Las cónicas responden a la ecuación general del tipo F( x , y ) = 0La ecuación general de una cónica es:

0minmincosmin

22 =+++++nteindependieotérlinealesostércuadrátioctér

FEyDxCyBxyAx (I)

Bxy término rectangular, cuando aparece este término significa la cónica esta rotada, en esta guía sólo vamos a ver B=0(sin termino rectangular)

CIRCUNFERENCIA:• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado

Centro y esa distancia es el radio.• Ecuación Canónica: 222 )()( ryx =−+− βα• Centro: ),( βα • Radio: r• En (I) A=B• Cuando en (I) aparece A=B es del tipo Circunferencia, pero puede degenerar en un punto

o en no existe lugar geométrico.

1) 1.1 Halle y grafique el lugar geométrico de los puntos P(x,y)que distan 3 unidades de C(-2,3).1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema (Ci,j)

1.1 C(-2.3) r=3Reemplazamos directamente en la ecuación canónica de la Circunferencia:

222 )()( ryx =−+− βα 9)3()2( 22 =−++ yx

1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?

Las ecuaciones de traslación son:

−=−=

βα

yyxx

''

donde ),( βα es el centro de la circunferencia

−=+=

3'2'

yyxx

1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema (Ci,j)Reemplazando las ecuaciones de traslación en la ecuación canónica obtenemos:

9'' 22 =+ yx

2) Halle las ecuaciones de las siguientes circunferencias:2.1 C(3,-4), r = 5

Directamente reemplazamos el centro y el radio en la ecuación canónica de la circunferencia: 222 )()( ryx =−+− βα

25)4()3( 22 =++− yx

2.2 C(2,-1), pasa por el origen

En la ecuación canónica de la circunferencia reemplazamos el centro: 222 )()( ryx =−+− βα

222 )1()2( ryx =++−Como el origen pertenece a la circunferencia verifica la ecuación:

222 )10()20( r=++−214 r=+ 52 =r

5)1()2( 22 =++− yx

2.3 Su centro esta sobre el eje “Y”; que pasa por A(-1,1) y B(2,3)

222 )()( ryx =−+− βαComo el centro esta sobre el eje “y”, cualquier punto del eje la componente x vale cero, reemplazando en la ecuación:

222 )()0( ryx =−+− β (I)El punto A verifica la ecuación, reemplazamos en (I)

222 )1()01( r=−+−− βLo mismo el punto B: 222 )3()02( r=−+− β

=+−+=+−+

)(694)(211

22

22

IIrIr

ββββ

Igualando (I) y (II)

22 61322 ββββ +−=+− ⇒ 21326 −=− ββ ⇒ 114 =β ⇒4

11=β

Reemplazando el valor de 4

11=β en 222 )1()01( r=−+−− β

22)4

111(1 r=−+

2

16491 r=+ ⇒

16652 =r

Reemplazamos en (I) : 222 )()0( ryx =−+− β

1665)

411( 22 =−+ yx

2.4 Su centro esta sobre la recta –2x + y = 0, que pasa por el origen y su radio es 5 .Si el centro ),( βα esta sobre la recta verifica la ecuación de la recta: y=2x αβ 2=⇒ Reemplazamos en la ecuación canónica de la circunferencia αβ 2=⇒ y r = 5

222 )()( ryx =−+− βα5)2()( 22 =−+− αα yx *

Pasa por el origen (0,0) pertenece a la circunferencia:5)20()0( 22 =−+− αα

54 22 =+ αα55 2 =α

12 =α 11 −=∨=⇒ ααReemplazamos en *:

5)2()1( 22 =−+− yx o 5)2()1( 22 =+++ yx

3) Analice si las siguientes ecuaciones representan circunferencias e indique, cuando sea posible, las coordenadas del centro y el valor del radio:

12641.3 22 =−++ yxyxCompletamos cuadrados, asociamos los términos en x e y:

12)6()4( 22 =+−+++ yyxx• Dividimos el coeficiente del término lineal por 2(ese valor va a ser el segundo término

del binomio) y lo elevamos al cuadrado• Ese término lo sumamos a ambos miembros para que no altere la expresión

9412)96()44( 22 ++=+−+++ yyxx25)3()2( 22 =−++ yx

Es una circunferencia de centro (-2,3) y radio 5

010242.3 22 =++−+ yxyx

10)2()4( 22 −=++++− yyxx1410)12()44( 22 ++−=++++− yyxx

5)1()2( 22 −=++− yxSi observamos tenemos dos términos elevados al cuadrado sumando, nunca nos puede dar un número negativo ⇒ no existe lugar geométrico

010623.3 22 =++−+ yxyx10)6()2( 22 −=++++− yyxx

1910)96()12( 22 ++−=++++− yyxx0)3()1( 22 =++− yx

Para que la suma de dos términos nos de por resultado el valor cero puede pasar que los dos términos sean opuestos o los dos nulos, como están elevados al cuadrado la única alternativa es que sean cero.

El valor de x que hace cero el primer término es 1 y el valor de y que hace cero el segundo término es -3 ⇒ Es el punto (1,-3)

Como podemos observar en estas tres ecuaciones, los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales, eran del tipo circunferencia, pero vimos que podían degenerar en un punto o no existe lugar geométrico.

4) ¿Para qué valores reales de k las siguientes ecuaciones representan:i) circunferenciasii) puntos (escríbalos)iii) ningún lugar geométrico real

021.4 22 =+++ kxyxCompletamos cuadrados.

