atomo_carbono
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Física Atómica
Funciones de Onda del Átomo de Carbono.Configuración Electrónica: (1s)2(2s)2(2p)2
Moisés Carrera Núñ[email protected]
Ejercicio
Determinar la funciones de onda correctas para la configuración electróni-ca (1s)2(2s)2(2p)2 del átomo de carbono así como su clasificación en términosespectroscópicos.
Solución
En la configuración electrónica: (1s)2(2s)2(2p)2 la única porción de capa no-cerrada co-rresponde a (2p)2 por lo que puede ser analizado como un sistema de dos electrones [1].Vemos que l1 = l2 = 1, así que L = 2,1,0. Similarmente, S = 1,0.
El orden de la degeneración de esta configuración es:(6
2
)
= 6!
2!(6−2)!= 15 (funciones de onda).
Utilizando la notación nLMS se tiene 2p0,2p1,2p−1 para representar la porción (2p)2,entonces construimos los 15 determinantes de Slater (eigenfunciones del hamiltonianode campo central) de las combinaciones de estos orbitales, la clasificación en términosespectroscópicos se realiza de acuerdo al procedimiento y la tabla (páginas 15–16) de lareferencia [3]:
Física atómica Moisés Carrera Núñez 2
Cuadro 1: Determinantes de Slater para el estado base del átomo de carbono y su cla-sificación en términos espectroscópicos. nα es el número de columnas con espín positivoy nβ el número de columnas con espín negativo en cada uno de los determinantes deSlater.
nα nβ Determinante de Slater MS ML Término
3 3 ψ1 =∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣ 0 01S,1 D,3 P3 3 ψ2 =
∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣ 0 0
3 3 ψ3 =∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣ 0 0
3 3 ψ4 =∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣ 0 1 1D,3 P3 3 ψ5 =
∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣ 0 1
3 3 ψ6 =∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣ 0 -1 1D,3 P3 3 ψ7 =
∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣ 0 -1
3 3 ψ8 =∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣ 0 2 1D
3 3 ψ9 =∣∣ +++2p−1
−−−2p−1
∣∣ 0 -2 1D
4 2 ψ10 =∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣ 1 0 3P
4 2 ψ11 =∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣ 1 1 3P
4 2 ψ12 =∣∣ +++2p0
+++2p−1
∣∣ 1 -1 3P
2 4 ψ13 =∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣ -1 0 3P
2 4 ψ14 =∣∣ −−−2p0
−−−2p−1
∣∣ -1 1 3P
2 4 ψ15 =∣∣ −−−2p0
−−−2p1
∣∣ -1 -1 3P
Construimos la función espacialmente antisimétrica ψA:
ψA = 1p
36!
[2p1(1)2p−1(2)−2p1(2)2p−1(1)
]
multiplicamos esta función espacial por la función de espín simétrica [4] |1,0⟩, dondeS = 1 y MS = 0, se obtiene
ψA |1,0⟩ = 1p
36!
[2p1(1)2p−1(2)−2p1(2)2p−1(1)
]· 1p
2
(∣∣∣∣−1
2,1
2
⟩+
∣∣∣∣1
2,−1
2
⟩)
= 1p
2(36!)
[ −−−2p1 (1)
+++2p−1 (2)+
+++2p1 (1)
−−−2p−1 (2)−
+++2p1 (2)
−−−2p−1 (1)−
−−−2p1 (2)
+++2p−1 (1)
]
= 1p
2(36!)
∣∣∣∣∣∣
−−−2p1 (1)
+++2p−1 (1)
−−−2p1 (2)
+++2p−1 (2)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
+++2p1 (1)
−−−2p−1 (1)
+++2p1 (2)
−−−2p−1 (2)
∣∣∣∣∣∣
Física atómica Moisés Carrera Núñez 3
ψA |1,0⟩ = 1p
2
(∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣)
= 1p
2
(∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
= 1p
2(ψ2 +ψ3)
Podemos escribir al operador L2 como [2]:
L2 = L−L++ L2z +ħLz =
(L1−+ L2−
)(L1++ L2+
)+ L2
z +ħLz
en la función ψA |1,0⟩ se tiene MS = ML = 0, entonces, L2zψA |1,0⟩ = LzψA |1,0⟩ = 0.
