Área y perímetro de cuadriláteros en estudiantes colombianos de grado 5° de educación formal...
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Este estudio explora concepciones de niños colombianos de quinto grado de primaria de educación formal, sobre área y perímetro de rectángulos. Se ha estudiado el pensamiento que dos grupos diferentes de niños de grado quinto en relación con el tema, obteniéndose información útil para docentes, tanto en formación inicial como en ejercicio. Con base en los trabajos de Agudelo-Valderrama (2000), García-Amadeo y Carrillo (2006), entre otros, se formularon actividades para explorar el pensamiento de dos grupos diferentes de niños de grado quinto, y apoyar la caracterización de área y perímetro de rectángulos. La información recolectada permite observar diferentes estados en su proceso de construcción conceptual en los dos grupos de estudiantes. Nuestro mayor logro con este trabajo está en nuestro desarrollo de una conciencia alta de la necesidad de atender a los procesos de pensamiento de los niños en su aprendizaje de las matemáticas.TRANSCRIPT
Comunicación XIV CIAEM-IACME, Chiapas, México, 2015.
Nociones de niños colombianos, de Grado 5°, sobre área y perímetro
de rectángulos
Shirley Tatiana Galvis Gómez
Kevin Johan Vásquez Reyes
Estudiantes de Licenciatura en Matemáticas
Universidad del Tolima, Colombia
Resumen
Este estudio explora concepciones de niños colombianos de quinto grado de primaria de
educación formal, sobre área y perímetro de rectángulos. Se ha estudiado el pensamiento
que dos grupos diferentes de niños de grado quinto en relación con el tema, obteniéndose
información útil para docentes, tanto en formación inicial como en ejercicio. Con base en
los trabajos de Agudelo-Valderrama (2000), García-Amadeo y Carrillo (2006), entre otros,
se formularon actividades para explorar el pensamiento de dos grupos diferentes de niños
de grado quinto, y apoyar la caracterización de área y perímetro de rectángulos. La
información recolectada permite observar diferentes estados en su proceso de construcción
conceptual en los dos grupos de estudiantes. Nuestro mayor logro con este trabajo está en
nuestro desarrollo de una conciencia alta de la necesidad de atender a los procesos de
pensamiento de los niños en su aprendizaje de las matemáticas.
Palabras claves: Concepciones de área y perímetro de rectángulos, investigación-acción y
formación de estudiantes de Licenciatura.
NOCIONES DE ÁREA Y PERÍMETRO DE CUADRILÁTEROS EN NIÑOS DE GRADO 5°
Comunicación XIV CIAEM-IACME, Chiapas, México, 2015
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Introducción
En aulas de clase de matemáticas de Colombia, los docentes tienen como referente los
estándares y lineamientos curriculares para las matemáticas escolares (ver Ministerio de Educación
Nacional [MEN], 2006), en donde se dan ejemplos de lo que deben lograr los niños en sus procesos
de aprendizaje. Para quinto grado, y con relación a área y perímetro, los estándares proponen que
el estudiante debe “desarrollar, comprender y utilizar fórmulas para encontrar áreas de
paralelogramos y triángulos” y, además, debe “manejar con fluidez las unidades métricas cuadradas
(cm2, m2, etc.).” (p. 28)
Muchos docentes de matemáticas tienen concepciones tradicionalistas, es decir, asumen que
el conocimiento es estático y pre-establecido; creen que el único sitio en que se encuentra es en
libros de texto; además, tienen la idea de que el conocimiento se transmite solamente en una vía,
del docente al estudiante, sin dar cabida a la posibilidad de que el docente también aprende del
pensamiento del estudiante. Lo anterior conlleva a que algunos niños mengüen su capacidad de
generar su propio conocimiento en muchas materias, especialmente en matemáticas, materia que
siempre ha sido vista como “El coco” en la escuela (ver, por ejemplo, Agudelo-Valderrama, 2002).
