ARQUMEDESQuien comprenda a Arqumedes yApolonio admirar menos los logrosde hombres posteriores.

G. W. LEIBNIZBIOGRAFA:Arqumedes naci en la ciudad de Siracusa en la isla de Sicilia en 287 a.C., se cree que era el hijo de un astrnomo llamado Fidias quien influyo notablemente en su educacin. Aparte de esto, muy poco se sabe sobre la vida temprana de Arqumedes o de su familia. Algunos mantienen que l perteneci a la nobleza de Siracusa, lo que le permiti dedicarse al estudio. En su juventud Arqumedes viaj a Egipto para estudiar en Alejandra, all conoci a Eratstenes de Cirene, director del Museo de Alejandra. Con el intercambi ideas y opiniones cientficas. De su correspondencia con Eratstenes se conoce El Mtodo. All en Egipto donde hizo su primer gran invento, el tornillo de Arqumedes, una especie de mquina que serva para elevar las aguas y regar ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba el agua durante las inundaciones, adems se le atribuyen otros inventos como: La polea compuesta La rueda dentada La ley de la palancaEs uno de los ms grandes matemticos de todos los tiempos, por la genialidad de sus mtodos, fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemtica moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del mtodo de exhaucin de Eudoxo para calcular reas y volmenes, que desemboc casi 2000 aos ms tarde en el clculo integral.En el ao 212 a.C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpi en la casa de Arqumedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geomtricas. "No tangere circulos meos" (No toquis mis crculos), exclam Arqumedes en su mal latn cuando uno de los soldados pis sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspas con su espada el cuerpo del anciano Arqumedes.Cuenta la tradicin que Arqumedes indic que sobre su tumba se esculpiera un cilindro y en l una esfera inscrita. La relacin entre los volmenes de ambos cuerpos es

APORTACIONES MATEMTICAS:El crculo y el nmero El nmero es (por definicin) la razn del permetro y dimetro de un crculo. O sea, para un crculo de radio el permetro es Loa matemticos griego anteriores a Arqumedes ya haban podido demostrar que el rea de un circulo de radio viene dado por . Presentaremos a continuacin una demostracin de ese resultado.Dividamos primero un crculo de radio y permetro en ocho partes iguales, las que recomponemos como se muestra en la figura. Es evidente que el largo de la curva con lomos es .

Repitamos lo mismo pero dividiendo el circulo en 16 pedazos. Es ese caso obtenemos:

Si mentalmente proseguimos el proceso pensado en el crculo como compuesto de un numero increblemente grande de tajaditas, despus de re-arreglarlas obtenemos un rectngulo de base y altura . El rea de tal rectngulo (que es igual a la del crculo original) es , con lo que queda demostrada la proposicin.

Arqumedes. El genio de SiracusaLas aportaciones de Arqumedes a las matemticas fueron de gran categora cientfica. Su mtodo fue fundamentalmente geomtrico, obteniendo conclusiones que no slo representaron un gran avance sobre la geometra, sino que tambin llevan al clculo integral. Fue el primer matemtico conocido del que se tienen noticias que calcul el rea limitada por un segmento parablico en el intervalo [0,1], determinando la suma de las reas de los rectngulos inscritos y circunscritos.1. En Geometra sus escritos ms importantes fueron: De la Esfera y el Cilindro, donde introduce el concepto de concavidad, que Euclides no haba utilizado, as como ciertos postulados referentes a la lnea recta. De los Conoides y Esferoides en donde define las figuras engendradas por la rotacin de distintas secciones planas de un cono. De las Espirales en donde analiza estas importantes curvas y analiza sus elementos ms representativos.2. En Aritmtica son, fundamentalmente dos los escritos ms interesantes: El Arenario en el que expone un mtodo para escribir nmerosmuy largosdando a cada cifra un orden diferente segn su posicin. De la medida del Crculo una de sus obras fundamentales, donde demuestra que la razn entre la circunferencia y el dimetro est comprendida entra 3 10/7 y 3 1/7; dicha relacin es conocida en la actualidad por Demuestra adems la equivalencia entre el rea del crculo y un tringulo rectngulo cuyos catetos son el radio y el permetro (longitud) de la circunferencia.Arqumedes comunic a Eratstenes (bibliotecario de Alejandra) los razonamientos seguidos en las cuestiones geomtricas. Los mismos se recogen en una obra fundamental: El Mtodo. Sobre la esfera y el cilindroEl volumen del cilindro y del cono eran conocidos desde la poca de Demcrito (460-370) a.C. y Eudoxo, y una demostracin de que el volumen del cono es igual a un tercio del cilindro que lo contiene tambin es atribuida a Eudoxo. Arqumedes demostr, una vez ms, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con pi. Adems de determinar el rea y el volumen de la esfera, tambin encuentra el rea lateral del cilindro y del cono? Por todo ello, est obra est considerada como una de sus cumbres ms importantes, y quizs la ms apreciada por l mismo, como se puede ver ensu epitafio. Una de los resultados ms notables del libro es laPROPOSICIN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su crculo mximo.La demostracin vuelve a ser una doble reduccin al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del crculo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradiccin.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados ms importantes del libro, laPROPOSICIN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al crculo mximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera.La demostracin la hace basndose en los volmenes del cono y del cilindro que haba hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la seccin correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera.

VCilindro= 3/2 VEsfera

Para llegar a dicho resultado, Arqumedes compar una semiesfera con un cilindro y un cono recto de bases un crculo mximo de la semiesfera. Obtuvo sobre dichos cuerpos tres secciones al cortar por un plano paralelo a las bases y compar las reas obtenidas.Superficie Seccin Semiesfera

Superficie Seccin Cilindro

Superficie Seccin Cono

Es decir, que para una seccin dada se establece la proporcinS1= S2- S3por lo queVSemiesfera= VCilindro- VCono= 2/3 pi R3VSemiesfera= 4/3 pi R3

Bibliografa: http://gaussianos.com/el-volumen-de-la-esfera/ http://revistadelprofesor.files.wordpress.com/2012/05/revista-del-profesor-de-matematicas_ancc83o-1_nc2b0-1_pag-25-37.pdf (pg. 27) http://enebro.pntic.mec.es/~jhep0004/Paginas/ElenManu/arquimedes.htm#PRINCIPIODEARQUMEDES http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#volumen_esfera http://www.uned.es/geo-1-historia-antigua-universal/ALEJANDRO%20MAGNO/Alejandria_Museo.htm http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Arquimedes,%20el%20genio%20de%20Siracusa.pdf (pg. 1, 5)