2)( 22 −=+++ ykxx

42)

4(

22

22 kykkxx +−=+++

48)

2(

222 −=++ kykx

Circunferencia:4

82 −k>0 ⇒ 82 >k ⇒ 8>k ⇒ 22>k

Punto: 4

82 −k = 0 ⇒ 82 =k ⇒ 8=k ⇒ 22=k

k = 22 ⇒ P(- 2 ,0)k = - 22 ⇒ P( 2 ,0)

No existe lugar geométrico: 4

82 −k <0 ⇒ 22>k

013462.4 22 =+−++ kykxyxkyykxx 13)4()6( 22 −=+−+++

4913)44()96( 2222 ++−=+−+++ kkyykkxx4139)2()3( 222 +−=−++ kkykx (*)

4139 2 +− kk =0

18513

182513 ±=±=k k = 1 k =

94

- Cualquier valor entre 94

y 1 que reemplace en (*) no da por resultado un valor negativo,

los demás valores dan positivo.

k>1 ó k> 94

circunferencia

k = 1 ó k = 94

Punto

k<1 y k> 94 no existe lugar geométrico

01464443.4 22 =+++−+ kkyxyxAsociamos los términos en x e y y en ambos casos sacamos factor común 4

14)46(4)(4 22 −−=++++− kkyyxx

2222

49114)

169

23(4)

41(4 kkkkyyxx ++−−=++++−

Tengamos en cuenta que al sumar 41

en el 1º miembro esta afectado por el 4, entonces en el 2º

tengo que sumar 41

por 4. Lo mismo que el 169

k 2

kkkyx 449)

43(4)

21(4 222 −=++−

0)449( =−kk

=

=

9160

k

k

Puntos

−⇒=

⇒=

)34,2

1(9

16

)0,21(0

k

k

k>0 y k<9

16 no existe lugar geométrico

k<0 o k>9

16circunferencia

5) Halle y grafique la ecuación de la circunferencia con centro en el punto O’=(2,3) y tangente:

5. 1 al eje de abscisas5.2 al eje de ordenadas5.3 a la recta t:-3x + y – 3 = 0

5. 1 al eje de abscisas

Reemplazamos el centro en la ecuación de la circunferencia222 )()( ryx =−+− βα ⇒ 222 )3()2( ryx =++−

El eje de abscisas es el eje x y su ecuación es y = 0La intersección de la circunferencia con el eje x nos da por resultado un punto, planteamos el

sistema:

==++−

0)3()2( 222

yryx

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia y = 0222 )30()2( rx =++−

Ten gamos en cuenta que la incógnita es x22 944 rxx =++−

0)13(4 22 =−+− rxxEs una ecuación cuadrática, cuando la resolvemos aplicando la fórmula el discriminante

acb 42 −=∆ nos puede dar positivo, negativo o cero0>∆ son dos puntos0=∆ un punto

0<∆ ningún puntoEn nuestro ejercicio queremos que el eje sea tangente a la circunferencia, significa que hay un

solo punto en común ⇒ 0=∆0)13(416 2 =−−=∆ r

0364 2 =−r 364 2 =r 92 =r9)3()2( 22 =++− yx

5.2 al eje de ordenadasEs exactamente igual que el ejercicio anterior pero teniendo en cuenta que el eje de ordenadas es el eje y y cuya ecuación es x = 0

==++−

0)3()2( 222

xryx

222 )3()20( ry =++−22 964 ryy =+++

0)13(6 22 =−++ ryy⇒ 0=∆

0)13(436 2 =−−=∆ r0164 2 =−r 164 2 =r 42 =r

4)3()2( 22 =++− yx

5.3 a la recta t:-3x + y – 3 = 0Despejamos de la ecuación de la recta y ⇒ y = 3x+3

Hallamos la intersección de la recta y la circunferencia, teniendo en cuenta que la intersección tiene que dar un solo punto

+==++−

33)3()2( 222

xyryx

222 )333()2( rxx =+++−222 )63()2( rxx =++−

03636944 222 =−++++− rxxxx0)40(3210 22 =−++ rxx

⇒ 0=∆ ⇒ 0)40(10.432 22 =−− r

04016001024 2 =+− r ⇒ 57640 2 =r ⇒5722 =r

572)3()2( 22 =++− yx

PARÁBOLA:• DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan de una recta

fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco.• Vértice ),( βα• En la ecuación general de una cónica: 022 =++++ FEyDxCyAx , para que sea del tipo

parábola A ó C tiene que ser cero• Tengamos en cuenta que una parábola puede degenerar en un par de rectas, 1 recta o no

existe lugar geométrico• Eje focal paralelo al eje x

Vértice : ),( βα

Foco: ),2

( βα+p

Directriz: 2py −=

Lado recto: p2 Eje focal: β=y Ecuación: )(2)( 2 αβ −=− xpy

Eje focal paralelo al eje y: Vértice : ),( βα

Foco: )2

,( βα +p

Directriz: 2px −=

Lado recto: p2 Eje focal: β=x Ecuación : )(2)( 2 βα −=− ypx

6) Halle y grafique el lugar geométrico de los puntos P( x , y ) que equidistan:6.1 del punto F(1,0) y de la recta x = -1

Si dibujamos la recta y el foco nos damos cuenta que la parábola es de eje focal coincidente con el eje x y que el vértice es el origen:

)(2)( 2 αβ −=− xpy pxy 22 = por ser )0,0(),( =βαV

F(1,0) ⇒ 12

=p ⇒ p=2 ⇒ 2p=4

Reemplazamos en la ecuación ⇒ xy 42 =

6.2 del punto F(0,-5) y de la recta y = 5. Si analizamos como en el ejercicio anterior , concluimos que eje focal es coincidente con el eje y

y que también el vértice es el origen)(2)( 2 βα −=− ypx

pyx 22 =

F(0,-5) ⇒ 52

−=p ⇒ p = -10 ⇒ 2p = -20

yx 202 −=

7) Obtenga las ecuaciones de las siguientes parábolas:7.1 V(0,0) , F(-2,0)El foco esta sobre el eje x ⇒ eje focal xComo el vértice es el origen ⇒ ecuación : pxy 22 =

Foco(-2,0) ⇒ 22

−=p ⇒ p = -4 ⇒ 2p = -8 ⇒ ⇒ ⇒

xy 82 −=

7.2 V(0,0)pasa por P 0 (2,3) y su eje focal es el eje “x”pxy 22 =

Si pasa por el punto P 0 (2,3) verifica la ecuación ⇒ 2.232 p= ⇒292 =p

⇒ xy292 =

7.3V(-4,3)F(-4,1)Si marcamos estos puntos concluimos que la parábola es de eje paralelo al eje y⇒ )(2)( 2 βα −=− ypxreemplazamos las componentes del vértice

)3(2)4( 2 −=+ ypx

El foco es )2

,( βα +p =(-4,1)

Si a este par ordenado le restamos las componentes del vértice nos da p/2 ⇒ 22

=p ⇒ p = 4

⇒ 2p = 8Por último reemplazamos en la ecuación

)3(8)4( 2 −=+ yx

7.4 Eje paralelo al eje x, V(1,3), que pasa por (-1,-1) Eje paralelo al eje x ⇒ )(2)( 2 αβ −=− xpyVértice =(1,3) ⇒ )1(2)3( 2 −=− xpypasa por (-1,-1) verifica la ecuación: )11(2)31( 2 −−=−− p

16 = 2p(-2) ⇒ 2p = -8

⇒ )1(8)3( 2 −−=− xy

8) Para cada una de las siguientes ecuaciones8.1 04352 2 =+−+ xyx8.2 322 +−= xxy8.3 722 −+−= yyxse pide:a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo

)(2)()(2)( 22 αββα −=−−=− xpyóypxb) Efectué una traslación conveniente para que el nuevo origen de coordenadas coincide

con el vértice de la parábola.c) Obtenga las coordenadas del foco y del vértice, la longitud del lado recto y las

ecuaciones de la directriz y del eje focal(sugerencia: use las ecuaciones que caracterizan la traslación) .

d) Grafique

8.1 04352 2 =+−+ xyxCompletamos cuadrados, asociamos los términos en x y sacamos factor común 2

45)23(2 2 −−=+− yxx

8945)

169

23(2 2 +−−=+− yxx

8235)

43(2 2 −−=− yx

)4023(5)

43(2 2 +−=− yx

respuesta: a) )4023(

25)

43( 2 +−=− yx

Vértice : )4023,

43( − , parábola de eje focal paralelo al eje y

ecuaciones de traslación:

+=

−=

4023'

43'

yy

xxreemplazando en la ecuación obtenida en a)

'25'2 yx −= respuesta b)

2p = 25− p =

45−

85

2−=p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)Vértice (0,0) )40

23,43( −

Foco (0,-

85

) )85

4023,4

3( −−

Eje focal X’=0x-

43

=0

DirectrizY’=

85− Y+

4023

=85−

Lado recto2

5 25

8.2 322 +−= xxya)

13)12( 2 +−=+− yxx2)1( 2 −=− yx

b) ecuaciones de traslación que reemplazamos en la ecuación

−=−=

2'1'

yyxx

''2 yx =

2p = 1 ⇒ p = 21

41

2=p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)Vértice (0,0) )2,1(Foco

(0, 41

) (1,2+41

)

Eje focal X’=0x-

43

=0

DirectrizY’= -

41

Y-2= - 41

Lado recto 1 1

8.3 722 −+−= yyx

722 −−=− xyy

17)12( 2 +−−=+− xyy6)1( 2 −−=− xy

a) )6()1( 2 +−=− xy

b)

−=+=

1'6'

yyxx

⇒ ''2 xy −=

2p = -1 ⇒ p = -21 ⇒

41

2−=p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)Vértice (0,0) (-6,1)Foco

(-41

,0) (425− ,1)

Eje focal Y’=0 y-1=0Directriz

x’= 41

x+6= 41

Lado recto 1 1

9) Halle la ecuación del arco parabólico de base b y altura h representado en la figura.

Como observamos en la figura de la guía es una parábola de eje paralelo al eje y, cuya ecuación es: )(2)( 2 βα −=− ypx (I)

(0,0) pertenece a la parábola ⇒ )0(2)0( 2 βα −=− p

Vértice: (2b

,h) ⇒ )0(2)2

0( 2 hpb −=−

)(24

2

hpb −=

2p = -hb4

2

Reemplazando 2p y el vértice en (I)

)(4

)2

(2

2 hyhbbx −−=−

ELIPSE:• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que la suma a dos puntos fijos

llamados focos es constante e igual a 2.a• Semieje mayor: a , eje mayor: 2a• Semieje menor: b , eje menor 2b• Distancia focal: 2c• Relación pitagórica de la Elipse: 222 cba +=

• Lado rectoab22=

• Excentricidadac= (en la elipse <1)

• En la elipse siempre a > b• 022 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo elipse el signo de A debe ser igual al

signo de C• Tengamos en cuenta que una elipse puede degenerar exactamente igual que una

circunferencia, en un punto y no existe lugar geométrico

• Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vértices: ( 0,a± ) Focos: ( 0,c± ) Vértices secundarios: ),0( b± Ecuación eje focal y = 0

Directrices eax ±=

Ecuación canónica 12

2

2

2

=+by

ax

• Centro en el origen (0,0), eje focal y Vértices: ( a±,0 ) Focos: (0, c± ) Vértices secundarios: )0,( b± Ecuación eje focal x = 0

Directrices eay ±=

Ecuación canónica 12

2

2

2

=+ay

bx

• Centro ),( βα ,eje paralelo al eje x Vértices: ( βα ,a± ) Focos: ( βα ,c± ) Vértices secundarios: ),( b±βα Ecuación eje focal β=y

Directrices eax ±=− α

Ecuación canónica 1)()(2

2

2

2

=−+−by

ax βα

• Centro ),( βα , eje paralelo al eje y Vértices: ( a±βα , ) Focos: ( c±βα , ) Vértices secundarios: ),( βα b± Ecuación eje focal α=x

Directrices eay ±=− β

Ecuación canónica 1)()(2

2

2

2

=−+−ay

bx βα

10) Para cada una de las siguientes elipses, halle los semiejes mayor y menor, las coordenadas de vértices y focos, y la excentricidad. Grafique.10.1 144169 22 =+ yx10.2 623 22 =+ yx10.3 1132 22 =+ yx

10.1 144169 22 =+ yxDividimos ambos miembros por 144

144916

22

=+ yx

El denominador con mayor valor es 2a2a =16 ⇒ a = 4 semieje mayor2b = 9 ⇒ b = 3 semieje menor

222 cba += ⇒ 222 bac −= ⇒ 2c =16-9 ⇒ c = 7

Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vértices: )0,4(± Focos )0,7(± excentricidad =47

10.2 623 22 =+ yx

132

22

=+ yx

2a =3 ⇒ a = 3 semieje mayor2b = 2 ⇒ b = 2 semieje menor

222 cba += ⇒ 222 bac −= ⇒ 2c =3-2 ⇒ c = 1

Como a esta en el termino y , la elipse es de eje focal y

Vértices: )3,0( ± Focos )1,0( ± excentricidad =3

1

10.3 1132 22 =+ yx

1

311

211

22

=+ yx

2a =2

11 ⇒ a =2

11 semieje mayor

2b =3

11 ⇒ b =3

11 semieje menor

222 cba += ⇒ 222 bac −= ⇒ 2c =3

112

11 − ⇒ c =6

11

Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vértices: )0,2

11(± Focos )0,6

11(±

excentricidad =6

11 :2

11 e =112.

611 e =

31

11) En cada caso halle la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas:11.1 V 2,1 ( ± 5,0) Focos( ± 4,0)

11.2 Vértices(0, ± 10) Excentricidad 54

11.3 Focos (0, ± 4) Excentricidad 54

11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)11.5 Focos( ± 3,0), pasa por (4,1)

11.1 V 2,1 ( ± 5,0) Focos( ± 4,0)Si marcamos estos elementos concluimos que la elipse tiene centro en el origen y eje focal x

⇒ ecuación: 12

2

2

2

=+by

ax

a =5 y c = 4 que nos dan los vértices y los focos, que son datosNos falta calcular b: 222 cba +=

222 cab −=16252 −=b

b 2 =9

1925

22

=+ yx

11.2 Vértices(0, ± 10) Excentricidad 54

Si ubicamos los vértices vemos que en el punto medio esta el centro (0,0) y el eje focal es el eje

y ⇒ 12

2

2

2

=+ay

bx

La componente del vértice es a = 10

Por otro lado nos dan como dato la excentricidad ⇒54=e ⇒

54=

ac

Un error muy común es suponer que c=4 y a=5 ESTA MAL

54=

ac

y a=10 ⇒ ac54= ⇒ 10

54=c ⇒ c=8

nos falta calcular el valor de b ⇒ 222 cba +=222 cab −=641002 −=b

b 2 =36

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación: 12

2

2

2

=+ay

bx

110036

22

=+ yx

11.3 Focos (0, ± 4) Excentricidad 54

Con los focos deducimos que el centro esta en el origen y el eje focal y

12

2

2

2

=+ay

bx

c = 4 dato del foco

54=e ⇒

54=

ac ⇒ ac

54= ⇒ ca

45= 4

45=a a = 5

Nos falta el valor de b ⇒ 222 cba +=222 cab −=

16252 −=bb 2 =9

1259

22

=+ yx

11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)

Con los ejes coincidentes con los ejes coordenados sabemos que el centro es el origen, pero dándonos dos puntos no sabemos si es de eje focal x o y

Suponemos que es de la forma 12

2

2

2

=+by

ax y después vemos que pasa con la solución

Los puntos pertenecen a la elipse entonces verifican la ecuación:

(4,3) 1342

2

2

2

=+ba

⇒ 191622 =+ba

⇒ 191622

22

=+baab ⇒ 22 916 ab + = 22ba (I)

(-1,4) 14)1(2

2

2

2

=+−ba

⇒ 116122 =+ba

⇒ 116122

22

=+baab ⇒ 22 161 ab + = 22ba (II)

Igualamos (I) y (II): 22 916 ab + = 22 161 ab + 22 715 ab =

22

715 ba =

Reemplazamos en (II)2222

715

715.16 bbbb =+ sacamos factor común 2b y dividimos por 2b

2

715

72401 b=+

2

715

7247 b=

157.

72472 =b

152472 =b

22

715 ba =

15247

7152 =a

72472 =a

Reemplazamos los valores obtenidos en 12

2

2

2

=+by

ax

1

15247

7247

22

=+ yx

11.5Focos( ± 3,0), pasa por (4,1)

Con los focos deducimos que el centro es el origen y el eje focal es el x, también que c=3

12

2

2

2

=+by

ax

222 cba += 922 += ba *

(4,1) verifica la ecuación : 111622 =+ab

222216 baab =+ reemplazando *2222 )9(916 bbbb +=++

098 24 =−− bb

29.46482 +±=b

21082 ±=b

b 2 = -1 que no puede ser o b 2 =9Reemplazando el valor en 922 += ba

182 =aPor último reemplazamos en la ecuación:

1918

22

=+ yx

12) Para cada una de las siguientes elipses:12.1 0482 22 =+−+ yxyx12.2 017165489 22 =+−−+ yxyx

se pide:a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo

1)()(2

2

2

2

=−+−by

ax βα

b) Efectué una traslación conveniente para que O’ coincida con el centro de la elipse.c) Obtenga las coordenadas de focos , vértices, la longitud del lado recto y las ecuaciones

de las directrices y del eje focal.

12.1 0482 22 =+−+ yxyxCompletamos cuadrados:

0)2(2)8( 22 =++++− yyxx2160)12(2)168( 22 ++=++++− yyxx

18)1(2)4( 22 =++− yx dividimos por 18

a) 19

)1(18

)4( 22

=++− yx

b)

+=−=

1'4'

yyxx

c) 19'

18' 22

=+ yx

182 =a ⇒ 2318 ==a92 =b ⇒ b = 3

222 cba += 222 bac −= 9182 −=c =2c 9 c = 3

21

233 ==e lado recto = 24,4

239.22 2

≅=ab

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)Centro (0,0) (4,-1)Vértices )0,23(± )1,234( −±Focos ( ± 3,0) (4 ± 3,-1)VérticesSecundarios

(0, ± 3) (4, ± 3-1)

Eje focal Y’=0 Y = -1Directrices 6' ±=x 64 ±=−x

12.2 017165489 22 =+−−+ yxyx

17)2(8)6(9 22 −=+−++− yyxx88117)12(8)96(9 22 ++−=+−++− yyxx

72)1(8)3(9 22 =−+− yx

19

)1(8

)3( 22

=−+− yx

b)

−=−=

1'3'

yyxx

c) 19'

8' 22

=+ yx

92 =a ⇒ a = 382 =b ⇒ 228 ==b

222 cba += 222 bac −= 892 −=c c = 1

31=e lado recto =

3162 2

=ab

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)Centro (0,0) (3,1)Vértices )3,0( ± )31,3( ±Focos (0, ± 1) (3,1 ± 1)VérticesSecundarios

( ± 2 2 ,0) (3 ± 2 2 ,1)

Eje focal X’=0 X=3Directrices 9' ±=y 91 ±=−y

13) Determine el lugar geométrico de los puntos que verifican:0)3249)(1( 2222 <−+−+ yxyx

)0324901()0324901( 22222222 >−+∧<−+∨<−+∧>−+ yxyxyxyx

14) Determine los valores reales de A, B y C , para que la elipse04 22 =++++ CByAxyx sea tangente al eje de abscisas en el origen de coordenadas y pase

por el punto:14.1 (-1,2)14.2 (2,-1)

14.1 (-1,2)04 22 =++++ CByAxyx

La elipse es tangente en el origen, significa que este pertenece.(0,0) 4.0+0+A.0+B.0+C=0 ⇒ C=0(-1,2) 4+4-A+2B=0 ⇒ A=2B+8

el eje de abscisas ⇒ y = 0La intersección entre la elipse y el eje x, al ser tangente, nos da por resultado sólo un punto(igual que el ejercicio 5)

==++++

004 22

yCByAxyx

⇒ 04 2 =+ Axx

00040 22 =⇒=⇒=−⇒=∆ AAacbA=2B+8 ⇒ B = -4

Rta: A=C=0, B=-4

14.2 (2,-1)04 22 =++++ CByAxyx

(0,0) 4.0+0+A.0+B.0+C=0 ⇒ C=0(2,-1) 16+1+2.A-B=0 ⇒ B=2.A+17

==++++

004 22

yCByAxyx

⇒ 04 2 =+ Axx

00040 22 =⇒=⇒=−⇒=∆ AAacbB=2.A+17 B = 17

Rta: A=C=0, B=17

HIPÉRBOLA:

• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que la diferencia, en módulo a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2.a

• Semieje transverso: a , eje transverso: 2a• Semieje conjugado o imaginario: b , eje conjugado 2b• Distancia focal: 2c• Relación pitagórica de la Hipérbola : 222 bac +=

• Lado rectoab22=

• Excentricidadac= (en la hipérbola >1)

• En la hipérbola no siempre a > b• 022 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo hipérbola el signo de A debe ser distinto

al signo de C• Tengamos en cuenta que la hipérbola puede degenerar en dos rectas concurrentes (que

serían sus asíntotas)

• Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vértices: ( 0,a± ) Focos: ( 0,c± ) Vértices secundarios: ),0( b± Ecuación eje focal y = 0

Directrices eax ±=

Asíntotas xaby ±=

Ecuación canónica 12

2

2

2

=−by

ax (término negativo relacionado con b)

• Centro en el origen (0,0), eje focal y Vértices: ( a±,0 ) Focos: (0, c± ) Vértices secundarios: )0,( b± Ecuación eje focal x = 0

Directrices eay ±=

Asíntotas xbay ±=

Ecuación canónica 12

2

2

2

=+−ay

bx

• Centro ),( βα ,eje paralelo al eje x Vértices: ( βα ,a± ) Focos: ( βα ,c± ) Vértices secundarios: ),( b±βα Ecuación eje focal β=y

Directrices eax ±=− α

Asíntotas )( αβ −±=− xaby

Ecuación canónica 1)()(2

2

2

2

=−−−by

ax βα

• Centro ),( βα , eje paralelo al eje y Vértices: ( a±βα , ) Focos: ( c±βα , ) Vértices secundarios: ),( βα b± Ecuación eje focal α=x

Directrices eay ±=− β

Asíntotas )( αβ −±=− xbay

Ecuación canónica 1)()(2

2

2

2

=−+−−ay

bx βα

15) Para cada una de las siguientes hipérbolas, halle las longitudes de los semiejes transverso y conjugado, las coordenadas de vértice y focos, la excentricidad y las ecuaciones del eje focal, las directrices y las asíntotas. Grafique.

15.1 144916 22 =− yx15.2 0360014425 22 =+− yx15.3 0632 22 =−− yx

15.1 144916 22 =− yx

1169

22

=− yx eje focal x, con centro en el origen

392 == aa semieje transverso162 =b b = 4 semieje conjugado

222 bac += 2c = 9+16 c = 5

Vértices: ( ± 3,0) Focos: ( ± 5,0) A 2,1 (0, ± 4)

Excentricidad e =35

eje focal y = 0 directrices x = ±59

Asíntotas y = ±34

x

15.2 0360014425 22 =+− yx360014425 22 −=− yx

125144

22

=+− yx hipérbola con centro en el origen y eje focal y

5252 == aa semieje transverso

1442 =b b = 12 semieje conjugado222 bac += 2c = 144+25 c = 13

Vértices: (0, ± 5) Focos: (0, ± 13) A 2,1 ( ± 12,0)

Excentricidad e =5

13 eje focal x = 0 directrices y = ±

1325

Asíntotas y= ±125

x

15.3 0632 22 =−− yx632 22 =− yx

123

22

=− yx Hipérbola con centro en el origen y eje focal x

332 == aa semieje transverso22 =b b = 2 semieje conjugado

222 bac += 2c = 3+2 c = 5

Vértices: ( ± 3 ,0) Focos: ( ± 5 ,0) A 2,1 (0, ± 2 )

Excentricidad e =35 eje focal y = 0 directrices x = ±

53

Asíntotas y = ±32 x

16) En cada uno de los casos, obtenga la ecuación de la hipérbola que satisfacen las condiciones dadas:16.1 Vértices( ± 5,0) Focos ( ± 7,0)

