5/22/2018 Aritmetica Modular

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Aritmtica modular 1

Aritmtica modular

Cubierta de la edicin original de Disquisitiones

arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la

aritmtica modular.

En matemtica, la aritmtica modular es un sistema aritmtico para

clases de equivalencia de nmeros enteros llamadas clases de

congruencia. La aritmtica modular fue introducida en 1801 por Carl

Friedrich Gauss en su libroDisquisitiones Arithmeticae.[1]

Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmtica del reloj, ya que

los nmeros dan la vuelta tras alcanzar cierto valor llamado

mdulo.[]

Relacin de congruencia

El tiempo llevado por este reloj usa aritmtica en

mdulo 12.

La aritmtica modular puede ser construida matemticamente mediante

la relacin de congruencia entre enteros, que es compatible con las

operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicacin. Para

un determinado mdulo n, sta se define de la siguiente manera:[2]

a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" mdulo

n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o,

equivalentemente, si a b es un mltiplo de n.

Esta relacin se puede expresar cmodamente utilizando la notacin de Gauss:[2]

As se tiene por ejemplo

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir por 10, o, equivalentemente, 63 83 es un mltiplo de 10.

Se lee:[2]

63 es congruente con 83, mdulo 10, o 63 y 83 son congruentes uno con otro, mdulo 10.

Mdulo a veces se abrevia con la palabra mod al hablar, de la misma manera que como est escrito y provienede la palabra modulus del latn, la lengua de los escritos originales de Gauss. As, el nmero n, que en este ejemplo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_de_los_n%C3%BAmeros_enteroshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AClock_group.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_Arithmeticaehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1801http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clase_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ADisqvisitiones-800.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_arithmeticaehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_arithmeticae

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Aritmtica modular 2

es 10, sera el modulus.

Otro ejemplo; cuando el mdulo es 12, entonces cualesquiera dos nmeros que divididos por doce den el mismo

resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los nmeros

..., 34, 22, 10, 2, 14, 26,...

son todos "congruentes mdulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos

por 12. La coleccin de todos esos nmeros es una clase de congruencia.[3]

Propiedades principales

Clases de equivalencia mdulon

La aritmtica modular se basa en una relacin de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota

con [a]n

(o simplemente [a] si sobreentendemos el mdulo.) Otras notaciones son por ejemplo a + nZ o a mod n. El

conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con Z/nZ = { [0]n, [1]

n, [2]

n,..., [n-1]

n}.[]

Esta relacin de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definicin:[]

Si

y

entonces

y

Lo que muestra que la suma y la multiplicacin son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases deequivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicacin estn definidas sobre Z/nZ mediante las frmulas

siguientes:[]

De este modo, Z/nZ se convierte en un anillo con n elementos. Por ejemplo, en el anillo Z/12Z, se tiene :[8]12

[3]12

+

[6]12

= [30]12

= [6]12

.

Resolucin de congruencias

Si a y b son enteros, la congruencia: ax b (modn) tiene solucin x si y slo si el mximo comn divisor (a, n)divide a b. Los detalles estn recogidos en el teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias ms

complicados con mdulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el mtodo de sustitucin

sucesiva.[4]

En el anillo de enteros, si consideramos la ecuacin ax 1 (modn), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y

slo si a y n son coprimos. Por tanto, Z/nZ es un cuerpo si y slo si n es un primo.[5] Se puede probar que cada

cuerpo finito es una extensin de Z/pZ para algn primop.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuerpo_finitohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuerpo_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coprimohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inverso_multiplicativo_%28aritm%C3%A9tica_modular%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_congruencia_lineal%23Sistemas_de_congruencias_linealeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_congruencia_lineal%23Sistemas_de_congruencias_linealeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_chino_del_restohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_congruencia_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Congruenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bien_definidohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clase_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Relaci%C3%B3n_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Resto

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Pequeo teorema de Fermat y teorema de Euler

Un hecho importante sobre aritmtica modular, cuando los mdulos son nmeros primos es el pequeo teorema de

Fermat: sip es un nmero primo, entonces:[6]

Si a es cualquier entero:

Si a es un entero no divisible por p:

Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, :a(n) 1 (mod

n), donde (n) denota funcin phi de Euler que cuenta el nmero de enteros entre 1 y n que sean coprimos con

respecto a n.[7] El teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las

unidades del anillo Z/nZ.