Agudelo-Valderrama (2005, 2012), Carrillo y García (2006), Skemp (2006), entre otros, señalan
que en la enseñanza de las matemáticas en general persisten enfoques “instrumentalistas”, siendo
estos descritos como la presentación de ‘reglas sin razón’. Estos autores concuerdan en que todavía
existen contextos escolares en donde saber matemáticas consiste en saber dichas reglas. Como
ilustración presentamos el caso del profesor que, en una clase, ha explicado la fórmula para hallar
el área de un rectángulo (A = b × h), y alguno de los niños manifiesta no comprender:
El profesor le explica, de nuevo, así, ‘La fórmula dice que para hallar el área de un rectángulo se
multiplica la base por la altura’; a lo cual el alumno cree entender y procede a realizar ejercicios. Si
le dijéramos a ese alumno que en realidad no ha entendido, él no estaría de acuerdo, argumentando,
en efecto: ‘Mire tengo la respuesta correcta.’ (Skemp, 2006, p. 89)
Vemos en el ejemplo anterior, que el estudiante cree “comprender” el proceso para hallar el
área de un rectángulo, pero lo que en realidad hace, es un ejercicio de mecanización de un algoritmo
dado, del cual desconoce su origen y significado. Desde nuestra experiencia como niños, hemos
observado cómo muchos de nuestros compañeros desde la escuela tenían dificultades a la hora de
aprender sobre área y perímetro; la gran mayoría de ellos realizaban los ejercicios propuestos en
clase, desconociendo por completo el origen de los algoritmos que usaban, llevándolos a un
desconocimiento de las posibles aplicaciones del área y del perímetro en la vida cotidiana. Skemp
(2006) describe como “Comprensión Instrumental” ese proceso en el que al estudiante se le dan
una serie de pasos a seguir para aplicarlos en una serie de ejercicios, como una serie de ‘reglas sin
razones’ para su posterior aplicación. En consecuencia los niños desconocen los significados
originales de las “fórmulas” recibidas y no comprenden el origen de tales reglas; tampoco llegan a
conocer los amplios espacios existentes de aplicación de los conceptos de área y perímetro.
En el marco de nuestro programa de Licenciatura en matemáticas y procesos de formación
como futuros profesores, nos propusimos explorar el pensamiento de niños de quinto grado, sobre
los conceptos de área y perímetro, a través del desarrollo de ciclos de investigación acción –
enfoque de trabajo y aprendizaje que nos apoya en la construcción de un modelo de enseñanza en
el que el profesor (actualmente estudiante) es un agente activo, capaz de generar profundizaciones
y conocimiento relacionado con la práctica real del aula de matemáticas; este enfoque contrasta
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con la enseñanza y el aprendizaje instrumentalista subrayado por Skemp (2006). Nos propusimos
dar unos primeros pasos en el desarrollo de estos ciclos con el ánimo de alcanzar una
profundización sobre las ideas matemáticas de los niños en posibles procesos de aprendizaje de
área y perímetro de cuadriláteros en dos grupos diferentes de niños de Grado 5 (Grupos A y Grupo
B), pero en esta publicación enfocamos información correspondiente a preguntas centradas en el
área de rectángulos solamente.
Marco conceptual
Siendo nuestro propósito explorar el pensamiento de los niños de quinto grado, sobre los
conceptos de área y perímetro de rectángulos, es pertinente definir estas dos nociones.
Concepciones de área y perímetro
Según el diccionario de la Real Academia Española, área es: “Espacio de tierra comprendido
entre ciertos límites” notamos en esta definición una contextualización en donde se puede ver las
aplicaciones del área en la vida diaria; luego aparece la siguiente definición en lo que respecta a la
geometría: “Superficie comprendida dentro de un perímetro” y añade luego: “Extensión de dicha
superficie expresada en una determinada unidad de medida”. Notamos así que esta definición es
algo complicada, usa terminología que puede resultar difícil de entender para los niños, por ello el
estudiante buscará el significado de perímetro que dice: “Contorno de una superficie”, “Contorno
de una figura”, “Medida de este contorno”.
