Arquímedes

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C. - id., 212 a.C.) Matemático griego.

Los grandes progresos de las matemáticas y la astronomía del helenismo son

deudores, en buena medida, de los avances científicos anteriores y del legado

del saber oriental, pero también de las nuevas oportunidades que brindaba el

mundo helenístico. En los inicios de la época helenística se sitúa Euclides,

quien legó a la posteridad una prolífica obra de síntesis de los conocimientos

de su tiempo que afortunadamente se conservó casi íntegra y se convirtió en

un referente casi indispensable hasta la Edad Contemporánea.

Pero el más célebre y prestigioso matemático fue Arquímedes. Sus

escritos, de los que se han conservado una decena, son prueba elocuente del

carácter polifacético de su saber científico. Hijo del astrónomo Fidias, quien

probablemente le introdujo en las matemáticas, aprendió de su padre los

elementos de aquella disciplina en la que estaba destinado a superar a todos

los matemáticos antiguos, hasta el punto de aparecer como prodigioso,

"divino", incluso para los fundadores de la ciencia moderna.

Sus estudios se perfeccionaron en aquel gran centro de la cultura

helenística que era la Alejandría de los Tolomeos, en donde Arquímedes fue,

hacia el año 243 a.C., discípulo del astrónomo y matemático Conón de Samos,

por el que siempre tuvo respeto y admiración.

Allí, después de aprender la no despreciable cultura matemática de la

escuela (hacía poco que había muerto el gran Euclides), estrechó relaciones de

amistad con otros grandes matemáticos, entre los cuales figuraba Eratóstenes,

con el que mantuvo siempre correspondencia, incluso después de su regreso a

Sicilia. A Eratóstenes dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su

genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba»

imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor.

Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.

Al parecer, más tarde volvió a Egipto durante algún tiempo como

"ingeniero" de Tolomeo, y diseñó allí su primer gran invento, la "coclea", una

especie de máquina que servía para elevar las aguas y regar de este modo

regiones a las que no llegaba la inundación del Nilo. Pero su actividad madura

de científico se desenvolvió por completo en Siracusa, donde gozaba del favor

del tirano Hierón II. Allí alternó inventos mecánicos con estudios de mecánica

teórica y de altas matemáticas, imprimiendo siempre en ellos su espíritu

característico, maravillosa fusión de atrevimiento intuitivo y de rigor metódico.

Sus inventos mecánicos son muchos, y más aún los que le atribuyó la

leyenda (entre estos últimos debemos rechazar el de los espejos ustorios,

inmensos espejos con los que habría incendiado la flota romana que sitiaba

Siracusa); pero son históricas, además de la "coclea", numerosas máquinas de

guerra destinadas a la defensa militar de la ciudad, así como una "esfera",

grande e ingenioso planetario mecánico que, tras la toma de Siracusa, fue

llevado a Roma como botín de guerra, y allí lo vieron todavía Cicerón y quizás

Ovidio.

La biografía de Arquímedes está más poblada de anécdotas sabrosas

que de hechos como los anteriormente relatados. En torno a él tejieron la trama

de una figura legendaria primero sus conciudadanos y los romanos, después

los escritores antiguos y por último los árabes; ya Plutarco atribuyó una

«inteligencia sobrehumana» a este gran matemático e ingeniero.

La más divulgada de estas anécdotas la relata Vitruvio y se refiere al

método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección de una

corona de oro encargada por Hierón II, tirano de Siracusa y protector de

Arquímedes, y quizás incluso pariente suyo. Se cuenta que el tirano,

sospechando que el joyero le había engañado poniendo plata en el interior de

la corona, pidió a Arquímedes que determinase los metales de que estaba

compuesta sin romperla.

Arquímedes meditó largo tiempo en el difícil problema, hasta que un día,

hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua se desbordaba

de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella. Esta observación le

inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano: si

sumergía la corona en un recipiente lleno hasta el borde y medía el agua que

se desbordaba, conocería su volumen; luego podría comparar el volumen de la

corona con el volumen de un objeto de oro del mismo peso y comprobar si eran

iguales. Se cuenta que, impulsado por la alegría, Arquímedes corrió desnudo

por las calles de Siracusa hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir,

«¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».

La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones

iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática, que

sería estudiada cuidadosamente por los fundadores de la ciencia moderna,

entre ellos Galileo. Corresponde al famoso principio de Arquímedes (todo

cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual al

peso del volumen de agua que desaloja), y, como allí se explica, haciendo uso

de él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que

el orfebre había cometido fraude.

Según otra anécdota famosa, recogida entre otros por Plutarco,

Arquímedes se hallaba tan entusiasmado por la potencia que conseguía

obtener con sus máquinas, capaces de levantar grandes pesos con esfuerzo

relativamente pequeño, que aseguró al tirano que, si le daban un punto de

apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que

pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un

complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles

con su carga.

Análoga concentración mental y abstracción en la meditación demuestra

el episodio de su muerte. Según se dice, los ingenios bélicos cuya paternidad

le atribuye la tradición permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio

romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo. Mientras

saqueaban Siracusa los soldados de Marcelo, que al fin habían conseguido

expugnar la ciudad, el viejo matemático estaba meditando, olvidado de todo, en

sus problemas de geometría.

