asignatura: matematica curso(s): noveno … · docente: ernesto cuadros período 1 : 21 de enero -...

INSTITUCION EDUCATIVA MANUELA BELTRAN

APROBADA SEGÚN RESOLUCION DE FUSION CON NUMERO

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DE SEPTIEMBRE DE 2002 y 2487 DE NOVIEMBRE DEL 2010

UNIDAD DIDACTICA

Código: MABE-GA-FUD-02 Versión: 02 Fecha: 01-01-2012 Página 1 de 34

Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA Curso(s): NOVENO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 1 : 21 de enero - 24marzo/2013

Estándar:

Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas.

Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

Objetivos: 1. Explorar eventos cotidianos que se pueden determinar

probabilísticamente 2. Recoger información estadística y la presenta

gráficamente haciendo conjeturas e interpretaciones 3. Mejorar los resultados de las pruebas externas (saber

9) Objetivos específicos:

4. Agrupar datos en tablas de frecuencias 5. Presentar la información de tablas en forma gráfica en

histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de pastel

6. Realizar interpretación de tablas y gráficos estadísticos 7. Desarrollar las diferentes competencias ciudadanas y

laborales descritas más adelante.

Competencias a desarrollar Interpretativa: Identifica el procedimiento para recoger información, clasificarla en tablas de frecuencias y presentarla en gráficos estadísticos Argumentativa: Presenta por escrito trabajo de investigación estadístico de una variable cuantitativa y cualitativa Propositiva: Presenta propuestas de mejoramiento para situaciones observadas en el estudio estadístico. Trabaja en equipo con responsabilidad asumiendo su compromiso colaborativo Mantiene buena presentación personal Sostiene buenas relaciones con sus compañeros

Indicadores de Desempeño 1. Realiza encuesta para el estudio de una variable estadística cuantitativa y de una

variable cualitativa de su interés a 200 personas 2. Presenta 200 datos ordenados en una tabla de distribución de frecuencias 3. Presenta datos agrupados en histogramas y polígonos de frecuencias 4. Presenta las medidas de tendencia central para 200 datos 5. Realiza conjeturas a la investigación

Titulo Unidad: ESTADISTICA

Metodología: Se organiza el salón de clase en grupos de 5 estudiantes, a los cuales se les entrega una unidad didáctica; que previamente se explica en cuanto a contenido y alcances así como los indicadores de competencia a alcanzar una vez finalice el trabajo propuesto en ella. La unidad en su contenido hace referencia a la conceptualización mínima necesaria que el estudiante debe conocer para aprender a desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos al igual que las actividades que debe realizar al final

Acciones Evaluativas para la Clase

Evaluación Escrita

Evaluación Oral

Trabajo en Grupo

X Trabajo Individual

X

Exposición x Quist



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de la unidad. Una vez, el estudiante lea e interprete la unidad didáctica y maneje con propiedad los conceptos expuestos en el contenido, será capaz de resolver los ejercicios propuestos, con base en los ejercicios resueltos que aparecen en la guía como ejemplo. Paralelo al desarrollo de la unidad debe ir mostrando avances en una investigación de una variable escogida por cada uno de los estudiantes Las actividades planteadas al final de la unidad se resuelven aplicando los conceptos adquiridos en la apertura conceptual. Para aquellos estudiantes que presenten desempeños superiores, se les aplicaran actividades de profundización planteadas en la unidad. Las evaluaciones escritas serán la sustentación individual del trabajo realizado. Al finalizar esta unidad el estudiante deberá entregar los resultados de la investigación para una variable propuesta por él

Revisión de Cuaderno

x Taller X

Tareas x Laboratorio

Informe de laboratorio

Mesa redonda

Otras: avances de la investigación

CONTENIDO: Pruebas saber 2012 Pensamiento estadístico: recolección y clasificación de datos Experimento aleatorio Espacios muestrales y eventos Representación gráfica de la información Análisis de la información gráfica Probabilidad de eventos Eventos complementarios Medidas de tendencia central Relación entre media mediana y moda Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes Rango Varianza Desviación estándar Probabilidad de la intersección de eventos independientes Probabilidad de la intersección de eventos dependientes

DESARROLLO DEL CONTENIDO: Pensamiento estadístico: recolección y clasificación de datos Recolección de la información o de los datos sobre la pregunta y queremos averiguar: Se quiere estudiar la altura en centímetros de 20 árboles del parque. Los datos recluido fueron los siguientes: 141, 143, 153, 153, 153, 146, 141, 142, 145, 148, 141, 149, 147, 149,148, 151, 140, 141, 143, 146

Para clasificar la información recogida debemos seguir cada uno los siguientes pasos en orden:

