00 aritmetica entera y modular
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ALGEBRA
JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
ALGEBRA Curso 2008/09
Tema III. ARITMETICA ENTERA Y
MODULAR.
Jos e Juan Carre no Carre no
Departamento de Matematica Aplicada
Escuela Universitaria de InformaticaUniversidad Politecnica de Madrid
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ALGEBRA
JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
INDICE
Tema III. ARITMETICA ENTERA Y MODULAR.
1 Divisibilidad en Z.
Definicion y propiedades.
Teorema fundamental de la aritmetica.
Maximo comun divisor. Algoritmo de Euclides.
Teorema de Bezout. Algoritmo de Euclidesextendido.
Ecuaciones diofanticas lineales.
2 Aritmetica modular.
Suma y producto en Zn. Propiedades.
Ecuaciones modulares.
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ALGEBRA
JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Definicion y propiedades. 1
Definicion:
Dadosa,
bZ se dice queadivide a b, y
lo notamosab, si existe c Z tal que b = a c.
Si ab se dice tambi en que
aes divisor deb
o bien que
b es m ultiplo dea.
Si ano divide ab se denota ab.
Ejemplo:
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Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Definicion y propiedades. 2
Proposicion: Para todo a, b, c Z
se verifica:
1 1 a, 1 a, a0.
2 aa, |a| a.
3 Si a
b y b
a = a= b.
4 Si a b = a b x x Z.
5 Si a b, a c = a bx + cy x, y Z.
6 Si x = y + z, a
x, a
y = a
z x, y, z Z.
DEM.
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Teorema fundamental de la aritmetica. 1
Definicion: Seap N, p > 1. Diremos quep es unnumero primo si sus unicos divisores enN son1 yp, es
decir:
n N : n
p = n = 1 o n = p.
Si n N, n > 1 y n no es primo, se dice que n escompuesto.
Ejemplo:
Teorema: Sean N, n > 1, entonces n es divisiblepor, al menos, un n umero primo.
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propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Teorema fundamental de la aritmetica. 2
Teorema: Teorema Fundamental de la Aritmetica
Todo n umeron N
, n > 1, se descompone de maneraunica, salvo el orden de los factores, como producto den umeros primos, es decir,
existen unicos p1, . . . , pr N, n umeros primos,
y existen unicos 1, . . . , r N :
n = p11 . . . pr
r
Esta expresion recibe el nombre de descomposicion en
factores primos de n.
Ejemplo:
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propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Maximo comun divisor. 2 Proposicion: a, b Z se verifica
1 mcd(a, b) 0.
2 mcd(a, 0) = |a|.
3 mcd(a, na) = |a|, n Z.
4 mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|).
Definicion: Se dice quea, b Z sonprimos relativossi los unicos divisores comunes deayb son 1 y 1,es decir, si mcd(a, b) = 1.
Ejemplo:
Proposicion: Seana, b Z tales quea, b > 1.Elmcd(a, b) coincide con el producto de los primoscomunes de las descomposiciones en factores primos de a
y b elevados al menor exponente.
Ejemplo:
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propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides. 1
Proposicion: Algoritmo de Euclides
Seana, b N, tales quea b > 0. Si aplicamos elteorema de divisi on eucldea sucesivas veces, tomando
r0 = a y r1 = b, y las divisiones sucesivas son:
r0 = r1 q1 + r2 con 0 < r2 < r1
r1 = r2 q2 + r3 con 0 < r3 < r2r2 = r3 q3 + r4 con 0 < r4 < r3
......
ri = ri+1 qi+1 + ri+2 con 0 < ri+2 < ri+1...
.
..rn2 = rn1 qn1 + rn con 0 < rn < rn1rn1 = rn qn + rn+1 con rn+1 = 0
entonces, se verifica que mcd(a, b) = rn
el ultimo resto no nulode las anteriores divisiones.
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides. 2
Observaciones: La condicion: a b > 0, delalgoritmo de Euclides no es ninguna restriccion pues:
1 Como mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) este algoritmopuede utilizarse para enteros cualesquiera.
2 Si en el algoritmo de Euclides se efectua la primera
division tomando como divisor el mayor de los dosnumeros dados se realiza una division mas que no
aporta nada significativo.
3 Es habitual disponer los terminos de las divisiones
en una tabla como la siguiente:
r0 = a r1 = b r2 rn1 rn rn+1 = 0
q1 q2 qn1 qn
Ejemplo:
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides. 3
Teorema: Teorema de Bezout.
Sean a, b N
. Entonces se verifica:x, y Z tales que mcd(a, b) = ax + by.
En particular, si mcd(a, b) = 1 entoncesx, y Z tales que 1 = ax + by.
Esta propiedad se llama identidad de Bezout.
Observacion: El recproco de la identidad de B ezouttambien se verifica:
mcd(a, b) = 1 x, y
Z/ 1 = ax + by.
