aula 06 - corpo ordenado completo
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7/24/2019 Aula 06 - Corpo Ordenado Completo
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Prof. Vitor Gustavo de Amorim
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Definio 1: Seja X um subconjunto de um corpoordenado . Ento X dito limitado superiormentese existe , tal que , .
Obs:
A definio dada equivale a dizer que , ;
O elemento chamado de cota superiorde.
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Definio 2: Seja X um subconjunto de um corpoordenado . Ento X dito limitado inferiormenteseexiste , tal que , .
Obs:
A definio dada equivale a dizer que , );
O elemento chamado de cota inferiorde.
Se
limitado superiormente e inferiormente,ento dizemos que limitado e, nesse caso,existem , tais que , -.
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Exemplos:
1) O subconjunto limitado inferiormente. Os
nmeros 0,
e
7so cotas inferiores de .
2) O subconjunto
; limitado
inferiormente e superiormente. So cotas inferior esuperior os nmeros 0e 1, respectivamente.
3) O subconjunto ; < 2 limitadosuperiormente pelo nmero 1,42, que uma de suascotas inferiores.
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Definio 3: Um corpo ordenado ditoarquimediano, se para todo , , com >0, existe , tal que > .
Obs:
possvel provar que o corpo arquimediano.
Existem corpos ordenados que no soarquimedianos.
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Definio 4:Seja um corpo ordenado e umsubconjunto limitado superiormente. Um elemento chama-se supremo de, quando a menor desuas cotas superiores. Denota-se = .
Assim, para que seja o supremo de , necessrio e suficiente que sejam vlidas ascondies:
S1. , ;
S2.Se cota superior de, ento .
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Exemplos:
4) Determine, se existir, o supremo dos conjuntosabaixo no corpo ordenado .
a) = (, )(intervalo aberto em )
b) =
9
;
c) =
;
d) =
;
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Propriedades
Se o supremo do subconjunto , ento:
1) e < ; < < .
2) O supremo de um conjunto, quando existe, nico.
3) > 0 , tal que < < .
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Definio 5:Seja um corpo ordenado e umsubconjunto limitado inferiormente. Um elemento chama-se nfimo de , quando a maior desuas cotas inferiores. Denota-se = .
Assim, para que seja o nfimo de , necessrio e suficiente que sejam vlidas ascondies:
S1. , ;
S2.Se cota inferior de, ento .
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Exemplos:
5) Determine, se existir, o nfimo dos conjuntosabaixo no corpo ordenado .
a) = (, )(intervalo aberto em )
b) =
;
c) = 2 ;
d) =
;
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Propriedades
Se o nfimo do subconjunto , ento:
1) e < ; < < .
2)O nfimo de um conjunto, quando existe, nico.
3) > 0 , tal que < < .
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Definio 6:
a)Se = tal que , ento chamadode mximodo conjunto X. Denota-se: = .
Exemplos 6:4-d); intervalo (,-; + ;
b)Se = tal que , ento tambm chamado de mnimo do conjunto X. Denota-se:
= .Exemplos 7:4-c); 5-d); intervalo , )
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Teorema 1: Considere os conjuntos = * +; < 2 e = * +; > 2 . Ento noexistem, em , o e o .
Definio 7:Um corpo ordenado dito completoquando todo subconjunto no vazio limitadosuperiormente admite supremo em .
Teorema 2:Um corpo ordenado completo se, esomente se, todo subconjunto no vaziolimitado inferiormente admite nfimo em .
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Corolrio 3: O corpo dos nmeros racionais no completo.
Corolrio 4: Se limitado superiormente,ento = *; limitado inferiormentee sup = inf().
Teorema 5: Todo corpo ordenado completo arquimediano.
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Questes Importantes:
Existem corpos ordenados completos?
Como resolver o problema da descontinuidade de?
possvel construir, a partir de , um corpoordenado completo que o contenha? Como?
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Mtodo dos Cortes de Dedekind
Definio 8: Um Corte de Dedekind todo par (, )de conjuntos no vazios de nmeros racionais, tais
que = e que < , e .
Postulado de Dedekind: Todo corte possui um
elemento de separao tal que = ou = .
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Exemplo 8: O par (,) dado por = * ; 2 um corte.
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Observaes:
1) No sistema de Dedekind, cada corte = , representa um nmero real;
2) No conjunto que formado por todos os cortes, possvel definir igualdade, adio, multiplicao erelao de ordem;
3) A partir dessas definies, pode-se mostrar que
este conjunto, munido das operaes definidas, umcorpo ordenado completo.
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Outros Mtodos:
Sequncias de Cauchy, de Georg Cantor;
Intervalos Encaixados;
Sequncias Montonas;
Propriedade do Supremo.
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Teorema 6: A menos de isomorfismo, um corpoordenado completo nico. Ou seja, se e socorpos ordenados completos, ento existe uma nicabijeo: tal que:
() =
= ()
Questo: No seria o caso de tomar como ponto departida a definio de conjunto dos nmeros reaiscomo sendo um corpo ordenado completo, j queeste nico?
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A construo formal do conjunto dos nmerosreais pode ser feita de forma precisa pelo mtododos cortes de Dedekind, pelo mtodo dassequncias de Cauchy entre outros;
Tais construes completam o conjunto , nosentido de que toda medida de segmento de retapossa ser dada por elementos do novo conjunto;
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A utilidade dessas construes, porm, se restrigeao ponto de vista teorco de mostrar comonmeros irracionais podem ser formalmentedefinidos, ou ainda, mostrar que corpos
ordenados completos existem;
Do ponto de vista prtico, entretanto, todas aspropriedades do conjunto dos nmeros reais
podem ser demonstradas assumindo que existeum conjunto que satisfaz os axiomas de corpoordenado completo.
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Mtodo Axiomtico
Axioma da Completude: Existe um corpo ordenado
completo que contm , chamado corpo dos
nmeros reais.
Obs.:Todas as propriedades j demonstradas para oscorpos ordenados so vlidas em .
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Definio 9:Um subconjunto dito densoem, se para todos , , com < , existe ,tal que < < . Ou equivalentemente, dito denso em se qualquer intervalo aberto (,)
de nmeros reais contm um elemento X.
Exemplo 10:O conjunto denso em .
Teorema 7:Os conjuntos e (irracionais) sodensos em .
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Exemplo 11: Considere os conjuntos = * +; < 2e = * +; > 2.
a)Mostre que existem, em , = inf e = sup .
b)Mostre que = .c)Mostre que = = 2, ou seja, = = 2.
Exemplo 12: Sejam + e , com > 1.
Ento possvel mostrar que, se = * +; < e = * +; > , entoinf = sup = .
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Teorema 8
Teorema dos Intervalos Encaixados:
Considere uma sequncia infinita de intervalosfechados , com = , .Ento existe pelo menos um nmero real tal que , -para todo .
Exemplo 13:Considerando a sequncia de intervalos
encaixados dada por =
,
, temos que 0 para todo .