Determinar cuál es el dato mínimo y cuál es el dato máximo entre todos los datos recogidos El dato mínimo es 140, el dato máximo es 153

Calcular cuál es el rango: consiste en hallar la diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo 153-140= 13

Elegir la cantidad de intervalos o filas que tendrá nuestra tabla: esta cantidad de intervalos los determina la persona que está haciendo el estudio, se recomiendan mínimo cinco intervalos y máximo quince cuando los datos son demasiados. Para el estudio que estamos realizando vamos a construir una tabla con cinco intervalos porque los datos son pocos Cantidad de intervalos:5

Calcular la longitud de cada uno de los intervalos: la longitud de cada uno de los intervalos se calcula dividiendo el rango por la cantidad de intervalos que vamos a realizar en nuestra tabla que es de cinco



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Construir los intervalos: el primer intervalo va desde el dato mínimo (140 es el límite inferior) hasta lo que sume el dato mínimo más la longitud del intervalo (140+3=143 es el límite superior del primer intervalo). Los intervalos se inician con un corchete y se terminan con un paréntesis, el corchete incluye el límite inferior del intervalo, el paréntesis no incluye el límite superior del intervalo [140-143) El segundo intervalo va desde donde quedó el primer intervalo (143) hasta dónde sume la longitud (143+3=146). Se forma el intervalo [143-146). Para el tercer intervalo y los demás se repite el procedimiento que se hizo con el segundo intervalo Los intervalos quedan de la siguiente manera

Intervalos

[ 140-143 )

[ 143-146 )

[ 146-149 )

[ 149-152 )

[ 152-155 )

Construir la tabla de frecuencias: el docente de definir cada uno a los conceptos que van en la tabla y los estudiantes lo aplican para los datos del estudio que se está realizando la tabla de frecuencias lleva las siguientes columnas

Intervalos

Marca de clase

xi

Frecuencia fi

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Fi

Frecuencia relativa

acumulada Hi

[ 140-143 )

[ 143-146 )

[ 146-149 )

[ 149-152 )

[ 152-155 )

n=

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo La frecuencia es contar cuantos datos caen dentro de cada intervalo (recuerde: el paréntesis no incluye el límite superior de cada intervalo) La letra n representa el total de los datos

La frecuencia relativa tiene la fórmula

, consiste en dividir la frecuencia de cada intervalo por el total de datos

La frecuencia acumulada en el primer intervalo consiste en sumar las frecuencias desde el intervalo uno hasta el intervalo uno; en el intervalo dos consiste en sumar las frecuencias desde el intervalo uno hasta el intervalo dos; en el intervalo tres consiste en sumar las frecuencias desde el intervalo uno hasta el intervalo tres; así sucesivamente hasta el último intervalo. La frecuencia relativa acumulada consiste en acumular la frecuencia relativa de la misma forma que se describió para la frecuencia acumulada.

Actividades: Pensamiento estadístico: recolección y clasificación de datos Recolección de la información o de los datos sobre la pregunta y queremos averiguar:

Se quiere averiguar o estudiar cuál en la estatura de los estudiantes del grado noveno. Para este estudio debemos medir la estatura de cada uno de los estudiantes. Normalmente en estos estudios se utiliza una muestra en donde se encuentre la representación de cada una las características de los elementos que se quieren estudiar. Para nuestro estudio utilizaremos como muestra todo los estudiantes del grado noveno.

Cada estudiante debe ser medido y se registra su estatura.



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Después de haber realizado el registro de la información de cada uno de los estudiantes podemos observar que la información está desordenada.

Clasificación de la información:

Para clasificar la información recogida debemos seguir cada uno los siguientes pasos en orden: Determinar cuál es el dato mínimo y cuál es el dato máximo entre todos los datos recogidos Calcular cuál es el rango: consiste en hallar la diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo Elegir la cantidad de intervalos o filas que tendrá nuestra tabla. Calcular la longitud de cada uno de los intervalos. Construir los intervalos Construir la tabla de frecuencias

la tabla de frecuencias lleva las siguientes columnas

Intervalos

Marca de clase

xi

Frecuencia fi

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Fi

Frecuencia relativa

acumulada Hi

n=

Interpretación de la información de la tabla

Tema: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos. Ejemplo: El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

3,2 3,1 2,4 4,0 3,5

3,0 3,5 3,8 4,2 4,0

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase? SOLUCIÓN:

Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:

∑

Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.

Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A o de variable cualitativa

La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas. SOLUCIÓN: PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase:



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PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos. En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas. Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B o de variable cuantitativa Calcular la media o promedio para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:

SOLUCIÓN: ∑

Las marcas de clase Mi representan a los intervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (es 44,1 porque 40+48.1= 88.1÷2=44.1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo. PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia absoluta. 44.1x3+52.1x8+60.1x11+ etc…… PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos MEDIANA: Me La mediana o valor mediano será el valor de la variable que separa en dos grupos los valores de las variables, ordenadas de menor a mayor. Ejemplo: Se han recogido los siguientes datos: 3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 Si los ordenamos queda: 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56 Hay quince números. El del medio es el octavo número: 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56 La mediana de este conjunto de valores es 23. (Fíjate en que no importan mucho los otros números de la lista) PERO si hay una cantidad par de números cambia un poco. En ese caso tenemos que encontrar el par central de números, y después calcular su valor medio. Esto se hace simplemente sumándolos y dividiendo entre dos. Lo vemos mejor con un ejemplo: 3, 13, 7, 5, 21, 23, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 Si ordenamos los números nos queda: 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56 Ahora hay catorce números así que no tenemos sólo uno en el medio, sino un par: 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56 En este ejemplo los números intermedios son 21 y 23. Para calcular el valor en medio de ellos, sumamos y dividimos entre 2: 21 + 23 = 44 44 ÷ 2 = 22 Así que la mediana en este ejemplo es 22.



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MODA: Mo Será el valor de la variable que más veces se repite, es decir, el valor que tenga mayor frecuencia absoluta. Pueden existir distribuciones sin moda o con más de una moda: bimodales, trimodales, etc. En las distribuciones sin agrupar, la obtención de la moda es inmediata. Ejemplo: Moda {2, 4}, en este caso tenemos una distribución bimodal.

Evaluación Evalúa tus competencias y analiza las siguientes preguntas que han salido en las pruebas de estado, explicando detalladamente cada opción de cada pregunta

1) Pregunta 01_2005

Dados los pesos de 10 niños: 42 kg, 38 kg, 46 kg, 40 kg, 43 kg, 48 kg, 45 kg, 43 kg, 41 kg y 39 kg. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) ?

I) La moda de la distribución es 43 kg.

II) El promedio es menor que 43 kg.

III) La mediana coincide con la moda.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III



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2) Pregunta 03_2005

El gráfico de la figura representa las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La mediana es 5.

II) La moda es 5.

III) La media aritmética (promedio) es 4,7.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

3) Pregunta 05_2005

Veinte números tienen un promedio de 20; doce de los números tienen un promedio de 8. ¿Cuál es el promedio de los otros ocho números?

A) 12

B) 38

C) 62

D) 28

Esta pregunta resultó muy difícil y la omitió casi la mitad de los alumnos que la abordaron.

El distractor A fue elegido por aquellos alumnos que dicen que, como el promedio de los doce números restantes es 8, el promedio de los ocho números que se piden debe ser la diferencia que es de 12, sin realizar cálculo alguno.

4) Pregunta 03_2006

La tabla adjunta

Edad (en años) 15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 17 años.

II) La mediana es mayor que la media (promedio).

III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 ó 18 años.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo II



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C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

5) Pregunta 04_2006

El gráfico siguiente

muestra la distribución de las notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes.

¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente?

Alternativas

A) 4 y 5

B) 5 y 5

C) 4,1 y 4

D) 4,1 y 5

E) 4 y 4,5

6) Pregunta 05_2006

El gráfico circular de esta figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

I) La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de fútbol es de 40%.

II) La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de básquetbol es de 30%.

III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo II



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C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Soluciones y Comentarios a cada pregunta de la evaluación: (disponible cambiando el color)

1) Pregunta 01_2005

Tema: Medidas de tendencia central

Comentario

Para determinar el valor de verdad de la primera afirmación se debe recordar que la moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia. En este caso, se observa que el 43 es el valor que se repite dos veces y pasa a ser el más frecuente, por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Para determinar el valor de verdad de la segunda afirmación se debe recordar que el promedio de un conjunto N de número x1, x2, x3, ..., xn se denota por x (con guión arriba) y se define por

∑

Al calcular el promedio, esta afirmación es verdadera, ya que

Finalmente, la tercera afirmación dice relación con la mediana y la moda. Se sabe que la mediana es el valor central de los datos, una vez ordenados de menor a mayor. Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos centrales. En este ejercicio hay 10 datos donde los valores centrales son 42 kg y 43 kg, luego la mediana es

.

Por lo tanto, la afirmación III) es falsa

2) Pregunta 03_2005 Tema: Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos

Comentario:

Para responderla correctamente, el alumno debe tener claro el procedimiento para calcular las medidas de tendencia central.

Para este problema, la mediana es el valor que se encuentra en la mitad de los datos una vez ordenados de menor a mayor.

Para visualizar mejor este concepto, interpretamos los datos del gráfico de la siguiente manera:

Notas: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7

En este caso el número total de niños es 15, por lo tanto, el valor de la mediana debe corresponder a la octava nota que es el 5.

