1go KAPITULUA

1. Izan bedi X zenbaki erreala non n bere zati osoa eta z bere zati zatikiarra baitira.Badakigu nola pasa n zenbaki osoa adierazpide hamartarretik b oinarriko adieraz-pidera, eta z zenbaki erreala, non |z| < 1 baita, ere.

(a) Izan bedi 275.875 adierazpide hamartarrean idatzitako zenbakia. Idatzi zenba-ki hau 2, 8 eta 16 oinarrietan.

(b) Eraiki b = 5 oinarriaren batuketa eta biderkaketa taulak.

(c) Kalkulatu (4133.3)5/(30)5 zatidura.

2. Izan bedi f(x) = x2 − 2x − 2 funtzioa. Frogatu x aldagaiari emandako ε erroreak,x = 1 puntuan, f -ri ε2-ko errorea eragiten diola.

3. Izan bedi φ : D ⊂ Rn → Rn funtzio bektoriala. Ondorioztatu baldintzapen-adierazlearen formula, funtzioaren errore erlatibo hurbilduaren adierazpenetik.

4. Oinarrizko eragiketeen errore erlatiboaren hedapenaren formulak ondorioztatu: a)f(x, y) = x± y, b) f(x, y) = x · y eta d) f(x, y) = x/y

5. Φ(x, y) = x ∗ y + y√

x2 + y funtzioaren errore erlatiboa kalkulatu, EEΦ(x,y), for-mula zehatza erabiliz eta baldintzapen adierazlea erabiliz ere. Funtzio honen erroreerlatiboaren adierazpena EEΦ(x,y) ondorioztatu formula zuzena erabiliz, hau da

EEΦ(x,y) = |Φ(x,y)−Φ(x∗,y∗)||Φ(x,y)| eta EEx eta EEy terminoen funtziopekoan idatzi. Kal-

kulatu errore erlatiboa (x, y) = (−2.0, 1.0) eta (x∗, y∗) = (−2.01, 0.99) zenbakiekin.

6. Bisekzioko metodoa da eta puntu finkoarena aldagai bateko ekuazioen erroak bila-tzeko balio zaizkigu:

(a) Aztertu grafikoki Puntu Finkoaren eskemaren konbergentzia pn+1 = pn(2−A ·pn), (A > 0) ekuazioarekin.

(b) Kalkulatu puntu finkoaren iterazioaren lehenengo hurbilketak |pn − pn−1|/|pn| <1.0 ∗ 10−5 izan arte edo segidaren dibergentzia ziurtatu arte, A = 0.1 parame-troarekin eta p0 = 21.0 eta baita p∗0 = 2.0 hasierako hurbilketekin.

(c) Izan bitez [a, b] tartea, G : [a, b] → [a, b] aplikazio kontraktiboa, hau da,∀x ∈ [a, b], |G′(x)| < 1 eta p beronen puntu finkoa. Eman adibide bat, hauda, G , a , b eta xnon |G(x) − x| < ε ez duen |x − p| < ε ondorioztatzen.Frogatu |G(x) − x| < ε ⇒ |x − p| < ε/(1 − λ) beteko dela non ∀x ∈[a, b], |G′(x)| ≤ λ < 1 den.

(d) ”a)”sailaren g(x) = x Puntu Finkoaren Iterazioaren ekuazioa f(x) = 0 mo-duko ekuazioan bihurtu eta bere erroak bilatu.

(e) Baldin ”e)” sailaren funtzioaren erroak hurbiltzeko Bisekzioko algoritmoa[0.5/A, 1.5/A] tartean badarabilgu, zenbat iterazio beharko ditugu |p− pn| <10−4 errorearen bornapena lortzeko. Kalkulatu lehenengo 5 iterazioak eta ida-tzi f(pn)-ren balioak.

(f) Eman a eta b muturrak zeinetarako lau digitu esangarriekiko borobiltze arit-metikaz Bisekzio Algoritmoaren lehenengo hurbilketa desberdina den ondokobi formuletan:

p1 =a + b

2, p∗1 = a + 0.5 · (b− a)

7. kalkulatu bigarren mailako x2 − 1.48x− 2.758 = 0 ekuazioaren bi erroak eragiketaguztiak bost digituetako borobiltze aritmetikaz burutuz. Ekuazioaren koefizienteak8 oinarriko sisteman daude, beraz, emaitza lortzeko egin behar diren eragiketa guz-tiak, erro karratua ezik, sistema zortzitarrean burutu (5 digitu esangarrietaz). Errokarratua kalkulatzeko, lehenengoan errokizuna sistema hamartarrera bihurtu, ge-ro erro karratua kalkulatu (kalkulagailuaz) eta berriro sistema zortzitarrera pasatuprozesua jarraitzeko.

