Axiomática de la Teoría de Probabilidades

Estadística Básica

1ºC 2019

Mg. Stella Figueroa

Experimentos

Determinísticos Aleatorios

El conjunto de resultados posibles

del experimento es el Espacio

Muestral “S”

Los resultados se

llaman sucesos

Ejemplos de Espacio Muestral

En un lote de 15 artículos hay 5 defectuosos. Se elige un artículo después de

otro sin reposición, hasta que se obtiene el último artículo defectuoso y se

observa la cantidad de extracciones efectuadas. S = { 5;6;7;8;…….;15}

Se fabrica una lámpara, se la prueba y se anota el tiempo transcurrido hasta

que se quema. S t R / t 0

Se tira una moneda tres veces y se observa la sucesión de caras obtenidas.

S = ccc ;ccs; csc; scc; css; scs; ssc;sss

Espacio

muestral

finito

Espacio

muestral

infinito

no

numera

ble

Suceso

Es el resultado de un

experimento aleatorio

También se define como un

subconjunto de S

y S son sucesos de S

Sucesos Ciertos

Clasificación

Sucesos imposibles

Sucesos aleatorios

¿Cómo los

clasificarían?

Operaciones básicas con Sucesos

UNIÓN

INTERSECCIÓN

DIFERENCIA

COMPLEMENTO

Clasificación de más de un suceso

Sucesos Mutuamente Excluyentes o

incompatibles

No pueden ocurrir juntos : A B =

Sucesos únicamente posibles Uno y sólo uno de ellos es un suceso

cierto en el resultado del experimento.

Los sucesos únicamente posibles son

mutuamente excluyentes, pero la recíproca no

es cierta.

Sucesos igualmente probables: todos tienen igual probabilidad de ocurrir

Clásica o de Laplace “A Priori”

Probabilidad de un suceso A: COCIENTE entre el número de resultados favorables de A (m) y el número total de resultados posibles (n)

P(A) = m / n

Definición de Probabilidad

Ejemplo: Al extraer una carta al azar de un mazo de 40,

hallar la probabilidad de que sea una figura.

Insuficiencia de esta definición: para

espacios muestrales infinitos, por ejemplo.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/azar.htm

Frecuencia Relativa

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/azar.htm

Frecuencia Relativa

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/azar.htm

Frecuencia Relativa

La frecuencia relativa de un suceso converge

en sentido probabilístico a la probabilidad de

ese suceso cuando el número de pruebas es

lo suficientemente grande

Ley de los grandes números

Definición Axiomática de probabilidad

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

Dados un experimento y el espacio muestral S asociado al experimento, se llama P(A)

al número real asociado con cada suceso A que satisface:

2. P(S) = 1

3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces, P A B P(A)+P(B)

4. Si son sucesos mutuamente excluyentes de a pares, entonces Ai

11

P A P Ai i

ii

Propiedades de la probabilidad

A= P(A)= 0

Si A es el suceso complementario de A P(A)=1- P(A)

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B)

Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces P A B C P A P B P C P(A B) P A C P B C P A B C

Si A B P A P B

Ejemplos

1. Los artículos que fabrica una determinada empresa pueden salir con dos tipos de defectos:

A ó B. La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A es 0,01 ; la de tener un

defecto tipo B es 0,02 y la de tener ambos tipos de defectos es 0,005. Si se extrae un

artículo al azar;

a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos tipo A?

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que dicho artículo tenga defectos?

2.. Se extrae una tarjeta al azar de 30 tarjetas numeradas del 1 al 30. ¿ Cuál es la probabilidad

de que la tarjeta sea un múltiplo de 4 ó de 6?

Responde estas preguntas para comenzar a resolver la guía

1. ¿Qué es un experimento aleatorio?

2. Defina Espacio Muestral

3. ¿Qué es un suceso?

4. ¿Cuándo dos sucesos son incompatibles? Defina

sucesos mutuamente excluyentes.

5. ¿Cuál es la definición clásica de probabilidad?

6. ¿Por qué esta definición es insuficiente?

7. ¿Cuál es la diferencia entre la probabilidad de un

suceso y la frecuencia relativa del mismo?