Tendremos:
L2(ψA |1,0⟩) = L−(L1++ L2+
)[ 1p
2
(ψ2 +ψ3
)]
= 1p
2L−
(L1++ L2+
)(∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
= 1p
2L−
[√1(1+1)−1(1+1)ħ
∣∣ +++2p2
−−−2p−1
∣∣+√
1(1+1)−1(1+1)ħ∣∣ −−−2p2
+++2p−1
∣∣
+√
1(1+1)− (−1)(−1+1)ħ∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+√
1(1+1)− (−1)(−1+1)ħ∣∣ −−−2p1
+++2p0
∣∣]
= 1p
2
(L1−+ L2−
)[p2ħ
∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ −−−2p1
+++2p0
∣∣]
=p
2ħp
2
[√2−1(1−1)ħ
∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+√
2−1(1−1)ħ∣∣ −−−2p0
+++2p0
∣∣
+√
2−0(0−1)ħ∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+p
2ħ∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣]
=p
2ħp
2(p
2ħ)(∣∣ +++
2p0
−−−2p0
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p0
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
= 2ħ2
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣−∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
= 2ħ2[
1p
2
(ψ2 +ψ3
)]
= 2ħ2 (ψA |1,0⟩
)
esto significa que ψA |1,0⟩ es también eigenfunción de L2 con L = 1= P, por lo tanto:
Ψ0,0(3P
)= 1
p2
(∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
(1)
en donde los subíndices de Ψ indican los valores de MS y ML, y 3P indica su clasificaciónen términos espectroscópicos, en este caso, el triplete P.
Física atómica Moisés Carrera Núñez 4
De acuerdo a la referencia [1] el operador de proyección apropiado para este sistemaes de la forma:
Ok =∏
i 6=k
L2 −λi
λk −λi(A-1)
Así, la aplicación del operador de proyección Ok a una combinación lineal de determi-nantes de Slater (Cuadro 1), proyectará su componente k de eigenvalor λk. Para L = 0tenemos que k = S:
OS =∏
i 6=S
L2 −λi
0−λi=
(L2 −2ħ2
0−2ħ2
)(L2 −6ħ2
0−6ħ2
)
=(
L2 −2ħ2
−2ħ2
)(L2 −6ħ2
−6ħ2
)
(A-2)
Para L = 1 tenemos que k = P:
OP =∏
i 6=P
L2 −λi
2ħ2−λi=
(L2 −0
2ħ2−0
)(L2 −6ħ2
2ħ2 −6ħ2
)
=(
L2
2ħ2
)(L2 −6ħ2
−4ħ2
)
(A-3)
Y L = 2 tenemos que k = D:
OD =∏
i 6=D
L2−λi
6ħ2 −λi=
(L2 −0
6ħ2−0
)(L2 −2ħ2
6ħ2 −2ħ2
)
=(
L2
6ħ2
)(L2−2ħ2
4ħ2
)
. (A-4)
Aplicando el operador S2 al determinante de Slater ψ1:
S2ψ1 = S2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
=(S2
1 + S22 +2S1zS2z
)∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+(S1+S2−+ S1−S2+
)∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
=[
1
2
(1
2+1
)ħ2 + 1
2
(1
2+1
)ħ2 +2
(1
2
)(−1
2
)]∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
+√
1
2
(1
2+1
)− 1
2
(1
2−1
)ħ·
√1
2
(1
2+1
)−
(−1
2
)(−1
2+1
)ħ∣∣ −−−2p0
+++2p0
∣∣
= ħ2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+ħ∣∣ −−−2p0
+++2p0
∣∣
= ħ2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣−ħ∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
= (0)∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
esto es S = 0, entonces ψ1 debe pertenecer al singulete de espín y por tanto no puedeser una combinación lineal de ψ2 +ψ3 por que pertenece al triplete de espín, así quepodemos no tomar en cuenta la parte L2 −2ħ2 del operador OD (ello eliminaría la com-ponente P de la combinación lineal ψ1) pues no contiene componente P, tenemos sintener en cuenta el factor 1�6ħ2:
Física atómica Moisés Carrera Núñez 5
Ψ0,0(1D
)= ODψ1
= L2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
=(L−L++ L2
z +ħLz)∣∣ +++
2p0
−−−2p0
∣∣
= L−L+∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+0+0
= L−
(L1+
∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+ L2+∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣)
= L−
(p2ħ
∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣)
=(L1−+ L2−
)(p2ħ
∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣)
