aritm

71RO. SECUNDARIA ARITMTICA - II BIMESTRE

ARITMTICA1 DE SECUNDARIA

II BIMESTRE

8ARITMTICA - II BIMESTRE 1RO. SECUNDARIA


CIFRAS DE UN SISTEMA DE NUMERACIN

Todo sistema de numeracin emplea tantas cifras(contando el cero) como unidades tiene la base.En el sistema binario, cuya base es el 2, se emplean 2cifras que son el 0 y el 1. El 2 no puede emplearse, porqueen este sistema dos unidades de un orden cualquieraforman una del orden inmediato superior y el 2 se escribi10, lo que significa cero unidades del primer orden y unadel segundo.En el sistema ternario, cuya base es 3, se emplean 3 cifrasque son el 0, 1 y 2. El 3 no puede escribirse en estesistema, porque 3 unidades de un orden cualquiera formanuna del orden inmediato superior y el 3 se escribir 10 loque significa cero unidades de primer orden y una delsegundo.En el sistema cuaternario cuya base es 4, se empleancuatro cifras que son 0, 1, 2 y 3. El 4 se escribe como 10lo que significa cero unidades del primer orden y una delsegundo. Por sta misma razn las cifras del sistema

quinario son 0, 1,2, 3 y 4, en el sistema senario 0, 1, 2, 3, 4y 5, etc....Cuando la base del sistema es mayor que 10, las cifrasque pasan de 10 suelen representarse por medio de lasletras : a=10, b el 11, c el 12, d el 13 y as sucesivamente.

PREGUNTAS MOTIVADORAS

1. Cmo se denomina el sistema de numeracin debase 3?

Rpta.:...............................................................................................

2. Por qu el 4 no se puede escribir en el sistemacuaternario?

Rpta.:...............................................................................................

3. En el sistema quinario, cuntas cifras se emplean?

Rpta.:...............................................................................................

PRCTICA

1. Hallar el valor de "b+c+d", si :5 71234 bdc=

Rpta.: .......................................................

2. Calcular C, si:=7 9CCC 210

Rpta.: .......................................................

3. Calcular el valor de a+b, si:= 54123 a0b

Rpta.: .......................................................

4. Si se cumple:+ + + =5a(a 1)(a 2)(a 3) 1xy

Calcular : a + x + y

Rpta.: .......................................................

5. Calcular a + b, si:=5 7ab3 bba

Rpta.: .......................................................

6. Calcular x+y, si:=9 7xy yx

Rpta.: .......................................................

7. Si: =7 4ab bb2Calcular a+b

Rpta.: .......................................................

8. Calcular a+x+y, si:=5 8aaaa xy1

Rpta.: .......................................................

9. Calcular a+b, si:+ =8 9 7ab ba 1ab

Rpta.: .......................................................

10. Calcular x, si:=24 5x13 43

Rpta.: .......................................................

NUMERACIN III

10

ARITMTICA - II BIMESTRE 1RO. SECUNDARIA

11. Calcular : a + b + c, si:+ + =5 7 6 8aa bb cc 5c

Rpta.: .......................................................

12. Calcular:

20 veces

1313

13

13x

Rpta.: .......................................................

13. Si:=2 8xxxxxx ab

Calcular : a + b + x

Rpta.: .......................................................

14. Si:=(x)40 19y

Expresar xxx en base y

Rpta.: .......................................................

15. Hallar el mximo valor de (a + b + c), si:

= 8x x xabc2 3 6

Rpta.: .......................................................

16. Si:= 2nabab xxxx

Indicar el valor de a + b + n

Rpta.: .......................................................

17. Si:=n 8a6x a20

Hallar : a + n + x

Rpta.: .......................................................

18. Si :=c 86aa 4bb

Hallar : a + b + c

Rpta.: .......................................................

19. Si := 6xxx aba

Hallar a + b + x

Rpta.: .......................................................

20. Si:

= (siete)a(2b)a bbaaCalcular : a + b

Rpta.: .......................................................

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si:= 98mnp 487

Calcular m + n + pA) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

2. Hallar "a" si:=(7) (5)2a3 100a

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. Calcular "n", si: =(n) (n) (n)72 34 36

A) 8 B) 9 C) 11D) 14 E) 17

4. Hallar a + b si:

=8 naba 1106A) 5 B) 6 C) 4D) 7 E) 8

5. Si se cumple:+ =6(a 1) (b+1) (c+1) (d+1) 576

Calcular : a + b + c + dA) 5 B) 7 C) 9D) 6 E) 2

6. Si :=

15x14 x13 24

Calcular xA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

11


7. Calcular x, si: = 7x(x 1)(x 1)(x 1) 23x

A) 4 B) 5C) 6 D) 7E) 8

8. Calcular x, si:

(x)(x)(x 1) (x-1) (x-1) =391 - 100A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 10

9. Calcular : x, si: = 1 4 4 4 4 2 4 4 4 43

20

(x)40 cifras

(x 1) (x-1) (x-1)..........(x-1) 64 1

A) 2 B) 4C) 6 D) 8E) 16

10. El mayor nmero de tres cifras del sistema de basen se representa como 2211 en base seis. Hallar n.

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

TAREA

1. Si:

= (a)aaa 4210Hallar aA) 5 B) 6 C) 4D) 2 E) 8

2. En que sistema de numeracin se cumple:54 + 43 = 130A) 2 B) 4 C) 7D) 5 E) 6

3. Si se cumple:+ =6(a 1) (b+1) (c+1) (d+1) 576

Calcular : V = a + b + c + d

A) 5 B) 2 C) 6D) 7 E) 9

4. Si:=

14 abc13 612 351

Calcular : a+b+cA) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 3

5. Si:

= n8201 aaaCalcular a + nA) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

N o e s g ra n d e a q u e l q u e n u n c a fa llas i n o e l q u e n u n c a s e d a p o r v e n c id o

12


CONTEO DE NMEROS

NMERO CARDINALAl contar los elementos de un conjunto, el nmero quecorresponde al ltimo elemento se llama nmero cardinalque representa al conjunto.

Se observa que el ltimoelemento ha sido el 7 quees el nmero cardinal.

NMERO ORDINALAl contar los elementos de un conjunto, el nmero naturalque corresponde a cada elemento se llama nmeroordinal.Contando los elementos de:

S contamos de izquierda a derecha, el nmero ordinal dela letra A es el 1, osea que A es el primer elemento, oseaque el nmero ordinal de L es el 2, osea que la L es el

segundo elemento, el nmero ordinal de N es el 5, oseaque es el quinto elemento, etc.

PREGUNTAS MOTIVADORAS1. El nmero cardinal representa?

Rpta.: ..........................................................................

2. El nmero ordinal representa?

Rpta.: ..........................................................................

3. Cul es el nmero cardinal del conjunto vaco?

Rpta.: ..........................................................................

CONTEO DE NMEROSDe manera prctica ste conteo se realiza del siguientemodo:1. Se escribe la forma de los numerales2. Se cuenta el nmero de valores diferentes que puede

tomar cada cifra independiente del numeral3. Para averiguar la cantidad de numerales que tenga

determinadas caractersticas se multiplica el nmerode valores diferentes que puede tomar cada cifracontenidos en la forma de numeral dado:

PRCTICA

1. Cuntos nmeros de tres cifras existen?

Rpta.: .......................................................

2. Cuntos nmeros pares de tres cifras existen?

Rpta.: .......................................................

3. Cuntos nmeros de tres cifras impares existen?

Rpta.: .......................................................

4. Cuntos nmeros de tres cifras en el sistema nonarioexisten?Rpta.: .......................................................

5. Cuntos nmeros capicuas de 4 cifras existen?

Rpta.: .......................................................

6. Cuntos nmeros de tres cifras empiezan y terminanen cifra par existen?

Rpta.: .......................................................

7. Cuntos nmeros de la forma a(2a)b(3b) existen?

Rpta.: .......................................................

8. Con las cifras 1; 2; 3; 4 y 5. Cuntos nmeros imparesde 4 cifras se pueden formar?

Rpta.: .......................................................

9. Cuntos nmeros de dos cifras no tienen la cifra 4en su escritura?

Rpta.: .......................................................

13


10. Cuntos nmeros de tres cifras diferentes existen?

Rpta.: .......................................................

11. Cuntos numerales capicuas de 6 cifras existen enbase 6?

Rpta.: .......................................................

12. Cuntos numerales impares de 4 cifras del sistemadecimal comienzan en cifra par?

Rpta.: .......................................................

13. Cuntos nmeros de cuatro cifras que terminan en5 tienen sus dems cifras pares?

Rpta.: .......................................................

14. Cuntos nmeros de la forma ab(b 2)+ existen enbase 8?

Rpta.: .......................................................

15. Cuntos nmeros de la forma

a (4 b) (b+3) (2a)2 existen en base 12?

Rpta.: .......................................................

16. Cuntos numerales de 4 cifras diferentes se puedenformar con los digitos 0; 1; 3; 5; 7 y 9?

Rpta.: .......................................................

17. Cuntos nmeros capicuas de cuatro cifras cuyasuma de cifras es 6 existen en base 10?

Rpta.: .......................................................

18. Cuntos nmeros de tres cifras significativas existenen el sistema decimal cuya suma de cifras sea par?

Rpta.: .......................................................

19. Cuntos nmeros de 4 cifras diferentes utilizansiempre 3 y 7 en su escritura y adems aparezcanjuntas, existen?

Rpta.: .......................................................

20. Cuntos nmeros capicuas de 7 cifras cuya sumade cifras es impar existen en el sistema decimal?

Rpta.: .......................................................