En este caso, para todo m Z se verifica quex, y Z tales que m = ax + by.
Ejemplo:
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
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Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides extendido. 1
El algoritmo de Euclides extendido permite hallar:
dados dos numeros a, b N, tales que a b > 0, elmcd(a, b)
y a la vez calcular dos numeros x, y Z tales quemcd(a, b) = ax + by.
Algoritmo de Euclides extendido.
Para calcular el maximo comun divisor de dos numeros
a, b N, tales que a b > 0, se hace lo siguiente:
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
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Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides extendido. 2
Algoritmo de Euclides extendido.
1 r0 := a, x0 := 1, y0 := 0.
2 r1 := b, x1 := 0, y1 := 1.
3 i := 1.
4 Si ri = 0 devolver ri1.
5
Si ri > 0, hacer Dividir ri1 entre ri generando qi y ri+1 que
verifican:ri1 = qi ri + ri+1 con 0 ri+1 < ri.
Definir xi+1 := xi1 qixi e yi+1 := yi1 qiyi.
Asignar i := i + 1 y volver a (4).
Ademas, si rn es el ultimo resto no nulo, se tiene que
mcd(a, b) = rn = axn + byn.
De hecho ri = axi + byi, i = 0, . . . , n.
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propiedades.Teorema
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Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Algoritmo de Euclides extendido. 3
Ejemplo:
P i d d d di i ibilid d
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Propiedades de divisibilidad.
Proposicion:
a, b, d, p Z se verifica que:
1 Si da b y mcd(d, a) = 1 = db.
2 Si pa b, pa y p es primo = pb.
3 Si pa b y p es primo = p
a o p
b.
4 Si da y db = dmcd(a, b).
DEM.
ALGEBRA E i di f i li l 1
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Ecuaciones diofanticas lineales. 1
Definicion: Una ecuaci on se llamadiof anticacuandos olo interesan sus soluciones enteras. Una ecuaci on
diof antica del tipo ax + by = c con a, b, c Z sellamaecuaci on diof antica linealen dos variables.
Ejemplo: Se considera el siguiente problema:
Una persona quiere gastarse exactamente 150 e en
adquirir dos productos distintos, de los que cada unidadcuesta 48 e y 18 e, respectivamente.
Cuantas unidades puede comprar de cada producto?
Dar todas las posibles soluciones.
ALGEBRA E i di f ti li l 2
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Ecuaciones diofanticas lineales. 2
Teorema: Se considera la ecuaci on diof antica
ax + by = c con a, b, c Z
y d =mcd
(a, b).
1 Si dc entonces la ecuaci onno tiene soluciones
enteras.
2 Si dc entonces la ecuaci on tieneinfinitas soluciones
enteras.
En este caso, si (x0, y0) es una soluci on particular dela ecuaci on, entonces todas las soluciones son:
x = x0 + bd k
y = y0 a
dk
k Z.
DEM.
ALGEBRA E i di f ti li l 3
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Definicion y
propiedades.Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Ecuaciones diofanticas lineales. 3
Ejemplo:
Nota: Si la ecuacion diofantica ax + by = c tienesolucion, para resolverla conviene simplificarla dividiendo
ambos miembros de la ecuacion por mcd(a, b), ya quese obtiene una nueva ecuacion mas sencilla de resolver y
que es equivalente a la anterior, es decir, que tiene las
mismas soluciones.
Ejemplo:
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ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 3
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ALGEBRA
JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 3
Ejemplo: Tablas de la suma en Z2 y Z5.
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 02 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 4
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 4
Notacion: Dados a, k Z notaremos por
k a =
0 k = 0
a . . .k) a k > 0
(a) . . .k) (a) k < 0
Ejemplo: En Z3, con la notacion anterior:
4 2 = 2 2 2 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 = 8 = 2.
4 2 = (2) (2) (2) (2) =
= 1 1 1 1 = 4 1 = 4 = 1.
ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 5
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
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aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 5
Teorema:
EnZn se puede definir una operaci on binaria, llamada
producto de clases,
: Zn Zn Zn(a, b) a b = a b
que verifica las propiedades siguientes
ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 6
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JJCC
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Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto enZn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 6
1 esta bien definida, es decir, es una operacioninterna en Zn.
2 a (b c) = (a b) c, a, b, c Zn(P. Asociativa).
3 1 Zn : a 1 = 1 a = a, a Zn(Existencia de elemento neutro).
4 a Zn tal que mcd(a, n) = 1, a Zn
:a a = a a = 1.(Existencia de elemento inverso)
Al elemento a
lo llamaremos inverso de a y lonotaremos a1. En particular, si p es primo:
a Zp a1 Zp
: a a1 = 1.
5 a b = b a, a, b Zn (P. Conmutativa).
ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 7
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto enZn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 7
Ademas se verifica la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma:
a (b c) = (a b) (a c), a, b, c Zn.
