Utilización del MATLAB para el diseño de agrupaciones de antenas de dipolos teniendo en

cuenta los efectos de acoplo mutuo J. A. Rodríguez F. Ares E. Moreno

Dept. Física Aplicada Dept. Física Aplicada Dept. Física Aplicada Universidad de Santiago de Compostela, 15782 Coruña

Universidad de Santiago de Compostela, 15782 Coruña

Universidad de Santiago de Compostela, 15782 Coruña

e-mail: fatony@usc.es e-mail: faares@usc.es e-mail: famoreno@usc.es

Abstract- A procedure to design simple dipole array antennas is described. Relations are obtained involving active input impedances of individual dipoles (thus recognizing the effects of mutual coupling) and the radiating currents in the dipoles. These relations permit the establishment of a design procedure with the goals of an input impedance match and a desired radiation pattern. A MATLAB M-code program, that implements the method, is supplied.

I. INTRODUCCIÓN

La mayoría de los libros de texto sobre la teoría de antenas [1-2], describen diversos métodos de síntesis de agrupaciones de antenas, los cuales permiten calcular las posiciones y/o excitaciones de cada uno de los elementos radiantes con el fin de conseguir el diagrama de radiación deseado. Sin embargo, estos textos suelen ser poco didácticos a la hora de abordar el diseño de la red de alimentación de la antena, puesto que no proponen un procedimiento claro, limitándose, en muchos casos, a desarrollar la formulación necesaria para el cálculo del acoplo mutuo entre los elementos radiantes.

El libro de Elliott [3] trata desde un punto de vista académico este problema, sin embargo, no pone claramente de manifiesto las condiciones que debe verificar el diseño de toda red de alimentación de una agrupación de antenas, algo que si hace el trabajo desarrollado por Elliott y Stern [4] para el caso de agrupaciones de dipolos “microstrip”.

En este artículo se presenta un método de diseño de agrupaciones lineales de antenas, que teniendo en cuenta el acoplo mutuo entre elementos radiantes, muestra al alumno los objetivos que deben alcanzar un buen diseño de la red de alimentación: la adaptación de impedancias (con el fin de que la potencia transmitida sea máxima) y la condición de diagrama de radiación (con el fin de cada uno de los elementos radiantes circule la excitación relativa calculada en el proceso de síntesis). El método propuesto utiliza un conjunto de dipolos paralelos alimentados por cables coaxiales, lo que simplifica notablemente la implementación de la antena. Además, dicho método se ha implementado en MATLAB [5], lo que permite al alumno calcular los parámetros de diseño de forma sencilla, tanto si se sitúa un plano a tierra detrás de los dipolos o no.

II. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Consideremos un conjunto de N dipolos paralelos alimentados centralmente, separados una distancia d=λ/2 y conectados a la línea de alimentación principal (con una impedancia característica ml

oZ ) mediante transformadores λ/4 formados por cables coaxiales.

Es posible minimizar la radiación hacia atrás situando un plano a tierra a una distancia h de los dipolos. Para valores prácticos de h (h≤λ/4), el principio de las imágenes es aplicable incluso para un plano a tierra finito, el cual, a efectos del análisis, puede ser reemplazado por un array virtual paralelo e idéntico al array real pero desfasado 180º en su excitación.

Denotaremos mediante In la corriente que circula por el dipolo n-ésimo, con la condición de que estas corrientes deben encontrarse en fase. Dichas corrientes, que caracterizarán el diagrama de radiación de la antena, pueden obtenerse fácilmente mediante un método de síntesis como, por ejemplo, el de Orchard-Elliott [6].

El método desarrollado permitirá calcular las longitudes de los dipolos {ln} y las impedancias características de los transformadores { }bl

nZ con el fin de que la antena irradie el diagrama deseado de forma eficiente.

