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Una función cuadrática es de la forma

f( x)= ax2 + bx + c Con a,b,c perteneciendo a los números reales y a≠ 0.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Si a > 0 la rama de las parábolas van hacia arriba, el vértice de la parábola coincide con el valor mínimo que alcanza la función

Si a < 0 la rama de las parábolas van hacia abajo, el vértice de la parábola coincide con el valor máximo que alcanza la función

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Toda función cuadrática se puede escribir de la forma

f(x) = a(x-h)2 + k ,…..donde V= (h,k) es el vértice de la parábolaEjemploGrafica y determina el vértice de la función cuadrática

f(x) = 2x2 -8x +20Completando cuadrados se obtiene :f(x) = 2(x2 - 4x ) +20 = 2(x2 - 4x +22 ) -8 +20 = 2(x-2)2 +12f(x) = 2(x-2)2 +12 Como tiene la forma de la ecuación Entonces el vértice es . V= ( 2,12)Este resultado y la grafica se verificaran mediante un programa diseñado en Excel,

Otra forma de expresar una función cuadrática

1

1 Demostración

PROBLEMA 1 Se quiere cercar un jardín rectangular con tela metálica .Halla las dimensiones y el área del mayor jardín que se puede cercar con 40m de tela.SOLUCIÓN X X

Y

Y

Se desea maximizar el área del rectángulo “A”

Como el perímetro es 40m, entonces la ecuación auxiliar es: 2x + 2y = 40 de donde : y = 20 – x .Luego A(x) = x(20 – x) = 20x – x2 = - ( x2 - 20x)Completando cuadrados

A(x) = -( x2 - 20x + 102 - 102) = - (x-10)2 +100 De aquí el vértice es: V = (10, 100)Utilizando el programa descartes tenemos el siguiente grafico

A(x) = x.y

Utilizando el programa DESCARTES

El máximo se obtiene para x = y

=10m y el área máxima es de

100m2

PROBLEMA 2Un jardinero dispone de 60 metros de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando un muro ya existente. Calcular las dimensiones del jardín para que su superficie sea la mayor posible SOLUCIÓN

XX

Y

Se desea maximizar el área del rectángulo “A”. Designemos con x , y las longitudes de los lados del rectánguloEntonces el área es : A(x) = x.yComo la tela metálica de es de 60m, entonces la ecuación auxiliar es: 2x + y = 60 de donde : y = 60 – 2x .Luego

A(x) = x(60 – 2x) = 60x – 2x2 = - 2( x2 - 30x)Completando cuadrados

A(x) = -2( x2 - 30x + 152 - 152) = - 2(x-15)2 +450 Como tiene la forma de la ecuaciónLuego el vértice será V = (15, 450)

1

Utilizando el programa DESCARTES

El área máxima se obtiene para x =

15m, y =10m y el área

máxima es de 450m2

PROBLEMA 3Se desea dividir un alambre de (4 + π)m de longitud en dos partes, para construir con ellas un cuadrado y un circulo. Halla la longitud de cada una de las partes para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima SOLUCIÓN

   Se desea maximizar las sumas de las áreas del cuadrado y el círculo “S”Donde :x : el perímetro del cuadrado y : el contorno del circulo    

Como el alambre mide (4 + π)m, entonces la ecuación auxiliar es:x + y = 4 + 𝛑de donde : y = 4+ –x .𝛑Luego

xm

ym

mx4

π2yr

yr.π2.L:Como

22

24x = S

y

Luego

4)4(

1624

4)(

2222 xxxxxS

Desarrollando y completando cuadrados

16)4(4)4(8)4(

16832324464)(

22222 xxxxxxxS

4.16

)4(416

4416816

)4()( 22 xxxxS

Cono tiene la forma de la ecuación

Luego el vértice será :

1

V = ( 4 , 1.785m2)

Utilizando el programa DESCARTES

El mínimo se obtiene para x =

4m, y =3.14m y el

área mínima es de 1.785m2

Como tiene la forma de la ecuación

PROBLEMA 4Un alumno desea construir en la finca de sus padres un parterre (jardín en forma de sector circular) con un perímetro de 8m. ¿Qué radio tendrá el parterre de área máximaSOLUCIÓN

xm

xm

ymS

2.RLS

R

RLS

Se desea maximizar el área “S”.Como el perímetro del sector mide 8m entonces la ecuación auxiliar será : 2x + y = 8m, de donde y = 8 – 2x .

Luego S(x) = = Completando cuadrados se obtiene :S(x) = - (x2 - 4x + 4) + 4 = -(x - 2)2 + 4

2.yx

xxxx 42

)28( 2

1

El vértice es : V (2,4)

El máximo se obtiene para x =

2m, y =4m y el área

máxima es de 4m2

Utilizando el programa DESCARTES