Sorprendido por un soldado que le preguntó quién era, Arquímedes no le

respondió, o, según otra versión, le respondió irritado que no le molestara ni le

estropeara los dibujos que había trazado en la arena; y el soldado,

encolerizado, lo mató. Marcelo se entristeció mucho al saberlo y mandó que le

levantaran un monumento, sacando su figura del tratado Sobre la esfera y del

cilindro. Cicerón reconoció por esta figura, muchos años más tarde, su tumba

olvidada.

Esta pasión de Arquímedes por la erudición, que le causó la muerte, fue

también la que, en vida, se dice que hizo que se olvidara hasta de comer y que

soliera entretenerse trazando dibujos geométricos en las cenizas del hogar o

incluso, al ungirse, en los aceites que cubrían su piel. Esta imagen contrasta

con la del inventor de máquinas de guerra del que hablan Polibio y Tito Livio;

pero, como señala Plutarco, su interés por esa maquinaria estribó únicamente

en el hecho de que planteó su diseño como mero entretenimiento intelectual.

El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo

doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo

propósito respecto a la geometría. Tal esfuerzo se refleja de modo especial en

dos de sus libros; en el primero de ellos, Equilibrios planos, fundamentó la ley

de la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y

determinó el centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios y el

de un segmento de parábola.

En la obra Sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado de

exhaustión, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de

una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro

circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que

por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual

Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya

olvidada.

Su vida y obras

Arquímedes nació en Siracusa alrededor del año 287 A.C. Una vez

realizados sus primeros estudios, se dirigió a Alejandría, mayor centro de

estudios del momento, a completar su formación en matemática y sus

aplicaciones.

Alejandría tenía una posición estratégica como centro de las vías

comerciales con el Oriente, y con la producción agrícola del Valle del Nilo. Fue

gobernada por el general Tolomeo I tras la muerte del emperador Alejandro

Magno, aproximadamente en el año 323 A.C. Tolomeo y sus progenitores se

preocuparon por reforzar la vida cultural de su reino, producto de esto se

construyeron las dos instituciones alejandrinas más importantes: la biblioteca

de Alejandría y el museo de Alejandría, que favorecieron el flujo de científicos y

artistas de la época.

A su llegada a Alejandría, Arquímedes se encontró con una matemática

desarrollada principalmente por la obra de Euclides, quien había muerto pocos

años antes. Durante el tiempo que permaneció en esta ciudad, hizo amistades

con los más grandes científicos de la época.

Una vez completados sus estudios, regresó a su ciudad natal movido

principalmente por dos factores: en primer lugar, el desarrollo de la cultura

propiciado por el Rey Hieron II en Siracusa; en segundo lugar, su originalidad

no tenía cabida en la cultura cerrada de Alejandría, que no consideraba al

técnico como un auténtico científico 1.

La asociación de la figura de Arquímedes con un técnico, se debía a que

sus descubrimientos matemáticos se valían del empleo simultáneo de la

matemática y la mecánica, además sus demostraciones seguían el modelo

deductivo euclideano con precisión, sin caer en una rigurosidad total. Así,

Arquímedes se valía de dos métodos: la intuición para la invención y la

rigurosidad para la demostración que aprendió en su estancia en Alejandría.

Una vez en Siracusa, Arquímedes mantuvo contacto con algunos

científicos alejandrinos a los cuales les enviaba sus descubrimientos

matemáticos, primeramente al astrónomo y matemático Conón de Samos, su

maestro en Alejandría. Sus escritos se caracterizaban por el uso del método de

exhausión, el cual permitió que sus demostraciones alcanzaran la rigurosidad

exigida por Alejandría.

Arquímedes supera la geometría tradicional al plantear nuevos

problemas geométricos, como por ejemplo la cuadratura del segmento

parabólico, que envió a Alejandría en dos secciones, en la primera se describe

el procedimiento mecánico que utilizó para obtener el resultado (intuición) y en

la segunda se demuestra vía el método de exhausión dicho resultado

(rigurosidad). Además, en su libro Sobre las Espirales, demostró varios

problemas que años atrás había propuesto a los alejandrinos y estos no

pudieron demostrar.

Entre sus obras matemáticas se pueden mencionar además: De la

esfera y el cilindro, Medida del círculo, Conoides y esferoides. En sus obras,

Arquímedes reflejaba un estilo de escritura dirigido no solo a especialistas

como lo hizo Euclides. Su escritura es clara y omite algunos pasajes que

considera evidentes.

Arquímedes realizó también importantes descubrimientos e invenciones

en el campo de la mecánica y la astronomía. En la mecánica, uno de sus

principales inventos fue la cóclea o ``tornillo sin fin'', que permite elevar agua

sin dificultad. Otros inventos son el órgano hidráulico y la gran nave de Hieron,

entre otros.

Entre sus descubrimientos en la física, se encuentra el famoso Principio

de Arquímedes: ``Todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un impulso

hacia arriba equivalente al peso del líquido desalojado''. También se destaca su

trabajo del equilibrio de los planos, en el que emplea el concepto de centro de

gravedad. Ambos descubrimientos son demostrados rigurosamente en sus

libros: Sobre el equilibrio de los planos, De los cuerpos Flotantes.

Entre los resultados obtenidos por Arquímedes en el campo de la

astronomía, se encuentra el método que utilizó para medir el diámetro del sol y

su relación con el diámetro de la Luna, además previó para tiempos no muy

largos los eclipses de Sol y de Luna. También demostró su originalidad y

creatividad en el campo militar, principalmente en la construcción de armas que

permitieron la defensa de Siracusa de los ataques romanos durante ocho

meses.

Arquímedes muere en el año de 212 A.C. en manos de un soldado

romano, cuando Siracusa es tomado por el cónsul Marcelo del Imperio

Romano, este le rinde honores fúnebres.

Arquímedes

Matemático e inventor griego

Nació en el 287 a. C. en Siracusa, Sicilia, aunque se educó en Alejandría (Egipto).

Arquímedes fue primo del rey Hierón II del cual fue consejero y responsable de

la defensa de la ciudad. El empeño del rey Hierón era la construcción de una

gran flota e hizo construir el Syrakosa, la mayor nave de su época, que en el

momento de su botadura quedó embarrancado. Arquímedes con ayuda de

poleas compuestas ayudadas por palancas apuntaladas en el casco consiguió

levantarlo a flote ante la fascinación del rey.

Se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, en las

matemáticas puras. Fue capaz de demostrar que el volumen de una esfera es

dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. Además, en mecánica,

definió la ley de la palanca y es reconocido como el inventor de la polea

compuesta. En Egipto inventó el 'tornillo sin fin' para elevar el agua de nivel.

Famoso por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, también llamado

principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un

fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que

desaloja. Se cuenta que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al

comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.

La mayor parte de la vida de Arquímedes transcurrió en Sicilia, en Siracusa y

sus alrededores, y la dedicó a la investigación y los experimentos. Durante la

conquista romana de Sicilia se puso a disposición de las autoridades de la

ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de

Siracusa. Entre la maquinaria de guerra destacan sus inventos de la catapulta y

un sistema de espejos que incendiaba las embarcaciones enemigas al

enfocarlas con los rayos del sol.

Cuando Siracusa fue conquistada durante la segunda Guerra Púnica, se cree

que fue asesinado en 212 a. C. por un soldado romano que le encontró

dibujando un diagrama matemático en la arena. Dicen que Arquímedes estaba

tan metido en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes

mis diagramas".

Escribió varias obras:

1. Esfera y cilindro

2. Medida del círculo

3. Gnoides y esferoides

4. Espirales

5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad

6. Cuadratura de la parábola

7. El arenario

8. Cuerpos flotantes

9. Los lemas

10. El método

BIOGRAFÍA DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

Arquímedes nació en Siracusa en el año 287 a. de J. C. Creció en un ambiente

donde la ciencia era familiar, ya que su padre, Fidias, era astrónomo. Arquímedes reveló

tempranamente particular disposición para los estudios. Viajó por la península ibérica y

estudió en Alejandría. Allí trabó amistad con el famoso Eratóstenes de Cirene, con

quien efectuó la medición de la circunferencia terrestre. Probablemente a consecuencia

de los estudios realizados con Eratóstenes, más que por tradición familiar, en

Arquímedes nació la afición por la astronomía. Vuelto a Siracusa, se dedicó a sus

estudios de matemática, física, geometría, mecánica, óptica y astronomía. En todas estas

materias realizó investigaciones que aún hoy resultan difíciles para una persona de

buena preparación.

ARQUÍMEDES

inventor infatigable

Se dice siempre que la ciencia nació en la antigua Grecia y es completamente

cierto que en este pequeño rincón del mundo surgieron por primera vez muchas de las

ideas que comúnmente definimos como científicas. Los seres humanos siempre han

observado los fenómenos de la Naturaleza, desde los más sencillos como la caída de un

objeto, hasta los más complicados e inexplicables. Pero sólo cuando empezaron a

indagar y estudiar planteándose las preguntas adecuadas, nació el método científico que

ha permitido progresar en el camino del conocimiento. Los antiguos griegos se

interesaron profundamente por ciencias como la geografía, la biología, la medicina, la

astronomía y las matemáticas, además de la filosofía, naturalmente. A pesar de ello,

pocas veces se dieron realizaciones prácticas, es decir, máquinas capaces de ayudar en

el trabajo. En este sentido, Arquímedes fue una excepción.

Todo el mundo ha oído hablar del principio de Arquímedes: "Todo cuerpo

sumergido en agua recibe de parte de este líquido un impulso de abajo a arriba igual al

peso del volumen de agua que desaloja." Aquí radica el fundamento de la hidrostática y

sus aplicaciones han sido innumerables. Al salir Arquímedes del baño portador de las

dos coronas de oro y plata que le habían servido para su experimento, muy bien podía

recorrer las calles de Siracusa gritando "¡Eureka!". Aquel día había efectuado realmente

un gran descubrimiento.

Típica Ilustración de Arquímedes en la famosa bañera donde floreció su

brillante idea del principio que lleva su nombre

Arquímedes no sólo redactó su famoso Tratado de los cuerpos flotantes, sino que

también inventó el tornillo sinfín y los engranajes multiplicadores y de multiplicadores,

y generalizó la teoría de la palanca. Nadie ignora esta famosa frase: "¡Dadme un punto

de apoyo y levantaré el mundo!" Arquímedes fue igualmente un gran ingeniero. Cuando

el ataque a Siracusa por la flota romana, hizo construir múltiples ingenios destinados a

defender la ciudad: ballestas y catapultas que lanzaban flechas y piedras, grúas

gigantescas que. Lanzando un garfio por entre los aparejos de los trirremes, atraían a

éstas hacia las rocas contra las que se estrellaban. El resto de la flota romana fue

incendiado por inmensos espejos parabólicos de bronce, prolijamente pulidos, que

concentraban a distancia los rayos del sol siciliano sobre las galeras enemigas.

Físico y matemático, Arquímedes nació hacia 287 a. C. en Siracusa, en la costa

occidental de Sicilia, que entonces pertenecía a Grecia. Heredó la vocación científica de

su padre, quien, al parecer, se dedicaba a la astronomía. Pasó casi toda su vida en su

ciudad natal y murió cuando la isla fue atacada por Roma en -212.

Un científico que dedicó toda su vida al estudio de la física y de las matemáticas,

extrayendo aplicaciones útiles. Nació en Siracusa, ciudad de la Magna Grecia

(Sicilia), en el 287 a.C.

Estudió en la escuela de Alejandría (en Egipto), una de las más famosas del

mundo antiguo. Además de filósofo y matemático fue un atento observador e

investigador del mundo natural.

Sus intereses eran muy variados e hicieron de él uno de los mayores científicos

de la Historia. Supo unir la lógica matemática a la experimentación, por esta razón se le

puede considerar un hombre que se adelantó a su tiempo y precursor de Galileo.

De su vida sabemos por ilustres historiadores que no se cansaba jamás de hacer

cálculos e inventar. Con él la mecánica se convirtió en una verdadera ciencia: ya que las

máquinas se empezaron a pensar y construir en función de su utilidad.

Viajó a Alejandría, centro cultural por excelencia de la antigua Grecia, donde

estudió en su adolescencia, coincidió con célebres hombres de ciencia como Euclides.

Cuando regresó a Siracusa, sorprendió a todos con un método de su invención,

destinado a desecar pantanos mediante la utilización de diques móviles. El mecanismo

sería conocido como «tornillo de Arquímedes».

Consistía en un tubo en forma de hélice, uno de cuyos extremos quedaba

sumergido. Al girar sobre su eje en posición inclinada, servía para elevar el agua.

Los inventos de Arquímedes y su aplicación a máquinas de artillería contribuye

ron notablemente a la defensa de Siracusa contra el asedio de los romanos; en este

sentido, ideó catapultas de gran potencia y propuso un mecanismo eficaz para provocar

incendios —que seria utilizado para destruir parte de la flota enemiga—, mediante el

empleo de espejos parabólicos.

El año 212 a. C, Siracusa fue finalmente invadida por las tropas romanas;

Arquímedes falleció, atravesado por la lanza de un soldado, en su propia casa. El rey

Marcelo, que admiraba al anciano sabio, y que había ordenado que su vida fuera

respetada, hizo elevar un monumento funerario en su honor. En él aparecía una esfera

inscrita en un cilindro, tal y como Arquímedes había deseado.

Su aportación a las matemáticas: Las investigaciones de Arquímedes en el

ámbito de las matemáticas se centraren sobre todo, en la geometría y la aritmética y en

lo que hoy se conoce como cálculo integral.

Dentro del campo de la aritmética, escribió dos textos fundamentales. Sobre!

medida del circulo y El arenarlo. En la primera de estas obras, uno de sus escritos mi

importantes, afirma que la razón entre la circunferencia y su diámetro es igual al sea

cual sea el radio de la figura. Por otro lado, demuestra la equivalencia entre i área del

círculo y la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la

circunferencia.

En El Arenario Arquímedes propone un método para escribir números de gran

longitud, dotando a cada cifra de un orden diferente según su posición.

Entre sus publicaciones sobre geometría, las más representativas son De la

esfera y del cilindro, donde introduce el concepto de concavidad, así como ciertos

postulados referentes a la línea recta; Conoides y esferoides, que contiene la definió de

las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono y De de

las espirales, centrada en el estudio de estas curvas y sus propiedades.

La denominada «espiral de Arquímedes» es resultado del movimiento que

describe un punto que se desplaza con movimiento uniforme sobre una recta que gira

alrededor de uno de sus puntos; su radio vector es proporcional al ángulo.

Entre las obras que han sobrevivido existe una pequeña obra maestra titulada

Mediciones del círculo, que contiene uno de sus mejores ejemplos de argumentación

geométrica, aquella en la que explica la relación entre la circunferencia de un círculo y

su diámetro, lo cual le permitió obtener un cálculo notablemente preciso del valor de Pi.

El método que utilizó aquí despejó el camino hacia uno de los principales

descubrimientos matemáticos.

