arte y matemáticas
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Razón áurea
I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
Salvador DalíEsta obra se puede considerar como un
homenaje al Número de oro. No sólo se
puede descomponer el cuadro en una
serie de rectángulos áureos sino, que
además, los diferentes elementos del
cuadro, son la llave que permite
reconstruirlos estos rectángulos. A
partir de la “taza”, se obtiene una
sucesión de rectángulos áureos que nos
llevan a una espiral áurea que acaba
en la sombra negra de la parte alta del
cuadro. Por otra parte, ese “anexo
inexplicable” del título que sale del “asa
de la taza” y que obliga a prolongar el cuadro hacia arriba, es en realidad
totalmente explicable: resulta que las dimensiones del cuadro están en
proporción áurea
Razón áurea
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También la arquitectura y la escultura se han visto influidas por la
razón áurea. Ejemplos de ello son la armonía de la estructura de la
Catedral de Notre-Dame en París, y en el Partenon en Grecia en donde
encontramos múltiples referencias de la razón áurea.
En lo que respecta a la escultura
existen relaciones basadas en la sección
áurea en algunas de las más célebres
estatuas griegas como el Hermes de
Praxíiteles (390 - 330 a. C.). También
la Venus de Milo de Boticelli respeta la
razón áurea aunque la aplica un poco
más libremente.
Simetría
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Las simetrías han sido utilizadas desde la antigüedad
por diversas civilizaciones. Los sumerios fueron
particularmente aficionados a la simetría bilateral, de
esto hay gran variedad de ejemplos.
También nuestras poblaciones indígenas se valen de la
simetría para la decoración de diversos objetos como las
cestas. La imagen nos da un excelente ejemplo de ello.
Simetrías de traslación, rotación y axial.
Utilizando un motivo y por repetición del mismo, mediante
simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con
los cuales se pueden se pueden realizar ornamentaciones.
Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una faja, se
obtienen los frisos y si se recubre una parte del plano, sin dejar
“huecos” ni superponerse, se obtienen mosaico o teselaciones.
También hay diseños denominados grupos puntales de Leonardo
(en honor a Leonardo Da Vinci).
El arte islámico es muy rico en diseños geométricos. Entre estos,
los árabes decoraron sus palacios con una gran variedad de
ornamentos construidos a partir de figuras geométricas mediante
su repetición y acoplamiento. Este arte islámico tiene su mayor
exponente en la Alhambra de Granada.
El artista holandés M. C. Escher, inspirado en el embaldosado de la
Alhambra en España, aprendió a usar traslaciones, rotaciones y
reflexiones para cambiar la forma de los triángulos equiláteros,
paralelogramos y hexágonos regulares en figuras como pájaros, peces
y reptiles que también sirvieran para enbaldosar
Geometría proyectiva
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Durero (1471 - 1528) es el artista con mejor base matemática, racionaliza estos procedimientos en
“Institutionum geometricarum...” Donde analiza el alargamiento de los objetos alejados.
Girard Desargues (1593 - 1662), considerado como el padre de la geometría proyectiva. Arquitecto,
utilizó por primera vez la idea de “puntos del infinito” (ideal original de Kepler) en un tratado sobre las
secciones cónicas.
En el siglo XVII destacan también Pascal, y de la Hire, pero la geometría proyectiva fue abandonada en
favor de la geometría analítica hasta el siglo XIX.
Dalí conocía perfectamente la geometría en
muchos sentidos, era un maestro de las formas
precisas y de la geometría descriptiva, y podía
realizar precisos estudios arquitectónicos basados
en estructuras matemáticas.
Conocía perfectamente la perspectiva, razón
por la cual después la podía distorsionar muy
bien.
Estudio para el bailet “Coloquio sentimental”. 1944.
Óleo sobre lienzo. San Petesburgo (Florida).
Museo Salvador Dalí.
“Carne de gallina inaugural”. 1928.
Óleo sobre cartón.
Figueras, Fundación Gala-Salvador Dalí
Geometría Fractal
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Dalí parece ser el primer artista que pintó un
fractal: era su visión de la guerra.
En esta obra los ojos y la boca contienen una cara,
cuyos ojos y boca contienen, a su vez, , una cara cuyos
ojos y boca contienen una
cara. Es un ejemplo obvio
de fractal en el arte.
Un análisis del trabajo
revela que el fractal
representado es el llamado“Polvo de Cantor”, generado por tres contacciones con factor de contracción
aproximado de 0.21, y de dimensión Hausdorff 0.705. Pertenece a los triángulos
de Siersponski.
Fractales y computadoras
La representación de un conjunto fractal requiere del empleo de la informática. Una pequeña imagen,
por ejemplo de 640x480 píxeles, contiene 307.200 puntos que deben ser calculados. Cada uno de estos puntos
puede requerir ser calculado por la fórmula que determina el fractal unas 1.000 veces. Esto implica que la
fórmula ha de ser calculada más de 300 millones de veces. Y esto sólo para una imagen de pequeñas
dimensiones. Algunas de las imágenes de gran formato que he elaborado para exposiciones han requerido
más de un billón de cálculos y, consecuentemente, varios días de cálculo.
