1 Aritmtica1. La expresin 311+ 311+ 311equivale a:Solution 1 311+ 311+ 311= 3_311_=_31_ _311_= 31+11= 3122. Al nmero de tres dgitos 2a3 se le suma el nmero 326 y da el nmero de tresdgitos 5b9: Si sabemos que el nmero 5b9 es divisible entre 9, entoncesa + b es:Solution 2 2a3 +326 = 5b9 apartir de aqu podemos podemos deducir quea + 2 = b ()Si el nmero 5b9 es divisible por nueve, signica que la suma de sus dgitoses un mltiplo de nueve, i.e 9 j 5 +b + 9; (b solo puede ser un nmero entre 0 y9)5 + 0 + 9 = 145 + 1 + 9 = 155 + 2 + 9 = 165 + 3 + 9 = 175 + 4 + 9 = 185 + 5 + 9 = 19De los clculos anteriores resulta claro que b = 4; sustituyendo este valor en() y despejando a resulta:a + 2 = 4a = 4 2a = 2Luego la suma esa + b = 2 + 4 = 63. A una determinada cantidad le sumo el 10% de s misma y a la cantidadas obtenida le resto su 10%: Qu porcentaje de la cantidad original mequeda?1Page 1 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 3x cantidad original(10%) (x) = 0:1x su diez porcientoLuego la suma esx + 0:1x = 1: 1x1: 1x nueva cantidad obtenida(10%) (1: 1x) = 0:1 (1: 1x) su diez porcientoLuego la resta es1: 1x 0:1 (1: 1x) = 1:1x 0:11x= 0:99xMultiplicando por100xpara dejarlo en porcentaje(0:99x)_100x_= 99:0%4. Al simplicar [(9 4) + (10 + 3)]((6) (5))[(12 + 8) (6 9) (95 90)]el resultado es:Solution 4[(9 4) + (10 + 3)] ((6) (5)) [(12 + 8) (6 9) (95 90)][(5) + (7)] (30) [(4) (3) (5)](5 7) (30) (60)(2) (30) (60)(60) (60)15. Cuntos divisores diferentes tiene el nmero 2000?2Page 2 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 5La descomposicin en factores primos de 2000 resulta en2000 = 2453as 24posee 5 divisores positivos: 1; 21; 22; 23; 24y 53cuatro divisores:1; 51; 52; 53; luego los divisores 2453son:1; 2; 22; 23; 24; 51; 52; 53;25; 252; 253;22 5; 22 52; 22 53;23 5; 23 52; 23 53;24 5; 24 52; 24 53;Para un total de 20 divisores positivos distintos.6. Al simplicar 4 (3)26 3p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9: El resultadoes:Solution 64 (3)26 3p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 4 (9) 6 3 (2) + 2 [(35) 5] 4 12 9= 36 6 6 + 2 (30) 4 12 9= 6 6 + 60 4 12 9= 60 4 12 9= 240 12 9= 20 9= 117. Simplique12 53 343 43 5617 1Solution 7Resolviendo el numerador12 53 34=12 54=2 54= 343Page 3 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Resolviendo el denominador3 43 56= 3 109=27 109=179Resolviendo toda la fraccin compleja12 53 343 43 56=

34179= _

34__ 917_= 2768y nalmente12 53 343 43 5617 1 = 2768 17 1= 45968 1= 274 1= 314= 7348. Cuntos nmeros vlidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo losdgitos 0; 1; 2; 3 y 4?Solution 8Para escribir un nmero vlido de cinco cifras el cero no puede ocupar laprimera posicin, contando de izquierda a derecha, luego el cero tiene 4 posi-ciones posibles y los restantes nmeros cinco posiciones posibles, as el nmerototal de combinaciones sera455554544Page 4 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.9. Pedro tiene 69 aos y su edad excede a la de Juan en un 15%: Qu edadtiene Juan?Solution 9Sea x la edad de Juan y 0:15x su 15%; luego69 = x + 0:15x69 = 1:15xx =691:15x = 60 aos10. En una ciudad,23 de los hombres estn casados con los35 de las mujeres. Sinunca se casan con forateros , Cul es la proporcin de solteros en dichaciudad?Solution 10x proporcin de hombres23x : hombres casadosy proporcin de mujeres35y : mujeres casadasA partir de la inforacin anterior y teniendo presente que son proporcionesde un total, podemos plantear el siguiente sistema, recordemos adems que unhombre se casa con una nica mujer (idealmente)_x + y = 123x 35y = 0Reescribiendo la segunda ecuacin a una ms cmoda23x 35y = 0 (15)10x 9y = 0y amplicando la primera al mutiplicar por 9x + y = 19x + 9y = 95Page 5 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.El nuevo sistema ser_9x + 9y = 9 ()10x 9y = 0 ()Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para x19x = 9x =919Sustituyendo x en ()10x = 9y10_ 919_= 9y9y = 10_ 919_9y =9019y =90199y =1019Luego la propoecin de hombres y mujeres casados ser23x :23_ 919_= 1857 =61935y :35_1019_= 3095 =619619 +619 = 12191219 representa la proporcin de casados, debe entenderse como: por cada 19habitantes (hombres y mujeres) 12 estn casados. Para determinar los solterosslo debemos restar la totalidad (1 porque hablamos de proporciones) de laproporcin de casados.1 1219 =7196Page 6 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.11. El resultado de_12523 + 1612 + 34313_12Solution 11Recordando la denicin para exponentes racionalesaxy =ypaxtenemos12523=3_(125)2=3_(53)2=3p56 = 52= 251612=2p16 =2p42 = 434313=3p343 =3p73 = 7Luego,_12523 + 1612 + 34313_12= [25 + 4 + 7]12= 3612= p36= 612. Obtenga el resultado de(0:027)

13+ 2560:7531+ (4:5)0Solution 12(0:027)

13=_271000_

13=(27)

13(1000)

13= (27)

13(1000)

13=1(27)13

1(1000)13=_1(27)13__(1000)131_7Page 7 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.(27)13=3p27 =3p33 = 3(1000)13=3p1000 =3p103 = 10luego_1(27)13__(1000)131_=_13__101_= 103Rescribiendo el exponente de 2560:750:75 =75100 = 34calculando 2560:75resulta en2560:75= 25634 =4_(256)3=4_(28)3= 224= 64Por las leyes de los exponentes enteros nos resulta que31=13(4:5)0= 1Finalmente(0:027)

13+ 2560:7531+ (4:5)0=103+ 64 13 + 1=10 + 192 1 + 33=2043= 688Page 8 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.13. Cul es el valor de a en (3a)5= 248832 ?Solution 13(3a)5= 2488325_(3a)5=5p2488323a = 12a =123a = 414. Un equipo de jugadores gan 15 juegos y perdi 5. cul es la razn ge-omtrica de los juego ganados a los jugados?Solution 1415 ganados5 perdidos20 total jugados1520 = 3415. Si x es un nmero par y y un nmero impar. Cul de la siguientes armaciones siempre es falsa?Solution 15x = 2ny = 2n + 1x + y = (2n) + (2n + 1) = 4n + 1 = 2 (2n) + 1 = 2k + 1 siempre imparx + x = 2n + 2n = 4n = 2 (2n) = 2k siempre par9Page 9 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.xy2= (2n) (2n + 1)2= n(2n + 1) la paridad est en dependencia de ny + y2= 2y2= y = 2n + 1 siempre impar16. El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es 105 y su mximo comndivisor es 5. Cul de los siguientes nmeros puede representar la sumade estos dos nmeros?Solution 16(a; b) = 5[a; b] = 105de la aritmtica sabemos quejabj = (a; b)[a; b]Es decir, el producto de el mximo comn divisor y el mnimo comn mlti-plo de dos nmeros es igual al valor absoluto de dichos nmeros. Replantendoel problema serab = 5105ab = 525esto es, dos nmeros que multiplicados den 525 y adems cumplan las condi-ciones pedidas525 5105 521 37 71A partir de esta descomposicin, determinamos todos los pares de nmeroscuyo producto es 525, obtrnemos su suma y vericamos que cumpla las condi-ciones pedidas.10Page 10 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.5 + 105 = 11025 + 21 = 4615 + 35 = 507 + 75 = 823 + 175 = 178es claro que los nicos nmeros que cumplen los requerimientos pedidos son15 y 35 luego la suma es 50.17. La maestra distribuy la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5nios y se qued 3 para ella misma. No se acuerda cuntos dulces tena,pero se acuerda que era un mltiplo de 6 entre 65 y 100. cuntos dulcestena?Solution 17Sea x el nmero total de caramelos, al repartirlos entre 5 nios sobran tres,para la maestra, esto se traduce enx = 5k + 3es claro que el nmero de caramelos repartidos entre los nios debe ser unmltiplo de 5; luego los mltiplos de 5 entre 65 y 100 son70; 75; 80; 85; 90; 95ahora, agregamos los tres de la maestra y vericamos cul de ellos es mltiplode 6, cmo asegura la maestra70 + 3 = 73 !6 - 7375 + 3 = 78 !6 j 78 !78 = 5 (15) + 380 + 3 = 83 !6 - 8385 + 3 = 88 !6 - 8890 + 3 = 93 !6 - 9395 + 3 = 98 !6 - 98de sta discriminacin resulta que: la cantidad de caramelos era 78, repartieron75 y 3 le quedaron a la maestra.(El smbolo j se lee divide y - no divide )11Page 11 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.18. Cul de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero?Solution 182003n : la paridad est en dependencia de nn2+ 2003 : la paridad est en dependencia de nn3: impar slo si n es impar2n2+ 2003 : impar siempreLa suma de un nmero par _2n2_ con un nmero impar (2003) siempre esun nmero impar.19. La solucin de_5 4__12_2112 1__4Solution 19_5 4__12_2112 1__4= _5 4_14 112 1__4= _5 4_

34

12__4= _5 4__

34__

21___4= _5 4_64__4= [5 6]4= [1]4= 120. Supongamos que 2001 = (n 2)n(n + 1)n1+1 Cunto vale n, si n es unnmero entero?12Page 12 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 202001 = (n 2)n(n + 1)n1+ 12000 = (n 2)n(n + 1)n12000 21000 2500 2250 2125 525 55 512000 = 24 53Como la descomposicin en factores primos es nica entonces podemos es-cribir(n 2)n(n + 1)n1= 24 53luego(n 2)n= 24de donden = 4tambin podemos escribir(n + 1)n1= 53de donde resultan 1 = 3n = 421. El resultado de la operacin22545+ 3134341412+ 51524

_ 720 112_13Page 13 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 21Resolviendo para el numerador2 2545=8545= 85 54 = 23 1343=8343= 83 34 = 2luego2 2545+ 3 1343= 2 + 2 = 4Resolviendo para el denominaor4 1412=15412= 154 21 = 1525 1524=24524 = 245 124 = 15luego4 1412+ 5 1524= 152+ 15 = 7710Resolviendo toda la fraccin compleja resulta en47710

_ 720 112_= (4)_1077_

_7740_=4040= 122. Calcular el producto LH sabiendo que L = a +b +c; H = d +c = f +g;siendo a; b; c; d; f; g nmeros naturales y que bf= 91; ad = 18;c d = 16; b g = 39:14Page 14 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 22b f = 91 = 13 7b g = 39 = 13 3de aqu resulta evidente queb = 13; f = 7; g = 3por otra partea d = 18 = 322c d = 16 = 232de donde podemos concluir quea = 32= 9; d = 2; c = 23= 8FinalmenteL H = (a + b + c) (f + g)= (9 + 13 + 8) (7 + 3)= (30) (10)= 30023. Al desarrollar la expresin ___p625a8_2el resultado esSolution 23____p625a8__2= _8p625a8_2= _8p54a8_2= _512a_2= 5a215Page 15 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.24. El resultado de _a 3_apaesSolution 24_a 3_apa =_3_a3 apa=_3_pa6 a2 a=12pa9= a 912= a34=4pa325. Al desarrollar el binomio __A+pA2B2+_ApA2B2_2el resultado esSolution 25Recordemos que (a + b)2= a2+ 2ab + b2y que (a + b) (a b) = a2b2___A +pA2B2+_ApA2B2__2___A +pA2B2__2+2___A +pA2B2_____ApA2B2__+___ApA2B2__2A +pA2B2+ 2____A +pA2B_ _ApA2B_4__+ ApA2B2A +pA2B + ApA2B2+ 2_12_A2(A2B)_2A2+pBA +pB16Page 16 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.26. Una epidemia mat los 58 de las reses de un ganadero y luego l vendi los 23de las que le quedaban. Si an tiene 216 reses, cuntas tena al principio,cuntas murieron y cuntas vendi?Solution 26Sea x el nmero de reses que tenaUna epidemia mat58x; luego le quedaron38xVendi23_38x_= 14xLuego, el total de reses es: las que murieron ms las que vendi ms las quean tiene, es decirx =58x + 14x + 216x 58x 14x = 2168x 5x 2x8= 216x8= 216x = (8) (216)x = 1728Tena 1728 reses, murieron58x = 58 (1728) = 1080 y vendi14x = 14 (1728) =432:27. Una galina pone 2 huevos en tres das. cuntos das se necesitan para quecuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?Solution 27Vamos a usar la regla de tres compuesta++1 gallina 2 huevos3 das4 gallina 24 huevos x das +Luego encontramos xx =(1) (24) (3)(4) (2)=728= 917Page 17 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.28. El 4123% es equivalente aSolution 28Aplicando una regla de tres simple tenemos que1 100%x4123%el nmero mixto 4123 puede escribirse como1253 ; luego resolviendo para xtenemosx =_1253 %_100%=1253 1100=125300=51229. Hallar el nmero cuyo 3.6% vale3 + 4:2 0:1_1 0:3 213_0:3125Solution 293 + 4:2 0:1_1 0:3 213_0:3125=3 + 4 210 110_1 310 73_

312510000=3 + 4210 101_1 103 73_

312510000=3 + 42_103 73_

312510000=45312510000= 14418Page 18 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.luego por regla de tres tenemosx100%45 3:6%Resolviendo para xx =144 100%3:6%=144003:6= 400019Page 19 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.30. Resuelva la suma__a +_a24a+__a _a24aSolution 30Podemos reescribir la expresin de modo siguiente_____a +_a24a+__a _a24a__2Resolviendo el cuadrado del binomio en la forma (a + b)2= a2+ 2ab + b2_____a +_a24a__2+ 2____a +_a24a______a _a24a__+____a _a24a__2__a +_a24a+ 2______a_2__a24a_2___+_a _a24a__a +_a24a_a _a24a+ 2_a a24a_2_a + 2_a2a2 + 4a_2_a + 2_4a_2_a +4_a_2 (_a)2+ 4_a_2a + 4_a1Page 20 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.31. La operacin + est denida por a+b = 2ab3b en la que a y b son nmerosenteros. cul es el resultado de [4 + (1)] + (3) ?Solution 31Aplicando la denicin de + primeramente al corchete de la izquierda[4 + (1)] + (3) = [2 (4) (1) 3 (1)] + (3)= [8 + 3] + (3)= (5) + (3)Aplicando la denicin de + a la ltima expresin obtenida[4 + (1)] + (3) = (5) + (3)= 2 (5) (3) 3 (3)= 30 + 9= 3932. El conjunto solucin de la desigualdad 4 [1 x[ _ 1 es:Solution 32Como es una desigualdad de valor absoluto, podemos escribir lo siguiente4 [(1 x)]_ 14 + 1 x _ 15 x _ 1x _ 1 5x _ 4x _ 4Ahora cuando el valor positivo4 (1 x)_ 14 1 + x _ 13 + x _ 1x _ 22Page 21 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.luego la solucin es(; 2] ' [4; )Podemos ver este resultado grcamente4 [1 x[ _ 133. El valor de_x2+ y2_es igual a:Solution 33Recordemos la denicin de valor absoluto[a[ =___a si a > 0a si a < 00 si a = 0Aplicando dicha denicin entonces_x2+ y2_= __x2+ y2_= _x2+ y2_3Page 22 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.34. El conjunto solucin de [2x 3[= [x + 5[ es:Solution 34Recordemos que si[x[ = [y[ x = y x = yTeniendo esto presente podemos escribir[2x 3[ =[x + 5[ 2x 3 = x + 5 2x x = 5 + 3 x = 8[2x 3[ =[x + 5[ 2x 3 = (x + 5) 2x 3 = x 5 2x + x = 5 + 3 3x = 2 x = 23luego tenemos que la solucin es_23; 8_.35. El valor necesario de n para obtener el quinto nmero primo en 1+2+22+23+ + 2nes igual a:Solution 35Recordemos que los primeros nmero primos son2 3 5 7 11 13 17 19| | | | | | | |1ro2do3ro4to5to6to7mo8voluego el quinto nmero primo es 11: Por otro lado evaluemos la suma1 + 2 + 22= 74Page 23 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.adems11 = 7 + 4 = 7 + 22= 1 + 2 + 22+ 22De estos resultados podemos concluir que no existe un entero n en 1 + 2 +22+23++2nde manera tal que el resultado sea 11:(no existe n ,= 2; obsrveseque n es creciente en la sucesin 0; 1; 2; 3; 4; 5; : : :)36. En el ao 1982 la edad de la tierra era de 1:31017segundos y la de lapirmide de Keops, 1:51011segundos. La diferencia de edad entre latierra y la pirmide en notacin cientca es:Solution 36.Teniendo presente la denicin de notacin cientcaa = c 10n; donde 1 _ c < 10; y n enteroy las propiedades de los exponentes podemos escribir1:3 1017= 1:3 1011+6= 1:3 1061011= (1300 000) 1011Calculando la diferencia tendramos1:3 10171:5 1011= (1300 000) 10111:5 1011= (1300 000 1:5) 1011= (1299998:5) 1011= _1:2999985 106_1011= 1:2999985 101737. La luz recorre aproximadamente 3 105km por segundo. Cuntos metrosrecorrer en 365 das? El resultado en notacin cientca es:5Page 24 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 37De la fsica sabemos quev =dtd = vt (+)Primero reescribimos la velocidad 3 105km=s a metros por segundos3 105kms= 3 105_1000m1s_= 3 105_103m1s_3 108m=sluego el tiempo 365 das a segundos1 da86400 segundos365 das dd = (365) (86400 seg)1d = 31536000segd = 3:1536000 107segAplicando la ecuacin (+)d = _3 108m=s_ _3:1536000 107s_= (3 3:1536000)_108m=s 107s_= 9:4608 1015m38. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3105km=s: La estrella mscercana a la tierra est a 4300 aos luz de distacia. La distacia en km yescrita en notacin cientca es:6Page 25 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.Solution 38Por el ejercicio anterior sabemos que un ao tiene 3:1536000107seg, luegoun ao luz es la distancia que recorre la luz durante todo un ao, esto es1 ao luz = _3 105km=s_ _3:1536000 107s_= (3 3:1536000)_105km=s 107s_= 9:4608 1012kmLuego como se trata de 4300 aos tenemos que(4300)_9:4608 1012km_= _4:300 103_ _9:4608 1012km_= (4:300 9:4608)_1031012km_= 40:68144 1015km= 4:068144 1015kmNota: la estrella ms cercana a la tierra es el sol a 0:0000158125 aos luz dedistancia, seguida por Prxima Centauri (V645 Centauri) a 4:2420(16) aos luzde distancia.39. Segn la constante de Avogadro, 22:4 litros de cualquier gas, en condicionesnormales equivale a 6:021023molculas de ese gas. Una persona inspira3:36 litros de aire y tarda, en la inspiracin, 2 segundos. Cuntas molcu-las de aire ha inspirado por cada segundo?D la respuesta en notacincientca.Solution 39Podemos plantear una regla de tres para resolver el problema, como sigue22:4 litros 6:02 1023molculas3:36 litros xresolviendo para x tenemosx =(3:36 litros)_6:02 1023molculas_22:4 litrosx =20:2272 1023molculas22:4x = 0:903 1023molculas7Page 26 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.en notacin cientcax = 9:03 1022molculasen un segundo tendramos9:03 10222= 4:515 1022molculas40. El nmero de tomos de hidrogno en un mol es la constante de Avogadro,6:021023.Si un mol del elemento tiene 1:01 gramos de masa, la masade un tomo de hidrognos es:Solution 40Del enunciado del problema podemos establecer las siguientes relaciones1 mol6:02 1023nmero de tomos de hidrogno1 mol1:01 gramos de masaluego podemos deducir que la masa de un tomo de hidrogno es1:016:02 1023=1:016:02 11023= 0:16777 1023= 1: 677 7 1024esto es, el total de la masa entre el nmero de tomos.8Page 27 of 27Elaborado por Jos A. Siles R.