La moda es el valor que más se repite en una distribución, en este caso, es la nota 5,0, porque la obtuvieron un mayor número de niños, que fue 4.

En este ítem para determinar el promedio o media aritmética, se debe realizar la siguiente operación:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EstadisticaMediaMedianaModa.htm




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Por lo que el promedio es la nota 4,7 , considerándola con un solo decimal.

Luego la clave es E

3) Pregunta 05_2005

Tema: Medidas de tendencia central

Comentario:

Si llamamos y a la suma de los 12 números, entonces , de donde y = 96. Sea x la suma de los otros 8 números, entonces se tiene:

(x + y es la suma de los 20 números)

304 (suma de los 8 números).

Luego el promedio de estos 8 números es:

Por lo que la clave es B.

4) Pregunta 03_2006

Contenido: Medidas de tendencia central, como son la media aritmética (promedio), la mediana y la moda.

Comentario

Debe recordar que la moda es la medida de mayor frecuencia (el valor que más se repite), en este caso, según la tabla, la mayor frecuencia de alumnos es 60 y corresponde a los de 17 años, por lo tanto I) es verdadera.

Para analizar II), debe determinar el promedio y compararlo con la mediana.

En este caso, es el promedio para datos agrupados y se resuelve de la siguiente forma:

La mediana es el valor de la variable que queda en el punto medio de una serie, después de que las medidas o puntajes que la integran han sido colocados en orden según su magnitud. En otros términos, la mediana es el valor por encima y por debajo del cual queda el 50 por ciento de los casos.









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Al calcular la frecuencia acumulada de la tabla se tiene:

Buscamos la mitad del número total de casos, que corresponde a .

Así la mediana es 17, pues es el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada es mayor que la mitad del número de datos (150 es mayor que 110).

Luego, la mediana es mayor que el promedio (17 es mayor que 16,8), por lo que II) es verdadera.

Los alumnos son 220 y los que tienen 17 ó 18 años corresponden a la suma de los alumnos de estas edades; es decir, 110, que corresponde a la mitad del total, por lo que la III) es verdadera.

Luego la opción correcta es E).

El 46 por ciento de las personas abordaron la pregunta en forma correcta y la omitió casi la cuarta parte (24 por ciento).

5) Pregunta 04_2006

Contenido: Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos.

Comentario

Para su resolución, el estudiante debe tener claro el concepto de mediana y moda, que son medidas de tendencia central y luego comprender la información entregada en el gráfico de la figura y hacer un reordenamiento de la información.

Por el gráfico, la frecuencia mayor de estudiantes es 15, que está asociada a la nota 5, por lo tanto, esa es la moda.

Para determinar la mediana, podemos proceder igual que en el ejercicio anterior; es decir, confeccionamos una tabla de la siguiente manera:

Buscamos la mitad del número total de casos, que corresponde a .

Así, la mediana es 4, pues es el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada es mayor que la mitad del número de datos (26 es mayor que 23).

Por lo tanto, la clave es la opción A).

6) Pregunta 05_2006

Contenido: el alumno debe conocer el concepto de frecuencia relativa, que se calcula como la frecuencia absoluta de cada actividad deportiva, dividida por el total de frecuencias de todos los grupos (30 alumnos).

Comentario

La frecuencia relativa se puede expresar en tanto por ciento.




http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Graficos.html


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htm



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La frecuencia relativa del grupo de fútbol es, por lo tanto, , la que expresada en porcentaje es 40% , por lo que I) es verdadera.

La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es , que corresponde a 30%, luego se confirma la veracidad de la afirmación II).

Como la mitad del grupo total es 15 y 15 de ellos no eligieron ni fútbol ni tenis, pues eligieron o básquetbol o atletismo, la III) también es verdadera.

Por lo tanto, la opción correcta es la E). Actividad en clase 1. Clasificar si es muestra o población.

a. Las elecciones en Puerto Rico b. El salario de 20 empleados de una enorme compañía. c. Hacer una encuesta a 100 personas que entraron a una tienda de los 896 que entraron a dicha tienda, en un día. d. Hacer un estudio con todos los envejecientes de un asilo.

