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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR
PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo se pueden usar tablas, gráficas y ecuaciones para representar situaciones proporcionales?
L E C C I Ó N
3.1Representar relaciones proporcionales
Representar relaciones proporcionales con tablasEl escritor francés Julio Verne publicó, en 1870, 20,000 leguas de viaje submarino, una de
las más populares novelas de ciencia ficción jamás escritas. Una de las definiciones de
legua es una unidad equivalente a 3 millas.
Completa la tabla.
Distancia (leguas)
1 2 6 20,000
Distancia (millas)
3 36
¿Qué relaciones ves entre los números de la tabla?
Halla, en cada una de las columnas de la tabla, la razón de la distancia en
millas a la distancia en leguas. Escribe cada razón en su mínima expresión.
¿Qué observas sobre las razones?
Reflexiona1. Si sabes la distancia en leguas entre dos puntos, ¿cómo puedes averiguar la
distancia en millas?
2. Si sabes la distancia en millas entre dos puntos, ¿cómo puedes averiguar la
distancia en leguas?
A
B
C
3 __ 1
= ______ 2
= ______ 6
= 36 ______ = ___________ 20,000
=
D
8.5.A
Proportionality—8.5.A Represent linear proportional situations with tables, graphs, and equations in the form of y = kx.
59Lección 3.1
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Representar relaciones proporcionales con ecuacionesLa razón de la distancia en millas a la distancia en leguas es una constante. Sobre esta
relación se dice que es proporcional. Una relación proporcional es una relación entre
dos cantidades donde la razón de una cantidad con respecto a la otra cantidad es
constante.
Las relaciones proporcionales se pueden representar con una ecuación del tipo
y = kx, donde k es el número llamado constante de proporcionalidad.
A veces resulta útil emplear esta otra forma de la ecuación: k = y _ x .
Meghan gana $12 por hora en su trabajo de tiempo parcial. Muestra que la
relación entre la cantidad que gana y el número de horas que trabaja es una
relación proporcional. Luego, escribe la ecuación de la relación.
Haz una tabla relacionando la cantidad
ganada con el número de horas.
Número de horas 1 2 4 8
Cantidad ganada ($) 12 24 48 96
Escribe, para cada número de horas, la relación entre la cantidad ganada
y el número de horas como una razón en su mínima expresión.
Como las razones entre las dos cantidades son todas iguales a 12, la
relación es proporcional.
Escribe una ecuación.
Sea x el número de horas. Sea y la cantidad ganada.
Usa la razón como una constante de proporcionalidad en la ecuación y = kx.
La ecuación es y = 12x.
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
cantidad ganada _____________
número de horas 12 __
1 = 12 24
__ 2 = 12 48 __ 4
= 12 96 __ 8 = 12
PASO 3
3. La compañía Bicicleta Rápida fabrica quince
bicicletas por hora. Muestra que la relación
entre el número de bicicletas fabricadas y el
número de horas es una relación proporcional. Luego, escribe una ecuación de la relación.
ES TU TURNO
Procesos matemáticos
Charlamatemática
Describe dos cantidades de la vida real con una relación proporcional que pueda representarse con la ecuación y = 25x.
8.5.A
Por cada hora que Meghan trabaja, gana $12. Entonces, por 8 horas de trabajo gana 8 × $12 = $96.
Primero, di lo que representan las variables.
Unidad 260
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O
5
10
5 10
Leguas
Millas
(1,3)
(2,6)
(3,9)
O
2
4
6
8
10
6 12 18 24 30
Peso en la Tierra (lb)Peso en
la L
una
(lb)
O
4
8
12
16
20
5 10 15 20 25
Tiempo (h)
Dis
tancia (m
i)
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Representar relaciones proporcionales con gráficasLas relaciones proporcionales se pueden representar
con una gráfica. La gráfica será una línea que pasa
por el origen (0, 0). La gráfica muestra la relación
entre la distancia medida en millas y la distancia
medida en leguas.
La gráfica muestra la relación
entre el peso de un objeto en la
Luna y su peso en la Tierra. Escribe una
ecuación de esta relación.
Usa los puntos en la gráfica para
hacer una tabla.
Peso en la Tierra (lb) 6 12 18 30
Peso en la Luna (lb) 1 2 3 5
Halla la constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad es 1 _ 6
.
Escribe una ecuación.
Sea x el peso en la Tierra.
Sea y el peso en la Luna.
La ecuación es y = 1 _ 6
x.
EJEMPLO EJEMPLO 2
PASO 1
PASO 2
Peso en la Luna ____________
Peso en la Tierra 1 _
6 = 1 _
6 2 __
12 = 1 _
6 3 __
18 = 1 _
6 5 __
30 = 1 _
6
PASO 3
La gráfica muestra la relación entre la
cantidad de tiempo que camina una
excursionista y la distancia que recorre.
4. ¿Qué representa el punto (5, 6)?
5. ¿Cuál es la ecuación de la relación?
ES TU TURNO
8.5.A
Sustituye k por 1 __ 6 en y = kx.
61Lección 3.1
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Práctica con supervisión
1. Vocabulario Una relación proporcional es una relación entre dos cantidades donde la razón de una cantidad con respecto a la otra cantidad
es / no es constante.
2. Vocabulario Cuando se escribe la ecuación de una relación proporcional
del tipo y = kx, la k representa la .
3. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número de días y el número de semanas en un determinado periodo de tiempo. (Actividad para explorar y Ejemplo 1)
a. Completa la tabla.
Tiempo (semanas) 1 2 4 10
Tiempo (días) 7 56
b. Sea x .
Sea y .
La ecuación que describe la relación es .
Cada tabla o gráfica representa una relación proporcional. Escribe una ecuación que describa la relación. (Ejemplo 1 y Ejemplo 2)
4. Ciencias físicas La relación entre el número de átomos de oxígeno y átomos de hidrógeno en el agua.
Átomos de oxígeno 2 5 120
Átomos de hidrógeno 4 34
5.
1 2O
20
40
60
100
80
3 4 5Distancia (pulg)
Mapa de Iowa
Dis
tanc
ia re
al (m
i)
6. Si sabes la ecuación de una relación proporcional, ¿cómo puedes hacer la gráfica de la ecuación?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL???
Unidad 262
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Nombre Clase Fecha
3.1 Práctica independiente
La tabla muestra la relación entre las temperaturas medidas en las escalas
Celsius y Fahrenheit.
Temperatura Celsius 0 10 20 30 40 50
Temperatura Fahrenheit 32 50 68 86 104 122
7. ¿Es proporcional la relación entre las escalas de temperatura? ¿Por qué sí o por
qué no?
8. Describe la gráfica de la relación Celsius-Fahrenheit.
9. Analiza las relaciones Ralph abrió una cuenta de ahorros con un depósito de
$100. Después, deposita $20 al mes.
a. ¿Por qué no es proporcional la relación descrita?
b. ¿Cómo se podría cambiar la situación para que la situación fuese
proporcional?
10. Representa problemas de la vida real Describe una situación de la vida real
que pueda representarse con la ecuación y = 1 __
20 x. No olvides describir lo que
representa cada variable.
Busca un patrón Las variables x e y están relacionadas proporcionalmente.
11. Cuando x = 8, y = 20. Halla y cuando x = 42.
12. Cuando x = 12, y = 8. Halla x cuando y = 12.
8.5.A
63Lección 3.1
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Área de trabajo
O
2
4
6
8
10
10 20 30 40 50Distancia (pulg)
Caracol que se arrastra
Tiem
po (m
in)
13. La gráfica muestra la relación entre la distancia que recorre un caracol y el tiempo durante el que se arrastra.
a. Usa los puntos de la gráfica para hacer una tabla.
Distancia (pulg)
Tiempo (min)
b. Escribe la ecuación de la relación y di lo que representa cada variable.
c. ¿Cuánto tarda el caracol en recorrer 85 pulgadas?
14. Comunica ideas matemáticas Explica por qué todas las gráficas que aparecen en esta lección muestran el primer cuadrante y omiten los otros tres.
15. Analiza las relaciones Completa la tabla.
Longitud del lado de un cuadrado 1 2 3 4 5
Perímetro del cuadrado
Área del cuadrado
a. ¿Están relacionados proporcionalmente la longitud de un lado del cuadrado y el perímetro del cuadrado? ¿Por qué sí o por qué no?
b. ¿Están relacionados proporcionalmente la longitud de un lado del cuadrado y el área del cuadrado? ¿Por qué sí o por qué no?
16. Haz una conjetura Una tabla muestra una relación proporcional donde k es la constante de proporcionalidad. Luego, las filas se intercambian. ¿Qué relación hay entre la nueva constante de proporcionalidad y la original?
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 264
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