Notacion: Denotaremos la suma y el producto declases con los smbolos de la suma y producto habituales,
es decir, a b lo notaremos a + b. Igual para elproducto: a b.
Observacion: (Zn, +, ) tiene estructura de anillopor verificar las propiedades de los teoremas anteriores.
Ademas cuando p es primo, cada elemento de Zp tiene
inverso y, por tanto, (Zp, +, ) tiene estructura de cuerpo.
ALGEBRA Suma y producto en Zn Propiedades 8
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmetica
modularSuma y producto enZn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 8
Ejemplo: Tablas del producto en Z4 y Z5.
0 1 2 30 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Observaciones:
ALGEBRA Suma y producto en Zn Propiedades 9
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 9
Proposicion: (Propiedad cancelativa en(Zn, ))
Sean a, b, c Zn entonces se verifica
a c = b c y mcd(n, c) = 1 = a= b.
Nota: Si mcd(n, c) = 1 el resultado anterior es falso.
Ejemplo:
ALGEBRA Suma y producto en Zn. Propiedades. 10
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Suma y producto en Zn. Propiedades. 10
Notacion: Dados a, k Z notaremos por
ak =
1 k = 0
a . . .k) a k > 0
a1 . . .k) a1 k < 0, si esta definido a1.
Ejemplo:
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 1
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Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Ecuaciones modulares. 1
Las ecuaciones modulares son ecuaciones de la forma
a x c (mod n) o, equivalentemente
a x = c en Zn.
Estas ecuaciones tienen aplicaciones importantes.
Tambien en Informatica, como es la aplicacion en
Criptologa, que es la ciencia que se encarga de ocultar la
informaci on de forma que solo pueda entenderla su
destinatario.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 2
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Ecuaciones modulares. 2
Uno de los sistemas criptogr aficosmas antiguos es elconocido con el nombre de Julio Cesar.
El proceso de cifradoconsista en:
Traducir las letras a numeros (aplicacion biyectiva).
Aplicar una transformacion a estos numeros
(aplicacion afn).
La cadena de numeros resultante se vuelve a traducir a
letras (inversa de la biyeccion).
Entonces se manda la informaci on cifrada, que el receptor
se encarga de descifrar.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 3
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
La biyeccion f entre numeros y letras viene dada por la
tabla:
A B C D E F G H I J
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
K L M N N O P Q R S
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
T U V W X Y Z
20 21 22 23 24 25 26
La transformacion utilizada por los romanos era:
C P+ 3(mod 27), con 0 P 26.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 4
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8/4/2019 00 Aritmetica Entera y Modular
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Por ejemplo: llamamos T a la transformacion anterior
Si se quiere cifrar el mensaje PAZ
PAZf
16 0 26T
1 9 3 2f1
SDC
el mensaje cifrado que se enva es SDC.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 5
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Para obtener el mensaje en claro, el receptor debe realizar
el proceso inverso. Para ello emplea la funcion inversa de lafuncion de cifrado:
P C+ 24(mod 27), con 0 C 26.
La transformacion T es un caso particular de la familia de
las transformaciones siguientes:
C aP+ b(mod n), donde mcd(a, n) = 1.
Estas transformaciones se llaman transformaciones
afines.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 6
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8/4/2019 00 Aritmetica Entera y Modular
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JJCC
Divisibilidaden Z
Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
En el proceso de codificacion hay que resolver ecuaciones
modulares.
Veamos como se resuelven las ecuaciones modulares del
tipo:
a x = c en Zn
que se corresponden con transformaciones afines en lasque b = 0.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 7
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Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Proposicion: Sean a, c Z, n N,mcd(n, a) = d.
La siguiente ecuaci on de Zn, a x = c:
1 si d c entonces no tiene soluciones.
2 si d c tiene exactamente d solucionesen Zn.
En este caso la ecuaci on diof antica tiene infinitas
soluciones enteras de la forma:
x = x0 +n
dk, y = y0
a
dk, con k Z.
Solo nos interesan los valores de x.
Se verifica que s olo hay d soluciones distintas enZ
n:
x0, x1 = x0 +n
d,
x2 = x0 + 2n
d
, . . . , xd1 = x0 + (d 1)n
d
.
ALGEBRA Ecuaciones modulares. 8
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Definicion y
propiedades.
Teorema
fundamental de la
aritmetica.
Maximo comun
divisor. Algoritmo de
Euclides.
Ecuaciones
diofanticas lineales.
Aritmeticamodular
Suma y producto en
Zn. Propiedades.
Ecuaciones
modulares.
Nota: En particular, si mcd(n, a) = 1, la ecuaciona x = c tiene solucion unica:
x = a1 c
DEM.
Observacion: La ecuacion modular a x = c tienesolucion en Zn la ecuacion diofantica ax + ny = c tiene soluciones
enteras.
Nota: La ecuacion ax + ny = c se llama ecuaciondiofantica asociada a la ecuacion modular a x = c.
Ejemplo: