APLICAES DE TRANSFORMADAS DE CLARK E PARK EM MQUINAS ELTRICAS

Diego Dias Pinheiro UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

CAMPUS PATO BRANCO e-mail: diego.npn@gmail.com

Resumo - O objetivo deste documento instruir os acadmicos que tem o interesse em adquirir maior conhecimento em simplificaes na modelagem de mquinas eltricas. Com o intuito de facilitar a modelagem foram desenvolvidas tcnicas baseadas em transformaes lineares, com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original.

Palavras-Chave Mquinas Eltricas, Modelagem, Transformadas Clark Park.

Abstract The purpose of this document is to instruct students who have interest in acquiring more knowledge simplifications in the modeling of electrical machines. Aiming to facilitate modeling techniques have been developed based on linear transformations, with the goal of establishing simpler models from the original model.

Keywords - Electrical Machines, Modeling, Transformed Clark Park.

I. INTRODUO

No estudo sobre mquina simtrica trifsica relaciona-se trs grandezas fundamentais: eltrica, magntica e mecnica. Atravs do circuito equivalente e equacionando sob a forma de matrizes de estado, resulta em um modelo onde engloba as dinmicas durante o seu funcionamento.

O circuito equivalente apresentado por (KRAUSE, WASUNCZUK, & SUDHOFF, 2002) na figura 1, sendo considerado apenas uma fase no sistema.

Figura 1- Circuito Equivalente por Fase. Para realizar o equacionamento da mquina, sem o uso

das transformadas. So necessrias algumas simplificaes na modelagem para diminuir a complexidade do modelo. Dentre as principais consideraes, destacam-se: Os trs enrolamentos estatricos so iguais entre

si;

Os trs enrolamentos rotricos so iguais entre si; Os ngulos eltricos entre os enrolamentos so iguais, tanto no estator como no rotor; O entreferro considerado constante; O circuito magntico considerado ideal. E a mquina no apresenta saturao.

Como conseqncia das hipteses de estudos adotadas, pode-se estabelecer o fluxo total na mquina dado conforme a Equao (1) (BARBI, 1984).

sendo o fluxo produzido pelo enrolamento i do rotor e o fluxo produzido pelo enrolamento i do estator. Outra considerao para o equacionamento de relevncia so os enrolamentos do estator e rotor, onde possuem indutncias prprias constantes. so constantes.

Realizando a simplificao, devido da igualdade dos enrolamentos, tem-se:

Como conseqncia da defasagem igual entre os enrolamentos tem-se:

Onde: Ms = Indutncia mtua entre dois enrolamentos do

estator. Mr = Indutncia mtua entre dois enrolamentos do

rotor.

Porm, as indutncias mtuas entre os enrolamentos do estator e rotor so funes senoidais do deslocamento angular .

Para realizar a modelagem sem o uso das transformadas, pode-se aplicar o uso das equaes diferenciais. Entretanto, como as equaes so no lineares, a resoluo torna-se complexa. Desta forma, em

geral, no so empregadas no estudo do comportamento das mquinas por equaes diferenciais.

Em (BARBI, 1984) demonstrado a deduo da modelagem do motor de induo atravs de equaes diferenciais. As Equaes (2-4) apresentam as tenses e o torque da mquina sem o uso de transformadas:

Por isso, foram desenvolvidas tcnicas baseadas em transformaes lineares, com o objetivo de estabelecer modelos simplificados do motor de induo. As transformadas de Clark e Park facilitaro a modelagem.

II. DESENVOLVIMENTO TERICO

A Transformada de Clark (0) Em termos matemticos a transformao 0, consiste

em uma transformao linear que diagonaliza as matrizes circulares simtricas, que aparecem na modelagem das mquinas eltricas.

Contudo, em termos fsicos, a transformao 0 a mudana de um sistema trifsico em um sistema bifsico, com mesma potncia mecnica, torque, velocidade e nmero de par de plos. comumente conhecida como transformao trifsico-bifsica (BARBI, 1984).

A Obteno da Transformao apresentada na figura 2:

Figura 2 - a) Sistema Trifsico b) Sistema Bifsico Equivalente.

O sistema trifsico contm os enrolamentos que compem a estrutura com n3 espiras figura 2a, e os que compem a estrutura bifsica possuem n2 espiras figura 2b.

