aritmetica conjuntos numeracion etc

8/18/2019 Aritmetica Conjuntos Numeracion Etc

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ACADEMIA DE ORO ARITMETICA

NOCIÓN DE CONJUNTO

Intuitivamente un conjunto es lareunión, colección o agrupación de

objetos reales o ideales, a estos objetosse les denomina ELEMENTOS delconjunto.

Los conjuntos generalmente sedenotan con letras maysculas !", #, $,%&' y sus elementos separados porcomas y encerrados entre llaves.

Ejemplos(

" ) *+, , -, /# ) *Las 0niversidades del

1er/

$ ) *a, b, ∆, 2/

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

I. Por Extensión o en FormaTabuarEs cuando se pueden indicare3pl4citamente a cada uno de loselementos de un conjunto,enumer5ndolos o indic5ndolos en6orma sobre entendida.

Ejemplos(

" ) *7, 8, 9, , ::/# ) *:, ;, , :+, 79/$ ) *a, e, i, o, u/

II. Por Com!rensión o en FormaConstru"ti#aEs cuando se menciona una o m5scaracter 4sticas comunes y

e3clusivas a los elementos delconjunto.

RE$ACIONES ENTRE CONJUNTOS

A. In"usión ⊂ Se dice "

TEOR-A DECONJUNTOS


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Ejemplo(

" ) *a, *a/, b, c/

a ∈ " *b/ ∉ "e ∉ " c ∈ "

*a/ ∈ " **c// ∉ "

DIARAMAS DE /ENN 0 EU$ER

Son regiones planas limitadas por?guras geomtricas cerradas


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Pro!ie+a+6 ⊂ Ζ ⊂ 8 ⊂ R ⊂ C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

I. Unión o ReuniónLa unión de dos conjuntos ="> y =#>es el conjunto 6ormado por laagrupación de todos los elementos

de ="> con todos los elementos de=#>.Notación( " ∪ # !" o #'

Simbólicamente se de?ne(A ∪ % , :x;x ∈ A ∨ x ∈ %<

Obser#a"ión

= ∨ ó ( unión>

Ejemplo(

{ }

{ }

=

=

;8,#

87,"" ∪ # ) *7, 8, ;/

POSICIONES RE$ATI/AS PARA 'CONJUNTOS A = %

"#

0

" #

0

" #

0

→ % ∪ A

Obser#a"ión

Si ( # ⊂ " ⇒ " ∪ # ) "

Pro!ie+a+es6" ∪ # ) # ∪ " !$onmutativa'" ∪ !# ∪ $')!" ∪ #' ∪ $!"sociativa'" ∪ " ) " !Idempotencia'" ∪ 0 ) 0" ∪ ∅ ) " !Elemento Neutro'

II. Interse""iónLa intersección de dos conjuntos=">y =#> es el conjunto 6ormado porlos elementos pero no a =#>Simbólicamente(

A @ % ⇔ n4A5 , n4%5

C$ASES DE CONJUNTOS

A. Con2unto Finito0n conjunto es ?nito, si posee unacantidad limitada de elementos, es

decir el proceso de contar elementos termina en amomento.

Ejemplo(

" ) *33 es un contribuyente dSunat/# ) *33 es un mes del ao/

%. Con2unto InBnito0n conjunto es in?nito, si tienecantidad ilimitada de elemedi6erentes@ es decir el procesocontar sus elementos ntermina.

Ejemplo(

" ) *11 es un nmero primo/# ) *33 ∈ I ∧ - 3 /$ ) *33 es una estrella universo/

CONJUNTOS ESPECIA$ES

&. Con2unto Nuo o /a"oEs a


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" ) * 33 ∈ & ∧ :H 3 :7/ )*::/# ) * 7, 7, 7, 7, %/ ) *7/

(. Con2unto Uni#ersa 4 U 5Es un conjunto re6erencial para elestudio de una situación particular,


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POSICIONES RE$ATI/AS PARA 'CONJUNTOS A = %

"#

0

" #

0

" #

0

Obser#a"ión2 Si( # ⊂ " ⇒ # " ) ∅2 Si( " y # son conjuntos disjuntos

" ∆ # ) " ∪ #

Pro!ie+a+es62 " ∆ # ) !" B #' ∪ !# B "'2 " ∆ # ) !" ∪ #' B !" ∩ #'2 " ∆ # ) ∅2 " ∆ ∅ ) "Ejemplo(

7,9/*#"

9/;,*8,#

/;8,7,*"

=∆

=

=

/. Com!ementoEl complemento de ", es el conjunto6ormado por los elementos "


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d' H e' 8

&'.Aado el siguiente conjunto unitario(" )*9\B;b@ 8+@ aFb/@ calcular( 7b B a

a' + b' - c' :Hd' :7 e' B:9

&(.Si( n!"')H@ n!#')9H y n!"∩#')87.allar n!"∪#'

a' +- b' - c' -d' 9- e' --

&).Si(" ) *;@ 9@ +/# )*+@ /$ ) *8@ 9@ @ /$u5ntos elementos tiene(

E )!" B #' ∪ !"B$'

a' 8 b' ; c' 7d' 9 e' :

&.Sean los conjuntos(")*:@ 7@ 8@ ;/, #)*7@ ;@ +/, $)*7@

8@ ;/

Qallar el nmero de elementos si(

E ) U!"B#'∪!"B$'V ∪U!#B$' ∪!#B"'V

a' 9 b' ; c' 8d' 7 e' :

&.Si(" ) *33∈N ∧ 7≤ 3 ≤+/# ) *33∈N ∧ 8≤ 3 ≤/Qallar el nmero de subconjuntos de!"∆#'

a' - b' :+ c' :7-d' 87 e' +;

&K.Ae :HH alumnos se conoce


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.Y$u5ntos elementos tiene elconjunto ", sabiendo


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$uatro Tres Aos uno

: H : 7!8'

ORDEN

Nota6 En 6orma pr5ctica la base nos indicade cuanto en cuanto estamosagrupando las unidades

Con"usiones6:. Toda ci6ra ci6ras di6erentes, lascuales son(

ivasigni?catnoci6ra

ivassigni?catci6ras

:'B!n ,.......... 8, 7, :, H,

m53imci6ra

↑

↓

" mayor numeral aparente lecorresponde menor base.Ael ejemplo obtenemos(87 ) ;H!-' ) ;;!' ) 7HH!;' ) :H:7!8'

Es decir, si :7Hn ) ;9]$omo( :7H ;9

"?rmamos( n ]

A$UNOS SISTEMAS DENUMERACIÓN

%ase

NombreDe

Sistema

Ci3ras

78;9+

-:H:::7

#inario Ternario$uaternario[uinarioSenario

QeptanarioOctavarioNonarioAecimal0ndecimalduodecimal

H,:H,:,7H,:,7,8H,:,7,8,;H,:,7,8,;,9H,:,7,8, % +

H,:,7,8, % H,:,7,8, % -H,:,7,8, % H,:,7,8, % !:H'H,:,7,8,...!:H',!::'

Nota6 1or convención, cuando la ci6ra esmayor a base :H!n≠H'

Ejemplo( E3prese 97;+, en base 97;+)93+7F73+F;):+

∴ 97;+):+

7. Ae base :H a base =n> !n≠H'Ejemplo( E3prese :+, en base +

:H +

87 +;7 9

∴ :+ ) 97;+

Pro!ie+a+es.A. Numeral de ci6ras m53imas

) :H : - ) - : ) :H7 : - ) -7 : ) :H8 : - ) -8 :

En general(

nci6ras]^^

:'B!n...:'B:'!nB!n ) n]

%. :c ) n F c

n:b:b ) n F c F b

n:c:b:a ) n F c F b F a

En general(

n:3:d:c:b:a

) n F 3 F % FdFcFbF

Casos Es!e"iaes +e Con#ersión&. De base nQ a base n Q

1rocedimiento( "l numeral dado se les se

en blo


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$ada blo

Ejemplo( E3presar :::H:::H:::7 abase -

Resou"ión6

$omo - ) a8

las ci6ras se separan enblo si(

n 7;'!n!n:'B7'!nB8'!nB!n −−=

a' ; b' 9 c' +

2015 “ ="o de la Aiversi?cación 1roductiva y del Dortalecimiento de la Educación” 2015“ ="o de la Aiversi?cación 1roductiva y del Dortalecimiento dEducación>"


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d' e' -

'.Qallar !a F b' en la siguientee3presión(

;'!n'+! 8'7'!n:'!nn!nabb ++++=

a' b' + c' 9d' ; e' 8

'&.Qallar !a F b' si(

!'!+' bab!7a'ba =

a' ; b' 9 c' +d' e' -

''.Qallar !a F b' si ( :7;!a' ) b:

a' :8 b' 7: c' 77d' 78 e' 7H

'(.Qallar !aFbFc' si(

!''! :'Hab!baabc += )H

a' - b' c' :Hd' e' :7

').Qallar( !aFbFc', si( !9'!$' bcHa8b =

a' :7 b' :8 c' -d' + e'

'.Qallar !aFbFc', si(

!;'!9' bacb:'aab!a =+

a' 8 b' ; c' 9d' :: e'

'.Si( '-!:; :+7:8ab:+

:9=

allar(ab

F a F b

a' 9 b' :H c' ::Hd' ::: e' :H:

EJERCICIOS PROPUESTOS N '

&.Si a un nmero de tres ci6ras se leagrega un - al ?nal, el nmerooriginal , si( 987a ):H-

a' 7 b' 8 c' ;d' H e' :

. Si( cdaabcd− ):7-

adem5s( cdab+ )99Qallar( a Fb Fc Fd

a' b' :H c' :7d' :8 e' :;

&. "l e3presar el nm;;;;;;;;;; en el sistema dectermina en la ci6ra(

a' ; b' 8 c' 7d' : e' H



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DI/ISI%I$IDAD DE $OS N1MEROS0n nmero entero " se dice


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Aonde(rd F re ) #

Si un nmero no es mltiplo de unmódulo, se puede e3presar diconmero respecto a este módulo, porde6ecto o por e3ceso.

Ejemplo(

+8 ) :H 3 + F8 +8 ) :H 3 B

+8 ) o

:HF8 +8 ) o

:HB

"dem5s(

N ) o7:

F::⇒M ) o7:

B:H

M ) o

:HB+⇒M) o

:HF;

A!i"a"iones6

&. $alcule la suma de todos nmerospositivos de dos ci6ras, tal


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:. $alcule el residuo al dividir Nentre si(

N ) 88 3y:H3mn3ab:7

pta. +

7. $alcule el residuo al dividir "entre 77 si(" ) 78 3 7; 3 79 3 % 3 7

pta. 7

%INOMIO DE NETON6Sea la multiplicación(

6actores]^^

oooo!a'n3!...a'3na'!na'!n! =±±±±

Su desarrollo(

:. a'n!o±

)±

on

a]

7. ]o

a'n! ±

−

+

]o

]o

an

impaes_ Si

an

pares_ Si

Ejemplos(

!o F7'

+ )o

F7+

!o

B 8'7H )o

F8

7H

;9'9:

o

! −)

;99:

o

−

abc':;8

o

! +)

:;8

o

+

ab8:':-

o! −

)

:-

o

−

A!i"a"iones:. $alcule el residuo al dividir(

" ) !:888'9H- entre ::pta. 8

7. Si( # ) +787'ab:H:! se e3presa en

base -, calcule la ltima ci6ra.pta. 9

8.:+9

oab −=

adem5s ab)o

calcule la suma de valores de abpta. 88+

RESTOS POTENCIA$ESSe llaman restos potenciales de unentero E!di6erente de cero' respecto aun módulo m a los residuos

Ejemplo($alcular los restos potenciales de 9respecto al módulo .

9H ) HF:)%%%%.. )o F :

9: ) HF9 )%%%%. )o

F 9

97 )9.9 )%%%%.. )o F 79 )

o

F

98) 9.97 )%%%%.. )!oF9'!

oF'

)oF89)

oF-

9;)9.98 )%%%%.. ) ! oF9'!oF-'

)oF;H)

oF;

99)9.9; )%%%%.. )!oF9'!

oF;'

)oF7H)

oF7

9+)9.99 )%%%%.. )!oF9'!

oF7'

)oF:H)

oF:

9)9.9+ )%%%%.. )!oF9'!

oF:'

)o

F9

9-)9.9 )%%%%.. )!oF9'!

oF9'

)oF79)

oF

Obsrvese


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Los restos pta. ;

7. Si (o

79:'8ba!a =−

$alcule al suma de los valore!aFb'

pta

8. Si(o

:79:'baa8!b =+

$alcule la suma de valores de !apta

Aivisibilidad por 8 y

N ) abcd

N )o8↔ a F b F c F e ) o

8

N)o↔ a F b F c F e ) o

A!i"a"iones6

:. Sio8abc= . $alcule cu5l es la l

ci6ra al e3presar.

N ) ab:87ba7c en base 8p

7. Si(

mnp y9pnm @mpnoo

−−

calcule !m F n F p' m53imopta

DI/ISI%I$IDAD POR &&N ) abcd

FBFBF

N ) ↔o

:: a F c F e b d )o::

A!i"a"iones6:. $alcule el residuo al dividir

N ) aabccb89 entre ::

p

7. Si(o

::ab8abab=calcule !a F b' m53imo.



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pta. :9

I/.Prin"i!io +e Ar7ume+esSi el producto de dos nmerosenteros es mltiplo de cierto móduloy uno de los nmeros no es mltiplodel módulo, entonces el otronmero debe ser mltiplo de dicomódulo.

Ejemplo(

9a )o

:,

a )o

:,

783b)o

:+

b )o

:+

;3c )o+

7c )o8

c )o8

:3d) o8

3d )o8

d )o8

:7e )o

8F7; → :7!eB7')

o

8→ e 7

)o

8→e )o

8F7

-36)o

:,B:+→-!6F7')

o

:,

∧6F7)

o

:,

6 )o

:,B7

::3g)o

98F;;

g )o

98F;

93)o F8

:H

o893L ++=

)o F7

3i )

o

:8F:

7

o

7+::8 ++=i

i )o

:8F8

78n )o

7;F:

78n )o

7;B78

n )o

7;B:

A!i"a"iones6

I. Si( :+++++

abc9abc8abc

;:o

:Habc=$alcule la suma de valores de abc

pta. 799H

II. "le3andra tiene una cantidad deestampillas, si los agrupa de en sobran 7@ si se agrupan de en le6altan ; unidades para 6ormar ungrupo m5s. Y$u5ntas estampillasposee si dica cantidad es el menorposible de 8 ci6rasZ

pta. :;III. 0n nmero e3presado en cierta

base es( mltiplo de la base m5s la

ltima ci6ra. mltiplo de la base elevado al

cuadrado m5s las dos ltimasci6ras en dica base.

mltiplo de la base elevado alcubo m5s las tres ltimos ci6ras endica base.

Sea( N ) !_'abcd

Entonces(

N )o

_ Fd

N )'!

o7 cd K K +

N )'!

o8 bcdK K +

Ejemplo(

8,ab8

o

, +=

9mn9

o

+=

8

o

8 :73y:7 +=

9o

+

7

o

7 ::;mn:: +=

8;o

+

8

o

8 :H:7ab:H: +=

:H7o

+

7

o

!7' :H:-cd:H: +=

9-o+

N )o

F8) %%.8g ) %.:H8

M )o

F;) %;

1 ):8-:

o

+ 1 ) %%% !:8'!-:' 1 ) %%% :;!'

PRACTICA DE C$ASE

&.Aeterminar cu5ntos nmeros deci6ras son mltiplos de 8 y ; perde

a' + b' 9 c'

d' e' -

'.Si un nmero natural =N> es tal

N)o9F7 y N )

o+F;, entonce

resto de dividir =N> entre 8H es(

a' 77 b' 7+ c' 7-d' 7H e' :H

(.$alcular el valor de =a> si la sde a: con a7 con a8 astaes mltiplo de :8.

a' 7 b' 8 c' ;d' 9 e' +

).0n pastor cuenta sus ovejas de , de ; en ; de + en + y siempsobra +, 8 y 9 ovrespectivamente. $alcular cuaovejas tiene este pastor snmero es la menor cantposible.

a' ;7 b' 9H c' -Hd' -8 e' :+

.El numeral( ab!7a'!7 siem

es divisible por(

a' :8 b' : c' :d' 78 e' 7

." un evento deportivo asiste cantidad de personas menor de



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si 7:: de los asistentes sonmayores de edad, los 9: de losmismos son limeos. Y$u5ntos noson limeosZ

a' 77 b' 99 c' d' :87 e' 797

K.Si 8" )o @ 9")

o- . Y$u5l es el

menor valor


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a' 9 b' 7 c' d' :8 e' ::

L.El nmero de la 6orma(

7..................aaa.......ci6ras;H

+=•

Qallar a

a' - b' ; c' 9d' 8 e' 7

TAREA DOMICI$IARIA

&. 0n ganadero cuenta las reses entre :. E ) 8;nF7F7.;8nF:F-Z

a' 9 b' + c' d' - e'

. Y$u5l es el residuo de dividir =E>entre -. E )7:7F787F797F%F8;87Z

a' 8 b' ; c' 9

d' + e' 7

&. Qallar =a F b F c> si se cumple

aritmetica conjuntos numeracion etc

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