16.2 Vértices(0, ± 7) e = 34

16.3 e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)16.4 Vértices( ± 2,0) Asíntotas y = ± 2x16.5 Centro en (-1,4), F1 (-1,2) V1 (-1,3)16.6 Asíntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)

16.1Vértices( ± 5,0) Focos ( ± 7,0)

A partir de los vértices y focos deducimos: hipérbola con eje focal x, centro en el origen , a = 5 y c = 7

Ecuación: 12

2

2

2

=−by

ax nos falta el valor de b

222 bac += 222 acb −= =2b 49-25 =2b 24

12425

22

=− yx

16.2Vértices(0, ± 7) e = 34

Con el vértice deducimos que es de eje focal y, con centro en el origen y a =7

12

2

2

2

=+−ay

bx nos falta b

e=34

ac

=34

c=34

a c=34

7 c = 328

222 bac += 222 acb −= =2b 499

784 − =2b9

343

149

9343

22

=+− yx

16.3e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)

La ecuación tiene la forma: 12

2

2

2

=−by

ax

e = 5 ac

= 5 c = 5 a222 bac += 2225 baa += 22 4ab =

Reemplazando en la ecuación : 14 2

2

2

2

=−ay

ax

Y por último el punto (3,2) 14

4922 =−aa

182 =a

2a =8

22 4ab = 322 =b

1328

22

=− yx

16.4Vértices( ± 2,0) Asíntotas y = ± 2xAl ubicar los vértices en los ejes deducimos que tiene eje focal x, centro en el origen y el valor

de a = 2, la ecuación tiene la forma 12

2

2

2

=−by

ax

Por otro lado la asíntota es y = ± 2x donde 2 = ab

b= 2a b=4 reemplazando en la

ecuación:

1164

22

=− yx

16.5Centro en (-1,4), F 1 (-1,2) V1 (-1,3)En este ejemplo el centro no esta en el origen, y al ubicar el vértice y el foco vemos que es de

eje focal paralelo al eje y, cuya ecuación es de la forma: 1)()(2

2

2

2

=−+−−ay

bx βα

Centro ),( βα =(-1,4) 1)4()1(2

2

2

2

=−++−ay

bx

Vértices: ( a±βα , )=(-1,3) si al vértice le restamos el centro nos da el valor de a: a=1

Focos: ( c±βα , )=(-1,2) si al foco le restamos el centro nos da c: c =2Nos falta el valor de b: 222 bac += 222 acb −= =2b 4-1 =2b 3

11

)4(3

)1( 22

=−++− yx

16.6Asíntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)Si dibujamos las asíntotas deducimos que el centro es el origen, pero no sabemos si es de eje focal x o y , pero al marcar el punto que pertenece a la hipérbola deducimos que es de eje focal x

12

2

2

2

=−by

ax

De la asíntota se deduce que: 2 = ab

b= 2.a, reemplazando en la ecuación 14 2

2

2

2

=−ay

ax

y por último el punto (3,2): 14

4922 =−aa

182 =a

2a =8

22 4ab = 322 =b

1328

22

=− yx

17) Para cada una de las siguientes ecuaciones que corresponden a hipérbolas:17.1 03282 22 =+−−− yxyx17.2 036362449 22 =−−−− yxxy

se pide:a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo

1)()(2

2

2

2

±=−−−by

ax βα

b) Efectué una traslación conveniente para que O’ coincida con el centro de la hipérbola.c) Obtenga las longitudes de los semiejes transverso y conjugado, las coordenadas de

focos , vértices, la excentricidad las ecuaciones del eje focal y de las asíntotas.d) Grafique

17.1 03282 22 =+−−− yxyx

Completamos cuadrados 3)2()4(2 22 −=++−+− yyxx

183)12()44(2 22 −+−=++−+− yyxx4)1()2(2 22 =+−− yx

14

)1(2

)2( 22

=+−− yx

+=−=

1'2'

yyxx

14'

2' 22

=− yx

=2a 2 ⇒ a = 2 semieje transverso2b =4 ⇒ b = 2 semieje conjugado

222 bac += 422 +=c c = 6

excentricidad e =ac

= 326 =

lado recto = 2424.22 2

==ab

S(o’,x’y’) S(o,x,y)Centro (0,0) (2,-1)Vértices ( ± 2 ,0) (2 ± 2 ,-1)Focos ( ± 6 ,0) (2 ± 6 ,-1)A 2,1 (0, ± 2) (2,-1 ± 2)Eje focal Y’=0 Y+1=0asíntotas Y’= ± 2 x Y+1= ± 2 (x-2)

17.2 036362449 22 =−−−− yxxy 36)4(9)6(4 22 =+−+++− yyxx 363636)44(9)96(4 22 +−=+−+++− yyxx 36)2(9)3(4 22 =−++− yx

14

)2(9

)3( 22

=−++− yx

−=+=

2'3'

yyxx

14'

9' 22

=+− yx

=2a 4 ⇒ a =2 semieje transverso2b =9 ⇒ b = 3 semieje conjugado

222 bac += 942 +=c c = 13

excentricidad e =ac

=213

lado recto = 929.22 2

==ab

S(o’,x’y’) S(o,x,y)Centro (0,0) (-3,2)Vértices (0, ± 2) (-3,2 ± 2)Focos (0, ± 13 ) (-3,2 ± 13 ) A 2,1 ( ± 3,0) (-3 ± 3,2)Eje focal X’=0 X+3=0asíntotas

Y’= ±32

x Y-2= ±32

(x+3)

18) Obtenga la ecuación canónica, identifique y grafique las siguientes cónicas:18.1 0124721694 22 =++−+ yxyx18.2 015164 2 =+− xx18.3 09201644 22 =−−+− yxyx18.4 01298150425 22 =+−+− yxyx18.5 034222 =−−−− yxyx18.6 04422 =+++ yyx18.1 0124721694 22 =++−+ yxyx 124)8(9)4(4 22 −=++++− yyxx 14416124)168(9)44(4 22 ++−=++++− yyxx 36)4(9)2(4 22 =++− yx

14

)4(9

)2( 22

=++− yx

Elipse con Centro (-2,4),eje focal // al eje x

18.2 015164 2 =+− xx

815.4.41616 2 −±=x 8

416 ±=x

=

=

2325

x

x

2 rectas //

18.3 09201644 22 =−−+− yxyx9)5(4)4(4 22 =++−++ yyxx

25169)4255(4)44(4 22 −+=++−++ yyxx

0)25(4)2(4 22 =+−+ yx

0)25()2( 22 =+−+ yx

252 +=+ yx

x+2=y+25

ó x+2=-y-25

21−= xy

29−−= xy 2 rectas concurrentes

18.4 01298150425 22 =+−+− yxyx129)2(4)6(25 22 −=++−++ yyxx

4225129)12(4)96(25 22 −+−=++−++ yyxx 92)1(4)3(25 22 =+−+ yx

123

)1(

2592

)3( 22

=+−+ yx

Hipérbola de eje transverso // al eje x con centro (-3,-1)

18.5 034222 =−−−− yxyx3)4()2( 22 =++−+− yyxx

413)44()12( 22 −+=++−+− yyxx0)2()1( 22 =+−− yx

21 +=− yxx-1 = y + 2 ó x-1= -y + 2y = x-3 y = -x-12 rectas concurrentes

18.6 04422 =+++ yyx4)4( 22 −=+++ yyx

44)44( 22 +−=+++ yyx

0)2( 22 =++ yx

Es un punto el (0,-2)

19) 19.1 Para cada p>0 , la ecuación:ppyppx 2)2( 222 +=++

representa una elipse. Determine (en función de p) la excentricidad y las coordenadas de los focos.

19.2 deduzca la ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .

19.1 Para cada p>0 , la ecuación:ppyppx 2)2( 222 +=++

representa una elipse. Determine (en función de p) la excentricidad y las coordenadas de los focos.

)2()2( 22 +=++ ppyppxcomo p>0 podemos asegurar que p(p+2) ≠ 0, podemos dividir por esta expresión

1)2(

)2()2(

22

=+

+++ pp

yppppx

1)2(

22

=++ p

ypx

el mayor de los dos denominadores es p+2 ⇒ es de eje focal x, centro en el

origen de coordenadas=2a p+2

2b =pPara poder calcular el foco necesitamos el valor de c

222 bac −= =2c p+2-p =2c 2 2=c

Foco ( 2± ,0) excentricidad e = 22

22

+=

+=

ppac

19.2 deduzca la ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .

Foco ( 2± ,0) e = 3La hipérbola tiene centro en el origen y el eje focal es x, 2=c

e = 3 e= 32 ==aa

c32

32 ==a

322 =a

En la hipérbola 222 bac += 222 acb −= =2b 2-32

=2b34

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación 12

2

2

2

=−by

ax obtenemos:

1

34

32

22

=− yx

20) Obtenga todos los valores reales de k sabiendo que el eje focal de la hipérbola:20.1 1)1()1( 22 =++− ykxkk es paralelo al eje de abscisas20.2 012622 =++−+ kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 420.3 0164 22 =+−+− kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transverso

mide 8.

20.1 1)1()1( 22 =++− ykxkk es paralelo al eje de abscisas

Si es de eje x la ecuación es de la forma: 12

2

2

2

=−by

ax , por lo tanto el primer término, en x, es

positivo y el segundo negativok(k-1)>0 y k+1<0 [ ] 1)010()010( −<∧<−∧<∨>−∧>⇒ kkkkk

)01(1 <∨>∧−<⇒ kkk 1−<⇒ k

20.2 012622 =++−+ kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 4Completamos cuadrados llevando la ecuación a la forma canónica : 012622 =++−+ kyxkyx

1)2()6( 22 −=++++− yykxxkyykxx ++−=++++− 91)12()96( 22

8)1()3( 22 +=++− kykx

18)1(

8)3( 22

=+

+++

−

kky

kx

Si la hipérbola es paralela al eje de abscisas tiene la forma: 1)()(2

2

2

2

=−−−by

ax βα

El eje transverso es 2.a = 4 ⇒ a = 2 ⇒ 84 22 +== kaya ⇒ ⇒k+8 =4 ⇒ k = -4, reemplazando este valor en el segundo término de la ecuación me

da por resultado un valor negativo, que es correcto para que nos de una hipérbola.Rta: k = -4

20.3 0164 22 =+−+− kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transverso mide 8.

0164 22 =+−+− kxyxkyxx −=+++− 22 )4(4

16)44(4 22 −−=+++− kyxx16)2(4 22 −−=++− kyx

1616

416)2( 22

−−=−−

+−−

+− kky

kx

Si la hipérbola es paralela al eje de ordenadas tiene la forma: 1)()(2

2

2

2

=−+−−ay

bx βα

El eje transverso es 2.a =8 ⇒ a = 4 ⇒ 1616 22 −−== kaya ⇒ ⇒-k-16=16 ⇒ k = -32, reemplazando este valor en el segundo término de la

ecuación me da por resultado un valor negativo, que es correcto para que nos de una hipérbola.Rta: k = -32

21) Analice la ecuación 1)()( 22 =−+− ymhxkh en cada uno de los siguientes casos:21.1 k>h>m21.2 m>h>k21.3 h>k>m

21.1 k>h>mh-k<0 por ser h <kh-m>0 por ser h>m

1)()( 22 =−+− ymhxkh el primer término es negativo y el segundo positivo, es una hipérbola de eje focal o transverso y

21.2 m>h>kh-k>0 h-m<0

1)()( 22 =−+− ymhxkh el primer termino es positivo y el segundo es negativo, es una hipérbola de eje focal x21.3 h>k>mh-k>0 h-m>0

1)()( 22 =−+− ymhxkh los dos términos son positivos, es una elipseVamos a analizar si puede ser una circunferencia:Para que sea una circunferencia los coeficientes de los dos términos deben ser iguales:h-k=h-m

de lo cual se deduce que k=m, es falso, por lo tanto nunca puede ser circunferenciaRta: Elipse

22) Clasifique las siguientes ecuaciones para los distintos valores de k:

22.1 13020

22

=−

+− k

yk

x

22.2 135

22

=−

+− k

ykx

22.3 222 8)8( kkkyxk −=+−

22.1 13020

22

=−

+− k

yk

x

Hay dos valores que no puede tomar k que son los que hacen cero los denominadores: para k=20 y k=30 la ecuación no esta definidaTenemos que analizar el signo que puede tener cada término dependiendo de los valores de k.Puede pasar que los dos términos sean positivos simultáneamente y la ecuación representaría una elipse20-k>0 y 30-k>0 ⇒ k<20 y k<30 ⇒ k<20

Si son los dos términos negativos: no existe lugar geométrico20-k<0 y 30-k<0 ⇒ k>20 y k>30 ⇒ k>30

Si el primer término es negativo y el segundo positivo: es una hipérbola de eje focal y 20-k<0 y 30-k>0 ⇒ k>20 y k<30 ⇒ k∈ (20,30)La última alternativa es que el primer término sea positivo y el segundo negativo20-k>0 y 30-k<0 ⇒ k<20 y k>30 ⇒ k { }∈ (no hay ningún valor de k simultáneamente menor que 20 y mayor que 30)

Rta: k<20 Elipsek∈ (20,30) hipérbola de eje focal yk>30 no existe lugar geométricok=20 y k=30 no esta definida la ecuación

22.2 135

22

=−

+− k

ykx

no esta definida para k = 5 y k = 35−k para cualquier de k, siempre es positiva

k-3>0, los dos términos son positivos y representa una elipsek-3<0, el primer término positivo y el segundo negativo, representa una hipérbola de eje focal x

Rta: k<3 hipérbola de eje focal xk>3 (distinto de 5) Elipsek=3 y k=5 no esta definida

22.3 222 8)8( kkkyxk −=+−)8()8( 22 kkkyxk −=+−

si observamos los valores que anulan los términos son k = 8 y k = 0, vamos a analizar que pasa con estos valores:

k=8 la ecuación queda de la forma: 08 2 =y ⇒ y=0 es el eje x ( para todo valor de x,y vale cero)

k= 0 ⇒ 08 2 =x ⇒ x = 0 eje y

A partir de esta ecuación )8()8( 22 kkkyxk −=+− si 08 ≠∧≠ kk dividimos ambos miembros por k(8-k):

1)8(

22

=−

+k

ykx

Y a partir de acá analizamos como los ejercicios anteriores k>0 y 8-k>0 ⇒ k>0 y k<8 ⇒ k∈ (0,8) ⇒ Elipse

k<0 y 8-k<0 ⇒ k<0 y k>8 ⇒ no existe ningún valor de k que cumpla esta condición simultáneamente

k>0 y 8-k<0 ⇒ k>0 y k>8 ⇒ k>8 ⇒ hipérbola de eje x

k<0 y 8-k>0 ⇒ k<0 y k<8 ⇒ k<0 ⇒ hipérbola de eje yRta: k<0 hipérbola de eje y

k=0 eje yk∈ (0,8) Elipsek=8 eje xk>8 hipérbola de eje x

23) Clasifique la ecuación 032)1( 22 =−+−+ yxyBAx en cada uno de los siguientes casos:23.1 A > 0; B > 123.2 A > 0; B = 123.3 A = 0; B < 123.4 A = 0; B > 1

23.1 A > 0; B > 1Si B>l ⇒ B-1>0 ⇒ signo coeficiente de 2x es igual al signo del coeficiente de 2y ⇒ la cónica es del tipo ElipseSi A=B-1 es del tipo Circunferencia

23.2 A > 0; B = 1La ecuación queda de la forma: 0322 =−+ yxAxAl estar una variable elevada al cuadrado y la otra lineal es una parábola de eje focal y.

23.3 A = 0; B < 1La ecuación queda del tipo : 032)1( 2 =−+− yxyB ⇒ Parábola de eje focal x

23.4 A = 0; B > 1 ⇒ 032)1( 2 =−+− yxyB ⇒ Parábola de eje focal x

24) Clasifique la ecuación 0)(4 2222 =−+−+−+ mykxyxhyx en cada uno de los siguientes casos:24.1 h = k = m = 124.2 h = k = -1; m = 024.3 h = 1; k = m = 0

24.4 h = 0; k = m = 1

24.1 h = k = m = 1Si reemplazamos en la ecuación nos queda :

04 2222 =−+−+−+ yxyxyx 42 2 =−+ yxx completamos cuadrados 42 2 +=++ yxx

4)21(2 2 +=++ yxx

814)

161

21(2 2 ++=++ yxx

833)

41(2 2 +=+ yx

Parábola de Vértice )833,

41( −− de eje focal y

24.2 h = k = -1; m = 0

Si reemplazamos en la ecuación 0)(4 2222 =−+−+−+ mykxyxhyxNos queda de la forma: 04 2222 =−+−−+ xyxyx

42 2 += xy

)4(212 += xy Parábola de eje focal x y Vértice (-4,0)

24.3h = 1; k = m = 0

0)(4 2222 =−+−+−+ mykxyxhyx04 2222 =−+−+ yxyx

42 2 =x

2x =2

−=

=

2

2

x

x2 rectas paralelas

24.4h = 0; k = m = 10422 =−+−+ yxyx completamos cuadrados

422 =−++ yyxx

41

414)

41()

41( 22 ++=+−+++ yyxx

29)

21()

21( 22 =−++ yx

Circunferencia con centro )21,

21(−

CONICAS ROTADAS

1. Clasificar las siguientes cónicas:a) 4x2-2xy+y2-14x+2y+13=0b) 4y2+4xy+2x2-8y-2x+9=0c) y2+2xy-6x-8y+15=0Rtas: a) Cónica degenerada en un punto b) Elipse real c) Dos rectas concurrentes

2. Clasificar y hallar los elementos de las cónicas:a) 5x2-3xy+y2-3x+2y-5=0b) -3x2+y2-4xy+x+2y-5=0Rtas.: a) Elipse real C(0,-1) Ejes x-2y-2=0 , 9x+2y-2=0 b) Hipérbola real C(5/2,-4)