=p
2ħ[L1−
∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+ L1−∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+ L2−∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣+ L2−∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣]
=p
2ħ[p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p−1
−−−2p1
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣]
= 2ħ2(ψ1 −ψ3 +ψ2 +ψ1)
entonces
Ψ0,0(1D
)= 2ħ2
6ħ2 (2ψ1 +ψ2 −ψ3)
pero, por normalización de las funciones de onda se tiene:
Ψ0,0(1D
)= 1
p6
(2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
(2)
Similarmente, para obtener la componente del singulete S, aplicamos el operadorOS a ψ1 omitiendo la parte que corresponde a L = 1:
Ψ0,0(1S
)= OSψ1 =− 1
6ħ2 (L2 −6ħ2)∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣
= − 1
6ħ2
[(L−L++ L2
z +ħLz)∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣−6ħ∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣]
= − 1
6ħ2
(−2ħ2ψ1 +2ħ2ψ2 −2ħ2ψ3
)= 1
3(ψ1 −ψ2 +ψ3)
Pero, por normalización de las funciones de onda, se tiene:
Ψ0,0(1S
)= 1
p3
(∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣−∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)
(3)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 6
Para el determinante ψ8 =∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣, se tiene:
S2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣ =(S2
1 + S22 +2S1zS2z
)∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣+(S1+S2−+ S1−S2+
)∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
=(6
4ħ2 − 2
4ħ2
)∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣+ħ2∣∣ −−−2p1
+++2p1
∣∣
= ħ2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣−ħ2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
= (0)ħ2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
entonces ψ8 es eigenfunción de S2 con S = 0 (singulete). Para L2:
L2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣ = (L−L++ L2z +ħLz)
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
= L−L+∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣+ L2z
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣+ħLz∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
= 0+ (4ħ2+2ħ2)∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
= 6ħ2∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣
entonces ψ8 es también eingenfunción de L2 con L = 2. Por lo tanto:
Ψ0,2(1D
)=
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣ (4)
Aplicando el operador L− a la Ec. (4):
L−[Ψ0,2(1D)
]= (L1−+ L2−)
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣√
L(L+1)−ML(ML −1)ħΨ0,1(1D) =√
l1(l1 +1)−ml1(ml1 −1)ħ∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣
+√
l2(l2 +1)−ml2(ml2 −1)ħ∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣
p6−2ħΨ0,1(1D) =
p2ħ
∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣
=p
2ħ(∣∣ +++
2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p0
∣∣)
=p
2ħ(∣∣ +++
2p0
−−−2p1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)
2ħΨ0,1(1D) =p
2ħ(ψ4 −ψ5
)
∴ Ψ0,1(1D
)= 1
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)
(5)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 7
La función espacialmente antisimétrica:
ψA = 1p
36!
[2p0(1)2p1(2)−2p0(2)2p1(1)
]
al ser multiplicada por la función de espín simétrica |1,0⟩, se obtiene:
ψA |1,0⟩ = 1p
2(36!)
[2p0(1)2p1(2)−2p0(2)2p1(1)
][∣∣∣∣−1
2,1
2
⟩+
∣∣∣∣1
2,−1
2
⟩]
= 1p
2(36!)
[ −−−2p0 (1)
+++2p1 (2)+
+++2p0 (1)
−−−2p1 (2)−
+++2p0 (2)
−−−2p1 (1)−
−−−2p0 (2)
+++2p1 (1)
]
= 1p
2(36!)
