azar y probabilidad.. experimentos aleatorios. cuando efectuamos un experimento el cual podemos...
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AZAR Y
PROBABILIDAD.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS.
Cuando efectuamos un experimento el cual podemos predecir
el resultado, decimos que es un EXPERIMENTO
DETERMINISTA. Pero si en el resultado existe algún factor de
incertidumbre, decimos que es un EXPERIMENTO
ALEATORIO
Ejemplo
Si lanzamos dos dados el resultado de sumar sus dos caras
superiores, es un experimento aleatorio, pues solamente sabemos
que este resultado estará comprendido entre 2 y 12.
ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
El conjunto sobre el que queremos efectuar un experimento, lo
denominamos POBLACIÓN, y lo solemos representar por .
Al conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio, se denomina ESPACIO MUESTRAL
que solemos representar por E.
Ejemplo
Si efectuamos el experimento de lanzar dos dados, la población es:
= { {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, … , {{6,5}, {6,6} }
El espacio muestral asociado a la suma de puntos obtenida es:
E = { 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
SUCESOS ALEATORIOS.
Si E es un ESPACIO MUESTRAL denominamos:
SUCESO ELEMENTAL, a cualquier subconjunto de E de un solo
elemento.
SUCESO COMPUESTO, a cualquier subconjunto de E que
contenga dos o mas elementos.
SUCESO ALEATORIO, a cualquier resultado posible obtenido
mediante uniones o intersecciones de suceso de E.
Al conjunto E se le denomina SUCESO SEGURO y al SUCESO
IMPOSIBLE.
Si consideramos el Espacio muestral asociado al
lanzamiento de un dado. Obtener un resultado impar {1, 3, 5} es un
SUCESO ALEATORIO.
Ejemplo.-
OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E denominamos:
SUCESO UNIÓN : A B al suceso que contiene todos los elementos
de A o de B.
SUCESO INTERSECCIÓN : A B al suceso que contiene todos los
elementos de A y los de B.
Si A B = , decimos que A y B son INCOMPATIBLES, en otro caso
decimos que son COMPATIBLES.
Dos sucesos son CONTRARIOS si son incompatibles y su unión es .
El suceso contrario del suceso A, se representa por A.
A B
A
A C
A B
A B
A B
EJEMPLOS DE OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener
un número impar, y B al suceso de obtener un número primo distinto
de 1, como es A = { 1, 3, 5} y B = { 2, 3, 5}. El suceso A B (obtener
impar o primo distinto de 1) es: A B = { 1, 2, 3, 5 }.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener
un número impar, y B al suceso de obtener un número primo distinto
de 1, como es A = { 1, 3, 5} y B = {2, 3, 5}. El suceso A B (obtener
impar y primo distinto de 1) es: A B = { 3, 5 }.
PROBABILIDAD DE SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
Cuando efectuamos un experimento aleatorio, podemos asignar un
medida de incertidumbre a cada uno de los sucesos. A dicha
medida le denominamos PROBABILIDAD. En el caso de
experimentos en los que los que la población sea finita, y sus
elementos equiprobables, todos los suceso elementales tienen la
probabilidad de 1/n, donde n el número de elementos de .
Si lanzamos un dado supuestamente equilibrado, la
probabilidad de obtener el número 3 es P({3}) = 1/6.
Si lanzamos un moneda supuestamente equilibrada, la probabilidad de
obtener cara es P(cara) = 1/2.
La probabilidad de extraer sota de copas de una baraja española es 1/40.
Ejemplo.-
PROBABILIDAD DE SUCESOS EQUIPROBABLES.
En el caso de experimentos en los que los que la población sea
finita, y sus elementos equiprobables, como todos los sucesos
compuestos contienen un número determinado de sucesos
elementales.
La probabilidad de que ocurra un suceso A que contiene r sucesos
elementales es r/n, donde n el número de elementos de .
Esta probabilidad, se denomina PROBABILIDAD CLÁSICA, y se
representa por la siguiente fórmula (REGLA DE LAPLACE):
Si lanzamos un dado supuestamente equilibrado, la
probabilidad de obtener un número PAR es P({PAR}) = 3/6.
Ejemplo.-
Numero de casos favorables de A( )
Numero de casos posiblesP A
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Para cualquier suceso aleatorio A se cumple: 0 ( ) 1P A Para cualquier población de un experimento aleatorio se cumple:
( ) 1P
( ) 0P Para cualquier suceso aleatorio A = { a1, a2, … , ar } compuesto por
r sucesos elementales cumple:
1 2( ) ( ) ( ) .... ( )rP A P a P a P a Si A y B son sucesos aleatorios incompatibles se cumple:
( ) ( ) ( )P A B P A P B ( ) 1 ( ); donde es el suceso contrario de AP A P A A —
Decimos que A y B son sucesos INDEPENDIENTES SI ( ) ( ) ( )P A B P A P B
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Si extraemos una carta de una baraja española, como cada
palo tiene 10 cartas, si denominamos por O y C, a los sucesos de sacar
oros y copas, se cumplirá:
10 1
40 410 1
40 41 1 1
4 4 2
P O
P C
P O C P O P C
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
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Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
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