8. φ(x1, x2) = x21/(x

21 + x2) funtzioa balioztatzeko ondoko prozesua jarraituko dugu:

φ(0)(x1, x2) =

(x2

1

x2

), φ(1)(u,w) =

(u

u + w

), φ(2)(α, β) =

α

β.

Kalkulatu prozesuaren errore absolutu osoaren hedapenaren formula eta balioztatu(5.38, 1.78) puntuan. Eragiketa.

9. Demagun zuzen baten barnean dauden (x0, y0) eta (x1, y1) puntuak. Aurkituebaki-puntuak zuzen honen eta X ardatzaren artean. Putu hau bi adierazpenenbidez idatz daiteke:

x =x0 y1 − x1 y0

y1 − y0

, x = x0 − (x1 − x0) y0

y1 − y0

(a) Frogatu analitikoki formula berauen baliotasuna.

(b) Hiru digitu esangarriekiko borobiltze aritmetikaz balioztatu bi formulak (x0, y0) =(1.31, 3.24) eta (x1, y1) = (1.93, 4.76) puntuetan. Zein metodo ematen dizuemaitza obena? eta zergatik iruditzen zaizu emaitza obena eman behar duela?

10. Baldin |r| < 1 bada, orduan∑∞

n=0 d rn serie geometrikoa konbergentea izangoda eta bere batura d/(1 − r) da. Azken emaitza hau erabiliz, sistema bitarreanadierazitako ondoko garapena

1

7= 0.00012

eta sistema hamartarrean adierazitako ondoko seriea

1

7=

1

8+

1

64+

1

512+ · · ·

baliokideak direla frogatu.

11. Idatzi b = 7 zenbaki-sistema zazpitarraren aurreneko 10 zenbaki lehenak. Gero kal-kulatu {16327, 25057} zenbakien zatitzaile komunetako handiena (z.k.h.) eragiketakb = 7 zenbaki-sistema burutuz.

12. Demagun P (x) = ax2 + bx + d polinomioa non beronen koefizienteak (a,b, c) =(1,−1.55,−3.5) diren eta beronen erro positiboa α den. Izan bitez a∗ ∈ [a−0.02, a+0.02], b∗ ∈ [b − 0.05,b + 0.05] eta d∗ ∈ [d − 0.1,d + 0.1] koefiziente hurbilduak,kalkulatu alde batetik zehatz mehatz eta beste aldetik hurbilduki baldintzapen adie-razlearen formularen bidez zein den P ∗(x) = a∗x2 + b∗x + d∗ polinomioaren erropositiboak izan dezakeen errore erlatiborik handiena α-rekiko.

13. Paralelepipedo laukizuzen baten aldeak 3 zm, 4 zm eta 5 zm-koak dira. Neurrihauek gehienez 1 zm errorea izan ditzakete. Errore absoluturako formula hurbil-duaren bidez, aur-kitu zeintzuk izan daitezken bolumenaren baliorik handiena etatxikiena. Gero formula hurbilduaz erebai aurkitu zeintzuk izan daitezken paralele-pipedo horren gainazalaren azaleraren baliorik handiena eta txikiena.

14. Experimentu bat zenbait aldiz errepikatu da hiru neurri edo emaitz ezberdinakemanik. Neurri bakoitzari dagokion errepikapen kopurua (maiztasuna) elkartu zaio.Ondoko taulan maiztasunak eta neurriak oinarri 8-tarrean adierazitak daude.

maiztasuna emaitza238 345.168

68 275.318

178 326.048

(a) Eragiketa guztiak sistema 8-tarrean burutuz, kalkulatu ezazu experimentuarenbatazbesteko aritmetikoa.

(b) Baldin neurri hurbilduak 345.168 ± 0.18, bigarrena 275.318 ± 0.28 eta hi-rugarrena 326.048 ± 0.058 izan badira, orduan errore absolutu hurbilduarenformula erabiliz, aurreko atalean lortutako batazbestekoak izan dezaken erroreabsolutua bornatu.

15. Bornatu (x0, y0) = (1, 2) puntuan balioztatzen den φ(x, y) = (x2 + 2xy + y2)/(x−y) funtzioaren errore osoa lau digito esangarriekiko aritmetika hurbilduaz, non:

φ = φ2 ◦ φ1 ◦ φ0, φ0(x, y) = (x + y, x− y), φ1(u, v) = (u2, v), φ2(α, β) =α

β.