apunts de classe francesc planas vilanova · 2016-08-31 · pr oleg aquests apunts estan basats en...

Algebra Multilineal i Geometria

Apunts de classe

Francesc Planas Vilanova

Departament de Matematica Aplicada 1

Universitat Politecnica de Catalunya

Proleg

Aquests apunts estan basats en les classes de teoria de l’assignatura Algebra Multilineali Geometria del Grau en Matematiques, a la Facultat de Matematiques i Estadısticade la Universitat Politecnica de Catalunya.

L’objectiu es proporcionar un suport a les classes. No estan pensats com a substi-tucio de les classes ni per indicar que s’avalua o no. Son un resum, a vegades un ındexuna mica desenvolupat, dels temes que es tracten en cada classe. Estan organitzats enset temes amb les corresponents seccions. Cada seccio es correspon, aproximadament,amb el contingut d’una hora de classe. Alguns dels enunciats estan sense demostracio.En d’altres hi ha una demostracio amb la intencio d’aclarir l’enunciat o pensant quepotser a classe no hi haura temps de fer-la.

La versio actual es provisional. Possiblement amb alguns errors. Espero que no endificultin gaire la lectura. En properes versions es corregiran errors i, si cal, s’actualit-zara el contingut.

La presentacio i el contingut s’han escollit en funcio de la durada del curs i del temaride l’assignatura, que venen fixats pels plans d’estudis del grau i de la Facultat. Nopretenen ser originals. Per a la redaccio s’han consultat diversos llibres i apunts d’altresprofessors que han fet assignatures amb un temari semblant. S’han usat en especial, elsexcel.lents llibres d’Eduard Casas-Alvero, Analytic Projective Geometry, EMS, 2014,de Ferran Puerta, Algebra Lineal, Edicions UPC, 2005, d’Agustı Reventos, GeometriaProjectiva, Servei de Publicacions UAB, 2000 i de Sebastia Xambo, Geometria, EdicionsUPC, 1997.

Finalment, vull donar les gracies als companys d’assignatura i als companys deDepartament i de la Facultat per totes les converses sobre l’assignatura.

Barcelona, desembre de 2014.

Francesc Planas Vilanova

3

Index

0 Classificacio de formes quadratiques 7

0.1 Formes bilineals simetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.3 Forma reduıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.4 Rang, radical i ındex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5 Classificacio afı i projectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Algebra multilineal 17

1.1 L’espai vectorial dels tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Producte tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Bases dels espais de tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Parentesi sobre permutacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Tensors simetrics i antisimetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Operadors de simetritzacio i d’antisimetritzacio . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Producte exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Bases dels tensors antisimetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Producte tensorial d’espais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Espai projectiu 33

2.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Varietats lineals projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Interseccio i suma de varietats lineals projectives . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Formula de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Varietats independents. Suplementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Referencies projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 Canvi de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8 Equacions de varietats lineals projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9 Els teoremes de Desargues i de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

6 INDEX

2.10 Coordenada absoluta i rao doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Espai afı i espai projectiu 45

3.1 Repas d’espais afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Clausura projectiva d’un espai afı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Clausura projectiva d’una varietat lineal afı . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Recobriment d’un espai projectiu per espais afins . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Referencia projectiva associada a referencia afı . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Referencia projectiva associada a una de baricentrica . . . . . . . . . . . 50

3.7 Equacions afins i equacions projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Rao simple i rao doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Dualitat 55

4.1 L’espai projectiu dels hiperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Varietats lineals projectives de l’espai dual . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 El principi de dualitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Coordenades duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Projectivitats 61

5.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Matriu d’una projectivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Projectivitats i varietats lineals projectives . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Determinacio d’una projectivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Teorema fonamental de la geometria projectiva . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6 Perspectivitats i el teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.7 Afinitats i projectivitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.8 Homografies de la recta i del pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Quadriques 79

6.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Interseccio de quadriques amb varietats projectives . . . . . . . . . . . . 81

6.3 Conjugacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Polar, punts dobles i punts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Els teoremes de Steiner, Pascal i Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.6 Quadriques i projectivitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.7 Classificacio projectiva de quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.8 Classificacio afı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tema 0

Classificacio de formesquadratiques

En tot el tema, E es un espai vectorial sobre un cos K i e = e1, . . . , en es una base(ordenada) de E , on dimE = n .

0.1 Formes bilineals simetriques

Si x = x1e1 + . . . + xnen ∈ E , denotarem amb majuscula X =(x1 . . . xn

)>la

matriu n × 1 de les components de x en la base e . Sigui ϕ : E × E → K una forma(aplicacio).

Definicio 0.1.1. La matriu de ϕ en la base e es

Me(ϕ) =

ϕ(e1, e1) . . . ϕ(e1, en)...

...ϕ(en, e1) . . . ϕ(en, en)

.

Definicio 0.1.2. Diem que ϕ es una forma bilineal si, per a tot x, y, z ∈ E , i per a totλ, µ ∈ K , es compleix:

ϕ(λx+ µy, z) = λϕ(x, z) + µϕ(y, z) i ϕ(x, λy + µz) = λϕ(x, y) + µϕ(x, z).

Una forma bilineal ϕ es simetrica si ϕ(x, y) = ϕ(y, x) per a tot x, y ∈ E . Una formabilineal simetrica ϕ es no degenerada si quan ϕ(x, y) = 0, per a tot y ∈ E , implicax = 0. Si K = R i ϕ es una forma bilineal simetrica, ϕ es definida positiva siϕ(x, x) ≥ 0, per a tot x ∈ E , i ϕ(x, x) = 0 si i nomes si x = 0.

Observacio 0.1.3. Sigui ϕ : E × E → K una forma i A = Me(ϕ), la matriu de ϕ en labase e . Aleshores:

7

8 TEMA 0. CLASSIFICACIO DE FORMES QUADRATIQUES

(1) ϕ es forma bilineal si i nomes si ϕ(x, y) = X>AY , per a tot x, y ∈ E .

(2) Suposem que ϕ es forma bilineal. Aleshores ϕ es simetrica si i nomes si A essimetrica, es a dir, A> = A .

(3) Suposem que ϕ es forma bilineal simetrica. Aleshores ϕ es no degenerada si inomes si det(A) 6= 0.

(4) Suposem que ϕ es forma bilineal simetrica i K = R . Aleshores ϕ es definidapositiva si i nomes si det(Ai) > 0, per a tot i = 1, . . . , n , on

Ai =

ϕ(e1, e1) . . . ϕ(e1, ei)...

...ϕ(ei, e1) . . . ϕ(ei, ei)

.

Observacio 0.1.4. Canvi de base. Siguin e i u dues bases de E i ϕ : E × E → Kuna forma bilineal. Siguin A = Me(ϕ) i B = Mu(ϕ), les matrius de ϕ en la base e iu , respectivament. Sigui S = Mu,e la matriu del canvi de la base u a la base e , es adir, la matriu les columnes de la qual son les components dels vectors u expressats enla base e . Aleshores Mu(ϕ) = M>u,eMe(ϕ)Mu,e . Es a dir, B = S>AS .

0.2 Formes quadratiques

Definicio 0.2.1. Una forma quadratica es una aplicacio q : E → K tal que existeixϕ : E × E → K , forma bilineal simetrica, amb q(x) = ϕ(x, x). Es diu que q es laforma quadratica associada a ϕ i s’escriu q = qϕ . Per definicio, la matriu de q = qϕ enla base e es Me(q) = Me(ϕ), la matriu (simetrica) de ϕ en la base e .

Observacio 0.2.2. Una forma bilineal simetrica ϕ determina una forma quadratica q ,via q(x) = ϕ(x, x). D’altra banda, si q : E → K es la forma quadratica associada auna forma bilineal simetrica ϕ : E ×E → K , (i si el cos K no es de caracterıstica 2),es comprova que

ϕ(x, y) =1

2[q(x+ y)− q(x)− q(y)].

En particular, si q es forma quadratica i ϕ,ψ son formes bilineals simetriques ambq = qϕ = qψ , aleshores ϕ = ψ . O sigui, hi ha una bijeccio entre els conjunts

{q : E → K | q forma quadratica} ↔ {ϕ : E × E → K | ϕ forma bilineal simetrica}.

Observacio 0.2.3. Sigui q = qϕ : E → K la forma quadratica associada a una formabilineal simetrica ϕ : E × E → K . Sigui A = Me(q) = Me(ϕ) = (ai,j)i,j=1,...,n la

0.2. FORMES QUADRATIQUES 9

matriu de q en la base e , ai,j = ϕ(ei, ej). Aleshores

q(x) = X>AX =(x1 . . . xn

) a1,1 . . . a1,n...

...an,1 . . . an,n

x1

...xn

=n∑

i,j=1

ai,jxixj ,

que es un polinomi homogeni de segon grau en les components x1, . . . , xn .

Exemple 0.2.4. Sigui q : R2 → R definida per q(x, y) = 2x2 − 3xy + 5y2 . Aleshores qes la forma quadratica associada a la forma bilineal simetrica ϕ : R × R → R que tematriu en la base canonica e = (1, 0), (0, 1) de R2 , la matriu:

A = Me(ϕ) =

(2 −3

2−3

2 5

).

Conclusio 0.2.5. Si fixem una base e = e1, . . . , en de E , i suposem que el cos K no tecaracterıstica 2, tenim bijeccio entre els quatre conjunts seguents:

{ϕ | ϕ fbs de E} ↔ {q | q fq de E} ↔ {q | q pol hom de 2n grau} ↔ {A | A> = A}.

Aquesta bijeccio permet que tot allo que fem per a formes bilineals simetriques hopoguem estendre a formes quadratiques, i recıprocament, tot allo valid per a formesquadratiques es pot estendre a formes bilineals simetriques.

Per acabar el punt, proposem un exercici que dona una definicio intrınseca de formaquadratica. N’hi ha d’altres en termes de la identitat del paral.lelogram.

Exercici 0.2.6. Una caracteritzacio intrınseca de les formes quadratiques.

(1) Sigui q : E → K la forma quadratica associada a una forma bilineal simetricaϕ : E × E → K . Aleshores, per a tot x, y, z ∈ E i tot λ ∈ K , es compleix:

(a) q(x+ y + z) = q(x+ y) + q(x+ z) + q(y + z)− q(x)− q(y)− q(z);

(b) q(λx+ y) = q(λx) + q(y) + λ[q(x+ y)− q(x)− q(y)];

(c) q(λx) = λ2q(x).

(2) Sigui q : E → K una aplicacio complint les propietats (a), (b) del punt anterior.Aleshores, l’aplicacio ψ : E×E → K , definida per ψ(x, y) = q(x+y)−q(x)−q(y),es una forma bilineal simetrica. Si q compleix (c), aleshores ψ(x, x) = 2q(x). Enparticular, si q compleix (a), (b), (c) i 2 6= 0, aleshores q es la forma quadraticaassociada a la forma bilineal simetrica ϕ := 1

2ψ .


0.3 Forma reduıda

En aquest punt, ϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica, A = Me(ϕ) es lamatriu de ϕ en la base e , i q = qϕ : E → K es la forma quadratica associada a ϕ .

Objectiu 0.3.1. Volem trobar una base u = u1, . . . , un de E tal que Mu(ϕ) sigui unamatriu diagonal D = diag(λ1, . . . , λn). Es a dir, volem trobar S tal que S>AS = D .A la base u en direm una base adaptada i a la matriu D una forma reduıda de ϕ .

Observacio 0.3.2. Metode de Gauss. Recordem que fer una transformacio elementalper files a A es el mateix que multiplicar per una matriu elemental F a l’esquerrade A . Analogament, fer una transformacio elemental per columnes a A es el mateixque multiplicar per una matriu elemental C a la dreta de A . El metode de Gaussconsisteix en fer transformacions elemetals per files i/o columnes per, primer, aconseguir“triangularitzar” la matriu simetrica A i, despres, repetint les mateixes operacions,pero les que eren per files, ara per columnes, i les que eren per columnes, ara per files,aconseguir diagonalitzar la matriu. Tambe es pot fer alternant les transformacions, icada vegada que en fem una, immediatament despres la repetim, per columnes si laprimera era per files, per files, si la primera era per columnes. Breument, denotantI a la matriu identitat n × n , Fi una matriu elemental i Ci = F>i a la seva matriutransposada:

(A | I) ∼ (F1A | F1) ∼ (F1AC1 | F1) ∼ (F2F1AC1 | F2F1) ∼∼ (F2F1AC1C2 | F2F1) ∼ . . . ∼ (Fr . . . F1AC1 . . . Cr | Fr . . . F1) =: (D | S>),

on D := Fr . . . F1AC1 . . . Cr es una matriu diagonal i S> := Fr . . . F1 . Per tant,

S = (Fr . . . F1)> = F>1 . . . F>r = C1 . . . Cr i D = S>AS.

Prenem la base u = u1, . . . , un de E definida per les columnes de S , o sigui, les com-ponents dels vectors u en la base e venen donades per les columnes de S . Breument,S = Mu,e . Aleshores Mu(ϕ) = M>u,eMe(ϕ)Mu,e = S>AS = D , es a dir, la matriu de ϕen la base u es diagonal.

Observacio 0.3.3. Sigui u una base adaptada de ϕ i D = Mu(ϕ) = diag(λ1, . . . , λn)una forma reduıda. Com sempre, donat x = x1e1+ . . .+xnen , denotem amb majuscula

X =(x1 . . . xn

)>les components de x en la base e . Si x = x′1u1 + . . . + x′nun ,

denotem X ′ =(x′1 . . . x′n

)>les components de x en la base u . Si S = Mu,e ,

aleshores SX ′ = X . Aixı,

q(x) = ϕ(x, x) = X>AX = (SX ′)>A(SX ′) = (X ′)>(S>AS)X ′ = (X ′)>DX ′.

Com que D = diag(λ1, . . . , λn), aleshores observem que q s’expressa com:

q(x) = ϕ(x, x) = λ1(x′1)

2 + . . .+ λn(x′n)2.

0.3. FORMA REDUIDA 11

Exemple 0.3.4. Sigui q : R3 → R la forma quadratica definida per

q(x, y, z) = x2 + 4xy + 2xz + 3y2 + 10yz + 4z2.

La matriu de q en la base canonica de R3 es

A = Me(q) =

1 2 12 3 51 5 4

.

Aplicant el metode de Gauss obtenim:

(A | I) =

1 2 1 1 0 02 3 5 0 1 01 5 4 0 0 1

∼(1)

1 2 1 1 0 00 −1 3 −2 1 00 3 3 −1 0 1

∼(2)

1 0 0 1 0 00 −1 3 −2 1 00 3 3 −1 0 1

∼(3)

1 0 0 1 0 00 −1 3 −2 1 00 0 12 −7 3 1

∼(4)

1 0 0 1 0 00 −1 0 −2 1 00 0 12 −7 3 1

= (D | S>),

on (1) son les transformacions per files f ′2 = f2 − 2f1 i f ′3 = f3 − f1 , en A i en I ; (2)son les transformacions per columnes c′2 = c2 − 2c1 i c′3 = c3 − c1 , nomes a la part del’esquerra; (3) es la transformacio per files f ′3 = f3 + 3f2 i (4) es la transformacio percolumnes c′3 = c3 + 3c2 . Obtenim:

D =

1 0 00 −1 00 0 12

i S =

1 −2 −70 1 30 0 1

.

Una forma reduıda de q es doncs q(x′, y′, z′) = (x′)2− (y′)2 +12(z′)2 . Si volem, podemtrobar una forma reduıda encara mes senzilla. En efecte 1 0 0 1 0 0

0 −1 0 −2 1 00 0 12 −7 3 1

∼(5)

1 0 0 1 0 00 −1 0 −2 1 00 0 12√

12− 7√

123√12

1√12

∼(6)

1 0 0 1 0 00 −1 0 −2 1 00 0 1 − 7√

123√12

1√12

∼(7)

1 0 0 1 0 00 0 1 − 7√

123√12

1√12

0 −1 0 −2 1 0

∼(8)

1 0 0 1 0 00 1 0 − 7√

123√12

1√12

0 0 −1 −2 1 0

.


Observacio 0.3.5. Si K = R , fent mes operacions per files i per columnes, sempre podemassegurar que una forma reduıda te la forma D = diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0).

Exercici 0.3.6. Siguin ϕ : E ×E → R un producte escalar euclidia, es a dir, una formabilineal simetrica definida positiva, i e = e1, . . . , en una base de E . Sigui u = u1, . . . , unla base de E obtinguda aplicant el metode de Gauss per diagonalitzar Me(ϕ). Proveuque es possible obtenir u sense aplicar permutacions de files i columnes. En aquestcas, si no fem permutacions de files i columnes, proveu que u es una base ϕ-ortogonali que 〈u1 〉 = 〈e1 〉 , 〈u1, u2 〉 = 〈e1, e2 〉 , i que 〈u1, u2, . . . , ui 〉 = 〈e1, e2, . . . , ei 〉 , per atot i = 1, . . . , n . Es a dir, u es un “multiple” de la base de E que trobarıem usant elproces d’ortonormalitzacio de Gramm-Schmidt.

0.4 Rang, radical i ındex

En aquest punt E es un espai vectorial sobre R , e = e1, . . . , en es una base de E ,dimE = n , ϕ : E × E → R es una forma bilineal simetrica, A = Me(ϕ) es la matriude ϕ en la base e , i q = qϕ : E → R es la forma quadratica associada a ϕ .

Definicio 0.4.1. El rang de ϕ : E × E → K es rang(ϕ) = rang(A), on A = Me(ϕ).Observar que la definicio es correcte, ja que si B = Mu(ϕ) es la matriu de ϕ en unaaltra base u de E , aleshores B = S>AS i rang(B) = rang(A).

Definicio 0.4.2. El radical de ϕ : E × E → K es el conjunt

rad(ϕ) = {x ∈ E | ϕ(x, y) = 0 per a tot y ∈ E}.

Clarament, rad(ϕ) es un subespai vectorial de E . A mes a mes, ϕ es no degeneradasi i nomes si rad(ϕ) = 0.

Lema 0.4.3. Sigui u = u1, . . . , un una base de E tal que Mu(ϕ) = diag(λ1, . . . , λn).Suposem que els vectors u estan ordenats de manera que λi = 0, per a i = 1, . . . , s,i λi 6= 0, per a i = s + 1, . . . , n. Aleshores, rad(ϕ) = 〈u1, . . . , us 〉 . En particular,dim rad(ϕ) + rang(ϕ) = dimE i card{λi = 0} = dimE − rang(ϕ) no depen de u.

Demostracio. Si i ∈ {1, . . . , s} i y = y1u1 + . . .+ ynun ∈ E , aleshores

ϕ(ui, y) =

n∑j=1

yjϕ(ui, uj) = yiϕ(ui, ui) = yiλi = 0.

Per tant, 〈u1, . . . , us 〉 ⊆ rad(ϕ). Recıprocament, si i ∈ {s + 1, . . . , n} i x ∈ rad(ϕ),amb x = x1u1 + . . .+ xnun , aleshores

0 = ϕ(x, ui) =

n∑j=1

xjϕ(uj , ui) = xiϕ(ui, ui) = xiλi,

0.5. CLASSIFICACIO AFI I PROJECTIVA 13

on λi 6= 0. Per tant, xi = 0, per a tot i ∈ {s + 1, . . . , n} , i x ∈ 〈u1, . . . , us 〉 . Enparticular, dim rad(ϕ) = s . Aixı rang(ϕ) = rang(D) = n− s = dimE − dim rad(ϕ).

Lema 0.4.4. Sigui u = u1, . . . , un una base de E tal que Mu(ϕ) = diag(λ1, . . . , λn).Aleshores card{λi > 0} i card{λi < 0} no depenen de la base escollida u.

Demostracio. Suposem que els vectors u estan ordenats de manera que λi > 0, pera i = 1, . . . , p , i λi ≤ 0, per a i = p + 1, . . . , n . Anomenem F = 〈u1, . . . , up 〉 iG = 〈up+1, . . . , un 〉 . Observem que dimF = card{λi > 0} .

Prenem v = v1, . . . , vn una altra base de E amb Mv(ϕ) = diag(µ1, . . . , µn). Su-posem que els vectors v estan ordenats de manera que µi > 0, per a i = 1, . . . ,m , iµi ≤ 0, per a i = m+ 1, . . . , n . Siguin V = 〈v1, . . . , vm 〉 i W = 〈vm+1, . . . , vn 〉 . Comabans, dimV = card{µi > 0} .

Sigui f : F → V la composicio de la inclusio i : F → E amb la projeccio π :E → V , on E = V ⊕ W . Vegem que f es injectiva. Prenem x ∈ F . Aleshoresx ∈ E = V ⊕W descomposa en x = y + z , amb y ∈ V i z ∈ W . Si 0 = f(x) =π(i(x)) = π(x) = π(y+z) = y , aleshores x = z . Com que x ∈ F , x = x1u1+ . . .+xpupi ϕ(x, x) = λ1x

21 + . . . + λpx

2p ≥ 0, ja que els λi > 0, per a i = 1, . . . , p . Com que

z ∈W , z = zm+1vm+1 + . . .+ znvn i ϕ(z, z) = µm+1z2m+1 + . . .+ µnz

2n ≤ 0, ja que els

µi ≤ 0, per a i = m+ 1, . . . , n .

Per tant, ϕ(x, x) = 0, la qual cosa implica x1 = . . . = xp = 0, o sigui, x = 0.Com que f es injectiva, dimF ≤ dimV . Per simetria, dimV ≤ dimF . Per tant,card{λi > 0} = dimF = dimV = card{µi > 0} .

Aixı, card{λi > 0} no depen de la base escollida. Abans hem vist que card{λi = 0}no depen de la base escollida. En particular, card{λi < 0} = n − card{λi > 0} −card{λi = 0} tampoc no depen de la base escollida.

Definicio 0.4.5. Sigui ϕ : E×E → R una forma bilineal simetrica. Sigui D = Mu(ϕ) =diag(λ1, . . . , λn) una forma reduıda de ϕ . Anomenem

i+(ϕ) = ındex d’inercia positiu de ϕ = nombre de λi > 0;i−(ϕ) = ındex d’inercia negatiu de ϕ = nombre de λi < 0;ind(ϕ) = ındex d’inercia de Sylvester de ϕ = min(i+, i−);r(ϕ) = rang de ϕ = nombre de λi 6= 0.

Observem que, pels dos lemes anteriors, les definicions son correctes, en el sentit quenomes depenen de ϕ i no de la base escollida u .

0.5 Classificacio afı i projectiva

En aquest punt, E i F son dos espais vectorials sobre un cos K , dimE = dimF = n .Siguin ϕ : E × E → K i ψ : F × F → K dues formes bilineals simetriques.


Exercici 0.5.1. Siguin α : E → F un isomorfisme i φ : F × F → K definida per φ =ϕ ◦ (α−1 × α−1), o sigui, φ(x, y) = ϕ(α−1(x), α−1(y)), per a tot x, y ∈ F . Comproveuque:

(a) φ es una forma bilineal simetrica;

(b) si e es una base de E , aleshores u = α(e) es una base de F i Mu(φ) = Me(ϕ);

(c) Si q = qϕ : E → K es la forma quadratica associada a ϕ , aleshores la formaquadratica associada a φ es qφ = qϕ ◦ α−1 : F → K .

Definicio 0.5.2. Diem que ϕ : E×E → K es afı-equivalent a ψ : F ×F → K si existeixun isomorfisme α : E → F tal que ψ = ϕ ◦ (α−1 × α−1). Ho denotarem ϕ ∼a ψ .

Observacio 0.5.3. Clarament, ∼a es una relacio d’equivalencia. A mes, son equivalents:

(i) ϕ ∼a ψ ;

(ii) existeixen base e de E , base u de F tals que Me(ϕ) = Mu(ψ).

Teorema 0.5.4.

(a) Si K = R : ϕ ∼a ψ ⇔ rang(ϕ) = rang(ψ) i i+(ϕ) = i+(ψ).

(b) Si K = C : ϕ ∼a ψ ⇔ rang(ϕ) = rang(ψ).

Definicio 0.5.5. Diem que ϕ : E × E → K es projectiu-equivalent a ψ : F × F → K siexisteixen un isomorfisme α : E → F i un λ ∈ K \{0} , tals que ψ = λϕ◦ (α−1×α−1).Ho denotarem ϕ ∼p ψ .

Observacio 0.5.6. Clarament, ∼p es una relacio d’equivalencia. A mes, son equivalents:

(i) ϕ ∼p ψ ;

(ii) existeixen base e de E , base u de F , i λ ∈ K \ {0} , tals que Me(ϕ) = λMu(ψ).

Teorema 0.5.7.

(a) Si K = R : ϕ ∼p ψ ⇔ rang(ϕ) = rang(ψ) i i(ϕ) = i(ψ).

(b) Si K = C : ϕ ∼p ψ ⇔ rang(ϕ) = rang(ψ).

Exemple 0.5.8. La classificacio afı real en dimensio 3, es (denotant r = rang ):

(r, i+) = (3, 3) , D = diag(1, 1, 1); (r, i+) = (3, 2) , D = diag(1, 1,−1);(r, i+) = (3, 1) , D = diag(1,−1,−1); (r, i+) = (3, 0) , D = diag(−1,−1,−1);(r, i+) = (2, 2) , D = diag(1, 1, 0); (r, i+) = (2, 1) , D = diag(1,−1, 0)(r, i+) = (2, 0) , D = diag(−1,−1, 0); (r, i+) = (1, 1) , D = diag(1, 0, 0);(r, i+) = (1, 0) , D = diag(−1, 0, 0); (r, i+) = (0, 0) , D = diag(0, 0, 0).

0.5. CLASSIFICACIO AFI I PROJECTIVA 15

Exemple 0.5.9. La classificacio projectiva real en dimensio 3, es (denotant r = rang ):

(r, i) = (3, 0) , D = diag(1, 1, 1); (r, i) = (3, 1) , D = diag(1, 1,−1);(r, i) = (2, 0) , D = diag(1, 1, 0); (r, i) = (2, 1) , D = diag(1,−1, 0);(r, i) = (1, 0) , D = diag(1, 0, 0); (r, i) = (0, 0) , D = diag(0, 0, 0).

Tema 1

Algebra multilineal

En tot el tema, E es un espai vectorial sobre un cos K i e = e1, . . . , en es una base(ordenada) de E , on dimE = n . En tot el tema, p i q denotaran dos enters p, q ≥ 1.

1.1 L’espai vectorial dels tensors

Recordem que E∗ = L1(E; K) = {f : E → K | f lineal} denota l’espai dual de E .

Definicio 1.1.1. Un tensor p-covariant (de E ) es una aplicacio p-lineal (es a dir, linealen les p components, o multilineal)

f : E ×p· · · × E → K.

Un tensor q -contravariant es una aplicacio q -lineal

f : E∗ ×q· · · × E∗ → K.

Un tensor(qp

)-mixte es una aplicacio p+ q -lineal

f : E ×p· · · × E × E∗ ×

q· · · × E∗ → K.

Anomenem Tp(E) = Lp(Ep;K) al conjunt de tensors p-covariants,

T q(E) = Lq(E∗q;K) al conjunt de tensors q-contravariants i

T qp (E) = Lp+q(Ep × E∗q;K) al conjunt de tensors(qp

)-mixtes.

Exemples 1.1.2.

(1) T1(E) = L1(E; K) = E∗ es l’espai dual de E .

(2) T2(E) = L2(E2; K) = {f : E ×E → K | f bilineal} . Per exemple, els productes

escalars en E son tensors 2-covariants.

17

18 TEMA 1. ALGEBRA MULTILINEAL

(3) T 1(E) = L1(E∗; K) = {f : E∗ → K | f lineal} = E∗∗ es el bidual de E .

Recordem que, si dimE < ∞ , aleshores el monomorfisme canonic i : E → E∗∗ ,definit per i(x) = x , on x es l’aplicacio x : E∗ → K , x(ω) = ω(x), es unisomorfisme. Aixı, de forma natural, considerarem T 1(E) = E∗∗ = E .

(4) T 2(E) = {f : E∗ × E∗ → K | f bilineal} .

(5) Si e = e1, . . . , en es una base de E , aleshores dete : E× n· · ·×E → K , definit per(x1, . . . , xn) 7→ dete(x), el determinant dels vectors x en la base e , es un tensorn-covariant. Es a dir, dete ∈ Tn(E).

(6) Tenim el tensor natural(11

)-mixte f : E × E∗ → K , definit per f(x, ω) = ω(x).

Proposicio 1.1.3. Tp(E), T q(E) i T qp (E) son espais vectorials sobre K .

Pregunta 1.1.4. Quines dimensions tenen?

Exercici 1.1.5. Sigui φ : E → F una aplicacio lineal. Proveu que φ indueix aplicacionslineals φp : Tp(F )→ Tp(E) i φq : T q(E)→ T q(F ). I amb els tensors mixtes?

