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BernoulliBernoulli
Daniel Aguilera Muñoz
BernoulliBernoulli
• Los Bernoulli son una familia de matemáticos y físicos suizos procedentes de la ciudad de Basilea, que irrumpió en el mundo científico a finales del siglo XVII.
• El fundador de esta familia fue Jacob el viejo, nacido en Amberes (Bélgica), un hugonote que se trasladó a Basilea en 1622 por motivos de persecución religiosa. Se casó tres veces y sólo tuvo un hijo, Nikolaus. Éste se casó y tuvo una docena, de los cuales cuatro llegaron a edad adulta; dos de ellos se convirtieron en matemáticos de primer orden: Jakob, nacido en 1654, y Johann, nacido en 1667. Ambos estudiaron la teoría del cálculo infinitesimal de Leibniz y desarrollaron aplicaciones de la misma.
Ecuación diferencial de BernoulliEcuación diferencial de Bernoulli
• Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
• Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas.
Método de resolución Método de resolución
• Caso general
• Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
• Lleva inmediatamente a las relaciones:
Método de resolución Método de resolución
• Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:• (2)
• Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
• Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
Método de resolución Método de resolución
• Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
• (3)
• Con
Método de resolución Método de resolución
• Caso particular: α = 0
• En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
• (4)
Método de resolución Método de resolución
• Caso particular: α = 1
• En este caso la solución viene dada por:
• (5)