A. Cálculo de las longitudes de los dipolos. El cálculo de las longitudes de los dipolos se realiza

mediante un método iterativo. El objetivo es calcular las longitudes que debe tener cada dipolo para que las impedancias activas sean reales (condición que, como veremos, es necesaria para la adaptación de impedancias), las cuales vienen dadas mediante la siguiente expresión:

En una primera iteración, se calcula el término de acoplo

mutuo ( )BnZ suponiendo que los dipolos tienen una longitud

λ/2, puesto que estas longitudes no influyen notablemente en el cálculo de las impedancias mutuas ( )nmZ . Posteriormente, se calculan las longitudes que deben tener los dipolos para que la parte imaginaria del término de autoimpedancia

1

NA Bmn nn nm nn n

m nm n

IZ Z Z Z Z

I=≠

= + = +∑ (1)

( )nnZ cancele la parte imaginaria del término de acoplo mutuo, con el fin de que las impedancias activas sean reales. El proceso se itera calculando el término de acoplo mutuo con las longitudes obtenidas y calculando unas nuevas longitudes hasta que éstas no varíen con respecto a las obtenidas en la iteración previa. La convergencia del algoritmo es muy rápida, requiriendo pocas iteraciones.

La autoimpedancia del dipolo n-ésimo, de longitud 2ln y radio a, se calcula utilizando la siguiente expresión:

en donde k=2π/λ es el número de onda. Esta expresión, obtenida por Elliott [3] ajustando las funciones de Tai [7] a polinomios de segundo grado, solamente es válida para dipolos cuyo radio verifica que 0.001588<a/λ<0.009525 y cuya longitud se encuentra en el intervalo [1.3/k,1.7/k]. Si fuera necesario, podrían emplearse dipolos cuyas dimensiones excediesen esos límites, utilizando una mejora a la solución de King-Middleton de segundo orden para el cálculo de la autoimpedancia [8].

La impedancia mutua entre dos dipolos m y n paralelos al eje z, de longitudes 2lm y 2lm y con sus centros situados en las posiciones (xm, ym, zm) y (xn, yn, zn) se calcula utilizando la siguiente expresión [3]:

siendo:

En el caso de que se sitúe el plano a tierra detrás de los

dipolos, el procedimiento es el mismo, variando solamente el modo de calcular la autoimpedancia y la impedancia mutua. Así, la autoimpedancia de un dipolo en presencia del plano a tierra es igual a la autoimpedancia del dipolo aislado menos la impedancia mutua del dipolo con su imagen. Por otro lado, la impedancia mutua de dos dipolos en presencia del plano a tierra es igual a la impedancia mutua de dichos dipolos aislados menos la impedancia mutua de uno de los dipolos con la imagen del otro.

Fig. 1. Esquema de la red de alimentación de la antena.

B. Cálculo de las impedancias características de los transformadores.

Las longitudes calculadas en la etapa anterior aseguran que las impedancias activas de cada uno de los dipolos sean reales, esto es, A A

n nZ R= ∈ . Puesto que los dipolos se encuentran conectados a la línea de alimentación principal mediante transformadores λ/4 (Fig. 1), las resistencias activas A

nR se transforman en:

de modo que Rn es la impedancia de entrada de la rama n-ésima conectada a la línea principal. En la Fig. 2 se muestra el circuito equivalente.

Fig. 2. Circuito equivalente de la red de alimentación de la antena.

Puesto que la separación entre los dipolos es de λ/2, la

impedancia entre los terminales AB debida a los N obstáculos en paralelo viene dada por:

en donde Gn=1/Rn denota la conductancia de la rama n-ésima.

El primer objetivo que debe cumplir el diseño para asegurar que la radiación sea eficiente es la adaptación de impedancias a la línea principal. Esto implica que la impedancia a la entrada de la línea principal debe ser igual a la impedancia característica de dicha línea ( ),ml

in oZ Z= de donde:

siendo 1/ml mlo oG Z= la conductancia de la línea principal.

El segundo requisito que debe verificar es la llamada condición de diagrama de radiación, con el fin de que por cada uno de los dipolos circule la corriente relativa calculada en el proceso de síntesis (In).