Arquímedes calculó el área de un círculo descubriendo los límites entre los

cuales se hallaba dicha área, y luego estrechando gradualmente esos límites hasta

aproximarse al área real. Esto lo hizo inscribiendo en el interior del círculo un polígono

regular y circunscribiendo después el círculo en un polígono similar.

FArquímedes comenzó con dos hexágonos. Doblando el número de lados y

repitiendo el proceso obtuvo finalmente polígonos de 96 lados. Calculó el área del

polígono interior, que proporcionaba el límite inferior del área del círculo. A

continuación calculó el área del polígono exterior, la cual proporcionaba el límite

superior. Con este método pudo calcular que:  3 10/71<  Pi <3 1/7

En decimales esto dala siguiente ecuación: 3.14084 < Pi < 3.142858

La precisión de este cálculo puede apreciarse por su proximidad a la cifra que

hoy manejamos: Pi = 3.1415927. Aquí la principal innovación de Arquímedes fue

emplear la aproximación en vez de la igualdad exacta. Euclides había indicado la

posibilidad de emplear este método, pero ni lo aplicó a conciencia ni vio sus

posibilidades. Arquímedes vio que a menudo bastaba con dar dos aproximaciones

relativamente fáciles a una respuesta, que proporcionaban un límite superior e inferior

entre los cuales se hallaba dicha respuesta.

Física: Las aportaciones más importantes de Arquímedes a la física son las

relativas a la hidrostática y el equilibrio de los cuerpos. Sin duda, sus conocimientos

geométricos resultaron fundamentales para determinar el centro de gravedad de los

objetos sólidos. Especial interés revisten la ley fundamental de la palanca enunciada por

el sabio, y el descubrimiento de la polea compuesta, basada en la ley anterior, que sería

empleada por Arquímedes para mover un enorme barco.

En cierta ocasión, Arquímedes le planteó al rey de Sicilia, Hierón, el reto de

mover cualquier peso, por grande que fuera, con la simple condición de contar con un

objeto firme en el que poder apoyarse. De este episodio ha pasado a la posteridad su

célebre frase: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo»

El rey le propuso entonces demostrar tal afirmación moviendo una gran galera

anclada junto a la playa, que debía trasladar a tierra firme. Mediante cuerdas, poleas y

palancas, colocadas adecuadamente, y aplicando los resultados de sus experimentos, el

sabio consiguió su propósito. Incluso el propio rey pudo realizar el «milagroso»

experimento con sus propias manos. El soberano cogió la cuerda, tiró de ella y

comprobó cómo la proa de la nave se levantaba lentamente. La multitud que observaba

la extraordinaria hazaña prorrumpió en aclamaciones; Arquímedes recibió la felicitación

del rey.

Se le atribuyen muchos descubrimientos: desde el principio que lleva su nombre

hasta la medición del diámetro aparente del Sol y el principio de la palanca. En este

sentido, la frase que se le atribuye: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo» es

absolutamente cierta, porque, de hecho, es posible levantar un peso muy grande con

muy poco esfuerzo haciendo fuerza en el extremo de una palanca muy larga y

colocando el peso cerca del punto de apoyo.

El Tornillo de Arquímedes, o tornillo sin fin, es una máquina hidráulica utilizada

en Egipto para el riego de los campos muy distantes del Nilo, y en España para bombear

el agua de las minas. Aunque algunos dudaron de la paternidad del sabio siracusano, los

documentos papirológicos demuestran que esta máquina es posterior al siglo III a.C. En

uno de los frescos de Pompeya aparece un tornillo sin fin instalado horizontalmente y

accionado por un pequeño esclavo. Este instrumento, simple pero eficaz, se difundió

ampliamente durante la Antigüedad, y todavía se utiliza en Egipto.

 

Arquímedes debe su fama a sus famosos inventos mecánicos, como las

máquinas de guerra o el tornillo para elevar agua con el fin de irrigar los campos. Esta

máquina, llamada tornillo de Arquímedes, consiste en un cilindro dentro del cual rueda

un helicoide (véase el dibujo superior). También son suyos los inventos de la rueda

dentada y la polea móvil, aunque se cree que este tipo de inventos representaba para él

sólo un juego.

 

El principio de Arquímedes: Pero, sin duda, el descubrimiento más célebre de

Arquímedes es el relacionado con ll pérdida de peso que experimentan los cuerpos

cuando se sumergen en un líquido.

En una ocasión, al mencionado rey Hierón le regalaron una corona de oro. Según

cuentan, encargó a Arquímedes determinar si era de oro puro o contenía otros mi tales

menos apreciados, como la plata. Para solucionar el problema, era necesario hallar la

densidad relativa de la corona, sin destruirla, y comparar este valor con el del densidad

relativa del oro.

Arquímedes, si bien al principio no supo dar respuesta a la cuestión que se le

planteaba, halló la solución de manera accidental, mientras tomaba un baño. Observó

que cuando su cuerpo se sumergía en la bañera, completamente llena, de agua se

desbordaba. Se dio cuenta entonces de que el peso de un cuerpo sumergido en agua era

inferior a la medida observada si se pesaba en el aire. Obviamente, el agua ejercía una

fuerza hacia arriba, que equilibraba, en parte, la fuerza de la gravedad.

