios reales

Figura 3.3. Comportamiento normal de <I>(x)

Figura 3.4. Probabilidad de que los precios bajen más del 1 0%

Figura 3.5. Rendimiento y riesgo

Figura 3.6. Rendimiento y riesgo del ingreso bruto

Figura 3.7. Rentabilidad y riesgo de varios cultivos

Figura 4.1. Mercado estable

Figura 4.2. Mercado divergente

Figura 4.3. Mercado cíclico y estable

Figura 4.4. Diagrama de Argand

Figura 4.5. Diagrama de Argand, función circular

Figura 4.6.· Diagrama de Argand, uniendo valles y cúspides




Figura 4.1 O. Sistema oscilatorio pero divergente, explosivo

Figura 4.11. Sistema instantáneo

Figura 4.12. Sistema constante

119

121

122

134

137

139

148

149

149

163

164

164

167

168

168

169

169

170


Figura 4.13. Sistema estable 170 Figura 4.14. Sistema estable que converge 171

Figura 4.1 S. Sistema divergente 171

Figura 4.16. Sistema estable y constante 172

Figura 5.1. Valor presente del flujo de efectivo del proyecto en el año O y 1 188 Figura 5.2. Valor presente del flujo de efectivo del proyecto en términos

generales 188 Figura 5.3. Valor presente del proyecto con riesgo de volatilidad de

precios 190

FiguraSA. Comportamiento de probabilidades 193 Figura S.S. Valor de los nodos en el cuarto año con la posibilidad de

ejercer la opción 198

Figura 5.6. Valor de los nodos en el segundo, tercer y cuarto año con la posibilidad de ejercer la opción real europea de venta 200

Figura 5.7. Valor del proyecto al tener una opción real de salida europea 201

Figura 5.8. Árbol binomial sin opción de salida con r= 0040 204

Figura 5.9. Árbol binomial con opción real de salida europea con I = 0040 205

Figura 5.10. Valor de los nodos con opción de salida al cuarto año 210

Figura 5.11. Valor de los nodos en el tercer año al ejercer la opción de salida americana 211

Figura 5.12. Valor de los nodos en el segundo, tercer y cuarto año al ejercer la opción de salida americana 212

Figura 5.13. Valor presente del proyecto con opción de salida americana 213

Figura 5.14. Árbol binomial con diferenciación a partir del año 2 215 Figura 5.1 S. Valor presente del proyecto con riesgo o volatilidad de

precios 216 Figura 5.16. Valor presente del proyecto con riesgo o volatilidad de

precios con y sin diferenciación 218

Figura 5.17. Valores de los nodos en el año cuatro con diferenciación 220

=

307 1

1

I


Figura 5.18. Valores de los nodos en el año tres y cuatro con diferenciación 222

Figura 5.19. Valores de los nodos en el año dos, tres y cuatro con diferenciación 224

Figura 5.20. Valor presente del proyecto con diferenciación 225

Figura 6.1 Riesgo y rentabilidad de productos seleccionados 238 Figura 7.1. Árbol binomial: escenario sólo con volatilidad de precios 259

Figura 7.2. Árbol binomial: escenario con volatilidad y opción técnica a partir del cuarto año 261

Figura 7.3. Árbol binomial: valor presente del proyecto con volatilidad y opción técnica 262

Figura 7.4. Árbol binomial del proyecto para celiacos 276 Figura 7.5. Árbol binomial del proyecto conveniente 279

Figura 7.6. Árbol binomial del proyecto nutracéutico 281

Figura 7.7. Árbol binomial del proyecto funcional 283

Figura 7.8. Árbol binomial del proyecto bioplástico 285 Figura 7.9. Árbol binomial del proyecto celiacos cuando entra la

competencia 288

Figura 7.10. Árbol binomial del proyecto conveniente cuando entra la competencia 290

08

ANEXO A. TABLA DE VALORES Z

Anexo A. TABLA PARA N(x) CUANDO X ::;; O

Esta tabla exhibe valores de N(x) para X ::;; O. La tabla muestra puede ser usada para interpolación. Por ejemplo:

N( -0.1234) = N( -0.12) - 0.34[N( -0.12) - N( -0.13)] = 0.4522 - 0.34 x (0.4522 - 0.4483) = 0.4509

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

-0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985

-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

309 . I


-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.2560 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233

-2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.D188 0.0183

-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143

-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110

-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019

-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

-3.0 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007

-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005

-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003

-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002

-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-4.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Fuente: Walpole y Myers, pp, 731 Y 732.

310

--~~ ~-----~~------------


Anexo B. TABLA PARA N(X) CUANDO X;::: O

Esta tabla exhibe valores de N(x) para X ;::: O. La tabla muestra puede ser usada con interpolación. Por ejemplo:

= 0.7324 + 0.78 x (0.7357 - 0.7324) = 0.7350N(0.6278) = N(0.62) + 0.78[N(0.63) - N(0.62)]

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6179 0.6179 0.6179 0.6179 0.6179 0.6179

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8729 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9703 0.9708 0.9712 0.9717

311


2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Fuente: Walpole y Myers, pp, 731 Y 732.

312

Riesgo, Incertidumbre y Dinámica

PI O(Xl=-' -e.)l.::,A .

,'2rji'!

~ __ -I-_"';¡"'l r " 9914% 4 7 101316 1922

PI

1 4 7 10 13 16 19 22 25

• •

Vivir Mejor

•

2.0

1.5

1.0

0.5 0.0 4. __ _

o 4 81216202428323640

bioeconomía: instrumentos para su análisis económico

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