Generalizaciones

Dos enteros a, b son congruentes mdulon, escrito como:a b (modn) si su diferencia a b es divisible por n,

esto es, si a b = kn para algn entero k.

Usando esta definicin, podemos generalizar a mdulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir a b (mod ) si a

b = k para algn entero k. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la teora de los anillos.

En lgebra abstracta se ve que la aritmtica modular es un caso especial del proceso de crear un anillo factorial de

un anillo mdulo un ideal. SiR es un anillo conmutativo, eI es un ideal deR, entonces dos elementos a y b deR se

dicen congruentes mduloI si a b es un elemento deI. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en

una relacin de equivalencia, y la suma y la multiplicacin se convierten en operaciones bien definidas sobre el

anillo factorialR/I.

Aplicaciones de la aritmtica modularLa aritmtica modular, estudiada sistemticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del Siglo XVIII,

se aplica en teora de nmeros, lgebra abstracta, criptografa, y en artes visuales y musicales.

Las operaciones aritmticas que hoy en da hacen la mayora de las computadoras son aritmtico modulares, donde

el mdulo es 2b (b es el nmero de bits de los valores sobre los que operamos). Esto se ve claro en la compilacin de

lenguajes de programacin como el C; donde por ejemplo todas las operaciones aritmticas sobre "int", enteros, se

toman mdulo 232 en la mayora de las computadoras.

En el arte

En msica, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmnica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmtica modular se usa cuando consideramos la escala de doce

tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo. En artes visuales esta aritmtica puede usarse para

crear patrones artsticos basados en las tablas de multiplicacin mdulo n (ver enlace abajo).

Referencias

[1] . (Traduccin al espaol) (http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf)

[2] . (Traduccin al espaol) (http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf)

[6] . (Traduccin al espaol) (http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf)

[7] Euler, Leonhard Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta , enNovi Comment. acad. sc. Petrop., vol. 7, 1761, p. 49-82.

Texto orginal del latn Dartmouth College (Euler archive) (http:/

/

math.

dartmouth.

edu/

~euler/

) con nmero E262. Traduccin al ingls :

http://math.dartmouth.edu/~euler/http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdfhttp://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdfhttp://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdfhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dodecafonismohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Temperamento_igualhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Equivalencia_enarm%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Octavashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lenguaje_de_programaci%C3%B3n_Chttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Criptograf%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_abstractahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ideal_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_factorialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_abstractahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Divisiblehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Lagrange_%28teor%C3%ADa_de_grupos%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coprimohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_phi_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat

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Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Modular arithmetic (http://mathworld.wolfram. com/ModularArithmetic.html) (en

ingls).MathWorld. Wolfram Research.

Perl arithmetic enhancements (http://archive.develooper.com/perl6-internals@perl.org/msg05492.html) -

explica las razones que se encuentran tras el operador de Perl %

http://archive.develooper.com/perl6-internals@perl.org/msg05492.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfram_Researchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=MathWorldhttp://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eric_W._Weisstein

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Fuentes y contribuyentes del artculo 5

Fuentes y contribuyentes del artculoAritmtica modularFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66430395 Contribuyentes: Alexav8, Alpertron, Atardecere, Cr2009, DamianFinol, Diegusjaimes, Digigalos, Eduman,Fercufer, Gusbelluwiki, Ingenioso Hidalgo, Ivn, Jkbw, Juan Mayordomo, Julio grillo, Kn, Linkedark, Lus Felipe Braga, Marsal20, Martingala, Neodop, Raulshc, Rmih, Sabbut, Sanse,VictorGonI, 45 ediciones annimas

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