Estas dos acepciones son problemáticas, pues la definición de área menciona una serie de
nociones como “perímetro” y “unidad de medida” y en perímetro incluyen términos como
“superficie” “contorno” y nuevamente “medida”; todas estas nociones son problemáticas para los
niños, incluso confunden área con perímetro (García-Amadeo y Carrillo, 2006). Algo que no
resulta problemático para los niños es usar intuitivamente áreas y perímetros en muchas situaciones
prácticas. Sin embargo, los conceptos matemáticos no aparecen claros cuando se intenta
explorarlos en ellos.
Un referente que tienen los docentes de matemáticas son los estándares curriculares para la
educación matemática del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN, 2006) en donde
se establecen los objetivos que deben alcanzar los niños; con relación a área y perímetro los
estándares proponen que el estudiante debe:
Desarrollar, comprender y utilizar fórmulas para encontrar áreas de paralelogramos y
triángulos.
Manejar con fluidez las unidades métricas cuadradas (cm2, m2, etc.).
Dificultades de los niños
En general los niños desconocen el carácter bidimensional de “área”, y en algunos casos
incluso llegan a confundir los conceptos “área” y “perímetro”; lo que se manifiesta en un uso
indebido de las fórmulas (García-Amadeo & Carrillo, 2006). A partir de esto, los niños muestran
un desconocimiento, en algunos casos total, de los dos conceptos en cuestión. En parte, los niños
se encuentran en un “nivel implícito del conocimiento”, en el cual no entienden el tema, sólo lo
verbalizan, es decir lo memoriza y opera mecánicamente; lo que se debería lograr en las aulas de
matemáticas es un “nivel explícito” en donde el estudiante entiende y logra exteriorizar sus
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conocimientos (Karmiloff-Smith, 1994).
Para los conceptos de área y perímetro es posible alcanzar el nivel de “conocimiento
explícito” de forma significativa; pues comprender las diferencias y relaciones entre ambos
significa categorizar los diferentes elementos que los conforman por medio de conclusiones propias
y no las que se le da por hecho. Para alcanzar este nivel, el estudiante debe desarrollar sus propias
concepciones hacia los distintos términos que se utilizan, las unidades de medida y sus magnitudes.
Concepciones de los profesores
Las diferentes definiciones cotidianas de magnitud, área, perímetro, etc., se pueden encontrar
en cualquier diccionario, pero el significado de éstas para la persona que las lee, puede ser diferente.
El profesor, en su proceso de enseñanza, puede mencionar definiciones de términos a usar en clase
y remitir a los niños a libros de texto para que lean y traten de comprender; sin embargo, el profesor
no tendrá conocimiento de lo que está pasando por las mentes de sus alumnos. El docente debe
organizar ambientes de aprendizaje que involucren activamente un proceso que lo lleve a conocer
las concepciones de los niños.
Ésta es una de las principales dificultades que podemos detectar y que se presenta en el aula
de clase en la práctica cotidiana, como lo muestra la investigación (Agudelo-Valderrama, 2005;
Carrillo y García, 2006; Marchett, et al. 2005; entre otros); según estos resultados, el docente
necesita crear estrategias y espacios para conocer el pensamiento de los niños y para identificar la
presencia o ausencia de comprensión. Como consecuencia de lo anterior, debería poderse
replantear el proceso de enseñanza desde sus nociones previas, para así lograr una continuidad en
el proceso de construcción de conceptos por parte de los niños.
Enfoque metodológico
Nuestro proyecto se desarrolla mediante el siguiente ciclo de investigación acción, basado en
el propuesto por Kemmis y McTaggart (1988). La Figura No. 1 pretende describir la secuencia de
trabajo desarrollada hasta este momento, pues nos encontramos en el proceso de desarrollo de
actividades (i.e., plan de acción) con el fin de abordar, de alguna forma, las dificultades
conceptuales identificadas y reportadas.
Figura No. 1: Nuestro Ciclo de investigación-acción orientado por el modelo básico de Kemmis y
McTaggart (1988)
Identificación de una
problemática Reflexión
Conceptualización de
la problemática Reflexión
Conceptualización de
la problemática
Recolección de
información (en el
Grupo A), y Análisis Nueva recolección de
información (en el Grupo
B), y análisis
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Consideramos importante resaltar el punto de partida, que fue la identificación de la problemática
en nuestro contexto como alumnos de bachillerato. Indagando desde nuestras experiencias
escogimos una problemática con un foco sobre área y perímetro. Previo al diseño del instrumento
de recolección de información para un grupo de niños de Grado 5 − al que, aquí, llamamos Grupo
A − en el año 2013, nos remitimos a la literatura para identificar las posiciones de diferentes autores
frente a la problemática. Con los datos obtenidos a través de este instrumento que presentaos en el
Apéndice, pudimos corroborar la existencia de esta problemática en el Grupo A, pues muchos de
los niños mostraron una dificultad para diferenciar el área del perímetro.
La corroboración de esta problemática nos orientó hacia la elaboración de lo que creíamos era un
plan de acción con el fin de apoyar a los niños en el establecimiento de una diferenciación (y
también de una relación) entre área y perímetro de cuadriláteros. Sin embargo, las reflexiones que
surgieron a través de la interacción con nuestra antigua asesora sobre lo que sucedió durante la
puesta en acción de tal plan, y la evaluación que luego hicimos tanto del diseño como de la forma
como se realizaron las actividades nos hicieron ver que en realidad la forma cerrada de las
preguntas que planteamos, convirtieron esta actividad, simplemente, en una nueva forma de
‘prueba exploratoria’. Estas actividades no podrían constituir un plan de acción para las dificultades
previamente detectadas por varias razones: (i) las preguntas eran cerradas, eliminándose así el
espacio para que los niños usaran su creatividad al abordar la situación problema; (ii) no
consideramos ni apoyamos la interacción necesaria entre los niños a medida que iban contestando
las preguntas, y más importante aún, (iii) el grupo con el que se trabajó en 2014 (i.e., Grupo B) no
era aquel al que se había aplicado la prueba exploratoria a finales de 2013. Por tal motivo, el
desarrollo de estas actividades se convierte en un segundo momento de exploración del
pensamiento de un grupo (diferente) de estudiantes de grado 5, como se señala en la Figura No.1.
Las actividades de recolección de información con el Grupo B (segundo momento de
exploración)
Las actividades de recolección de información que realizamos con el Grupo B, que
enfocamos en esta publicación, y presentamos a continuación, fue diseñada basándonos en la
información recolectada mediante el análisis de la información recolectada del grupo A en el
segundo semestre del año 2013. El instrumento de recolección aplicado al Grupo A se presenta en
el Apéndice.
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Actividad 1 El señor Alan Brito quiere embaldosar cada uno de los pisos de su casa, éstos tienen la siguiente forma:
Para embaldosar cada uno de los pisos ha escogido las siguientes baldosas:
El señor Brito te desea contratar como su asistente para que le colabores en descubrir el número de baldosas que necesita para embaldosar completamente cada uno de los pisos, empleando en cada caso un solo tipo de baldosas (sin combinarlos) ¿Podrías ayudarlo? Pregunta 1: ¿Cuántas figuras verdes necesitaste para embaldosar completamente la sala? ¿Cómo lo hiciste? Por favor escribe todo lo que hiciste y todo lo que pensaste para hacerlo. Pregunta 2: ¿Cuántas figuras amarillas necesitaste para embaldosar completamente la sala? ¿Cómo lo hiciste? Por favor escribe todo lo que hiciste y todo lo que pensaste para hacerlo.
Resultados
En el desarrollo de la actividad se detectó que para responder la Pregunta 1, algunos
estudiantes contaron uno a uno el número de unidades de área requerido para rellenar la figura;
otros hicieron uso del principio multiplicativo del área, pues en sus respuestas comunicaban los
procesos realizados por cada uno, expresando que, para rellenarla, multiplicaban la base por la
altura. Se encontraron casos diferentes en los que los estudiantes respondieron de otra manera, pero
sin mostrar ningún procedimiento seguido para ello.
Las categorías identificadas en esta tabla corresponden a las estrategias usadas por los estudiantes
para dar respuesta a las preguntas; la categoría no específica se refiere a aquellas respuestas que no
mostraron una explicación sobre el procedimiento seguido para dar la respuesta.
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Actividad
Área
Contando Multiplicando
Lado x Lado
Dos
triángulos
forman un
cuadrado
Confusa No
Responde
No
Especifica
Pregunta 1 7 2 1 1 1 1
Pregunta 2 8 2 0 0 2 1
Podemos ver que, en ambas preguntas, el 76% de los estudiantes mostraron un nivel de
comprensión de los procesos para encontrar el área de una figura, apoyándose en distintos métodos.
Algunas de las repuestas obtenidas fueron:
“96 fichas, lo hice mirando que 4 triángulos forman 1 cuadrado. Yo hice una multiplicación,
había 24 cuadrados hechos por 4 triángulos y multipliqué 24x4.”
“96, me dio 96, multipliqué 24x4=96. Había 4 triángulos para formar un cuadrado”
Actividad 2 Luego de haber embaldosado su piso el señor Alan Brito desea agregar un guarda escobas a los pisos de su casa, estos tienen la siguiente forma: El diseño que ha elegido para el guarda escobas es éste (las tiras de papel suministradas a los niños miden 5cm por 0,5 cm:
El señor Brito te desea que lo ayudes a poner el guarda escobas a su piso; él solo tiene una condición para ti: todos los trozos de guarda escobas deben ser del mismo tamaño, ¿podrías ayudarlo? Pregunta 1: ¿Cuántos trozos de guarda escobas usaste para bordear completamente el piso de la sala? ¿Cómo lo hiciste? Por favor escribe todo lo que hiciste y todo lo que pensaste para hacerlo.
Resultados
En esta actividad que enfocaba el perímetro, la situación dada consistía en ayudar a un
personaje a identificar la cantidad de guarda escobas que necesitaba para ponerle al piso ya
embaldosado, por lo que los estudiantes tenían que identificar el número requerido de guarda
escobas para bordear el piso. Los resultados obtenidos en esta actividad se resumen en la siguiente
tabla:
Actividad: Perímetro Base*(2)+Altura*(2) Contando No especifica
Pregunta 1 1 10 1
En esta pregunta, evidenciamos que el 91% de los estudiantes muestran un nivel de comprensión
del concepto de perímetro, y entre estos, sólo 1 estudiante hace uso del principio multiplicativo del
mismo.
En este caso, se obtuvieron respuestas como:
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“16, bordeando a los lados con las fichas azules (verdes). Yo no pensé cómo hacerlo, sino
que sólo miré el cuadrado y sus lados puse las fichas, y en cada lado habían 4 fichas y 4 lados y
multipliqué 4x4=16.”
“20 trozos grandes. Conté. Cuando terminé conté cuántos trozos gasté.”
En el desarrollo de la actividad enfocada al concepto de perímetro, la información recolectada
destaca dos procesos, en los cuales los niños relacionaron y dieron respuesta a la pregunta, que
fueron: el conteo de unidades de perímetro para determinar la suma total de los lados y el proceso
de multiplicación, en el que usaban el producto como método de suma abreviada.
Al finalizar las actividades se realizó un foro en el que los niños dieron a conocer sus
experiencias durante las actividades, a la vez que se concluyó que las actividades realizadas
correspondieron a los conceptos de área y perímetro.
Discusión
Los resultados de la exploración del pensamiento de un grupo de 22 niños de grado quinto,
en el segundo semestre del año 2013 (Grupo A) mostraron que el 54% de los niños tenían
dificultades con la noción de perímetro de un rectángulo.
En la segunda actividad de exploración, realizada en el primer semestre del año 2014 (Grupo
B) a 25 estudiantes de grado quinto, parece que no se presentaron dificultades al realizar la
actividad; aunque al momento de hacer reflexión encontramos que cerramos las preguntas y casi
no dimos cabida a la variedad de respuestas, lo cual -quizás- hubiera mostrado diferentes métodos
y puntos de vista por parte de los estudiantes.
