MODELIZACIÓN PARA APROVECHAR LA ENERGÍA CINÉTICA DE LAS

PISADAS DEL HOMBRE – PARTE II

N. Salvo, C. Ospina Sede Regional Tartagal – Fc. Cs. Naturales – Universidad Nacional de Salta (U.N.Sa.)

Warnes y Ejercito Argentino – Tartagal – Salta. CP: 4400 e-mail: salvornahuel@gmail.com, electricaos07@mailoo.org

Recibido 13/08/18, aceptado 26/08/18

RESUMEN: En este trabajo se desarrollan las ecuaciones características que definen un sistema recolector de energía electromagnético. El sistema al igual que en el trabajo anterior está compuesto por un resorte, una bobina y un imán permanente. También en el planteo físico del problema se introduce un coeficiente de amortiguamiento (lineal con la velocidad). La principal diferencia con el trabajo anterior es que se consideró que la constante del resorte es una función no lineal de la posición, lo que agrega un término a las ecuaciones de movimiento. La solución propuesta para las ecuaciones que describen el fenómeno se basa en la técnica de linealización estadística. Por último se plantean y resuelven las ecuaciones que describen el sistema y además se muestran los resultados obtenidos usando Scilab en la programación. Palabras clave: Energía cinética, Conversión, movimiento aleatorio, sistemas electromecánicos, linealización estadística. INTRODUCCION En términos generales, la mayoría de los prototipos que se diseñan para generar energía tienen en cuenta el cambio de energía cinética por energía eléctrica, es importante aclarar que también existen sistemas que producen energía eléctrica pero aprovechan y transforman otro tipo de energía en la cual no está involucrado el movimiento de una determinada masa; un ejemplo de ello son los sistemas

fotovoltaicos, los cuales transforman parte de la radiación incidente en el panel en energía eléctrica. En el caso de la energía eólica, es la energía cinética del viento la que se convierte en energía eléctrica, de igual manera, para el caso de hidroeléctrico la energía cinética del agua que pasa por la turbina la que se convierte en energía eléctrica. En este trabajo se plantea convertir la energía cinética de las pisadas de las personas en energía eléctrica, para lo cual se considera un sistema donde un cambio en el flujo magnético sobre una espira, genera una f.e.m. de acuerdo a lo establecido por la ley de Lenz. (Ospina y Salvo, Asades 2017). La conversión de energía se puede ver como una relación de la energía cinética por unidad de tiempo respecto de la potencia generada (mW), la cual puede ser consumida por una carga eléctrica (LED, semáforo, lector de tarjetas en el tren, etc.) o en el caso de algún excedente ser almacenada en una batería. Para ello se presenta un sistema que está constituido por un imán permanente que es libre de moverse dentro de una bobina (inductor), el cambio en el flujo magnético genera una corriente la cual puede ser almacenada y posteriormente utilizada para distintas aplicaciones, por ejemplo, un sistema donde el consumo sea inmediato o la carga de un acumulador (batería). La figura 1, muestra en diferentes perspectivas la disposición de las diferentes bobinas e imanes que se encuentran por debajo de la superficie de contacto de la baldosa y que en principio es el pre-diseño de un prototipo. A la largo de este trabajo se plantea un análisis teórico de este sistema electromagnético en el cual se considera que la fuerza que actúa o ejerce el resorte contiene una componente no lineal.

ASADES Acta de la XLI Reunión de Trabajo de la Asociación Argentina de Energías Renovables y Medio Ambiente

Vol. 6, pp. 06.85-06.94, 2018. Impreso en la Argentina. ISBN 978-987-29873-1-2

06.85

(a) disposición de los diferentes componentes – corte lateral

(b) Vista panorámica de la bobinas - disposición del conjunto

Figura 1: Prediseño - Esquema del sistema futuro prototipo experimental de un sistema recolector de

la energía cinética de transeúntes. (a) Vista lateral, (b) Vista del conjunto completo En el trabajo anterior (Ospina y Salvo, Asades 2017) se analizó el mismo sistema pero considerando

que la fuerza elástica se comporta de forma lineal con respecto al desplazamiento. Ahora, en esta parte

del análisis se propone una forma más fiel a la realidad al considerar que la fuerza que ejerce el resorte

tiene una componente no lineal. Incorporar un término no lineal en la ecuación de movimiento generó

un cambio en la forma de resolver la ecuación diferencial que describe el sistema. Si bien la no

linealidad propone un planteo más realista de la física del problema, para encontrar una solución es

necesario proponer nuevas hipótesis de trabajo y técnicas de resolución de la ecuación diferencial. Es de esperar que solución de un sistema no lineal, por aproximada que sea, permitirá ajustar de forma

más precisa los parámetros para el diseño de un posible prototipo. También se pretende para un futuro

trabajo considerar no linealidades en otros componentes del sistema, como por ejemplo, en el factor de

amortiguamiento. MODELO MATEMÁTICO En el planteamiento de las ecuaciones de movimiento para el sistema esquematizado en la figura 1, se

consideró, para el resorte, que la fuerza de restitución es una función no lineal de la posición.

Matemáticamente esta consideración se traduce tener que resolver una ecuación diferencial no lineal y

por lo tanto se empleó “linealización estadística”.

06.86

En la realidad, la naturaleza de todo resorte es no lineal (aunque sea en una pequeña medida). Esta

consideración no es casual sino que muchos sistemas mecánicos se diseñan deliberadamente no

lineales, lo que pone el interés en los efectos de la no linealidad. En particular para sistemas mecánicos

sometidos a vibraciones es importante visualizar la influencia de la parte no lineal en la solución de las

ecuaciones. Teniendo en cuenta lo anterior, en lugar de expresar el módulo de la fuerza elástica de acuerdo a la Ley

de Hooke como donde es la constante del resorte y la compresión que sufre por efecto del

movimiento de la baldosa (Figura 1); se considera ahora que la función de la fuerza es no lineal

y como 0 0 en la posición de equilibrio 0 entonces es posible desarrollar en una

serie de potencias de la forma: ⋯ (1) La energía potencial acumulada en el resorte, responsable que el sistema se reinicie, es una función par

con respecto a la posición, entonces la fuerza restauradora del resorte deberá ser una función

impar con respecto a la posición, o sea 2ζω ⁄ y para la ecuación (1) esto se obtiene

considerando solamente los términos con exponente impar. Para la mayoría de los resortes una buena

aproximación es considerar solo dos términos de la ecuación (1), por lo tanto se considerará a la fuerza

expresada como: (2) Las ecuaciones de movimiento para el esquema de la figura 2, se obtuvieron planteando la segunda ley

de Newton al sistema mecánico, resultando la siguiente ecuación diferencial: 2ζω ω

η

(3) En la ecuación (3) se tiene que: ζ es frecuencia natural del sistema y 2ζω ⁄ donde ζ es

el coeficiente de amortiguamiento global del sistema y representa la excitación del sistema. Se

consideró que la excitación o señal de entrada (pisadas sobre la baldosa), es un fenómeno aleatorio,

estacionario, Gaussiano y con media cero, lo que genera una respuesta o salida con las mismas

características o sea la salida será Gaussiana, estacionaria y con media cero.

Figura 2: Esquema del sistema electromecánico, señal de entrada y principales componentes

06.87

La solución de la ecuación (3) se obtiene a partir de aplicar “linealización estadística”. Este método considera reemplazar el término no lineal ω( + η ) por la expresión ω y el coeficiente de

amortiguamiento queda expresado como: ζ = ζ ω ω⁄ entonces (3) se convierte en una ecuación lineal de la forma: + 2ζω + ω = − (4) El error entre considerar una formulación lineal y una no lineal se expresa como: = ω( + η ) − ω (5)

La frecuencia angular equivalente ω se determina minimizando la esperanza estadística del error

cuadrático entre ambas soluciones. Por lo tanto se obtiene de calcular:

!"#$[] = 0 ⇒ ω = ω

([).)(+,-)!)].!/

(6)

Aplicando la fórmula de Kosakov en el numerador (Roberts y Spanos, 2003) finalmente se obtiene para la siguiente expresión:

ω = ω(1 + 3ησ)) (7) La excitación (movimiento de la baldosa) del sistema es un fenómeno aleatorio, entonces:

σ) = 34 5 |7(8)|9:9 ;ω (8)

Siendo: 7(8) la función de transferencia del sistema que representa el cociente entre la salida (respuesta del sistema) y la entrada (excitación), 34 es la entrada y σ) la desviación estándar del desplazamiento. Aplicando análisis de Fourier se obtiene para la función de transferencia la siguiente expresión:

7(8) = :+<!"#:<!,=>"#?<"#<

(9)

de acuerdo a expresado por Crandall y Mark (1963) en la página 72, se obtiene para la ecuación (8):

@) =ABC

>"#?<D"# (10)

Reemplazando ζ = ζ ω ω⁄ y la ecuación (7) en (10) se obtiene:

ω) =E+,+-.!/FGH:+

I- (11)

y reemplazando (11) en (7) resulta para la frecuencia angular equivalente la expresión:

= [1 +E+,+JK!/FGH:+

] (12)

en (11) y (12) σ)L= representa la desviación estándar para el caso lineal o sea con η = 0 . Definiendo un factor de transformación G entre los dominios mecánico y eléctrico (Ospina y Salvo, Asades 2017) se obtiene la función de transferencia para la tensión en la carga, entonces:

06.88

7M(8ω NO

NO,NPQ

% !"#: !&=:R"#? "# (13)

Donde ST y SU representan la resistencia de carga (conectada a la salida del sistema) y la resistencia

de la bobina respectivamente, además ζ se determina como la suma de un factor de

amortiguamiento eléctrico y otro mecánico entonces:

(14) Por lo tanto la densidad espectral de la tensión en la carga se calcula como:

3MT |7M8|3V (15)

siendo 3V 34 la entrada del sistema y reemplazando (13) en esta ecuación se obtiene para la

densidad espectral la siguiente ecuación:

3MTω NO

NO,NWQ34

< <!"#⁄ !

+:XX"#

!!,XX"#

YZ[,

\!

[XH]O^]W!

(16)

en (16) es la masa de la baldosa, _` factor de calidad mecánico, ω la frecuencia natural de

oscilación (sin considerar la parte no lineal). A partir de la ecuación anterior es posible calcular el

valor medio de la tensión en la resistencia de carga, integrando (16), lo que también permite

determinar la potencia entregada por el sistema. Por lo tanto:

aTbbbb 5 3MT

9

:9;

NONO,NW

Q34 5 |78|9

:9; (17)

nuevamente aplicando Crandall y Mark (1963) se obtiene para la potencia generada en la resistencia

de carga así:

cTbbb BCNONO

NO,NWQ

d

R"#? "# (18)

La ecuación (18) completa la descripción total del sistema. Esta ecuación se relaciona con la

frecuencia natural de resonancia a partir de la ecuación (7) la cual también depende del factor de

escala η que define la no linealidad del sistema. Al final del trabajo en la tabla 2 se listan las variables empleadas en la resolución del problema y sus

respectivas unidades. RESULTADOS A partir de algunos valores típicos de las principales variables involucradas en las ecuaciones

deducidas anteriormente se procedió a determinar el comportamiento del sistema en función de la

frecuencia. Considerando valores numéricos para algunas variables (ver tabla 1) es posible mostrar gráficamente

el comportamiento de las soluciones deducidas. Los valores son estimativos pero constituyen una

primera aproximación para un posible diseño de un prototipo. La figura 3 muestra el resultado de la ecuación (16) en función de la frecuencia angular; las diferentes

curvas están parametrizadas (como se muestra en la gráfica) con respecto a la señal de entrada del

sistema 34. Todas las curvas se encuentran centradas alrededor de la frecuencia natural del sistema

06.89

∼ 3157 y lo mismo sucede con la figura 4 cuando se tiene en cuenta una mayor frecuencia de la

señal de entrada.

Variable Valor Observación

Factor de escala 5 m-2 Parámetro de diseño, puede ser modificado

Masa 0.00428 kg Del oscilador

Densidad espectral de entrada S0=0.0001 g2/Hz (*) Es el valor más bajo considerado

Factor de calidad Mecánico Qm =150 Pérdida de energía por oscilación

Constante del Resorte k = 427 N/m

Resistencia de la Bobina RC=10.1 Ω

Resistencia de Carga RL=100 Ω

Factor de transformación G = 0.057 T m mínimo, se consideró además otros valores

(*) representa las unidades de g (aceleración de la gravedad) – Ver tabla 2 al final.

Tabla 1: Valores representativos considerados en cálculo de las variables de salida

Figura 3: 3MT en la resistencia de carga para una señal de entrada 34 bajas

Si bien las curvas no se muestran, se ejecutó el programa de simulación para diferentes valores del

coeficiente que acompaña la parte no lineal del resorte (factor de escala) y a partir de los resultados

obtenidos las figuras 3 y 4 no se modifican sustancialmente como para concluir que la no linealidad

afecta al sistema, en otras palabras es posible afirmar en principio que el comportamiento del sistema

es independiente del parámetro η responsable de la no linealidad del sistema según lo propuesto en la

ecuación (2).

06.90

Figura 4: 3MT en la resistencia de carga para una señal de entrada 34 altos

Por otro parte analizando las ecuaciones (7) o (12), si el factor de escala influye muy poco en el

sistema entonces las frecuencias toman valores semejantes o sea g . La situación cambia en el

caso de que la señal de entrada sea grande y como se ve en la figura 4, los máximos de cada curva se

mueven a frecuencias mayores (no sucede esto a baja señales de entrada, figura 3). El corrimiento de

la frecuencia del máximo o pico de cada curva se debe a un aumento de la rigidez del resorte y esto es

una consecuencia inmediata de la no linealidad. En este caso el factor de escala se hace presente

cuando la señal de entrada toma valores grandes.

Figura 5: potencia entregada por el sistema en función de RL sistema no lineal

06.91

La figura 5 muestra la potencia generada por el sistema en función de la resistencia de carga. Estas

curvas se encuentran también parametrizadas con respecto al factor de transformación G2. A partir de

esta figura se puede evaluar posibles valores de RL. Los valores de potencia media expresados en

watts, son los valores generados por cada una de las bobinas que componen la baldosa, la cual podría

producir aproximadamente 2 mW. Entonces si el dispositivo es instalado en lugares donde la

frecuencia de entrada sea alta colocando varias baldosas, puede obtenerse suficiente energía para

iluminación (LED, semáforo) o cualquier otra aplicación de bajo consumo. En la figura 6 se muestra lo obtenido para la potencia media considerando la Ley de Hooke en forma

lineal (Ospina y Salvo, Asades 2017), análisis que en ese entonces permitiría generar en el orden de +

i. Es claro, a partir de la comparación de ambos gráficos, que considerar no linealidad hace que

los valores de la potencia obtenida es un orden mayor, lo que significa una mejor estimación de los

valores de energía obtenida.

Figura 6: potencia generada por el sistema en función de RL sistema lineal CONCLUSIONES El presente trabajo desarrollo las principales ecuaciones que representan y/o modelan un prototipo de

oscilador para obtener energía a partir del movimiento de una masa (pisadas). En este caso se

consideró un resorte no lineal como una forma de aproximación más realista y como primera

conclusión se obtuvo que el parámetro que determina la no linealidad del sistema influye muy poco en

los resultados finales, sobre todo si se compara lo obtenido con lo presentado anteriormente, Ospina,

Salvo (Asades 2017). Esta primera conclusión se ve modificada cuando se analiza valores la señal de entrada altos, lo que

también se aprecia en las gráficas de potencia entregada en la resistencia de carga. En vista de lo anterior, una nueva alternativa es sumarle a lo realizado un nuevo parámetro de no

linealidad en el factor de amortiguamiento del sistema. Es posible que se obtengan resultados más

refinados y mucho más cercanos a la realidad. De acuerdo a lo desarrollado a lo largo de este trabajo,

se cuenta con las herramientas matemáticas necesarias para encarar y solucionar ecuaciones

diferenciales no lineales.

06.92

Como aplicación, se pretende a futuro desarrollar algoritmos que permitan diseñar este tipo de mecanismos, los cuales en principio son fáciles de construir e implementar en lugares públicos (alto tránsito de personas). Finalmente es necesario aclarar que los valores obtenidos para la potencia, del orden de 2 mW, son los que en término generales producen un sistema como el presentado. Por otro lado este tipo de sistemas saca provecho de un fenómeno que por lo general se trata de evitar, las vibraciones, lo que lo convierte en una alternativa interesante a tener en cuenta. La siguiente tabla describe las abreviaturas y/o siglas referenciadas a lo largo del desarrollo de este trabajo.

Descripción Variable unidades Observación

Coeficiente de Amortiguamiento j adimensional coeficiente global

Densidad Espectral entrada 34 (m/s2)2/Hz - g2/Hz de aceleración

Densidad Espectral tensión 3MT V2/Hz tensión en la carga

Desplazamiento entrada y m (metros) en la baldosa

Desplazamiento salida z m (metros) en el resorte

Desviación Estándar @ unidades de la variable

Eficiencia adimensional

Error

Esperanza estadística $ unidades de la variable

Excitación del Sistema m/s2

Factor de Calidad Mecánico _` adimensional

Factor de no linealidad 1/m2

Factor de Transformación Q T m (Tesla metro)

Frecuencia equivalente 1/s (1/segundo) = Hz

Frecuencia Natural 1/s (1/segundo) = Hz

Fuerza Electromotriz f.e.m V (Volts)

Función de Transferencia 7(8) 1/Hz2

Aceleración de la gravedad g m/s^2

Masa m kg (kilogramos)

Potencia P W (watts) en mW

Potencia en la carga cT W en ST Resistencia de la bobina SU Ω (Ohm) del inductor

Resistencia de carga ST Ω (Ohm) en la salida

Tensión aT V (Volts) en ST

Tabla 2: principales variables del problema, significado y unidades

06.93

REFERENCIAS Crandall S. H. y Mark W. D., (1963). Random Vibration in Mechanical Systems, 1ra edición. Academic Press, New York and London. ISBN 1483255840 Dimarogonas A. y Haddad S., (1992). Vibration for Engineers, Prentice Hall Inc., ISBN:013-950841-4 Edwards C. H, Penney D. E., Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, cómputo y modelado, 4ta Edición, Pearson Educación - Prentice Hall, México 2009 ISBN: 978-970-26-1285-8 Ospina C, Salvo R. N. (2017). Modelización para aprovechar la energía cinética de las pisadas del hombre. Acta de la XLReunión de Trabajo de la Asociación Argentina de Energías Renovables y Ambiente, Vol. 5, pp. 08.11-08.18, 2017. Impreso en la Argentina. ISBN 978-987-29873-0-5 Preumont A., (1994). Random Vibration and Spectral Analysis, Springer Science Business Media Dordrecht Originally published by Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-94-017-2840-9 (eBook) Roberts J. D. y Spanos P. D., (2003). Random Vibration and Statistical Linearization, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-43240-8 Singiresu S. R., (2012). Vibraciones Mecánicas, 5ta Edición, Pearson Educación, México ISBN: 978-607-32-0952-6 To Cho W.S. (2012). Nonlinear Random Vibration Analytical Techniques and Applications, 2da Edition,CRC Press Taylor & Francis Group, ISBN: 978-1-4665-1284-9 (eBook) White G., (2010). Introducción al Análisis de Vibraciones, Azima DLI. ABSTRACT : In this work, the characteristic equations that define a collector system of electromagnetic energy are developed again. The system as in the previous work is composed of a spring, a coil and a permanent magnet. Also in the physical statement of the problem a damping coefficient (linear with speed) is introduced. The main difference with the previous work is that it was considered that the spring constant is a non-linear function of the position, which adds a term to the equations of motion. The proposed solution for the equations that describe the phenomenon are based on the statistical linearization technique. The equations that describe the system are presented and solved and the results obtained using Scilab are shown in the programming. Keywords: Kinetic energy, Conversion, random movement, electromechanical systems, statistical linearization.

06.94