arcs rampants al pati de la casa castellarnaurnolla/moodle/moviments2009/matematiquesca/...• i...
TRANSCRIPT
![Page 1: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/1.jpg)
Arcs rampants Arcs rampants
al Pati de la al Pati de la
Casa Casa
CastellarnauCastellarnau
Ramon Nolla Ramon Masip Departament de Matemàtiques
IES Pons d’Icart Novembre 2006
![Page 2: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/2.jpg)
Definició de l’objectiu
Elaboració d’un procediment de
construcció de l’arc a partir de:
• L’establiment d’hipòtesis de
treball extretes de l’observació
• Recerca i definició del
problema geomètric clau
• Anàlisi geomètrica del
problema clau
![Page 3: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/3.jpg)
Hipòtesis de
treball
![Page 4: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/4.jpg)
Hipòtesi 1
Ens trobem davant d’un
arc rampant compost
• de tres arcs de cercle
tangents,
• de manera que els
dos arcs extrems són
tangents, en els punts
d’arrencada, a dos
segments paral·lels
![Page 5: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/5.jpg)
Coneixem la posició de
• els punts A i B
d’arrencada
• els segments AC i
BD de suport
Hipòtesi 2
![Page 6: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/6.jpg)
1a. Conclusió
En ser els arcs extrems
tangents als segments AC i
BD,
els seus centres Q i R
es troben sobre les
perpendiculars AK i BL
a aquests segments.
Activitat 1
![Page 7: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/7.jpg)
Coneixem la posició del
punt M de l’arc que:
• es troba sobre la
paral·lela r a AC i BD,
• tal que d(r,AC)=d(r,BD).
Hipòtesi 3
![Page 8: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/8.jpg)
En el punt M, la tangent t
a l’arc intermedi
és paral·lela al
segment AB que
determina la inclinació
de l’escala.
Hipòtesi 4
![Page 9: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/9.jpg)
2a. Conclusió
El centre P de l’arc intermedi
es troba
sobre la recta s,
perpendicular a la tangent
t, i al segment AB,
perquè el radi fins el punt
de tangència i la tangent
són perpendiculars
![Page 10: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/10.jpg)
Imposem que el centre
P es troba
sobre el segment AC
i visualitzem els
centres Q, R i P de
les tres
circumferències.
Hipòtesi 5
Activitat 2
![Page 11: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/11.jpg)
Recerca i definició
del problema
![Page 12: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/12.jpg)
Recerca
Observem que hem determinat
el cercle intermedi de centre P i
radi PM. Ens cal construir els
cercles que:
• passen per A i B respectivament,
• de centres Q i R sobre les semirectes AK i BL,
• i tangents al cercle (P,PM).
![Page 13: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/13.jpg)
Definició del problema
Donats
• un cercle C(P,PM),
• un punt interior A
• i una semirecta k d’origen A,
es tracta de construir un cercle
• que passi per A
• i tingui el centre Q sobre la semirecta k.
![Page 14: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/14.jpg)
Anàlisi geomètrica
del problema
![Page 15: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/15.jpg)
Marxa de l’anàlisi
• Se suposa el problema resolt.
• S’estudien les propietats dels objectes implicats amb
l’ajut d’altres auxiliars que es van introduint.
• Se’n treuen consequències.
• Quan s’arriba a una conseqüència de construcció
coneguda, l’anàlisi s’ha acabat.
• És el moment de la síntesi. S’intenta refer el procés
marxa enrera, a partir de l’objecte que se sap
construir, fins obtenir la construcció desitjada.
![Page 16: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/16.jpg)
Etapa 1
Hi ha una línia recta que
conté
• El centre Q del cercle
(Q,QA) cercat,
• el punt P, centre del
cercle C
• i el punt de tangència T
![Page 17: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/17.jpg)
Etapa 2
Si traslladem la distància
PT, radi del cercle C,
sobre la semirecta k, a
partir d’A,
obtenim el punt B sobre k
tal que AB=PT.
Llavors,
BQ=BA-QA=PT-QT=PQ
![Page 18: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/18.jpg)
Síntesi
El centre Q es troba
• sobre la mediatiu de PB
• i sobre la semirecta k.
Per tant, l’anàlisi s’ha
acabat perquè sabem
construir la mediatriu de PB.
Passem a la construcció
Activitat 3
![Page 19: Arcs rampants al Pati de la Casa Castellarnaurnolla/moodle/Moviments2009/MatematiquesCA/...• i sobre la semirecta k. Per tant, l’anàlisi s’ha acabat perquè sabem construir](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071605/614144266d7bf66e09136aa0/html5/thumbnails/19.jpg)
Construcció de l’arc
Visualització
Activitat 4