Autorreflexiones Unidad 31. Cul es la importancia de la derivada en el anlisis de funciones?El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situacin. Por ello es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica, Qumica y Biologa.La derivacin constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variacin de la funcin en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si sta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una funcin para un valor de la variable es la tasa de variacin instantnea de dicha funcin y para el valor concreto de la variable.Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una funcin es que la pendiente o inclinacin de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantneo. As pues, cuanto mayor es la inclinacin de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la funcin en las proximidades del punto.Adems de saber calcular la derivada de una funcin en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rpidamente la funcin derivada de cualquier funcin. La derivada nos informar de con qu celeridad va cambiando el valor de la funcin en el punto considerado. Esta seccin est dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una funcin en un punto como a saber obtener la funcin derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atencin a como derivar funciones compuestas, funciones implcitas as como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma funcin.El concepto de derivada segunda de una funcin - derivada de la derivada de una funcin- tambin se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. As el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geomtricos o de forma- de una funcin estn relacionados con el valor de la derivada segunda.Finalmente veremos la relacin que tiene la derivada con los problemas de optimizacin de funciones. Estos problemas decimos que son de mximo o de mnimo (mximo rendimiento, mnimo coste, mximo beneficio, mnima aceleracin, mnima distancia, etc.).2. Que aplicaciones en la vida cotidiana tiene la derivada (escribe dos ejemplos y explcalos)Un ejemplo: quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello:

Entonces planteas a = 3 = d^2x /dt^2, lo que significa quedx /dt = 3 t (la operacin es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo). Ser pues

120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer serx = 3/2 t^2 = (3/2) 11,11^2 = 185 metros.Yo lo explico as: se utilizan frmulas de Fsica que se ocupan de la distancia, velocidad, aceleracin en una dimensin. La frmula es la siguiente para nuestro caso:1)V=Vo+ atDonde V es la velocidad final, ``Vo`` la velocidad inicial , ``a ``es la aceleracin y ``t`` el tiempo, pero como no hay velocidad inicial, entonces la frmula se reduce a:V= atAhora V que es la velocidad final es la derivada dx/dt, es decir V=dx/dt y en el ejemplo es 120 km/h, mientras que ``a`` es la aceleracin y vale 3 metros por segundo al cuadrado.

Pero al examinar el ejemplo nos damos cuenta que hay dos tipos de medida, es decir km/h y metros por segundo al cuadrado, entonces tenemos que utilizar unamisma mediday el standard es el sistema internacional, en nuestro caso m/s, por lo tanto convertimos a una sola medida de km/h a metros por segundo (m/s) de la manera siguiente:

(120 km/h)=(120,000 m/h)(h/60 min)(min/60s) cancelando trminos120,000 m/3600 s)=33.33 m/s.Es decir de que V=dx/dt=33.33.Reemplazando en la frmula 1)V=at, o usando derivadas:dx/dt=at (es equivalente)33.33= at, pero ``a`` es dado por el ejemplo igual a 3/s^2,entonces:33.33= 3t, por lo tantot=11.11s, este es el tiempo.Para la distancia aplicas la siguiente frmula:2)x=Vot+(1/2)at^2,pero como no hay velocidad inicial, se reduce a:x= 1/2 at^2, reemplazando:x= 1/2(3)(11,11)^2

x=3/2(123.4321)

x= 185 m.Lo ms importante es recordar de que se tienen que convertir a una sola medida standard si no los resultados son INCORRECTOS.Volviendo a las derivadas. La aceleracin es la derivada de la V o sea:dV/dt, pero arriba hemos demostrado que V=dx/dt, sustituyendo en:x=1/2 at^2,produce x=1/2 ((dx/dt)/dt)t^2, pero (dx/dt)dt=a y a=3 en el ejemploy de esta manera venimos a lo mismo, pero utilizando derivadas, es decir:x= 1/2(3)(11,11)^2,donde a (aceleracin)=3,y el tiempo: t^2=(11.11)^2Resumiendo: x es la distancia, v es la derivada de la distancia o sea dx/dt y la aceleracin es la derivada de la velocidad(dx/dt)/dt, quiere decir de que la aceleracin es la segunda derivada de la distancia x.Optimizar las dimensiones de un rectngulo. rea

3. Con tus propias palabras Cmo definiras la derivada de una funcin?Enmatemticas, laderivadade unafuncin es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de suvariable independiente. La derivada de una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como ellmitede la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez ms pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funcinen un punto dado. En trminos fsicos, representa la cuanta del cambio que se produce sobre una magnitud.Un ejemplo habitual aparece al estudiar elmovimiento: si una funcin representa laposicin de un objeto con respecto altiempo, su derivada es lavelocidadde dicho objeto. Un avin que realice un vuelo transatlntico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad mediade 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer suvelocidad instantneaa las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.El valor de la derivada de una funcin en un punto puede interpretase geomtricamente, ya que se corresponde conla pendientede la recta tangentea lagrficade la funcin en dicho punto. La recta tangente es a su vez la grfica de la mejoraproximacin linealde la funcin alrededor de dicho punto.La derivada de una funcinfen un puntoxse denota comof(x). La funcin cuyo valor en cada puntoxes esta derivada es la llamada funcin derivadadef, denotada porf. El proceso de encontrar la derivada de una funcin se denominadiferenciacin, y es una de las herramientas principales en el rea de las matemticas conocida comoclculo.http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.htmlhttp://www.forosperu.net/showthread.php?t=263132http://www.vadenumeros.es/segundo/problemas-de-optimizacion.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada