Universidad Laica Eloy Alfaro de Manab

Asimetra Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmtica). La asimetra presenta tres estados diferentes [Fig.5-1], cada uno de los cuales define de forma concisa como estn distribuidos los datos respecto al eje de asimetra. Se dice que la asimetra es positiva cuando la mayora de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmtica, la curva es Simtrica cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media y se conoce como asimetra negativa cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores menores que la media.

El Coeficiente de asimetra, se representa mediante la ecuacin matemtica,Donde (g1) representa el coeficiente de asimetra de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, () la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta ecuacin se interpretan:(g1 = 0): Se acepta que la distribucin es Simtrica, es decir, existe aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Este valor es difcil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean positivos o negativos ( 0.5).(g1 > 0): La curva es asimtricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir ms en la parte izquierda que en la derecha de la media.(g1 < 0): La curva es asimtricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir ms en la parte derecha de la media.Desde luego entre mayor sea el nmero (Positivo o Negativo), mayor ser la distancia que separa la aglomeracin de los valores con respecto a la media.Kurtosis Esta medida determina el grado de concentracin que presentan los valores en la regin central de la distribucin. Por medio del Coeficiente de Kurtosis, podemos identificar si existe una gran concentracin de valores (Leptocrtica), una concentracin normal (Mesocrtica) una baja concentracin (Platicrtica).

Para calcular el coeficiente de Kurtosis se utiliza la ecuacin: Donde (g2) representa el coeficiente de Kurtosis, (Xi) cada uno de los valores, () la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta frmula se interpretan:(g2 = 0) la distribucin es Mesocrtica: Al igual que en la asimetra es bastante difcil encontrar un coeficiente de Kurtosis de cero (0), por lo que se suelen aceptar los valores cercanos ( 0.5 aprox.).(g2 > 0) la distribucin es Leptocrtica(g2 < 0) la distribucin es PlaticrticaCuando la distribucin de los datos tiene un coeficiente de asimetra (g1 = 0.5) y un coeficiente de Kurtosis de (g2 = 0.5), se le denomina Curva Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayora de los procedimientos de la estadstica de inferencia se requiere que los datos se distribuyan normalmente.La principal ventaja de la distribucin normal radica en el supuesto que el 95% de los valores se encuentra dentro de una distancia de dos desviaciones estndar de la media aritmtica (Fig.5-3); es decir, si tomamos la media y le sumamos dos veces la desviacin y despus le restamos a la media dos desviaciones, el 95% de los casos se encontrara dentro del rango que compongan estos valores.

MomentosSe llama momento de orden r respecto de un valor "c" a la expresin:

Si c=0 se le llama momento respecto al origen:

Los primeros momentos respecto al origen son:Si c= se le llama momento respecto de la media o momento central:

Los primeros momentos respecto a la media son:

Distribuciones BidimensionalesUna distribucin bidimensional es una tabla de doble entrada en la cual participan dos variables simultneamente. Cada dato obtenido verifica las dos variables.Ejemplo. Si se analiza una poblacin de reos que sean asesinos y que tengan una edad entre los 20 y 30 aos, entonces, todos aquellos reos que cumplan ambas condiciones, pertenecen a dicho grupo o clase.

Grfico de una distribucin bidimensional.

VarianzaSi tenemos un conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:Siendo:: cada dato: El nmero de datos: la media aritmtica de los datosAplicando este concepto a una variable aleatoria con media = E[X], se define su varianza, Var(X) (tambin representada como o, simplemente 2), como

Desarrollando la definicin anterior, se obtiene la siguiente definicin alternativa (y equivalente):

Varianza muestralEn muchas situaciones es preciso estimar la varianza de una poblacin a partir de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazamiento de n valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de la poblacin de partida, existen dos de uso corriente:

Cuando los datos estn agrupados:A los dos (cuando est dividido por n y cuando lo est por n-1) se los denomina varianza muestral. Difieren ligeramente y, para valores grandes de n, la diferencia es irrelevante. El primero traslada directamente la varianza de la muestra al de la poblacin y el segundo es un estimador insesgado de la varianza de la poblacin. De hecho,

Mientras que:

Desviacin tpicaLa desviacin tpica o desviacin estndar es una medida de dispersin para variables de razn (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raz cuadrada de la varianza de la variable.Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer tambin la desviacin que presentan los datos en su distribucin respecto de la media aritmtica de dicha distribucin, con objeto de tener una visin de los mismos ms acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.Coeficiente de variacin El coeficiente de variacin la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporcin existente entre medias y desviacin tpica. Se define del siguiente modo:

Basta dar una rpida mirada a la definicin del coeficiente de variacin, para ver que las siguientes consideraciones deben ser tomadas en cuenta:

Slo se debe calcular para variables con todos los valores positivos. Todo ndice de variabilidad es esencialmente no negativo. Las observaciones pueden ser positivas o nulas, pero su variabilidad debe ser siempre positiva. De ah que slo debemos trabajar con variables positivas, para la que tenemos con seguridad que . No es invariante ante cambios de origen. Es decir, si a los resultados de una medida le sumamos una cantidad positiva, b>0, para tener Y=X+b, entonces , ya que la desviacin tpica no es sensible ante cambios de origen, pero si la media. Lo contario ocurre si restamos (b 0 la correlacin es directa.Si xy < 0 la correlacin es inversa.La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.Es decir, la covarianza variar si expresamos la altura en metros o en centmetros. Tambin variar si el dinero lo expresamos en euros o en dlares.

Ejemplo:Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemticas y Fsica son las siguientes:

Hallar la covarianza de la distribucin.

Despus de tabular los datos hallamos las medias aritmticas:

CorrelacinLa correlacin trata de establecer la relacin o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribucin bidimensional.Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables estn correlacionadas o que hay correlacin entre ellas.Tipos de correlacin1. Correlacin directaLa correlacin directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra aumenta.La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribucin es una recta creciente.

2. Correlacin inversaLa correlacin inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra disminuye. La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribucin es una recta decreciente.

3. Correlacin nulaLa correlacin nula se da cuando no hay dependencia de ningn tipo entre las variables.En este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una forma redondeada.

Coeficiente de correlacin linealEl coeficiente de correlacin lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones tpicas de ambas variables.El coeficiente de correlacin lineal se expresa mediante la letra r.

Experimento aleatorio o fenmeno aleatorioEn teora de la probabilidad un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej.: Lanzamiento de un dado).Este tipo de fenmeno es opuesto al fenmeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un mvil es posible saber exactamente el tiempo que tardar en llegar al suelo en condiciones de vaco.PropiedadesEs toda aquella situacin que debe llevarse a cabo para saber cul es el resultado. Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorio numerable; y si no se pueden contar, se le llama experimento aleatorio no numerable.Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio muestral, constituido por diferentes sucesos) o por lo menos nombrar al ltimo resultado se le llama experimento aleatorio finito; y si no se puede nombrar al ltimo resultado, se le llama experimento aleatorio infinito.Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo.A cada realizacin de un experimento se le llama experiencia o prueba Espacio muestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ).Espacio muestral de una moneda:E = {C, X}. Espacio muestral de un dado:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorioSuceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5.Ejemplos de espacios muestrales1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.A = {(b,b,b); (n, n,n)}3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Paredes Garca Marcos AEstadstica