1.2 Producte tensorial

Definicio 1.2.1. Siguin f ∈ Tp(E) i g ∈ Tq(E). El producte tensorial de f i g esl’aplicacio

f ⊗ g : E ×p· · · × E × E ×

q· · · × E −→ K,

definida per, si x = (x1, . . . , xp) ∈ E×p· · ·×E i y = (y1, . . . , yq) ∈ E×

q· · ·×E , aleshores

(f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y). Es comprova que f ⊗ g es una aplicacio p+ q -lineal, o sigui,f ⊗ g ∈ Tp+q(E).

Observacio 1.2.2. De forma analoga, si f ∈ T p(E) i g ∈ T q(E), es defineix f ⊗ g ∈T p+q(E). En general, si f ∈ T qp (E) i g ∈ T sr (E), aleshores f ⊗ g ∈ T q+sp+r (E).

Exemple 1.2.3. Siguin u, v ∈ E∗ = T1(E). Aleshores u⊗ v : E × E → K , definida per(u⊗ v)(x, y) = u(x)v(y), es un tensor 2-covariant.

Exemple 1.2.4. Suposem que dimE = 2 i que e = e1, e2 es una base de E i e∗ = e∗1, e∗2

es la base dual de e . Prenem u = e∗1 +e∗2 i v = 3e∗1 . Comproveu que (u⊗v)(e1, e2) = 0i en canvi (v ⊗ u)(e1, e2) = 3. En particular, u⊗ v i v ⊗ u son dos elements diferentsde T2(E) = L2(E

2; K).

Exemple 1.2.5. Siguin x, y ∈ E . Via l’isomorfisme canonic E ∼= E∗∗ , els elements x, yde E es poden pensar com tensors 1-contravariants, es a dir, com x i y , que sonelements de T 1(E) = L1(E

∗, K). Per tant, podem considerar llur producte tensorialx ⊗ y . Concretament, entendrem x ⊗ y := x ⊗ y ∈ T 2(E), el tensor 2-contravariantx⊗ y : E∗ ×E∗ → K , definit per (x⊗ y)(u, v) = (x⊗ y)(u, v) = x(u)y(v) = u(x)v(y),on u, v ∈ E∗ .

1.3. BASES DELS ESPAIS DE TENSORS 19

Propietats 1.2.6. Siguin f, f ′ ∈ Tp(E), g, g′ ∈ Tq(E), h ∈ Tr(E), i λ ∈ K . Aleshores

(a) (f ⊗ g)⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h);

(b) (λf)⊗ g = λ(f ⊗ g) = f ⊗ (λg);

(c) f ⊗ (g + g′) = f ⊗ g + f ⊗ g′ ;

(d) (f + f ′)⊗ g = f ⊗ g + f ′ ⊗ g .

Corol.lari 1.2.7. Siguin f ∈ Tp(E), g ∈ Tq(E) i h ∈ Tr(E). Aleshores l’expressiof ⊗ g ⊗ h te sentit i s’enten indistintament com (f ⊗ g)⊗ h o be com f ⊗ (g ⊗ h).

1.3 Bases dels espais de tensors

A partir d’ara, e∗ = e∗1, . . . , e∗n es la base dual de la base e = e1, . . . , en de E .

Objectiu 1.3.1. Volem trobar una base dels espais vectorials Tp(E), T q(E) i T qp (E), ien particular, coneixer llur dimensio.

Comencem amb un parell d’exemples.

Exemple 1.3.2. Considerem T2(E) = {f : E × E → K | f bilineal} . Fixada la base e ,l’assignacio f 7→Me(f) estableix un isomorfisme entre l’espai vectorial T2(E) i l’espaivectorial de les matrius n× n amb coeficients en el cos K . En particular, la dimensiode T2(E) es dimT2(E) = n2 = (dimE)2 .

Exemple 1.3.3. Considerem T3(E) = {f : E × E × E → K | f 3 − lineal} . Fixemla base e . Prenem x, y, z ∈ E , on x = x1e1 + . . . + xnen , y = y1e1 + . . . + ynen iz = z1e1 + . . .+ znen . Sigui f ∈ T3(E). Aleshores, per multilinealitat,

f(x, y, z) = f(n∑i=1

xiei,n∑j=1

yjej ,n∑k=1

zkek) =

n∑i,j,k=1

xiyjzkf(ei, ej , zk).

Aixı f queda determinada per les imatges de les n3 ternes (ei, ej , ek). Veurem querealment dimT3(E) = n3 = (dimE)3 .

Proposicio 1.3.4. Es compleix que {e∗i⊗e∗j}i,j=1,...,n es una base de T2(E). En particular,

dimT2(E) = (dimE)2 . A mes, si f ∈ T2(E), aleshores f =∑n

i,j=1 f(ei, ej)e∗i ⊗ e∗j .

Mes en general.

Proposicio 1.3.5. Es compleix que {e∗i1 ⊗ . . .⊗ e∗ip}1≤i1,...,ip≤n es una base de Tp(E). En

particular, dimTp(E) = (dimE)p .

Analogament es provarien les dues proposicions seguents.


Proposicio 1.3.6. Es compleix que {ei1 ⊗ . . .⊗ eiq}1≤i1,...,iq≤n es una base de T q(E). Enparticular, dimT q(E) = (dimE)q .

Proposicio 1.3.7. Es compleix que

{e∗i1 ⊗ . . .⊗ e∗ip ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq}1≤i1,...,ip≤n

1≤j1,...,jq≤n

es una base de T qp (E). En particular, dimT qp (E) = (dimE)p+q .

Exercici 1.3.8. Suposem que n = 2 i e = e1, e2 es base de E . Escriviu el tensor2-covariant dete en funcio de la base {e∗i ⊗ e∗j}1≤i,j≤2 de T2(E). I si n = 3?

1.4 Parentesi sobre permutacions

En aquest punt, p es un enter p ≥ 1.

Definicio 1.4.1. Una permutacio de p elements es una aplicacio bijectiva

s : {1, . . . , p} → {1, . . . , p}.

Al grup de les permutacions de p elements, amb l’operacio la composicio d’aplicacionsel denotem S p . Si s, t ∈ S p , la composicio s ◦ t es denota juxtaposant st .

Notacio 1.4.2. Una permutacio s ∈ S p es pot escriure com

s =

(1 2 . . . ps(1) s(2) . . . s(p)

),

i tambe com la composicio de r permutacions

s = sr ◦ . . . ◦ s1 = sr . . . s1 = (i1,r, i2,r, . . . , itr,r) . . . (i1,1, i2,1 . . . , it1,1),

entenent que s1 = (i1,1, i2,1 . . . , it1,1) es la permutacio tal que s1(i1,1) = i2,1 , s1(i2,1) =i3,1 , i aixı successivament, fins l’ultim que compleix s1(it1,1) = i1,1 . La permutacios1 s’anomena un cicle de longitud t1 . Analogament, la permutacio sr es un cicle delongitud tr .

Exemple 1.4.3. Si p = 4 i

s =

(1 2 3 42 4 3 1

)= (1, 2, 4)(3) = (1, 2, 4),

on (1, 2, 4) significa que la imatge del 1 es el 2, que la imatge del 2 es el 4 i que laimatge del 4 es el 1. La permutacio (1, 2, 4) es doncs un cicle de longitud 3. Observemque la descomposicio en cicles no es unica. Per exemple, la permutacio s tambe es potexpressar com la composicio de dos cicles de longitud 2:

s =

(1 2 3 42 4 3 1

)= (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2).

1.5. TENSORS SIMETRICS I ANTISIMETRICS 21

Definicio 1.4.4. Una transposicio es un cicle de longitud 2, o sigui, una permutacio quedeixa invariants tots els elements excepte dos, els quals permuta.

Exercici 1.4.5. Comproveu que (a1, a2, . . . , ar) = (a1, ar)(a1, ar−1) . . . (a1, a2). En par-ticular, tota permutacio es pot expressar com la composicio de transposicions. Ladescomposicio no es unica pero si que ho es la paritat del nombre de transposicions enque descomposa.

Definicio 1.4.6. Una permutacio s es parell, respectivament senar, si es la composiciod’un nombre parell, respectivament senar, de transposicions. El signe de s es ε(s) = 1,si s es parell, i ε(s) = −1, si s es senar. Es comprova que ε(st) = ε(s)ε(t).

1.5 Tensors simetrics i antisimetrics

En general nomes enunciarem els resultats per a tensors covariants (o contravariants).Estudieu si el resultat analeg tambe es cert per a tensors contravariants (o covariants).

Definicio 1.5.1. Sigui f ∈ Tp(E). Es diu que f es simetric si, per a tota permutacios ∈ S p ,

f(xs(1), . . . , xs(p)) = f(x1, . . . , xp).

Es diu que f es antisimetric si, per a tota permutacio s ∈ S p ,

f(xs(1), . . . , xs(p)) = ε(s)f(x1, . . . , xp).

Anomenem Sp(E) ⊂ Tp(E) al conjunt dels tensors p-covariants simetrics. AnomenemAp(E) ⊂ Tp(E) al conjunt dels tensors p-covariants antisimetrics. La definicio ambtensor contravariants es analoga. Anomenem Sq(E) ⊂ T q(E) al conjunt dels tensorsq -contravariants simetrics i Aq(E) ⊂ T q(E) al conjunt dels tensors q -contravariantsantisimetrics.

Exemple 1.5.2. El tensor n-covariant dete : E× n· · ·×E → K , definit com el determinantdete(x1, . . . , xn) dels n vectors x1, . . . , xn en la base e , per a cada n-pla x1, . . . , xn devectors de E , es un tensor n-covariant antisimetric. Es a dir, dete ∈ An(E).

Observacio 1.5.3. Sigui f ∈ T2(E). Aleshores

(a) f ∈ S2(E)⇔ f(x, y) = f(y, x), per a tot x, y ∈ E .

(b) f ∈ A2(E)⇔ f(x, y) = −f(y, x), per a tot x, y ∈ E .

Exercici 1.5.4. Si dimE = 2 i e = e1, e2 es base de E , aleshores f = e∗1 ⊗ e∗2 + e∗2 ⊗ e∗1es un tensor 2-covariant simetric. Es a dir, f ∈ S2(E).

Exercici 1.5.5. Sigui f ∈ T3(E). Aleshores f ∈ A3(E) ⇔ f(x, y, z) = f(y, z, x) =f(z, x, y) = −f(y, x, z) = −f(x, z, y) = −f(z, y, x), per a tot x, y, z ∈ E .


Notacio 1.5.6. Siguin s ∈ S p i f ∈ Tp(E). Denotem s(f) : E×p· · ·×E → K a l’aplicacio

definida per s(f)(x1, . . . , xp) = f(xs(1), . . . , xs(p)). Comproveu que s(f) ∈ Tp(E). Aixıcada permutacio s ∈ S p defineix una aplicacio s : Tp(E) → Tp(E). Comproveu ques es un isomorfisme d’espais vectorials, es a dir, s(λf + µg) = λs(f) + µs(g) i s esbijectiva. De fet, si t = s−1 ∈ S p es la permutacio inversa de s , aleshores (s)−1 = t .A mes a mes, per a qualsevol parella s, t ∈ S p , (st)(f) = t(s(f)). Es a dir, l’aplicacio

Sp → Aut(Tp(E))

definida per s 7→ s , esta ben definida i es un morfisme de grups.

Proposicio 1.5.7. Sigui f ∈ Tp(E). Aleshores

(a) f ∈ Sp(E)⇔ s(f) = f , per a tot s ∈ S p .

(b) f ∈ Ap(E)⇔ s(f) = ε(s)f , per a tot s ∈ S p .

Usarem sovint el resultat seguent.

Proposicio 1.5.8. Siguin u1, . . . , up ∈ E∗ , x1, . . . , xp ∈ E , s ∈ S p i t = s−1 ∈ S p .Aleshores

s(u1 ⊗ . . .⊗ up) = ut(1) ⊗ . . .⊗ ut(p) i s(x1 ⊗ . . .⊗ xp) = xt(1) ⊗ . . .⊗ xt(p).

Demostracio. Denotem s(1) = i1 , s(2) = i2, . . . , s(p) = ip . Aixı,

{i1, i2, . . . , ip} = {1, 2, . . . , p}.

Si t = s−1 , aleshores t(i1) = 1, t(i2) = 2, . . . , t(ip) = p . Aixı, donats x1, . . . , xp ∈ Equalssevol,

s(u1 ⊗ . . .⊗ up)(x1, . . . , xp) = u1(xs(1)) . . . up(xs(p)) = ut(i1)(xi1) . . . ut(ip)(xip) =

ut(1)(x1) . . . ut(p)(xp) = (ut(1) ⊗ . . .⊗ ut(p))(x1, . . . , xp).

Per tant, s(u1⊗. . .⊗up) = ut(1)⊗. . .⊗ut(p) . Analogament per a tensors contravariants.

Exercici 1.5.9. Sigui f ∈ Tp(E). Es diu que f es un tensor alternat si f(x1, . . . , xp) = 0sempre que xi = xj per a alguna parella i < j . Suposem que 2 6= 0. Proveu que fes un tensor alternat si i nomes si f es antisimetric. Useu que tota permutacio es lacomposicio de transposicions.

1.6. OPERADORS DE SIMETRITZACIO I D’ANTISIMETRITZACIO 23

1.6 Operadors de simetritzacio i d’antisimetritzacio

A partir d’ara suposarem que el cos K te caracterıstica zero. En general nomes enun-ciarem els resultats per a tensors covariants (o contravariants). Estudieu si el resultatanaleg tambe es cert per a tensors contravariants (o covariants).

Definicio 1.6.1. Anomenem operador de simetritzacio a l’aplicacio S : Tp(E) → Tp(E)definida per, si f ∈ Tp(E), aleshores

S(f) =1

p!

∑s∈Sp

s(f).

Anomenem operador d’antisimetritzacio a l’aplicacio A : Tp(E)→ Tp(E) definida per,si f ∈ Tp(E), aleshores

A(f) =1

p!

∑s∈Sp

ε(s)s(f).

Exemple 1.6.2.

(a) Si f ∈ T2(E), S(f)(x, y) = 12(f(x, y)+f(y, x)) i A(f)(x, y) = 1

2(f(x, y)−f(y, x)).

(b) Si f ∈ T3(E),

A(f)(x, y, z) =1

6(f(x, y, z)− f(x, z, y)− f(y, x, z)− f(z, y, x)

+f(y, z, x) + f(z, x, y)).

Proposicio 1.6.3. Sigui f ∈ Tp(E).

(a) S,A : Tp(E)→ Tp(E) son aplicacions lineals.

(b) S(f) ∈ Sp(E) i A(f) ∈ Ap(E).

(c) Tenim S(f) = f ⇔ f ∈ Sp(E). Tambe, A(f) = f ⇔ f ∈ Ap(E).

Corol.lari 1.6.4.

(1) S,A : Tp(E)→ Tp(E) son projectors, es a dir, S2 = S i A2 = A.

(2) Sp(E) = Im(S) i Ap(E) = Im(A), que son subespais vectorials de Tp(E).

(3) Tp(E) = Sp(E)⊕ Nuc(S) i Tp(E) = Ap(E)⊕ Nuc(A).

(4) Per a tot p ≥ 2, Sp(E) ∩Ap(E) = 0. Per a p = 1,

S1(E) = A1(E) = T1(E) = E∗.


(5) Per a p = 2, T2(E) = S2(E)⊕A2(E).

Exercici 1.6.5. Si x1, . . . , xp ∈ E , aleshores

A(x1 ⊗ . . .⊗ xp) =1

p!

∑s∈Sp

ε(s)(xs(1) ⊗ . . .⊗ xs(p)).

Demostracio. En efecte, usant que ε(s) = ε(s−1) i que {s−1 | s ∈ S p} = S p , aleshores

A(x1 ⊗ . . .⊗ xp) =1

p!

∑s∈Sp

ε(s)s(x1 ⊗ . . .⊗ xp) =1

p!

∑s∈Sp

ε(s)(xs−1(1) ⊗ . . .⊗ xs−1(p))

=1

p!

∑s∈Sp

ε(s−1)(xs−1(1) ⊗ . . .⊗ xs−1(p)) =1

p!

∑u∈Sp

ε(u)(xu(1) ⊗ . . .⊗ xu(p)).

Exemple 1.6.6. Siguin x, y, z ∈ E . Aleshores

S(x⊗ y) =1

2(x⊗ y + y ⊗ x) i A(x⊗ y) =

1

2(x⊗ y − y ⊗ x).

A(x⊗ y ⊗ z) =1

6(x⊗ y ⊗ z − x⊗ z ⊗ y − y ⊗ x⊗ z

−z ⊗ y ⊗ x+ y ⊗ z ⊗ x+ z ⊗ x⊗ y).

Observacio 1.6.7. Siguin f ∈ Tp(E) i s ∈ S p . Aleshores s(A(f)) = ε(s)A(f). Analo-gament, A(s(f)) = ε(s)A(f). En particular, s(A(f)) = A(s(f)).

Demostracio. Ja hem vist que, si g ∈ Ap(E), aleshores s(g) = ε(s)g . Per tant, comque A(f) ∈ Ap(E), aleshores s(A(f)) = ε(s)A(f). Alternativament, recordem queε(ts) = ε(st)ε(s) i que ε(s)2 = 1. Aixı ε(s)ε(ts) = ε(t). A mes, {st | t ∈ S p} =sS p = S p . Aleshores,

s(A(f)) = s(1

p!

∑t∈Sp

ε(t)t(f)) =1

p!

∑t∈Sp

ε(t)ts(f) =

ε(s)1

p!

∑t∈Sp

ε(ts)ts(f) = ε(s)1

p!

∑u∈Sp

ε(u)u(f) = ε(s)A(f).

Analogament, com que ε(s)ε(st) = ε(t) i {ts | t ∈ S p} = S ps = S p , aleshores

A(s(f)) =1

p!

∑t∈Sp

ε(t)t(s(f)) =1

p!

∑t∈Sp

ε(s)ε(st)st(f) =

ε(s)1

p!

∑t∈Sp

ε(st)st(f) = ε(s)1

p!

∑u∈Sp

ε(u)u(f) = ε(s)A(f).

1.7. PRODUCTE EXTERIOR 25

Pregunta 1.6.8. Siguin f ∈ Tp(E) i s ∈ S p . Que podem dir de s(S(f)), de S(s(f)) ide ε(s)S(f)?

1.7 Producte exterior

Com fins ara, enunciem els resultats per a tensors covariants (o contravariants) i pro-posem que estudieu si el resultat analeg tambe es cert per a tensors contravariants (ocovariants).

Idea 1.7.1. En general, el producte tensorial de tensors antisimetrics no es antisimetric.Doneu un exemple. Una manera d’“arreglar” aixo es antisimetritzar el resultat. Concre-tament, si f ∈ Ap(E) i g ∈ Aq(E), aleshores f ⊗ g ∈ Tp+q(E), pero no necessariamentes de Ap+q(E). Pero si antisimetritzem, aleshores A(f ⊗ g) ∈ Ap+q(E).

Definicio 1.7.2. Siguin f ∈ Tp(E) i g ∈ Tq(E). El producte exterior de f i g es el tensorantisimetric

f ∧ g =(p+ q)!

p!q!A(f ⊗ g) ∈ Ap+q(E).

Observacio 1.7.3. Com que A(f ⊗ g) = 1(p+q)!

∑s∈Sp+q

ε(s)s(f ⊗ g), aleshores obtenim:

f ∧ g =(p+ q)!

p!q!A(f ⊗ g) =

1

p!q!

∑s∈Sp+q

ε(s)s(f ⊗ g)

Exemple 1.7.4. Siguin f, g ∈ T1(E) = A1(E) = E∗ . Aleshores

A(f ⊗ g) =1

2(id(f ⊗ g) + ε(1, 2)(1, 2)(f ⊗ g)) =

1

2(f ⊗ g − g ⊗ f).

Per tant,

f ∧ g =2!

1!1!A(f ⊗ g) = 2A(f ⊗ g) = f ⊗ g − g ⊗ f.

Exemple 1.7.5. Siguin x, y ∈ E = T 1(E) = A1(E). Aleshores,

x ∧ y = 2A(x⊗ y) = x⊗ y − y ⊗ x;

y ∧ x = 2A(y ⊗ x) = y ⊗ x− x⊗ y = −(x ∧ y);

x ∧ x = 0 i y ∧ y = 0.

Lema 1.7.6. Siguin f ∈ Tp(E) i g ∈ Tq(E). Aleshores

A(f ⊗ g) = A(A(f)⊗ g) = A(f ⊗A(g)).


Proposicio 1.7.7. Siguin f, f ′ ∈ Tp(E), g, g′ ∈ Tq(E), h ∈ Tr(E), i λ ∈ K . Aleshores

(a) (f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h);

(b) (λf) ∧ g = λ(f ∧ g) = f ∧ (λg);

(c) f ∧ (g + g′) = f ∧ g + f ∧ g′ ;

(d) (f + f ′) ∧ g = f ∧ g + f ′ ∧ g ;

(e) g ∧ f = (−1)pqf ∧ g .

Corol.lari 1.7.8. Siguin f ∈ Tp(E), g ∈ Tq(E) i h ∈ Tr(E). Aleshores l’expressiof ∧ g ∧ h te sentit i s’enten indistintament com (f ∧ g) ∧ h o be com f ∧ (g ∧ h). Ames, coincideix amb

f ∧ g ∧ h =(p+ q + r)!

p!q!r!A(f ⊗ g ⊗ h).

Corol.lari 1.7.9. Siguin x1, . . . , xp ∈ E . Aleshores

x1 ∧ . . . ∧ xp = p!A(x1 ⊗ . . .⊗ xp) =∑s∈Sp

ε(s)(xs(1) ⊗ . . .⊗ xs(p)).

Proposicio 1.7.10. Siguin u1, . . . , up ∈ E∗ , x1, . . . , xp ∈ E , s ∈ S p i t = s−1 ∈ S p .Aleshores

s(u1 ∧ . . . ∧ up) = ut(1) ∧ . . . ∧ ut(p) i s(x1 ∧ . . . ∧ xp) = xt(1) ∧ . . . ∧ xt(p).

Demostracio. Hem provat que s(A(f)) = A(s(f)) i s(u1⊗ . . .⊗up) = ut(1)⊗ . . .⊗ut(p) .Aixı

s(u1 ∧ . . . ∧ up) = s(p!A(u1 ⊗ . . .⊗ up)) =

p!A(s(u1 ⊗ . . .⊗ up)) = p!A(ut(1) ⊗ . . .⊗ ut(p)) = ut(1) ∧ . . . ∧ ut(p).

Analogament per a tensors contravariants.

Proposicio 1.7.11. Siguin u1, . . . , up ∈ E∗ , x1, . . . , xp ∈ E i s ∈ S p . Aleshores

us(1) ∧ . . . ∧ us(p) = ε(s)u1 ∧ . . . ∧ up i xs(1) ∧ . . . ∧ xs(p) = ε(s)x1 ∧ . . . ∧ xp.

1.7. PRODUCTE EXTERIOR 27

En particular u1 ∧ . . . ∧ up = 0 i x1 ∧ . . . ∧ xp = 0, si ui = uj o xi = xj per a i < j .A mes a mes s(u1 ∧ . . .∧ up) = ε(s)u1 ∧ . . .∧ up i s(x1 ∧ . . .∧ xp) = ε(s)x1 ∧ . . .∧ xp .

Demostracio. Sigui t = s−1 ∈ S p . Hem provat que t(u1∧ . . .∧up) = us(1)∧ . . .∧us(p) .Recordem que tambe hem provat que s(A(f)) = ε(s)A(f). Aixı

us(1) ∧ . . . ∧ us(p) = t(u1 ∧ . . . ∧ up) = t(p!A(u1 ⊗ . . .⊗ up)) =

p!t(A(u1 ⊗ . . .⊗ up)) = p!ε(t)A(u1 ⊗ . . .⊗ up) = ε(s)u1 ∧ . . . ∧ up.

En particular, si ui = uj per a i < j , clarament u1 ∧ . . . ∧ up = 0. A mes, ja hem vistque s(u1∧ . . .∧up) = ut(1)∧ . . .∧ut(p) , on t = s−1 . En particular, aquest ultim es iguala ε(t)u1∧ . . .∧up = ε(s)u1∧ . . .∧up . Per tant, s(u1∧ . . .∧up) = ε(s)u1∧ . . .∧up .

Exercici 1.7.12. Siguin x1, . . . , xp ∈ E i u1, . . . , up ∈ E∗ . Observem que u1 ∧ . . . ∧ up ∈Ap(E) i que x1 ∧ . . . ∧ xp ∈ Ap(E). Aleshores

(u1 ∧ . . . ∧ up)(x1, . . . , xp) = (x1 ∧ . . . ∧ xp)(u1, . . . , up).

Observar que per a p = 1, s’obte u1(x1) = x1(u1). A mes, si s ∈ S p ,

(s(u1 ∧ . . . ∧ up))(x1, . . . , xp) = (xs(1) ∧ . . . ∧ xs(p))(u1, . . . , up).

En particular, si t = s−1 ,

s(u1 ∧ . . . ∧ up)(x1, . . . , xp) = (u1 ∧ . . . ∧ up)(xt(1), . . . , xt(p))

Demostracio. Notant t = s−1 ∈ S p , ε(s) = ε(t), i com que {s−1 | s ∈ S p} = S p ,tenim

(u1 ∧ . . . ∧ up)(x1, . . . , xp) = p!A(u1 ⊗ . . .⊗ up)(x1, . . . , xp) =∑s∈Sp

ε(s)s(u1 ⊗ . . .⊗ up)(x1, . . . , xp) =∑s∈Sp

ε(s)ut(1)(x1) . . . ut(p)(xp) =

∑s∈Sp

ε(t)x1(ut(1)) . . . xp(ut(p)) =∑s∈Sp

ε(t)t(x1 ⊗ . . .⊗ xp)(u1, . . . , up) =

∑w∈Sp

ε(w)w(x1 ⊗ . . .⊗ xp)(u1, . . . , up) = p!A(x1 ⊗ . . .⊗ xp)(u1, . . . , up) =

(x1 ∧ . . . ∧ xp)(u1, . . . , up).

D’altra banda, fix s ∈ S p ,

(s(u1 ∧ . . . ∧ up))(x1, . . . , xp) = ε(s)(u1 ∧ . . . ∧ up)(x1, . . . , xp) =

ε(s)(x1 ∧ . . . ∧ xp)(u1, . . . , up) = (xs(1) ∧ . . . ∧ xs(p))(u1, . . . , up).


Finalment, si s ∈ S p i t = s−1 , aleshores

s(u1 ∧ . . . ∧ up)(x1, . . . , xp) = (xs(1) ∧ . . . ∧ xs(p))(u1, . . . , up)(ε(s)x1 ∧ . . . ∧ xp)(u1, . . . , up) = (ε(t)x1 ∧ . . . ∧ xp)(u1, . . . , up) =

(xt(1) ∧ . . . ∧ xt(p))(u1, . . . , up) = (u1 ∧ . . . ∧ up)(xt(1), . . . , xt(p)).

1.8 Bases dels tensors antisimetrics

En general nomes enunciarem els resultats per a tensors covariants (o contravariants).Estudieu si el resultat analeg tambe es cert per a tensors contravariants (o covariants).

Teorema 1.8.1. Es compleix que {ei1 ∧ . . .∧ eip}1≤i1<...<ip≤n es una base de Ap(E). Enparticular, dimAp(E) =

(np

).

Corol.lari 1.8.2. Si p > n, dimAp(E) = 0.

Si p = n, dimAn(E) = 1 i una base de An(E) es {e1 ∧ . . . ∧ en}.

Si p = 1, dimA1(E) = n, i una base de A1(E) = E es {e1, . . . , en}.

Si p = 0, dimA0(E) = 1 i A0(E) ∼= K .

Corol.lari 1.8.3. Siguin x1, . . . , xp ∈ E . Aleshores x1, . . . , xp son linealment indepen-dents si i nomes si x1 ∧ . . . ∧ xp 6= 0.

Exemple 1.8.4. Suposem dimE = 3. Aleshores A0(E) ∼= K , A1(E) ∼= E , dimA2(E) =3 i A3(E) ∼= K . Si e = e1, e2, e3 es una base de E , aleshores e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3 esuna base de A2(E) i e1 ∧ e2 ∧ e3 es una base de A3(E).

Prenem x = x1e1 + x2e2 + x3e3 i y = y1e1 + y2e2 + y3e3 . Aleshores

x ∧ y =

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3y1 y2 y3

e2 ∧ e3 e3 ∧ e1 e1 ∧ e2

∣∣∣∣∣∣ ,on aquest determinant s’ha d’entendre com el vector de A2(E) que s’obte quan desen-volupem el determinant per la tercera fila.

Proposicio 1.8.5. Siguin x1, . . . , xp ∈ E , p ≤ n. Sigui ai1,...,ip el determinant de lamatriu p× p que te per columnes les components dels vectors x1, . . . , xp en els vectorsei1 , . . . , eip . Aleshores

x1 ∧ . . . ∧ xp =∑

1≤i1<...<ip≤nai1,...,ip(ei1 ∧ . . . ∧ eip).

En particular, si p = n, aleshores x1 ∧ . . . ∧ xn = dete(x)e1 ∧ . . . ∧ en .

1.9. PRODUCTE TENSORIAL D’ESPAIS VECTORIALS 29

1.9 Producte tensorial d’espais vectorials

En aquest punt, E i F son dos espais vectorials sobre un cos K , u = u1, . . . , un esuna base de E i v = v1, . . . , vm es una base de F , dimE = n , dimF = m .

Notacio 1.9.1. Anomenarem un parell a (G,ϕ), on G es un espai vectorial sobre K iϕ : E × F → G es una aplicacio bilineal. Un morfisme de parells f : (G,ϕ) → (H,ψ)de (G,ϕ) a (H,ψ) es una aplicacio lineal f : G→ H tal que f ◦ ϕ = ψ , es a dir, quefa commutatiu el diagrama

E × F ϕ−→ Gψ ↓ ↙f

H

Exemple 1.9.2. Considerem L2(E∗×F ∗; K) = {g : E∗×F ∗ → K | g bilineal} , que es un

espai vectorial. Via els isomorfismes canonics E ∼= E∗∗ i F ∼= F ∗∗ , x ∈ E s’identificaamb x ∈ E∗∗ i y ∈ F s’identifica amb y ∈ F ∗∗ . Definim el producte tensorial de x iy com x⊗ y : E∗ × F ∗ → K , on, si ω ∈ E∗ i ρ ∈ F ∗ , aleshores

(x⊗ y)(ω, ρ) = (x⊗ y)(ω, ρ) = x(ω)y(ρ) = ω(x)ρ(y).

Es a dir, x⊗ y es un element de L2(E∗ ×F ∗; K). Sigui τ : E ×F → L2(E

∗ ×F ∗; K)definida per, si x ∈ E i y ∈ F , τ(x, y) := x⊗ y . Comproveu que τ esta ben definida ique es bilineal. Aixı, (L2(E

∗ × F ∗; K), τ) es un parell.

Comproveu que {τ(ui, vj)}i,j = {ui ⊗ vj}i,j es una base de L2(E∗ × F ∗; K). En

particular, dim L2(E∗ × F ∗; K) = nm .

En L2(E∗ × F ∗; K) tenim els elements de la forma x ⊗ y , amb x ∈ E i y ∈ F .

Aixı denotarem L2(E∗ × F ∗; K) per E ⊗ F . Alerta pero, que si n > 1, no tots els

elements de E⊗F son productes tensorials d’un element de E i un de F . Per exempleu1 ⊗ v1 + u2 ⊗ v1 no es igual a un element de la forma x⊗ y . Comproveu-ho!

Definicio 1.9.3. Un producte tensorial de E i F es un parell (G,ϕ) que compleix lapropietat seguent: per a cada parell (H,ψ) existeix un unic morfisme de parells

f : (G,ϕ)→ (H,ψ).

Aquesta propietat, l’anomenem la propietat universal del producte tensorial. La deno-tarem PU.

Proposicio 1.9.4. Si (G1, ϕ1) i (G2, ϕ2) son dos productes tensorials de E i F , aleshoresexisteix un isomorfisme de parells f : (G1, ϕ1) → (G2, ϕ2). Es a dir, un productetensorial de E i F es unic llevat d’isomorfisme de parells. En direm “el” productetensorial de E i F .

Proposicio 1.9.5. Sigui (G,ϕ) un parell, ϕ : E × F → G bilineal. Son equivalents:


(1) (G,ϕ) es el producte tensorial de E i F , es a dir, compleix la PU.

(2) Existeixen una base u de E i una base v de F amb {ϕ(ui, vj)}i,j base de G.

(3) Per a qualssevol base u de E i base v de F , {ϕ(ui, vj)}i,j es base de G.

Demostracio. La implicacio (3) ⇒ (2) es clara. Vegem (2) ⇒ (1). Per hipotesi (2),{ϕ(ui, vj)} es base de G . Sigui (H,ψ) un parell. Volem veure que existeix un unicmorfisme de parells f : (G,ϕ) → (H,ψ). Com que f ◦ ϕ ha de ser igual a ψ , aixoforca f(ϕ(ui, vj)) = ψ(ui, vj). Com que les aplicacions lineals queden unıvocamentdeterminades per la imatge d’una base, deduım que existeix una unica aplicacio linealf tal que f(ϕ(ui, vj)) = ψ(ui, vj), per a tot i, j .

Vegem (1)⇒ (3). Per l’exemple fet abans (L2(E∗ × F ∗; K), τ) = (E ⊗ F, τ) es un

parell i {τ(ui, vj)}i,j = {ui⊗ vj}i,j n’es una base, per a qualssevol bases u de E i v deF . Per hipotesi (1), (G,ϕ) verifica la PU. Per tant, existeix un unic morfisme de parellsf : (G,ϕ) → (E ⊗ F, τ), es a dir, f ◦ ϕ = τ i f(ϕ(ui, vj)) = τ(ui, vj) = ui ⊗ vj . Comque els {ui ⊗ vj}i,j son linealment independents, aleshores {ϕ(ui, vj)}i,j son vectorslinealment independents de G . A mes a mes, generen G . Si {ϕ(ui, vj)}i,j no generessinG , completem a {ϕ(ui, vj)}i,j ∪ {w} ∪A , una base de G . Prenem g1, g2 : G→ E ⊗ Fdefinides per gl(ϕ(ui, vj)) = ui ⊗ vj , gl(A) = 0, per a l = 1, 2, i g1(w) = u1 ⊗ v1 ig2(w) = 0. Aleshores g1 i g2 son dues aplicacions lineals diferents tals que gl ◦ ϕ = τ ,una contradiccio amb la hipotesi (1).

Corol.lari 1.9.6. El parell (E ⊗ F, τ) = (L2(E∗ × F ∗; K), τ), amb

τ : E × F → L2(E∗ × F ∗;K),

definit per τ(x, y) = x⊗ y , es “el” producte tensorial de E i F .

Demostracio. Hem vist en l’exemple fet abans que (L2(E∗×F ∗; K), τ) es efectivament

un parell. A mes, tambe s’ha provat que si u es una base de E i v es una base deF , aleshores {τ(ui, vj)}i,j = {ui ⊗ vj}i,j es una base de L2(E

∗ × F ∗; K). Aleshoresapliquem (2)⇒ (1) de la proposicio anterior.

Proposicio 1.9.7. Sigui G un espai vectorial sobre el cos K . Aleshores l’aplicacio

φ : L2(E × F ;G)→ L1(E ⊗ F ;G)

definida per φ(ϕ) = f , on f : E ⊗F → G es l’unica aplicacio lineal tal que f ◦ τ = ϕ,es un isomorfisme d’espais vectorials.

Demostracio. Per la propietat universal del producte tensorial, donada ϕ : E×F → G ,existeix una unica aplicacio lineal f : E ⊗ F → G que fa commutatiu el diagrama

1.9. PRODUCTE TENSORIAL D’ESPAIS VECTORIALS 31

seguent:

E × F τ−→ E ⊗ Fϕ ↓ ↙f

G

Es a dir, f ◦ τ = ϕ . Aixı φ(ϕ) = f , on f ◦ τ = ϕ , esta ben definida. Es clar que φ esinjectiva, perque si φ(ϕ) = φ(ψ), aleshores ϕ = φ(ϕ) ◦ τ = φ(ψ) ◦ τ = ψ . Tambe esexhaustiva: donada g : E ⊗ F → G , prenem com a antiimatge ϕ := g ◦ τ . Finalment,comproveu que φ es lineal i bijectiva.

Corol.lari 1.9.8. Existeix un isomorfisme (E ⊗ F )∗ ∼= E∗ ⊗ F ∗ .

Demostracio. Un model de producte tensorial de E∗ i F ∗ es

E∗ ⊗ F ∗ = L2(E∗∗ × F ∗∗;K).

Tambe tenim els isomorfismes canonics E ∼= E∗∗ , F ∼= F ∗∗ . Si en la proposicio anteriorprenem G = K obtenim un isomorfisme L2(E × F ; K) ∼= L1(E ⊗ F ; K) = (E ⊗ F )∗ .Ajuntant els tres fets:

E∗ ⊗ F ∗ = L2(E∗∗ × F ∗∗;K) = L2(E × F ;K) = (E ⊗ F )∗.

Observacio 1.9.9. Vegem com la notacio “tensorial” es coherent amb la notacio de pro-ducte tensorial de tensors utilitzada anteriorment. En efecte, prenem E = F en elsresultats anteriors. Un model de E∗⊗E∗ es L2(E

∗∗×E∗∗; K); d’altra banda, E ∼= E∗∗

i per definicio T2(E) = L2(E × E; K). Ajuntant els tres fets,

T2(E) = L2(E × E;K) = L2(E∗∗ × E∗∗;K) = E∗ ⊗ E∗.

Es a dir, quan parlem de producte tensorial u ⊗ v en E∗ ⊗ E∗ d’elements u, v ∈ E∗coincideix amb el producte tensorial u ⊗ v en T2(E) de tensors 1-covariants u, v ∈T1(E). Analogament, i tenint present que un model de E ⊗ E es L2(E

∗ × E∗; K),aleshores:

T 2(E) = L2(E∗ × E∗;K) = E ⊗ E

i quan parlem de producte tensorial x ⊗ y en E ⊗ E d’elements x, y ∈ E coincideixamb el producte tensorial x⊗ y de tensors 1-contravariants x, y ∈ T 1(E).

Sumari 1.9.10. Siguin E i F dos espais vectorials sobre un cos K .

• Existeix el producte tensorial (E ⊗ F, τ) i es unic llevat isomorfisme de parells.


• Un model es (E ⊗ F, τ) = (L2(E∗ × E∗; K), τ).

• Als elements τ(x, y) se’ls denota x ⊗ y , notacio consistent amb la de productetensorial de tensors, quan E = F .

• Com que τ es bilineal, es compleix (ax1 + a2x2)⊗ y = a1(x1 ⊗ y) + a2(x2 ⊗ y) ix⊗ (b1y1 + b2y2) = b1(x⊗ y1) + b2(x⊗ y2).

• Si u es base de E i v es base de F , {ui ⊗ vj}i,j es base de E ⊗ F .

• τ no es lineal, es bilineal. Per tant, encara que {τ(ui ⊗ vj)}i,j sigui una base deE ⊗ F , aixo no implica que τ sigui exhaustiva.

• Els elements de E ⊗ F son de la forma∑xi ⊗ yi .

• Els elements de E ⊗ F de la forma x⊗ y s’anomenem descomponibles.

Exemple 1.9.11. Si E = R2 , en E ⊗ E , (1, 1)⊗ (1, 4) + (1,−2)⊗ (−1, 2) = 6e1 ⊗ e2 +3e2 ⊗ e1 , on e1 = (1, 0) i e2 = (0, 1).

Tema 2

Espai projectiu

2.1 Definicions

Definicio 2.1.1. Un espai projectiu sobre un cos K es una terna (P , E, π), on P es unconjunt, E es un espai vectorial sobre K de dimensio finita i π : E \ {0} → P es unaaplicacio tal que

(1) π exhaustiva;

(2) π(u) = π(v) si i nomes si u = λv , per a cert λ ∈ K .

Denotarem P enlloc de (P , E, π) si no cal fer emfasi en l’estructura donada per E iπ . Els elements de P s’anomenen punts i si p = π(u), u s’anomena un representantde p . L’element p = π(u) tambe es denota [u] o [u]π si cal especificar l’aplicacio π .

Definicio 2.1.2. La dimensio de P es dim P = dimE − 1. A vegades escriurem Pnenlloc de P per especificar un espai projectiu de dimensio n .

Exemple 2.1.3. Sigui (P , E, π) un espai projectiu. Si E = {0} , com que π es exhaustivai E \ {0} = ∅ , aixo forca P = ∅ . Per la definicio anterior, diem que el buit es l’espaiprojectiu de dimensio −1.

Exemple 2.1.4. Sigui (P , E, π) un espai projectiu. Suposem que E = 〈u〉 es l’espaivectorial generat per un vector no nul u ∈ E . Aleshores, tot v ∈ E , v 6= 0, verificaque u = λv . Per tant, π(u) = π(v). Com que π es exhaustiva, aleshores P = {π(u)}es un sol punt. Per la definicio anterior, dim P = 0.

Exemple 2.1.5. Sigui E un espai vectorial sobre K , dimE = n+ 1. Sigui

P(E) = {subespais vectorials de E de dimensio 1}.

Sigui π : E \ {0} → P(E) definit per π(u) = 〈u〉 , on 〈u〉 denota el subespai vectorialgenerat pel vector u . Aleshores (P(E), E, π) es un espai projectiu de dimensio n .Comproveu-ho! S’anomena el projectivitzat de E .

33

34 TEMA 2. ESPAI PROJECTIU

Observacio 2.1.6. Sigui (P , E, π) un espai projectiu qualsevol. Considerem el conjuntquocient E = E \ {0}/{u ∼ v ⇔ u = λv} de les classes d’equivalencia u u no nuls deE modul la relacio d’equivalencia ser proporcionals. Es a dir,

u = {v ∈ E \ {0} | ∃λ ∈ K \ {0} tal que u = λv}.

Tenim doncs bijeccions naturals:

P(E) ↔ E ↔ P〈u〉 ↔ u ↔ [u].

O sigui, una bijeccio P(E)↔ P donada per 〈u〉 ↔ [u] .

Pregunta 2.1.7. Per que doncs, assemblant-se tant un espai projectiu (P , E, π) amb elprojectivitzat P(E) d’un espai vectorial E , ja no l’hem definit directament aixı? Laresposta es que a pesar que la definicio donada es una mica mes complicada, a la llargaes mes ductil. Ho veurem mes endavant, especialment, en el tema de dualitat.

Notacio 2.1.8. L’observacio anterior justifica la notacio seguent que farem servir al llargde tots aquests apunts. Siguin E un espai vectorial i u ∈ E \ {0} . Quan escriguem [u]denotarem un element, habitualment d’un espai projectiu P = (P , E, π), i entendremque, si v ∈ E \ {0} , aleshores [u] = [v] si i nomes si existeix un λ ∈ K \ {0} tal queu = λv .

Exemple 2.1.9. Prenem E = Kn+1 i denotem P(E) = Pn(K) = PnK l’espai projectiuestandard n-dimensional. Tenim π : Kn+1 \ {0} → Pn(K), definit per

π(x) = π((x0, . . . , xn)) = [(x0, . . . , xn)] = 〈(x0, . . . , xn)〉,

la recta generada pel vector no nul (x0, . . . , xn). Si x0 6= 0, aleshores [(x0, . . . , xn)] =[(1, x1/x0, . . . , xn/x0)] i tenim una correspondencia bijectiva

Kn ↔ {x ∈ Kn+1 | x0 = 1} ↔ {〈(x0, . . . , xn)〉 ∈ Pn(K) | x0 6= 0}(x1, . . . , xn) 7→ (1, x1, . . . , xn) 7→ 〈(1, x1, . . . , xn)〉(x1x0 , . . . ,

xnx0

) ←[ (1, x1x0 , . . . ,xnx0

) ←[ 〈(x0, x1, . . . , xn)〉.

Observem que {〈(x0, . . . , xn)〉 ∈ Pn(K) | x0 = 0} ↔ Pn−1(K). Amb aixo i la bijeccioanterior, deduım que Pn(K) ≈ Kn ∪ Pn−1(K).

Per exemple, per a n = 1, P1(K) ≈ K1 ∪ P0(K), on ja hem vist que P0(K) esun punt. Per tant, una recta projectiva (estandard) es una recta afı on s’ha afegit unpunt. De fet, P1(K) ∼= S1

K es homeomorf a una circumferencia.

Analogament, P2(K) ≈ K2 ∪ P1(K), es a dir, un apla projectiu es un pla afı ons’ha afegit un espai projectiu de dimensio 1. Observem que

P2(K) ∼= S2K/p ∼ −p ∼= D2K/p ∼ −p, p ∈ S1K,

on S2K es l’esfera 2-dimensional i D2

K es un disc en el pla.

2.2. VARIETATS LINEALS PROJECTIVES 35

2.2 Varietats lineals projectives

En tot aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n .

Definicio 2.2.1. Una varietat lineal projectiva, vlp, es un subconjunt de P de la formaL = π(F \ {0}), on F es un subespai vectorial de E . Notarem L = [F ] i direm que Fdefineix o representa L .

Un subespai defineix una vlp. Recıprocament, una vlp L determina el subespai queel representa. En efecte.

Lema 2.2.2. Sigui L = [F ] una vlp de P definida pel sev F . Aleshores π−1(L) = F\{0}.En particular, F = π−1(L) ∪ {0}. A mes, si p ∈ L i u ∈ E son tals que p = π(u),aleshores u ∈ F .

Observacio 2.2.3. Si L = [F ] es una vlp de P = (P , E, π), aleshores L te estructurad’espai projectiu via L = (L,F, π|F\{0}), on π|F\{0} : F \ {0} → L es la restriccio deπ : E \ {0} → P a F \ {0} . Qualsevol representant u ∈ E d’un punt p ∈ L ho esalhora tant per π com per la seva restriccio π|F\{0} , ja que si p = π(u) ∈ L , aleshoresu ∈ F .

Definicio 2.2.4. Definim dimensio d’una vlp L = [F ] com dimL = dimF−1. Observemque esta ben definit. En efecte, en primer lloc perque L determina F de maneraunıvoca. D’altra banda, si pensem L com espai projectiu, aleshores la definicio dedimensio com a vlp i la definicio de dimensio com a espai projectiu coincideixen.

Exemples 2.2.5. El buit es pot pensar com la vlp definida pel sev 0, es a dir, ∅ = [{0}] .En particular, te dimensio, −1. Tot l’espai P es pot pensar com la vlp definida perl’espai vectorial E , es a dir, P = [E] . En particular, te dimensio n . El conjunt formatper un sol punt {p} , on p = π(u), u ∈ E \ {0} , es pot pensar com la vlp definida perla recta generada pel vector no nul u , es a dir, {p} = {π(u)} = π(〈u〉 \ {0}) = [〈u〉 ] .En particular, com que dim 〈u〉 = 1, aleshores dim{p} = 0. Les vlp de dimensio 0, 1,2 i n− 1 s’anomenen punts, rectes, plans i hiperplans.

Observacio 2.2.6. Hi ha una bijeccio Sevd+1(E) ↔ Vlpd(P) definida per F 7→ [F ] iπ−1(L) ∪ {0} ←[ L .

Proposicio 2.2.7. Siguin L1 = [F1] i L2 = [F2] vlp. Aleshores

(a) L1 ⊆ L2 ⇔ F1 ⊆ F2 .

(b) Si L1 ⊆ L2 , aleshores dimL1 ≤ dimL2 .

(c) SI L1 ⊆ L2 i dimL1 = dimL2 , aleshores L1 = L2 .

Observacio 2.2.8. Sigui L vlp de P . Aleshores −1 ≤ dimL ≤ n . A mes, dimL = −1si i nomes si L = ∅ . Analogament, dimL = n si i nomes si L = P .


2.3 Interseccio i suma de varietats lineals projectives

En tot aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n .

Proposicio 2.3.1. Siguin L1 = [F1] i L2 = [F2] dues vlp de P . Aleshores L1 ∩ L2 =[F1 ∩ F2], que es la vlp definida per F1 ∩ F2 .

Mes en general.

Exercici 2.3.2. Sigui Lα = [Fα] una col.leccio de vlp de P . Aleshores ∩αLα = [∩αFα] ,que es la vlp definida per ∩αFα .

Definicio 2.3.3. Sigui A un subconjunt de P . La varietat lineal projectiva generada perA , que denotarem per v(A), es la menor vlp de P que conte A . Quan diem menorens referim a que si L es una vlp de P que conte A , aleshores L tambe conte v(A).Es comprova que v(A) = ∩L⊇AL es la interseccio de totes les vlp L que contenen A .

Proposicio 2.3.4. Sigui A un subconjunt de P . Aleshores v(A) = [〈π−1(A)〉 ], on〈π−1(A)〉 es el sev de E generat per π−1(A).

Definicio 2.3.5. Siguin L1 = [F1] i L2 = [F2] dues vlp de P . La suma (o el joint) deL1 i L2 es la vlp L1 ∨ L2 = [F1 + F2] .

Proposicio 2.3.6. La suma de L1 i L2 es la menor vlp de P que conte L1 i L2 alhora.Es a dir, L1 ∨ L2 = v(L1 ∪ L2).

Definicio 2.3.7. Siguin L1 = [F1], . . . , Lr = [Fr] vlp de P . La suma de L1, . . . , Lr es,per definicio, L1 ∨ . . . ∨ Lr = [F1 + . . .+ Fr] . Clarament coincideix amb v(∪Li).

Exemple 2.3.8. Siguin q0 = [u0], . . . , qs = [us] un conjunt de s+1 punts de P . Recordemque els punts es poden pensar com a vlp via {qi} = [〈ui 〉 ] . Aixı entendrem q0∨ . . .∨qscom {q0} ∨ . . . ∨ {qs} . Per tant, q0 ∨ . . . ∨ qs = [〈u0 〉 + . . . + 〈us 〉 ] = [〈u0, . . . , us 〉 ] ien direm la vlp generada pels punts q0 . . . , qs .

2.4 Formula de Grassmann

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n .

Teorema 2.4.1. Formula de Grassmann. Siguin L1 i L2 dues vlp de P . Aleshores

dimL1 + dimL2 = dimL1 ∩ L2 + dimL1 ∨ L2.

Observacio 2.4.2. Aquest resultat no es cert en un espai afı. Prenem per exemple duesrectes afins L1 i L2 disjuntes. Si definıssim dim ∅ = −1, aleshores amb L1 = {y = 1} iL2 = {y = 2} a R2 , tindrıem L1∩L2 = ∅ , L1∨L2 = R2 i dimL1+dimL2 = 2, mentreque dimL1∩L2+dimL1∨L2 = 1. Per contra, si definıssim dim ∅ = 0, aleshores prenentL1 = 〈(1, 0, 0)〉 i L2 = (0, 0, 1)+ 〈(0, 1, 0)〉 a R3 , tindrıem L1∩L2 = ∅ , L1∨L2 = R3

i dimL1 + dimL2 = 2, mentre que dimL1 ∩ L2 + dimL1 ∨ L2 = 3.

2.5. VARIETATS INDEPENDENTS. SUPLEMENTARI 37

Corol.lari 2.4.3. Siguin p ∈ P un punt, L ⊂ P una vlp i H un hiperpla de P .

(1) Si p 6∈ L, aleshores dimL ∨ p = dimL+ 1.

(2) Si H 6⊃ L, aleshores dimL ∩H = dimL− 1.

Corol.lari 2.4.4. A P es verifiquen les propietats seguents.

(1) Dos punts diferents generen una recta.

(2) Un punt i una recta que no el conte generen un pla.

(3) La interseccio de dues rectes diferents de P2 es un punt.

(4) La interseccio d’una recta i un pla que no la conte a P3 es un punt.

(5) La interseccio de dos plans de P3 es una recta.

(6) Si L1 i L2 son dues rectes de P3 , aleshores es poden donar dos casos: o beL1 ∩ L2 = ∅ i L1 ∨ L2 = P3 , o be L1 ∩ L2 6= ∅ i L1 ∨ L2 es un pla.

Corol.lari 2.4.5. Si L1 i L2 son dues vlp de P i dimL1 + dimL2 ≥ dim P , aleshoresL1 ∩ L2 6= ∅.

2.5 Varietats independents. Suplementari

En tot aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n . Comencemper recordar la nocio de subsepais vectorials independents.

Proposicio 2.5.1. Siguin F0, F1, . . . , Fr sev de E . Aleshores son equivalents:

(i) la unio d’una base de cada un dels Fi es una base del sev suma F0+F1+ . . .+Fr ;

(ii) dim(F0 + F1 + . . .+ Fr) = dimF0 + dimF1 + . . .+ dimFr .

Definicio 2.5.2. Es diu que F0, F1, . . . , Fr son linealment independents, li, si compleixen(i) i/o (ii). En aquest cas es diu que el sev suma F0 + F1 + . . . + Fr es suma directei es pot escriure F0 ⊕ F1 ⊕ . . . ⊕ Fr . En el cas particular de dos sev F0, F1 , aleshores(i) i (ii) de la proposicio anterior tambe son equivalents a (iii): F0 ∩ F1 = 0.

Definicio 2.5.3. Siguin L0 = [F0] , L1 = [F1], . . . , Lr = [Fr] vlp de P . Direm queL0, L1, . . . , Lr son linealment independents, li, si F0, F1, . . . , Fr son li.

Observacio 2.5.4. Son equivalents:

(i) L0, L1, . . . , Lr son linealment independents;

(ii) dim(L0 ∨ L1 ∨ . . . ∨ Lr) = dimL0 + dimL1 + . . .+ dimLr + r .


Un cas particular d’especial interes es el de les varietats puntuals. Ja sabem queun punt p = π(u) = [u] ∈ P el podem pensar com una varietat lineal projectiva dedimensio 0. En efecte, {p} = {π(u)} = π(〈u〉 \ {0}) = [〈u〉 ] , que es la vlp definidapel sev 〈u〉 . Particularitzant, la definicio de li a punts, obtenim l’observacio seguent.

Observacio 2.5.5. Siguin q0 = [u0], . . . , qr = [ur] un conjunt de r + 1 punts de P . Perdefinicio q0, . . . , qr son li si i nomes si els sev 〈u0 〉 , . . . , 〈ur 〉 son li, es a dir, si i nomessi dim 〈u0, . . . , ur 〉 = r + 1. Per tant, son equivalents:

q0, . . . , qr son li ⇔ u0, . . . , ur son li ⇔ dim(q0 ∨ . . . ∨ qr) = r.

En particular, un subconjunt d’un conjunt de punts li es un conjunt de punts li.

Definicio 2.5.6. Els punts q0 = [u0], . . . , qr = [ur] son linealment dependents, ld, si noson li. Es a dir, si u0, . . . , ur son ld, o be, si dim(q0 ∨ . . . ∨ qr) ≤ r − 1.

Proposicio 2.5.7. Sigui L una vlp de P de dimL = d i siguin q0 = [u0], . . . , qr = [ur]un conjunt de r + 1 punts de L.

(a) Si q0, . . . , qr son li, aleshores r ≤ d. En aquest cas, existeixen qr+1, . . . , qd en Ltals que q0, . . . , qr, qr+1, . . . , qd son li i L = q0 ∨ . . . ∨ qr ∨ qr+1 ∨ . . . ∨ qd .

(b) Si q0, . . . , qr generen L, es a dir, si L = q0 ∨ . . . ∨ qr , aleshores r ≥ d. Enaquest cas, existeix un subconjunt de d + 1 punts qi0 , . . . , qid dels q0, . . . , qr talsque qi0 , . . . , qid son li i L = qi0 ∨ . . . ∨ qid .

Proposicio 2.5.8. Sigui L una vlp de P de dimL = d i siguin q0 = [u0], . . . , qd = [ud]un conjunt de d+ 1 punts de L.

(a) Si q0, . . . , qd generen L, es a dir, L = q0 ∨ . . . ∨ qd , aleshores q0, . . . , qd tambeson li.

(b) Si q0, . . . , qd son li, aleshores q0, . . . , qd tambe generen L.

Definicio 2.5.9. Sigui L una vlp de P . Un suplementari de L es una vlp M de P talque L ∨M = P i L ∩M = ∅ .

Observacio 2.5.10. Per a construir un suplementari de L = [F ] , es suficient prendreu0, . . . , ud una base de F , la completem a una base u0, . . . , ud, ud+1, . . . , un de E ,considerem el sev G = 〈ud+1, . . . , un 〉 i prenem M = [G] . Aleshores es clar que M esun suplementari de L ja que L∨M = [F +G] = [E] = P i L∩M = [F ∩G] = [0] = ∅ .

Observacio 2.5.11. Observem que si M es un suplementari de L , aleshores dimM =n−dimL−1 (i no dimM = n−dimL , com podria semblar a primer cop d’ull). D’altrabanda, observem que dues rectes de P2 no son mai suplementaries l’una de l’altra (carla interseccio es no buida).

2.6. REFERENCIES PROJECTIVES 39

2.6 Referencies projectives


Idea 2.6.1. Prenem e = e0, . . . , en una base de E i siguin p0 = [e0], . . . , pn = [en]de P . Donat p = [x] ∈ P , aleshores x = x0e0 + . . . + xnen , on (x0, . . . , xn) =compe(x) ∈ Kn+1 son les components del vector x en la base e . Si p = [y] i y =y0e0 + . . . + ynen , com que y = λx , aleshores (y0, . . . , yn) = λ(x0, . . . , xn). Aixı, enPn(K), [(x0, . . . , xn)] = [(y0, . . . , yn)] i “semblaria” que aquest element es un candidata ser les “coordenades” del punt p en la “referencia” {p0, . . . , pn} . Tanmateix, pera cada punt pi , hem fet una eleccio d’un representant ei . Que passa si canviem derepresentant? Per exemple, si x0, x1 6= 0 i enlloc de prendre e0 com a representant dep0 , prenem e′0 = (1/2)e0 , aleshores x = x0e0 + . . .+xnen = 2x0e

′0 +x1e1 + . . .+xnen i

[(x0, x1, . . . , xn)] 6= [(2x0, x1, . . . , xn)]. Per tant, aquestes “coordenades” no estan bendefinides perque depenen de l’eleccio dels representants ei de cada pi . Per a arreglaraquest problema, agafarem un punt extra: el punt unitat, que forcara a que tots elsrepresentats escollits “vagin alhora”.

Definicio 2.6.2. Una referencia projectiva, rp, de P es un conjunt R = {p0, . . . , pn;U}de n+2 punts de P de manera que qualsevol subconjunt de n+1 punts es li. (Recordemque el cardinal maxim d’un conjunt de punts li de P es n + 1). Els punts p0, . . . , pns’anomenen els vertexs de la referencia i U s’anomena el punt unitat.

Exemple 2.6.3. Sigui e = e0, . . . , en una base de E . Comproveu que

R = {[e0], . . . , [en]; [e0 + . . .+ en]}

es una referencia projectiva de P .

Definicio 2.6.4. Sigui R = {p0, . . . , pn;U} una rp de P . Una base adaptada a R esuna base e0, . . . , en de E tal que p0 = [e0], . . . , pn = [en] i U = [e0 + . . .+ en] .

Proposicio 2.6.5. Sigui R = {p0, . . . , pn;U} una rp de P . Aleshores existeix e =e0, . . . , en , base adaptada a R . A mes a mes, si u = u0, . . . , un es una altra baseadaptada a R , aleshores existeix µ ∈ K \ {0} tal que ui = µei , per a tot i = 0, . . . , n.

Observacio 2.6.6. L’existencia del punt unitat forca a que el factor de proporcionalitatµ entre els possibles representants dels vertexs pi = [ei] = [ui] de la referencia R ,essent e i u bases adaptades a R , sigui constant.

Definicio 2.6.7. Sigui R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de P i sigui e =e0, . . . , en una base adaptada a R . Sigui p = [x] ∈ P , on x ∈ E , x 6= 0. Suposemque les components de x en la base e son compe(x) = (x0, . . . , xn), es a dir, x =x0e0 + . . . + xnen . Les coordenades projectives de p en R es l’element [(x0, . . . , xn)]de P(Kn+1), el projectivitzat de Kn+1 . Observem que les coordenades projectives


estan ben definides, ja que si canviem de representant p = [x] = [y] , aleshores x = λy ,i compe(x) = λcompe(y) i [compe(x)] = [compe(y)]. A mes a mes, si canviem debase adaptada u , aleshores u = µe i compu(x) = compµe(x) = (1/µ)compe(x) i[compu(x)] = [compe(x)].

Escriurem p = [x] = [(x0, . . . , xn)], “identificant”, com es habitual, punts ambcoordenades. Si cal especificar la referencia escriurem p = [x] = [(x0, . . . , xn)]R .

Exemple 2.6.8. Si R = {p0, . . . , pn;U} una rp de P , aleshores p0 = [(1, 0, . . . , 0)],p1 = [(0, 1, . . . , 0)], . . . , pn = [(0, . . . , 0, 1)] i U = [(1, . . . , 1)] en la referencia R .

Exemple 2.6.9. A P(R2) considerem R = {[(1, 2)], [(0, 3)]; [(2, 0)]} . Aleshores R esuna referencia projectiva de P(R2), una base adaptada es (2, 4), (0,−4) i les coorde-nades projectives del punt [(4, 4)] en la referencia R son [(2, 1)].

Exemple 2.6.10. La referencia estandard de PnR = P(Rn+1) es

R = {〈(1, 0, . . . , 0)〉, 〈(0, 1, . . . , 0)〉, . . . , 〈(0, 0, . . . , 1)〉; 〈(1, 1, . . . , 1)〉}.

2.7 Canvi de referencia

En tot aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n . Siguin R1 ={p0, . . . , pn;U} i R2 = {q0, . . . , qn;V } dues referencies projectives de P . Siguin e =e0, . . . , en i u = u0, . . . , un bases adaptades a R1 i R2 , respectivament. Sigui Me,u lamatriu del canvi de la base e a la base u , es a dir, la matriu que escriu per columnesles components dels vectors e en funcio dels vectors u .

Definicio 2.7.1. La matriu del canvi de R1 a R2 es l’element MR1,R2 = [Me,u] deP(Mn+1(K)), el projectivitzat de l’espai vectorial de les matrius quadrades Mn+1(K).O sigui, MR1,R2 = [Me,u] es el subespai vectorial de dimensio 1 generat per la matriuno nul.la Me,u . Aixı, [Me,u] = [N ]⇔ existeix λ ∈ K \ {0} tal que Me,u = λN .

Observacio 2.7.2. La matriu del canvi de rp MR1,R2 no depen de les bases adaptades.

Notacio 2.7.3. Sigui p = [x] ∈ P . Suposem que x = x0e0 + . . . + xnen i que x =y0u0 + . . .+ ynun . Es a dir, compe(x) = (x0, . . . , xn) i compu(x) = (y0, . . . , yn). Aixı,[(x0, . . . , xn)]R1 son les coordenades projectives de p en R1 i [(y0, . . . , yn)]R2 son lescoordenades projectives de p en R2 . Denotem

X = compe(x)> =

x0...xn

a la matriu columna (n + 1) × 1. Analogament, Y = compu(x)> . Observar queY = Me,uX . Denotarem [X] ∈ P(M(n+1)×1(K)) al corresponent element en l’espaiprojectiu el projectivitzat de M(n+1)×1(K) i analogament [Y ] ∈ P(M(n+1)×1(K)).

2.8. EQUACIONS DE VARIETATS LINEALS PROJECTIVES 41

Observacio 2.7.4. Siguin A ∈Mm×n(K) i B ∈Mn×r(K) dues matrius de rang maxim,m,n, r ≥ 1. Aleshores AB es de rang maxim. En particular, A,B,AB 6= 0. Ames a mes, si A′ = λA i B′ = µB , amb λ, µ ∈ K \ {0} , aleshores A′B′ = λµABtambe es de rang maxim. Aixo fa que, per a matrius de rang maxim, hom puguidefinir [A][B] com [AB] , on [−] vol dir el corresponent element en el projectivitzatde l’espai de les matrius. Aquest es el cas d’una matriu de canvi de rp MR1,R2 , jaque qualsevol representant es una matriu invertible, i dels elements [X] i [Y ] , associatsa les coordenades projectives d’un punt projectiu, ja que X i Y son no nul.les. Enconclusio, podem escriure sense cap ambiguitat:

[Y ] = [Me,uX] = [Me,u][X] = MR1,R2 [X].

Exemple 2.7.5. Si R1 = {[(1, 1)], [(1,−3)]; [(2,−2)]} i R2 = {[(2, 4)], [(0,−4)]; [(2, 0)]} ,rp de P(R2), la matriu del canvi de rp MR1,R2 es

MR1,R2 =

[(2 21 5

)].

2.8 Equacions de varietats lineals projectives

Com sempre, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n i R = {p0, . . . , pn;U}es una referencia projectiva de P , amb e = e0, . . . , en , una base adaptada.

Sigui L una vlp de dimensio d . Suposem que L = q0 ∨ . . . ∨ qd on qi = [ui] .Per tant, L = [〈u0, . . . , ud 〉 ] . Anomenem F = 〈u0, . . . , ud 〉 , al ev de dimensio d + 1generat per u0, . . . , ud . Sigui p = [x] = π(x) ∈ P .

Observacio 2.8.1. Si p = π(x) ∈ L = π(F \ {0}), aleshores x ∈ 〈u0, . . . , ud 〉 i x =λ0u0 + . . . λdud , per a cert (λ0, . . . , λs) ∈ Ks \ {0} . Tanmateix, (λ0, . . . , λs) dependels representants escollits, x de p , i u0, . . . , ud de q0, . . . , qd , que poden variar d’unmultiple per un escalar no nul, no necessariament el mateix per a tots ells. Cal anaren compte, doncs, en parlar d’equacions parametriques.

Observacio 2.8.2. Tenim p ∈ L si i nomes si x ∈ F , es dir, si i nomes si

compe(x) ∈ 〈compe(u0), . . . , compe(ud)〉.

Suposem compe(x) = (x0, . . . , xn) i anomenem X = compe(x)> . Sigui

Mu,e =

a0,0 . . . a0,d...

...an,0 . . . an,d

la matriu (n + 1) × (d + 1) que te per columnes compe(u0)

>, . . . , compe(ud)> , les

components dels vectors u0, . . . , ud en la base e . Com que els vectors u0, . . . , ud son


linealment independents, rang(Mu,e) = d + 1. Suposem que el menor format per lesprimeres d+ 1 files te determinant no nul.

Aleshores, p ∈ L es equivalent a dir rang(Mu,e | X) = rang(Mu,e) = d + 1. Osigui, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0,0 . . . a0,d x0...

......

ad,0 . . . ad,d xdad+1,0 . . . ad+1,d xd+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, . . . ,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0,0 . . . a0,d x0

......

...ad,0 . . . ad,d xdan,0 . . . an,d xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

la qual cosa defineix un sistema de n− d equacions lineals homogenies i de rang n− d .

Observem que si canviem els representants de p i dels punts q0, . . . , qd , les equacionsque s’obtenen son les mateixes llevat un factor multiplicatiu no nul. Pero com que lesequacions son homogenies, les solucions son les mateixes. Es a dir, sı que te sentit dirque les coordenades projectives [X] del punt p ∈ P verifiquen un sistema d’equacionslineal homogeni de rang n− d .

Conclusio 2.8.3. Donat el punt p ∈ P , tenim que p ∈ L si i nomes si les seves coorde-nades projectives en R verifiquen un sistema de n−d equacions lineals homogenies derang n − d . Recıprocament, les solucions d’un sistema lineal homogeni de rang r + 1defineixen una varietat lineal projectiva de dimensio n − r . Aquestes equacions lespodem anomenar cartesianes o implıcites.

2.9 Els teoremes de Desargues i de Pappus

Teorema 2.9.1. Teorema de Desargues. Siguin ABC i A′B′C ′ dos triangles d’unpla projectiu. Suposem que A 6= A′ , B 6= B′ i C 6= C ′ . Suposem que AB 6= A′B′ ,BC 6= B′C ′ i CA 6= C ′A′ . Si les rectes AA′ , BB′ i CC ′ son concurrents, aleshoresels punts AB ∩A′B′ , AC ∩A′C ′ i BC ∩B′C ′ son alineats.

Teorema 2.9.2. Teorema de Pappus. Siguin L i L′ dues rectes diferents d’un plaprojectiu i O = L ∩ L′ . Siguin O,A,B,C i O,A′, B′, C ′ quatre punts diferents de Li L′ , respectivament. Aleshores els punts AB′ ∩ A′B , AC ′ ∩ A′C i BC ′ ∩ B′C sonalineats.

2.10 Coordenada absoluta i rao doble

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n i L = π(F \ {0}) =[F ] es una recta projectiva de P , o sigui F es un sev amb dimF = 2. Recordem que Les pot pensar com un espai projectiu. Sigui R = {p0, p1;U} una referencia projectivade L i e = e0, e1 una base adaptada de R .

2.10. COORDENADA ABSOLUTA I RAO DOBLE 43

Notacio 2.10.1. Denotem K := K ∪ {∞} al cos K ampliat amb un element mes, elinfinit, amb l’aritmetica habitual, λ +∞ = ∞ i λ/∞ = 0, si λ ∈ K , i λ · ∞ = ∞ i∞/λ =∞ , si λ ∈ K \ {0} .

Definicio 2.10.2. Sigui p ∈ L . La coordenada absoluta de p en la referencia R es elnumero θ(p)=θR(p) ∈ K definit per:

θ(p) =

{∞ si p = p0;xy si p 6= p0 i p = [xe0 + ye1] te coordenades [(x, y)] en la referencia R.

Observacio 2.10.3. L’assignacio θ : L → K es una aplicacio ben definida, ja que sip 6= p0 te coordenades [(x, y)] o [(x′, y′)], aleshores y, y′ 6= 0 i existeix λ ∈ K \ {0}tal que x′ = λx i y′ = λy i, per tant, x′/y′ = x/y . A mes a mes, θ es una aplicaciobijectiva, ja que l’aplicacio ρ : K → L definida per:

ρ(λ) =

{p0 si λ =∞;[λe0 + e1] si λ 6=∞,

esta ben definida i es la inversa de θ . En particular, si K es infinit, L te infinits punts.

Definicio 2.10.4. Siguin q1, q2, q3, q4 quatre punts de L , almenys tres d’ells diferents.Suposem que les coordenades de qi en R son [(xi, yi)]. La rao doble dels quatre puntsq1, q2, q3, q4 es el numero (q1, q2, q3, q4) ∈ K definit per:

(q1, q2, q3, q4) =

∣∣∣∣ x3 x1y3 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣ x3 x2y3 y2

∣∣∣∣ :

∣∣∣∣ x4 x1y4 y1

∣∣∣∣∣∣∣∣ x4 x2y4 y2

∣∣∣∣ .Teorema 2.10.5. La rao doble (q1, q2, q3, q4) ∈ K esta ben definida i no depen de lareferencia escollida. A mes a mes, si denotem θi := θ(qi), aleshores

(q1, q2, q3, q4) =θ3 − θ1θ3 − θ2

:θ4 − θ1θ4 − θ2

.

En particular, si q1 6= q2 i R = {q1, q2;U}, aleshores

(q1, q2, q3, q4) =θ4θ3.

Si q1, q2, q3 son tres punts diferents i R = {q1, q2; q3}, aleshores (q1, q2, q3, q4) = θ4 .Es a dir, la rao doble de quatre punts diferents es la coordenada absoluta del quart enla referencia projectiva definida pels tres primers. En particular, si u1, u2 es una baseadaptada a R = {q1, q2; q3}, aleshores

q4 = [λu1 + u2]⇔ (q1, q2, q3, q4) = λ.


Proposicio 2.10.6. Propietat multiplicativa de la rao doble. Siguin q1, q2, q3, q4quatre punts de L, almenys tres d’ells diferents. Sigui q5 un cinque punt de L. Suposemque q1 6= q2 i que q3, q4, q5 6= q1, q2 . Aleshores

(q1, q2, q3, q4)(q1, q2, q4, q5) = (q1, q2, q3, q5).

Observacio 2.10.7. Siguin q1, q2, q3, q4 quatre punts de L . Suposem que q1, q2, q3 sondiferents. Proveu que (q1, q2, q3, q4) 6=∞ si i nomes si existeixen dos vectors linealmentindependents u, v ∈ F i existeix ρ ∈ K tals que q1 = [u] , q2 = [v] , q3 = [u + v] iq4 = [ρu+ v] . En aquest cas (q1, q2, q3, q4) = ρ .

Exemple 2.10.8. Calculeu la rao doble dels punts de P(R4) seguents: [(1, 1,−1, 1)],[(0, 1, 1,−1)], [(2, 1,−3, 3)], [(4, 3,−5,−5)].

Observacio 2.10.9. Siguin q1, q2, q3, q4 quatre punts de L , almenys tres d’ells diferents.Proveu que

(1) q1 = q3 o q2 = q4 si i nomes si (q1, q2, q3, q4) = 0;

(2) q2 = q3 o q1 = q4 si i nomes si (q1, q2, q3, q4) =∞ ;

(3) q1 = q2 o q3 = q4 si i nomes si (q1, q2, q3, q4) = 1.

Observacio 2.10.10. Suposem que q1, q2, q3, q4 son quatre punts diferents de L . Siguiρ = (q1, q2, q3, q4).

(a) Proveu que (q1, q2, q3, q4) = (q2, q1, q4, q3) = (q3, q4, q1, q2) = (q4, q3, q2, q1) = ρ .

(b) Proveu que (q2, q1, q3, q4) = 1/ρ , (q1, q3, q2, q4) = 1−ρ , (q2, q3, q1, q4) = (ρ−1)/ρ ,(q3, q1, q2, q4) = 1/(1− ρ) i que (q3, q2, q1, q4) = ρ/(ρ− 1).

(c) Deduıu les raons dobles de les restants permutacions.

Definicio 2.10.11. Siguin q1, q2, q3, q4 quatre punts de L , almenys tres d’ells diferents.Direm que q1, q2, q3, q4 formen quaterna harmonica si (q1, q2, q3, q4) = −1.

Observacio 2.10.12. Siguin q1, q2, q3, q4 quatre punts de L , almenys tres d’ells diferents.

(a) Proveu que q1, q2, q3, q4 formen quaterna harmonica si i nomes si son diferents i(q1, q2, q3, q4) = (q2, q1, q3, q4).

(b) Si (q1, q2, q3, q4) = −1, es diu que {q1, q2} i {q3, q4} es divideixen harmonica-ment. Proveu que la definicio es correcte, es a dir, que no depen de l’ordre dinsdels subconjunts {q1, q2} i {q3, q4} ni de l’ordre en que considerem aquests dossubconjunts.

(c) Proveu que les raons dobles obtingudes per permutacio d’una quaterna harmonicason 2 i 1/2 (a part de −1).

Tema 3

Espai afı i espai projectiu

3.1 Repas d’espais afins

Definicio 3.1.1. Un espai afı sobre un cos K es una terna A = (A , E,+), on A esun conjunt, E es un espai vectorial sobre K de dimensio finita i + es una aplicacio+ : A × E → A , (a, u) 7→ a+ u , que compleix

(1) a+ (u+ v) = (a+ u) + v , per a tot a ∈ A , u, v ∈ E ;

(2) a+ 0 = a , per a tot a ∈ A ;

(3) per a cada a, b ∈ A , existeix un unic u ∈ E tal que b = a + u . Aquest u el

denotem u = b− a =−→ab .

Si no cal fer emfasi en l’estructura donada per E i + denotem A enlloc de (A , E,+).

Exemple 3.1.2. Tot espai vectorial E te estructura d’espai afı via la suma de E .

Observacio 3.1.3. Siguin A un conjunt i E un espai vectorial de dimensio finita. Sonequivalents:

(I) Existeix + : A × E → A , (a, u) 7→ a+ u , verificant (1), (2), (3) anteriors;

(II) Existeix δ : A × A → E , (a, b) 7→−→ab , verificant

(a) per a cada a, b, c ∈ A ,−→ab +

−→bc = −→ac ;

(b) per a cada p ∈ A , l’aplicacio δp : A → E , a 7→ −→pa , es bijectiva.

Definicio 3.1.4. Una varietat lineal afı, vla, d’un espai afı A es un subconjunt de A dela forma L = a + F = {a + u | u ∈ F} , on a ∈ A i F es sev de E , que s’anomena elsev director de L . Observar que L defineix F via F = {b−a | a, b ∈ L} . Per definicio,dimL = dimF .

45

46 TEMA 3. ESPAI AFI I ESPAI PROJECTIU

Definicio 3.1.5. Siguin (A , E,+) i (B , F,+) dos espais afins i f : A → B una aplicacio.

Direm que f es una afinitat si existeix f : E → F lineal tal que f(b) = f(a) + f(−→ab),

per a tot a, b ∈ A . En particular, f(−→ab) = f(b) − f(a) =

−−−−−→f(a)f(b). Es prova que

f es injectiva, exhaustiva, bijectiva si i nomes si f es injectiva, exhaustiva, bijectiva,respectivament.

3.2 Clausura projectiva d’un espai afı

En aquest punt, A = (A , E,+) es un espai afı sobre un cos K de dimensio n . Fixaremun punt p ∈ A .

Idea 3.2.1. Considerem l’espai afı A = Rn . Incloem Rn en Rn+1 afegint una primeracoordenada 1. Es a dir, a cada x = (x1, . . . , xn) de Rn li assignem l’element (1, x) =(1, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1 . Com que (1, x) 6= 0, podem considerar la recta que genera(o subespai vectorial de dimensio 1): 〈(1, x)〉 , que es un element de P(Rn+1), elprojectivitzat de Rn+1 . Aixı, tenim una inclusio natural Rn → P(Rn+1), que enviacada element x a l’element [(1, x)] = 〈(1, x)〉 . Observem que tant Rn com P(Rn+1)tenen dimensio n . La imatge de Rn en P(Rn+1) s’identifica amb P(Rn+1)\{x0 = 0} ,on {x0 = 0} es un hiperpla de P(Rn+1). En P(Rn+1), doncs, podem distingir dostipus de punts: els de la forma [(1, x)], que tenen la primera component no nul.la, ique provenen de l’espai afı Rn ; i el punts de la forma [(0, x)], que tenen la primeracomponent nul.la, i que podem identificar com les “direccions” de Rn .

Notacio 3.2.2. Sigui E = 〈e0 〉 ⊕ j(E) un espai vectorial definit per un monomorfismej : E → E i un vector e0 ∈ E \ j(E). Com que j es injectiva, E es pot identificaramb j(E), E = 〈e0 〉 ⊕ j(E) es pot escriure E = 〈e0 〉 ⊕E i els vectors λe0 + j(u) ∈ Ees poden escriure λe0 + u . Observar que dimE = dimE + 1. Per exemple, podemprendre E = K × E = {(λ, u) | λ ∈ K , u ∈ E} , on j : E ↪→ E , j(u) = (0, u) ie0 = (1, 0). Tenim E = 〈e0 〉 ⊕ j(E), ja que tot (λ, u) = λ(1, 0) + (0, u) = λe0 + j(u) isi λe0 = j(u), aleshores (λ, 0) = (0, u), la qual cosa implica λ = 0 i u = 0.

Definicio 3.2.3. La clausura projectiva de A es l’espai projectiu A = (P(E), E, π),el projectivitzat de E . Anomenem hiperpla de l’infinit a la varietat lineal projectivaA∞ := [j(E)] = π(j(E)\{0}) ⊂ A . Els punts de A∞ son de la forma π(j(u)) = [j(u)],les “direccions” de A i s’anomenen els punts de l’infinit o impropis de A . Observemque dim A = n i que dim A∞ = n− 1.

Fixem un punt p ∈ A .

Notacio 3.2.4. Donat a ∈ A , denotem ea = e0 + j(−→pa) ∈ E . Sigui i : A → A definitper i(a) = a := [ea] . Observem que si i(a) = i(b), aleshores existeix λ ∈ K \ {0} tal

que eb = λea . Es a dir, e0 + j(−→pb) = λ(e0 + j(−→pa)) i aixo nomes pot passar si λ = 1

i a = b . Per tant, i es injectiva i podem considerar A “inclos” en A . Observem que

3.3. CLAUSURA PROJECTIVA D’UNA VARIETAT LINEAL AFI 47

p = i(p) = [ep] = [e0] . Es a dir, es una inclusio que porta el punt p ∈ A fixat al puntp = [e0] . Direm que A es la clausura projectiva de A on p = [e0] .

Amb les notacions anteriors.

Proposicio 3.2.5. Es verifica i(A) = A\A∞ . En particular, A = i(A)∪A∞ ≈ A∪A∞ .

Exemple 3.2.6. Prenem A = Kn , l’espai afı estandard n-dimensional sobre K . Aquıprenem E = Kn , E = Kn+1 = 〈e0 〉 ⊕ j(E), amb e0 = (1, 0) = (1, 0, . . . , 0) ∈ Kn+1

i j : E → E definida per j(u) = (0, u) ∈ Kn+1 . La clausura projectiva de A esA = P(Kn+1), l’espai projectiu estandard n-dimensional, tambe sobre K . Fixantp = 0 ∈ A = Kn , tenim i : Kn → P(Kn+1) definida per i(x) = x = [e0 + j(−→px)].Si x = (x1, . . . , xn) ∈ A , aleshores x = [(1, x1, . . . , xn)]. Observar que l’hiperpla del’infinit es A∞ = {[(x0, . . . , xn)] ∈ P(Kn+1) | x0 = 0} .

3.3 Clausura projectiva d’una varietat lineal afı

En aquest punt, A = (A , E,+) es un espai afı de dimensio n i A = (P(E), E, π) esla clausura projectiva on p = [e0] . Notem j : E → E i i : A → A , i(a) = a = [ea] .Sigui L = q + F una varietat lineal afı de A de dimensio d .

Definicio 3.3.1. Els punts de l’infinit de L son els de L∞ = [j(F )] ⊆ [j(E)] = A∞ .Observem que L∞ es una varietat lineal projectiva de dimensio d− 1.

Definicio 3.3.2. La clausura projectiva de L en A es L = i(L) ∪ L∞ ⊆ A .

Proposicio 3.3.3. La clausura projectiva de L es la varietat lineal projectiva de A de-finida pel subespai vectorial F = 〈eq 〉 ⊕ j(F ) de E . Es a dir, L = i(L) ∪ L∞ = [F ].En particular, dimL = dimL.

Demostracio. Observem que 〈eq 〉 ∩ j(F ) = 0 ja que λeq = λ(e0 + j(u)) ∈ j(F ) ⊆ j(E)implica λe0 ∈ j(E) i per tant λ = 0. Aixı F = 〈eq 〉 ⊕ F es un sev de E de dimensiod + 1. Si a ∈ L = q + F , aleshores a = q + u = p + (q − p) + u = p + (−→pq + u) iea = e0 + j(−→pq+ u) = eq + j(u) ∈ F i a = [eq + j(u)] ∈ [F ] . Aixı i(L) ⊆ [F ] i, com queL∞ = [j(F )] ⊂ [F ] , aleshores L ⊆ [F ] . Recıprocament, prenem v = λeq + j(u) ∈ F ,amb u ∈ F . Si λ = 0, v = j(u) ∈ j(F ) i [v] ∈ [j(F )] = L∞ . Si λ 6= 0, anomenema = q + λ−1u ∈ L i λ−1v = eq + j(λ−1u) = e0 + j(−→pq) + j(−→qa) = e0 + j(−→pa) = ea . Pertant, [v] = [λ−1v] = [ea] = i(a) ∈ i(L).

Proposicio 3.3.4. Siguin L1 i L2 dues vla de A . Aleshores L1 i L2 son paral.leles sii nomes si L1,∞ ⊆ L2,∞ o L2,∞ ⊆ L1,∞ . Si dimL1 = dimL2 , aleshores L1 i L2 sonparal.leles si i nomes si L1,∞ = L2,∞ .

Corol.lari 3.3.5. Siguin L1 i L2 dues rectes de A . Aleshores L1 i L2 son paral.leles sii nomes si L1,∞ ∩ L2,∞ = {1 punt}.


Exemple 3.3.6. Sigui A = R2 . Fixem p = (0, 0). Aleshores A = (A , E,+) es espaiafı amb E = R2 . Tenim E = R × R2 = R3 i la inclusio j : R2 → R3 definidaper j(x1, x2) = (0, x1, x2). La clausura projectiva de A = R2 es A = P(R3) = P2

R .La inclusio i : R2 → P2

R ve definida per a = i(a) = [ea] = [e0 + j(−→pa)], o sigui,i(x1, x2) = [(1, x1, x2)]. Prenem L1 = p1 + F1 , amb p1 = (0, 0) i F1 = 〈(0, 1)〉 .Aleshores ep1 = e0 + j(−→pp1) = (1, 0, 0) i j(F1) = 〈(0, 0, 1)〉 . Per tant, F 1 = 〈ep1 〉 ⊕j(F1) = 〈(1, 0, 0), (0, 0, 1)〉 i L1,∞ = [j(F1)] = [〈(0, 0, 1)〉 ] = {[(0, 0, 1)]} , que es unsol punt. D’altra banda, L1 = i(L1) ∪ L1,∞ = [F 1] = [〈(1, 0, 0), (0, 0, 1)〉 ] . Altrament,prenem L2 = p2 + F2 , amb p2 = (1, 0) i F2 = 〈(0, 1)〉 = F1 . Aleshores ep2 =e0 + j(−→pp2) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) i j(F2) = j(F1) = 〈(0, 0, 1)〉 . Per tant,F 2 = 〈ep2 〉 ⊕ j(F2) = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉 i, com abans, L2,∞ = {[(0, 0, 1)]} . AraL2 = i(L2) ∪ L2,∞ = [F 2] = [〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉 ] . Observem que L1,∞ = L2,∞ i queL1 ∩ L2 = [F 1 ∩ F 2] = [〈(0, 0, 1)〉 ] = {[(0, 0, 1)]} . Es a dir, les dues rectes paral.lelesL1 i L2 de R2 es tallen en un unic punt, que es llur punt de l’infinit.

Exemple 3.3.7. Sigui L = q0 ∨ . . .∨ qd una vl afı generada per d+ 1 punts li. AleshoresL = q0 ∨ . . . ∨ qd . En efecte, L = q0 + F amb F = 〈−−→q0q1, . . . ,−−→q0qd 〉 i eqi − eq0 =(e0 + j(−→pqi))− (e0 + j(−→pq0)) = j(−−→q0qi). Per tant,

L = [F ] = [〈eq0 , j(−−→q0q1), . . . , j(−−→q0qd)〉] = [〈eq0 , eq1 − eq0 , . . . , eqd − eq0〉] =

[〈eq0 , eq1 , . . . , eqd〉] = q0 ∨ . . . ∨ qd.

3.4 Recobriment d’un espai projectiu per espais afins

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n i H = [V ] es unhiperpla de P . Sigui AH = P \H . Com que V es un hiperpla de E , existeix z ∈ E \Vtal que E = 〈z 〉 ⊕ V . Fixem aquest z ∈ E \ V .

Idea 3.4.1. Considerem l’espai projectiu P = P(Rn+1), el projectivitzat de Rn+1 . EnP considerem els hiperplans coordenats Hi = {[x] ∈ P | xi = 0} . Cada comple-mentari P \ Hi = {[x] ∈ P | xi 6= 0} el podem identificar amb un espai afı A i ={(x0, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn) ∈ Rn+1 | xj ∈ R} ' Rn . Aixı, P = A0∪ A1∪ . . .∪ An .Es a dir, podem escriure P com la unio de n+ 1 espais afins.

Lema 3.4.2. Sigui δz : AH → V definida per, si a ∈ AH , δz(a) = u, on u es l’unicu ∈ V tal que a = [z + u]. Aleshores δz esta ben definida. Es verifica a = [z + δz(a)]i δz([z + u]) = u. En particular, δz es bijectiva.

Demostracio. Donat a = [x] ∈ AH = P \H , aleshores x ∈ E \V . Per tant, x = λz+vamb v ∈ V i λ ∈ K \ {0} , ja que x 6∈ V . Per tant, a = [x] = [λz + v] = [z + λ−1v] .Es a dir, existeix u = λ−1v ∈ V tal que a = [z + u] . A mes, aquest u es unic,car si a = [z + u] = [z + w] amb u,w ∈ V , aleshores existeix µ ∈ K \ {0} tal quez + u = µ(z + w). Es a dir, (1 − µ)z = −u + w ∈ 〈z 〉 ∩ V , la qual cosa implica

3.4. RECOBRIMENT D’UN ESPAI PROJECTIU PER ESPAIS AFINS 49

µ = 1 i u = w . Aixı, l’aplicacio δz : AH → V , δz(a) = u , on a = [z + u] , esta bendefinida. Per definicio, si a ∈ AH , es verifica a = [z + u] = [z + δz(a)], i, si u ∈ V , esverifica δz([z+u]) = u . En particular δz es injectiva, ja que si δz(a) = δz(b), aleshoresa = [z + δz(a)] = [z + δz(b)] = b . Finalment, δz es exhaustiva, ja que per a tot u ∈ V ,tenim [z + u] ∈ AH i u = δz([z + u]).

Teorema 3.4.3. L’aplicacio + : AH × V → AH , (a, u) 7→ a + u := [z + δz(a) + u],defineix una estructura d’espai afı en AH = (AH , V,+), amb dim AH = n.

Demostracio. Observem que z+δz(a)+u ∈ E \V . Per tant, [z+δz(a)+u] defineix unpunt de AH . A mes, per definicio i pel lema anterior, δz(a+u) = δz([z+ δz(a) +u]) =δz(a) + u . En particular, per a tot a ∈ AH i u, v ∈ V ,

a+ (u+ v) = [z + δz(a) + (u+ v)] = [z + δz(a+ u) + v] = (a+ u) + v.

A mes, per a tot a ∈ AH , a+0 = [z+δz(a)+0] = [z+δz(a)] = a . Finalment, vegem quedonats a, b ∈ AH , existeix un unic u ∈ V tal que b = a+u . Pero si b = a+u , aplicantδz , obtenim δz(b) = δz(a+ u) = δz(a) + u . Per tant, aıllant, u = δz(b)− δz(a) ∈ V . Ames, es compleix que a+ u = [z + δz(a) + u] = [z + δz(a) + δz(b)− δz(a)] = b .

Corol.lari 3.4.4. Sigui P un espai projectiu, dim P = n. Aleshores existeixen n + 1hiperplans H0, H1, . . . ,Hn de P tals que P = A0 ∪ A1 ∪ . . .∪ An , on A i = P \Hi esespai afı, dimAi = n.

Observacio 3.4.5. L’estructura d’espai afı AH depen del vector fixat z . Aixı, si calespecificar, escriurem (AH , z). Si prenem w ∈ E tal que E = 〈w 〉 ⊕ V , aleshoresl’aplicacio Id : (AH , z)→ (AH , w) es una afinitat bijectiva.

Proposicio 3.4.6. Sigui L = [F ] una vlp de P , dimL = d i L 6⊂ H . Sigui p ∈L ∩ (P \ H) = L ∩ AH . Aleshores L ∩ AH = p + F ∩ V , que es una vla de AH dedimensio d. A mes L = (L∩ AH)∪ (L∩H). Els punts de L∩ AH els anomenem elspunts propis de L i els punts de L ∩H els anomenem els punts impropis de L.

Demostracio. Sigui p = [z + δz(p)] ∈ L ∩ AH . En particular, z + δz(p) ∈ F \ V , onz 6∈ V i δz(p) ∈ V . Prenem Q ∈ p+F∩V , o sigui, Q = p+u = [z+δz(p)+u] , per a certu ∈ F∩V . Per tant, z+δz(p)+u ∈ F \V , Aixı, p ∈ [F ]\[V ] = L∩AH . Recıprocament,sigui a = [z+δz(a)] ∈ L∩AH . En particular, z+δz(a) ∈ F \V . Volem escriure a comp+u per a cert u ∈ F ∩V . Pero, si a = p+u , aplicant δz , obtenim δz(a) = δz(p+u) =δz(p) + u i, aıllant, u ha de ser per forca u = δz(a) − δz(p). Clarament es compleixque p + (δz(a) − δz(p)) = [p + δz(p) + δz(a) − δz(p)] = [p + δz(a)] = a . Finalment, esclar que dim(F ∩ V ) = dimF + dimV − dim(F + V ) = (d+ 1) + n− (n+ 1) = d i, pertant, dimL ∩ AH = dim(p+ F ∩ V ) = d .


3.5 Referencia projectiva associada a referencia afı

Sigui A = (A , E,+) un espai afı i R = {p; e1, . . . , en} una referencia afı de A . Fixemp ∈ A i considerem la clausura projectiva A = (P(E), E, π) de A on p = [e0] . Enaquest punt identificarem u ∈ E amb j(u) ∈ E = 〈e0 〉 ⊕ j(E).

Definicio 3.5.1. El conjunt R = {p, [e1], . . . , [en]; [e0 + e1 + . . .+ en]} es una referenciaprojectiva de A i e = e0, e1, . . . , en es una base adaptada de R . S’anomena la re-ferencia projectiva associada a R .

Observacio 3.5.2. Sigui a ∈ A , un punt de coordenades (x1, . . . , xn) en R . Aleshoresa = p + x1ee + . . . + xnen , o sigui, a − p = x1e1 + . . . + xnen . Aixı a = [ea] , onea = e0 +−→pa = e0 +x1e1 + . . . xnen . Per tant, a te coordenades [(1, x1, . . . , xn)] en R .

Observacio 3.5.3. Sigui q = [y] ∈ A amb coordenades [(y0, y1, . . . , yn)] en R . Aleshoresq es impropi, es a dir, q ∈ A∞ si i nomes si y ∈ E , o sigui, si i nomes si y0 = 0. D’altrabanda, q es propi si i nomes si q ∈ A\ A∞ , o sigui, y0 6= 0. Per tant, q te coordenades[(1, y1/y0, . . . , yn/y0)] en R i, com que q ∈ A \ A∞ = i(A), aleshores q = i(a) = a ,per a cert a ∈ A , que te coordenades (y1/y0, . . . , yn/y0) en R .

Observacio 3.5.4. Suposem que la referencia afı ve donada per punts i no vectors, esa dir, R = {p; q1, . . . , qn} amb p, q1, . . . , qn , n + 1 punts linealment independents.O sigui, denotant ei = −→pqi , tenim e1, . . . , en base de E . Dit d’una altra manera,donar R es equivalent a donar la referencia afı R ′ = {p; e1, . . . , en} . Pel que hem vist

abans, la referencia projectiva associada a R ′ es R ′ = {p, p1, . . . , pn;U} , on p = [e0] ,p1 = [e1], . . . , pn = [en] i U = [e0 + e1 + . . .+ en] .

Observar que p1 6= q1 (contradient el que hom podria pensar a primer cop d’ull).

En efecte, les coordenades de p1 en la referencia R ′ son [(0, 1, . . . , 0)]. En canvi, lescoordenades de q1 = [eq1 ] = [e0 + −→pq1] son [(1, 1, . . . , 0)]. Analogament, les coorde-

nades de pn en R ′ son [(0, . . . , 0, 1)] mentre que les coordenades de qn en R ′ son[(1, 0, . . . , 0, 1)].

3.6 Referencia projectiva associada a una de baricentrica

En aquest punt, A = (A , E,+) es un espai afı de dimensio n , on E es un espaivectorial sobre un cos K .

Observacio 3.6.1. Siguin p0, p1, . . . , pn , n + 1 punts de A . Prenem (x0, x1, . . . , xn) ∈Kn+1 amb

∑ni=0 xi = 1. Siguin P,Q ∈ A qualssevol. Aleshores

Q− P =−−→PQ = (

n∑i=0

xi)−−→PQ =

n∑i=0

xi(−−→Ppi +

−−→piQ) =

n∑i=0

xi−−→Ppi −

n∑i=0

xi−−→Qpi.

3.7. EQUACIONS AFINS I EQUACIONS PROJECTIVES 51

O sigui, P +∑n

i=0 xi−−→Ppi = Q+

∑ni=0 xi

−−→Qpi . Es a dir, el punt q = P +

∑ni=0 xi

−−→Ppi ∈ A

no depen del punt P ∈ A , o Q ∈ A , escollit.

En particular, si agafem P = p0 , i usant que −−→p0p0 = 0, obtenim

q = p0 +n∑i=0

xi−−→p0pi = p0 +

n∑i=1

xi−−→p0pi = p0 +

n∑i=1

xi(pi − p0) =

(1−n∑i=1

xi)p0 + x1p1 + . . .+ xnpn = x0p0 + x1p1 + . . .+ xnpn.

Aixı, doncs, quan escrivim q = x0p0 + x1p1 + . . . + xnpn podem entendre que q es elpunt q = p0 +

∑ni=0 xi

−−→p0pi , sempre que∑n

i=0 xi = 1. A mes, tambe podem canviar p0

per qualsevol altre punt P ∈ A i obtenim q = P +∑n

i=0 xi−−→Ppi . En particular, prenent

P = q , obtenim q = q +∑n

i=0 xi−→qpi , o sigui,

∑ni=0 xi

−→qpi = 0.

Definicio 3.6.2. Una referencia baricentrica de A es un conjunt B = {p0, p1, . . . , pn} ,on p0, p1, . . . , pn son n + 1 punts linealment independents de A , es a dir, anomenantei = pi − p0 = −−→p0pi , aleshores e1, . . . , en , es una base de E . Si q ∈ A , anomenem lescoordenades baricentriques de q en B a la (n + 1)-pla (x0, x1, . . . , xn) ∈ Kn+1 , amb∑n

i=0 = 1, tal que q = x0p0+. . .+xnpn , es a dir, q = p0+∑n

i=0 xi−−→p0pi = p0+

∑ni=1 xiei .

Definicio 3.6.3. El baricentre de B es el punt G = 1n+1p0 + . . .+ 1

n+1pn , es a dir, es el

punt de coordenades baricentriques ( 1n+1 , . . . ,

1n+1). En particular

∑ni=0

1n+1

−−→Gpi = 0,

o sigui,−−→Gp0 + . . .+

−−→Gpn = 0.

Donada la referencia baricentrica B = {p0, p1, . . . , pn} de A , considerem la clausuraprojectiva A = (P(E), E, π) de A on p0 = i(p0) = [e0] .

Definicio 3.6.4. La referencia projectiva associada a la referencia baricentrica B esB = {p0, p1, . . . , pn;G} . Comproveu que B es efectivament una referencia projectivade A i que e0, e0 + e1, . . . , e0 + en es una base adaptada de B .

Observacio 3.6.5. Sigui q ∈ A i q = [eq] ∈ A . Si q te coordenades baricentriques(x0, . . . , xn) en B ,

∑ni=0 xi = 1, aleshores q te coordenades projectives [(x0, . . . , xn)]

en B . En efecte, com que q = p0 +∑n

i=1 xiei , aleshores

eq = e0 +−→p0q = e0 +

n∑i=1

xiei = (x0 + x1 + . . .+ xn)e0 +

n∑i=1

xiei =

x0e0 + x1(e0 + e1) + . . .+ xn(e0 + en).

3.7 Equacions afins i equacions projectives

Sigui A = (A , E,+) un espai afı i R = {p, e1, . . . , en} una referencia afı de A .Sigui A = (P(E), E, π) la clausura projectiva de A on p = [e0] . Prenem R ={p, [e1], . . . , [en]; [e0 + . . .+ en]} la referencia projectiva associada a R .


Sigui L = p+F una varietat lineal afı de A i L = i(L)∪L∞ la clausura projectivade L . Sigui q ∈ A de coordenades (x1, . . . , xn) en R . Suposem que les equacions deL en R venen donades per q ∈ L si i nomes si

b1,0 + a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = 0. . .

br,0 + ar,1x1 + . . .+ ar,nxn = 0

.

En forma matricial:

(b A

)X =

(b A

)( 1X

)=

b1,0 a1,0 . . . a1,n...

......

br,0 ar,0 . . . ar,n

1x1...xn

= 0.

En particular, un vector v = x1e1 + . . .+ xnen ∈ E , verifica que v ∈ F si i nomes si

AX =

a1,0 . . . a1,n...

...ar,0 . . . ar,n

x1

...xn

= 0.

Sigui Q ∈ A de coordenades projectives [(x0, . . . , xn)] en R . Aleshores Q ∈ L =i(L) ∪ L∞ si i nomes si Q ∈ i(L) o Q ∈ L∞ = [F ] .

En el cas en que Q ∈ i(L), aixo vol dir Q = q amb q ∈ L . Es a dir, x0 6= 0,[(x0, . . . , xn)] = [(1, x1/x0, . . . , xn/x0)] i q en R te coordenades (x1/x0, . . . xn/x0).Com que q ∈ L , aleshores (b | A)(1, x1/x0, . . . , xn/x0)

> = 0. I multiplicant per x0 6= 0,aixo es equivalent a (b | A)(x0, x1, . . . , xn)> = 0, on x0 6= 0. O sigui bx0 +AX = 0, onx0 6= 0. En el cas en que Q ∈ L∞ = [F ] , aixo vol dir que Q = [v] , amb v ∈ F , i quex0 = 0. O sigui, AX = 0 i x0 = 0. Es a dir, bx0 +AX = 0, on x0 = 0. En conclusio,les equacions de L en R venen donades per Q ∈ L si i nomes si

b1,0x0 + a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = 0. . .

br,0x0 + ar,1x1 + . . .+ ar,nxn = 0

.

3.8 Rao simple i rao doble

Sigui A = (A , E,+) un espai afı i L = p + F una recta afı de A , F = 〈e1 〉 . SiguinA,B,C tres punts de L . Sigui A = (P(E), E, π) la clausura projectiva de A onp = [e0] .

Definicio 3.8.1. La rao simple de A,B,C es el numero (A,B,C) = λ ∈ K tal que−→AC = λ

−−→BC . Cal anar alerta perque la definicio de rao simple varia segons els autors.

3.8. RAO SIMPLE I RAO DOBLE 53

Observacio 3.8.2. Suposem que B 6= C . En particular, L = B ∨ C . Aleshores, tenim

(C−A) = λ(C−B), es a dir, A−C = λ(B−C), i per tant, A = C+λ−−→CB . Aixı, doncs,

la rao simple (A,B,C) es la coordenada afı del punt A en el sistema de referencia de

L donat per R = {C;−−→CB} .

Observacio 3.8.3. Sigui R = {p; e1} una referencia de la recta afı L . Aleshores A =

p+ae1 , B = p+ be1 i C = p+ ce1 . Per tant,−→AC = C−A = (c−a)e1 ,

−−→BC = C−B =

(c− b)e1 i (A,B,C) = (c− a)/(c− b).

Observacio 3.8.4. Considerem L = i(L) ∪ L∞ la clausura projectiva de L en A . Enparticular, L∞ = [F ] = [〈e1 〉 ] = {[e1]} , i [e1] es el punt de l’infinit de L . SiguinA,B,C , les imatges de A,B,C en L . Aleshores la rao simple de A,B,C es

(A,B,C) = (A,B,C, [e1]),

la rao doble dels quatre punts A,B,C i el punt de l’infinit de L .

Observacio 3.8.5. Siguin A,B,C,D quatre punts alineats d’un espai afı. Consideremels corresponents quatre punts A,B,C,D en una clausura projectiva. Aleshores

(A,B,C,D) = (A,B,C)/(A,B,D),

es a dir, la rao doble es un quocient de raons simples.

Tema 4

Dualitat

4.1 L’espai projectiu dels hiperplans

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n . Per convenienciadenotarem la imatge d’un vector u ∈ E \ {0} per l’aplicacio π : E \ {0} → P amb unsubındex π(u) = [u]π .

Definicio 4.1.1. El dual de P es el conjunt P∗ = {H | H es un hiperpla de P} , elselements del qual son els hiperplans de P . O sigui, H = [F ]π = π(F \ {0}), on F esun subespai vectorial de E de dimensio dimF = dimE − 1.

Exemple 4.1.2. Si P2R = P(R3) = {F | F es un subespai vectorial de R3 , dimF = 1} ,

aleshores (P2R)∗ = {H | H es una recta de P2

R} .

Recordatori 4.1.3. Si E es un espai vectorial de dimensio finita, ϕ : E ×E∗ → K , ambϕ(x, ω) = ω(x), defineix una forma bilineal. Donat un subespai vectorial F de E , esdefineix l’ortogonal de F en E∗ com F⊥ = {ω ∈ E∗ | ϕ(x, ω) = 0 per a tot x ∈ F} .Observar que F⊥ es un subespai de E∗ i que F⊥ = {ω ∈ E∗ | ker(ω) ⊇ F} .

Analogament, si G es un subespai de E∗ , es defineix l’ortogonal de G en E comG⊥ = {x ∈ E | ϕ(x, ω) = 0 per a tot ω ∈ G} . Observar que G⊥ es un subsespai de Ei que G⊥ = ∩w∈G ker(ω) = ∩w∈G\{0} ker(ω), ja que si ω = 0, aleshores ker(ω) = E ifer la interseccio amb E es irrellevant.

A mes a mes, dimF + dimF⊥ = dimE i analogament dimG+ dimG⊥ = dimE .

Proposicio 4.1.4. La terna P∗ = (P∗, E∗, π∗), on P∗ es l’espai dual, E∗ es l’espaivectorial dual de l’espai vectorial E i π∗ : E∗ \ {0} → P∗ , amb

π∗(ω) = [ω]π∗ := π(ker(ω) \ {0}) = [ker(ω)]π,

defineix una estructura d’espai projectiu de dimensio n en P∗ .

55

56 TEMA 4. DUALITAT

Observacio 4.1.5. Un element p∗ de P∗ es, per definicio, un hiperpla de P , es a dirp∗ = H = [F ]π , on F es un subespai vectorial de E de dimensio n . D’altra banda,segons l’estructura d’espai projectiu de P∗ = (P∗, E∗, π∗) donada per la proposicioanterior, l’element p∗ te com a representant un element ω ∈ E∗ \ {0} . Es a dir,p∗ = [ω]π∗ . La relacio que hi ha entre les dues presentacions p∗ = H = [F ]π i p∗ = [ω]π∗

es la seguent:

H = [F ]π = [ω]π∗ ⇔ ω ∈ F⊥ \ {0}.

4.2 Varietats lineals projectives de l’espai dual


Objectiu 4.2.1. Volem descriure com i quines son totes les varietats lineals projectivesde l’espai dual P∗ = (P∗, E∗, π∗).

Observacio 4.2.2. Ja hem vist en el tema d’espais projectius que, per a qualsevol espaiprojectiu (P , E, π) i per a tot d , −1 ≤ d ≤ n , existeix una bijeccio:

Vlpd(P) ↔ Sevd+1(E)L 7→ F = π−1(L) ∪ {0}

π(F \ {0}) = [F ]π ←[ F.

En particular, aplicant-ho a l’espai dual P∗ = (P∗, E∗, π∗) i canviant d+ 1 per n− d ,obtenim una bijeccio:

Sevn−d(E∗) ↔ Vlpn−d−1(P∗)

G 7→ π∗(G \ {0}) = [G]π∗

G = (π∗)−1(W ) ∪ {0} ← [ W.

Observacio 4.2.3. D’altra banda, es un exercici comprovar que, per a tot d , −1 ≤ d ≤ n ,existeix una bijeccio:

Sevd+1(E) ↔ Sevn−d(E∗)

F 7→ F⊥ = {ω ∈ E∗ | ker(ω) ⊇ F}G⊥ = ∩ω∈G\{0} ker(ω) ← [ G.

Composant les tres bijeccions obtenim la correspondencia bijectiva seguent.

Observacio 4.2.4. Per a tot d , −1 ≤ d ≤ n , tenim la bijeccio:

Vlpd(P) ↔ Sevd+1(E) ↔ Sevn−d(E∗) ↔ Vlpn−d−1(P∗)

L = [F ]π 7→ F 7→ F⊥ 7→ [F⊥]π∗ =: L∗

W ∗ := [G⊥]π ←[ G⊥ ←[ G ←[ W = [G]π∗ .

4.2. VARIETATS LINEALS PROJECTIVES DE L’ESPAI DUAL 57

Definicio 4.2.5.

• La vlp L∗ = [F⊥]π∗ = π∗(F⊥ \ {0}) s’anomena la varietat dual de L = [F ]π otambe el feix d’hiperplans per L .

• La vlp W ∗ = [G⊥]π = π(G⊥ \ {0}) s’anomena la varietat dual de W = [G]π∗ otambe el nucli del feix d’hiperplans W .

Observacio 4.2.6. El nom de feix d’hiperplans per L = [F ]π es deu al fet seguent:

L∗ = [F⊥]π∗ = π∗(F⊥ \ {0}) = {π∗(ω) | ω ∈ F⊥, ω 6= 0} =

{[ker(ω)]π | ker(ω) ⊇ F, ω 6= 0} = {[ker(ω)]π | [ker(ω)]π ⊇ [F ]π, ω 6= 0} =

{H | H hiperpla de P, H ⊇ L}.

Es a dir, L∗ es la vlp de P∗ , el conjunt dels hiperplans H de P que contenen L .

Observacio 4.2.7. El nom de nucli del feix d’hiperplans W = [G]π∗ es deu al fet seguent.

W ∗ = [G⊥]π = [⋂

ω∈G\{0}

ker(ω)]π =⋂

ω∈G\{0}

[ker(ω)]π =⋂H∈W

H,

ja que,

ω ∈ G \ {0} ⇔ π∗(ω) ∈ π∗(G \ {0})⇔ [ω]π∗ ∈ [G]π∗ = W ⇔ H = [ker(ω)]π ∈W.

Es a dir, W ∗ es la vlp de P , interseccio de tots els hiperplans de P que estan en W .

Conclusio 4.2.8. Per a tot d , −1 ≤ d ≤ n , tenim la bijeccio:

Vlpd(P) ↔ Vlpn−d−1(P∗)L = [F ]π 7→ [F⊥]π∗ = L∗

W ∗ = [G⊥]π ←[ W = [G]π∗ .

A mes a mes, [F⊥]π∗ = L∗ = ([F ]π)∗ i d’altra banda, [G⊥]π = W ∗ = ([G]π∗)∗ . O sigui,

([F ]π)∗ = [F⊥]π∗ i ([G]π∗)∗ = [G⊥]π.

Teorema 4.2.9. Siguin L,L1, L2 vlp de P . Aleshores

(a) L = P ⇔ L∗ = ∅;

(b) L = ∅ ⇔ L∗ = P∗ ;

(c) L1 ⊆ L2 ⇔ L∗1 ⊇ L∗2 ;

(d) (L1 ∩ L2)∗ = L∗1 ∨ L∗2 ;

(e) (L1 ∨ L2)∗ = L∗1 ∩ L∗2 .

58 TEMA 4. DUALITAT

4.3 El principi de dualitat

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n i P∗ = (P∗, E∗, π∗)es el seu dual.

Notacio 4.3.1. Una frase F (P) de P , direm que es dualitzable si nomes involucra vlpde P , dimensions d , (−1 ≤ d ≤ n), inclusions, contencions, interseccions i joints. Defet, qualsevol F (P) es pot obtenir de la concanetacio, negacio i composicio de les cincfrases seguents:

F 1(P): L es una vlp de P , dimL = d ;

F 2(P): L1, L2 son dues vlp de P , L1 ⊆ L2 ;

F 3(P): L1, L2 son dues vlp de P , L1 ⊇ L2 ;

F 4(P): L,L1, L2 son tres vlp de P , L = L1 ∩ L2 ;

F 5(P): L,L1, L2 son tres vlp de P , L = L1 ∨ L2 .

Altres frases obtingudes d’aquestes cinc serien: “L1, L2 son dos plans de P diferents”;“L1, L2, L3 son tres rectes de P concurrents”; “A,B,C es un triangle de P ”. Estempensant en frases del tipus hipotesi, H(P), o tesi, T (P), que apareixen en un enunciat.

Definicio 4.3.2. Sigui F (P) de P dualitzable. De F (P) obtenim les frases seguents:

F ∗(P), la frase dual en P : es la frase en P que s’obte en canviar dimensions dper dimensions n− d− 1, inclusions per contencions, contencions per inclusions,interseccions per joins i joints per interseccions;

F (P∗), la frase en el dual P∗ : es la frase en P∗ que s’obte en canviar les vlp Lque intervenen en F (P) per L∗ ;

F ∗(P∗), la frase dual en el dual P∗ : es la frase que s’obte fent els dos canvisanteriors.

Exemple 4.3.3. Considerem F 4(P): “L,L1, L2 son tres vlp de P , L = L1 ∩ L2”.Aleshores:

F ∗4(P): L,L1, L2 son tres vlp de P , L = L1 ∨ L2 ;

F 4(P∗): L∗, L∗1, L∗2 son tres vlp de P∗ , L∗ = L∗1 ∩ L∗2 ;

F ∗4(P∗): L∗, L∗1, L∗2 son tres vlp de P∗ , L∗ = L∗1 ∨ L∗2 ;

Observacio 4.3.4. Observar que el doble dual d’una frase es el seu original, es a dir,F ∗∗(P) = F (P). Per exemple, pensant en F 1(P), n− (n− d− 1)− 1 = d .

4.3. EL PRINCIPI DE DUALITAT 59

Lema 4.3.5. Sigui F (P) una frase de P . Si F (P) es certa, aleshores F ∗(P∗) escerta. Analogament, si F (P∗) es certa, aleshores F ∗(P) es certa.

Demostracio. Es suficient provar-ho per a les cinc frases basiques. Per exemple: supo-sem que F 5(P): “L,L1, L2 son tres vlp de P , L = L1 ∨ L2” es certa. Aleshores, pelteorema de la seccio anterior sabem que L∗, L∗1, L

∗2 son tres vlp de P∗ i que es compleix

L∗ = (L1 ∨ L2)∗ = L∗1 ∩ L∗2 , o sigui, F ∗5(P∗) tambe es certa.

Notacio 4.3.6. Un enunciat E (P) : H(P) ⇒ T (P) de P es dualitzable si la hipotesi ila tesi son dualitzables. Anomenem E ∗(P) : H∗(P) ⇒ T ∗(P) l’enunciat dual en P .Observar que hem canviat la hipotesi H(P) i la tesi T (P) per la hipotesi dual H∗(P)i la tesi dual T ∗(P), respectivament, sempre en el mateix espai projectiu P .

Teorema 4.3.7. Principi de dualitat. Sigui E (P) : H(P) ⇒ T (P) un enunciat enP , dualitzable. Sigui E ∗(P) : H∗(P)⇒ T ∗(P) el seu enunciat dual, tambe en P . Elprincipi de dualitat diu que si E (P) es cert en qualsevol espai projectiu P de dimension, aleshores E ∗(P) tambe es cert en tot espai projectiu P de dimensio n.

Demostracio. Suposem que E (P) es cert en qualsevol espai projectiu P de dimension . Volem veure que E ∗(P) tambe es cert. Prenem H∗(P) i suposem que es certa.Pel lema, H∗∗(P∗) es certa. Per l’observacio anterior, H∗∗(P∗) = H(P∗). Per tant,H(P∗) es certa. Com que, per hipotesi, E (P∗) : H(P∗)⇒ T (P∗) es un enunciat cert,aleshores T (P∗) es certa. Usant el lema de nou, obtenim que T ∗(P) es certa.

Exemple 4.3.8. Suposem que dim P = 3 i considerem l’enunciat E (P) : H(P)⇒ T (P),on H(P) es “L1, L2 son dos punts diferents de P ”; i on T (P) es “L1 ∨ L2 es unarecta de P ”. Observem que E (P) es un enunciat cert, ja que si L1, L2 son dos puntsdiferents de P , aleshores L1 ∨ L2 es una recta de P .

Dualitzem: tenim que H∗(P) es: “L1, L2 son dos plans diferents de P ” i T ∗(P)es: “L1 ∩ L2 es una recta de P ”. L’enunciat dual es: E ∗(P) : H∗(P) ⇒ T ∗(P).Observem que E ∗(P) tambe es cert, ja que si L1, L2 son dos plans diferents de P , hemvist que aleshores L1 ∩ L2 es una recta de P .

Fixem-nos que en aquest exemple l’enunciat original E (P) es molt “clar” o intuıtiu.Ara be, l’enunciat dual E ∗(P), ja no ho es tant, car hem hagut d’usar de forma indirectala formula de Grassmann. De fet, en geometria afı seria fals, perque dos plans diferentsen un espai afı A , dim A = 3, podrien no tallar-se.

Observacio 4.3.9. Amb el principi de dualitat ens adonem de fins a quin punt es en-certada la definicio proposada d’espai projectiu com a terna formada per un conjuntabstracte, un espai vectorial i una aplicacio exhaustiva que dota d’estructura aquestconjunt abstracte. A pesar que inicialment la definicio pot semblar mes complicadad’utilitzar, a la llarga es molt millor i, sobretot, permet dualitzar tots els resultats quees puguin obtenir en qualsevol espai projectiu. Aixo seria difıcil de justificar amb unadefinicio d’espai projectiu que fos simplement la del projectivitzat d’un espai vectorial.

60 TEMA 4. DUALITAT

Exemple 4.3.10. Enuncieu el dual del teorema de Desargues.

4.4 Coordenades duals

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu, dim P = n , R = {p0, . . . , pn;U}es una referencia projectiva i e = e0, . . . , en es una base adaptada a R . Preneme∗ = e∗0, . . . , e

∗n la base dual de la base e .

Observacio 4.4.1. El conjunt R∗ = {[e∗0]π∗ , . . . , [e∗n]π∗ ; [e∗0+ . . .+e∗n]π∗} es una referenciaprojectiva de P∗ = (P∗, E∗, π∗) i e∗ = e∗0, . . . , e

∗n es una base adaptada de R∗ .

Observacio 4.4.2. Tenim que [e∗0]π∗ = [ker(e∗0)]π , on

ker(e∗0) = {n∑j=0

xjej | e∗0(n∑j=0

xjej) = 0} = {n∑j=0

xjej | x0 = 0}.

Es a dir, el vertex [e∗0]π∗ de la referencia R∗ es l’hiperpla d’equacio x0 = 0, en lareferencia R . Analogament, el vertex [e∗i ]π∗ de la referencia R∗ es l’hiperpla d’equacioxi = 0, en la referencia R i el punt unitat [e∗0 + . . . + e∗n]π∗ de la referencia R∗ esl’hiperpla d’equacio x0 + . . .+ xn = 0.

Proposicio 4.4.3. Sigui H un hiperpa de P d’equacio ω0x0 + . . . + ωnxn = 0 en lareferencia R . Aleshores H , com a element de P∗ , te coordenades [(ω0, . . . , ωn)] en lareferencia R∗ .

Exemple 4.4.4. El pla d’equacio x0 + x1 − 2x2 + x3 = 0 en la referencia estandardR de l’espai projectiu estandard P3

R = P(R4), com a element del dual (P3R)∗ , te

coordenades [(1, 1,−2, 1)] en la referencia dual R∗ .

Exemple 4.4.5. Suposem que L = q0 ∨ . . . ∨ qd es una vlp generada per d + 1 puntslinealment independents de P . Aleshores,

L∗ = q∗0 ∩ . . . ∩ q∗n = {H hiperpla de P | H 3 qi}.

Siguin [(qi0, . . . , qin)] les coordenades de qi en la referencia R de P . Recordem que si

l’hiperpla H te equacio ω0x0 + . . .+ωnxn = 0 en R , aleshores H , com a punt de P∗ ,te coordenades [(ω0, . . . , ωn)] en R∗ .

Aixı, H 3 qi ⇔ ω0qi0+ . . .+ωnq

in = 0. Per tant, les equacions de L∗ en la referencia

dual R∗ venen donades per:

qi0ω0 + . . .+ qinωn = 0, per a tot i = 0, . . . , d.

Exemple 4.4.6. Si P = P3R , q0 = [(1, 0,−1, 2)] i q1 = [(0, 1,−2, 1)] i L = q0 ∨ q1 ,

aleshores L∗ te equacions cartesianes en la referencia dual

ω0 − ω2 + 2ω3 = 0ω1 − 2ω2 + ω3 = 0

}.

Tema 5

Projectivitats

En tot aquest tema, P = (P , E, π) i P ′ = (P ′, E′, π′) son dos espais projectius de lamateixa dimensio n .

5.1 Definicions

Observacio 5.1.1. Una aplicacio lineal injectiva ϕ : E → E′ indueix una aplicacio[ϕ] : P → P ′ definida per [ϕ][u] = [ϕ(u)]. Observeu que [ϕ] esta ben definida,precisament perque ϕ es injectiva i lineal.

Observacio 5.1.2. Si ϕ no es injectiva, aleshores es pot definir [ϕ] : P \ [ker(ϕ)]→ P ′ .

Observacio 5.1.3. Siguin ϕ1, ϕ2 : E → E′ lineals injectives. Aleshores, [ϕ1] = [ϕ2] si inomes si existeix un λ ∈ K \ {0} tal que ϕ2 = λϕ1 .

Definicio 5.1.4. Una projectivitat es una aplicacio f : P → P ′ induıda per un iso-morfisme d’espais vectorials ϕ : E → E′ , es a dir, f = [ϕ] . Una homografia es unaprojectivitat f : P → P de P en ell mateix.

Exercici 5.1.5. Sigui ABC un tringle d’un pla projectiu P . Hi ha alguna homografiaf : P → P tal que f(A) = B , f(B) = C i f(C) = A? Quantes?

Exercici 5.1.6. Siguin L1 i L2 dues rectes d’un pla projectiu P , L1 6= L2 . SiguiM ∈ P , M 6∈ L1, L2 . Considerem l’aplicacio f : L1 → L2 definida per f(p) = q , on{q} = (p ∨M) ∩ L2 . Comproveu que f esta ben definida i que es una projectivitat.S’anomena la perspectivitat de L1 en L2 amb centre M .

Propietats 5.1.7. Suposem que P ′′ = (P ′′, E′′, π′′) es un tercer espai projectiu.

(1) idP : P → P es la projectivitat induıda per idE : E → E , es a dir, idP = idE .

(2) Si ϕ : E → E′ i ψ : E′ → E′′ son isomorfismes, aleshores [ψ] ◦ [ϕ] = [ψ ◦ ϕ] .

61

62 TEMA 5. PROJECTIVITATS

(3) Si f : P → P ′ es la projectivitat definida per ϕ , o sigui f = [ϕ] , aleshores f esbijectiva i f−1 : P ′ → P es la projectivitat definida per ϕ−1 , o sigui f−1 = [ϕ−1] .

5.2 Matriu d’una projectivitat

Sigui ϕ : E → E′ un isomorfisme d’espais vectorials i f : P → P ′ , f = [ϕ] , laprojectivitat induıda per ϕ . Prenem R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectivade P i e = e0, . . . , en una base adaptada de R . Prenem R ′ = {q0, . . . , qn;V } unareferencia projectiva de P ′ i u = u0, . . . , un una base adaptada de R ′ . Sigui Me,u(ϕ) =Mϕ(e),u la matriu de l’aplicacio ϕ en les bases e i u , es a dir, la matriu les columnesde la qual son les components dels vectors ϕ(e) en la base u

Definicio 5.2.1. La matriu de f en les referencies projectives R i R ′ es l’elementMR,R′(f) = [Me,u(ϕ)] de P(Mn+1(K)), el projectivitzat de Mn+1(K). O sigui,MR,R′(f) = [Me,u(ϕ)] es el subespai vectorial de dimensio 1 generat per la matriu nonul.la Me,u(ϕ). Aixı, [Me,u(ϕ)] = [N ]⇔ existeix λ ∈ K \ {0} tal que Me,u(ϕ) = λN .

Proposicio 5.2.2. La matriu de f en les referencies R i R ′ , MR,R′(f), no depen deles bases adaptades de R i R ′ ni tampoc del representant ϕ de f = [ϕ].

Recordem la notacio seguent:

Notacio 5.2.3. Sigui p = [x] ∈ P . Suposem que x = x0e0 + . . . + xnen , es a dir,compe(x) = (x0, . . . , xn). Suposem y = ϕ(x) = y0u0 + . . . + ynun . Es a dir,compu(y) = (y0, . . . , yn). Aixı, [(x0, . . . , xn)]R1 son les coordenades projectives de p enR i [(y0, . . . , yn)]R′ son les coordenades projectives de [y] = [ϕ(x)] = [ϕ]([x]) = f(p).Denotem

X = compe(x)> =

x0...xn

a la matriu columna (n + 1) × 1. Analogament, Y = compu(y)> . Observar queY = Me,u(ϕ)X . Denotarem [X] ∈ P(M(n+1)×1(K)) al corresponent element en l’espaiprojectiu el projectivitzat de M(n+1)×1(K) i analogament [Y ] ∈ P(M(n+1)×1(K)).

Observem que si A,B ∈ Mn+1(K) son dues matrius quadrades de rang maxim (obe, si B ∈ M(n+1)×1(K), B 6= 0), aleshores AB tambe es de rang maxim. A mes ames, si A′ = λA i B′ = µB , amb λ, µ ∈ K \ {0} , aleshores A′B′ = λµAB tambe esde rang maxim. Aixo fa que, per a matriu de rang maxim, hom pugui definir [A][B]com [AB] , on [−] vol dir el corresponent element en el projectivitzat de l’espai deles matrius. Tambe, en el cas de matrius quadrades A de rang maxim, es pot definir[A]−1 = [A−1] . Aixı, doncs, tenen sentit les propietat seguents:

5.3. PROJECTIVITATS I VARIETATS LINEALS PROJECTIVES 63

Propietats 5.2.4. Amb les notacions anteriors:

(1) [Y ] = MR,R′(f)[X] ;

(2) MR,R(idP) = [In+1] , on In+1 es la matriu identitat (n+ 1)× (n+ 1);

(3) MR,R′′(g ◦ f) = MR′,R′′(g)MR,R′(f);

(4) MR′,R(f−1) = MR,R′(f)−1 ;

(5) MS,S′(f) = MR′,S′MR,R′(f)MS,R .

Notacio 5.2.5. Una notacio usual per a la matriu d’un endomorfisme ϕ : E → E en basese tant a l’espai de sortida com el d’arribada es Me(ϕ) enlloc de Me,e(ϕ). Analogament,una notacio usual per a la matriu d’una homografia f : P → P en referencies R tanta l’espai de sortida com el d’arribada es MR(f) enlloc de MR,R(f).

5.3 Projectivitats i varietats lineals projectives

En tot aquest punt, f = [ϕ] : P → P ′ es una projectivitat definida per ϕ : E → E′ .

Proposicio 5.3.1. Sigui L = [F ] una vlp de P . Aleshores,

(a) f(L) = [ϕ(F )] es vlp de P ′ i dim f(L) = dimL.

(b) f|L : L→ f(L) es la projectivitat induıda per ϕ|F : F → ϕ(F ), f|L = [ϕ|F ].

Proposicio 5.3.2. Siguin L1, L2 vlp de P , q0, . . . , qm ∈ P . Aleshores:

(1) L1 ⊆ L2 ⇔ f(L1) ⊆ f(L2);

(2) f(L1 ∩ L2) = f(L1) ∩ f(L2);

(3) f(L1 ∨ L2) = f(L1) ∨ f(L2);

(4) f(q0 ∨ . . . ∨ qm) = f(q0) ∨ . . . ∨ f(qm);

(5) si q0, . . . , qm ∈ P son independents, f(q0), . . . , f(qm) ∈ P ′ son independents.

Definicio 5.3.3. Una aplicacio bijectiva g : P → P ′ direm que es una colineacio si portapunts alineats a punts alineats. Es a dir, g(q1 ∨ q2) ⊆ g(q1) ∨ g(q2), per a tota parellade punts diferents q1, q2 ∈ P .

Corol.lari 5.3.4. Una projectivitat es colineacio.

Proposicio 5.3.5. Siguin R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de P i e0, . . . , enuna base adaptada de R . Sigui p ∈ P un punt de coordenades [(x0, . . . , xn)] en R .Aleshores:


(a) f(R) := {f(p0), . . . , f(pn); f(U)} es una referencia projectiva de P ′ ;

(b) ϕ(e0), . . . , ϕ(en) es una base adaptada de f(R);

(c) f(p) te coordenades [(x0, . . . , xn)] en f(R).

Corol.lari 5.3.6. Siguin q1, q2, q3, q4 , quatre punts alineats de P , almenys tres d’ells di-ferents. Aleshores f(q1), f(q2), f(q3), f(q4), son quatre punts alineats de P ′ , almenystres d’ells diferents. A mes, (f(q1), f(q2), f(q3), f(q4)) = (q1, q2, q3, q4).

Corol.lari 5.3.7. Les projectivitats conserven la rao doble.

Exercici 5.3.8. Siguin σ : R → R i ϕ : R2 → R2 aplicacions bijectives tals queσ(0) = 0, σ(1) = 1, σ 6= idR i ϕ(λv) = σ(λ)ϕ(v), per a tot λ ∈ R i v ∈ R2 . SiguiP = P(R2). Proveu que [ϕ] : P → P , [ϕ]([v]) = [ϕ(v)], esta ben definida i es bijectiva.En particular, [ϕ] es colineacio bijectiva. Trobeu exemples de σ i ϕ tals que [ϕ] noconserva la rao doble i, per tant, [ϕ] no es projectivitat.

5.4 Determinacio d’una projectivitat

En aquest punt, R = {p0, . . . , pn;U} es una referencia projectiva de P i R ′ ={p′0, . . . , p′n;U ′} es una referencia projectiva de P ′ .

Proposicio 5.4.1. Existeix una unica projectivitat f : P → P ′ amb f(R) = R ′ . En par-ticular, si f = [ϕ] i e0, . . . , en es una base adaptada de R , aleshores ϕ(e0), . . . , ϕ(en)es una base adaptada de f(R) = R ′ . A mes, si p ∈ P te coordenades [(x0, . . . , xn)]en R , aleshores f(p) te coordenades [(x0, . . . , xn)] en f(R) = R ′ .

Corol.lari 5.4.2. Sigui f : P → P una homografia. Si f(R) = R , aleshores f = idP .

Recordem la propietat seguent feta anteriorment.

Observacio 5.4.3. Siguin L una recta projectiva i R = {p0, p1;U} una referencia pro-jectiva de L . Sigui p ∈ L . Per a tot λ ∈ K := K ∪ {∞} ,

p = [(λ, 1)]R ⇔ (p0, p1, U, p) = λ .

Quan λ =∞ , entenem [(∞, 1)] = [(∞/∞, 1/∞)] = [(1, 0)].

Teorema 5.4.4. Suposem dim P , P ′ = 1. Sigui f : P → P ′ una aplicacio bijectiva.Aleshores, f es projectivitat si i nomes si f conserva la rao doble.

Corol.lari 5.4.5. Suposem dim P , P ′ = 1. Siguin p1, p2, p3, p4 ∈ P quatre punts diferentsi q1, q2, q3, q4 ∈ P ′ quatre punts diferents. Aleshores, existeix projectivitat f : P → P ′tal que f(pi) = qi , i = 1, 2, 3, 4, si i nomes si (q1, q2, q3, q4) = (p1, p2, p3, p4). En aquestcas, f es unica.

5.5. TEOREMA FONAMENTAL DE LA GEOMETRIA PROJECTIVA 65

Conclusio 5.4.6. Sigui f : P → P ′ aplicacio bijectiva. Hem vist:

• f projectivitat ⇒ f colineacio i f conserva la rao doble.

• Si dim P , P ′ = 1, f es colineacio, pero no necessariament projectivitat.

• Si dim P , P ′ = 1, f conserva la rao doble ⇒ f projectivitat.

Veurem que, si K = Q , R i dim P , P ′ ≥ 2: f es projectivitat ⇔ f es colineacio.

5.5 Teorema fonamental de la geometria projectiva

En tot el punt suposarem dim P , P ′ = n ≥ 2 i f : P → P ′ es colineacio bijectiva.

Lema 5.5.1. Siguin A1, . . . , Ar ∈ P . Aleshores f(A1 ∨ . . .∨Ar) = f(A1)∨ . . .∨ f(Ar).A mes, si A1, . . . , Ar ∈ P son independents, aleshores f(A1), . . . , f(Ar) son indepen-dents. En particular, si L es una varietat lineal projectiva de P amb dimL = s,aleshores f(L) es una varietat lineal projectiva de P ′ amb dim f(L) = s.

Demostracio. Vegem f(A1 ∨ . . . ∨ Ar) ⊆ f(A1) ∨ . . . ∨ f(Ar) per induccio en r ≥ 1.Si r = 1, es obvi. Si r = 2, es la definicio de colineacio. Suposem r ≥ 3. Siguip ∈ A1 ∨ . . . ∨Ar = [〈u1, . . . , ur 〉 ] , on Ai = [ui] , ui ∈ E \ {0} . Aleshores p = [x] , ambx = x1u1 + . . .+xrur , on almenys un xi 6= 0. Reordenant, podem suposar que x1 6= 0.Escrivim v = x2u2+. . .+xrur . Si v = 0, aleshores p = A1 i f(p) ∈ f(A1)∨. . .∨f(Ar).Si v 6= 0, aleshores [v] ∈ [〈u2, . . . , ur 〉 ] = A2 ∨ . . . ∨ Ar i, per hipotesi d’induccio,f([v]) ∈ f(A2∨. . .∨Ar) ⊆ f(A2)∨. . .∨f(Ar). Aixı, p = [x1u1+v] ∈ [〈u1, v 〉 ] = A1∨[v] .Com que f es colineacio, f(p) ∈ f(A1)∨f([v]) i, com que f([v]) ∈ f(A2)∨ . . .∨f(Ar),aleshores f(p) ∈ f(A1) ∨ f([v]) ⊆ f(A1) ∨ f(A2) ∨ . . . ∨ f(Ar).

Vegem f(A1 ∨ . . . ∨ Ar) = f(A1) ∨ . . . ∨ f(Ar) en el cas en que A1, . . . , Ar sonindependents. Sigui q ∈ f(A1) ∨ . . . ∨ f(Ar) ⊆ P ′ = f(P). Aixı q = f(p) ambp ∈ P . Si p 6∈ A1 ∨ . . . ∨ Ar , aleshores podem trobar Ar+1, . . . , An amb A1, . . . , An, pn + 1 punts independents de P (els hem reordenat a partir d’una completacio usantel Teorema de Steinitz). En particular, P = A1 ∨ . . . ∨ An ∨ p . Usant la inclusio queacabem de provar: P ′ = f(P) = f(A1 ∨ . . . ∨ An ∨ p) ⊆ f(A1) ∨ . . . ∨ f(An) ∨ f(p).Com que f(p) = q ∈ f(A1) ∨ . . . ∨ f(Ar), aleshores P ′ ⊆ f(A1) ∨ . . . ∨ f(An), la qualcosa es contradiccio ja que dim P ′ = n i dim f(A1) ∨ . . . ∨ f(An) ≤ n − 1. Per tant,p ∈ A1 ∨ . . . ∨Ar i q = f(p) ∈ f(A1 ∨ . . . ∨Ar).

Vegem f(A1∨ . . .∨Ar) = f(A1)∨ . . .∨f(Ar) en el cas en que A1, . . . , Ar son quals-sevol. Reordenant, podem suposar que A1, . . . , As son independents i As+1, . . . , Ar ∈A1 ∨ . . . ∨ As . Com que f(A1 ∨ . . . ∨ Ar) = f(A1) ∨ . . . ∨ f(As), aleshores, per a tot


i = s + 1, . . . , n , tenim f(Ai) ∈ f(A1 ∨ . . . ∨ As) = f(A1) ∨ . . . ∨ f(As). Per tant,f(A1) ∨ . . . ∨ f(Ar) = f(A1) ∨ . . . ∨ f(As) = f(A1 ∨ . . . ∨As) = f(A1 ∨ . . . ∨Ar).

Si A1, . . . , Ar son independents, aleshores f(A1), . . . , f(Ar) son independents ja quesi, per exemple, f(A1) ∈ f(A2)∨ . . .∨f(Ar) = f(A2∨ . . .∨Ar), aleshores f(A1) = f(p)amb p ∈ A2∨ . . .∨Ar . Com que f es injectiva, aixo implicaria A1 = p ∈ A2∨ . . .∨Ar ,una contradiccio.

En particular, si L es una varietat lineal projectiva de P amb dim P = s , aleshoresL es pot escriure com L = p0 ∨ . . . ∨ ps per a certs p0, . . . , ps ∈ P independents. Pertant, f(L) = f(p0∨ . . .∨ps) = f(p0)∨ . . .∨f(ps) es una varietat lineal projectiva de P ′ .Com que p0, . . . , ps ∈ P son independents, aleshores f(p0), . . . , f(ps) son independentsi dim f(L) = s .

Recordem que σ : K → K es un automorfisme de cossos si σ es una aplicaciobijectiva amb σ(a+ b) = σ(a)+σ(b), σ(ab) = σ(a)σ(b), per a tot a, b ∈ K , i σ(1) = 1.En particular, comproveu que σ(0) = 0, que σ(−a) = −σ(a) i que, si a 6= 0, aleshoresσ(a−1) = σ(a)−1 .

Lema 5.5.2. Sigui R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de P = [E]. Aleshoresf(R) = {f(p0), . . . , f(pn); f(U)} es una referencia projectiva de P ′ = [E′]. A mes,donada e = e0, . . . , en , una base adaptada de R , aleshores existeixen u = u0, . . . , un ,una base de E′ , i σ : K → K , un automorfisme de cossos, tal que, per a qualssevolxi ∈ K , f([x0e0 + . . .+ xnen]) = [σ(x0)u0 + . . .+ σ(xn)un].

Demostracio. Pel lema anterior,f porta punts independents a punts independents. Enparticular, f(R) = {f(p0), . . . , f(pn); f(U)} es una referencia projectiva de P ′ . Pre-nem e = e0, . . . , en una base adaptada de R i v = v0, . . . , vn una base adaptada def(R). Farem la demostracio en sis passos.

(1): Vegem que existeix una base u = u0, . . . , un de E′ tal que f([e0 + ei]) = [u0 +ui] .

En efecte, f([e0 + ei]) ∈ f([e0] ∨ [ei]) = f([e0]) ∨ f([ei]) = f(p0) ∨ f(pi) = [〈v0, vi 〉 ] .Aixı, f([e0+ei]) = [a0v0+aivi] . Observem que a0 6= 0, ja que sino, f([e0+ei]) = f(pi),contradiccio amb f injectiva. Analogament, ai 6= 0, ja que sino f([e0 + ei]) = f(p0).Aleshores f([e0 + ei]) = [a0v0 + aivi] = [v0 + bivi] , amb bi = ai/a0 . Prenem u0 = v0i ui = bivi 6= 0. Es verifica f(pi) = [vi] = [ui] . En particular, u = u0, . . . , un es unabase de E′ . Observem que no podem assegurar que u sigui base adaptada de f(R) jaque [u0 + . . .+ un] = [b0v0 + . . .+ bnvn] mentre que f(U) = [v0 + . . .+ vn] .

(2): Vegem que existeix σ : K → K bijectiva, σ(0) = 0, σ(1) = 1 i tal que, per a totx ∈ K , f([e0 + xei]) = [u0 + σ(x)ui] .

Fixat i = 1, . . . , n , i donat x ∈ K , vegem que existeix y ∈ K tal que f([e0 + xei]) =[u0 + yui] . En efecte, si x = 0, clarament f([e0 + 0ei]) = f(p0) = [u0] = [u0 + 0ui]i prenem y = 0. Suposem x 6= 0. Aleshores [e0 + xei] ∈ [〈e0, ei 〉 ] = p0 ∨ pi i

5.5. TEOREMA FONAMENTAL DE LA GEOMETRIA PROJECTIVA 67

f([e0 + xei]) ∈ f(p0) ∨ f(pi) = [〈u0, ui 〉 ] . Aixı, f([e0 + xei]) = [a0u0 + aiui] . Com alpunt anterior (1), i usant que f es injectiva, es demostra que a0, a1 6= 0. Per tant,f([e0 + xei]) = [u0 + (ai/a0)ui] i prenem y = ai/a0 . A mes, aquest y ∈ K es unic.En efecte, si f([e0 + xei]) = [u0 + yui] = [u0 + zui] , aleshores existeix λ ∈ K tal queu0 + yui = λ(u0 + zui) i aixo implica que λ = 1 i y = z . Per tant, podem definirσi : K → K amb σi(x) = y on y ∈ K es l’unic escalar tal que f([e0+xei]) = [u0+yui] .Observem que σi(0) = 0 ja que f([e0 + 0ei]) = f([e0]) = [u0] = [u0 + 0ui] . D’altrabanda, σi(1) = 1, ja que, pel punt anterior (1), f([e0 + ei]) = [u0 + ui] . A mes,σi es injectiva, ja que si σi(a) = σi(b), aleshores f([e0 + aei]) = [u0 + σi(a)ui] =[u0 + σi(b)ui] = f([e0 + bei]). Com que f es injectiva, [e0 + aei] = [e0 + bei] i, d’aquıes dedueix que a = b . Analogament, σi es exhaustiva, ja que donat y ∈ K , tenim[u0 + yui] ∈ f(p0) ∨ f(pi) = f(p0 ∨ pi). Per tant, [u0 + yui] = f([a0e0 + aiei]) amba0 6= 0, ja que sino [u0 + yui] = f([ei]) = [ui] , i aixo no pot ser. Aixı, denotantx = a1/a0 , tenim [u0 + yui] = f([e0 + xei]). Per definicio de σi , y = σi(x), i σi esexhaustiva.

Vegem σ1 = σi , per a tot i = 2, . . . , n . Prenem x ∈ K , x 6= 0. Tenim ei − e1 =(e0+ei)−(e0+e1) = x−1(e0+xei)−x−1(e0+xe1). Per tant, el punt f([ei−e0]) pertanya f(p0)∨f(pi), f([e0+e1])∨f([e0+ei]) i f([e0+xe1])∨f([e0+xei]). O sigui, f([ei−e0])esta en les tres rectes [u0]∨ [ui] , [u0 +u1]∨ [u0 +ui] i [u0 +σ1(x)u1]∨ [u0 +σi(x)ui] . Lainterseccio de les dues primeres es el punt [ui− u1] . Aixo implica que el punt [ui− u1]pertany a [〈u0 + σ1(x)u1, u0 + σi(x)ui 〉 ] . O sigui, ui − u1 = a(u0 + σ1(x)u1) + b(u0 +σi(x)ui), la qual cosa implica a = −b , aσ1(x) = −1 i bσi(x) = 1, d’on σ1(x) = σi(x).Aixı, totes les σi son iguals. L’anomenem σ .

(3): Vegem que f([e0 + x1e1 + . . .+ xrer]) = [u0 + σ(x1)u1 + . . .+ σ(xr)ur] , per a totr ≥ 1, per a qualssevol xi ∈ K .

Provem-ho per induccio en r = 1, . . . , n . Per a r = 1, es el punt anterior (2). Suposemque r ≥ 2. Siguin A = [e0 + x1e1 + . . . + xr−1er−1] i B = [e0 + x1e1 + . . . + xrer] .Aleshores B ∈ (A ∨ pr) ∩ L , on L = [e0 + xrer] ∨ p1 ∨ . . . ∨ pr−1 . Aixı f(B) esta en(f(A)∨f(pr))∩f(L). Per hipotesi d’induccio, f(A) = [u0+σ(x1)u1+. . .+σ(xr−1)ur−1] .D’altra banda, pel lema anterior, f(L) = f([e0+xrer])∨f(p1)∨ . . .∨f(pr−1) i, pel puntanterior (2), f([e0 + xrer]) = [u0 + σ(xr)ur] . Per tant, f(B) esta en en la intersecciode [〈u0 + σ(x1)u1 + . . . + σ(xr−1)ur−1, ur 〉 ] i [〈u0 + σ(xr)ur, u1, . . . , ur−1 〉 ] . O sigui,f(B) = [w] on, d’una banda, w = λ(u0 + σ(x1)u1 + . . .+ σ(xr−1)ur−1) + µur i, d’altrabanda, w = α(u0 + σ(xr)ur) + β1u1 + . . .+ βr−1ur−1 . Usant que els ui son linealmentindependents es dedueix que λ = α , λσ(x1) = β1, . . . , λσ(xr−1) = βr−1 i µ = ασ(xr).En particular, w = λ(u0 + σ(x1)u1 + . . .+ σ(xr)ur , on λ 6= 0 ja que w 6= 0. Per tant,f(B) = [u0 + σ(x1)u1 + . . .+ σ(xr)ur] .

(4): Vegem f([x1e1+ . . .+xnen]) = [σ(x1)u1+ . . .+σ(xn)un] , per a qualssevol xi ∈ K .

Sigui A = [e0 + x1e1 + . . .+ xnen] . Pel cas (3), f(A) = [u0 + σ(x1)u1 + . . .+ σ(xr)ur] .Anomenem B = [x1e1 + . . .+ xnen] = [〈e1, . . . , en 〉 ]∩ [〈e0 + x1e1 + . . .+ xnen, e0 〉 ] . O


sigui, B ∈ (p1∨. . .∨pn)∩(A∨p0). Per tant, f(B) ∈ (f(p1)∨. . .∨f(pn))∩(f(A)∨f(p0)).Per tant, f(A) = [w] , amb w ∈ 〈u1, . . . , un 〉 ∩ 〈u0 +σ(x1)u1 + . . .+σ(xr)ur, u0 〉 . Aixı,w = λ1u1+. . .+λnun = α(u0+σ(x1)u1+. . .+σ(xn)un)+βu0 . Usant que els u0, . . . , unson base, obtenim α = −β i λi = ασ(xi). Per tant, w = α(σ(x1)u1 + . . .+ σ(xn)un) if(B) = [σ(x1)u1 + . . .+ σ(xn)un] .

(5): Vegem σ(a + b) = σ(a) + σ(b) i σ(ab) = σ(a)σ(b), per a tot a, b ∈ K . Enparticular, σ es automorfisme de cossos.

Aquı necessitem n ≥ 2. Sigui A = [e0 + (a+ b)e1 + e2] ∈ [〈e0 + ae1, be1 + e2 〉 ] . Pelspunts (3) i (4), f(A) ∈ f([e0 + ae1]) ∨ f([be1 + e2]) = [u0 + σ(a)e1] ∨ [σ(b)u1 + u2] =[〈u0+σ(a)e1, σ(b)u1+u2 〉 ] . D’altra banda, pel punt (3), f(A) = [u0+σ(a+b)u1+u2] .Per tant, u0 + σ(a + b)u1 + u2 = α(u0 + σ(a)u1) + β(σ(b)u1 + u2). Per ser u0, u1, u2linealment independents, α = 1, β = 1 i σ(a+ b) = σ(a) + σ(b).

Analogament, prenem A = [e0 + (ab)e1 + ae2] ∈ [〈e0, be1 + e2 〉 ] = p0 ∨ [be1 + e2] .Per tant, f(A) = [u0 +σ(ab)u1 +σ(a)u2] ∈ f(p0)∨f([be1 +e2]) = [u0]∨ [σ(b)u2 +u2] =[〈u0, σ(b)u1 + u2 〉 ] . Per tant, u0 + σ(ab)u1 + σ(a)u2 = αu0 + β(σ(b)u1 + u2). Per seru0, u1, u2 linealment independents, α = 1, σ(ab) = βσ(b) i σ(a) = β . En particular,σ(ab) = σ(a)σ(b).

(6): Finalment vegem que f([x0e0 + . . . + xnen]) = [σ(x0)u0 + . . . + σ(xn)un] , per atot xi ∈ K .

Si x0 = 0, es el cas (3). Si x0 6= 0, pels punts (3) i (5), tenim f([x0e0 + . . .+xnen]) =f([e0 + x−10 x1e1 + . . . + x−10 xnen]) = [u0 + σ(x−10 x1)u1 + . . . + σ(x−10 σ(xn))un] . Comque σ es automorfisme de cossos, σ(x−10 xi) = σ(x0)

−1xi i aquest ultim punt coincideixamb [σ(x0)u0 + . . .+ σ(xn)un] .

El Teorema Fonamental de la Geometria Projectiva diu:

Teorema 5.5.3. Siguin P = (P , E, π), P ′ = (P ′, E′, π′) espais projectius dim P , P ′ = n,n ≥ 2. Sigui f : P → P ′ una colineacio bijectiva. Aleshores:

(1) existeixen ϕ : E → E′ bijectiva i un automorfisme de cossos σ : K → K , talsque ϕ(v+w) = ϕ(v)+ϕ(w) i ϕ(λv) = σ(λ)ϕ(v), per a tot v, w ∈ E i tot λ ∈ K .

(2) l’aplicacio [ϕ] : P → P ′ , [ϕ]([v]) = [ϕ(v)] esta ben definida i coincideix amb f .O sigui, f([v]) = [ϕ(v)], per a tot v ∈ E .

Demostracio. Prenem R = {p0, . . . , pn;U} referencia projectiva de P i e = e0, . . . , enuna base adaptada de R . Pel Lema anterior, f(R) = {f(p0), . . . , f(pn); f(U)} es unareferencia projectiva de P ′ i existeixen u = u0, . . . , un base de E′ i σ : K → K unautomorfisme de cossos tals que, per a qualssevol xi ∈ K , f([x0e0 + . . . + xnen]) =[σ(x0)u0 + . . . + σ(xn)un] . Prenem ϕ : E → E′ definida per ϕ(x0e0 + . . . + xnen) =σ(x0)u0+. . .+σ(xn)un . Es comprova que ϕ esta ben definida, que es bijectiva (trobant

5.6. PERSPECTIVITATS I EL TEOREMA DE PONCELET 69

la inversa) i que ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w) i ϕ(λv) = σ(λ)ϕ(v), per a tot v, w ∈ E itot λ ∈ K . Observem que [ϕ] : P → P ′ , [ϕ]([v]) = [ϕ(v)], esta ben definida, ja que,en primer lloc, si v 6= 0, aleshores ϕ(v) 6= 0. A mes, si v = λw amb λ 6= 0, aleshoresϕ(v) = σ(λ)ϕ(w) amb σ(λ) 6= 0. Per tant, [ϕ(v)] = [ϕ(w)]. Finalment, per definiciode ϕ , f([x0e0 + . . .+ xnen]) = [σ(x0)u0 + . . .+ σ(xn)un]) = [ϕ(x0e0 + . . .+ xnen)].

Corol.lari 5.5.4. Si K = Q o K = R , tota colineacio bijectiva en dimensio n ≥ 2 esuna projectivitat.

Demostracio. Sigui σ : Q → Q un automorfisme de cossos. Aleshores σ(n) = n ,per a tot n ∈ N . Com que σ(a) = −σ(a), aleshores σ(−n) = −σ(n). D’altrabanda, com que σ(ab−1) = σ(a)σ(b)−1 , aleshores σ(n/m) = σ(nm−1) = σ(n)σ(m−1) =σ(n)/σ(m). Per tant, necessariament, σ es la identitat. Suposem que σ : R → R esun automorfisme de cossos. Pel que acabem de veure, σ es la identitat sobre elsracionals. Prenem x ∈ R \ Q . Si σ(x) 6= x , prenem q ∈ Q tal que x < q < σ(x) (obe σ(x) < q < x i la demostracio es fa igual). Aleshores q − x = y2 > 0 i per tantσ(q−x) = σ(y2) = σ(y)2 > 0, pero d’altra banda, σ(q−x) = σ(q)−σ(x) = q−σ(x) < 0,una contradiccio. Aixı, hem comprovat que l’unic automorfisme de cossos quan K = Qo K = R es la identitat. Per tant, la ϕ del teorema anterior es un isomorfisme d’espaisvectorials i f es una projectivitat.

Exercici 5.5.5. Sigui P = P(C3). Trobeu f : P → P colineacio bijectiva que no siguiprojectivitat.

5.6 Perspectivitats i el teorema de Poncelet

Definicio 5.6.1. Siguin P un espai projectiu i L1, L2 dos hiperplans diferents de P . SiguiM 6∈ L1, L2 . La perspectivitat de L1 en L2 de centre M es l’aplicacio f : L1 → L2

definida per f(p) = q , on {q} = (p ∨M) ∩ L2 , per a tot p ∈ L1 .

Proposicio 5.6.2. La perspectivitat f : L1 → L2 de L1 en L2 de centre M es unaaplicacio ben definida i es una projectivitat.

Lema 5.6.3. Siguin L1 i L2 dues rectes diferents d’un pla projectiu P . Siguin R1 ={A1, B1, C1} i R2 = {A2, B2, C2} referencies projectives de L1 i L2 , respectivament.Si A1 = A2 , aleshores M = (B1 ∨ B2) ∩ (C1 ∨ C2) es un punt de P , M 6∈ L1, L2 i laperspectivitat g : L1 → L2 amb centre M verifica g(R1) = R2 . Si A1 6= A2 , B1 6= B2

i C1 6= C2 , aleshores existeix una projectivitat g : L1 → L2 que es composicio de duesperspectivitats i que compleix g(R1) = R2 .

Teorema 5.6.4. Teorema de Poncelet, en dimensio 2. Sigui f : L1 → L2 una pro-jectivitat entre dues rectes L1 i L2 d’un pla projectiu P . Aleshores f es perspectivitato be es composicio de dues o tres perspectivitats.


Demostracio. Prenem R1 = {A1, B1;C1} una referencia projectiva de L1 . Com quef es projectivitat, aleshores R2 = f(R1) = {f(A1), f(B1); f(C1)} =: {A2, B2;C2} esuna referencia projectiva de L2 . Si L1 6= L2 , pel lema anterior, sabem que existeixg : L1 → L2 , una perspectivitat (si A1 = A2 o B1 = B2 o C1 = C2 ), o una composiciode dues perspectivitats (en el cas que A1 6= A2 , B1 6= B2 i C1 6= C2 ), que compleixg(R1) = R2 . Si L1 = L2 , prenem L3 una recta de P tal que L1 ∩ L3 = {A1} .Prenem R3 = {A3, B3;C3} una referencia projectiva de L3 amb A3 = A1 . Pel lemaanterior, M = (B1 ∨B3) ∩ (C1 ∨ C3) es un punt de P , M 6∈ L1, L3 i la perspectivitatϕ : L1 → L3 amb centre M verifica g(R1) = R3 . Com que L3 6= L2 , de noupel lema anterior podem assegurar que existeix ψ : L3 → L2 , una perspectivitat (siA3 = A1 = A2 ), o una composicio de dues perspectivitats (en el cas A3 = A1 6= A2 ),complint ψ(R3) = R2 . Aleshores g = ψ ◦ ϕ : L1 → L2 es composicio de dues otres perspectivitats complint g(R1) = R2 . Es a dir, tant si L1 i L2 son iguals comdiferents, hem construıt g : L1 → L2 una perspectivitat o composicio de dues o tresperspectivitats complint g(R1) = R2 . Com que una projectivitat queda univocamentdeterminada per la imatge d’una referencia projectiva, i f(R1) = R2 , deduım quef = g .

Exercici 5.6.5. Sigui f : L1 → L2 una projectivitat entre dues rectes L1 i L2 d’un plaprojectiu P . Proveu que f es una perspectivitat si i nomes si f(L1 ∩ L2) = L1 ∩ L2

5.7 Afinitats i projectivitats

Idea 5.7.1. Siguin A1 , A2 dos espais afins i A1 , A2 les seves clausures projectives.Veurem que, donada una afinitat f : A1 → A2 , la podem estendre a una projectivitatf : A1 → A2 que “conserva els punts de l’infinit”. Recıprocament, donada una projec-tivitat g : A1 → A2 tal que g(A1,∞) ⊆ A2,∞ , veurem que la podem restringir a unaafinitat g|A1

: A1 → A2 . La idea es la seguent: en coordenades una afinitat s’escriu

com Y = b+AX , amb det(A) 6= 0. Es a dir:

y1...yn

=

b1...bn

+

a1,1 . . . a1,n...

...an,1 . . . a1,n

x1

...xn

.

5.7. AFINITATS I PROJECTIVITATS 71

Informalment, afegint una primera coordenada, tenim:

(1Y

)=

1y1...yn

=

0b1...bn

+

1 0 . . . 0

0 a1,1 . . . a1,n...

......

0 an,1 . . . a1,n

1x1...xn

=

1 0 . . . 0

b1 a1,1 . . . a1,n...

......

bn an,1 . . . a1,n

1x1...xn

=

(1 0

b A

)(1X

).

Aixı, tenim una projectivitat f : A1 → A2 que esten f , les equacions de la qual son[(y0Y

)]=

[(1 0

b A

)][(x0X

)].

Observem que, quan x0 = 0, aleshores y0 = 0, es a dir, f(A1,∞) ⊆ (A2,∞). A mesa mes, quan x0 6= 0, aleshores y0 6= 0. Pensant A1 = A1 \ {x0 = 0} = A1 \ A1,∞ iA2 = A2 \ {y0 = 0} = A2 \ A2,∞ , aleshores f(A1) ⊆ (A2) i f |A1

= f .

Recıprocament, donada una projectivitat g : A1 → A2 tal que g((A1,∞) ⊆ (A2,∞),aleshores les seves equacions venen donades per

y0y1...yn

=

a0,0 a0,1 . . . a0,nb1 a1,1 . . . a1,n...

......

bn an,1 . . . a1,n

x0x1...xn

Com que g((A1,∞) ⊆ (A2,∞), aixo vol dir que quan x0 = 0, aleshores y0 = 0. O sigui,igualant les primeres components: a0,1x1+ . . .+a0,nxn = 0, per a qualssevol x1, . . . , xnno tots nuls alhora. En particular, prenent-ne un igual a 1 i la resta iguals a 0, deduımque a0,1 = . . . = a0,n = 0. Com que el determinant de la matriu ha de ser no nul,aixo forca a0,0 6= 0. I dividint per a0,0 podem suposar que es igual a 1. Les equacionsqueden, doncs:

y0y1...yn

=

1 0 . . . 0

b1 a1,1 . . . a1,n...

......

bn an,1 . . . a1,n

x0x1...xn

Restringint a x0 6= 0, obtenim y0 6= 0. Prenent x0 = 1 obtenim l’afinitat(y0Y

)=

(1 0

b A

)(x0X

),

o sigui Y = b+AX .


Concretem ara la inclusio de l’afı en el projectiu i les referencies afins i projectivesque usem.

Observacio 5.7.2. Siguin A1 = (A1, E1,+) i A2 = (A2, E2,+) dos espais afins dedimensio n . Considerem E1 = K × E1 = 〈e0 〉 ⊕ E1 , on e0 = (1, 0) ∈ E1 . Fixemp ∈ A1 i considerem la clasura projectiva de A1 amb p = [e0] . Es a dir, preneml’espai projectiu A1 = (P(E1), E1, π1) i i1 : A1 ↪→ A1 amb i1(a) = a = [ea] , onea = e0 + −→pa . Per tant, i1(p) = p = [ep] = [e0] . Prenem e = e1, . . . , en base de E1 iR1 = {p; e1, . . . , en} referencia afı de A1 . Prenem

R1 = {[e0], [e1], . . . , [en]; [e0 + . . .+ en]} = {p, p1, . . . , pn;U}

la referencia projectiva associada a R1 amb base adaptada e0, e1, . . . , en . Un punt x ∈A1 te coordenades (x1, . . . , xn) en R1 si i nomes si x te coordenades [(1, x1, . . . , xn)]en R1 . Analogament, considerem E2 = K × E2 = 〈u0 〉 ⊕ E2 , on u0 = (1, 0) ∈ E2 .Fixem q ∈ A2 i considerem la clasura projectiva de A2 amb q = [u0] . Es a dir,prenem l’espai projectiu A2 = (P(E2), E2, π2) i i2 : A2 ↪→ A2 amb i2(b) = b = [eb] ,

on eb = u0 +−→qb , i per tant, i2(q) = q = [eq] = [u0] . Prenem u = u1, . . . , un base de E2

i R2 = {q;u1, . . . , un} referencia afı de A2 . Prenem

R2 = {[u0], [u1], . . . , [un]; [u0 + . . .+ un]} = {q, q1, . . . , qn;V }

la referencia projectiva associada a R2 amb base adaptada u0, u1, . . . , un . Un punt y ∈A2 te coordenades (y1, . . . , yn) en R2 si i nomes si y te coordenades [(1, y1, . . . , yn)]en R2 . Recordem que A1,∞ = [E1] i que A2,∞ = [E2] . Els anomenem els hiperplansde l’infinit de A1 i A2 , respectivament.

Siguin b i A dues matrius amb coeficients en K definides per:

b =

b1...bn

i A =

a1,1 . . . a1,n...

...an,1 . . . an,n

, amb det(A) 6= 0.

Lema 5.7.3. Sigui g : A1 → A2 la projectivitat, la matriu de la qual en les referenciesR1 i R2 es

MR1,R2(g) =

[(a0,0 w

b A

)]amb w =

(a0,1 . . . a0,n

),

a0,i ∈ K . Aleshores, son equivalents:

(1) g(A1,∞) ⊆ A2,∞; (2) g(A1,∞) = A2,∞; (3) g(A1) = A2; (4) w = 0 i a0,0 6= 0.

5.8. HOMOGRAFIES DE LA RECTA I DEL PLA 73

Lema 5.7.4. Sigui g : A1 → A2 una projectivitat. Suposem que la matriu de g en lesreferencies R1 i R2 es:

MR1,R2(g) =

[(1 0

b A

)].

En particular, g(A1,∞) ⊆ A2,∞ i g|A1: A1 → A2 . Siguin ϕ : E1 → E2 l’isomorfisme

de matriu Me,u(ϕ) = A i f : A1 → A2 l’aplicacio definida per f(x) = g(p) + ϕ(−→px).Aleshores f es l’afinitat d’equacions Y = b + AX en les referencies R1 i R2 ig|A1

= f .

Lema 5.7.5. Sigui f : A1 → A2 l’afinitat d’equacions Y = b+AX en les referencies R1

i R2 . Siguin ϕ : E1 → E2 l’isomorfisme associat a f i f : A1 → A2 la projectivitatque te matriu en les referencies R1 i R2

MR1,R2(g) =

[(1 0

b A

)].

Aleshores f |A1= f i f |A1,∞ : A1,∞ → A2,∞ coincideix amb [ϕ] : [E1]→ [E2].

Teorema 5.7.6. Hi ha una bijeccio entre el conjunts

{g : A1 → A2 | g projectivitat, g(A1,∞) ⊆ A2,∞} ↔ {f : A1 → A2 | f afinitat}

definida per g 7→ g|A1i f ←[ f .

5.8 Homografies de la recta i del pla

Siguin E un espai vectorial sobre un cos K , on K = R o C , i dimE = n+ 1. SiguiP = (P , E, π) un espai projectiu.

Definicio 5.8.1. Siguin g, h : P → P dues homografies de P , g = [ϕ] , h = [ψ] , onϕ,ψ : E → E son isomorfismes. Direm que g i h son projectivament equivalents siexisteix una homografia l : P → P tal que g = l−1hl . Es a dir, si existeixen ρ : E → Eisomorfisme i λ ∈ K , λ 6= 0, tals que ϕ = λρ−1ψρ .

Per tal de “classificar” una homografia g = [ϕ] : P → P , es a dir, trobar un re-presentant canonic de la seva classe d’equivalencia d’homografies projectivament equi-valents, usarem la forma reduıda de Jordan de ϕ . Observem que, si λ ∈ K es unVAP de ϕ , aleshores λ 6= 0. Observar que si p = [u] ∈ P , p es un punt fix de g si inomes si g(u) = u , es a dir, si i nomes si [ϕ(u)] = [u] , o sigui, si i nomes si existeix unλ ∈ K \ {0} tal que ϕ(u) = λu , es a dir, si i nomes si u es un VEP de ϕ de VAP nonul.


Notacio 5.8.2. Anomenarem Qϕ(t) al polinomi caracterıstic de ϕ i J a la matriu deJordan de ϕ . Si λ ∈ K , denotem Jn(λ) a la caixa de Jordan de VAP λ i tamany n .Per exemple,

J2(λ) =

(λ 01 λ

)i J3(λ) =

λ 0 01 λ 00 1 λ

.

Anomenarem M = MR′(g) a la matriu de g en una referencia projectiva R ′ adequada.

Idea 5.8.3. Sigui u = u0, . . . , un una base de E tal que Mu(ϕ) = J es la forma reduıdade Jordan de ϕ . Prenem R = {[u0], . . . , [un]; [u0 + . . . + un]} , referencia projectivade P i u = u0, . . . , un , base adaptada a R . La matriu de g en la referencia R esMR(g) = [Mu(ϕ)] = [J ] . Canviant el representant ϕ de g o be canviant de referencia,volem trobar una matriu M = MR′(g) de g en una nova referencia adequada R ′ ={[v0], . . . , [vn]; [v0 + . . .+ vn]} , de manera que sigui facil descriure g . Ens restringiremals casos de dim P = 1 o 2.

L’observacio seguent dona una idea de les reduccions que farem despres.

Observacio 5.8.4. Suposem que dimE = 3 i que Mu(ϕ) = J3(µ), on µ ∈ K \ {0} iu = u0, u1, u2 es base de E . Aleshores, si R = {[u0], [u1], [u2]; [u0 + u1 + u2]} , lamatriu de g en R es MR(g) = [Mu(ϕ)] = [J3(µ)]. Sigui α = 1/µ i ψ = αϕ . Tenimg = [ϕ] = [αϕ] = [ψ] . En particular, com que Mu(ψ) = αMu(ϕ) = αJ3(µ),

Mu(ψ) = αJ3(µ) =

1 0 0α 1 00 α 1

i MR(g) = [Mu(ψ)] =

1 0 0α 1 00 α 1

.Prenem ara v = v0, v1, v2 amb v0 = u0 , v1 = αu1 i v2 = α2u2 . Es clar que, si α 6= 0,v es base de E . Prenem R ′ = {[v0], [v1], [v2]; [v0 + v1 + v2]} . Aleshores

Mv(ψ) =

1 0 01 1 00 1 1

= J3(1) i M = MR′(g) = [Mv(ψ)] =

1 0 0

1 1 00 1 1

.En particular, si la matriu de g en referencia R ′ es

M = MR′(g) =

[(1 0

b A

)],

aleshores L = [〈v1, v2 〉 ] es una pla invariant. Prenem A = P \ L i fixem v0 , elqual compleix E = 〈v0 〉 ⊕ 〈v1, v2 〉 . Sabem que A te estructura d’espai afı. Tenimp = [v0] ∈ A = P \ L . La clausura projectiva de A amb p = p es A = P . A mesA∞ = L i g = f amb f : A → A l’afinitat d’equacions Y = b+ AX en la referencia{[v0]; v1, v2} .


Observacio 5.8.5. Homografies de la recta. Suposem que dim P = 1. Hi ha quatrecasos possibles segons Qϕ(t) i J .

(1) Qϕ(t) es un polinomi irreduıble de segon grau, en particular K 6= C . Aleshoresg no te cap punt fix. En particular, g 6= f per a qualsevol afinitat f .

(2) J = diag(a, a). Aleshores M = MR′(g) = [diag(1, 1)] i g es la identitat.

(3) J = J2(a). Aleshores M = MR′(g) = [J2(1)], g te un unic punt fix i prenent-locom a punt de l’infinit, g = f , on f : A → A es una translacio.

(4) J = diag(a, b), amb a 6= b . Aleshores M = MR′(g) = [diag(1, β)], g te exac-tament dos punts fixos diferents. Prenent un d’ells el punt de l’infinit, g = f onf : A → A es una homotecia de centre l’altra punt fix i rao β .

Resumint: en el cas (1) no hi ha cap punt fix; en el (2) tots els punts son fixos; en el(3) hi ha exactament un punt fix; en el (4) hi ha exactament dos punts fixos.

Observacio 5.8.6. Homografies del pla. Suposem que dim P = 2 i dimE = 3. Comque K = R o C , ϕ te almenys un VAP, diguem-li a ∈ K . Hi ha set casos possiblessegons Qϕ(t) i J .

(1) Qϕ(t) = (a − t)q(t), amb q(t) polinomi irreduıble de segon grau. Aleshores lamatriu de Jordan J de ϕ es

J =

a 0 00 b c0 d e

i M = MR′(g) =

1 0 0

0 β γ0 δ ε

.Aleshores, g te un exactament un punt fix [v0] i te exactament una recta invariantL = [〈v1, v2 〉 ] (i no n’hi ha mes; comproveu-ho!). Observem que [v0] 6∈ L .Prenent A = P \ L i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshores A = P ,A∞ = L . A mes, g = f , on f : A → A es una afinitat del pla, les equacions dela qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(β γδ ε

)(x1x2

).

(2) Qϕ(t) = (a− t)3 i la matriu de Jordan J de ϕ es

J =

a 0 00 a 00 0 a

. Aleshores M = MR′(g) =

1 0 00 1 00 0 1

i g es la identitat.



J =

a 0 00 a 00 1 a


1 0 0

0 1 00 1 1

.En particular, g te exactament una recta de punts fixos L = [〈v0, v2 〉 ] i unfeix [〈λv0 + λ1v1, v2 〉 ] de rectes invariants per [v2] , (λ0, λ1) 6= (0, 0). SiguiL′ = [〈v1, v2 〉 ] . Prenent A = P \L′ i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshoresA = P , A∞ = L′ . A mes, g = f , on f : A → A es una homologia especial d’eixp+ 〈v2 〉 , les equacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(1 01 1

)(x1x2

).


J =

a 0 01 a 00 1 a


1 0 0

1 1 00 1 1

.En particular, g te exactament un punt fix [v2] i te exactament una recta invariantL = [〈v1, v2 〉 ] (i no n’hi ha mes; comproveu-ho!). Observem que [v2] ∈ L .Prenent A = P \ L i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshores A = P ,A∞ = L . A mes, g = f , on f : A → A es una homologia especial mestranslacio, les equacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(10

)+

(1 01 1

)(x1x2

).

(5) Qϕ(t) = (a− t)(b− t)2 , amb a 6= b , i la matriu de Jordan J de ϕ es

J =

a 0 00 b 00 0 b


1 0 0

0 β 00 0 β

amb 1 6= β . En particular, g te un punt fix [v0] i una recta de punts fixosL = [〈v1, v2 〉 ] , on [v0] 6∈ L . Observar que totes les rectes que contenen el punt[v0] son invariants. Prenent A = P \ L i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A ,aleshores A = P , A∞ = L . A mes, g = f , on f : A → A es una homotecia derao β , les equacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(β 00 β

)(x1x2

).


(6) Qϕ(t) = (a− t)(b− t)2 , amb a 6= b , i la matriu de Jordan J de ϕ es

J =

a 0 00 b 00 1 b


1 0 0

0 β 00 1 β

,amb 1 6= β . En particular, g te exactament dos punts fixos [v0] i [v2] i duesrectes invariants L1 = [〈v0, v2 〉 ] i L2 = [〈v1, v2 〉 ] . Prenent A = P \ L2 i fixantv0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshores A = P , A∞ = L2 . A mes, g = f , onf : A → A es una afinitat del pla, amb un punt fix i una recta invariant, lesequacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(β 01 β

)(x1x2

).

(7) Qϕ(t) = (a− t)(b− t)(c− t), amb a, b, c diferents, i la matriu de Jordan J de ϕes

J =

a 0 00 b 00 0 c


1 0 0

0 β 00 0 γ

,amb α, β, γ diferents. En particular, g te tres punts fixos [v0] , [v1] i [v2] i tresrectes invariants L1 = [〈v0, v1 〉 ] , L2 = [〈v0, v2 〉 ] i L3 = [〈v1, v2 〉 ] . PrenentA = P \ L3 i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshores A = P , A∞ = L2 . Ames, g = f , on f : A → A es una afinitat del pla, amb un unic punt fix i duesrectes invariants, les equacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(β 00 γ

)(x1x2

).

Observacio 5.8.7. Resumint: en el cas (1) hi ha un sol punt fix; en el (2), tots els puntsson fixos; en el (3), hi ha una recta de punts fixos; en el (4), un sol punt fix; en el (5),hi ha un punt fix p i una recta de punts fixos L , on p 6∈ L ; en el (6), hi ha exactamentdos punts fixos; finalment, en el cas (7), hi ha tres punts fixos.

Observem que els unics casos que no queden distingits pel nombre de punts fixosson el (1) i el (4). En tots dos casos hi ha exactament un punt fix p . En tots dos casostambe hi ha exactament una recta invariant L . Per distingir-los nomes cal observarque en el cas (1), p 6∈ L ; en canvi, en el cas (4), p ∈ L .

Observacio 5.8.8. Si una homografia g te mes d’una recta invariant, aleshores tenimmes d’una opcio per escollir la recta de l’infinit. Aixı, l’homografia g es podra escriurecom g = f , per a diverses afinitats f . Per exemple, si en el cas (5) anterior, enlloc dedividir per a , dividim per b , obtenim:

J =

a 0 00 b 00 0 b

i M = MR′(g) =

α 0 00 1 0

0 0 1

,


amb a 6= b i α 6= 1. Prenent L = [〈v0, v1 〉 ] recta invariant, A = P \L i fixant v2 ∈ Eamb p = [v2] ∈ A , aleshores A = P , A∞ = L . A mes, g = f , on f : A → A es unahomologia general d’eix p + 〈v2 〉 , les equacions de la qual en la referencia {p; v0, v1}son (

y0y1

)=

(α 00 1

)(x0x1

).

Observacio 5.8.9. En el cas (3), si haguessim agafat com a matriu de Jordan de ϕ lamatriu

J =

a 0 01 a 00 0 a

, aleshores M = MR′(g) =

1 0 0

1 1 00 0 1

.En particular, g te exactament una recta de punts fixos L = [〈v1, v2 〉 ] i un feix[〈λ0v0 + λ2v2, v1 〉 ] de rectes invariants per [v1] , (λ0, λ2) 6= (0, 0), com abans. SiguiL′ = [〈v1, v2 〉 ] . Prenent A = P \ L′ i fixant v0 ∈ E amb p = [v0] ∈ A , aleshoresA = P , A∞ = L′ . A mes, g = f , on f : A → A es una translacio de vector v1 , lesequacions de la qual en la referencia {p; v1, v2} son(

y1y2

)=

(10

)+

(1 00 1

)(x1x2

).

Tema 6

Quadriques

6.1 Definicions

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n , on E es unespai vectorial sobre el cos K = R o C . Siguin R = {p0, . . . , pn;U} una referenciaprojectiva de P i e = e0, . . . , en una base adaptada de R . Recordem que S2(E) esl’espai vectorial de les formes bilineals simetriques en E i que hi ha una bijeccio entreformes bilineals simetriques ϕ : E × E → K i formes quadratiques q : E → K , viaq(x) = ϕ(x, x) i ϕ(x, y) = 1

2(q(x+ y)− q(x)− q(y)). Si cal, escrivim q = qϕ i ϕ = ϕq .

Definicio 6.1.1. Una quadrica Q de P es un element de P(S2(E)), el projectivitzatde S2(E). O sigui, Q = [ϕ] es el subespai vectorial de dimensio 1 generat per ϕ , onϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica no nul.la. Aixı, [ϕ] = [ψ] ⇔ existeixun λ ∈ K \ {0} tal que ϕ = λψ .

Definicio 6.1.2. Un conica es una quadrica d’un espai projectiu de dimensio 2.

Definicio 6.1.3. Una quadrica Q = [ϕ] es no degenerada si ϕ es no degenerada, es a dir,si rad(ϕ) = 0. Observem que si ϕ = λψ , amb λ 6= 0, aleshores rad(ϕ) = rad(ψ).

Definicio 6.1.4. El conjunt de punts d’una quadrica Q = [ϕ] es

|Q| = {p ∈ P | p = [x], ϕ(x, x) = 0} = {p ∈ P | p = [x], q(x) = 0},

on q = qϕ . Escriurem p ∈ Q , enlloc de p ∈ |Q| . Tambe s’escriu |Q| = {Q = 0} .

Observacio 6.1.5. La definicio de |Q| es independent del representant de Q escollit, jaque si Q = [ϕ] = [ψ] , aleshores existeix un λ ∈ K , λ 6= 0, tal que ϕ = λψ . Pertant, ϕ(x, x) = 0 si i nomes si ψ(x, x) = 0. La definicio tambe es independent delrepresentant de p ∈ |Q| escollit, ja que si p = [x] = [y] , aleshores existeix un λ ∈ K ,λ 6= 0, tal que x = λy . Per tant, ϕ(x, x) = λ2ϕ(y, y) i ϕ(x, x) = 0 si i nomes siϕ(y, y) = 0.

79

80 TEMA 6. QUADRIQUES

Definicio 6.1.6. Sigui Q = [ϕ] una quadrica i Me(ϕ) la matriu de ϕ en la base e . Lamatriu de Q = [ϕ] en la referencia R es l’element MR(Q) = [Me(ϕ)] de P(Mn+1(K)),el projectivitzat de Mn+1(K). O sigui, MR(Q) = [Me(ϕ)] es el subespai vectorial dedimensio 1 generat per Me(ϕ). En particular, [Me,u(ϕ)] = [N ]⇔ existeix λ ∈ K \{0}tal que Me,u(ϕ) = λN .

Observacio 6.1.7. La definicio de MR(Q) es independent del representant de Q escollitja que si Q = [ϕ] = [ψ] , aleshores existeix un λ ∈ K , λ 6= 0, tal que ϕ = λψ i, pertant, Me(ϕ) = Me(λψ) = λMe(ψ).

Observacio 6.1.8. Siguin Q = [ϕ] , M = Me,u(ϕ), MR(Q) = [M ] i p = [x] ∈ P .Suposem que x = x0e0 + . . . + xnen , compe(x) = (x0, . . . , xn) i p te coordenadesprojectives [(x0, . . . , xn)]R . Denotem X = compe(x)> . Aleshores, p ∈ Q⇔ ϕ(x, x) =0, es a dir, si i nomes si X>MX = 0. A l’expressio X>MX = 0 en direm l’equacio deQ en la referencia R .

Exemple 6.1.9. Sigui q : R3 → R , q(x0, x1, x2) = −x20 + x21 + x22 . Sigui Q = [ϕq] .Observeu que −x20 + x21 + x22 = 0 i x0 = 0 implica x1 = x2 = 0. En particular,

{Q = 0} = {[(x0, x1, x2)] ∈ P2R | x21 + x22 = x20} = {[(1, x1, x2)] ∈ P2

R | x21 + x22 = 1},

una el.lipse en l’espai afı R2 = P2R \ L , on L = {x0 = 0} .

Exemple 6.1.10. Sigui q : R3 → R , q(x0, x1, x2) = −x20 + x21 − x22 . Sigui Q = [ϕq] .Observeu que −x20 + x21 − x22 = 0 i x0 = 0, implica x1 = ±x2 . En particular

{Q = 0} = {[(x0, x1, x2)] ∈ P2R | x21 − x22 = x20} =

{[(1, x1, x2)] ∈ P2R | x21 − x22 = 1} ∪ {[(0, 1, 1)]} ∪ {[(0, 1,−1)]},

una hiperbola en l’espai afı R2 = P2R \ L , on L = {x0 = 0} , unio els dos punts de

l’infinit [(0, 1, 1)] [(0, 1,−1)], les direccions de les asımptotes de la hiperbola.

Exemple 6.1.11. Sigui q : R3 → R , q(x0, x1, x2) = x0x2−x21 . Sigui Q = [ϕq] . Observeuque x0x2 − x21 = 0 i x0 = 0 implica x1 = 0. En particular,

{Q = 0} = {[(x0, x1, x2)] ∈ P2R | x0x2 = x21} =

{[(1, x1, x2)] ∈ P2R | x2 = x21} ∪ {[(0, 0, 1)]},

una parabola en l’espai afı R2 = P2R \ L , on L = {x0 = 0} , unio el punt de l’infinit

[(0, 0, 1)], la direccio de l’eix de la parabola.

Exemple 6.1.12. Quadriques d’una recta projectiva P . Cas K = C . Suposemque E te dimensio 2. Siguin ϕ : E × E → C una forma bilineal simetrica no nul.la,q : E → C la seva forma quadratica associada i Q = [ϕ] la quadrica de P . SiguiM = Me(ϕ) la matriu de ϕ en la base e = e1, e2 de E . Es a dir,

M = Me(ϕ) =

(a0,0 a0,1a0,1 a1,1

),

Aixı, q(x0, x1) = a0,0x20 + 2a0,1x0x1 + a1,1x

21 . Com que ϕ 6= 0, aleshores M 6= 0.

6.2. INTERSECCIO DE QUADRIQUES AMB VARIETATS PROJECTIVES 81

• Si a0,0 = 0, l’equacio de Q queda (2a0,1x0 + a1,1x1)x1 = 0. Com que M 6= 0,aleshores a0,1 6= 0 o a1,1 6= 0. Per tant, (a0,1, a1,1) 6= 0 i

{Q = 0} = {[(1, 0)], [(a1,1,−2a0,1)]},

que son dos punts. Aquests dos punts son diferents si i nomes si a0,1 6= 0. Esa dir, si i nomes si det(M) = −a20,1 6= 0, que es el mateix que dir que Q es nodegenerada.

• Si a0,0 6= 0, aleshores [(1, 0)] 6∈ Q i podem suposar que x1 6= 0. Dividintl’equacio de Q per x21 , ens queda a0,0θ

2 + 2a0,1θ + a1,1 = 0, on θ = x0/x1 esla coordenada absoluta. Aquesta ultima equacio te dues solucions diferents si inomes 4a20,1 − 4a0,0a1,1 6= 0, es a dir, si i nomes si det(M) 6= 0, o sigui, Q nodegenerada.

Conclusio: el conjunt de punts d’una quadrica d’una recta projectiva, quan K = C ,pot ser: dos punts diferents, en el cas no degenerat, o be un punt doble, en el casdegenerat.

Analogament, farıem el cas seguent.

Observacio 6.1.13. Cas K = R . El conjunt de punts d’una quadrica Q d’una rectaprojectiva, quan K = R , pot ser: dos punts diferents, en el cas no degenerat i deter-minant de la matriu de Q negatiu; el buit, en el cas no degenerat i determinant de lamatriu de Q positiu, o be un punt doble, en el cas degenerat. Comproveu que el signedel determinant de la matriu de Q esta ben definit.

6.2 Interseccio de quadriques amb varietats projectives

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n , on E es un espaivectorial sobre el cos K = R o C . Denotarem Q = [ϕ] , una quadrica de P , onϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica.

Proposicio 6.2.1. Siguin Q = [ϕ] una quadrica de P i L = [F ] una varietat linealprojectiva de P . Aleshores, Q∩L = L o be Q∩L = [ϕ|F ], quadrica de L definida perϕ|F .

Observacio 6.2.2. Sigui Q = [ϕ] una quadrica de P = [E] i sigui L = [F ] una recta deP . Suposem K = C . Aleshores, pot passar:

• L ⊆ Q ; direm que L es una generatriu de Q .

• Q ∩ L son dos punts diferents; direm que L es secant a Q .

• Q ∩ L es un punt doble; direm que L es propiament tangent a Q .


Observacio 6.2.3. Sigui Q = [ϕ] una quadrica de P = [E] i sigui L = A ∨B una rectade P , on A = [x] i B = [y] . Suposem que L no es una generatriu de Q . AleshoresL es propiament tangent a Q si i nomes si Q ∩ L es un punt doble, o sigui, si inomes si la matriu de la restriccio de la quadrica Q en L te determinant nul, es a dir,ϕ(x, x)ϕ(y, y)− ϕ(x, y)2 = 0.

6.3 Conjugacio

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n , on E es unespai vectorial sobre el cos K = R o C . Denotarem Q = [ϕ] , una quadrica deP , on ϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica i q : E → K es la formaquadratica associada a ϕ . Siguin R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de Pi e = e0, . . . , en una base adaptada de R . Sigui M = Me(ϕ) i MR(Q) = [M ] .

Definicio 6.3.1. Dos punts A = [x] i B = [y] de P son conjugats respecte de Q = [ϕ]si ϕ(x, y) = 0. Es a dir, si X>MY = 0, on A te coordenades [(x0, . . . , xn)], B tecoordenades [(y0, . . . , yn)] i M = Me(ϕ). Escriurem A ∼Q B , tot i que no es unarelacio d’equivalencia.

Observacio 6.3.2.

(1) La definicio de A ∼Q B no depen dels representants de Q , A i B .

(2) Si A ∼Q B , aleshores B ∼Q A , es a dir, es una relacio simetrica.

(3) Si A ∼Q B i B ∼Q C , aleshores B ∼Q D , per a tot D ∈ A ∨ C .

Proposicio 6.3.3. Siguin A,B ∈ P i suposem que A 6= B .

(1) A ∼Q A si i nomes si A ∈ Q.

(2) Suposem A,B ∈ Q. Aleshores A ∼Q B si i nomes si A ∨B esta inclosa en Q.

(3) Suposem A ∈ Q i B 6∈ Q. Aleshores A ∼Q B si i nomes si A ∨B (propiament)tangent a Q en A.

(4) Suposem A,B 6∈ Q. Aleshores A ∼Q B si i nomes si A ∨ B secant a Q i(A,B,C,D) = −1, on Q ∩A ∨B = {C,D}.

Demostracio. Prenem representants A = [x] , B = [y] , amb x, y ∈ E \ {0} , x, ylinealment independents. Anomenem a = ϕ(x, x) i b = ϕ(y, y). Aleshores A ∼Q A⇔ϕ(x, x) = 0⇔ A ∈ Q , la qual cosa prova (1). Vegem les altres afirmacions. Per a aixo,escrivim l’equacio de (A ∨ B) ∩Q en una referencia R = {A,B;U} de A ∨ B . Siguip = [λx+ µy] ∈ A ∨B . Aleshores

(A ∨B) ∩Q = {[(λ, µ)] | ϕ(λx+ µy, λx+ µy) = 0}= {[(λ, µ)] | aλ2 + 2λµϕ(x, y) + bµ2 = 0}.

6.4. POLAR, PUNTS DOBLES I PUNTS SIMPLES 83

Cas (2): A,B ∈ Q , es a dir, a = 0 i b = 0 i (A∨B)∩Q = {[(λ, µ)] | 2λµϕ(x, y) = 0} .Per tant, A ∼Q B ⇔ ϕ(x, y) = 0 ⇔ (A ∨ B) ∩ Q = A ∨ B . Es a dir, si i nomes siA ∨B ⊆ Q .

Cas (3): A ∈ Q i B 6∈ Q , es a dir, a = 0 i b 6= 0. Aleshores

(A ∨B) ∩Q = {[(λ, µ)] | µ(2λϕ(x, y) + bµ) = 0} = {[(1, 0)], [(b,−2ϕ(x, y))]}.

Per tant, A ∼Q B ⇔ ϕ(x, y) = 0 ⇔ (A ∨ B) ∩ Q = {[(1, 0)]} = {A} . Es a dir, si inomes si A ∨B es tangent a Q en A .

Finalment, en el cas (4), A,B 6∈ Q , es a dir, a, b 6= 0. En aquest cas, si p = [(λ, µ)] esde (A∨B)∩Q , cal que µ 6= 0, ja que per a µ = 0, p = B i B 6∈ Q . Aixı, dividint perµ2 , i escrivint θ = λ/µ , la coordenada absoluta, obtenim:

(A ∨B) ∩Q = {[(λ, µ)] | aλ2 + 2λµϕ(x, y) + bµ2 = 0}= {[(θ, 1)] | aθ2 + 2θϕ(x, y) + b = 0} = {[(θ1, 1)], [(θ2, 1)]} =: {C,D},

on θ1, θ2 = (−ϕ(x, y)±√ϕ2(x, y)− ab)/a son les solucions de aθ2 + 2θϕ(x, y) + b = 0,

i C = [(θ1, 1)] i D = [(θ2, 1)]. En particular, θ1 + θ2 = −ϕ(x, y)/a . Un calcul senzilldona (A,B,C,D) = θ2/θ1 .

Per tant, A ∼Q B ⇔ ϕ(x, y) = 0 ⇔ θ1 + θ2 = 0 i θ1 6= θ2 ⇔ A ∨ B es secant a Qen C i D i (A,B,C,D) = −1.

6.4 Polar, punts dobles i punts simples

En aquest punt, P = (P , E, π) es un espai projectiu de dimensio n , on E es unespai vectorial sobre el cos K = R o C . Denotarem Q = [ϕ] , una quadrica deP , on ϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica. Sigui p = [x] ∈ P . SiguinR = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de P i e = e0, . . . , en una base adaptadade R . Sigui M = Me(ϕ) i MR(Q) = [M ] .

Definicio 6.4.1. La polar de p respecte de Q es el conjunt Hp(Q) = {B ∈ P | p ∼Q B} .

Definicio 6.4.2. El punt p ∈ P es un punt doble de Q si p ∈ [rad(ϕ)]. Si p es un puntdoble de Q , aleshores p ∈ Q i Hp(Q) = P . Observem que Q te punts dobles si i nomessi Q es degenerada. El conjunt de punts dobles es una varietat lineal projectiva.

Definicio 6.4.3. El punt p ∈ P es un punt simple de Q si p 6∈ [rad(ϕ)]. En aquest cas,Hp(Q) es un hiperpla i s’anomena l’hiperpla polar de p respecte de Q . Amb equacions,Hp(Q) = {[Y ] | X>MY = 0} , on [X] , [Y ] son les coordenades de p , B .

Observacio 6.4.4. Si p es simple respecte Q i p ∈ Q , aleshores

Hp = {B ∈ P | p ∼Q B} = {B ∈ P | p ∨B ⊆ Q o p ∨B tangent a Q en p}.

En aquest cas, Hp(Q) s’anomena l’hiperpla tangent a Q en p .


Observacio 6.4.5. Si p es simple de Q i p 6∈ Q , aleshores Hp = (Hp ∩ Q) ∪ (Hp \ Q),on Hp ∩ Q = {B ∈ Q | p ∼Q B} = {B ∈ Q | p ∨ B tangent a Q en B} s’anomena elcontorn aparent de Q des de p ; d’altra banda

Hp \Q = {B ∈ P \Q | p ∼Q B} =

{B ∈ P \Q | p ∨B secant a Q i (p,B,C,D) = −1, on Q ∩ p ∨B = {C,D}}.

Observacio 6.4.6. Siguin Q una quadrica i A,B ∈ P . Aleshores A ∈ HB ⇔ B ∈ HA .En particular, i si A no es un punt doble respecte de Q , podem “dibuixar” la polar deA respecte de Q . Feu-ho en dimensio 2 i distingint si A es “exterior” o “interior” aQ .

Exemple 6.4.7. Sigui q : R4 → R , q(x0, x1, x2, x3) = x21 + x22 − x23 . Sigui e =e0, e1, e2, e3 la base canonica de R4 i M = Me(ϕ) = diag(0, 1, 1,−1). Observemque det(M) = 0. Per tant, Q = [ϕq] es una quadrica degenerada de P3

R . A mes,rad(ϕ) = {(x0, x1, x2, x3) ∈ R4 | x1 = x2 = x3 = 0} = 〈(1, 0, 0, 0)〉 . Per tant, l’unicpunt doble de Q es el punt p = [(1, 0, 0, 0)].

Exemple 6.4.8. Sigui q : R4 → R , q(x0, x1, x2, x3) = x1x2 . Sigui e = e0, e1, e2, e3 labase canonica de R4 i M = Me(ϕ). Observem que det(M) = 0. Per tant, Q = [ϕq]es una quadrica degenerada de P3

R . A mes,

rad(ϕ) = {(x0, x1, x2, x3) ∈ R4 | x2 = x1 = 0} = 〈(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)〉.

Per tant, el conjunt de punts dobles de Q es la recta projectiva A ∨ B , on A =[(1, 0, 0, 0)] i B = [(0, 0, 0, 1)].

6.5 Els teoremes de Steiner, Pascal i Brianchon

Teorema 6.5.1. Teorema de Steiner Siguin A,B dos punts diferents d’un pla pro-jectiu P . Siguin A∗ i B∗ els feixos de rectes pels punts A i B i f : A∗ → B∗ unaprojectivitat. Sigui Q = {p ∈ P | existeix L ∈ A∗ tal que p = L ∩ f(L)}. Aleshores Qes una conica que conte A i B . Si f(AB) = AB , la conica consta de dues rectes.

Corol.lari 6.5.2. Siguin A,B,C,D,E cinc punts d’un pla projectiu, cada subconjunt detres no alineats. Aleshores existeix una unica conica no degenerada que els conte.

El recıproc del teorema de Steiner tambe es cert.

Proposicio 6.5.3. Siguin A i B dos punts diferents d’una conica Q no degenerada d’unpla projectiu P . Siguin A∗ i B∗ els feixos de rectes per A i B . Sigui jA : A∗ → Ql’aplicacio que assigna a cada recta L de A∗ , la interseccio (L \ {A}) ∩ Q. Si L esla tangent a Q per A, li assignem el propi A. Proveu que l’aplicacio f : A∗ → B∗

definida per f = j−1B ◦ jA es una projectivitat.

6.6. QUADRIQUES I PROJECTIVITATS 85

Teorema 6.5.4. Teorema de Pascal. Sigui Q una conica no degenerada d’un plaprojectiu. Aleshores els tres parells de costats oposats d’un hexagon inscrit en Q estallen en punts alineats.

Teorema 6.5.5. Teorema de Brianchon. Sigui Q una conica no degenerada d’unpla projectiu. Aleshores les diagonals d’un hexagon circumscrit a Q son concurrents.

6.6 Quadriques i projectivitats

En aquest punt, P = (P , E, π) i P ′ = (P ′, E′, π′) son dos espais projectius de dimension ; E i E′ , son dos espais vectorials sobre el cos K = R o C . Sigui f = [α] : P → P ′la projectivitat definida per un isomorfisme α : E → E′ . Denotarem Q = [ϕ] , unaquadrica de P , on ϕ : E×E → K es una forma bilineal simetrica. Recordem l’exerciciseguent fet al tema de formes quadratiques.

Exercici 6.6.1. Sigui φ : E′ × E′ → K definida per φ = ϕ ◦ (α−1 × α−1), es a dir,φ(x, y) = ϕ(α−1(x), α−1(y)), per a tot x, y ∈ E′ . Aleshores φ es una forma bilinealsimetrica. A mes, si e es una base de E , aleshores u = α(e) es una base de E′ iMu(φ) = Me(ϕ).

Definicio 6.6.2. La imatge de la quadrica Q = [ϕ] per f = [α] es la quadrica de P ′definida per f(Q) = [φ] .

Observacio 6.6.3. Sigui p ∈ P . Aleshores:

(1) p ∈ Q si i nomes si f(p) ∈ f(Q);

(2) p es un punt doble de Q si i nomes si f(p) es un punt doble de f(Q);

(3) p i q son conjugats respecte de Q si i nomes si f(p) i f(q) son conjugats respectede f(Q);

(4) f(Hp(Q)) = Hf(p)(f(Q)).

Observacio 6.6.4. Sigui R = {p0, . . . , pn;U} una referencia projectiva de P . PrenemR ′ = f(R), referencia projectiva de P ′ . Aleshores MR′(f(Q)) = MR(Q).

6.7 Classificacio projectiva de quadriques

En aquest punt, P = (P , E, π) i P ′ = (P ′, E′, π′) son dos espais projectius de dimension ; E i E′ , son dos espais vectorials sobre el cos K = R o C . Denotarem Q = [ϕ] ,una quadrica de P , on ϕ : E × E → K es una forma bilineal simetrica. DenotaremQ′ = [ϕ′] , una quadrica de P ′ , on ϕ′ : E′ × E′ → K es una forma bilineal simetrica.


Definicio 6.7.1. Les quadriques Q = [ϕ] i Q′ = [ϕ′] son projectivament equivalents, i hodenotem Q ∼p Q′ , si existeix una projectivitat f = [α] : P → P ′ tal que f(Q) = Q′ .

Proposicio 6.7.2. Son equivalents:

(i) Q = [ϕ] i Q′ = [ϕ′] son projectivament equivalents;

(ii) Existeixen referencies R de P i R ′ de P ′ tals que MR(Q) = MR′(Q′);

(iii) ϕ i ϕ′ son projectivament equivalents.

Teorema 6.7.3. Classificacio projectiva de les coniques de P2K . Denotem r al

rang i i a l’ındex d’inercia de Sylvester. Si K = C , tota conica de P2C es equivalent

a una de les seguents:

x20 + x21 + x22 = 0, no degenerada, r = 3;

x20 + x21 = 0, dues rectes diferents, r = 2;

x20 = 0, una recta doble, r = 1.

Si K = R , tota conica de P2R es equivalent a una de les seguents:

x20 + x21 + x22 = 0, no degenerada imaginaria, (r, i) = (3, 0);

x20 + x21 − x22 = 0, no degenerada real, (r, i) = (3, 1);

x20 + x21 = 0, parella de rectes imaginaries, punt real, (r, i) = (2, 0);

x20 − x21 = 0, dues rectes diferents, (r, i) = (2, 1);

x20 = 0, una recta doble, (r, i) = (1, 0).

Teorema 6.7.4. Classificacio projectiva de les quadriques P3K . Denotem r al

rang i i a l’ındex d’inercia de Sylvester. Si K = C , tota quadrica de P3C es equivalent

a una de les seguents:

x20 + x21 + x22 + x23 = 0, no degenerada, r = 4;

x20 + x21 + x22 = 0, con , r = 3;

x20 + x21 = 0, dos plans diferents, r = 2;

x20 = 0, un pla doble, r = 1.

Si K = R , tota quadrica de P3R es equivalent a una de les seguents:

x20 + x21 + x22 + x23 = 0, no degenerada imaginaria, (r, i) = (4, 0);

6.8. CLASSIFICACIO AFI 87

x20 + x21 + x22 − x23 = 0, no degenerada no reglada, (r, i) = (4, 1);

x20 + x21 − x22 − x23 = 0, no degenerada reglada, (r, i) = (4, 2);

x20 + x21 + x22 = 0, con imaginari, punt real, (r, i) = (3, 0);

x20 + x21 − x22 = 0, con real, (r, i) = (3, 1);

x20 + x21 = 0, dos plans imaginaris, recta real, (r, i) = (2, 0);

x20 − x21 = 0, dos plans diferents, (r, i) = (2, 1);

x20 = 0, pla doble, (r, i) = (1, 0).

6.8 Classificacio afı

En aquest punt, A = (A , E,+) i A ′ = (A ′, E′,+) son espai afins sobre un cos Kde dimensio n + 1. Anomenem A = (P(E), E, π) a la clausura projectiva de A i

analogament A ′ = (P(E′), E′, π), a la clausura projectiva de A ′ .

Definicio 6.8.1. Les quadriques afins de A son les quadriques projectives de A .

Observacio 6.8.2. Sigui Q = [ϕ] una quadrica afı de A , on ϕ : E×E → K es una forma

bilineal simetrica de E . Sigui g : A → A ′ una projectivitat tal que g(A∞) = A ′∞ , esa dir, g = f , on f : A → A ′ es una afinitat. Aleshores g(Q ∩ A∞) = g(Q) ∩ A ′∞ .

Definicio 6.8.3. Sigui Q = [ϕ] una quadrica afı de A , on ϕ : E ×E → K es una formabilineal simetrica de E . Sigui Q′ = [ϕ′] una quadrica afı de A ′ . Direm que Q i Q′

son afı-equivalents si existeix una projectivitat g = f : A → A ′ tal que g(Q) = Q′ .

Proposicio 6.8.4. Son equivalents:

(i) Q i Q′ son afı-equivalents;

(ii) Existeixen referencies afins R de A i R ′ de A ′ tals que MR(Q) = MR′(Q′).

Teorema 6.8.5. Classificacio afı de les quadriques de PnK . Si K = C , totaquadrica de PnC es equivalent a una de les seguents:

x21 + . . .+ x2r = 0, on 1 ≤ r ≤ n;

x21 + . . .+ x2r = x20 , on 0 ≤ r ≤ n;

x21 + . . .+ x2r = 2x0xn , on 0 ≤ r < n.

Si K = R , tota quadrica de PnR es equivalent a una de les seguents:

x21 + . . .+ x2j − x2j+1 − . . .− x2r = 0, on j ≥ r − j i 1 ≤ r ≤ n;


x21 + . . .+ x2j − x2j+1 − . . .− x2r = x20 , on 0 ≤ j ≤ r i 0 ≤ r ≤ n;

x21 + . . .+ x2j − x2j+1 − . . .− x2r = 2x0xn , on j ≥ r − j i 0 ≤ r < n.

Referencies

M. Audin, Geometry. Springer, 2003. ISBN 978-3-540-43498-6.

E. Casas-Alvero, Analytic projective geometry. EMS Textbooks in Mathematics. Eu-ropean Mathematical Society (EMS), Zurich, 2014. ISBN 978-3-03719-138-5.

F. Puerta, Algebra Lineal, Edicions UPC, 2005. ISBN 84-8301-803-9.

A. Reventos, Geometria Projectiva, Servei de Publicacions UAB, 2000. ISBN 84-490-1978-8.

L. Santalo, Geometrıa proyectiva, Eudeba Manuales, Buenos Aires, 1977.

O. Schreier, E. Sperner, Projective Geometry of n dimensions. Chelsea PublishingCompany New York, 1961.

S. Xambo-Descamps, Geometria. Edicions UPC, 1997. ISBN: 84-8301-511-0.

89

apunts de classe francesc planas vilanova · 2016-08-31 · pr oleg aquests apunts estan basats en...

Documents