UNMSM / Facultad de Medicina

UNMSM

FACULTAD DE MEDICINA

EAP DE MEDICINA

2011-I

SOLUCIONARIO DE LA PRCTICA 6.

DISTRIBUCIN BINOMIAL Y NORMAL

(Martes 26 de Abril del 2011)

Dr. Ricardo Terukina Terukina

Profesor Principal

1. Se presentan los resultados sobre la prevalencia de episodio depresivo en adolescentes de Lima Metropolitana y Callao:

IndicadorPrevalencia

Sexo masculino3.9%

Sexo femenino13.4%

Abuso del consumo de alcohol19.9%

Crisis bulmicas20.9%

Fuente: INEI

a. Si se elige al azar a 20 adolescentes varones de Lima Metropolitana y Callao, cul es la probabilidad que 5 de ellos presenten un episodio depresivo? 0.08%b. Si se elige al azar a 20 adolescentes mujeres de Lima Metropolitana y Callao, cul es la probabilidad que 5 de ellas presenten un episodio depresivo? 7.74%c. Si se elige al azar a 30 adolescentes de Lima Metropolitana y Callao que presentan abuso del consumo de alcohol, cul es la probabilidad que al menos 3 de ellos presenten un episodio depresivo? 95.46%d. Si se elige al azar a 10 adolescentes de Lima Metropolitana y Callao que presentan crisis bulmicas, cul es la probabilidad que ninguno de ellos presente un episodio depresivo? 9.59%Solucin:

a. Si se elige al azar a 20 adolescentes varones de Lima Metropolitana y Callao, cul es la probabilidad que 5 de ellos presenten un episodio depresivo? 0.08%Datos: = 0.039 ( 3.9% ) n = 20 adolescentes varones. x (o r) = 5 adolescente varones con episodio depresivo. Pregunta: P (x=5)

La frmula de la probabilidad binomial es:

Donde:

P(x) = Probabilidad de obtener exactamente x xitos

n = Nmero de eventos

= Probabilidad de xito de cualquier ensayo.

1 = Probabilidad de fracaso de cualquier ensayo.

Aplicando la frmula:

Rp. La probabilidad de que 5 de ellos presenten un episodio depresivo es de 0.077%

b. Si se elige al azar a 20 adolescentes mujeres de Lima Metropolitana, cul es la probabilidad que 5 de ellas presenten un episodio depresivo?

Datos: = 0.134 ( 13.4% ) n = 20 adolescentes mujeres. x (o r) = 5 adolescentes mujeres con episodio depresivo. Pregunta: P (x = 5)

Se aplica la frmula de la probabilidad binomial ya conocida:

Rp. La probabilidad de que 5 de ellas presenten un episodio depresivo es de 7.74%c. Si se elige al azar a 30 adolescentes de Lima Metropolitana y Callao que presentan abuso del consumo de alcohol, cul es la probabilidad que al menos 3 de ellos presenten un episodio depresivo? 95.46%Qu significa que al menos 3 de ellos presenten un episodio depresivo? Significa que de cada 30 adolescente, 3 ms presenten un episodio depresivo o sea P(x ( 3)

Datos: = 0.199 ( 19.9% ) n = 30 adolescente que abusan del alcohol. x (o r) 3 adolecentes que abusen del consumo del alcohol con episodio depresivo..Pregunta: P (x 3)

En este caso, se pide encontrar P ( x 3 ) = P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P(x = 8) + P (x = 9) ........ P (x = 30)

Esto quiere decir que debemos calcular las probabilidades de 28 eventos, desde x = 3 hasta x = 30; estos clculos seran muy laboriosos. Sin embargo, otra forma de determinar su valor ms rpidamente sera utilizando el complemento del evento (x 3 ) de la siguiente manera:P ( x 3 ) = 1 P (x < 3) = 1 { P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) }

En este caso slo debemos calcular la probabilidad de 3 eventos.Calculando separadamente las probabilidades, se tiene que:

Luego, P (x < 3) = P (x = 0) + P (x =1) + P (x = 2)

P (x < 3) = 0.001285214103 + 0.009578936572 + 0.034506893 = 0.045371043

P (x < 3) = 1- P (x 3) = 1 0.045371043 = 0.954628957 0.9546 95.46%.d. Si se elige al azar a 10 adolescentes de Lima Metropolitana y Callao que presentan crisis bulmicas, cul es la probabilidad que ninguno de ellos presente un episodio depresivo? 9.59%Datos: = 0.209 ( 20.9% ) n = 10 adolescentes con crisis bulmica x (o r) = 0 adolescente que tienen crisis bulmica con episodio depresivo.Pregunta: P (x=0)

Se aplica la frmula de la probabilidad binomial ya conocida:

Rp. La probabilidad de que ninguno de los adolescentes que presentan crisis de bulimia tengan un episodio depresivo es de 9.59%2. El proceso de envejecimiento demogrfico va acompaado de un cambio en el perfil epidemiolgico de la poblacin, observndose que de un predominio de las enfermedades infecciosas se evoluciona hacia un predominio de enfermedades crnicas no transmisibles en edades ms avanzadas, este proceso se denomina transicin epidemiolgica. Por lo tanto, los adultos mayores tendrn mayor probabilidad de presentar enfermedades crnicas no transmisibles. En un estudio se determin que el 6.7% de los pacientes hospitalizados de 60 aos a ms presentaban desorden cerebrovascular (DCV). Si en un servicio se espera hospitalizar a 40 pacientes de 60 aos a ms en las prximas seis semanas,

a. Cul es la probabilidad que se hospitalicen menos de tres casos de DCV? 49.27%b. Cul es la probabilidad que se hospitalicen tres casos de DCV? 22.84%c. Cul es la probabilidad que se hospitalicen ms de tres casos de DCV? 27.89%Solucin:

a. Cul es la probabilidad que se hospitalicen menos de tres casos de DCV? 49.27%Qu significa que se hospitalicen menos de tres casos de CDCV? Significa que de cada 40 hospitalizaciones, se producirn 0, 1 2 casos de DCV, o sea P(x < 3)

Datos: = 0.067 ( 6.7% ) n = 40 hospitalizaciones x (o r) = 0 , 1 2 casos de DCV Pregunta: P ( x < 3 )

En este caso, se pide encontrar P ( x < 3 ) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)Calculando separadamente las probabilidades, se tiene que:

P ( x < 3 ) = 0.06241662 + 0.179274657 + 0.251042164 = 0.492733441 = 49.27%Rp. La probabilidad que se hospitalicen menos de tres casos de DCV es de 0.4927 49.27%

b. Cul es la probabilidad que se hospitalicen tres casos de DCV? 22.84%Datos: = 0.067 ( 6.7% ) n = 40 hospitalizaciones x (o r) = 3 casos de DCV Pregunta: P ( x = 3 )

Rp. La probabilidad que se registren tres hospitalizaciones de DCV es de 0.2284 22.84

c. Cul es la probabilidad que se hospitalicen ms de tres casos de DCV? 27.89%En este caso, se pide encontrar P ( x > 3 ) = P (x = 4) + P (x = 5) + P(x = 6) ........ P (x = 40)

Esto quiere decir que debemos calcular las probabilidades de 37 eventos, desde x = 4 hasta x = 40; estos clculos seran muy laboriosos. Sin embargo, otra forma de determinar su valor ms rpidamente sera utilizando el complemento del evento (x > 3 ) de la siguiente manera:

P ( x > 3 ) = 1 P (x ( 3) = 1 {P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3)}

Calculando separadamente las probabilidades, se tiene que:

P = (x = 0) = 0.062411662

P = (x = 1) = 0.179274657

P = (x = 2) = 0.251042164

P = (x = 3) = 0.228350607P ( x > 3 ) = 1 P (x ( 3) = 1 {0.062411662 + 0.179274657 + 0.251042164 + 0.228350607}

= 1 - {0.72107909} = 0.27892091 = 0.2789 27.89%Rp. La probabilidad que se hospitalicen ms de tres casos de DCV es de 0.2789 27.89%

3. Una investigacin tuvo por objetivo determinar los niveles de hormona de crecimiento en sujetos residentes en diferentes niveles de altitud. Parte de los resultados se muestran en la siguiente tabla:

UbicacinHormona de crecimiento

Lima (150 msnm)0.54 0.04 ng/mL

Cajamarca (150 msnm)0.63 0.08 ng/mL

Huancayo (150 msnm)1.31 0.09 ng/mL

Morococha (150 msnm)3.87 0.16 ng/mL

a. Cul es la probabilidad que un poblador de Lima tenga un nivel de hormona de crecimiento mayor de 0.60 ng/mL? 6.68%b. Cul es la probabilidad que un poblador de Cajamarca tenga un nivel de hormona de crecimiento menor de 0.60 ng/mL? 35.38%c. Cul es la probabilidad que un poblador de Huancayo tenga un nivel de hormona de crecimiento entre 1.25 y 1.35 ng/mL? 41.91%d. Cul es la probabilidad que un poblador de Morococha tenga un nivel de hormona de crecimiento menor de 3.70 ng/mL o mayor de 3.90 ng/mL? 56.96%Solucin:

Para solucionar estos ejercicios se sugiere graficar cada problema y utilizar la tabla de probabilidades para la curva normal . No olvidar que el rea de la curva que figura en la tabla es del punto que corresponde al valor de Z a la izquierda (parte sombreada).a. Cul es la probabilidad que un poblador de Lima tenga un nivel de hormona de crecimiento mayor de 0.60 ng/mL? 6.68%Se define a la variable X como:

X = Nivel de hormona de crecimiento en ng/mL.

X tiene una distribucin normal con media u ng/mL y desviacin estndar = 0.04 ng/mL

Pasos:

1. Se expresa la hormona de crecimiento en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar P (Z ( 1.50). Se observa que P (Z ( 1.50) se halla a la derecha de Z = 1.50. La Tabla no permite hallar directamente dicha probabilidad, sino la probabilidad a la izquierda de Z. Para hallar la probabilidad a la derecha de Z debo hallar la probabilidad del complemento, o sea

P (Z > 1.50) = 1 P (Z < 1.50)

3. Se busca en la tabla el rea para Z = 1.50 y corresponde a 0.93324. Se remplaza en 2 y se tiene: P (Z > 1.50) = 1 P (Z < 1.50) = 1 - 0.9332 = 0.0668 6.68%

b. Cul es la probabilidad que un poblador de Cajamarca tenga un nivel de hormona de crecimiento menor de 0.60 ng/mL? 35.38%Se define a la variable X como:

X = Nivel de hormona de crecimiento en ng/mLX tiene una distribucin normal con media u = 0.63 ng/mL y desviacin estndar = 0.08 ng/mLPasos:

1. Se expresa la hormona de crecimiento en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar P (Z < -0.375). Se observa que P (Z < -0.375) se halla a la izquierda de Z = -0.375. 3. Se busca directamente en la tabla de la curva normal el rea para Z = -0.375 y corresponde a 0.3538 35.38%Comentario: En la mayora de las tablas de la distribucin normal, el valor de Z est expresado slo con dos decimales. Nosotros hemos empleado valores de Z con tres cifras decimales (Z = -0.375) y este valor de Z se consulta utilizando la Hoja de Clculo Excel. Consultando la funcin estadstica (Distribucin normal estndar) observamos que para Z = -0.375 obtenemos 0.3538. Si consultamos la tabla de distribucin normal para Z con slo dos cifras decimales (Z = -0.37) obtenemos 0.3557; o sea que se va a obtener una pequea diferencia de 0.0019 0.19%

c. Cul es la probabilidad que un poblador de Huancayo tenga un nivel de hormona de crecimiento entre 1.25 y 1.35 ng/mL? 41.91%Se define a la variable X como:X = Nivel de hormona de crecimiento en ng/mLX tiene una distribucin normal con media u = 1.31 ng/mL y desviacin estndar = =0.09 ng/mLPasos:

1. Se expresa la hormona de crecimiento en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar:

Se observa que:

P (1.25 < x < 1.35) = P (-0.6667 < Z < 0.4444) = P (Z < 0.4444) - P (Z < -0.6667). 3. Se busca en la tabla el rea para Z < 0.4444 y Z < -0.6667; se observa que corresponden a 0.6716 y 0.2525 respectivamente.4. Se remplaza en 2 y se tiene:P (-0.6667 Z 0.4444) = P (Z 0.4444) - P (Z -0.6667) = 0.6716 0.2525 = 0.4191 41.91%. d. Cul es la probabilidad que un poblador de Morococha tenga un nivel de hormona de crecimiento menor de 3.70 ng/mL o mayor de 3.90 ng/mL? 56.96%Se define a la variable X como:

X = Nivel de hormona de crecimiento en ng/mLX tiene una distribucin normal con media u = 3.87 ng/mL y desviacin estndar = 0.16 ng/mL