Entonces Arquímedes realizó el experimento siguiente: tomó un recipiente

completamente lleno de agua e introdujo en él una pieza de oro de peso análogo al de la

corona; a continuación, pesó él agua que se desbordaba. Después volvió a llenar de

líquido al completo el recipiente, y sumergió la corona del rey, procediendo,

igualmente, a registrar el peso del agua desbordada.

Arquímedes dedujo que la densidad relativa de la corona era igual al cociente

entre su peso y su pérdida de peso cuando se la sumergía en agua; por lo tanto, tal

magnitud podía determinarse pesando la corona primero en el aire y luego en el agua.

En el caso de que la corona fuera completamente de oro, el peso del agua desbordada en

ambos casos debería ser el mismo, cosa que no ocurrió. Las densidades de ambos

cuerpos, por lo tanto, debían ser diferentes, por lo que la concluían estaba clara: el rey

había sido engañado.

Los resultados que Arquímedes extrajo de este sencillo experimento pueden

generalizarse a cualquier fluido: la fuerza ejercida por un fluido sobre un cuerpo

sumergido total o parcialmente en él depende de la densidad del fluido y del volumen

del cuerpo, pero no de la composición ni de la forma del objeto; este valor es

equivalente en módulo al peso del fluido desalojado por dicho cuerpo. Es el llamado

«principio de Arquímedes», fundamento de la flotación de los cuerpos, tanto para

medios líquidos como gaseosos.

Los resultados de esta experiencia fueron expuestos por el sabio en su libro

Equilibrio de los cuerpos flotantes.

¿Por qué construyó máquinas de guerra?

Vivió en los años de las guerras entre Roma y Cartago, por eso contribuyó

activamente a la defensa de su ciudad asediada por las tropas romanas, al mando del

cónsul Marcelo. Para esta ocasión construyó unas máquinas de guerra que hicieron muy

difícil a los romanos la conquista de la isla de Sicilia. Se cuenta que logró quemar las

naves romanas maniobrando desde lejos los terribles espejos ustorios, que funcionaban

como lentes que concentraban los rayos del sol. Las naves que lograban huir del rayo de

fuego de sus espejos tenían que hacer frente a otro invento suyo: un artilugio que, tras

elevarlas un poco en el aire, las estrellaba contra la costa escarpada. Durante el asedio

de Siracusa, Arquímedes, deseoso de salvar su ciudad, construyó también la catapulta

múltiple, capaz de arrojar masas esféricas de un quintal de peso, y preparó proyectiles

de largo alcance.

EN EL SITIO DE SIRACUSA

En el año 216, cuando Arquímedes tenía más de setenta años de edad, murió el

tirano (rey) Hierón, que había sido su pariente. Siracusa decidió aliarse con los

cartagineses —era en el transcurso de la segunda guerra púnica— y le puso sitio un

ejército romano al mando del cónsul Claudio Marcelo.

Arquímedes era viejo y deseaba continuar tranquilamente con sus estudios. Sus

conciudadanos, empero, conociendo sus dotes intelectuales, se dirigieron a él para que

colaborara en la defensa de la ciudad. Arquímedes, que siempre había sabido cumplir

con sus deberes cívicos, accedió. La tripulación de una de las naves sitiadoras que había

osado acercarse a las fortificaciones, vio aparecer, con el despuntar del día, por encima

de las murallas, una especie de monstruosa y enorme tenaza que aferró entre sus garras

al navío, lo sacudió con fuerza y casi lo destruyó. Era una máquina bélica proyectada

por Arquímedes, que funcionaba sobre la base de palancas y poleas. Al mismo tiempo,

desde las murallas y desde las fortificaciones comenzaron a caer sobre las otras naves

ancladas a corta distancia, flechas y pesadas piedras lanzadas con catapultas, que

destruían puentes y cascos, destrozaban los mástiles y daban muerte a los tripulantes.

¿Cómo murió Arquímedes?

Los testimonios que nos han quedado afirman que fue un hombre siempre inmerso en

las lucubraciones matemáticas. Hasta tal punto que cuando los romanos, ya vencedores,

entraron en su casa, en el 212 a.C, y le conminaron a seguirles, él les pidió que

esperaran a que acabase el problema de geometría que tenía entre manos, pero un

soldado impaciente lo asesinó.

LA TRÁGICA MUERTE

El asedio romano continuó con la implacabilidad con que los romanos procedían

en tales casos. Durante cuatro años pudo defenderse Siracusa, hasta que en el año 212,

el día de la fiesta de la diosa Artemisa, las tropas sitiadoras lograron entrar en la ciudad

y la saquearon. Durante estas horas trágicas, varios soldados romanos penetraron en la

casa de Arquímedes. El sabio hallábase sumido en sus cálculos geométricos y no oyó

siquiera la gritería, el fragor de las armas y el pataleo de los caballos que llegaban de

afuera.

Uno de los soldados llegó hasta la sala donde el sabio trabajaba, ajeno a la

tremenda lucha que se libraba en la ciudad. Se dice que el intruso experimentó

desconfianza- hacia el anciano, absorto en su trabajo, y supuso que su actitud debía

ocultar algún ardid. Arquímedes había trazado algunas figuras geométricas en el piso, y

al ver las sandalias del insólito visitante demasiado cercanas a sus dibujos, formuló una

advertencia pidiéndole que tuviera cuidado de no pisarlos. El soldado, que estaba

contemplando con codicia los instrumentos, atribuyéndoles valor considerable, levantó

su espada y asesinó fríamente al anciano. Éste tenia entonces setenta y cinco años.

Curiosidad: Se le ha dado el nombre de Arquímedes a un círculo de montañas

lunares de unos 80 Km. de diámetro.

Principio de Arquímedes

212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.

Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo sin fin’ para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (véase Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.

Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.

Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al

decirle: "No desordenes mis diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático.

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en la figuras:

1.2. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del

fluido.3. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y

dimensiones.

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.

Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple

Empuje=peso=rf·gV

El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf  por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto.

En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Ejemplo:

Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2= ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:

Peso del cuerpo, mg Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A

En el equilibrio tendremos que

mg+p1·A= p2·Amg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A

o bien,

mg=ρfh·Ag

El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag

Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:

Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.

 

Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas:

El peso del globo Fg=–mgj . El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido

(aire). La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del

aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada

La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía potencial Eg=mg·y. Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada a la energía

potencial Ee=-rfVg·y.

Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es

Ep=(mg- rfVg)y

A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.

rf Vg- mg-Fr=0

Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial  Ep disminuye.

Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA.

En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de la energía.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos32/pascal-arquimedes-bernoulli/pascal-

arquimedes-bernoulli.shtml#ixzz3Gt7nwkWG

Arquímedes (287 - 212 a.C.).

Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el "tornillo sin fin" para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.

Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos - quizá legendario - que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.

Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático.

Arquímedes

Editor: Fisicanet ®

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Arquímedes de Siracusa

Nació : hacia el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia

Murió : en el 212 a.C. en Siracusa, Sicilia

 

Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas.

"...pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación." (Plutarco)

Aunque todo lo anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhaución de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

    

Mencionamos a continuación, algunas de sus obras más importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planos Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parábolaDemuestra que: "Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola". Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Método (Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos)Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teoría de las razones y de las proporciones entre magnitudes geométricas y sobre todo el método de exhaución de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindroEl resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera a partir del volumen del cilindro. (más información)

5) Sobre espiralesUn estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree que el objetivo que se perseguía era resolver alguno de los grandes problemas de la época, como la cuadratura del circulo o la trisección de un ángulo. (más información)

6) Sobre los conoides y esferoidesEstudio sobre las figuras geométricas que se obtienen al hacer girar las cónicas.

7) Sobre los cuerpos flotantesEstudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Hierón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka! (que en griego significa "Lo encontré")

8) Sobre la medida del circuloDonde encuentra la fórmula para el área de un circulo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número pi inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotación que encontró fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

aproximadamente       3'140845... < pi < 3'142857...     (más información)

9) El ArenarioEn el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeración con el que se pueden representar tales magnitudes. No olvidemos que el sistema de numeración indo-arábigo no era conocido todavía en la cultura occidental.

 

 

Sobre la medida del círculo

Los geómetras de la época conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de los Elementos de  Euclides, aparece la demostración de que la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, también es una constante. Arquímedes consiguió demostrar que la constante que aparece en este caso también tiene que ver con el (hoy llamado) número pi. El primer paso fue demostrar la siguiente:

PROPOSICIÓN: El área de un polígono regular es (P*a)/2, donde P representa el perímetro y a la apotema del polígono. La demostración que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposición del polígono en triángulos congruentes.

A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho más importante.

PROPOSICIÓN: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.    Demostración:

Llamamos A al área del círculo y T a la del triángulo. C es la longitud de la circunferencia.

Supongamos que A>T; es decir, A-T>0. Podemos inscribir un polígono en la circunferencia de forma que la diferencia entre sus áreas sea tan pequeña como queramos. Por tanto, existe un polígono inscrito en la circunferencia cuya área es S y tal que A-S<A-T. Sumando S+T-A en cada miembro nos queda que T<S. Por otro lado, también es cierto que S<T porque (P*a)/2 es menor que (C*r)/2, lo cual conduce a una contradicción y A no puede ser mayor que T. De forma análoga se demuestra que T no puede ser mayor que A. Y utilizando las palabras de Arquímedes: "Puesto que entonces el área del círculo no es ni mayor ni menor que el área del triángulo, es igual a ella" q.e.d.

