ARITMTICA

ARITMTICAESTADISTICADefinicin: Es una ciencia que nos proporciona un conjunto de mtodos y procedimientos para la recoleccin, clasificacin, organizacin, presentacin, anlisis e interpretacin de datos en forma adecuada con el fin de realizar una teora de decisiones ms efectiva.Clases de EstadsticaEstadstica Descriptiva: Es la parte de la estadstica que trata de recopilar, clasificar, presentar y describir datos estadsticos.Estadstica Inferencial: Es la parte de la estadstica cuyo objetivo es investigar cmo deben ser utilizados los datos para reducir resultados probar alguna hiptesis.Observacin:La diferencia entre la estadstica descriptiva y la inferencial es que la segunda usa el clculo de la probabilidad.Poblacin: Es un conjunto de datos referentes a determinadas caractersticas de un grupo de individuos o elementos.Ejemplo: Las edades de los alumnos de la UNIMuestra: Es un subconjunto tomado al azar de los elementos de una determinada poblacin.Ejemplo: Las edades de los alumnos de la facultad de mecnica.2.3. Variable.-Es una caracterstica que puede tomar varios valores. Es un Dato que sufre variacin dentro de una escala recorrido o intervalo. Una variable puede ser:1. Variable cuantitativa.- Cuando est asociada a una caracterstica cuantitativa, es decir cuando se puede establecer cunto o en qu cantidad se posee una determinada caracterstica. Por ejemplo, son variables cuantitativas: Ingreso por familia, nmero de accidentes de trnsito, longitud, tiempo, etc.Una variable cuantitativa puede ser: Discreta: Son aquellas que surgen por el procedimiento de conteo, es decir, pueden tomar algunos valores del intervalo considerado (generalmente nmeros enteros positivos).Por ejemplo: una familia puede tener: 0; 1; 2; 3; ; 10 hijos, pero no valores intermedios Continua: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor del intervalo considerado.Por ejemplo: El peso, la estatura, la presin arterial, la superficie, etc.2. Variable cualitativa.- Cuando est asociada a una caracterstica cualitativa, es decir, cuando sus valores son cualidades, propiedades o atributos que presenta la poblacin. Por ejemplo: La variable profesin puede adoptar las modalidades: ingeniero, medico, bilogo, economista, etc.Una variable cualitativa puede ser:a. Variable cualitativa nominal.- Establece la distincin de los elementos en la categoras sin implicar orden entre ellas. Ej. Lugar de residencia.b. variable cualitativa ordinal.- Agrupan a los objetos y/o individuos en categoras, para establecer relaciones comparadas. Ej. Nivel de instruccin.

Distribucin de FrecuenciasConsiste en distribuir los datos de la muestra en clases categoras e ir colocando el nmero de datos que caen en cada intervalo.

Definiciones PreviasAlcance o Recorrido (A) Es el intervalo definido por los datos extremos (mayo y menor valor)Rango (R) En la longitud de alcance que resulta por la diferencia del mayor y menor valor.

Intervalo de Clase (I i ) Son grupos que resultan de particionar el alcance recorrido; el nmero de grupos (K) se determina por la regla propuesta por Sturges.K = 1 + 3,32 Log n

(Redondeando el entero superior e inferior segn convenga)Dnde: n: Nmero total de datos disponibles.

Ancho de Clase (W) Es la diferencia que hay entre los extremos de cada intervalo de clase.Ejemplo: Sea el intervalo [ Li + 1 - Li>

Tambin: Marcas de Clase (xi)Son los puntos medios de los intervalos de clase.Ejemplo: Sea el intervalo [Li - Li+1 >Problema Aplicativo:Se tiene los pesos de 50 estudiantes de la UNI con una aproximacin de kg.

Calculando el Alcance:Dato mayor: 94Dato menor: 46A = [ 46 - 94]Calculando el Rango: R = 94 46 = 48Calculando el Nmero de Intervalos: Si: n = 50; (n = Nmero de datos)K = 1 + 3,32 Log (50)= 6,61 7

Calculando el Ancho de Clase: Con los siguientes datos encontrados haremos una distribucin de frecuencias.[Li -Li+1>TabulacinfiFihiHixi

[ 46 53>33

49,5

[ 53 60> 710

56,5

[ 60 67> 616

63,5

[ 67 74> 1935

70.5

[ 74 81> 843

77,5

[ 81 88>417

84,5

[ 88 95>350

91,5

Frecuencia Absoluta(fi):Es el nmero de datos que caen dentro de cada intervalo de clase.Frecuencia Relativa(hi): Viene a ser el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero de datos

Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi):Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas.Ejemplo: Suponiendo k intervalos:F1 = f1F2 = f1 + f2 + f3

F(k) = f1 + f2 + f3 + ... fk = nDonde:n: Nmero de intervalos

Donde: i : 1 , 2, 3, ........, k

Frecuencia Relativa Acumulada (H)Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias relativas.H1 = h1H2 = h1 + h2 + h3

H(k) = h1 + h2 + h3 + ... hk = 1Donde: i : 1 , 2, 3, ........, k* Calculando las Frecuencias AbsolutasDel conjunto de datos se puede observar cuantos de estos caen en cada intervalo de la distribucin de frecuencias, este nmero de datos se ira colocando en sus respectivos casilleros hasta llenar toda la columna.* Calculando las Frecuencias Absolutas Acumuladas:F1 = 3 F2 = 3 + 7F3 = 3 + 7 + 6F4 = 3 + 7 + 6 + 19F5 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8F6 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4F7 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4 +3* Calculando las Frecuencias Relativas

*Calculando las Frecuencias Relativas Acumuladas

*Calculando las Marcas de Clase

Valores CentralesMedia (Ma)Llamado tambin Promedio Aritmtico o Media AritmticaEjemplo: Las notas del joven Artmio en su primer ciclo en la UNI en Matemticas I, fueron:8, 12, 10, 11Que se han repetido:2123Su nota media o promedio ser:

Artmio aprob el curso.

Mediana (Me)El valor mediano o mediana de un conjunto de valores es aquel que tiene la propiedad de dividir al conjunto en 2 partes igualmente numerosas.Si el nmero de elementos fuese impar se tomar como mediana el valor central, pero si el nmero de elementos fuese par hay 2 elementos en el centro y como mediana tomamos el promedio de ambos.

Ejemplo:Se supo el coeficiente de inteligencia de 5 alumnos de la UNI los cuales estn ordenados de mayor a menor.120 118 110 110 100 *Por lo tanto la inteligencia mediana de los alumnos ser 110.Ejemplo:Para dictar la clase de Aritmtica poseo 6 tizas de diferentes colores cuyos pesos ordenados de menor a mayor son:10 10 14 27 30 32 * *

Por lo tanto la mediana ser: Moda (Mo): Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. A una distribucin que tiene una sola moda se le denomina unimodal.

Si hubiese ms de dos valores no adyacentes con frecuencias mximas similares; la distribucin es multimodal; bimodal; trimodal; etc.

En el caso que ningn valor se repita se dice que no existe moda; el sistema ser amodal.

Ejemplo:Las edades de los alumnos ingresantes a la facultad de Ingeniera Mecnica fueron: de 16 aos25 alumnos de 17 aos32 alumnos de 18 aos46 alumnos de 19 aos23 alumnos de 20 aos40 alumnos de 21 aos27 alumnos de 22 aos12 alumnosPor lo tanto la moda de edades ser 18.MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS CLASIFICADOSMedia Aritmtica: (Ma)

Ejemplo:

[ Li Li+1>xifixifi

[5 - 7>616

[7 9>8540

[9 - 11>10440

[11 13>12672

[13 15>14228

[15 - 17>16232

Total20218

Mediana (Me)

Dnde:Lm: Lmite inferior de la clase mediana.Wm: Ancho de clase de la clase mediana.n : Nmero total de datos.Fm-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a clase mediana.fm: Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Ejemplo:[LiLi+1>fiFi

[4000-4200>8080

[4200-4400>120200

[4400-4600>125325

[4600-4800>99424

[4800-5000>88512

[5000-5200>78590

[5200-5400>10600

Total600

clase mediana: [ 4400 - 4600>(Intervalo que contiene a la mediana)

Me = 4400 + 200 Moda (Mo)

Donde:Lo : Lmite interior de la clase modal.Wo: Ancho de la clase modal.d1 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior a ella.d2: Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia de la clase siguiente:Ejemplo: [LiLi+1>fi

[ 20 -30>2

[ 30 -40>10

[ 40 -55>8

[ 55 -65>6

[ 65 -85>2

Total28

Clase modal: [ 30 - 40>d1: 10 2 = 8d2: 10 - 8 = 2

Mo = 30 + 10= 38

DIAGRAMAS O GRFICASHistogramasSon diagramas de barras o rectngulos cuyas bases representan los intervalos de clases y las alturas, las frecuencias absolutas relativas.3467819fiIi4660748895816753Polgono de Frecuencias

DIAGRAMA ESCALONADOSSon diagramas similares al histograma con la diferencia que las alturas son frecuencias absolutas o relativas acumuladas.5047433516103Ojiva4653606774818895

Grficos de SectoresAnalizando al curso de Aritmtica:Preferencia PorNmerode personasExpresadosen GradosExpresadosen Porcentaje

Aritmtica6014440

Algebra204813,3

Geometra307220

Trigonometra409626,6

Total150

150 ______ 36060 ______ xExpresamos los grados en porcentaje:

360______ 100 %144______ y

360______ 100 %144______ yAXGT1447220,6%13,3%

AXGT1447220,6%13,3%

PROBLEMAS1. Dado las siguientes variables, indique si son cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa.a) Sexo()b) Tipo de droga()c) Edad de los reclusos()d) Lugar de residencia()e) Sueldos de enfermeras()f) Grado de instruccin()g) Grado de desnutricin ()h) Ingreso percpita()i) Categoria ocupacional()j) Velocidad de un pavo()2. Se analizan las calificaciones de 10 alumnos en el curso de ARITMETICA, recogindose los siguientes datos:1718111713

1113131915

Calcule la media, mediana y moda.A) 15; 13 ; 11B) 14; 12; 15 C) 19; 11;13D) 14.7;12;19E) 14.7; 14 ; 13

3. Se destina S/. 200 000 a un pueblo de la sierra para: Educacin, vivienda y alimentacin.

ViviendaAlimentacinEducacin 25%35%

Cunto se utilizo en vivienda? Cul es el ngulo que corresponde a educacin.A) 50 000; 120 B)45 000; 144 C) 50 000; 144D) 60 000; 130E) N.A.

4. Los siguientes datos que se presentan en la siguiente tabla incompleta de distribucin de frecuencias, corresponden a las calificaciones de un grupo de estudiantes del curso de estadstica:

11220

20560

30970

485

5

Si se sabe que la amplitud del intervalo es igual en todas las clases; completar los datos que faltan en la tabla.

Calcule A) 3,8B) 4,5C) 6D) 2,5E) 3,3

5. Se tiene una distribucin de frecuencias con 4 intervalos de amplitud constante:

130,08

250,40

312

490,36

Completa la tabla de frecuencias e indicar el tamao de la muestra.A) 45B) 60C) 50D) 80E) N.A.6. Dado el siguiente cuadro estadstico, Halle (a+b+c), Si los intervalos de clases tienen ancho comn.

20

30

ac0.20

B0.70

60

A) 155B) 160C) 170D) 166E) 150

7. Silvia realizo una encuesta sobre las edades de los postulantes a una universidad y con los datos obtenidos elaboro una tabla de distribucin que resulta ser simtrica de igual ancho de clase:

Si: La frecuencia absoluta.

Frecuencia relativa.

20

23.580

Halle: A) 53,7B) 54,7C) 55,7D) 56,7E) 57,7

8. Si el siguiente cuadro de distribucin tiene igual ancho de clase.liXihiFi

[ , >3012

[ , >6030

[ , >45

[ , ]15

Calcule la moda.A) 65B) 62C) 60D) 70E) 55

9. Complete el siguiente cuadro, si tiene ancho de clase comn.

liXifihiHi

[30,50>a0,20

[ , >b20

[ c , >0,90

[ , ]d

total50

Calcular la mediana.A) 60B) 50C) 65D) 55E) 70

10. En el siguiente diagrama de barras nos nuestra los resultados de los gastos de personas realizado por una encuestadora. Gastos300270240240180N de personas16202430

Cuntas personas gastan desde 192 hasta 280?A) 60B) 59C) 82D) 70E) 66

11. El siguiente histograma, nos muestra los resultados de una encuesta.

(N de personas)c17b9aN de familias4

58I

Calcule: (a + b + c + )Si la distribucin, se realiza en intervalos de igual ancho de clase.

A) 51,6B) 52,7C) 51,33D) 51,71E) 52,5

12. Si el siguiente cuadro de distribucin es simtrico:liFiFihi

[20 , >12

[ , 36>0,15

[ , >

[ , >d

[ , ]60

Calcule la moda.

A) 49B) 40C) 45D) 46E) 50

13.

En un cuadro de distribucin de 4 intervalos de igual ancho de clase se sabe que: . Si en total hay 120 datos. Calcular su .

A) 18B) 22C) 12D) 10E) 15

14. Artmio hace una distribucin de frecuencias en base a los pesos de sus amigas, y obtuvo la siguiente informacin:

[ Li Ls>fiFi

[40 50>22

[5055>8X

[5560 >1020

[6065>6y

Totalmn

Se le pide calcular x + y + m

A) 42B) 52C) 62D) 72E) 76

15. En la siguiente distribucin de ancho de clase constante:

[ Li Ls>fixi

[ a, b >50

[ c , d >2070

[ 80, 100 >Z

[ 100, f >110

[ f , g >130

total60V

se pide determinar

A) B) C)

D) E)

16. Se hace un estudio a 50 trabajadores de una cierta fbrica y se obtuvo el siguiente cuadrado estadstico:

Edad de los trabajadoresfiXi

20 24mA

24 28nB

28 32pC

32 36qD

Se pide calcular: ma + n b + p c + q dA) 52 B) 52C) 62D) 62 E) 42

17. Dada la siguiente distribucin de frecuencias:

[ Li Ls>xihiHi

[40 60>500,075P

[6080>m0,15Q

[80100>900,25R

[100120>n0,25S

[120140>1300,275T

TotalvwZ

Se pide calcular m + n + r + s

A) 180B) 180,1C) 181,2D) 182,3E) 184

18. Se hizo una encuesta sobre el nmero de personas aficionadas a las matemticas y se las clasifica por edades. luego se hizo el siguiente histograma.

fiEdad353025201510510203040506070

Determinar el tamao de la muestra.

A) 35B) 60C) 70D) 130E) 135

19. Se distribuye un nmero de empresas segn sus inversiones en millones de soles.[ Li Ls >fi

4 101

10163

16226

222812

283411

34405

40462

Cuntas empresas intervienen en menos de 25 millones de soles?

A) 12B) 14C) 16D) 18E) 22

Cusco, 13 de noviembre de 2012

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