EdicionRevisadahastael1deMarzode2009Apuntes de preparacion para laPruebadeSeleccionUniversitariaMATEMATICA2009Tamela Taredes ^ u nez/anuel 1amrez TanattEstudiantesdeLicenciaturaenCienciasExactasFacultaddeCiencias,UniversidaddeChileApuntesdePreparaci onparalaPruebadeSelecci onUniversitariaMatem atica.c _ AutoresPamela Paredes N u nezManuel Ramrez PanattDise noyDiagramaci onManuel Ramrez PanattPrimeraedici onAbril de 2008Segundaedici onMarzo de 2009Registro de Propiedad Intelectual N171.533Santiago, Chile.Lasedicionesdeestedocumentosemantendr anactualizadasenlawebhttp://zeth.ciencias.uchile.cl/manramirezSimbologaMatematica< esmenorque = esiguala> esmayorque ,= esdistintode esmenoroigualque esequivalentea esmayoroigualque essemejantea esperpendiculara= escongruentecon// esparaleloa pertenecea angulo , nopertenecea contenidoen AB trazoAB paratodo existe implica uni onentreconjuntos si ysolosi (dobleimplicancia) intersecci onentreconjuntosYparanuestrolibro. . . Ejemplos Actividades ObservacionesIndicegeneralPresentacion VIII ApuntesdePreparaci onparalaPSUMatematica 11. N umeros 31.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. N umeros Naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. N umeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. N umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4. N umeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5. N umeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.6. N umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Operatoria con los n umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Mnimo Com un M ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3. Maximo Com un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.7. Potenciacion y Radicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.8. Notacion Cientca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Mini Ensayo I, N umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Proporcionalidad 232.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1. Razon Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Razon Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1. Proporcion Aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2. Proporcion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28iINDICE GENERAL2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Porcentaje de una Cantidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. IntroduccionalAlgebra 373.1. Signos delAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.1. Termino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2. Clasicacion de las Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.3. Terminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4. Eliminacion de Parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1. Multiplicacion de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2. Multiplicacion de Polinomio por Monomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3. Multiplicacion de Polinomio por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Mini Ensayo III, Expresiones delAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434. DesarrolloAlgebraico 474.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.4. Multiplicacion de binomios con un termino en com un . . . . . . . . . . . 484.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1. Factor Com un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2. Factorizacion de Trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.3. Factorizacion de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.5. Completacion de Cuadrados de Binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Mini Ensayo IV, Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535. EcuacionesAlgebraicas 575.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Ecuacion de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.1. Resolucion de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2. Redaccion de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3. Ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.1. Ecuacion incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.2. Ecuacion incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.3. Ecuacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.4. Propiedades de las raices de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . 625.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4.1. Resolucion de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72iiP.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaINDICE GENERAL6. EcuacionesnoAlgebraicas 776.1. Ecuacion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.1. Resolucion de Ecuaciones Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2. Ecuacion Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.1. Signicado de un Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.3. Resolucion de Ecuaciones Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3. Aplicacion de los Logaritmos a las ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . 816.4. Mini Ensayo VI, Ecuaciones no Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827. Inecuaciones 877.1. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.1. Intervalo Abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.2. Intervalo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.3. Intervalo Semi-Abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2. Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.1. Desigualdad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3. Resolucion de Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4. Mini Ensayo VII, Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938. Funciones 958.1. El Concepto de Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.1. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.2. Funciones Sobreyectivas o Epiyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.1.4. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.1.5. La Funcion Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.1.6. Funciones Crecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.1.7. Funciones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.1.8. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2.1. Determinacion de un punto por sus coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 998.2.2. Representacion graca de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3. Algunas Funciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3.1. Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3.2. Funcion Afn y la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3.3. Un Poco de Geometra Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3.4. Funcion Cuadratica y la Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.3.5. Funcion Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.3.6. Funcion Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.7. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.3.8. Funcion Logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.4. Mini Ensayo VIII, Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189. GeometraPlana 1239.1. Conceptos Primitivos de la Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.1. Axiomas Principales de la Geometra Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.2.1. Clasicacion de losAngulos seg un su medida . . . . . . . . . . . . . . . . 124Matem aticaP.ParedesM.RamreziiiINDICE GENERAL9.2.2. Clasicacion de losAngulos seg un su posicion. . . . . . . . . . . . . . . . 1249.2.3. Clasicacion de los angulos de acuerdo a la suma de sus medidas . . . . . 1259.2.4.Angulos formados por dos paralelas cortadas por una secante o transversal 1259.3. Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3.1. Polgono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.4. Triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4.1. Clasicacion de los Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4.2. Altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.4.3. Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.4.4. Simetral o Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.4.5. Transversal de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.4.6. Mediana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.7. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5. Mini Ensayo IX,Angulos y Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.6. Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.6.1. Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.6.2. Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.6.3. Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.7. Mini Ensayo X, Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.8. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.8.1. Posiciones Relativas a dos Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.9. Partes de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.9.1. Teoremas Referentes a una Circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.9.2.Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.9.3. Teoremas Referentes aAngulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . 1469.10. Mini Ensayo XI, Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.11. Areas y Permetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.11.1.Areas y Permetros de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.11.2. Suma deAreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.11.3. Diferencia deAreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.12. Mini Ensayo XII,Areas y Permetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.GeometradeProporciones 15910.1. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.1.1. Congruencia de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.1.2. Criterios de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.2. Semejanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2.1. Semejanza de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2.2. Teorema fundamental para la existencia de Triangulos Semejantes . . . . 16110.2.3. Criterios de Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.3. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.3.1. Aplicacion al Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.4. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.5. Teorema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.5.1. Teorema de Euclides referente a una Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.5.2. Teorema de Euclides referido a un Cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.6. Relacion Metrica en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.6.1. Teorema de las Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.6.2. Teorema de las Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164ivP.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaINDICE GENERAL10.6.3. Teorema de la Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.7. Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.7.1. Triangulos Rectangulos Semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.7.2. Razones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.7.3.Angulos Importantes y sus razones trigonometricas. . . . . . . . . . . . . 16610.7.4. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.7.5. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.8. Mini Ensayo XIII, Geometra de Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.TransformacionesIsometricas 17711.1. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.1.1. La Traslacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.1.2. La Simetra o Reexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.3. La Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.2. Teselaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.2.1. Teselacion Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.2.2. Teselacion Semi-regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.3. Mini Ensayo XIV, Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.CuerposGeometricos 18512.1. Supercie y Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.2. Cuerpos de Revolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.ProbabilidadyEstadstica 18913.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18913.1.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18913.1.2. Evento o Suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.1.3. Probabilidad a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.1.4. Probabilidad a Posteriori o Frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.1.5. Ley Aditiva de las Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.1.6. Ley Multiplicativa de las Probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.2. Estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.2.1. Algunos Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.2.2. Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.2.3. Representacion de los Datos Estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.3. Mini Ensayo XV, Probabilidad y Estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19914.Permutaciones,ArreglosyCombinaciones 20314.