A anlise da transformao de Clark inicialmente se basear pela grandeza de fora magnetomotriz, devido relao de espiras serem levada em considerao.

Uma corrente percorrida por um enrolamento produzir uma fora magnetomotriz F, conforme apresenta a Equao (5).

Portando, ser estabelecida uma transformao que permita encontrar F e F em funo de F1, F2 e F3, sendo que a estrutura bifsica produzir um efeito semelhante ao da estrutura trifsica.

Na figura 2a apresentado um sistema trifsico e sabendo que a transformada de Clark resulta em um sistema bifsico ortogonal com eixo imaginrio e eixo real , com referncia angular estatrica fixa ilustrado na figura 2b. Basta realizar a decomposio de vetores, resultando nas Equaes (6-7).

Atravs da forma de matriz equao (8):

Com o uso da Equao (5) tm-se as Equaes (9-10):

Substituindo as Equaes (9-10) na Equao (8), tem-se a relao de corrente da transformada de Clark:

A Equao (11) realiza a transformada de Clark. Porm, deste modo a recproca no verdadeira, devido no admitir matriz inversa.

Para que uma matriz tenha inversa, necessariamente deve estar no formato de matriz quadrada. Ento definida uma corrente i0 na Equao (11), contudo ela no produz torque ao sistema, se o mesmo estiver equilibrado. definida segundo a Expresso (12).

Com o termo is0, temos:

A matriz de transformao. Portanto foi definida como sendo Equao (14):

considerado a matriz de transformao de Clark, devido o sistema passar o modelo original trifsico para um sistema equivalente bifsico.

Assim como apresentada de forma quadrada na Equao (14) a recproca verdadeira, sendo possvel obter variveis do sistema trifsico a partir do sistema bifsico.

Os termos faltantes na Equao (14) podem ser encontrados da seguinte maneira: potncia constante ou tenso constante.

Neste trabalho ser utilizado com potncia constante. Condies para que a potncia seja invariante sob uma transformao, Equao (16).

Sejam as Equaes (17-18): As Equaes (17-18) representam os vetores tenso e

corrente transformadas pela matriz Portanto as matrizes da Equao (15) podem ser

expressas pelas Equaes (19-21):

Utilizando as Equaes (20-21) e substituindo na Equao (16), tem-se (22-26):

Deixando a potncia constante tem-se a seguinte equao para determinar os termos faltantes da matriz , conforme a Equao (26):

.

Fazendo a multiplicao de matrizes e isolando as variveis desejadas. Encontra-se as seguintes relaes.

Portanto:

Com a determinao dos termos que faltava para matriz de transformao, a Equao (27) apresenta a matriz completa de Clark.

Realizadas essas dedues chega-se na seguinte definio sobre a transformada de Clark na qual expressa nas Equaes (28-30):

Com a aplicao da matriz de transformao as grandezas de tenso, corrente, fluxo e FMM (fora magnetomotriz) do estator so simplificadas de um sistema trifsico para um sistema bifsico. Contudo, o eixo rotrico continua a girar mesmo com a aplicao da transformada de Clark. A seguinte transformada de Park levar em considerao o ngulo existente entre o estator e o rotor.

B Transformada de Park (dq0)

A transformada de Park a mais importante entre as transformaes, pois mesmo com a utilizao da transformada de Clark, os enrolamentos do rotor continuam a girar com velocidade .

A proposta de Park foi de tornar os enrolamentos do rotor estticos, ou melhor, enrolamentos do estator fixos e enrolamentos do rotor pseudo-estcionrios.

Convm informar que as variveis estatricas no sofreram a transformada de Park, pois so fixas. Portanto somente as variveis rotricas sofreram a ao de transformao.

Desta forma podem ser definidas as variveis do estator no eixo dq em relao aos eixos , pela Equao (31).

Para que a transformada seja possvel levado em considerao o ngulo existente entre os enrolamentos do rotor e os enrolamentos do estator, conforme apresenta a figura 3a e a figura 3b ilustram o resultado da transformao. Todos os enrolamentos so considerados idnticos.

Figura 3- a) Sistema de eixo 0, b)e a Transformao de Park.

