aritmetica ciencias 2014

º Año de Secundaria

I – TRIMESTRE (2014) TARAPOTO – SAN MARTÍN TELF: 042 - 526164

1

¡Recuerda! A la representación gráfica de los conjuntos mediante figuras geométricas en un plano se

le conoce como “DIAGRAMAS DE VENN”

TEORÍA DE CONJUNTOS

IDEA DE CONJUNTO: Un conjunto es una agrupación o colección de elementos u objetos con características comunes, al mismo tiempo especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} B = {los alumnos del primer grado}

RELACIÓN DE PERTENENCIA: Si un objeto o elemento forma parte de un conjunto se dice que pertenece “ “, en

caso contrario se dice que no pertenece “ “.

Ejemplo: Dado: A = {3; 5; 8; 9}; Se observa que: 3 pertenece a “A” (3 A);

6 no pertenece a “A” (6 A).

CARDINAL DE UN CONJUNTO: Nos indica el número de elementos diferentes que tiene un conjunto. Se denota: n(A).

Ejemplo: A = {5; 7; 8; 9} entonces: n(A) = 4 ;

M = {2; 3; 2; 3; 2; 1} entonces: n(A) = ……. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO: Consiste en

identificar los elementos de un conjunto. a) Determinación por extensión: Cuando se indica o

señala a cada uno de los elementos.

Ejemplo: A = {a; e; i; o; u} ; B = {1; 3; 5; 7} ; C = {12; 22; 32; 42; … ; 1002}

b) Determinación por comprensión: Cuando se

menciona una característica común de los elementos.

Ejemplo: A = {las vocales} ; B = {x/x es impar; x < 8} C = {x2/x N; 1 ≤ x ≤ 100}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) INCLUSIÓN: Se dice que el conjunto A está incluido

en B. se denota:

A B. se lee: A está incluido en B.

A está contenido en B. A es subconjunto de B. Ejemplo: Dado: A = {5; 8; 7; 1}; se observa:

{5} A ; {4} A

{8; 1} ; {1; 2} A

b) IGUALDAD: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos elementos. Es decir:

A = B A B B A

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {6; 8; 7} y B = {8; 7; 6}

Entonces: A = B

c) DISJUNTOS: Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: Dados los conjuntos: M = {1; 3; 5; 7} y N = {2; 4; 6; 8} Entonces: A y B son disjuntos: A ≠ B.

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS: I. De acuerdo al número de elementos, se clasifican en:

a) Conjunto Finito: es aquel conjunto que posee una

cantidad limitada de elementos, es decir, el proceso de

contar sus elementos termina en algún tiempo.

Ejemplo: A = {x/x es un día de la semana} ; B = {x/x es un alumno del primer grado}

b) Conjunto Infinito: Es aquel conjunto que posee una

cantidad ilimitada de elementos, es decir, el proceso de

contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo: A = {x/x es un número natural} ; C = {3; 6; 9; …. }

c) Conjunto Nulo o vacío: es aquel conjunto que no

tiene elementos, se denota: o { }

Ejemplo: M = {x/x es un cuadrado de tres lados}; entonces: M = ; M = { }

A = {x/x N, 3 < x < 4}, entonces: A = { }

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

d) Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que tiene un

solo elemento.

Ejemplo: P = {5} ; Q = {presidente actual de Francia}; R = {x/x N,5 < x < 7}

II. Conjunto especiales:

a) Conjunto Universal (U): Es aquel que contiene o

incluye a otros conjuntos con características comunes.

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A = {los pavos} ; B = {las gallinas}

Los conjuntos universales pueden ser:

U1 = {las aves} ; U2 = {las aves del corral}

b) Conjunto Potencia: El conjunto potencia de A es aquel

conjunto que está formado por todos los subconjuntos

de A. Se denota: P(A).

Ejemplo: Dado el conjunto A = {3; 4}

Los subconjuntos de A son: ; {3}; {4}; {3; 4}

Entonces: P(A) = { ; {3}; {4}; {3; 4}}

NOTA: Si deseamos saber la cantidad de subconjuntos

podemos tener en cuenta lo siguiente:

P(A) = 2n ; donde: “n” es el número de elementos del

conjunto “A”.

Ejemplo: M = {m; n; p} ; P(M) = 23 = 8, luego tiene 8

subconjuntos. P(M)= { ; {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}}

A

B

C

D



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APLICACIONES MATEMÁTICAS

BLOQUE I

1. Dado el conjunto: A = {1; 2; 5; 8} Indicar (V) o (F)

a) 7 A …..….. ( )

b) 5 A …….… ( )

c) {2} A …… ( )

d) n(A) = 4 ….. ( )

e) 1 A ………. ( )

2. Según el diagrama:

Indicar (V) o (F)

a) 3 B …… ( ) d) n(A) = 6… ( )

b) 2; 5 B… ( ) e) 7 C . .… ( )

c) {7} B…. ( ) f) {5} A..… ( )

3. Dado el conjunto: A = {2; {4}; 7; {2; 9}} ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? a) 2 A…… ( ) d) 7 A…… ( )

b) A…… ( ) e) {7} A…… ( )

c) {7} A…… ( ) f) {4} A…… ( )

4. Dados los conjuntos:

A = {x/x es una letra de la palabra aritmética} B = {x/x es una letra de la palabra algebra} C = {x/x es una letra de la palabra geometría} Calcular: n(A) + n(B) + n(C) =

5. Determinar por extensión o comprensión los siguientes conjuntos: a) B = {x/x es un planeta del sistema solar} b) C= {x/x es un mes que tiene 30 días} c) M = {1; 3; 5; 7; 9} d) N = {0; 2; 4; 6; 8; …} e) O = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} f) P = {10; 20; 30; 40} g) Q = {la Niña; la Pinta; la Santa María} h) E = {x/x N, x es impar, 9 ≤ x 21}

i) F = {x + 4/ x N, 2 ≤ x ≤ 10}

j) G = {a – 1/a N, 4 ≤ a < 9}

k) H = {b + 8/b N, 0 < b < 6}

l) Q = {x – 5/ x N, 5 < x ≤ 10}

m) R = {5m/m N, 6 ≤ m < 11} n) P = {2x + 3/ x N, 4 ≤ x ≤ 7}

6. Clasifica cada conjunto en finito; infinito, vacío o

unitario. a) A = {a; b; c; …; z} b) B = {x/x x N, 4 < x < 6}

c) G = {x/x x N, x es par, 150 < x < 154}

d) H = {x/x x N, 0 < x < 1}

e) M = {1; 2; 3; 4; … 9} f) N = {x/x x N, x es múltiplo de 5 menor que 100} g) P = {x/x x N, x es par, x < 0}

h) Q = {3; 6; 9; 12; …}

7. Si: P = {m; n; p; q; r; m} ; hallar n(P). a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4

8. Si: n[P(A)] = 128 ; halla n(A).

a) 10 b) 9 c) 8 d) 6 e) 7

9. Si R = {3a + 1; 25; 5b + 10} es un conjunto unitario, calcula el valor de: a – b a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 3

10. Sean los conjuntos unitarios A = {3x – 5; 2x – 2} y

B = {2y – 3; y + 2}, calcula: x + y. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 2

BLOQUE II

1. Dado el conjunto P = {x/x es letra de la palabra

MATEMÁTICA} , Calcula n(P). a) 11 b) 10 c) 6 d) 7 e) 3

2. Determina la suma de los elementos del conjunto:

M = {x2/ x ∈ IN; 3 ≤ x ≤ 5}

a) 9 b) 16 c) 25 d) 50 e) 100

3. Si A = {a + b; b + 1; 8} es unitario, calcula: 2a + 3b. a) 20 b) 23 c) 19 d) 16 e) 15

4. Determina el siguiente conjunto por extensión:

B = {x2 – 1/ x ∈ IN y 5 ≤ x < 9}

a) B = {25; 36; 49; 64} c) B = {5; 6; 7; 8} b) B = {24; 35; 48; 63} d) N.A.

5. ¿Qué pares de conjuntos son iguales? A = {x2/x ∈ IN, 1 ≤ x ≤ 4} E = {13; 32; 69}

B = {x + 1/ x ∈ IN,3 < x < 4} F = {1; 4; 9; 16}

C = {2x + 3/ x ∈ IN, 1 < x < 4} G = { }

D = {x3 + 5/ x ∈ IN, 1 < x ≤ 4} H = {7; 9}

a) AF – BE – CG – DH c) AH – BG – CF – DE b) AE – BF – CG – DH d) AF – BG – CH – DE c) N.A.

6. Si A = {5m + 3; 7} y B = {18; n – 1} son conjuntos iguales:

Hallar: n – m. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Si los conjuntos: A = {a + 2; b – 1} y B = {5; 6} son

iguales, calcula b – a. a) 5 b) 3 c) 4 d) 7 e) 6

8. Determina por comprensión el siguiente conjunto:

A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}. a) A = {2x / x ∈ IN y x < 6}

b) A = {x / x es par y x < 12} c) A = {(2x – 2) / x ∈ IN y 2 ≤ x < 8}

d) A = {(x + 2) / x ∈ IN y x es par}

9. Si los conjuntos P y Q son iguales, calcula la suma de los

elementos del conjunto M, si: P = {2a + 3; 3b – 5}; Q = {64; 81} y M = {2x / x ∈ IN y a < x < b}

a) 62 b) 60 c) 61 d) 84 e) 35

10. Si P = {2; 4; 6; 8; 10}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos: I. P = {x/x ∈ IN x < 9}

II. P = {(2x + 2)/ x ∈ IN 0 ≤ x < 5}

III. P = {2x/x ∈ IN 0 ≤ x ≤ 5}



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BLOQUE III 1. Determinar el siguiente conjunto por extensión:

Q = {2x/x ∈ IN 0 ≤ x ≤ 5}

a) {1; 2; 4; 8; 16; 32} d) {1; 2; 4; 16; 32} b) {1; 2; 4; 8; 16} e) {0; 2; 4; 8; 16} c) {2; 4; 8; 16; 32}

2. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de los

siguientes conjuntos. a) P(A) = 128 subconjuntos. b) P(B) = 163 subconjuntos. a) 7 y 7 b) 7 y 6 c) 6 y 5 d) 7 y 12 e) N.A.

3. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar la suma de los

elementos del conjunto “C”, tal que: A = {5a – 1 ; 4b + 2} ; B = {125; 64} y C = {x3/x ∈ IN b ≤ x ≤ a}

a) 36 b) 27 c) 100 d) 80 e) 90

4. Dado los conjuntos: S = {x/ x ∈ IN; x – 6 = 12}; R = {x/ x ∈ IN; 5 < x < 23}

Halla: (√𝑛(𝑅) − 𝑛(𝑆))3

a) 4 b) 32 c) 16 d) 64 e) 81

5. Si los conjuntos P y Q son iguales determina m + n en:

M = {2𝑚+1

3 ; 17} ; N = {5; 3n + 2}

a) 6 b) 27 c) 12 d) 15 e) 14

6. Si L = {2 + x; 5} es unitario, calcula el valor de x. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Indicar el cardinal de C.

𝐶 = {𝑥2

2 ∈ IN 3x < x + 14 }

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8. Sea: A = {2; 3; {2}; } considere los siguientes enunciados

a) 3 ∈ A d) 3 A

b) {2} A e) A

c) A f) 2 A

¿Cuántas son verdaderas? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

9. Observa el diagrama; determina los conjuntos por

comprensión; luego completa los espacios en blancos con

los símbolos: ; ; ; .

a) B ____ A d) A ____ B b) 2 ____ B e) 6 ____ B c) A ____ C f) 9 ____ C

10. Indica a qué tipo de conjunto corresponden:

A =

B = {}

C = {x N / x > 7} D = {x N / x ≤ 7}

a) Finito; Infinito; Vacío; Unitario. b) Vacío; Infinito; Finito, Unitario. c) Vacío; Unitario; Infinito, Finito. d) Vacío; Vacío, Finito; Finito.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (): La unión de dos o más conjuntos

es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno, a otro o a ambos conjuntos. Se denota por “A B” y

se lee: “A unión B”. en forma simbólica se denota: A B = {x /x A x B}

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Si tiene algunos

elementos comunes B está incluido en A A y B son disjuntos

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3; 5; 7} y B = {2; 3; 4; 6; 7} ; hallar: A B A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

GRÁFICA

PROPIEDADES:

a) Conmutativa: A B = B A.

b) Asociativa: (A B) C = A (B C)

c) Idempotencia: A A = A

d) Elemento neutro: A = A

2. INTERSECCIÓN (): La intersección de dos conjuntos A y

B es el conjunto de todos los elementos comunes a A y B, osea que pertenece a A y pertenece a B. se denota por “A B” y se lee: “A intersección a B”. en forma simbólica se

denota por: A B = {x/x A x B}

Se lee: “Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos x, tal que x pertenece a A y x pertenece a B”.


Si tiene algunos elementos comunes

B está incluido en A A y B son disjuntos

Ejemplo:

a) Hallar la intersección de R = {x N/3 < x ≤ 8} y

S = {x N/5 ≤ x 10}

Solución: Determinamos por extensión los conjuntos: R = {4; 5; 6; 7, 8} ; S = {5; 6; 7; 8; 9} Los elementos comunes: R S.

R S = {5; 6; 7; 8}

GRAFICA



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PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN: a) Conmutativa: A B = B A

b) Asociativa: (A B) C = A (B C)

c) Idempotencia: A A = A

d) Elemento neutro: A = A 3. DIFERENCIA ( - ) : La diferencia de dos conjuntos A y

B simbolizada por “A – B”, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. simbólicamente se representa de la siguiente manera:

A – B = {x/x A x B}

Se lee: “El conjunto A menos B”, es igual al conjunto de los elementos “x” tal que “x” pertenece al conjunto A y “x” no pertenece al conjunto B.


Si tiene algunos elementos comunes

B está incluido en A A y B son disjuntos

Ejemplo:

a) Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 5} y B = {2; 4; 5; 6; 7}, hallar: A – B A – B = {1; 3}

GRÁFICA

NOTA: A – B ≠ B – A Del ejercicios anterior hallamos: B – A. B – A = {4; 6; 7}

GRÁFICA

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA (): La diferencia simétrica

de dos conjuntos A y B, simbolizada por “A B”, es el

conjunto de los elementos que pertenecen a uno o a otro conjunto, pero no a ambos a la vez. Simbólicamente se represente por: A B = {x/x (A B) x (A B)} ; es decir:

A B = (A – B) (B – A)

A B = (A B) – (A B)


Si tiene algunos

elementos comunes B está incluido en A A y B son disjuntos

Ejemplo:

a) Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5; 6} y B = {3; 5; 7; 8}, hallar: “A B”. Solución A – B = {1; 6} B – A = {7; 8} A B = {1; 6; 7; 8}

5. COMPLEMENTO ( A’): Es la diferencia entre el conjunto

universal y el conjunto A, es decir, es lo que le falta al conjunto A, para ser igual al conjunto universal (U). Si el conjunto es A su complemento se denota A’, también se usan las siguientes notaciones: �� = 𝐶𝑈

𝐴 = 𝐴𝐶.

Simbólicamente se denota: 𝐀′ = 𝐔 − 𝐀 = {𝐱/𝐱 ∈ 𝐔 𝐱 𝐀}


Ejemplo:

a) Sea: U = {x N/ x ≤ 10} y

A = {x N/x es número impar < 11}; Hallar: A’

Solución: U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 3; 5; 7; 9} A’ = {0; 2; 4; 6; 8; 10}

APLICACIONES MATEMÁTICAS

BLOQUE I

1. Observa el diagrama y resuelve las operaciones:

a) A – B = b) C – A = c) A – C = d) A B =

e) A C = f) (B C)’ =

2. Colorea la región que corresponde a cada caso:

3. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M N, sabiendo

que: M = {x N/x es impar 3 ≤ x < 8} N = {y N/ 3 ≤ y ≤ 7}

a) 8 b) 6 c) 4 d) 7 e) 5



5

4. Dados los conjuntos: A = {x N/ 3 ≤ x < 40} ; B = {x N/2 < x ≤ 42} ¿cuántos

elementos tiene el conjunto A B.

a) 37 b) 40 c) 22 d) 50 e) 19

5. Si A = {1; 2; 3; 4; 5}; B = {2; 4; 6; 8} y C = {2; 3; 5; 6}, halla: [(B – C) (A B)]

a) {8} b) {7; 8} c) {4; 8} d) {5} e) n.a.

6. Sean A = {x/x N, 0 < x < 10};

B = {x/x N, 0 < x < 7} ; C = {x2/x N, 0 < x < 4}

Halla: C – (A B).

a) {1; 3} b) {2; 4} c) {1; 4} d) {1; 3} e) {3; 5}

7. Dados los conjuntos: P = {x/x es dos dígitos y 10 ≤ x < 18}

Q = {x N/3x – 4 = 14} y R = {𝑥 𝑵/𝑥−5

3= 4}; hallar:

(P Q) R.

a) {30} b) {17} c) {15} d) {14} e) {12}

8. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) A B = (A – B) (B – A)

b) (A B) – (A B) = A B

c) A B = (A B) (A B)

d) Si: A B, entonces: A – B =

9. Dados los conjuntos:

U = {0; 2; 4; 6; 8}; A = {4; 8} y B = {2; 6} Determinar: (A’ B) (B’ A)

10. Dados los siguientes conjuntos:

A = {x N/ 1 ≤ x < 9} ; B = {5; 6; 7; 9; 10}

C = {6; 7; 8; 10; 11; 12} calcular: n(A B) + n(A C) n(B C)

a) 3 b) 6 c) 7 d) 9 e) 5

BLOQUE II 1. Si los conjuntos P y Q son iguales, hallar la suma de los

elementos del conjunto R y R Q, tal que: P = {2𝑚−1; 3𝑛+1} ; Q = {16; 27} ;

R = {x2/x N; n ≤ x ≤ m}

a) 48 b) 50 c) 32 d) 70 e) 60

2. En una encuesta realizada a 100 personas 32 no comen cecina y 26 no comen juane, ¿Cuántas de las personas encuestadas comen juane y cecina si se sabe que 15 sólo prefieren juane? a) 13 b) 81 c) 59 d) 18 e) 35

3. De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45 aprobaron

Comunicación, 46 Inglés y 38 Matemática; además, 7 aprobaron Comunicación e Inglés, 8 Inglés y Matemática, 10 Matemática y Comunicación y 4 aprobaron las tres asignaturas. ¿Cuántos no aprobaron ningún curso? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

4. En una reunión, 35 personas toman gaseosa y 56 toman

agua. Si 18 toman ambas bebidas y 7 no toman ni agua ni gaseosa, ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? a) 80 b) 90 c) 70 d) 69 e) 44

5. De un grupo de 100 personas, 54 estudian, 30 trabajan, y

20 no estudian ni trabajan. ¿Cuántas personas estudian y trabajan? a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

6. Se preguntó a 100 jóvenes sobre los deportes que practican y se obtuvo el siguiente resultado: 62 practican futbol; 52 vóley y 48 básquet. Si 12 practican los tres deportes, 27 practican vóley y futbol, 22 practican vóley y básquet, y 25 futbol y básquet, ¿Cuántos practican un solo deporte? a) 44 b) 22 c) 50 d) 33 e) 10

7. Al estudiar la calidad de un producto se consideraron dos tipos de defectos: A y B. se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos; 150 no tienen el defecto A y 230 no tienen el defecto B. ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto? a) 250 b) 260 c) 270 d) 240 e) 280

8. En una peña criolla trabajan 32 artistas, de estos: 16

bailan; 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan son: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. En una fiesta donde había 100 personas, se observó que

se bailaba la salsa o el rock. Si: 65 personas bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock; ¿Cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos de baile? a) 40 b) 25 c) 35 d) 15 e) 30

10. Se observa en un parque que 12 niños montan bicicleta;

18 niños juegan a la pelota y 13 niños corren. Si 6 de ellos montan bicicleta y corren, 7 juegan pelota y montan bicicleta, 9 corren y juegan pelota, y 2 hacen las tres cosas.

¿cuántos hicieron sólo una actividad? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

BLOQUE III

1. Dados A y B contenidos en U y n(A) = 20; n(B) = 30;

n(A B) = 10; n(U) = 45, calcula n(A B) + n(A B)’

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50

2. Si: A = {x/x N, x es divisor de 32}

B = {x/ x N, x es múltiplo de 4 y x < 32}

C = {x/ x N, 3 < x2 < 30}

Halla: (A B) (B C)

a) {4; 8; 16} d) {16; 24; 32} b) {4; 8} e) {4; 16} c) {16}

3. En una biblioteca están estudiando 62 alumnos: Hay 12

alumnos que les gusta Matemática y Lenguaje; el número de alumnos que les gusta matemática es el doble del número de alumnos que les gusta lenguaje; el número de alumnos que no les gusta ni matemática ni lenguaje es la mitad del número de los que les gusta sólo matemática ¿A cuántos alumnos les gusta lenguaje? a) 20 b) 8 c) 15 d) 12 e) 14

4. En una encuesta realizada a 100 jóvenes sobre estudios

superiores, se obtuvo el siguiente resultado: 38 quieren estudiar para ser chefs; 47 desean ser administradores, 55 quieren estudiar publicidad, 20 de ellos les gustaría ser chefs y publicistas; hay 33 que quieren ser administradores y publicistas, 12 quisieran ser chefs y administradores. Si hay 5 que les gustan las 3 carreras. ¿Cuántos no desean seguir ninguna de estas carreras? a) 45 b) 80 c) 20 d) 19 e) 30



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5. Se reúnen 86 personas que son diseñadores o arquitectos, 32 son solo diseñadores y hay tantos arquitectos como diseñadores. ¿Cuántos son arquitectos y diseñadores? a) 22 b) 30 c) 34 d) 24 e) 14

6. Sobre 3 conjuntos (A, B y C), se sabe que 26 personas

pertenecen a A, 31 pertenecen a B; 28, al conjunto C; 19, a los conjuntos B y C; 8 pertenecen sólo a A; 5 pertenecen a A y B, pero no a C, y 4 pertenecen a A y C; pero no a B ¿Cuántos pertenecen a B o C, pero no a A? a) 24 b) 23 c) 22 d) 20 e) 12

7. Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no

usan anteojos; 70 no usan sombrero; los que usan sombrero y anteojos son los ¾ del total. ¿Cuántas personas usan sombreros y anteojos?

a) 100 b) 110 c) 220 d) 330 e) 300

8. Se encuesta a 45 televidentes acerca de su preferencia por los canales A o B: 12 televidentes ven el canal A, pero el B; 18 ven el canal B, pero no el A; el número de personas que no ven ninguno de los canales es el doble del número de personas que ven ambos canales. ¿Cuántos no ven el canal B? a) 15 b) 22 c) 17 d) 23 e) 28

9. De 72 niños que consumen hamburguesas, se observó que

30 las prefieren con mayonesa, 42 las prefieren con kétchup y 6 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos niños prefieren las hamburguesas con ambas salsas?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10. De 75 alumnos de un aula. Los 3/5 usan reloj; 1/3 de los alumnos sólo usan anteojos; los 2/5 usan anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Es la parte de la aritmética que se encarga de la correcta expresión oral o literal de los números. Cantidad: Es todo aquello susceptible de aumento o

disminución. Número: Es el ente matemático que nos permite

cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

Numeral: Es la representación simbólica o figurativa del

número. Ejemplo: 5; V; cinco; Cifra: Son los símbolos o signos que convencionalmente

se utilizan en la formación de los números. En nuestro caso utilizaremos los números “arábigos”, los cuales son: 0; 1; 2; 3; …

Sistema posicional de numeración

Es el conjunto de principios; reglas, símbolos y convencionalismos que se utilizan para expresar en forma correcta a las cantidades numéricas.

Principios fundamentales De orden: Toda cifra que forma parte de un numeral

posee un lugar y orden. El orden se lee de derecha a izquierda y el lugar de izquierda a derecha.

De la base: Todo sistema posicional posee una base que

es un número entero y mayor que la unidad el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior: 1 < Base. Así en el sistema de base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

BASE NOMBRE DEL

SISTEMA CIFRAS A UTILIZAR

2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario o Exanario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Heptanario o Eptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Octanario u Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8

10 Decimal o Décuplo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9

11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9; (10)

12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9; (10); (11)

Convencionalmente para las cifras: (10) <> A <>

(11) <> B <>

(12) <> C <>

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Es la representación de un número como la suma del valor relativo de cada una de sus cifras.

2537 = 2 × 103 + 5 × 102 + 3 × 10 + 7 25378 = 2 × 83 + 5 × 82 + 3 × 8 + 7

En general: 𝑎𝑏𝑐𝑑

(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥3 + 𝑏 ∙ 𝑥2 + 𝑐 ∙ 𝑥 + 𝑑

CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

PRIMER CASO: De un sistema de base “n” al sistema decimal “10”.

Para el efecto basta calcular el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente con efectuar su descomposición polinómica y hallar su resultado. Ejemplo:

a) Llevar a base 10 el numeral 52428

52428 = 5 × 83 + 2 × 82 + 4 × 8 + 2 = 2658.

𝐸𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠: 1. Convertir: 32446 a base 10

2. Convertir: 4527 a base 10

3. Convertir: 2101213 a base 10

SEGUNDO CASO: Del sistema decimal a un sistema de base “n”. Regla práctica: Se divide el número dado entre la base a la cual se desea transformar, si el cociente resultante es mayor que la base, se vuelve a dividir el cociente entre la base y así sucesivamente hasta obtener un cociente cuyo valor sea menor que la base. La nueva representación estará formada por el último cociente obtenido y los resultados encontrados de derecha a izquierda.

Ejemplo: 4(10)3(11)20 = 4320 = 4A3B20



7

Ejemplo: llevar a base 8 el numeral 2658.

Luego: 2658 = 51428

Ejercicios: 1. Convertir 418 al sistema quinario. 2. Convertir 298 al sistema cuaternario. 3. Convertir 428 al sistema ternario.

TERCER CASO: De un sistema de base “n” a un sistema de base “m” (m ≠ 10 y n ≠ 10); este caso es combinación de los dos anteriores. Ejemplo: ¿Cómo se escribe en base 4 el numeral 1527?

Primero lo llevamos a base 10. 1527 = 1 × 72 + 5 × 7 + 2 = 86

Luego lo llevamos a base 4 (Divisiones sucesivas)

Ejercicios:

1. Convertir: 2417 a base 4.



OBSERVACIONES: Las cifras empleadas en un sistema de numeración son

siempre menores que la base.

Ejemplos: El número 3a6b

7; siempre: a < 7 y b < 7.

Un número expresado en 2 sistemas distintos en la igualdad se notará que aquel miembro que tenga el “numeral mayor” le corresponderá la “base menor” y viceversa. Ejemplo:

Numeral menor 2517 = 20124 Numeral mayor

Base mayor Base menor Si: 𝑎𝑏𝑐

𝑛 = 𝑥𝑦 𝑚 ; como 𝑎𝑏𝑐 > 𝑥𝑦 bases 𝑛 < 𝑚

APLICACIONES MATEMÁTICA

1. Convertir los siguientes números a base decimal: a) 110012 d) 3334 g) 4346 b) 5879 e) 4547 h) 7349(11)

c) 2445 f) 7628 i) 221103

2. Convertir los siguientes números a los sistemas indicados.

a) 632 al sistema heptal. b) 845 al sistema ternario. c) 973 al sistema quinario. d) 245 al sistema binario. e) 1000 al sistema octal. f) 783 al sistema nonario.

3. Convertir al sistema indicado.

a) 6548 al sistema de base 5.

b) 25467 al sistema de base 8.

c) 11223 al sistema de base 4. d) 2316 al sistema de base 7.

4. Los siguientes numerales están correctamente escritos:

𝑛23𝑝 𝑚 ; 𝑝21

𝑛 ; 𝑚3𝑛 6 ; 120

𝑝

hallar: m + n + p

5. Si los siguientes numerales están correctamente escritos: 1𝑎

5 ; 𝑎𝑏 4 ; 21

𝑎 ; 32𝑏

Hallar: a + b

6. Indique los valores que puede tomar cada cifra desconocida en los siguientes numerales: a) 33𝑎45

6 a = ………………………………… b) 𝑏127

8 b = …………………………………

c) (𝑛 − 1)𝑛3 5 n = …………………………………

d) 𝑚 (𝑚

2) 2

8 m = …………………………………

7. Una persona que vive en Tokio – Japón, utiliza el sistema

quinario, envía productos a otra persona de Jerusalén que emplea el sistema nonario. Si el primero envía 324

5 al

segundo, ¿Cómo expresará éste último dicha cantidad? a) 1009 b) 1079 c) 1669 d) 1089 e) 8879

8. Si el numeral 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

4 está correctamente escrito,

¿Cuál es el valor de x? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. Descomponer polinómicamente:

a) 𝑎𝑏𝑎𝑏 5 =

b) 1𝑎2𝑎 4 =

c) 𝑎𝑎𝑎 4 =

d) 𝑎1𝑎1𝑎 3 =

10. Expresar 475

11 al sistema duodecimal.

BLOQUE II

1. Convertir los siguientes números al sistema decimal.

a) 22312 5 d) 3183

9 g) 76321 8

b) 5326 7 e) 4356

8 h) 12121 3

2. Convertir el número 3425

6 al sistema cuaternario. a) 31123

4 c) 30221 4 e) 32231

4

b) 13231 4 d) 32021

4

3. Convertir al sistema quinario: 643

7

a) 2300 5 c) 2344

5 e) 2311 5

b) 1123 5 d) 3321

5

4. De Kabul, capital de Afganistán envían a un comerciante

que vive en Bangkok capital de Tailandia que emplea el

sistema duodecimal 5678 barriles de petróleo. ¿Cómo escribirá dicho número el comerciante Tailandés? a) 3352

12 c) 1345 12 e) 1256

12

b) 1123 12 d) 1654

12

5. Un comerciante que emplea el sistema senario pide 345

juanes a otro que emplea el sistema de base 15. ¿Cómo escribirá este comerciante el número de juanes que envía el primero? a) 91

15 c) 8315 e) 92

15 b) 191

15 d) 9015

6. Si: 65

𝑥 = 53; hallar “x”. a) 2 b)4 c) 6 d)8 e)10

7. Hallar: “n”; si 23

𝑛 + 14𝑛 = 42

𝑛 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Calcular el valor de “a” del siguiente numeral:

(𝑎 − 2)𝑎(𝑎 + 4) 8; luego representar en el sistema decimal



8

9. Calcular: 2531 6 = 𝑎𝑏𝑐 , calcular: a + b + c:

a) a = 6; b = 3; c = 1 c) a = 1; b = 3; c = 6

b) a = 1; b = 6; c = 2 d) a = 6; b = 1; c = 3

10. Hallar; “n” en: 222 𝑛 = 182

a) 8 b) 7 c) 10 d) 11 e) 9

BLOQUE III

1. Al convertir 546 al sistema de base 9 se obtiene: a) 435

9 c) 685 9 e) 666

9 b) 766

9 d) 876 9

2. Dado los siguientes numerales; indicar el mayor de ellos: a) 1111

2=

b) 121 4 =

c) 389 =

d) 258=

3. Calcular: 13

14127:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

4. Hallar: m + n + p, en: 1𝑚3 + 𝑛67 + 82𝑝 = 1446.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

5. Indicar (V) o (F) en cada una de las siguientes proposiciones: a) La menor base que existe es la base dos. ( ) b) Existen infinitos sistemas de numeración. ( ) c) En la base cuatro, se puede usar la cifra cinco. ( ) d) En la base siete, la mayor cifra es seis. ( ) e) El sistema de la base ocho, se llama octanario. ( )

6. Si se cumple que: 3𝑏

6 = 4𝑎𝑏, ¿Cuál es el valor de “a + b”

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

7. Determina el valor de “m”, si 102 𝑚 = 443

6

a) 11 b) 12 c) 13 d) 19 e) 10

8. Si el numeral: (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎 + 2) ; está expresado en

base cuatro, expresarlo en base seis. a) 44

6 b) 556 c) 45

6 d) 546 e) 34

6

9. Si los numerales están correctamente escritos, calcular:

“a + b”.

I. (2𝑎)(𝑎 − 2) 5

II. (𝑏

3) (𝑏 + 5)

9

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Al expresar 242 en base 7 se obtuvo 𝑎𝑛𝑎 7; calcule la suma

de cifras de expresar 𝑎𝑎𝑎𝑎 5; en base n.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

CUATRO OPERACIONES Nota Curiosa: Cuando Karl Friedrich Gauss, un famoso matemático tenía unos 10 años de edad, su maestro para mantener la clase quieta por un rato, ordenó a los niños que sumaran los números del 1 al 100, esto es 1+ 2+3 + … +100. Después de unos minutos Guss había vuelto a sus travesuras y el maestro le preguntó por qué no trabajaba en el problema. El niño le contestó:

- ¡Lo he terminado! - ¡Imposible! Exclamó el maestro. - Es muy fácil, repuso el niño. Primero escribí

- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 luego escribí los números en forma inversa. - 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1; después sumé cada par de números. - 101 + 101 + 101 + … 101 = 101 x 100 = 10100. 100 veces - Pero usé cada número 2 veces, así que dividí la suma entre dos la

respuesta es : 100×101

2= 5050

ADICIÓN

Es aquella operación aritmética que consiste en reunir dos o más cantidades llamadas sumandos en una sola llamada suma o total.

23 + 13 + 11 = 47 suma o Total

Sumandos

1. ¿Cuál es el número que al aumentarle el doble de “a + b”

nos da el quíntuplo de “a – 2b”? A) 3a B) 2a – 15 C) 5a – 126 D) 5a – 15 E) 3a – 126 2. Halla el número de hojas de un libro si sabemos que si

arrancamos 25 quedarán la mitad de hojas si el libro tuviera 50 hojas más.

A) 125 B) 150 C) 100 D) 90 E) 120 3. Por un trabajo a Campos se le pagó S/. 10 más que a

Delgado, a Ramírez el doble de lo que recibió Delgado y a Salas el triple, de lo que recibió Delgado y Campos

juntos. Si el pago total que se hizo fue S/. 540. ¿Cuánto recibió Ramírez?

A) S/. 90 B) S/. 100 C) S/. 80 D) S/. 120 E) S/. 150 4. Se sabe que en un campeonato, Benavente metió cinco

goles más que Herrera. Los goles de Cuba excedió en dos



9

a los de Benavente y fue excedido por un gol de Paredes, quien a su vez hizo la misma cantidad de goles que Castañeda. Si hubo un total de 53 goles. ¿Cuántos goles metió Paredes?

A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 10 5. Una persona fabrica un número determinado de sillas. Si

duplica su producción y vende 60, le quedan más de 24. luego fabrica 10 más y vende 28. Tendrá entonces menos de 10 sillas. Señala cuántas sillas se fabricaron.

A) 42 B) 44 C) 39 D) 49 E) 43 6. En Tarapoto se observa que existe 5 gatos por cada 2

ratones, pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos, si sobrevivieron 84 gatos y ningún ratón. ¿Cuántos ratones había inicialmente?

A) 100 B) 40 C) 50 D) 22 E) 60 7. De los S/. 20 que tenía, gasté la tercera parte de lo que

no gaste. ¿Cuánto gasté? A) 10 B) 15 C) 5 D) 20/3 E) 6 8. Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos

niños por columnas como filas. Para formar con un niño más por columna y un niño más por fila, harían falta 13 niños. ¿Cuántos son los niños?

A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49 9. La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de

los números por el otro, se obtiene 16 de cociente y residuo máximo. El número mayor es:

A) 302 B) 234 C) 305 D) 304 E) 243 10. Preguntando a un alumno por su nota en un examen

responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene?

A) 14 B) 17 C) 12 D) 16 E) 15 11. Al contar “n” bolas de colores, algunas rojas y el resto

negras, se encontró que 49 de las primeras 50 contadas eran rojas. De ahí en adelante, 7 de cada 8 contadas eran rojas. Si en total el 90 % o más de las bolas contadas eran rojas, el valor máximo de “n” es:

A) 225 B) 210 C) 200 D) 180 E) 175 12. Un pasajero que lleva 63 Kg. de equipaje paga S/. 198

por exceso de equipaje, y otro que lleva 38 Kg. paga S/. 48. ¿Cuál es el peso que puede transportarse sin pagar ningún costo adicional?

A) 30 Kg. B) 25 Kg. C) 33 Kg. D) 35 Kg. E) 31 Kg. 13. Al ser preguntada Karla por el número de chocolates que

compró respondió: “Compré 2 más que la raíz cuadrada, del triple de los que compré disminuido en 2”. ¿Cuántos chocolates compró?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 20 14. Los capitales de dos individuos son “x” e “y” soles; el

primero ahorra diariamente “a” soles, y el segundo “b” soles. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el capital

del primero sea “n” veces el del segundo?

A) nba

xny

B)

nba

xny

C)

nba

ynx

D) bna

ynx

E)

bna

xyn

)(

15. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un

centenar de palomas. Pero una de ellas lo saca del error. No somos cien, le dice, si sumamos las que somos, con las que somos más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en ese caso, contigo, gavilán, seríamos cien. ¿Cuántas palomas había en la banda?

A) 80 B) 36 C) 90 D) 99 E) 96

MÉTODOS GRÁFICOS

1. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta le quedó sólo 8 soles.

¿Cuánto dinero perdió? A) 80 B) 150 C) 64 D) 120 E) 128 2. Un ómnibus hace servicio de Tarapoto a Trujillo y en uno

de sus viajes recaudó 528 soles por la cobranza de adultos y 108 soles por los niños; sabiendo que para cualquier recorrido el pasaje adulto es de 8 soles y 4 soles el de niños. Si cada vez que un adulto bajó subieron dos niños y cada vez que baja un niño subieron tres adultos y llegaron a Trujillo 55 adultos y 11 niños, ¿cuántos adultos y cuántos niños partieron de Tarapoto?

A) 18 y 5 B) 17 y 6 C) 20 y 8 D) 22 y 5 E) 16 y 6

3. El nivel del agua de una piscina desciende a 3 cm por

debajo de su mitad y luego de 4 horas se desagua toda la piscina. ¿qué profundidad tenía el agua inicialmente? A) 80 cm B) 90 cm. C) 96 cm D) 108 cm. E) 120 cm.

4. Tres jugadores A, B y C acuerdan que después de cada partida el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el primero tiene 24 soles, el segundo 28 y el tercero 14 ¿Cuánto dinero perdió A? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18

5. A Jorgito, por cada día que asiste al colegio, le dan 4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno. ¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió 12

caramelos? A) 24 B) 20 C) 25 D) 12 E) 4

6. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40 soles semanales; en cambio, la semana que no trabaja el día lunes, debe retirar 20 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas se logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en esas 10 semanas? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

7. Un señor al regresar de cacería le dice a su esposa: “Traigo en la canasta 37 cabezas y 102 patas” ¿Cuántos conejos y palomas llevaba este señor? A) 12 y 25 B) 23 y 14 C) 22 y 15 D) 20 y 17 E) 21 y 16

8. El profesor Fernando quiere compartir cierto número de

caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a cada uno, le sobran 45 y se les da 11 a cada uno, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere compartir?

A) 237 B) 327 C) 273 D) 723 E) 372



10

9. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer

comprar entradas de 65 soles observa que le falta para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 soles. Es así que entran todos y le sobra 10 soles. ¿Cuántos hijos llevó al concierto?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 10. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar

4 más, pero si solo compro 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es:

A) 750 B) 425 C) 525 D) 325 E) 875 11. En una bodega 5 paquetes de galleta equivalen a 4

botellas de gaseosa, 3 botellas de gaseosa equivalen a 10 bolsas de caramelos, 7 bolsas de caramelos equivalen a 6

chocolates, y 8 chocolates valen 14 soles. ¿Cuánto costarán 3 paquetes de galleta?

A) S/. 8 B) S/. 9 C) S/. 10 D) S/. 11 E) S/. 12 12. Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines

obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos, ¿cuántas pelotas se obtendrán?

A) 715 B) 810 C) 1 008 D) 942 E) 1 012 13. En un examen de “n” preguntas, cada respuesta correcta

recibe 6 puntos y cada respuesta equivocada – 4 puntos, si un estudiante saca cero. ¿Cuántas preguntas buenas tuvo?

A) n/10 B) n/5 C) 3n/4 D) 3n/10 E) 2n/5

14. Unos nietos para regalar a sus abuelos una línea telefónica que cuesta 1500 soles hicieron lo siguiente: rifaron un televisor; primero pensaron cada boleto a 7 soles, pero perderían 400 soles, entonces decidieron vender cada boleto a 8 soles logrando ganar los 500 soles que necesitaban. ¿Cuánto les costó el televisor?

A) 6000 B) 5800 C) 6100 D) 6700 E) 6600 15. Una vendedora llevó cierto número de paltas al mercado.

Primero vendió la mitad del total que llevó, más media palta y luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media palta. Si luego de estas dos ventas le quedó una palta. ¿Cuántas paltas había llevado al mercado, si sabe además que en ningún momento cortó ninguna palta?

A) 17 B) 7 C) 13 D) 9 E) 11

EDADES

1. Romelio, quien aún no cumple años, le dice a Elizabeth, la cual nació el primero de enero: "Si yo hubiera nacido 6 años antes, hoy tendría la tercera parte de tu edad, si es que hubieses nacido 15 años antes, pero cuando cumpla años, yo tendré la mitad de tu edad, si es que hubieses nacido 10 años después. ¿Cuántos años tiene Elizabeth?

A) 50 B) 30 C) 28 D) 45 E) 36 2. Se sabe que si una pareja de esposos, donde el esposo

es mayor, tuviese un hijo ahora; al cabo de cierto tiempo la suma de edades de los tres sería

66 años y que el triple de dicho tiempo es justamente la diferencia de las edades de los esposos, además en ese momento la edad de la madre sería múltiplo de la edad del hijo y éste tendría más de 2 años. Halle la suma de cifras del resultado de sumar las edades de la pareja.

A) 3 B) 10 C) 12 D) 15 E) 8 3. En el año 2002, un profesor de RM, sumó las edades y

los años de nacimiento de sus 20 alumnos y obtuvo como resultado un número impar cuya suma de cifras es 10. ¿Cuántos de dichos alumnos ya cumplieron años?

A) 7 B) 14 C) 10 D) 9 E) 13 4. Yo tengo doce veces la edad que tú tenías, cuando yo

tenía dos veces la edad que tuviste, cuando yo tuve un exceso de 10 años sobre tu edad actual, y cuando tenga 2 veces la edad que tú tienes la suma de nuestras edades será 105. ¿Qué edad tendré dentro de 1 año?

A) 60 años B) 61 C) 68 D) 58 E) 63

5. Adolfo y Angélica tienen edades cuya suma es 5 veces

más que la suma de las edades de sus "n" hijos; hace 2 años esta suma era 10 veces la suma de las edades de sus hijos y dentro de 6 años será 2 veces mayor que la suma de las edades de sus hijos. Hallar "n"

A ) 1 B ) 2 C ) 3 D ) 4 E ) 5

6. Vallejo le dice a Neruda: "cuando tú tengas la edad que

yo tengo, tendrás lo que él tenía, que es el triple de lo que tienes y yo tenía los 3/5 de lo que él tiene, que es 10 años menos de los que tendré cuando tengas lo que ya te dije" ¿Qué, edad tuvo Vallejo cuando nació Neruda?

A) 12 años B) 16 C) 20 D) 14 E) 18

7. Las edades de Don Pedro y Doña Margarita suman 91

años; Don Pedro es el doble de viejo de lo que era Doña Margarita, cuando Don Pedro tenía la edad que ahora tiene Doña Margarita. ¿Cuántos años tendría actualmente Don Pedro, si hubiera nacido 10 años antes?

A) 53 años B) 62 C) 34 D) 55 E) 47

8. Adolfo, le dice a Edwin: "la raíz cuadrada del año en que nació más la raíz cuadrada del año en que murió nuestro abuelo es justamente todo el tiempo que vivió": ¿A qué edad murió el abuelo, si esto ocurrió en el siglo XX? A) 84 años B) 80 C) 87 D) 85 E) 88

9. Ronald es mayor que Alín en 20 años. ¿Cuál será la edad

de Ronald, cuando su edad sea múltiplo de la de Alín por segunda vez y cuántas veces la edad de Ronald será múltiplo de la de Alín? A) 22 años y 4 B) 22 años y 5 C) 21 años y 6

D) 24 años y 6 E) 22 años y 6 10. Luis nació 14 años antes que Rosalinda. Hace “4m” años

sus edades estaban en la relación de 10 a 3, hace “4n” años estaban en la relación de 12 á 5, dentro de 6n años sus edades serán como 20 es a 13, y dentro de “10n” años será como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actuales?

A) 28 años B) 35 C) 42 D) 48 E) 56 11. Pepe al leer la historia de su abuelo quedó sorprendido de

la longeva vida que tuvo, cuya novena parte de su existencia se pasó en travesuras de infante, había transcurrido la quinta parte de su vida, cuando su voz empezó a engruesarse, y la tercera parte de su vida lo



11

pasó en afianzar sus conocimientos de matemática, pasó 32 años más. y con profunda satisfacción de lo vivido descendió a la sepultura. ¿Cuántos años vivió el abuelo de Pepe?

A) 84 B) 92 C) 90 D) 70 E) 100 12. Andrade, un niño muy inquieto observa que cuando su

padre tenía 41 años, él tenía 14, es decir, el mismo número pero con las cifras invertidas. Si Andrade vivió 100 años. ¿Cuántas veces más volvió a ocurrir este caso?

A) 3 B)4 C)5 D) 6 E) 2

13. Mozart, el genio precoz, comenzó su gira cuando tuvo la

quinta parte de la edad a la que murió (1791), justo 2 años después de iniciarse en el piano. Transformó su técnica cuando tuvo el cuadrado de los años a los que se inició en el piano, cuando las últimas dos cifras de ese año era el cuadrado de la edad que tuvo 2 años después de que inició su gira. ¿A qué edad compuso "Las bodas de Fígaro", si esto ocurrió 3 años antes de su muerte?

A) 15 años B) 20 años C) 25 años D) 32 años E) 35 años

14. Inocente e Inocencia se casaron cuando ambos tenían 15

años de edad y luego de 1 año nació Virginia. Si cuando Virginia se casó, su edad fue la cuarta parte de la suma de las edades de sus padres. ¿A qué edad se casó Virginia?

A) 14 años B) 15 C) 17 D) 16 E) 19 15. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás lo que él

tenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenía la tercera parte de lo que él tiene, que es 5 años más de lo que tendré, cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. ¿Cuántos años tengo?

A) 15 años B) 20 C) 25 D) 30 E) 18

HABILIDAD OPERATIVA

1. Para cualquier entero x; es definido como la suma

de todos los factores de x mayores que 1 y menores que x. Entonces, halla:

W = +

A) 39 B) 40 C) 30 D) 29 E) 20 2. Halla la raíz cúbica de:

286159992761413841383238

599000040016999

A) 1 200 B) 300 C) 400 D) 900 E) 1 000

3. Calcula la suma de cifras de:

212345678981R

A) 36 B) 49 C) 225 D) 81 E) 121

4. Calcula el valor de la fila 2 014 en:

Fila 1 31

3

Fila 2 53

5

31

5

Fila 3 75

7

53

7

31

7

A) 1 B) 2 001 C) 2 003 D) 2 014 E) 1 007 5. ¿Cuántas bolitas hay en total en F(30)? A) 1 891 B) 2 400 C) 840 D) 1 750 E) 900

F(1) F(2) F(3) 6. En la siguiente sucesión, determina el número de círculos

sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

A) 201 B) 131 C) 151 D) 181 E) 231

7. ¿Cuántos puntos de corte hay en F20?

F1 F2 F3

A) 400 B) 20 C) 480 D) 800 E) 420

8. Calcula: 22

2003200220032003

E indica la suma de cifras del resultado.

A) 7 B) 11 C) 19 D) 17 E) 8

9. Calcula: ONPECAM , si

4821568...9999999 CAMPEON

A) 683 B) 681 C) 692 D) 694 E) 633 10. Calcula el valor de “N” y da como respuesta la suma de

sus cifras.

cifrasncifrasn

N)3()3(

9998...9999992...999

A) 9n + 18 B) 9n – 20 C) 9n + 27 D) 9n – 29 E) 9n + 20

21 18

x



12

11. Si: x – y = y – z = 6 6 , calcular el valor de:

66

)()()(666

yxzyzxA

A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 11 12. Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente

operación:

cifrascifras 50100

888...888444...444

A) 250 B) 360 C) 300 D) 280 E) 320

13. Si: 90......12341231219

abcsumandos

Calcular: 2

)..( cbaM , y dar como

respuesta la suma de cifras del resultado. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

14. Indica el valor de la raíz cuadrada del número ubicado en

el círculo central de la fila 100.

A) 9 901 B) 9 900 C) 1 000 D) 5 050 E) 9 999 15. ¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para formar la

figura de la posición 90, siguiendo la secuencia mostrada?

P1 P2 P3

A) 8 660 B) 7690 C) 9960 D) 1200 E) 16 380

OPERADORES MATEMÁTICOS

1. Sea: a * b = a-1 + b-1 ; al determinar:

)5*2).(3*2(

)3*5).(4*3(E

A) 15

8 B)

12

7 C)

6

5 D)

7

15 E)

8

15

2. Si: a * m = m + a; el decimo sexto termino de la

sucesión: 3 * 9; 4 * 16; 5 * 25……es:

A) 32 B) 64 C) 36 D) 48 E) 34

3. Si: a % b = 32

baba

; y además que: 15

% b = 5; hallar: 6 % b

A) 3

7 B)

6

1 C)

2

7 D)

6

5 E) 1

4. Si: 23

yxyx ; entonces se pide

Hallar el valor de: )51226()274( E

A) 47 B) 45 C) 43 D) 41 E) 39

5. Dado que: *

;a b

a b a ba b

y además que:

nmnm 2* ; Hallar el valor de: 12

48

E

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

6. Se define que: = 322

xx

Hallar “x” en: = xx 1342

A) 2 B) – 2 C) 3

2 D)

2

1 E) 5

7. Se define: 3* baba ; calcular el elemento

neutro. A) – 3 B) – 5 C) – 7 D) – 9 E) – 11 8. Sabemos que se cumple que:

ababba )*(2*22

; calcular: 6

2*34

A) 1 B) 3 C) 6 D) 4 E) 2

9. Si: = 2x + 1; y además:

= 8x – 9;

1

16 4 9

25 49 36 81 64 1x

12 x

x – 1

X+1

2



13

Calcular: +

A) 77 B) 78 C) 79 D) 80 E) 81

10. Sabiendo que se cumple lo siguiente:

342518

533340

362032

; calcular “x” si: 3030 xx

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

11. Si: = 2

)1( nn; entonces en la igualdad

Hallar el valor de “x” en: = 21

A) 5

1 B)

4

1 C)

3

1 D)

2

1 E) 1

12. Si: = 4a; siendo a * b > 0

y = a2 + 4; calcular: 10 * 80

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

13. Si: = x – 1

= 3x + 5

Calcula: 3 + 2 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 14. Dadas: x = x2 – 1 ; x = (2 + x)x

Calcula: 3 + 3 – 2 A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 2 15. Se define en A= {1; 2; 3; 4}

$ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Calcular “x” en:

24$2$4$$3$211111

x ; Donde x-1 es el

elemento inverso de x

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

SUCESIONES

1. Indica el número que continúa:

12; 26; 81; 328,…?

A) 1 312 B) 1 645 C) 984 D) 1 640 E) 1 454

2. Halla “x”, en:

1; 2; 18; 146; 658; 1 682; x

A) 2 680 B) 1 980 C) 2 706 D) 2 906 E) 3 906 3. ¿Qué número continúa?

0; 1; 3; 13; 50; …

A) 201 B) 351 C) 151 D) 291 E) 101 4. Una rueda al girar presenta el número cero (0) en la 1era.

vuelta luego en la segunda vuelta muestra el número 6, en la 3era. muestra el número 24 y en las siguientes al 78 y 240 respectivamente. ¿Qué número mostrará en la 6ta. Vuelta?

A) 720 B) 762 C) 672 D) 727 E) 726

5. ¿Cuántos términos terminan en la cifra 5 en la siguiente sucesión?

4; 15; 26; 37;…; 433

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. ¿Cuál es el tercer término de la siguiente sucesión: 3; 6; 11; 18; 27; … que termina en cifra 7?

A) 127 B) 227 C) 427 D) 627 E) 837 7. En la siguiente sucesión:

...;15

13;

20

17;

6

5;

6

5;1

La diferencia entre el denominador y el numerador del enésimo término es: A) n – 1 B) n – 2 C) n D) 2n – 1 E) – 1 8. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su casa; lleva

la primera vez 28; pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior; pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si desea llevar 750 ladrillos, ¿cuántos viajes debe hacer?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

12

n

2x+1

a * b

a + 1

x + 3

x + 1



14

9. Hallar “n” en: ;2

1 ;12

9 ;6

5 ;16

14…

Si: an = 30

29

A) 10 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12

10. Dadas las sucesiones:

...;21;19;17;15:1S

...;3;2;7;12:2 S

¿Qué término correspondiente a estas dos sucesiones tienen el mismo valor?

A) Noveno B) doceavo C) octavo D) décimo E) duodécimo 11. Halla el valor de “n” en la siguiente sucesión:

nnaaaa 118...;;11;7;3

53

A) 41 B) 64 C) 39 D) 29 E) 19 12. ¿Cuántos elementos comunes tienen ambas sucesiones?

343; 336; 329;…; 0

17; 22; 27; 32;…; 252

A) 11 B) 7 C) 8 D) 10 E) 5 13. Halla el segundo término negativo en la siguiente

sucesión:

284; 278; 272; 266;… A) – 18 B) – 6 C) – 13 D) – 10 E) – 14 14. Dada la sucesión numérica:

nT n 1 =

;...12

11;

9

9;

6

7;

3

5

¿A partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores de 3/4? A) Décimo B) onceavo C) doceavo D) treceavo E) catorceavo 15. Hallar el término de lugar 22 en:

2; 4; 6; 20; 58; 132;…

A) 8 002 B) 14 328 C) 16 004 D) 24 032 E) 7 229

RELOJES

1. Entre las 2 y las 3. ¿A qué hora las agujas de un reloj forman un ángulo de 20°? A) 2h y 5min. B) 2h y 14 min. C) 2h y 7min. D) 2h y 7 3/11 min. E) 2h y 8 3/11 min.

2. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 900 segundos. Si ahora

marca las 4:20 y hace 8 horas que se adelanta, ¿Cuál es la hora correcta?

A) 3:42 B) 4:12 C) 3:16 D) 3:48 E) 3:30 3. Si fuera 4 horas más tarde de lo que es, faltaría para

acabar el día los 7/11 de lo que faltaría si es que fuera 4 horas más temprano. ¿Qué hora es?

A) 8am B) 7am C) 6am D) 5am E) 9am 4. Dentro de 15 minutos el tiempo que faltará para las 11:00

am. será los 3/7 del tiempo transcurrido desde las 9:00 am. hasta hace 25 minutos. ¿Qué hora es?

A) 9:56 am. B) 10:11 am. C) 10:19 am. D) 10:21 am. E) 10:36 am. 5. El campanario de un reloj da tantas campanadas como el

doble del número de horas que indica si la hora es par; y si la hora es impar indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 demoró 24 segundos. ¿Cuánto demorará para indicar las 8:00?

A) 100 seg. B) 90 seg. C) 42 seg. D) 80 seg. E) 70 seg.

6. Un reloj indica la hora con tantas campanadas como el

número de horas transcurridas hasta ese instante. Sabemos que para tocar tantas campanadas como el doble del tiempo que demoró entre campanada y campanada tardó 91 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 56 segundos?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 6 7. Usted me pregunta ¿qué hora es? y yo amablemente le

respondo: “son las once y falta poco para las doce además dentro de 13 minutos faltará para las 13 horas la misma cantidad de minutos que había pasado desde las once hasta hace 7 minutos, pues bien, esa es la hora. ¿Qué hora es?

A) 11:53 B) 11:55 C) 11:57 D) 11:47 E) 11:48 8. En el instante de comenzar un año no bisiesto, un reloj

señala las 6h 56 min. 40 seg. de la mañana, se supone que va adelantado. Este reloj se atrasa: el primer día 10 segundos; el segundo día, 30 segundos; el tercer día, 50 segundos y así sucesivamente. Al comenzar un día del año, el reloj marcará la hora exacta. ¿Cuál es esa fecha?

A) 19 febrero B) 21 febrero C) 7 marzo D) 13 febrero E) 20 febrero 9. Un reloj se adelanta 4 minutos por cada hora que

transcurre. ¿A qué hora comenzó a adelantarse si dentro de 2 horas tendrá un adelanto de una hora y estará

marcando las 9:24 pm.? A) 3:24 pm. B) 4:24 pm. C) 6:24 pm. D) 5:48 pm. E) 5:24 pm. 10. Dos relojes marcan la hora exacta a las 12m y a partir de

ese instante, uno comienza a adelantarse a razón de 2



15

minutos cada hora y el otro se atrasa a razón 3 minutos cada 2 horas. Luego de cuánto tiempo volverán a marcar, simultáneamente, la hora correcta.

A) 30días B) 100 C) 80 D) 60 E) 10 11. Un reloj en vez de tener 12 divisiones tiene 8

correctamente enumeradas y sus manecillas giran en sentido antihorario; ¿qué hora indicará este reloj cuando, en realidad, sean las 3:00pm?

A) 6pm B) 5pm C) 4 pm D) 7 pm E) 3 pm 12. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A qué hora

empezó a adelantarse si a las 11 h 15 min. de la noche marca las 11 h 27 min? A) 5:18 a.m. B) 5:17 a.m. C) 5:31 a.m. D) 5:07 a.m. E) 5:15 a.m.

13. Dentro de 4 h. se verificará que el tiempo transcurrido del

día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas. ¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual a la décima parte del ángulo que forman las agujas actualmente (sexagesimales)?

A) 9pm. B) 2pm. C) 6pm. D) 8pm. E) 10pm. 14. Un reloj se adelanta a razón de 4 minutos por hora, se

pone a la hora las 2 de la tarde. En la mañana del día siguiente, se observa que dicho reloj está marcando las 10 en punto. ¿Cuál es la hora correcta en ese momento?

A) 8:40 a.m. B) 8:42 a.m. C) 8:44 a.m. D) 8:45 a.m. E) 8:53 a.m.

15. En un día de 1 996, antes del mediodía, Wendy se dio

cuenta de que las horas transcurridas del año excedían en 400 horas a las horas que faltaban transcurrir. Indica la fecha y hora en que Wendy hizo dicha observación.

A) 8 julio 9am B) 10 julio 9am C) 9 julio 8am D) 16 julio 8am E) 10 julio 8am.

ANALOGIAS Y DISTRIBUCIONES

1. Determinar el valor de “x”

A) 65 B) 68 C) 39 D) 119 E) 56 2. ¿Cuál es el valor de “x”?

A) 198 B) 194 C) 190 D) 196 E) 200 3. Completar la serie análoga compleja:

123 (34) 254 305 (30) 304 285 (X) 103 A) 14 B) 16 C) 19 D) 21 E) 38 4. Hallar “x” en: 9 5 2 6 7 X 1 4 11 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 5. Hallar el valor de “x”:

A) 7 B) 5 C) 4 D) 8 E) 6 6. Hallar “x” en: 7 35 31 11 X 27 15 19 23 A) 19 B) 39 C) 38 D) 37 E) 35

7. ¿Qué número falta? A) 11 B) 7 C) 6 D) 9 E) 5 8. ¿Qué número falta en el tercer triángulo?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 9. ¿Qué letra falta: K N H P T M I N … ? A) B B) C C) D D) A E) F

10. Hallar el número que falta:

9 5 8 6 1 3 3 2 ?

3

5

29

11

2

41

12

5

X

130

6

10

18

34

66

X

8

14

26

50

98

5

4 3

11

7 3

145

4 X

17

15

13 10

14

9

19

22

15 X

18

12

20

12

4 15

32

11

8 52

41

X

1 8



16

A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 2 11. ¿Qué número falta?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 14 E) 9 12. Hallar el número que falta dentro del paréntesis:

5 ( 16 ) 2 2 ( 22 ) 6 3 ( ) 4

A) 16 B) 20 C) 18 D) 10 E) 12 13. Hallar “x”, en: A) 63 B) 57 C) 72 D) 43 E) 75

14. Hallar “x” 5 4 21 8 3 17 9 x 45 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 15. ¿Qué número falta?

10 ( 2 ) 22 78 ( 3 ) 84 1445 ( ) 1147

A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 8

PORCENTAJES 1. El 80% de 175 por mil de N; ¿qué porcentaje es de 36%

del 4 por 9 de N? A) 27,5 B) 17,5 C) 82,5 D) 87,5 E) 90 2. Se vende un artículo en S/. 80 ganando el 25%. ¿Cuál fue

el precio de costo? A) S/. 100 B) 80 C) 64 D) 60 E) 50 3. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en

S/. 180 habiéndose hecho un descuento del 20%? A) S/. 200 B) 225 C) 250 D) 300 E) 400

4. Si 40 litros de una solución contiene 15 litros de alcohol,

¿cuántos litros de agua se deben agregar para obtener una solución al 25%?

A) 8 L B) 10 L C) 14 L D) 16 L E) 20 L

5. En una compañía trabajan 250 personas donde el 80% son hombres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% del personal sean mujeres?

A) 200 B) 250 C) 120 D) 240 E) 350 6. En un colegio, el 40% de los alumnos son varones. A una

excursión han ido el 20% de los varones y el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de alumnos salió de excursión?

A) 30% B) 26% C) 38% D) 45% E) 28% 7. Al tostar café se pierde el 20% del peso. Un tendero vende

café tostado a 4,60 soles el Kg., ganando el 15% del precio de costo. ¿A qué precio debe comprar el café sin tostar?

A) S/. 4 B) 3,80 C) 3,20 D) 4,20 E) 3,50

8. Sandro vende un televisor ganando el 20% del precio de venta; de esta ganancia entrega el 20% a Carlos por su colaboración en el negocio y de lo restante utilizó el 10% para pagar el transporte del televisor hasta el domicilio de su nuevo dueño, obteniendo como ganancia neta 144 soles. ¿Cuánto le costó a Sandro dicho televisor?

A) 600 B) 700 C) 480 D) 900 E) 800 9. Un depósito contiene 20 litros de vino al 60%. ¿Cuántos

litros de agua deben agregarse para que la pureza sea del 50%?

A) 8 B) 4 C) 12 D) 3 E) 5

10. El queso pierde al secarse la séptima parte de su peso. Un comerciante ha comprado queso fresco, lo deja secar y vende el kilo de queso seco a S/. 35 ganando el 25% de su respectivo precio de compra. ¿Cuál es el precio de un kilo de queso fresco?

A) 26 B) 20 C) 30 D) 28 E) 24 11. ¿Qué tanto por ciento de un número que tiene por 20% al

12% de 70 es 60% de otro número que tiene por 40% al 56% de 24?

A) 48% B) 12% C) 18% D) 16% E) 24% 12. En una venta de mercaderías se observó que se vendió la

mitad ganando el 10%, la tercera parte ganando el 5% y el resto perdiendo el 7%. Si al final obtuvo una ganancia

de S/. 66, calcular el costo inicial total. A) 1000 B) 1200 C) 1300 D) 2000 E) 800 13. Un comerciante tiene 2 refrigeradores iguales, vende la

primera perdiendo el 20% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de venta debe ganar en la segunda para recuperar su dinero?

A) 20% B) 15,5 C) 14,28 D) 17,5 E) 5 14. El número de artículos que se pueden comprar con una

suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿Cuál es dicho número de artículos?

A) 20 B) 18 C) 22 D) 25 E) 26

15. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo S/. 33 600. ¿Cuánto tenía al principio?

A) S/. 85 000 B) S/. 87 000 C) S/. 89 500 D) S/. 96 000 E) S/. 100 000

3 4

9

2 5

5

7 3

x

27

5 4

6 3

9

8 1

7 6

x

10 9

5 2



17

REDUCCION A LA UNIDAD

1. Un caño “A” llena un tanque en 2 horas y otro caño “B” lo

desaloja en 6 horas. Funcionando juntos. ¿En qué tiempo se llenará el tanque?

A) 5 h B) 4 h C) 3 h D) 6 h E) 9 h 2. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2h y por otro

en 3h y vaciarse por un tubo de desagüe en 4h. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en:

A) 12/7 h B) 6h C) 11/7 h D) 7h E) 2h 3. Panchito puede hacer una obra en 3 horas, pero si se junta

con Manuel lo haría en 15/8 de hora. ¿En cuántas horas lo hará Manuel sólo?

A) 8h B) 5h C) 7h D) 4h E) 6h 4. La tercera parte de una obra la puedo hacer en 3 días y mi

ayudante puede hacer 1/2 de la obra en 6 días. Si trabajamos juntos, ¿en qué tiempo haremos la obra?

A) 7

45 días B)

7

35 días C)

7

25 días

D) 7

15 días E) 6 días

5. Alberto puede realizar una obra en 15 días mientras

Enrique lo haría en el triple del tiempo que emplearían los dos juntos en realizar dicha obra. Calcula en cuántos días haría la obra Enrique solo.

A) 15 días B) 30 días C) 10 días D) 20 días E) 40 días 6. Un caño llena un tanque en cierto tiempo y un desagüe lo

vacía en la mitad del tiempo, si el tanque estuviera lleno en sus 2/3 partes y se abriera simultáneamente caño y desagüe, se vaciaría en 8 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenaría si el caño trabajara solo?

A) 8 h B) 6 h C) 12 h D) 9 h E) 11 h 7. Un obrero A demora en hacer la mitad de una obra tanto

como otro obrero B se demora en hacer los 5/6 de la misma obra. ¿Cuánto se demora A en hacer toda la obra, si entre los dos tardarían 15 días?

A) 18 días B) 27 días C) 36 días D) 40 días E) 54 días 8. Dos fábricas A y B, se comprometen a entregar un pedido

en 12 días. Después de dos días la fábrica A cierra para efectuar reparaciones, mientras que la fábrica B sigue funcionando normalmente. Sabiendo que B tiene un

rendimiento del %3

266 de A, determinar en cuántos días

se completará el pedido. A) 36 B) 30 C) 24 D) 18 E) 27

9. A y B pueden hacer una obra en 10 días. Si después de 8 días de trabajar juntos se retira A y B termina lo que falta de la obra en 7 días, ¿en cuántos días puede hacer toda la obra A solo?

A) 8 B) 6 C) 14 D) 12 E) 18

10. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas pueden llenar la mitad de un tanque en 4 horas. Si funcionando sólo A y B pueden llenar todo el tanque en 10 horas y funcionando B y C lo llenan en 15 horas, ¿en cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería B si funciona sola?

A) 8 h B) 9 h C) 6 h D) 7 h E) 10 h 11. La compañía “El Rodillo” se compromete a construir una

carretera y dispone de tres máquinas y debe ocupar una sola de ellas. En este trabajo con solo la máquina A puede construir la carretera en 6 días, con solo la máquina B en ocho días, con sólo la máquina C en 12 días. Después de 2 días de trabajo la máquina A se malogra y es sustituida por la B y al cabo de 2 días es reemplazado por C. ¿Cuántos días emplea ésta para completar el trabajo?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12. Un tanque puede ser llenado por la cañería “A” en 6 horas

y vaciado por otra cañería “B” en 8 horas. Se abren ambas cañerías durante 2 horas, luego se cierra “B” y “A” continúa abierta por 3 horas; al final de los cuales se reabre “B”. ¿Desde la reapertura de “B”, qué tiempo demora el tanque en llenarse?

A) 7 h B) 6 h C) 9 h D) 10 h E) 12

13. La rapidez con que trabaja A es tres veces mayor que la de B. Los operarios A y B empiezan a trabajar juntos

durante 4 horas, al cabo de los cuales A se retira y continúa solo B, que termina el trabajo en 2 horas. Hallar el tiempo que tardará B en realizar todo el trabajo si actuara él solo.

A) 22 h B) 15 h C) 12 h D) 18 h E) 9 h

14. 1/5 de un tanque lo puede llenar un grifo en 2 horas y 1/3 del tanque lo puede vaciar un desagüe en 4 horas. Si ambos se abren a la vez, ¿en qué tiempo se llenará la mitad del tanque?

A) 30 h B) 60 h C) 120 h D) 45 h E) 15 h 15. Un hombre puede hacer una obra en 12 días, si le ayudan

dos mujeres acabarían en 8 días. Si trabajan sólo las 2 mujeres durante 6 días, ¿qué parte de la obra harían?

A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/6 E) 1/8

SERIES Y SUMAS

1. La suma de 39 números consecutivos termina en 6. ¿En qué cifra termina el número central de los 39 números?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 7 E) 6 2. Calcular:

84...201918 S

A) 3458 B) 3417 C) 3479 D) 3488 E) 3477 3. Hallar “n”, en:

4402...201262 n

A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65 4. Hallar el valor de:



18

...12

1

8

1

6

1

4

1

3

1

2

11

E

A) 1/3 B) 1/2 C) 4/5 D) 3/5 E) 4/3 5. Calcular:

...

320

81

80

27

20

9

5

3...

9

2

3

1

2

1

4

3S

A) 25/57 B) 27/53 C) 51/19 D) 27/35 E) 29/37 6. Calcular:

222210.11...3.42.31.2 S

A) 3210 B) 3310 C) 3410 D) 3510 E) 3610

7. Calcular: ...2

9.7

2

7.5

2

5.3

2

3.1432S

A) 32 B) 14 C) 19 D) 23 E) 26 8. Calcular el valor de:

A) 1120/3 B) 1124/5 C) 1121/6 D) 1123/7 E) 1127/6 9. Sobre el suelo se ha dibujado un polígono de 24 m. de

lado. Un corredor se para sobre el vértice y recorre todo el polígono; luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada vuelta un lado menos, si ha recorrido en total 864 m. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 10. Hallar “n”, en:

623,01

...56

1

42

1

30

1

20

1

n

A) 5000 B) 5500 C) 5550 D) 5650 E) 5850

11. Si: A = 1 + 2 + 3 + … + n

B = 2 + 4 + 6 + … +2n

A . B = 6 050

Determinar: 12

nnx

A) 105 B) 107 C) 109 D) 111 E) 113 12. Calcula la suma de los 20 primeros términos de la

sucesión:

1 ; 5 ; 15 ; 34 ; 65 ; 111 ; ...

A) 22 100 B) 11 555 C) 22 555

D) 22 155 E) 20 155 13. Determinar la suma de los términos de la sucesión:

44.40;...;7.3;6.2;5.1

A) 25 348 B) 25 420 C) 24982

D) 26 888 E) 24 520 14. Hallar el valor de:

2522

1...

1310

1

107

1

74

1

xxxxK

A) 3/101 B) 5/103 C) 7/100 D) 5/101 E) 11/101 15. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente

arreglo numérico:

1 1F

3 5 2F

7 9 11 3F

13 15 17 19 4F

21 23 25 27 29 5F

A) 2530 B) 100 C) 1000 D) 3025 E) 4238

ANALISIS COMBINATORIO

1. Norma tiene 5 aretes diferentes y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en la oreja derecha y 3 perforaciones en la de la izquierda. ¿De cuántas maneras diferentes puede lucir todos los aretes?

A) 1 440 B) 720 C) 120 D) 640 E) 210 2. En una caja se tiene 5 fichas rojas, 4 blancas, 3 azules, 1

verde y 1 negra. ¿De cuántas maneras diferentes se les puede ordenar, si se coloca una a continuación de la otra, en forma de línea recta?

A) 5 054 040 B) 4 550 040 C) 5 540 050 D) 5 045 040 E) 5 005 400

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar 9

señoritas en una fila, si dos señoritas en particular siempre van a estar juntas?

A) 80600 B) 60840 C) 80460 D) 40320 E) 80640

4. ¿De cuántas formas se podrán ubicar 4 personas en una fila de 6 asientos, dejando los 2 asientos libres, siempre juntos?

A) 24 B) 720 C) 120 D) 32 E) 64 5. Si se tiene la palabra ELITE, ¿cuántos ordenamientos

podrá formarse con todas las letras a la vez de manera que las consonantes ocupen sus mismos lugares iníciales?

A) 5 040 B) 720 C) 120 D) 3 E) 6 6. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta

de 4 dígitos. Solamente sabe que los dígitos posibles son 1; 3; 5 y 7 ¿Cuál es el mayor número de “combinaciones” erradas que podría intentar?

A) 255 B) 1 279 C) 1 110 D) 1 109 E) 1 280

7. El número de variaciones de x letras diferentes, tomadas

de cuatro a en cuatro, es al número de variaciones de las mismas x letras, tomadas de cinco en cinco como 1 es a 8. Halle x.

A) 10 B) 15 C) 13 D) 12 E) 16

...24

1

5

6

12

16

6

130

3

1150

E



19

8. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el

estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante?

A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27

9. Un club tiene 15 miembros, (10 hombres y 5 mujeres) ¿cuántos comités de 8 miembros se pueden formar, si cada comité debe tener 3 mujeres?

A) 2 520 B) 2 585 C) 1 348 D) 2 250 E) 5 2 58 10. Determinar cuántas disposiciones distintas pueden

realizarse con las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, de tal forma que las vocales estén todas juntas.

A) 54 000 B) 58 950 C) 65 400 D) 72 400 E) 75 600 11. ¿Cuántas palabras de 6 letras, que contengan 2 vocales

diferentes y 4 consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la e y seis consonantes incluyendo la s, de manera que empiecen con e y contengan la s?

A) 21 600 B) 3 600 C) 7 200 D) 10 800 E) 9 600 12. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden registrar como

máximo, tales que comiencen con z y terminen en 7?. Tener en cuenta que la placa del automóvil se compone

de tres letras seguidas de dos dígitos, y el alfabeto tiene 27 letras.

A) 7 290 B) 6 280 C) 8 100 D) 1 000 E) 9 999 13. ¿De cuántas maneras diferentes, 2 Tarapotinos, 3

Lamistos y 4 Picotinos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma ciudad se sienten juntos?

A) 864 B) 1 728 C) 688 D) 892 E) 1 700 14. ¿Cuántos productos diferentes de tres factores pueden

formarse con los números: 7; 9; 11; 13 y 17? A) 12 B) 24 C) 10 D) 6 E) 120

15. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 parejas

de esposos alrededor de una fogata, de tal modo que cada pareja permanezca siempre junta?

A) 708 B) 728 C) 768 D) 748 E) 718

PROBABILIDADES

1. Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Hallar la probabilidad de que la carta sea un “as”

A) 1/5 B) 5/8 C) 1/13 D) 1/26 E) 4/13 2. De una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de

obtener una carta de corazones con una valor menor que 7 ó un valor mayor que 10?

A) 3/26 B) 3/52 C) 1/52 D) 9/52 E) 1/4 3. De una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de

que al extraer una carta, sea 8 ò de figura negra? A) 1/13 B) 1/2 C) 1/26 D) 7/13 E) 4/13

4. Si se lanza una moneda tres veces al aire. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener cara por lo menos dos veces? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/6 5. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32

padecía de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente al azar que padezca de artritis o gastritis.

A) 0,20 B) 0,60 C) 0,38 D) 0,44 E) 0,72 6. Sean los eventos A y B representados en el siguiente

diagrama de VENN:

Hallar: P(A U B) + P(B/A)

A) 0,75 B) 0,85 C) 1,25 D) 1,45 E) 0,60 7. Al arrojar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de no obtener

no mayor a 3? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 2/3 E) 5/6 8. Al arrojar tres dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener

un tres, un cuatro y un cinco? A) 1/216 B) 1/6 C) 5/6 D) 1/36 E) 1/2 9. Hallar la probabilidad de que resulte un REY al sacar una

sola carta de una baraja corriente de 52 cartas. A) 1/4 B) 1/13 C) 1/12 D) 2/13 E) 8/13 10. Determinar la probabilidad que aparezca una bola blanca

al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 azules. A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/12

11. Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 bolas blancas y 2 bolas

negras, si se extraen 3 bolas a azar, determinar la probabilidad de que las tres bolas sean de color rojo.

A) 1/3 B) 3/5 C) 1/21 D) 1/7 E) 4/21

12. Una caja contiene 5 bolas rojas, 4 bolas blancas y 3 bolas azules. Si se extraen 5 bolas al azar, determinar la probabilidad de que 3 sean rojas y 2 sean blancas.

A) 4/33 B) 4/11 C) 5/66 D) 5/11 E) 1/66 13. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos resultados sean tres? A) 1/18 B) 1/15 C) 1/36 D) 1/12 E) 1/16

14. Seis parejas de casados se encuentran en una habitación,

si 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados.

A) 1/33 B) 1/11 C) 5/33 D) 15/33 E) 11/15 15. Una clase contiene 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales

la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos castaños, encontrar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

A) 1/3 B) 1/2 C) 1/6 D) 2/3 E) 3/4

**

**

**

*

* *

** **



20

CONTEO DE FIGURAS

1. Hallar el número total de cuadriláteros:

A) 6 B) 12 C) 7 D) 16 E) 8 2. Hallar el número de triángulos en la figura:

A) 28 B) 29 C) 27 D) 45 E) 40 3. Hallar el número total de semicírculos en la figura

mostrada.

A) 8 B) 12 C) 20 D) 14 E) 16 4. Decir cuántos triángulos hay en la figura.

A) 18 B) 22 C) 30 D) 38 E) 42 5. Hallar el máximo número de triángulos en la figura:

A) 13 B) 6 C) 9 D) 12 E) 14 6. Decir cuántas secciones circulares hay en la figura.

A) 24 B) 25 C) 28 D) 33 E) 45 7. Hallar el número de triángulos de:

A) 44 B) 40 C) 42 D) 46 E) 38

8. Calcular el máximo número de triángulos.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

E) 12

9. Calcular el máximo número de Hexágonos.

A) 21

B) 24

C) 30

D) 34

E) 42

10. Calcular el máximo número de segmentos.

A) 63 B) 68 C) 71 D) 78 E) 84

11. Calcular el máximo número de rombos.

A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 13

12. Calcular el máximo número de triángulos.

A) 30

B) 32

C) 34

D) 36

E) 38



21

13. Calcular el máximo número de ángulos agudos.

A) 19 B) 20 C) 18 D) 17 E) 16

14. Calcular el máximo número de triángulos que contengan

al menos un símbolo (*)

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

15. Calcular el máximo número de cuadriláteros.

A) 600 B) 900 C) 588 D) 589 E) 590 16. Calcular el máximo número de triángulos.

A) 170

B) 174

C) 176

D) 178

E) 180

17. Calcular el máximo número de cuadrados.

A) 98 B) 99 C) 101 D) 91 E) 121

18. Calcular el número de cuadriláteros no cuadrados.

A) 620 B) 621

C) 622 D) 623 E) 624

19. Las edades de dos personas coinciden con el número de

triángulos y cuadriláteros que posean al menos un

asterisco (*) en su interior. ¿Cuál es el promedio aritmético

de las edades?

A) 50 B) 48 C) 52 D) 63 E) 60

20. ¿Cuántos cuadrados se podrán contar como máximo tal

que posean al menos un corazón?

A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 27

AREA DE REGIONES SOMBREADAS

1. Calcule el área de la región sombreada en la siguiente

figura, si el radio del cuadrante es 62

A) 3π + 4

B) 2π – 2

C) 7π – 2

D) 3π – 6

E) 2π + 2

2. En la figura determinar el área de la región sombreada:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

3. Halle el área de la región sombreada, si MN= 2 u

A) 3 µ2

B) 2 µ2

C) 2(-3) µ2

D) 2(-1) µ2

E) µ2

4. Halle el área del cuadrado ABCD, sabiendo que el área de

la región sombreada es 50 m2.

A) 120 m2

* *

**

*

* *

*



22

B) 140 m2

C) 160 m2

D) 180 m2

E) 200 m2

5. Encontrar el área de la región sombreada, si los 3 círculos

son iguales y de radio ‘R’

A) 2

R

B) 3

22

R

C) 3

2R

D) 2

2R

E) 2

R

6. Calcule el área de la región sombreada, si el área del

paralelogramo ABCD es 120 u2

A) 100

B) 48

C) 60

D) 40

E) 20

7. En el grafico ABCD es un rectángulo, AB=20 cm. Si r= 7

cm., calcule el área del triángulo OTC, (T es punto de

tangencia)

A) 80 cm2 B) 82 cm2 C) 84 cm2 D) 86 cm2 E) 88 cm2 8. La figura muestra un cuadrado de lado ‘L’. Hallar el área

de la región sombreada, si M y N son puntos medios.

A) 5/12 L2

B) 5/24 L2

C) 3/8 L2

D) 7/9 L2

E) 3/10 L2 9. Calcule el área de la región sombreada, si R1= 6 cm.; R2=

2; R3=4

A) 2

48 cm

B) 36

C) 28

D) 22

E) 19

10. En el cuadrado, calcule el área de la región sombreada.

A) L2/4 B) L2/6 C) 2L2/7 D) 3L2/8 E) 4L2/9

11. Calcule el área del círculo sí el lado del cuadrado es 64

cm.

A) 8π

B) 10π

C) 12π

D) 14π

E) 16π

12. Si ABCD es un rectángulo. Calcule S3, si S2+S1= 23 cm2

A) 30 cm2

B) 27 cm2

C) 23 cm2

D) 19 cm2

E) 17 cm2

13. Calcule el área de la región sombreada en la figura.

A) 6

B) 12

C) 15

D) 18

E) 22 14. En el cuadrado ABCD, ‘M’ es el punto medio de BE. Calcular

el área de la región sombreada si AB= 10 m; ED= 8 m

A) 40 m2

=

=

=



23

B) 45 m2

C) 50 m2

D) 55 m2

E) 60 m2

15. En el trapezoide ABCD; M y N son puntos medios de BC y

AD, respectivamente. Halle el área de la región no

sombreada.

A) 9 m2

B) 20 m2

C) 16 m2

D) 18 m2

E) 22 m2

16. El área de la región sombreada es 64 m2, hallar el área del

cuadrado ABCD.

A) 84 m2

B) 88 m2

C) 92 m2

D) 96 m2

E) 100 m2

17. En un triángulo rectángulo de 726 m2 de área, la

hipotenusa mide 55 m. ¿calcular la suma de las longitudes

de los catetos?

A) 29 B) 56 C) 77 D) 65 E) 72 18. Calcule el área de la región sombreada si el lado del

cuadrado es 8 m.

A)

B) 21/2

C) 3

D) 4

E) 51/2

aritmetica ciencias 2014

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