De este resultado se obtiene un importante corolario. Puesto que C = 2*pi*r   y  A = C*r/2, tenemos que A = 2*pi*r*r/2 = pi*r2. Es decir, tenemos una fórmula para el área del círculo, y ésta implica de nuevo a pi. No es de extrañar por tanto, que Arquímedes intentará en la última de las proposiciones de este libro, el dar un valor de pi lo más aproximado posible. Su procedimiento fue muy ingenioso. Comienza inscribiendo y circunscribiendo un hexágono en una circunferencia cualquiera. Es fácil ver que el perímetro del hexágono inscrito es 6*r, y el del circunscrito 4*raíz(3)*r ~ 6'9282*r  (usando el teorema de Pitágoras). Dividiendo ambas expresiones entre 2*r (diámetro) obtenemos que pi está comprendido entre 3 y 3'4641. Pero no queda ahí la cosa. Utilizando las dos formulas siguientes,

P2n = (2*pn*Pn)/(pn+Pn)     y     p2n = raíz(pn*P2n)

donde Pn = perímetro del polígono circunscrito de n lados, pn = perímetro del polígono inscrito de n lados, calcula los perímetros de los polígonos correspondientes de 12, 24, 48 y 96 lados, para obtener al final que,

6336/2017 < pi < 29376/9347

aproximadamente,  3'141298 < pi < 3'142826

aunque por motivos de comodidad usa los valores más sencillos de 3+10/71 y 3+1/7. Sorprende el hecho de que trabajara con valores tan precisos. Para la raíz de 3, por ejemplo, determinó que  265/153 < raíz(3) < 1351/780. Todos estos cálculos son un hecho sin precedentes, de gran dificultad y que nos llenan de admiración.

"...la determinación del perímetro del dodecágono requería obtener un valor numérico de la raíz cuadrada de 3. Con nuestras modernas calculadoras y ordenadores, esto no significa ningún obstáculo, pero en tiempos de Arquímedes, no sólo eran impensables estos artilugios sino que no existía ni siquiera un buen sistema numérico que facilitara estos cálculos." (William Dunham, "Viaje a través de los genios")

No sé si desde entonces o quizás desde antes, el cálculo de pi ha ocupado a muchos eruditos,  científicos y matemáticos. Los algoritmos de cálculo han mejorado con los siglos y la llegada de los ordenadores ha permitido calcular más cifras y con más rapidez. (Ver el número pi)

Puedes ver una tabla con

Valores aproximados de pi a lo largo de la historia

 y también un listado de

Los 1500 primeros decimales de pi.

 

Sobre la esfera y el cilindro

Se sabía calcular, al menos desde la época de los egipcios, el volumen de prismas y cilindros. Demócrito (~460 a.C. - 360 a.C.) demostró que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del de un prisma de igual base y altura, e igual hizo con el cono respecto del cilindro. Euclides había demostrado en sus "Elementos" que el volumen de dos esferas es entre sí como los cubos de sus diámetros, o como diríamos actualmente, que el volumen de una esfera es proporcional a su diámetro. Arquímedes demostró, una vez más, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con  pi. Por todo ello, está obra está considerada como una de sus cumbres más importantes, y quizás la más apreciada por él mismo, como se puede ver en su epitafio . Una de los resultados más notables del libro es la

PROPOSICIÓN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución de Eudoxo; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4*pi*r2.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados más importantes del libro,  la

PROPOSICIÓN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera. 

La imagen está tomada de http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/lamejor.htm 

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto más alto de la figura, entonces el radio del circulo que aparece en la esfera es la raíz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro el radio es R. Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2. Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que el volumen de media esfera más el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen de este cilindro es pi*r3 y el del cono pi*r3/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4/3*pi*r3, quod eram demostrandum.

Como corolario de estos resultados obtiene que la relación entre una esfera y el cilindro que la contiene es 2:3, tanto en superficie como en volumen.

 

Sobre espirales

 

 

    El objetivo de Arquímedes al estudiar esta curva fue la resolución de los tres problemas clásicos. La espiral de Arquímedes se define como la curva que describe un punto, moviéndose a velocidad

constante sobre una recta que gira con velocidad angular constante. En coordenadas polares (r, ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente: r=k·. En base a esto, observamos en la figura anterior que fácilmente puede trisecarse un ángulo, dividiendo simplemente el segmento OP en tres partes iguales y obteniendo a continuación los puntos U y V que resuelven el problema. Lo que más llama la atención es que siendo la geometría griega esencialmente estática, aquí parece haber determinado la tangente a la espiral por medio de consideraciones cinemáticas que recuerdan al moderno cálculo diferencial. Y este cálculo de la tangente es lo que le permitió cuadrar el círculo a partir de la espiral.

 

 

    En la figura superior, la recta que contiene al segmento PQ es tangente a la espiral, y OQ es perpendicular al radio vector OP. Arquímedes demuestra utilizando doble reducción al absurdo que el segmento OQ es igual a la longitud del arco PS. De este teorema se puede deducir fácilmente que la tangente a la espiral en el punto T (corte con el eje de ordenadas) determina sobre el eje de abcisas un segmento igual a la cuarta parte de la longitud del círculo.

 

Bibliografía:

Boyer, Carl B.: Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos, 1992.De Guzmán, Miguel: La mejor idea de Arquímedes: http://ciencias.unizar.es/~mdg/2003/08edupreunesq/tendencias2000/experimentosdegeometria/lamejor.htmDunham, William: Viaje a través de los genios. Editorial Pirámide.Enciclopedia Micronet, Edición 1998.Gacetilla Matemática: http://www.arrakis.es/~mcjMactutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html

 

Arquímedes

Arquímedes

Arquímedes en su representación mástradicional: abstraído y meditabundo