Argumentos lógicos

Tautologías y falacias

Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.

Tautologías y falacias

Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.

Ejemplos:

P ┐P siempre es verdadera, sin importar P

Tautologías y falacias

Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.

Ejemplos:

P ┐P siempre es verdadera, sin importar P

P ┐P siempre es falsa, sin importar P

Las combinaciones de proposiciones que siempre sonverdaderas se llaman tautologías y son importantesporque son la base de los razonamientos lógicos.

¿Ejemplos de tautologías?

Las combinaciones de proposiciones que siempre sonverdaderas se llaman tautologías y son importantesporque son la base de los razonamientos lógicos.

Ejemplos de tautologías

P (P → Q) → Q

(P Q) ┐P → Q

(P → Q) ┐Q → ┐P

Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.

¿Ejemplos de contradicciones?

Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.

¿Ejemplos de contradicciones?

P → ┐P

(P → ┐P) P

(P → Q) (P → ┐Q)

Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.

¿Ejemplos de contradicciones?

P → ┐P NO, es cierta si P es falsa

(P → ┐P) P SI, siempre es falsa

(P → Q) (P → ┐Q) NO, es cierta si P es falsa

Un argumento lógico es un razonamiento que apartir de proposiciones verdaderas siempre obtieneconclusiones verdaderas independientemente de quedigan las proposiciones.

Argumentos lógicos

Un argumento lógico es un razonamiento que apartir de proposiciones verdaderas siempre obtieneconclusiones verdaderas independientemente de quedigan las proposiciones.

Podemos dar argumentos lógicos usando lascondicionales que siempre son ciertas (las que sontautologías) estas llamadas implicaciones y sondenotadas por .

Argumentos lógicos

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P Q) ┐P ?

Hoy es sábado o domingo y Hoy no es sábado implican

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P Q) ┐P Q

Hoy es sábado o domingo y Hoy no es sábado implican Hoy es domingo

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P → Q) P ?

Si cae nieve hace frio y Cae nieve implican

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P → Q) P Q

Si cae nieve hace frio y Cae nieve implican Hace frio

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P → Q) ┐Q ?

Si cae nieve hace frio y No hace frio implican

Ejemplos de argumentos lógicos:

(P → Q) ┐Q ┐P

Si cae nieve hace frio y No hace frio implican No cae nieve

(P → Q) ┐P ? Si cae nieve hace frio y No cae nieve no implican

(P → Q) ┐P ┐Q Si cae nieve hace frio y No cae nieve no implican No hace frio

X

(P → Q) Q ?

Si cae nieve hace frio y Hace frio no implican Cae nieve

(P → Q) Q P

Si cae nieve hace frio y Hace frio no implican Cae nieve

X

(P → Q) (Q → R) ?

Si cae nieve hace frio y Si hace frio me resfrío implican

(P → Q) (Q → R) (P → R)

Si cae nieve hace frio y Si hace frio me resfrío implican Si cae nieve me resfrío

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Todos los pericos son aves y Las aves vuelan

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Todos los pericos son aves y Las aves vuelan

Todos los pericos vuelan

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Ninguna iguana vuela y Las aves vuelan

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Ninguna iguana vuela y Las aves vuelan

Ninguna iguana es ave

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Algunos pájaros son aves y Las aves vuelan

Silogismos y falacias

Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.

Ejemplos:

Algunos pájaros son aves y Las aves vuelan

Algunos pájaros vuelan

Silogismos y falacias

Los argumentos de este tipo son muy generales y muyútiles, fueron estudiados por primera vez porAristoteles en el siglo 4AC.

Los argumentos de este tipo son muy generales y muyútiles, fueron estudiados por primera vez porAristoteles en el siglo 4AC.

Hay que tener cuidado con esta clase de argumentosporque hay muchas combinaciones posibles, algunasson validas (son silogismos) y otras son invalidas (sonfalacias).

Para que un argumento sea válido no bastacon que la conclusión sea verdadera!

Ejemplo

Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan

?

Ejemplo

Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan

Algunos pericos vuelan?

Ejemplo

Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan

Algunos pericos vuelan

Es una falacia. Es verdad que algunos pericos vuelan,pero eso no es una consecuencia lógica de lo anterior.Para ver que el argumento anterior es inválido bastacambiar pericos por pingüinos.

x

Ejemplo

Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan

?

Ejemplo

Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan

Ninguna iguana vuela?

Ejemplo

Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan

Ninguna iguana vuela

Es una falacia. Se puede ver que el argumento anteriores inválido cambiando iguana por murciélago.

x

Ejemplo

Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil

?

Ejemplo

Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil

Ningún insecto es un reptil?

Ejemplo

Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil

Ningún insecto es un reptil

Es una falacia. Para ver que argumento es inválido,basta cambiar insecto por cocodrilo.

x

Ejemplo

Hay políticos rateros y Hay rateros ricos

?

Ejemplo

Hay políticos rateros y Hay rateros ricos

Hay políticos ricos?

Ejemplo

Hay políticos rateros y Hay rateros ricos

Hay políticos ricos

Es una falacia. Para ver que argumento es inválido,basta cambiar ricos por pobres.

x

Lo importante de los argumentos lógicos no es lo que

dicen en particular, sino su estructura, la manera en

que esta conectadas las distintas partes.

¿Argumento lógico o falacia?

Lo importante de los argumentos lógicos no es lo que

dicen en particular, sino su estructura, la manera en

que esta conectadas las distintas partes.

Su validez o invalidez se puede aclarar si los vemos de

manera mas abstracta, sin referencia a cosas que ya

conocemos.

¿Argumento lógico o falacia?

Por ejemplo, consideremos la afirmación:

Todos los cazadores tienen dientes

y algunos gatos son cazadores

Por ejemplo, consideremos la afirmación:

Todos los cazadores tienen dientes

y algunos gatos son cazadores

si las escribimos como

Todos los C son D y algunos G son C

entonces podemos concluir que

Por ejemplo, consideremos la afirmación:

Todos los cazadores tienen dientes

y algunos gatos son cazadores

si las escribimos como

Todos los C son D y algunos G son C

entonces podemos concluir que algunos G son D

que es Algunos gatos tienen dientes

Otro ejemplo

Platón era un gran filósofo

Todos los griegos eran grandes filósofos

Por lo tanto Platón era griego

Otro ejemplo

Platón era un gran filósofo

Todos los griegos eran grandes filósofos

Por lo tanto Platón era griego

Si lo reescribimos como

P es F

Todos los G son F

Por lo tanto P es G

Otro ejemplo

Platón era un gran filósofo

Todos los griegos eran grandes filósofos

Por lo tanto Platón era griego

Si lo reescribimos como

P es F

Todos los G son F

Por lo tanto P es G

vemos que el argumento es invalido:

que P sea F y todos los G sean F no dice que P sea G!

Otro ejemplo

Platón era un gran filósofo

Todos los griegos eran grandes filósofos

Por lo tanto Platón era griego

Si lo reescribimos como

P es F

Todos los G son F

Por lo tanto P es G

vemos que el argumento es invalido:

que P sea F y todos los G sean F no dice que P sea G!

Platon sí era griego, pero eso no hace al argumento valido!

Todo X es Y y Todo Y es Z ?

Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z?

Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z

XZY

Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z

Ningún X es Y y Ningún Y es Z ?

XZY

Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z

Ningún X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

XZY

?

Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z

Ningún X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

X

Z

Y

XZY

x

Algún X es Y y Algún Y es Z ?

Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z?

Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Zx

X ZY

Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z

Algún X es Y y Ningún Y es Z

x

X ZY

?

Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z

Algún X es Y y Ningún Y es Z Algún X no es Z

x

X ZY

?

Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z

Algún X es Y y Ningún Y es Z Algún X no es Z

x

X

Z

Y

X ZY

Todo X es Y y Ningún Y es Z ?

Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z ?

Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

ZYX

Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

Ningún X es Y y Todo Y es Z ?

ZYX

Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

Ningún X es Y y Todo Y es Z Ningún X es Z

ZYX

?

Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z

Ningún X es Y y Todo Y es Z Ningún X es Z

ZYX

X

Z

Y

x

Algún X es Y y Todo Y es Z ?

Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z

?

Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z

Y

Z

X

Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z

Todo X es Y y Algún Y es Z ?

Y

Z

X

Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z

Todo X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z

Y

Z

X

?

Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z

Todo X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z

Y

Z

X

x

X

Y

Z

¿Los siguientes argumentos son válidos o no?

a. Todos los matemáticos son científicos

Algunos científicos están locos

así que algunos matemáticos están locos

b. Todos los marcianos son verdes

Ningún ser sin antenas es verde

Por lo tanto todos marcianos tienen antenas

¿Los siguientes argumentos son válidos o no?

a. Todos los matemáticos son científicos

Algunos científicos están locos

así que algunos matemáticos están locos

NO

b. Todos los marcianos son verdes

Ningún ser sin antenas es verde

Por lo tanto todos marcianos tienen antenas

SI

¿Los siguientes argumentos son válidos o no?

c. Ningún mentiroso es confiable

Ninguno de mis amigos es mentiroso

Así que todos mis amigos son confiables.

d. Algunos animales son cazadores

Algunos cazadores son gatos

Entonces algunos animales son gatos.

¿Los siguientes argumentos son válidos o no?

c. Ningún mentiroso es confiable

Ninguno de mis amigos es mentiroso

Así que todos mis amigos son confiables.

NO

d. Algunos animales son cazadores

Algunos cazadores son gatos

Entonces algunos animales son gatos.

NO

Los silogismos se pueden combinar para obtener argumentos

lógicos mas elaborados,

Lewis Carrol (el de Alicia) tiene acertijos donde a partir de

premisas aparentemente no relacionadas hay que sacar una

conclusión lógica.

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Ningún pato sabe bailar

Ningún oficial se niega a bailar

Todas mis aves de corral son patos

Entonces...

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Ningún pato sabe bailar

Ningún oficial se niega a bailar

Todas mis aves de corral son patos

Entonces...

P

O

B

AC

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Los colibríes son coloridos

Ningún pájaro grande come miel

Los pájaros que no comen miel son pardos

Entonces...

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Los colibríes son coloridos

Ningún pájaro grande come miel

Los pájaros que no comen miel son pardos

Entonces...

C

M

c

G

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Los bebes son ilógicos

Nadie que maneje cocodrilos es despreciable

Las personas ilógicas no son apreciadas

Entonces...

¿Que conclusión lógica se puede obtener?

Los bebes son ilógicos

Nadie que maneje cocodrilos es despreciable

Las personas ilógicas no son apreciadas

Entonces...

I

D

B

MC

Demostraciones

Una demostración es un argumento lógico en el que cada

paso esta plenamente justificado y es una consecuencia lógica

inmediata de los anteriores.

En matemáticas todo se demuestra, aprender a hacer

demostraciones toma tiempo y dedicación. Vamos a empezar

haciendo algunas demostraciones sencillas.

Hay métodos de demostración directos y métodos indirectos,

que a veces se combinan.

Demostraciones directas

Como ( p → r ) ∧ ( r → q ) ⇒ ( p → q ) entonces podemos

demostrar p → q mostrando que p → r y que r → q donde r

es cualquier otra proposición.

Mas generalmente, para demostrar que si pasa A entonces pasa

Z, podemos hacerlo por pasos buscando una serie de

proposiciones, C, D, E, ... tales que podamos demostrar que si

pasa A entonces pasa B, si pasa B entonces pasa C, si pasa C

entonces pasa D.... hasta terminar en Z.

Demostrar que Si algunos A son B y ningún B es C entonces

algunos A no son C

Hipótesis 1: Existe x tal que x es A y x es B.

Hipótesis 2: Si y es B entonces y no es C

Por demostrar: Existe z tal que z es A y z no es C

Demostración (directa):

Por la hipótesis 1 existe x tal que x es A y x es B

Como x es B entonces por la hipótesis 2 x no es C

Así que x es A y x no es C, que es lo que se quería demostrar. □

Demostrar que El cuadrado de un número par es par

Hipótesis: n es un número par

Por demostrar: n2 es par

Demostración (directa):

Por la hipótesis n es par

Entonces n=2m para algún número m

Entonces n2 = (2m)2 = 4m2

Por lo tanto n2 = 2(2m2) lo que dice que n2 es par □

Demostraciones contrapositivas

Como p → q es equivalente a ┐q → ┐p entonces podemos

demostrar p → q demostrando la contrapositiva ┐q → ┐p

Para demostrar que si pasa A entonces tiene que pasar B

podemos suponer que B no pasa y mostrar que entonces

tampoco pasa A.

Demostrar que Si algunos A no son B y todos los C son B

entonces algunos A no son C

Hipótesis 1: Existe x tal que x es A y x no es B

Hipótesis 2: Si y es C entonces y es B

Por demostrar: Existe z tal que x es A y z no es C

Demostración (contrapositiva):

Supongamos que no existe z tal que z es A y z no es C

Esto significa que si z es A entonces z es C

Así que si z es A entonces (por hip 2) z es B

Por lo tanto no existe z tal que z es A y z no es B que niega

la hipótesis 1. □

Demostrar que Si el cuadrado de un número entero es

impar, entonces el número es impar.

Hipótesis: n es un numero entero y n2 es impar

Por demostrar: n es impar

Demostración (contrapositiva):

Supongamos que la conclusión es falsa, es decir que n es par

Entonces n=2m para algún entero m

Por lo tanto n2 =(2m)2 = 4m2 = 2(2m2)

esto dice que n2 es par lo que niega la hipótesis. □

Demostrar que Si todos los A son B y ningún B es C

entonces ningún A es C.

Hipotesis 1: Si x es A entonces x es B

Hipotesis 2: Si y es B entonces y no es C

Por demostrar: Si z es A entonces z no es C

Demostración (por contradicción):

Supongamos que hay un z tal que z es A y z es C

Como z es a entonces (por hip 1) z es B

Como z es B entonces (por hip 2) z no es C

Por lo tanto, z es C y z no es C lo que es una contradicción. □