Lo que se pide es: P (x < 3.70 ) P (x > 3.90)

Pasos:

1. Se expresa la hormona de crecimiento en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar P (Z < -1.0625) o P (Z > 0.1875) = P (Z < -1.0625) + P (Z > 0.1875)

3. Se busca en la tabla el rea para Z < -1.0625 y Z > 0.1875.

Se observa que P (Z < -1.0625) se halla a la izquierda de Z = -1.0625 y se busca directamente en la tabla de la curva normal y corresponde a 0.1440 14.40%Como P (Z > 0.1875) se halla a la derecha de Z = 0.1875, la Tabla no permite hallar directamente dicha probabilidad , sino la probabilidad a la izquierda de Z. Para hallar la probabilidad a la derecha de Z debo hallar la probabilidad del complemento , o sea

P (Z > 0.1875) = 1 P (Z < 0.1875) . Se busca en la tabla las reas de Z = 0.1875 y se observa que corresponden a 0.5744.

Por consiguiente: P (Z > 0.1875) = 1 P (Z < 0.1875) = 1 0.5744 = 0.4256

4. Se remplaza en 2 y se tiene: P (Z < -1.0625) + P (Z > 0.1875) = 0.1440 + 0.4256 = 0.5696 56.96%

4. Se hace un estudio acerca de los niveles de colesterol y triglicridos en una poblacin de 35 000 habitantes, encontrndose que el valor promedio de colesterol es de 180mg/dL (varianza 900mg2/dL2) y el de triglicridos de 140mg/dL (varianza 625mg2/dL2).

a. Cuntos habitantes poseen valores normales de colesterol (< 200mg/dL)? 26 163b. Cuntos habitantes poseen valores de triglicridos entre 120 y 160mg/dL? 20 167Solucin:

a. Cuntos habitantes poseen valores normales de colesterol (< 200mg/dL)?

Se define a la variable X como:

X =niveles de colesterol en mg/dL

X tiene una distribucin normal con media u = 180 mg/dL y varianza 900 mg2/dL2 Como la desviacin estndar es igual a la raz cuadrada de la varianza, se tiene que = 30 mg/dLLo que se pide es: P (x < 200 mg/dL)

Pasos:

1.Se expresa el nivel de colesterol en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar P (x < 200mg/dL) = P (Z < 0.6667)

Se observa que P (Z < 0.6667) se halla a la izquierda de Z = 0.6667. 3. Se busca directamente en la tabla de la curva normal el rea para Z = 0.6667 y corresponde a 0.747518111 74.7518111%

4. Se obtiene el 74.75181115% de la poblacin, o sea de 35 000 habitantes. Para ello se realiza el siguiente planteamiento con una regla de tres simple100.00% = 35 000 habitantes

74.7518111% = X

b. Cuntos habitantes poseen valores de triglicridos entre 120 y 160 mg/dL?

Se define a la variable X como:

X = niveles de triglicridos en mg/dL

X tiene una distribucin normal con media u = 140 mg/dL y varianza 625 mg2/dL2 Como la desviacin estndar es igual a la raz cuadrada de la varianza, se tiene que = 25 mg/dL)Lo que se pide es: P (120 < x < 160 mg/dL)

Pasos:

1. Se expresa el nivel de colesterol en unidades de desviacin estndar o puntaje Z:

2. Graficar P (120 < x < 160 mg/dL) = P (- 0.80 < Z < 0.80)

Se observa que P (-0.80 < Z < 0.80) = P (Z = 0.80) P (Z = -0.80).

3. Se busca directamente en la tabla de la curva normal el rea para Z = 0.80 y Z = -0.80 que corresponden a 0.788144601 y 0. 211855399 respectivamente.

Por consiguiente:

P (-0.80 < Z < 0.80) = P (Z = 0.80) P (Z = -0.80) = 0.788144601 .211855399 = 0.576289202 57.6289202%

4. Se obtiene que el 57.6289202% de la poblacin, o sea de 35 000 habitantes tienen triglicridos entre 120 y 160 mg/dL. Para calcular esta poblacin se realiza el siguiente planteamiento con una regla de tres simple:

100.00% = 35 000 habitantes

57.6289202% = X

Revisado

Dr. Ricardo Terukina Terukina26-04-2011PAGE 1

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