Observamos que muchos niños se dedican solo a la memorización de algoritmos y fórmulas,
sin comprender el significado de éstas; la información recolectada principalmente en el Grupo
A?(corrijan si es el caso) muestra que existe confusión entre los conceptos “área” y “perímetro”;
en cambio, mediante el uso intuitivo de estos conceptos, los niños presentaron dificultades
menores, lo que nos da a entender que, la confusión se crea, posiblemente, en la transición entre
las intuiciones de los niños y las definiciones dadas por el profesor en el aula de clase.
Los niños además, muestran en sus procesos cognitivos, procesos equivalentes al uso de las
fórmulas para hallar áreas y perímetros, a pesar de no hacer mención de ninguna en ningún
momento de la actividad, lo que señala que están construyendo sus propios métodos a partir de
situaciones concretas, métodos que los llevan a desarrollar nuevos algoritmos y así, de manera
práctica, dar respuesta a una situación en particular.
Finalmente, la etapa del plan de acción no representó como tal un plan de acción pues, estas
actividades se realizaron en un grupo diferente de niños al cual se aplicó el instrumento de
recolección de información, lo que convierte esta fase en una segunda etapa de recolección de
información que a su vez nos brindó datos importantes para futuros momentos de nuestro trabajo.
Conclusiones
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Durante el desarrollo de las actividades, se evidenciaron tendencias de los niños como:
asumir el cuadrado como unidad de área, pues tomaban los triángulos como partes del cuadrado y
no al cuadrado como múltiplo de los triángulos.
Con estas actividades, los niños tuvieron una oportunidad de conceptualizar de una manera
no convencional las nociones de área y perímetro, pues en el área de matemáticas no se suelen
realizar actividades en las cuales sea el estudiante el que tome un papel activo que lo ayude al
desarrollo de los conceptos, relacionando lo que aprende con sus conocimientos previos.
Los niños, mediante el uso intuitivo del área y perímetro, pueden lograr una mayor
comprensión de los conceptos y logran generar procedimientos similares a los propuestos por los
algoritmos generales de los mismos, sin embargo, el plan de estudios limita el campo de acción de
los docentes y la importancia al aprendizaje de estos conceptos; aparentemente, por esto, el docente
procede directamente a mostrar los algoritmos y fórmulas generales para que los niños los
memoricen, omitiendo el proceso de comprensión de los conceptos, generando así dificultades
cognitivas en ellos.
Limitaciones del estudio
Durante las actividades, se presentaron situaciones que dificultaron el desarrollo de las
mismas, como festividades internas de la institución, las cuales limitaron el tiempo de la realización
de las actividades, además de dispersar la atención de los niños.
Otro de los limitantes del trabajo fue la falta de una entrevista clínica a los niños para
profundizar sobre el porqué de sus respuestas y evitar confusiones al momento de su interpretación.
Además, el número de sesiones realizadas en este estudio, consideramos que fue poco en
comparación con el número de las actividades propuestas, ya que cada una exigía más tiempo para
su realización.
Finalmente, queremos subrayar que aprendimos que un plan de acción es una propuesta de
enseñanza–aprendizaje, por lo que el desarrollo de las actividades no puede ser en su totalidad de
carácter individual, ya que impide que los niños socialicen (con sus compañeros y con el profesor)
los progresos obtenidos o las dificultades, y así poder apoyar sus iniciativas para obtener una gama
de estrategias de trabajo. Esto nos muestra que no es fácil desapegarnos de los patrones
tradicionales de enseñanza que, nosotros mismos, estamos mencionando como problemáticos.
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Bibliografía y Referencias
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Agudelo-Valderrama, C. (2005). Explicaciones de ciertas actitudes hacia el cambio: las
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determinantes de su práctica de enseñanza del álgebra escolar. EMA, 10(3), 375-412.
Boyer, C. (1999). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial S.A.
García-Amadeo, G., y Carrillo, J. (2006). Relación entre perímetro y área: el caso de Patricia y las
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Española de Investigación en Educación Matemática (págs. 185-194). Huesca: Instituto de
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Kemmis, S., y McTaggart, R. (1992). Cómo planificar la Investigación-Acción. Barcelona: Deakin
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Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Curriculares en Educación Matemática.
Colombia: Ministerio de Educación Nacional.
Skemp, R. (2006). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics
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