Para calcular una imagen a partir de una fórmula se sigue el método conocido como iteración. Este
proceso consiste en calcular una fórmula repetidas veces a partir de un valor inicial. En el caso de los
fractales este valor inicial estará relacionado con cada punto del plano o del espacio que necesitemos calcular
y vendrá dado en función de su posición geométrica. Una vez calculada la fórmula por primera vez,
tomamos el valor resultante y volvemos a introducirlo en la fórmula. El nuevo resultado se vuelve a
calcular y así sucesivamente. Esto es lo que se conoce como iteración.
Si se continúa este proceso, basta con observar que ocurre y asignar un color en función de los resultados.
En algunas ocasiones los números parecen “explotar” en la fórmula y avanzan rápidamente hacia el
infinito, en otros casos convergen hacia un valor finito y otras veces se estabilizan en ciclos que se repiten
Geometría Fractal
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Algoritmo de los enteros GaussianosUn entero Gaussiano es un número complejo cuyo
componente real e imaginario son ambos enteros. El
algoritmo calcula la distancia de cada zn al entero
Gaussiano más cercano, y entonces lo colorea
basándose en la menor distancia obtenida en la
iteración. Conceptualmente, este método es similar
a una captura de órbitas, donde la trampa T
(definida como un punto) se repite a lo largo del
plano complejo en una malla regular coincidente con
los enteros Gaussianos. Percibido de esta manera, es
claro que esta técnica puede ser extendida a cualquierotra forma T, con diferentes espaciados, e incluso mayas no rectangulares, como las radiales o las
triangulares.
Algoritmo de movimiento Browniano Fractales multicapa
El movimiento
Browniano, ese
movimiento pseudo
caótico que se produce
en las partículas de
polvo suspendidas en
el aire o en el agua
turbia, ha sido
transportado al campo
de los fractales con
gran éxito. Gracias a
este movimiento seconsiguen tramas y texturas de gran realismo que son
profusamente utilizadas como fondo de las imágenes o
como textura para los motivos en primer plano.
Hoy en día la técnica
más relevante de
creación artística
consiste en combinar
varios de los algoritmos
aquí descritos en capas
que se superponen
como si fueran
transparencias a
través de la luz de un
proyector. Al resultado
lo denominamos
fractales multicapa,Con unas posibilidades de combinación prácticamente
inagotables.
Arquitectura
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Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente la Matemática, ha estado presente en la
Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde
guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar o mantenerse alejado de sus enemigos. Presencia
que a lo largo de la historia nos ha dejado obras de gran belleza.
La Catenaria
Es la forma que adopta una cuerda o cadena cuando se cuelga de dos puntos y sólo soporta su propio peso.
Gaudí utiliza los arcos catenarios en el Colegio de las Teresianas (1889
en la casa Batlló (1904-1906), en la casa Milá, "La Pedrera" (1905-1910),
Iglesias de la Colonia Güell y de la Sagrada Familia.
Arquitectura
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La Esfera
La esfera y la circunferencia se han considerado desde la antigüedad como símbolos de perfección, en gran
medida por su simetría, considerándose por ello en ocasiones como símbolos de lo divino.
Cúpulas de Foro Rotunda, Kaiser del Auditorio de Honolulu y Union Tank Car Company en Baton Rouge.
El Cilindro
El cilindro es la superficie reglada formada por las rectas que pasan por una circunferencia y son
perpendiculares al plano que la contiene. Mucho podríamos decir sobre el cilindro y construcciones en las que
se utiliza; sin ir más lejos, es una forma habitual en bóvedas y cubiertas.
El Toro
Arquitectura
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El toro es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una circunferencia alrededor de una
recta que no corta a la circunferencia.
Museo Americano de
Aire (Duxford,
Reino Unido).
El Cono
El cono es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en una curva plana (por ejemplo, la
circunferencia) y en un punto exterior al plano.
Proyecto de Torre del Milenio (Tokio, Japón).
Arquitectura
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El Hiperboloide de una hoja
El hiperboloide es una superficie de revolución. Consideremos una hipérbola; si la hacemos rotar respecto a
la recta perpendicular que es eje de simetría de la hipérbola obtenemos el hiperboloide de una hoja.
A. Gaudí: De izquierda a
derecha, capiteles del Palau Güell, bóveda para giro de
carruajes del Parc Güell; techos de las naves y
ventanales del templo de la Sagrada Familia.
El Paraboloide hiperbólico
El paraboloide hiperbólico es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma
ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (por ejemplo, haciendo que las rectas generadoras sean
todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices).
Catedral Metropolitana,
Brasilia, Brasil.
Iglesia de San José Obrero,
Monterrey, México
Restaurante del Parque
Oceanográfico de la Ciudad
de las Artes y de las
Ciencias de Valencia.