2. Buscar la media, la mediana y la moda de los siguientes números: 25 15 28 29 25 26 21 26 <Use las fórmulas> 3. Buscar la media, la mediana y la moda de los siguientes números: 15 16 19 15 14 16 20 15 17 < No use las fórmulas> 4. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los envejecientes que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades, e indicar si es muestra o población. No utilice la fórmula. 69 73 65 70 71 74 65 69 60 62 5. Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que calificaran del 1 al 5 un programa televisivo. (5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal) Estos fueron los resultados: 1 3 3 4 1 2 2 2 5 1 4 5 1 5 3 5 1 4 1 2 2 1 2 3 5 Buscar la media, la moda y la mediana e indicar si es muestra o población. Soluciones: 1.

a. Población b. Muestra, ya que estamos investigando solo a 20 empleados de una gran compañía; puede tener 200 o más empleados. c. Muestra d. Población

2. Media: 25 15 28 29 25 26 21 26 25 + 15 + 28 + 29 + 25 + 26 + 21 + 26 = 195 195/8 = 24.375 La media es 24.4 Mediana:



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15 21 25 25 26 26 28 29 25 + 26 = 51 51/2 = 25.5 La mediana es 25.5 Moda: Los que se repiten es 25 y 26. Por lo tanto, la moda es 25 y 26. 3. Media: 15 + 16 + 19 + 15 + 14 + 16 + 20 + 15 + 17 = 147 147/ 9 = 16.3 La media es 16.3 Mediana: 14 15 15 15 16 16 17 19 20 El elemento intermedio es 16 al ordenar los números. Por lo tanto, la mediana es 16. Moda: El 15 se repite 3 veces. El 16 se repite 2 veces. Por lo tanto, la moda es 15. 4. Media: 69 + 73 + 65 + 70 + 71 + 74 + 65+ 69 + 60 + 62 = 678/10 = 67.8 La media es 67.8. Quiere decir que la edad promedio de los envejecientes del asilo que pueden caminar sin dificultad es de 67.8 Mediana 60 62 65 65 69 69 70 71 73 74 Elementos intermedios: 69, 69 69 + 69 = 138/2 = 69 Por lo tanto, la mediana es de 69. Moda: Tiene 2 modas, 65 y 69 Este estudio es una muestra ya que se seleccionaron 10 envejecientes de un asilo. 5. Media: 1 + 3 + 3 + 4 + 1 + 2 + 2 + 2 + 5 + 1+ 4 + 5 + 1+ 5+ 3 + 5 + 1+ 4 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 = 68 68/25 = 2.72 El promedio es de 2.72 Mediana: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 El elemento intermedio es 2 , así que la mediana es 2 Moda: El que más se repite es el 1. Es población, ya que la información fue recogida de todos los estudiantes de un salón de clases. (Tomado del ICFES) responda las preguntas 1 a 3 de acuerdo con la siguiente información La gráfica siguiente expresa el resultado que se obtuvo de una encuesta aplicada a 80 familias sobre el número de hijos de cada una. 1. De acuerdo con la información presentada determine cuál de las siguientes afirmaciones es válida: A. Un octavo de las familias encuestadas no tiene hijos. B. El número de familias que tiene 3 hijos es menor al número de familias que tiene 2 hijos. C. Un cuarto de familias encuestadas tiene un hijo. D. El número de familias que tiene 3 o 4 hijos es más de la mitad del total de las familias encuestadas. 2. Un padre de familia al observar la información presentada, le pregunta a una de las encuestadoras si es posible saber la cantidad de familias



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encuestadas en cada uno de los casos, a lo que responde: A. Sí, porque al conocer la cantidad total de las familias encuestadas y los porcentajes se puede conocer la cantidad de familias en cada caso. B. No, ya que para conocer la cantidad de familias encuestadas, debemos conocer por lo menos el número de familias en algunos de los casos. C. Sí, la cantidad de familias en cada caso se puede determinar multiplicando cada porcentaje por 40 y dividiendo dicho resultado por 100. D. No, porque con los porcentajes no se puede determinar la cantidad de familias encuestadas. 3. Teniendo en cuenta que la frecuencia corresponde al número de veces que aparece un dato y la Moda es el dato que ocurre con mayor frecuencia, para el caso presentado, se puede afirmar que la Moda es: A. 3, porque es el dato que aparece más seguido en la muestra. B. 1, puesto que es el dato que posee la mayor frecuencia. C. 2, porque al organizar en forma creciente el número de hijos es el que ocupa la posición central. D. 0, ya que es el dato que tiene menor frecuencia.