Como na transformada de Clark o mesmo conceito aplicada na transformada de Park. Realizar a decomposio das correntes girantes segundo os eixos fixos, levando em considerao o ngulo entre o eixo em relao ao eixo dq. As Equaes (32-33) apresentam a decomposio:

Assim representando em forma de matriz pela Equao 34, tem-se:

Pode se estabelecer que a transformao de Park, permite converter um conjunto de enrolamentos girantes

em um conjunto de enrolamentos fixos, produzindo efeito semelhante. As correntes dos enrolamentos fixos tero freqncias diferentes das correntes dos enrolamentos girantes.

C - Generalizao da Transformao de Park

A transformada de Park da mquina eltrica simtrica pode ser referenciada para sistemas genricos.

Conforme, a figura 4 ilustra, onde os enrolamentos do estator S e S esto em repouso. Os enrolamentos do rotor, R e R giram com velocidade . Os eixos dq giram com velocidade . Todos os enrolamentos possuem o mesmo nmero de espiras. Fazendo as projees das foras magnetomoriz do rotor e do estator sobre o eixo de referncia dq, obtm-se as Expresses (35-38).

Figura 4- Transformada de Park segundo um Eixo Referencial.

Assim em matrizes as Equaes (39-40):

Alguns casos particulares, comumente empregados so os seguintes:

1 Referencial no estator ( = 0) 2 Referencial no rotor (

III. SIMULAO

A simulao foi realizada no software MATLAB. Onde o cdigo constitudo de tenses trifsicas Va,Vb,Vc. Sendo, realizada a transformada de Clark resultando em V e V. Contudo, foram utilizados o referencial sncrono ou estatrico para obter as tenses constantes Vd e Vq. Portanto, girando na velocidade sncrona do sistema. A figura 5 apresenta as transformaes conforme descrito.

No apndice A apresentado o cdigo da simulao das transformadas em .m.

Figura 5 - Simulao em Matlab das Transformadas.

IV. CONCLUSES As aplicaes das transformadas de Clark e Park na rea de mquinas eltricas so de grande importncia, onde facilita o equacionamento e a modelagem. Com a realizao da simulao das transformadas, o entendimento foi satisfatrio, pois foi possvel analisar o procedimento e o comportamento das transformadas.

REFERNCIAS [1] KRAUSE, P. C., WASUNCZUK, O., & SUDHOFF, S. D. (2002). Analysis of Electric Machinery and Drive System. IEEE Press & Wiley Interscience . [2] BARBI, I. (1984). Teoria Fundamental do Motor de

Induo. Florianpolis : UFSC/ELETROBRS.

Apndice

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

-0.5

0

0.5

1Tenses Trifsicas

t(s)

Tenso

(V)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1

0

1

2Tenses Bifsicas

t(s)

Tenso

(V)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.5

0

0.5

1

1.5Tenses Constantes

t(s)

Tenso

(V)

VaVbVc

ValfaVbeta

VdVq

%% Algoritmo para realizao das

Transformadas de Clarke e Park.

% Autor: Diego Dias Pinheiro

clear all;

clc;

f = 60;

T = 1/f;

Tt = 0.1;

nps = 1000;

Ts = Tt/nps;

t = 0:Ts:Tt;

w = 2*pi*f;

% Inicializando as variveis de Tenso

Vabc = zeros(3,nps+1);

Vab = zeros(3,nps+1);

Vdq = zeros(2,nps+1);

%% Simulao

phi = 0;

Vm = 1; % Tenso com magnitude 1.

for k=1:nps

% Gerando Sinal de Tenso Trifsico.

Vabc(:,k) =[Vm*cos(w*t(k)+phi);

Vm*cos(w*t(k)+(2*pi/3)+phi);

Vm*cos(w*t(k)+(4*pi/3)+phi)];

% Transformada de Clark Kab = sqrt(2/3)*[1 -0.5 -0.5 0 sqrt(3)/2 -sqrt(3)/2 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 1/sqrt(2)]; Vab(:,k) = Kab*Vabc(:,k); teta = w*t; %Rerencial Sncrono

% Transformada de Park Kdq = [cos(teta(k)) -sin(teta(k)) sin(teta(k)) cos(teta(k))]; Vdq(:,k) = Kdq*Vab(1:2,k); end