En la Fig. 2, nI ′ denota la corriente que circula por la rama n-ésima a la entrada del transformador. La relación entre dicha corriente y la corriente que circula por el dipolo n-ésimo está dada por:

Utilizando (5) y (8) se llega a que:

El voltaje se desfasa 180º de una rama a otra debido a que éstas están separadas λ/2. Denotando por Vo el voltaje en

2

2

[122.65 204.1 110( ) ] [120{ln(2 / ) 1}cot( ) 162.5 140 40( ) ]

nn n n

n n n n

Z kl kl jl a kl kl kl

= − + −− − + −

(2)

1 2

1 2

30 2cossin sin

sin[ ( | |)

n

n

l jkr jkr jkr

mn nm n l

n

j e e eZ klkl kl r r r

k l dζ ζ

− − −

−

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎠⎝−

∫

(3)

12

12

12

2 2 2

2 2 21

2 2 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m n m n m n

m n m n m n n

m n m n m n n

r x x y y z z

r x x y y z z l

r x x y y z z l

ζ

ζ

ζ

⎡ ⎤= − + − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + − + +⎣ ⎦

(4)

2( )bln

n An

ZR

R= (5)

1 1

1 1N N

nn nAB n

GZ R= =

= =∑ ∑ (6)

1

Nmlo n

n

G G=

= ∑ (condición de adaptación) (7)

cos sin4 4

A An n

n n nbl bln n

R RI I j jI

Z Zβλ βλ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (8)

2 2An

n nn

RI I

R′ = (9)

la rama 1 (terminales AB), el voltaje en la rama n-ésima está dado por Vn=(-1)n+1Vo. Por ello, las corrientes que circulan por cada rama también estarán desfasadas 180º, lo que hace necesario invertir los terminales de alimentación a la hora de conectar los dipolos para que las corrientes que pasan por ellos estén en fase. Teniendo en cuenta esto, el valor absoluto de la corriente que pasa por la rama n-ésima puede deducirse de la ley de Ohm:

Elevando al cuadrado la expresión anterior y utilizando (9) tenemos que:

Para eliminar la dependencia con Vo, evaluamos la expresión anterior las ramas n y m y dividimos ambas expresiones:

de donde obtenemos la condición que ha de cumplirse para que por cada dipolo circule la corriente teórica:

Tomando m=N en la expresión anterior y sumando la contribución de todos los dipolos se obtiene:

Utilizando la condición de adaptación (7), se verifica:

Mediante las dos últimas expresiones resulta sencillo calcular NG . Posteriormente, se utiliza la condición de diagrama (13) para obtener el resto de las conductancias de cada rama:

Finalmente, se utiliza (5) para calcular las impedancias características de cada transformador:

Una vez obtenidas las impedancias características, es posible calcular las dimensiones de los cables coaxiales utilizando la expresión:

siendo εr la permitividad relativa del dieléctrico del cable coaxial.

III. LISTADO DEL PROGRAMA EN MATLAB

A continuación, se presenta el listado del programa en MATLAB que implementa el método descrito. Todas las distancias y longitudes que se utilizan en el programa están expresadas en unidades de longitud de onda. function [Ln,Za,G_i,Zo_bl,b_a]=dipoles(N,In,Zo,dip_radius,h)

% Objetivo: Diseño de una agrupación de dipolos % Entrada: - N: número de dipolos % - In: excitaciones deseadas % - Zo: impedancia característica de la línea principal % - dip_radius: radio de los dipolos % - h: distancia al plano de tierra (h=0 ↔ no hay plano) % Salida: - Ln: longitudes de los dipolos % - Za: impedancias activas de los dipolos % - G_i: conductancias de cada rama % - Zo_bl: impedancias características de cada transformador % - b_a: cociente b/a de los cables coaxiales de cada transf. Go_ML=1/Zo; %Cálculo de las longitudes que hacen las impedancias activas reales [Ln,Za]=calc_Ln(N,In,h,dip_radius,1e-3); %Cálculo de las conductancias de cada elemento después del transformador G_i=(In.*In).*real(Za)*Go_ML/((In.*In)*real(Za).'); %Cálculo de las impedancias características de cada uno de los transformadores Zo_bl=sqrt(real(Za)./G_i); %Dimensiones de los cables coaxiales de cada transformador (asumo dieléctrico=aire) b_a=exp(Zo_bl/60); %Represento el diagrama de radiación y=0:0.5:N/2-0.5; %Posiciones de los dipolos theta=-90:1:90; for i=1:length(theta), power_pat(i)=pattern(theta(i),90,N,In,Ln,y,h); end; plot(theta,power_pat-max(power_pat),'r-'); axis([-90 90 -50 0]); ylabel('Power pattern (dB)'); xlabel('theta (degrees)'); grid on; function [Ln,Za]=calc_Ln(N,In,h,dip_radius,error) % Objetivo: Cálculo de las longitudes de los dipolos % Entrada: - N: número de dipolos % - In: excitaciones deseadas % - h: distancia al plano de tierra % - dip_radius: radio de los dipolos % - error: precisión en el cálculo de las longitudes % Salida: - Ln: longitudes de los dipolos % - Za: impedancias activas de los dipolos Ln=0.5*ones(1,N); %Longitudes del dipolo iniciales delta=1e+10; while (delta>error) %Cálculo de impedancias activas sin considerar la autoimpedancia Za=calc_Za(N,In,Ln,h,dip_radius,0);

%Cálculo de las longitudes: se asume que los términos de impedancia mutua varían muy poco con las longitudes de los dipolos

f=inline('imag(calc_Zii(x,r))+Xa','x','r','Xa'); for i=1:N, Ln(i)=fsolve(f,0.5,optimset('Display','off'),dip_radius,imag(Za(i))); end;

%Cálculo de las impedancias activas utilizando las longitudes de los dipolos

Za=calc_Za(N,In,Ln,h,dip_radius,1); delta=imag(Za)*imag(Za)'; end function Za=calc_Za(N,In,Ln,h,dip_radius,v) % Objetivo: Cálculo de las impedancias activas

00

nn n

n n

V VI V G

R R′ = = = (10)

2 2 20

An

n nn

RV G IR

= (11)

2 2 2

2 2 2

A An n n m n n n

A Am m m n m m m

G I R R I R GG I R R I R G

= = (12)

2

2

An n n

Am m m

G I RG I R

= (condición de diagrama) (13)

2

1 1

AN Nn n n

An nN N N

G I R GG I R= =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (14)

1

mlNml o

n N o Nn

GG G G G GG=

= = ⇒ =∑ (15)

2 An n

n NAN N

I RG GI R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(16)

bl An n nZ R G= (17)

60 lnbl nn

nr

bZaε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (18)

% Entrada: - N: número de dipolos % - In: excitaciones deseadas % - Ln: longitudes de los dipolos % - h: distancia al plano de tierra (h=0 ↔ no hay plano) % - dip_radius: radio de los dipolos % - v: si vale 0 no se considera la autoimpedancia % Salida: - Za: impedancias activas de los dipolos Z=zeros(N,N); for i=1:N, for j=i:N, d1=0.5*(j-i); %Distancia entre el dipolo i y j if (h~=0) %Impedancia mutua entre la imagen del dipolo i y el dipolo j Zi_image_j=calc_Zij(sqrt(d1^2+4*h^2),0,Ln(i),Ln(j)); else Zi_image_j=0; %No se considera el plano a tierra end; if (i~=j)

%Impedancia mutua entre los dipolos i y j menos la impedancia mutua entre la imagen del dipolo i y el dipolo j

Z(i,j)=calc_Zij(d1,0,Ln(i),Ln(j))-Zi_image_j; Z(j,i)=Z(i,j); else Z(i,i)=v*calc_Zii(Ln(i),dip_radius)-Zi_image_j; end end end %Cálculo de las impedancias activas Za=In*Z.'./In; function Zij=calc_Zij(y,z,L1,L2) % Objetivo: Cálculo de las impedancias mutuas % Entrada: - y: distancia (medida en horizontal) entre los dipolos % - z: distancia (medida en horizontal) entre los dipolos % - L1 y L2: longitudes de los dipolos % Salida: - Zij: impedancias mutuas de los dipolos L1=L1/2; L2=L2/2; Zij=j*30/(sin(2*pi*L1)*sin(2*pi*L2))*quad(@int_Zij,-L2,L2,1e-6,0,y,z,L1,L2); function c=int_Zij(eta,y,z,L1,L2) k=2*pi; r=sqrt(y^2+(z+eta).*(z+eta)); r1=sqrt(y^2+(z+eta-L1).*(z+eta-L1)); r2=sqrt(y^2+(z+eta+L1).*(z+eta+L1)); c=(exp(-j*k*r1)/r1+exp(-j*k*r2)/r2-2*cos(k*L1)*exp(-j*k*r)/r)*sin(k*(L2-abs(eta))); function Zii=calc_Zii(L,a) % Objetivo: Cálculo de la autoimpedancia % Entrada: - L: longitud del dipolo % - a: radio del dipolo % Salida: - Zii: autoimpedancia L=L/2; kl=2*pi*L; Zii=(122.65-204.1*kl+110*kl^2)-j*(120*(log(2*L/a)-1)*cot(kl)-162.5+140*kl-40*kl^2); function dB=pattern(theta,phi,N,In,Ln,y,h); % Objetivo: Cálculo del diagrama en potencia % Entrada: - theta, phi: coordenadas del punto

% - N: nº de dipolos % - In: excitaciones de los dipolos % - y: posiciones de los dipolos % - h: distancia al plano de tierra % Salida: - dB: diagrama de radiación expresado en dB theta=theta*pi/180; phi=phi*pi/180; F=In.*Fe(theta,phi,Ln,h)*exp(j*2*pi*sin(theta)*sin(phi)*y).'; dB=20*log10(abs(F)); function r=Fe(theta,phi,L,h) k=2*pi; if (h~=0) r=sin(k*h*cos(theta))*(cos(k*L/2*sin(theta)*cos(phi))-cos(k*L/2))/sqrt(1-sin(theta)^2*cos(phi)^2); else r=(cos(k*L/2*sin(theta)*cos(phi))-cos(k*L/2))/sqrt(1-sin(theta).^2*cos(phi).^2); end;

IV. CONCLUSIONES

Se ha descrito un método que permite el diseño de una agrupación de dipolos paralelos considerando los efectos de acoplo mutuo. Dicho método se ha implementado en MATLAB de forma que el alumno pueda calcular los parámetros de diseño de forma sencilla.

AGRADECIMIENTOS

Los autores quieren agradecer el soporte económico del Ministerio de Ciencia y Tecnología bajo el proyecto TIC2002-04084-C03-02.

REFERENCIAS [1] C. A. Balanis, “Antenna Theory. Analysis and Design”, 2nd ed., New

York: Wiley, 1997 [2] W. L. Stutzmann and G. A. Thiele, “Antenna Theory and Design”, 2nd

ed., New York: Wiley, 1998 [3] R. S. Elliott, “Antenna Theory and Design”, Revised ed., New Jersey:

Wiley, 2003 [4] R. S. Elliott and G. J. Stern, “The design of microstrip dipole arrays

including mutual coupling, Part I: Theory”, IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. AP-29, No. 5, pp. 757-760, 1981

[5] The MATLAB Group, Inc., “Help menu in MATLAB 6.5 (PDF document)”, 2002.

[6] H. J. Orchard, R. S. Elliott, and G. J. Stern, “Optimizing the synthesis of shaped beam antenna patterns”, IEE Proc., Vol. 132, Pt. H, No. 1, pp. 63-68, 1985

[7] C. T. Tai, “Antenna engineering handbook”, 2nd ed., Chapter 4, New York: McGraw-Hill, 1984

[8] R. W. P. King, E. A. Aronson, and C. W. Harrison, Jr., “Determination of the admittance and effective length of cylindrical antennas”, Radio Science, Vol. 1, pp. 835-850, 1966