Responda las preguntas 4 y 5 de acuerdo a la siguiente información En la tabla se muestra la calificación obtenida por 100 estudiantes del plan talentos

durante el primer semestre:

4. De acuerdo con los datos, es posible decir sobre la Moda y el Promedio que: A. La moda está entre 3.0 y 4.0 y el promedio entre 3.5 y 4.0 B. La moda está entre 3.0 y 5.0 y el promedio entre 4.5 y 5.0 C. La moda está entre 3.0 y 5.0 y el promedio entre 4.0 y 4.5 D. La moda está entre 4.0 y 4.5 y el promedio entre 3.0 y 4.0 5. La Mediana de los datos de una muestra organizada en forma creciente, es el dato que ocupa la posición central; si el número de datos es par la mediana es el promedio de los dos datos centrales. De acuerdo a esta definición, en nuestro caso la Mediana corresponde a: A. 4.0 B. 4.5 C.5.0 D. 5.5 PROBABILIDAD Y TECNICAS DE CONTEO Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían: -¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos? -¿Cuántas representaciones de ONCE alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? -¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las técnicas de conteo son : permutaciones, combinaciones, el principio multiplicativo y el principio aditivo

Combinaciones y permutaciones ¿Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría

http://www.monografias.com/trabajos13/gaita/gaita.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtml

http://www.monografias.com/Quimica/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml



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ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso: Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Con otras palabras: Una permutación es una combinación ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez. 1. Permutaciones con repetición Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n × ... (r veces) = nr (Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.) Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones Así que la fórmula es simplemente: nr , donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) 2. Permutaciones sin repetición En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000 Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. ¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html



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La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían: 16! = 20,922,789,888,000 Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

¿Lo ves?

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

(El color rojo se cancela entre si)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Ejemplos 1. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3opciones. Para la cuarta, 2. Y para la última, 1 .Así que puede elaborar 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 rutas distintas. Podemos utilizar también la fórmula de las permutaciones 2. ¿Cuántos números de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero) existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? Vamos a calcular cuántos números existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3 cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre 9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 10 posibilidades cada una (los 10guarismos).Así que existen 9 · 10 · 10 = 900 números de 3 cifras. De éstos, un total de 9 tienen todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777,888, 999). Así que la cantidad de números pedida es de 900– 9 = 891 3. En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera? Tenemos un total de 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de los 12 corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de los 10restantes.Así que existen 12 · 11 · 10 = 1320 distintos pódiums posibles. El Principio multiplicativo



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Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplos: 4) Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o bloques de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de cómo se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. 5) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9? a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G. Solución: a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil El Principio aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas Ejemplos: 6) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

http://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/concreto/concreto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marca/marca.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marca/marca.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/colarq/colarq.shtml



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N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. Actividad: resolver indicando si hay orden o no lo hay

1) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité?

2) ¿Cuántos números de dos cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? 3) A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el

finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? 4) ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche? 5) Ocho vecinas guardan cola en una panadería para comprar pan. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar en la

cola? 6) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se

pueden ordenar en un estante. 7) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros

elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. 8) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de dos números, si las

letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9? a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Combinaciones También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33) 1. Combinaciones con repetición En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego. 2. Combinaciones sin repetición Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (en ese orden) ¡entonces has ganado! La manera más fácil de explicarlo es: imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe. Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3



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3 2 1

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!) Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial". Notación Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

O lo puedes hacer así:

(desde 13x12x11….. se han cancelado con los que aparecen en el denominador)

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!" ... o mejor todavía... ¡Recuerda la fórmula! Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16

da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas

de 16.

Esto es la simetría de la fórmula!!!

y Ejemplos de combinaciones:

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? N o entran todos los elementos. N o importa el orden: Juan, Ana. N o se repiten los elementos.



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2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? N o entran todos los elementos. N o importa el orden. N o se repiten los elementos.

Actividad: resolver 3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? 4. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? EJERCICIOS PROPUESTOS: 1) ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9? a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?. 2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?. 3) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa. 4) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? 5) a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna? 6) Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar? 7) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? R/1320 8) ¿De cuántas formas pueden hacer grupo de los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? R/35



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Solución de los problemas: 1a) 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos 1b) 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos 1c) 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos 1d) 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos 2a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia 2b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas D = maneras de ir y regresar a Disneylandia V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo 3) Por principio multiplicativo: 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, r = 5 25P5 = 25!/ (25 -5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representación 4a) Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula: n = 8, r = 8 8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc. 4b) Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por fórmula: n =8, r = 3 8P3 = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera 5a) Por fórmula: n = 12, r = 5 12P5 = 12! / (12 - 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego 5b) Por principio multiplicativo: 1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego Por fórmula: 1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 - 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una



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determinada posición 5c) Por principio multiplicativo 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego Por fórmula: 1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 - 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas 6a) Por principio multiplicativo: 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso 6b) Por fórmula: 26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso 6c) Por fórmula: 1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6 6d) Por fórmula: 1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar. PROBABILIDAD Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados"). El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. ¿Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles Veamos algunos ejemplos: a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%) c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%) d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)



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Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías? EJERCICIOS PROPUESTOS A. hallar la probabilidad en cada caso, escribiendo la notación correspondiente 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un mes escogido al azar tenga 31 días? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un día de la semana escogido al azar tenga un nombre que comienza con la letra M? 3. Un cubo numerado para un juego tiene seis lados enumerados del 1-6. Calcula la probabilidad de que el cubo numerado caiga en cada de las siguientes situaciones al ser lanzado.

a) un 2 b) un múltiplo de 2 c) un número impar 6 d) un número mayor que 5

4. Hay 16 bolas de tenis en una bolsa. Tres son azules, 5 amarillas, 4 verdes y 4 anaranjadas. Si sacas una bola de la bolsa al azar, ¿cuál es la probabilidad de que saques cada una de las siguientes?

a) una bola verde b) una bola azul

5. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar azul P(azul)? 6. Ofelia come dulces de varios colores. Hay 80 dulces en total y 16 son rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un dulce rojo al azar? Expresa la fracción en forma reducida

B. Para cada situación, usen un diagrama de árbol para calcular el número total de resultados. 1) Escoger pan blanco o de centeno con jamón, pavo o salami 1. 2) Ir en patines en línea o en bicicleta a la biblioteca, el supermercado o el centro comercial 2. 3) Comprar un suéter o una camisa de color anaranjado, azul, turquesa o rojo 3.

AYUDA: Cada uno de los dos objetos en el primer conjunto va con cada uno de los objetos en el segundo conjunto. 4) Cultivar tulipanes, rosas o margaritas de color rosado, blanco o amarillo 4. 5) Tomar una clase de escultura o de tallar madera en una escuela, un centro comunitario o un museo 6) Sentarse en un cuarto con un sofá, una silla, un sillón o una silla reclinable de firmeza blanda, dura o media 7) Estás encargado de la música en una fiesta. Llevas contigo tres cd: pop, Música jazz y country. ¿De cuántas maneras puede

poner los tres cd de modo que cada uno se toque exactamente una vez? 8) Un gerente de béisbol tiene cuatro posibles lanzadores para comenzar un partido. También debe decidir cuáles de los dos

receptores va a poner en la línea de inicio. ¿De cuántas maneras puede escoger a los jugadores para estas dos posiciones?

RELACIONES ENTRE SUCESOS Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo



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contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:

A:que salga el número 6, B: que salga un número par.

Dijimos que el suceso A está contenido en el suceso B. P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso A, es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso B.

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

A: que salga número par B: que salga múltiplo de 2.

Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Ejercicios propuestos 1. Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: A: que salga el número 6 B: que salga un número par

2. Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado se pide la probabilidad de obtener a) Número impar b) Número primo c) Múltiplo de 3 d) Múltiplo de 5 c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes. Eventos independientes: los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de a no afecta la ocurrencia de B Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

Ejemplo Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Los dos eventos o sucesos son independientes, por lo tanto:

Eventos dependientes: los eventos A y B son dependientes si la ocurrencia de a afecta la ocurrencia de B Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

pero

Ejemplo Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

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Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

A: que salga número par,

, solamente son { }

B: que sea mayor que 3,

, solamente son { }

La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6. Su probabilidad será por tanto:

P(A B) = 2 / 6 = 0,33 Actividad: Hallar la probabilidad si lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: A: que salga el número 6 B: que salga un número par

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección Probabilidad de la unión de eventos P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A∩B) A: aprobar matemática B: aprobar estadística P(A)=0.3 P(B)= 0.4 P(A∩B)= 0.125 a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar al menos una de las dos materias ? b) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar exactamente una materia ? c) ¿Cuál es la probabilidad de reprobar las dos materias? Resp a) P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.3 + 0.4 -0.125 = 0.57 Resp b) P(aprobar exactamente una materia) = P(AUB) - P(A∩B) = 0.57 - 0.125 =0.44 Resp c) P(AUB)c = 1 – P(AUB) = 1 – 0.57 = 0.43 Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A B) = 2 / 6 = 0,33 Por lo tanto,

P (A B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666 Ejercicios propuestos: Lanzar un dado y se pide la probabilidad de que salga el 3 o que salga par R/ 4/6 Del experimento anterior calcular la probabilidad de que salga el numero 2 o menor o que salga un número impar R/ 5/6



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e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada). Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto, P(A B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A) Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar. La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50 Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50 g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1. Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

1.- Ejercicio Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cuál de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). Solución: Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones. Por lo tanto, los casos posibles son:

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

2.- Ejercicio Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta. Solución: El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente. Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:



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Menor que en el ejemplo 1. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.

ACTIVIDADi: Resolver los siguientes problemas 1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve. 2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde. 3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) Con reemplazo, b) sin reemplazo 4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? 5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio. 6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? 7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Describe los sucesos: A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'. 8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro. 9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer? 10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? 11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? 12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento. 13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7? 14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos. b) Las caras obtenidas sumen 7. 15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. 16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas. 17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen 18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. 19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? 20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular: a) El porcentaje de los que acuden por la tarde. b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. 21. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 22. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.



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a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? 23. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: a) juegue sólo fútbol, b) juegue sólo baloncesto, c) Practique uno solo de los deportes, d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto. 24. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 25. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre? Solución a los problemas 1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve. Solución a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN } b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)

Observemos que en el caso a) el experimento es con repetición. 2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde. Solución a) A: extraer una bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos. E: espacio muestral, de 20 elementos. P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad). b) B: extraer una bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos B

c: extraer una bola al azar que NO sea verde.

P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)

3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo Solución: R: extraer bola roja B: extraer bola blanca E = { RR, RB, BR, BB } a) Con reemplazo RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento). RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento). BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).

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BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento). b) Sin reemplazo RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento). RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento). BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento). BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento). 4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? Solución R: extraer bola roja B: extraer bola blanca R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles) Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5) 5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio. Solución H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3 M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3 P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M) 6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? Solución a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles) b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada) c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24 7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Describe los sucesos: A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'. Solución a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}. B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}. C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5} c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10 B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10 8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.



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Solución a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada) b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes) c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52. d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes) Los cálculos anteriores son bajo el supuesto de que la baraja española de 40 cartas tienen 10 oros y 10 copas, más información sobre la baraja española en la página: http://www.salonhogar.net/Enciclopedia/Baraja_espanola/Indice.htm 9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer? Solución A: les gusta ver la tele B: les gusta leer P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120 a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios) b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada) c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad) 10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? Solución Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de

Probabilidad). 11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? Solución Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad) 12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento. Solución a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7. b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7. 13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7? Solución El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6. 14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos. b) Las caras obtenidas sumen 7. Solución

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a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216. b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72. 15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. Solución El espacio muestral son las 28 fichas de dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4. A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)} B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)} P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común). 16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas. Solución Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y B j el suceso de sacar "j" papeletas blancas. P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5. P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95. P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57. 17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen Solución P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5. 18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. Solución Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla)

Hombre Mujer Total

Ojos castaños 5 10 15

Total 10 20 30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3. 19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? Solución

Hombre Mujer Total

Casados 35 45 80

Solteros 20 20 40

Total 55 65 120

a) P(hs) = 20/120 = 1/6. b) P(m/c) = 45/80 = 9/16. 20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos



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UNIDAD DIDACTICA


y uno con problemas de chapa. Calcular: a) El porcentaje de los que acuden por la tarde. b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Solución

Electricidad Mecánica Chapa Total

Mañana 3 8 3 14

Tarde 2 3 1 6

Total 5 11 4 20

a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30% b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55% c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6. 21. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. Solución P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20. 22. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? Solución a) Sea A el suceso de elegir un chico y B el suceso de elegir estudiante de francés. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/20 + 10/20 - 5/20 = 15/20 = 3/4 (A y B son sucesos compatibles) b) En la gráfica se observa que la intersección entre el conjunto "alumnas" y el conjunto "no francés" tiene 5 elementos, entonces P(chica y no francés) = 5/20 = 1/4. 23. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: a) juegue sólo fútbol, b) juegue sólo baloncesto, c) Practique uno solo de los deportes, d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto. Solucióna a) P = 0,3 b) P = 0,2 c) P = 0,3 + 0,2 = 0,5 d) P = 0,4 24. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? Solución

Pelo castaño Pelo no castaño Total

Ojos castaños 15 10 25

Ojos no castaños 25 50 75

Total 40 60 100

a) P(ojos castaños/pelo castaño) = 15/40 = 3/8 b) P(pelo no castaño/ojos castaño) = 10/25 = 2/5 c) P(pelo no castaño y ojos no castaño) = 50/100 = 1/2. 25. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?



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b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre? Solución

Gafas Sin gafas Total

Hombres 15 25 40

Mujeres 15 45 60

Total 30 70 100

a) P(mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20 b) P(hombres/sin gafas) = 25/70.

Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA Curso(s):NOVENO

Docente: Ernesto Cuadros Período:3 /12

Recursos: unidad didáctica, Internet ( video funciones cuadráticas, cúbicas, exponencial, logarítmica)

Evaluación: Se valorara el trabajo en grupo, la prueba escrita, las actividades realizadas en clase, laboratorios

realizados.

La evaluación se hará semanalmente y al finalizar cada periodo, teniendo en cuenta la conceptualización y

aplicación del trabajo teórico practico desarrollado por los estudiantes.

Bibliografía

Soluciones 9, editorial Futuro

Actividades de Profundización:

i Fray Luis Peinado

http://frayluispm.jimdo.com/fray-luis-pm/

asignatura: matematica curso(s): noveno … · docente: ernesto cuadros período 1 : 21 de enero -...

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