1. Cuntos nmeros de tres cifras existen en el sistemaquinario?

A) 90 B) 80 C) 100D) 120 E) 130

2. Cuntos nmeros pares de cuatro cifras existen?A) 9000 B) 5000 C) 6000D) 4500 E) 4000

3. Cuntos nmeros de tres cifras significativas existen?A) 900 B) 450 C) 810D) 729 E) 990

4. Cuntos nmeros capicuas de 5 cifras existen?A) 900 B) 100 C) 1000D) 450 E) 729

5. Cuntos nmeros de tres cifras comienzan en cifrapar y terminan en cifra impar?

A) 1000 B) 729 C) 300D) 200 E) 250

6. Con las cifras 2; 3; 4; 5; 6. Cuntos nmeros imparesde 4 cifras se pueden formar?

A) 125 B) 250 C) 625D) 1250 E) 375

7. Cuntos nmeros de 4 cifras no tienen la cifra 1 ensu escritura?

A) 1000 B) 5832 C) 9000D) 6561 E) 4096


b(a+1) (2a) (b 1)2

existen?A) 16 B) 20 C) 25D) 30 E) 36

14


CUATRO OPERACIONES I

INTRODUCCINLas antiguas civilizaciones mesopotmicas representabanlos nmeros notables mediante marcas cuneiformes. Laprimera operacin aritmtica conocida fue la adicin,utilizando objetos que estuvieron al alcance de la mano ose sumaban amontonando piedrecitas o bien formandonudos en una cuerda como hacian los incas.Cuando Karl Friedrich Gauss, un famoso matemtico tenaunos 10 aos de edad, su maestro para mantener la clasequieta por un rato, orden a los nios que sumaran losnmeros del 1 al 100, esto es 1 + 2 + 3 +.........+ 100. Despusde unos minutos. Gauss haba vuelto a sus travesuras y elmaestro le pregunt porqu no trabajaba en el problema.El nio le contest: Lo he terminado! Imposible! exclam el maestro Es muy fcil, repuso el nio. Primero escrib

1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 100Luego escrib los nmeros en forma inversa

100 + 99 + 98 + 97 + .....................+ 1Despus sum cada par de nmeros

+ + + + + = =1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43100 veces

101 101 101 101 .............. 101 101x100 10100

Pero us cada nmero 2 veces, as que divid la suma

entre 2 la respuesta es =100x101 50502

PREGUNTAS DE MOTIVACIN1. Calcule los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 utilizando

solamente la cifra cuatro

Rpta.: .........................................................................

2. En qu caso 1 + 1 no es 2

Rpta.: .........................................................................

ADICINEs aquella operacin aritmtica que consiste en reunirdos o mas cantidades llamadas sumandos en una solallamada suma o suma total.

9. Cuntos nmeros de tres cifras significativas ydiferentes existen?

A) 729 B) 512 C) 648D) 576 E) 800

10. Cuntos nmeros de dos cifras diferentes se leen enposicin normal o de cabeza?

A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 68.

1. Cuntos nmeros de dos cifras existen en el sistemaquinario?

A) 25 B) 30 C) 20D) 35 E) 40

2. Cuntos nmeros capicuas de tres cifras existen enel sistema senario?

A) 20 B) 25 C) 30D) 35 E) 40


+ + (a 1)(a 2)(b 1)(b 2) existen?A) 49 B) 64 C) 56D) 72 E) 81

4. Cuntos nmeros de tres cifras comienzan y terminanen cifra impar?

A) 200 B) 220 C) 250D) 300 E) 350

5. Cuntos nmeros de tres cifras no tienen en suescritura las cifras 2; 3 y 4?

A) 343 B) 216 C) 294D) 252 E) 308

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

TAREA

15


Es decir:

PROPIEDADES :I. CLAUSURA:

S a Z y b ZEntonces (a + b) Z

II. CONMUTATIVA:S a Z y b ZEntonces a + b = b + aEl orden de los sumandos no altera la suma

III. ASOCIATIVASi (a b c) Z

Entonces (a+b) + c = a + (b+c)la forma como agrupamos los sumandos no alterala suma

IV. ELEMENTO NEUTRO:Es el cero, de modo que:

a + 0 = a

ALGUNAS SUMAS NOTABLES1. Suma de los n primeros nmeros naturales

consecutivos:n(n 1)1 2 3 4 ............ n

2+

+ + + + + =

Es decir:15x161 2 3 4 ........ 15 120

2+ + + + + = =

30x311 2 3 4 ........ 30 4652

+ + + + + = =

2. Suma de los n primeros nmeros naturales paresconsecutivos:

2 4 6 8 ............ 2n n(n 1)+ + + + + = +

Es decir:

2+4+6+8+............+24=12(13)=156 2n = 24 n = 12

2 + 4 + 6 + 8 +............+ 40 = 20(21)=420 2n = 24 n = 20

3. Suma de los n primeros nmeros naturales imparesconsecutivos:

21 3 5 7 ............ (2n 1) n+ + + + + =

Es decir:

1 + 3 + 5 + 7 +............+ 27 = 14 = 196 2n - 1 = 27 n=14

2

1 + 3 + 5 + 7 +............+ 31 = 16 =156 2n - 1 = 31 n = 16

2

PRCTICA

1. Halle el nmero total de bolitas en la figura 20.

fig.(1) fig.(2) fig. (3) fig. (4)........fig.(20)

Rpta.: .......................................................

2. Si : a + b + c = 12Hallar el valor de: abc cab bca+ +

Rpta.: .......................................................

3. Si a + b + c = 14.Calcular el valor de M si:M ab3 c2b 4ac bca= + + +

Rpta.: .......................................................

4. Si11(a + b + c) = 165Calcular el valor de: abc bca cab+ +

Rpta.: .......................................................

16


5. Si:aa bb cc 275+ + =Halle :abca bcab cabc+ +

Rpta.: .......................................................

6. Si:a74b 5ba2 c7a bba68+ + =Calcular : a + b + c

Rpta.: .......................................................

7. En la adicin mostrada:ma2b b1m a25 baa2+ + =Calcule : (a + b) m

Rpta.: .......................................................

8. Si:ab ba 143+ =Calcule la suma de valores diferentes de ab.

Rpta.: .......................................................

9. Si:CBCB35

1CC7

+

Hallar : B + 2C

Rpta.: .......................................................

10. Si: A6BB53C 7CA61CB

+

Hallar : A BC+

Rpta.: .......................................................

11. Calcular las tres ltimas cifras del resultado de lasiguiente suma:

66 6

6 6 66 6 6 6

6 6 6

23 sumandos

C B A

+

Rpta.: .......................................................

12. En la siguiente suma. Calcular : A + B + C4

7 74 4 4

7 7 7 74 4 4 4 4

16 SUMANDOS

A B C

+

Rpta.: .......................................................

13. Dado:A = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 36B = 2 + 4 + 6 + ......... + 24Calcular : A + B

Rpta.: .......................................................

14. Calcular :1 + 3 + 5 + 7 +......+ 41

Rpta.: .......................................................

15. Dado:A = 1 + 3 + 5 + 7 + ......... + 37B = 2 + 4 + 6 + 8 + ......... + 42Calcular : 2A - B

Rpta.: .......................................................

16. Calcule la suma de las tres ltimas cifras del resultadode:

8 cifras 8 cifras 8 cifras 8 cifras111........1 222........2 333........3 .... 999........9+ + + +14 2 43 14 2 43 14 2 43 14 2 43

Rpta.: .......................................................

17. Si:

a sumandosS 1 12 123 ........= + + +1 4 4 2 4 4 3

Calcule la suma de las cuatro ltimas cifras de S.

Rpta.: .......................................................

18. Cuntas bolitas habr en la figura 40?

(1) (2) (3) (40)

Rpta.: .......................................................

17


19. Si Martina coloca 2 peras en una canasta, en lasiguiente 4, en la otra 6 y as sucesivamente.Cuntas peras puso en la trigsima primeracanasta?.Cuntas peras coloc en total Martina en todas lascanastas?

Rpta.: .......................................................

20. Bob compra el primer da del mes de junio 1 sticker, elsegundo 3, el tercero 5 y as sucesivamente hasta elltimo da de dicho mes. Si cada sticker cuesta S/.2.00. Cunto dinero emple en total en figuritas?

Rpta.: .......................................................


1. Si: a + b + c = 16Hallar el valor de :

aa bb cc+ +A) 196 B) 166 C) 176D) 276 E) N.A.

2. Si:a + b + c = 13Hallar el valor de:

a0a b0b c0c+ + ; siendo 0 = ceroA) 1443 B) 1331 C) 1313D) 1133 E) 331

3. Si: A6 4A 79+ =Hallar : AA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

4. Si:A74BC7A5BA2

BBA68

+

Hallar : 2A+ BA) 5 B) 16 C) 18D) 24 E) 11

5. Si : 4MNM 121 4666+ =Hallar : M + NA) 24 B) 20 C) 9D) 21 E) 28

6. Calcular las 3 ltimas cifras del resultado de lasiguiente suma:

555

5555555

55555 " 21 SUMANDOS"

5 55.......ABC

+

A) 605 B) 505 C) 555D) 495 E) N.A.

7. Hallar las 3 ltimas cifras de:

113

1311313

" 20 S U M A N D O S "

A B C

+

A) 100 B) 010 C) 011D) 001 E) 101

8. Cuntas bolitas hay en total?

(1) (2) (3) 20A) 39 B) 200 C) 420D) 400 E) 20

18


9. Si:P = 1 + 3 + 5 + ......+ 21Q = 2 + 4 + 6 +......+22Calcula: P + Q y da como respuesta la suma de suscifras.

A) 7 B) 2 C) 5D) 3 E) 10

10. Panchito recibe S/. 2.00 por resolver el primer problema,S/.4.00 por el segundo problema, S/.6.00 por eltercero y as sucesivamente. Si en total resolvi los 20problemas que le dejaron la tarea. Cunto dinerorecibi en total?

A) 420 B) 400 C) 200D) 300 E) 600

TAREA

1. Si:a + b + c = 13Calcule el valor de:2a 2b 2c+ +A) 26 B) 73 C) 70D) 63 E) 66

2. Si :abc b35 c81+ =Hallar : a + b + cA) 10 B) 15 C) 12D) 18 E) 11

3. Si: C A BC B CC A 4

1A A O

+

Halla : A + B + CA) 15 B) 12 C) 9D) 6 E) 3

4. Calcula las 4 ltimas cifras del resultado de la siguientemanera: 4

44 +444

444444444 "32 S U M A N D O S "

444..D C B A

A) 8639 B) 3689 C) 6839D) 8396 E) 9368

5. En la siguiente figura. Calcular : ABC3

55333

5555"12 SUMANDOS"

ABC

+ +

A) 498 B) 894 C) 948D) 944 E) 489

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

En cuestiones de cultura y de saber, slo se pierde lo que se guarda;slo se gana lo que se da.

Antonio Machado

19


CUATRO OPERACIONES IISUSTRACCIN

833845

Suma 9

711754

Suma 9

622636

Suma 9

2. Si: abc cba mnp =Se cumple n = 9 Donde a > c

m + p = 9Es decir:812218594

713317396

COMPLEMENTO ARITMTICODE UN NUMERAL (CA)

El complemento artimtico de un nmero entero positivo eslo que le falta a dicho nmero para ser igual al menornmero de orden inmediato superior.Ejemplo: El complemento aritmtico de 7 es 10 - 7 = 3 El complemento aritmtico de 78 es 100 - 78 =22 El complemento aritmtico de 412 es 1000 - 412

= 588 El complemento aritmtico de 2653 es 10000 - 2653

= 7347

El CA(ab) 100 ab=

El CA(abc) 100 abc= En general:

KCA(N) 10 N= Donde: K : cantidad de cifras de N.

MTODO PRCTICOConsiste en restar a las primeras cifras de nueve y a la ltimacifra significativa de 10, si el nmero dado tiene ceros alfinal estos quedaron colocados al final del resultado.Veamos: CA (5 3 2 4) = 4 6 7 6

9 10 CA (4 10 3 2 8) = 5 8 9 6 7 2

9 10

LECTURAOPERACIONES INVERSAS

A menudo ocurre que hacemos algo y luego lo deshacemos.Abrimos la puerta y luego la cerramos. Abrimos la ventanay luego la cerramos. En estos ejemplos una operacin es lainversa de otra.Suponte que tienes $200 en el banco y que le aumentas $10entonces tienes $200 + $10 =$210 y por necesidad sacas$10 la cantidad que queda es $210 - $10 = $200. Estasoperaciones realizadas son inversas la una de la otra. Lasustraccin es la inversa de la adicin.Al igual que el signo de la adicin, el de la sustraccin seencuentra en el antiguo papiro de Rhind. Ambos signos[ ]suma( ), resta(-)+ eran utilizados por los antiguoscomerciantes en sus diversas operaciones mercantiles, hoyen clase siguen utilizados los mismos signos.Los hindes desarrollaron con mayor eficacia las operacionesde adicin y sustraccin como consta en el manuscrito deBakhsall, en ste se plasma el avance de sta cultura en el reamatemtica alrededor del siglo VII d.C.

SUSTRACCINLa sustraccin es una operacin inversa a la adicin quetiene como objeto determinar el exceso (resta o diferencia)de dos cantidades uno de ellos llamado minuendo y el otrollamado sustraendo.Es decir: M S D =Donde:M : MinuendoS : SustraendoD : Diferencia

PROPIEDADES NOTABLESEn toda sustracin se cumple

M S D 2M+ + =

Donde: M S D= +

RESTAS NOTABLES

1. Si: ab ba xy =Se cumple x + y = 9Es decir:

20


CA (6 2 3 0 4 1 0 0) = 3 7 6 9 5 9 0 0

9 10Es decir:

PRCTICA

7. Si:

ab ba x(x 1) = +Calcular el valor de x

Rpta.: .............................................................

8. Si:abc cba pqr =Calcular : pr rp qq+ +

Rpta.: .............................................................

9. Si:abc cba mn4 =abc cba 6pq =Calcular : p + q + m + n

Rpta.: .......................................................

10. Si:abc cba xyz =Calcular :xxy zy zyy+ +

Rpta.: .............................................................

11. Calcular :CA (48)+CA(716)+CA(5346)

Rpta.: .............................................................

12. Si:

CA(36) CA(482) abc+ =Calcular : a + b + c

Rpta.: .............................................................

13. Si:[ ]aab CA CA(148) CA(481)=

Calcular : a + b

Rpta.: .............................................................

CA(ab) (9 a) (10-b)=

CA(abc) (9 a) (9-b) (10-c)=

CA(abcd) (9 a) (9-b) (9-c) (10-d)=

1. Los trminos de una sustraccin suman 640. Calculela suma de las cifras del minuendo.

Rpta.: .............................................................

2. En una sustraccin:Minuendo = 247; Sustraendo = 123Calcular la suma de cifras de la diferencia.

Rpta.: .............................................................

3. En una sustraccin el triple del minuendo es 99 y ladiferencia es 24. Calcule el sustraendo.

Rpta.: .............................................................

4. En una sustraccin, el sustraendo es 88 y la diferenciaes 44. Calcule el minuendo.

Rpta.: .............................................................

5. En una sustraccin:Minuendo = 540; Sustraendo = 128Qu sucede con la diferencia? Si al minuendo y sustraendo se le agrega una

misma cantidad.Rpta.: .............................................................

Si al minuendo se le agrega y el sustraendo se lequita una misma cantidad.Rpta.: .............................................................

Si al minuendo se le quita y al sustraendo se leagrega una misma cantidad.Rpta.: .............................................................

6. Si:xy yx pq =ab ba 7r =pq qp m4 =Calcular : p + q + r + m

Rpta.: .............................................................

21


14. Si:

1212 127A 12=

1214 5B 13=

Calcular CA(A + B)

Rpta.: .............................................................

15. Si:7A 666=

5B 44=Adems abc CA(A B)= +Calcular : aa bb cc+ +

Rpta.: .............................................................

16. La suma de los trminos de una sustraccin es 720, sel sustraendo es la mitad del complemento aritmticodel minuendo. Calcular la diferencia.

Rpta.: .............................................................

17. En una sustraccin: El minuendo es el mayor nmero de 3 cifras

diferentes. El sustraendo es el menor nmero de 3 cifras

diferentes.Calcular la diferencia

Rpta.: .............................................................

18. Si:a48 b5 aaa =Calcular : CA(ab) CA(ba)+

Rpta.: .............................................................

19. Si:CA(ab) CA(ba) 46+ =Calcular : a + b

Rpta.: .............................................................

20. Si:abc cba xy3 =Calcular el valor mximo de a+c+x+y

Rpta.: .............................................................


1. La suma de los trminos de una sustraccin es 48.Calcular la suma de cifras del minuendo.

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

2. Los trminos de una sustraccin suman 2184 s elsustraendo y diferencia son iguales. Calcule elsustraendo.

A) 500 B) 521 C) 546D) 534 E) 516

3. En una sustraccin:M + S + D =24Adems D = 6Calcular SA) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

4. En una sustraccin el triple del minuendo es 165 y ladiferencia es 35. Cul es el doble del sustraendo.

A) 30 B) 40 C) 50D) 45 E) 38

5. Si: abc cba p(q 2)q = +Calcular : pq qp+A) 81 B) 87 C) 91D) 99 E) 64

6. Si:abc cba mnp =Calcular : mnp npm pmn+ +A) 2000 B) 1998 C) 1800D) 1600 E) 999

7. Calcular :CA(76)+CA(347)+CA(1715)A) 8100 B) 8960 C) 8900D) 8962 E) 8940

8. Si:CA(762)+CA(84) = abcCalcular : a + b + cA) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

22


LECTURAPara los pueblos antiguos, la multiplicacin era unaoperacin difcil de realizar, se auxiliaban de tablas parapoder obtener los resultados correctos.En 1647 se empez a emplear el signo x (la cruz de SanAndrs) para indicar esta operacin matemtica.Sabas!. Existe una multiplicacin famosisma de la quehablan muchos libros (entre ellos la biblia), multiplicacinque conocen una enorme cantidad de hombres y mujeresque solamente tiene un factor un solo factor!.Pues s, es la multiplicacin de los panes y de los peces,que hizo nuestro seor Jesucristo. Solamente hubo unfactor, el poder milagroso de la voluntad de Dios.Problema:

Si: DOS x DOS = CUATROCalcular: D + A + D + O + S

MULTIPLICACINEs una operacin directa que consiste en que dadas doscantidades multiplicando y multiplicador, permite calcularuna tercera llamada producto.As tenemos:

M x m P=Donde: M : Multiplicando

m : MultiplicadorP : Producto

PRESENTACIN GRFICADEL PRODUCTO

Representar grficamente el producto 4 x 5

9. Si:ab6 x4y 183 =Calcular : (a + b) - (x + y)A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Si:CA(abc) cab=El valor de a b c es:A) 25 B) 27 C) 29D) 36 E) 42

TAREA1. Si:

pq qp (x 1) (y-1) = +Calcular : x + yA) 7 B) 6 C) 8D) 9 E) 10

2. Si:abc cba pq1 =Hallar : q - pA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. CalcularCA(5248000)Dar como respuesta la suma de sus cifrasA) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

4. Calcular:CA(5720) - CA(221)A) 3501 B) 3500 C) 3400D) 2500 E) 1800

5. La suma de los tres trminos de una sustraccin es6858 y el sustraendo es la tercera parte del minuendo.Hallar la diferencia y dar como respuesta el productode las cifras del resultado.

A) 190 B) 191 C) 194D) 192 E) 196

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

23


4

5

4

5El rectngulo formado por 4 filas horizontales de 5 cuadradoscada una, osea de 5+5+5+5=20 cuadrados es larepresentacin grfica del producto 5 x 4, porque eldesarrollo de ste producto es:5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

LEYES DE MULTIPLICACINI. CLAUSURATIVA

Si a Z b Z (axb) Z

Es decir:5 Z 7 Z Entonces:5 x 7 = 35Z

II. CONMUTATIVA

Si a Z b Z a x b= b x a

Sea:6 Z 4 Z Entonces: 6 x 4 = 4 x 6Es decir:

6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 244 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24Como el producto de 2 factores es igual a una tercera,tendremos:6 x 4 = 4 x 6

III. ASOCIATIVA

Si (a,b c) Z (a x b) x c= a x (b x c) "Esta ley nos indica que el producto de varios nmerosno cambia al sustituir dos mas factores por suproducto".Es decir:2 x 3 x 4 = 24(2 x 3 ) x 4 = 2x (3 x 4 )24 = 24

IV. DISTRIBUTIVASi: (a, b c) Z Respecto a la adicin

c x (a +b) = c x a + c x b Respecto a la sustraccin

cx(a-b) = c x a - c x bEs decir:2 (5+4) = 2 x 5 + 2 x 42 x 9 = 10 + 818 = 18

V. IDENTIDAD MULTIPLICATIVA

V a Z, !1/ 1 x a = a x 1 = a

E

Es decir:5x 1 = 1 x 55 = 5

PRCTICA1. Hallar : a + b + c

abc x 7 1001=

Rpta.: .............................................................

2. Hallar : a - baba x 11 = 1111

Rpta.: .............................................................

3. Si se cumple que:abcd x 9 = 11106Hallar : a + b + c + d

Rpta.: .............................................................

4. Si se cumple que:abcd x 7 = 30247Hallar : ab - cd

Rpta.: .............................................................

5. Si cada letra diferente es una cifra diferente, ademsse cumple:abcd x m = 6170abcd x n = 7404Calcular : abcd x mn

Rpta.: .............................................................

24


6. Si cada letra diferente es una cifra diferente; ademsse cumple:mcdu x p = 21605mcdu x q = 25926

mcdu x r = 30247Calcular : mcdu x pqr

Rpta.: .............................................................

7. Hallar la cifra que se debe escribir en cada casilleropara que la multiplicacin sea correcta:

Rpta.: .............................................................

8. Hallar la cifra que se debe escribir en cada casilleropara que la multiplicacin sea correcta:

Rpta.: .............................................................

9. Calcular : a + b si se cumple:ab x 7 = c44

Rpta.: .......................................................

10. Calcular : a + b + cabc x 9 = d106

Rpta.: .......................................................

11. Calcular : a + b + c + d + eabcd x 7 = e2325

Rpta.: .............................................................

12. Se tiene el producto de dos nmeros naturales; si elprimer factor aumenta en su doble y el segundo factoraumenta en su triple. En cunto aumenta el productooriginal?

Rpta.: .............................................................

13. Se tiene el producto de tres nmeros naturales; si elprimer factor aumenta en su doble; el segundo factoraumenta en su triple y el tercer factor aumenta en sucuadruple. En cunto aumenta el producto original?.

Rpta.: .............................................................

14. Hallar : a+bab4 7 = 5a38

Rpta.: .............................................................

15. Hallar : a + b + cabc 6 = c59c

Rpta.: .............................................................

16. Hallar : a + ba3bb 8 = 4ba76

Rpta.: .............................................................

17. Si:...a2b 7 = .....2268Hallar : a + b

Rpta.: .............................................................

18. Si:abc 9 = *107Hallar : a + b + c

Rpta.: .............................................................

19. Si:

abc 99 = **354Hallar : c - (a+b)

Rpta.: .............................................................

20. Hallar : a + b + c + d, si:

abcd 9 = dcbaAdems cada letra diferente es una cifra diferente.

Rpta.: .............................................................

25



1. Hallar : a + b + cabc x 3 = 1701A) 13 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

2. Hallar: a + b + c + dabcd 7 = 17276A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

3. Si cada letra diferente es una cifra diferente, adems secumple:abc p = 1284abc q = 1605Calcular : abc pqA) 2889 B) 17334 C) 14445D) 11235 E) 10325

4. Hallar la suma de las cifras que se debe escribir encada casillero para que la multiplicacin sea correcta:

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

5. Calcular : a + b + c,si se cumple:ab 8 = c52A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

6. Calcular : a + b + c + d + eabcd 3 = e9628A) 26 B) 28 C) 30D) 32 E) 34

7. Se tiene el producto de tres nmeros naturales, si el primerfactor aumenta en su triple; el segundo se aumenta ensu doble y el tercero si divide entre tres. En cuntoaumenta o disminuye el producto original?.

A) no variaB) aumenta en su cuadruploC) aumenta en su tripleD) se reduce a la mitadE) se reduce a la tercera parte

8. Si:a3bb 7 = 9cb2

Hallar : a + b + cA) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

9. Si:abcd 99 = **4332Hallar : a + b + c + dA) 14 B) 16 C) 18D) 20 E) 22

10. Hallar : a + b + c + d, si:abcd 4 = dcbaAdems cada letra diferente es una cifra diferente.A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

TAREA

1. Hallar : a + b + c, si:abc x 7 = 3276A) 10 B) 12 C) 14D) 16 E) 18

2. Hallar: abc mnsi se cumple:abc m = 1683abc n = 2244A) 13927 B) 24123 C) 19074D) 14488 E) 26928

3. Hallar la suma de las cifras que se debe escribir en loscasilleros para que la multiplicacin sea correcta:

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

4. Hallar : a + b + c; si:ab 9 = c38

A) 10 B) 12 C) 14D) 15 E) 17

26


DIVISIN ENTERA

LECTURALECTURALECTURALos primeros pueblos que conocieron y utilizaron la divisinfueron los hindues y los babilonios. De los primeros sehan tomado los mtodos para la resolucin de lasdivisiones, en la que intervienen tres elementos que son:dividendo, divisor y residuo.Los rabes fueron los primeros en utilizar la raya horizontal( ) entre los nmeros como smbolo de divisin, siendoLeonardo de Pisa el que la introdujo en Europa.PROBLEMA:Calcular la suma de las cifras del dividendo:

* * * * * * * * ** * *

* ** ** * ** * *

* * 8 * *

8

DIVISINEs aquella operacin inversa a la multiplicacin queconsiste en que dadas dos cantidades Dividendo (D) yDivisor (d) se obtiene una tercera cantidad llamadacociente (q), tal que el producto con el divisor sea igual ose acerque lo ms posible al dividendo.Es decir:

D dr q

entonces D=d x q + r

Donde: D : Dividendod : divisorq : cocienter : residuo

CLASES DE DIVISINI. DIVISIN EXACTA

Una divisin entera es exacta cuando el dividendocontiene un nmero exacto de veces (cociente) aldivisor, es decir que al agrupar las unidades no sobranni faltan unidades.

24 8 0 3

En generalVeamos:

D d0 q

Entonces: D=dxq

24 = 8 x 3

II. DIVISIN ENTERA INEXACTAEs cuando no existe ningn nmero entero quemultiplicado por el divisor de el dividendo, es decir queal agrupar las unidades sobran o faltan unidades paraformar un grupo ms.Por ejemplo la divisin 23 6 es entera inexactaporque no existe ningn nmero entero quemultiplicado por 6 nos de 23.

CLASES DE DIVISIN INEXACTA

POR EXCESOPOR DEFECTO

Donde:23 = 6 x 3 + 5En generalD dr q Entonces D = dxq+r

D = dxq+r

23 65 3

Donde:23 = 6 x 4 - 1En generalD dr q Entonces D = dxq+r

D = d x q - r

23 61 4

e e e

e e

Donde:D : Dividendod : divisorq : cociente por defectoqe : cociente por excesor : residuo por defectore : residuo por exceso

Propiedades de la Divisin Entera Inexacta1. 0 < r < d

minr 1=maxr d 1=

5. Hallar : a + b + c + dabcd 99 = **4343A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

.

2. r + re = d 3. qe = q + 1

27


PRCTICA

1. D = 97; d = 8; q = 12; r = ?

Rpta.: .............................................................

2. D = 1339; d = 31; r = 6; q = ?

Rpta.: .............................................................

3. El cociente de una divisin es 45, el divisor es 50. Cules el dividendo, si la divisin es exacto?.

Rpta.: .............................................................

4. Calcular el dividendo, si el divisor es 5, su cociente es12 y su residuo es mximo.

Rpta.: .............................................................

5. Calcular la suma de cifras del dividendo, si el divisor esel doble del cociente; el cociente es el cuadruple delresiduo; y el residuo es mnimo.

Rpta.: .............................................................

6. Al dividir N entre 73 se obtiene 13 de cociente y residuomximo. Hallar la suma de cifras de N.

Rpta.: .............................................................

7. Al dividir : 427 13 . Indicar el residuo por exceso.

Rpta.: .............................................................

8. Al dividir : 724 15 . Indicar la suma del residuo ycociente.

Rpta.: .............................................................

9. En una divisin inexacta, el e dr r 15+ = . Hallar eldivisor de la divisin.

Rpta.: .............................................................

10. En una divisin inexacta, el e dr r 24+ = , el cocientees 5 y el residuo por defecto es 4. Calcular el dividendo.

Rpta.: .............................................................

11. Hallar la suma de los espacios en blanco.

8 6 4 3 4 4 8 2 21 6 4 6 2 6 4

Rpta.: .............................................................

12. Calcula la suma de las cifras del dividendo con elresiduo al efectuar la siguiente divisin:

Rpta.: .............................................................

13. En una divisin inexacta el dividendo es 49 y el divisores el triple del cociente. Calcula la suma de los trminosde la divisin, si el residuo es mnimo.

Rpta.: .............................................................

14. Si:8B4 4CA4 2D 14

Hallar : A + B - C

Rpta.: .............................................................

15. Si:

6 8 A AB 37A

B 8B 5 C A C A

Hallar : A + B - C

Rpta.: .............................................................

28


16. Hallar:ABCABC ABC

Rpta.: .............................................................

17. Calcula el residuo que se obtiene al dividir la suma delos 11 primeros nmeros enteros positivos entre 5.

Rpta.: .............................................................

18. Si:a + b + c = 17, calcule el residuo que se obtiene aldividir ( )ab bc ca+ + entre 7.Rpta.: .............................................................

19. Al dividir ( )304 bc+ entre bc , se obtuvo como cociente31 y residuo 4. Calcula : b + c

Rpta.: .............................................................

20. Al dividir N entre 40 el cociente termina en 15 y elresiduo es mximo, calcula la suma de las tres ltimascifras de N.

Rpta.: .............................................................


1. Si : (D) dividendo, (d) divisor, (c) cociente. Calcular :D = 40; d = 5; q= ?A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

2. En una divisin: d = 4; c=7; r = 2; D=?A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

3. Calcular el dividendo, si el divisor es 7, su cociente es10 y su residuo es mximo.

A) 67 B) 67 C) 23D) 46 E) 63

4. Calcular la suma de cifras del dividendo, si el divisor esel triple del cociente, el cociente es el quintuple delresiduo; y el residuo es mnimo.

A) 31 B) 76 C) 13D) 36 E) 43

5. Al dividir : 812 15Indicar el residuo por exceso.A) 13 B) 2 C) 15D) 3 E) 11

6. Si cada letra es una cifra es una cifra en el desarrollo dela divisin; calcula la suma de : a+b+c+d+e+p.

d 9 0 e

A) 16 B) 20 C) 22D) 29 E) 33

7. En una divisin inexacta el dividendo es 37 y el divisores el cuadruple del cociente. Calcula la suma de lostrminos de la divisin, si el residuo es mnimo.

A) 50 B) 51 C) 52D) 53 E) 54

8. Calcule el residuo que se obtiene al dividir la suma delos 21 primeros nmeros enteros positivos entre 13.

A) 9 B) 8 C) 10D) 11 E) 7

9. Si:a + b + c = 12, calcule el residuo que se obtiene al dividir

( )ab bc ca+ + entre 9.A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

10. Al dividir N entre 30 el cociente termina en 12 y el residuoes mximo, calcula la suma de las tres ltimas cifrasde N.

A) 17 B) 18 C) 20D) 19 E) 21

29


TAREA

1. El cociente de una divisin es 3, el divisor es 20. Cules el dividendo, si el residuo es mnimo?.

A) 20 B) 40 C) 61D) 51 E) 71

2. Al dividir M entre 29 se obtiene 15 de cociente y residuomximo. Halla la suma de cifras de M.

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

3. Al dividir : 427 18 . Indica el residuo por exceso.A) 13 B) 5 C) 6D) 7 E) 18

4. En una divisin inexacta, el e dr r 31+ = .Hallar el divisor.A) 30 B) 28 C) 31D) 29 E) 32

5. Si:9A3 118B DE 6C 55

X

Hallar : (B + D + X) - (A x E + C)A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Fecha Asign. NOTA

Fecha Revis.

Firma Doc

.

aritm

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