∣∣∣∣∣∣
+++2p0 (1)
−−−2p1 (1)
+++2p0 (2)
−−−2p1 (2)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
−−−2p0 (1)
+++2p1 (1)
−−−2p0 (2)
+++2p1 (2)
∣∣∣∣∣∣
= 1p
2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)
= 1p
2
(ψ4 +ψ5
)
esta es eigenfunción de S2 con S = 1 (triplete de espín). Aplicando L2 a la función ante-rior se obtiene:
L2[
1p
2
(ψ4 +ψ5
)]=
(L−L++ L2
z +ħLz)[ 1
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)]
= 1p
2
[L−
(L1++ L2+
)(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)
+ħ2∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+ħ2∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣+ħ2∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+ħ2∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣]
= 1p
2
[L−
(p2ħ
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣+p
2ħ∣∣ −−−2p1
+++2p1
∣∣)+2ħ2∣∣ +++
2p0
−−−2p1
∣∣+2ħ2∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣]
= 1p
2
[(L1−+ L2−
)(p2ħ
∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣−p
2ħ∣∣ +++2p1
−−−2p1
∣∣)
+2ħ2∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+2ħ2∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣]
= 2ħ2[
1p
2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)]
= 2ħ2[
1p
2
(ψ4 +ψ5
)]
∴ Ψ0,1(3P
)= 1
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)
(6)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 8
Aplicando el operador L− a la Ec. (1):
L−[Ψ0,0
(3P)]
=(L1−+ L2−
)[ 1p
2
(∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)]
√L(L+1)−0(0+1)ħΨ0,−1
(3P)
= 1p
2
[√1(1+1)−1(1−1)ħ
∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣
+√
1(1+1)−1(1−1)ħ∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣
+√
1(1+1)− (−1)(−1−1)ħ∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+0]
p2ħΨ0,−1
(3P)
= 1p
2
(p2ħ
∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣+p
2ħ∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
= ħp
2p
2
(ψ6 +ψ7
)
∴ Ψ0,−1(3P
)= 1
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
(7)
Aplicando L− a la Ec. (2):
L−[Ψ0,0
(1D)]
=(L1−+ L2−
)[ 1p
6
(2∣∣ +++2p0
−−−2p0
∣∣+∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)]
p6ħΨ0,−1
(1D)
= 1p
6
(2p
2∣∣ +++2p−1
−−−2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−p
2ħ∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣+2p
2ħ∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣)
=p
2ħp
6
(2∣∣ +++2p−1
−−−2p0
∣∣+3∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
= ħp
3
(3∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−3∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
= 3ħp
3
(∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
∴ Ψ0,−1(1D
)= 1
p2
(∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)
(8)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 9
Aplicando L− a la Ec. (8):
L−[Ψ0,−1
(1D)]
=(L1−+ L2−
)[ 1p
2
(∣∣ +++2p0
−−−2p−1
∣∣−∣∣ −−−2p0
+++2p−1
∣∣)]
√6− (−1)(−1−1)ħΨ0,−2
(1D)
= 1p
2
(p2ħ
∣∣ +++2p−1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ +++2p−1
−−−2p−1
∣∣)
p4ħΨ0,−2
(1D)
= 2p
2ħ2p
2ħ∣∣ +++2p−1
−−−2p−1
∣∣
∴ Ψ0,−2(1D
)=
∣∣ +++2p−1
−−−2p−1
∣∣ (9)
Aplicando S2 al determinante ψ11 se obtiene:
S2ψ11 =(S2
1 + S22 +2S1zS2z
)∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣+(S1+S2−+ S1−S2+
)∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣
S2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣ =[
3
4ħ2+ 3
4ħ2 +2
(1
2ħ)(
1
2ħ)]∣∣ +++
2p0
+++2p1
∣∣+0
= 8
4ħ2∣∣ +++
2p0
+++2p1
∣∣
= 2ħ2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣
ψ11 es eigenfunción de S2 con S = 1 (triplete de espín). Para L2:
L2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣ =(L−L++ L2
z +ħLz)∣∣ +++
2p0
+++2p1
∣∣
= L−(L1++ L2+
)∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣+ħ2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣+ħ2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣
= ħ2∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣
esto significa que ψ11 es eingenfunción de L2 con L = 1= P, por lo tanto:
∴ Ψ1,1(3P
)=
∣∣ +++2p0
+++2p1
∣∣ (10)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 10
Aplicando S2 a ψ10:
S2ψ10 =(S2
1 + S22+2S1zS2z
)∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣+(S1+S2−+ S1−S2+
)∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣
=(6
4+ 2
4
)ħ2∣∣ +++
2p1
+++2p−1
∣∣+0
= 2ħ2∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣
ψ10 es eingenfunción de S2 con S = 1 (triplete de espín). Y para el operador L2:
L2ψ10 = L−(L1++ L2+
)∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣+ L2z
∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣+ħLz∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣
= L−
[√1(1+1)− (−1)(−1+1)ħ
∣∣ +++2p1
+++2p0
∣∣]
=p
2ħ(L1−+ L2−
)∣∣ +++2p1
+++2p0
∣∣
=p
2ħ[√
1(1+1)−1(1−1)ħ∣∣ +++2p0
+++2p0
∣∣+p
2ħ∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣]
pero el término∣∣ +++2p0
+++2p0
∣∣ debe ser cero, por que no cumple con el principio de exclusiónde Pauli, entonces ψ10 es eingenfunción de L2 con L = 1, por lo tanto:
Ψ1,0(3P
)=
∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣ (11)
Aplicando L− a la Ec. (11):
L−[Ψ1,0
(3P)]
=(L1−+ L2−
)∣∣ +++2p1
+++2p−1
∣∣p
2ħΨ1,−1(3P
)=
√2−1(1−1)ħ
∣∣ +++2p0
+++2p−1
∣∣+√
2− (−1)(−1−1)ħ∣∣ +++2p1
+++2p−2
∣∣
=p
2ħ∣∣ +++2p0
+++2p−1
∣∣
∴ Ψ1,−1(3P
)=
∣∣ +++2p0
+++2p−1
∣∣ (12)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 11
Aplicando S− a la Ec. (1):
S−[Ψ0,0
(3P)]
=(S1−+ S2−
)[ 1p
2
(∣∣ +++2p1
−−−2p−1
∣∣+∣∣ −−−2p1
+++2p−1
∣∣)]
p2ħΨ−1,0
(3P)
= 1p
2
[√3
4− 1
2
(1
2−1
)ħ∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣+√
3
4− 1
2
(1
2−1
)ħ∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣]
= 2ħp
2
∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣
∴ Ψ−1,0(3P
)=
∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣ (13)
Aplicando S− a la Ec. (6):
S−[Ψ0,1
(3P)]
=(S1−+ S2−
)[ 1p
2
(∣∣ +++2p0
−−−2p1
∣∣+∣∣ −−−2p0
+++2p1
∣∣)]
p2ħΨ−1,1
(3P)
= 1p
2
[√3
4− 1
2
(1
2−1
)ħ∣∣ −−−2p0
−−−2p1
∣∣+√
3
4− 1
2
(1
2−1
)ħ∣∣ −−−2p0
−−−2p1
∣∣]
= 2ħp
2
∣∣ −−−2p0
−−−2p1
∣∣
∴ Ψ−1,1(3P
)=
∣∣ −−−2p0
−−−2p1
∣∣ (14)
Aplicando L− a la Ec. (13):
L−[Ψ−1,0
(3P)]
=(L1−+ L2−
)∣∣ −−−2p1
−−−2p−1
∣∣p
2ħΨ−1,−1(3P
)=
√1(1+1)−1(1−1)ħ
∣∣ −−−2p0
−−−2p−1
∣∣
=p
2ħ∣∣ −−−2p0
−−−2p−1
∣∣
∴ Ψ−1,−1(3P
)=
∣∣ −−−2p0
−−−2p−1
∣∣ (15)
Física atómica Moisés Carrera Núñez 12
Las funciones de onda correctas para el sistema de seis electrones de la configura-ción del estado base del átomo de carbono son las Ecs. (1)–(15). Queda demostrada suclasificación en términos espectroscópicos y con ello, también, queda justificada la cons-trucción del Cuadro 1, en donde, se observa que el término 3P tiene degeneración deorden 9, el término 1D tiene degeneración de orden 5 y más el término 1P (que no esdegenerado) suman las 15 eigenfunciones de onda del sistema.
Referencias
[1] Frank L. Pilar, Elementary Quantum Chemistry, segunda ed., cap. The Algebra ofMany-Electron Calculations, págs. 245–264, Dover, 1990, ISBN 0-486-41464-7.
[2] Jesus Castro Tello, Apuntes de Mecánica Cuántica. Parte II, Universidad de Guada-lajara, 2009.
[3] , El Momento Angular del Sistema de los N Electrones de un Átomo, Folle-to #9, Universidad de Guadalajara, 2009.
[4] , El Átomo de Helio, Folleto #8, Universidad de Guadalajara, 2009.