GEOMETRÍA

AREA DE FIGURAS PLANAS

Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana.

Figura geométrica Área Perímetro Ejemplo CUADRADO

A = l2

A (área)

l (lado)

p = 4 • l

p (perímetro)

A = 52 = 25 cm

2

5 cm

RECTÁNGULO

A = b • h

b (base) h (altura)

p = 2 • (b + h)

p = 2 • (b + h) =

2b + 2h

A = 6 • 3 = 18 cm2

6 cm

3 cm

ROMBO

D • d

A = 2

p = 4 • l

D (diagonal mayor) d (diagonal menor

10 • 6 10 A = = 30 cm

2

2 6

ROMBOIDE

A = b • h b (base) h (altura)

p = 2 • (a + b)

A = 6 • 5 = 30 cm2

p = 2 • (6+6) 6 cm 6 cm

5 cm

TRAPECIO

(B + b) • h

A =

2

B (base mayor)

b (base menor)

(7+5) • 6 A= = 36 cm

2

2

TRIÁNGULO

b • h

A = 2

p = a + b + c

8 • 5 A = = 20 cm

2

2

POLÍGONO REGULAR

p • ap A = 2

p = 6 • l

ap (apotema)

36 • 5 A = = 90 cm

2 6

2 5 cm

CIRCUNFERENCIA

L = 2 • π • r

L = D • π

L (longitud)

r (radio)

d (diámetro)

π (3,14..)

L = 2 • 3,14 • r = 31,4 5 cm

CÍRCULO

A = π • r 2

r (radio)

d (diámetro)

π (3,14..)

A = 3,14 • r 2 = 78,5

5 cm

TEOREMA DE PITÁGORAS:

El Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los

cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la

longitud de la hipotenusa. Si a y b son las longitudes de los catetos, y c

es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 + b2 = c

2.

El Teorema de Pitágoras, válido sólo para los triángulos rectángulos, nos

da el valor del cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) en

función de los otros dos lados (catetos).

Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del

cuadrado de un lado, por aplicación de un resultado que se conoce con el

nombre de Teorema Generalizado de Pitágoras.

El teorema generalizado de Pitágoras, se puede aplicar a cualquier

triángulo, sea o no rectángulo. Dicho teorema (generalizado), para el caso

particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras para

triángulos rectángulos, por ser una generalización del mismo.

Hay dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un

ángulo obtuso.

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma

de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno

de ellos por la proyección del otro sobre él"

h2 = c12 + c2

2

h2 = 25 + 9

h2 = 34

h = √ 34 = 5,83 cm.

p = 4 • 5,83 = 23,32 cm.

EJERCICIOS DE FIGURAS PLANAS:

1.- Un campo rectangular tiene 170 m. de base y 28 m. de altura. Calcular

Las hectáreas que tiene.

A = b • h 28 m.

A = 170 • 28 = 4.760 m2

170 m.

4.760 : 10.000 = 0,476 he

El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.

4.760 • 15 = 71.400 €

2.- En el centro de un jardín cuadrado de 150 m. de lado hay una piscina

también cuadrada, de 25 m. de largo. Calcula el área del jardín.

A = b • h

Ap = 252 = 625 m2

Aj = 1502 - 625 = 21.875 m2

25 m.

150 m.

3.- Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10

cm.

A = (b • h) : 2

A = (10 • 10) : 2 = 50 cm2

10 cm.

4.- Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno

rectangular de 32 m. de largo y 30 m. de ancho si cada planta necesita para

desarrollarse 4 m2.

A = b • h

32 m.

A = 32 • 30 = 960 m2

960 : 4 = 240 árboles

30 m.

5.- El área de un trapecio es 120 m2, la altura 8 m, y la base menor mide 10 m.

¿Cuánto mide la otra base?

10 m.

(B + b) • h (B + 10) • 8

A = → 120 =

2 2 8 m.

120 = (B + 10) • 4 → 120 : 4 = B + 10 → 30 = B + 10

30 - 10 = B B = 20 m.

6.- Calcula el área de un cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los

lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

b • h

A =

2

3 cm.

3 • 4

6 cm. 4 cm. A = = 6 cm2

2

A = 4 triángulos • 6 cm2

A = 4 • 6 = 24 cm2

8 cm.

7.- Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide

3 veces más que su altura.

A = b • h

h = 2 cm

b = 2 • 3 = 6 cm 2 cm.

A = 2 • 6 = 12 cm2 6 cm.

8.- Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del

hexágono es de 96 m2.

D • d

A =

2

D = 10 cm

d = 10 : 5 cm

A = (10 • 5) : 2 = 25 cm2

9.- Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya

diagonal menor es la mitad de la mayor.

D • d

A =

2

D = 10 cm

d = 10 : 2 = 25 cm2

10.- Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m. y 92

m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m. de ancho

perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.

92 m.

(B + b) • h (128 + 92) • 40

A = → A = - 40 • 4

40 m. 4 m. 2 2

Az = Atrapecio - Acamino = 4.240 m2

128 m.

11.- Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm de lado, que se

necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m. de base y 3 m. de

altura.

10 cm.

A = b • h

As = 4 • 3 = 12 m2 → 120.000 cm2

3 m.

Ab = 10 • 10 = 100 cm2

120.000 : 100 = 1.200 baldosas

4 m.

12.- Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está

atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene

un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

8 dm = 0,8 m

7 dm. h = 20 - 0,8 = 19,2 m

7 dm = 0,7 m

8 dm.

b = 30 – 0,7 = 29,3 m2

Aj = 19,2 • 29,3 = 562,56 m2

13.- El perímetro de un triángulo equilátero mide 0,9 dm y la altura mide 25,95

cm. Calcula el área del triángulo.

b • h

A =

2

p = 0,9 dm = 9 cm

A = (3 • 25,95) : 2 = 38,92 cm2

14.- Dado el cuadrado ABCD, de 4m. de lado, se une E punto medio del

segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.

B E C (B + b) • h 2 m. A =

2

(4 + 2) • 4

A = = 12 m2

2

4 m.

A D

15.- Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este

edificio sabiendo que se gastan 0,5 kg. De pintura por m2.

A = b • h (rectángulos)

8 • 4 = 32 • 2 = 64 m2

b • h

A = (triángulos)

2

AT = 8 • 2 : 2 = 8 m2

At = 1 • 4 : 2 = 2 cm2

64 + 8 + 4 = 76 m2

76 m2 • 0,5 kg → 76 • 0,5 = 38 kg.

1 • 4 8 • 2 A = 2 • + 2 • (8 • 4) + = 76 m2 2 2