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20314.2. Arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20414.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20415.Interes 20715.1. Interes Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20715.1.1. Deduccion de la formula del interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20715.1.2. Resolucion de ejercicios con interes simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20815.2. Interes Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.2.1. Deduccion de la formula de interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.2.2. Resolucion de ejercicios de interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 210Matem aticaP.ParedesM.RamrezvINDICE GENERALII Solucionario 213SolucionesalosMiniEnsayos 215SolucionesalosProblemasdeActividades 217Bibliografa 225viP.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaPresentaci onLa Prueba de Seleccion Universitaria parte Matematica, es unade las pruebas obligatorias aplicadas en el proceso de seleccionalasUniversidadesllamadastradicionales. Estapruebapermitedeterminar el nivel de habilidad en el razonamiento matematico yconocimientos que posee cada postulante a la educacion superior ysi estos son los adecuados para que prosiga en estudios superiores.En particular, la PSU parte Matematica mide las capacidadesdel postulante para reconocer los conceptos, principios, reglasypropiedades de lamatematica, identicar yaplicar metodosmatematicos en la resolucion de problemas, analizar y evaluar in-formacionmatematicaprovenientedeotrascienciasydelavidacotidiana y por ultimo analizar y evaluar las soluciones de un prob-lema para fundamentar su pertinencia.Para medir correctamente estos procesos, el equipo tecnico dematematica del DEMRE elabora una prueba de 70 preguntas divi-dades en 4 grandes ejes tematicos estudiados en la matematica deense nanza media. Las preguntas se subdividen aproximadamenteen11del primer ejetematicoN umeros yProporcionalidad, 29del segundoejetematicoAlgebrayFunciones, 21del tercerejetematicoGeometray9del ultimoejetematicoProbabilidadyEstadstica.El libro que tienes en tus manos contiene la mayora de los con-tenidos que se evaluaran en la prueba, las materias se estudiaranensutotalidadenlasclasesdel preuniveristario, aprovecha estedocumentoleyendoloquecorrespondaantesdecadaclaseparaque esta puedaser mas uida y productivasirviendo de comple-mento a tus conocimientos.LosAutoresviiEstimado lector:Si tiene alg un aporte o crtica sobre el contenido de este libro, leagradecemos comunicarlo a los correos,pparedes@zeth.ciencias.uchile.clPamelaParedesN u nezmanramirez@zeth.ciencias.uchile.clManuelRamrezPanattParteIApuntesdePreparaci onparalaPruebadeSeleccionUniversitariaMatematica1Captulo1N umerosJunto con la historia de la humanidad, la historia de las matematicas y la numeracion a evolu-cionado optimizandose cada vez mas. En muchas culturas distintas se realizo la numeracionde variados modos pero todos llegaban a una misma solucion, denir una unidad y aumentarlaen conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exista una cantidad incomoda de repre-sentar se involucraba un nuevo smbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a este ultimo smbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base mas usada ha sido la base de10,comolohaceelsitemadenumeracionqueocupamosactualmente,aparentementeacausaque tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera mas primitiva de contar.Versi on1.0,Juniode20071.1. ConjuntosCuandonoscomunicamosennuestravidacotidianayutilizamosel terminoconjunto,seguramentenosestamosreriendoaungrupodeobjetosdealgunanaturalezadeterminada.Bueno, enmatematicasestaexpresionnoestaparanadaalejadadeloquetuentiendesporun conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que estanformados por nada mas ni nada menos que n umeros. Los n umeros son elementos fundamentalesen el estudio de las matematicas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exacta-mente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importanteanalizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este captulo, agruparlos.1.1.1. SubconjuntosLos subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prejo sub. que aparece delante nosinerequeexisteunconjuntomasgrandedel queestamoshablando. Unoenel cual nuestrosubconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas laspersonas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos ycoordinadores, y un subconjunto de este sera el grupo de todos los profesores, ya que estos porsi solos forman un conjunto, pero este esta contenido en el primer conjunto nombrado.1.1.2. Representaci onPararepresentarunconjuntocualquiera,generalmenteseusaunalneaqueencierraaungrupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera analoga es ordenarlos, separados decomasyentreparentesisdellave()1esta ultimanotacioneslaqueutilizaremosfrecuente-mente.1Ejemplodeunconjunto A={a,b,c,d,e}31.N umeros1.1.3. CardinalidadCuandoqueremoshablardecantidadesdentrodelosconjuntos, oaclararsi unconjuntoes mas grandeonoqueotro, introducimos unterminoquellamamos cardinalidad, lacualrepresentamos por el smbolo #, esta solo depende del n umero de objetos de nuestro conjunto.Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la gura 1.1 es 4.Figura 1.1: Conjunto de objetos1.2. ConjuntosNumericosSontodosaquellosconjuntosqueestanformadosporn umeros, estossedividenprincipal-mente en:1.2.1. N umerosNaturalesLos n umeros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan porel smbolo N. Y sus elementos son:N = 1, 2, 3, 4, . . . Algunossubconjuntosde Nson:Losn umerospares= 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . , estoslospodemosrepresentarcomo2n n NLosn umerosimpares= 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . , loscualeslospodemosrepresentarcomo (2n + 1) o (2n 1) n NLosn umerosprimos= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , sontodosaquellosn umerosqueson divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a este ultimo.Los n umeros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos.etc. . .4P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.2.ConjuntosNum ericos Observa que . . . Lacardinalidadde Nesinnita. Este conjuntoes cerradobajolasumaylamultiplicacion, es decir, paratodoparden umerosen N,susumaysumultiplicaciontambienesunn umeronatural. EsteconjuntoNOescerradobajolarestayladivision, yaqueparatodopar de n umeros en N, su diferencia y division NO es necesariamente un n umeronatural. 2esel unicon umeroparqueesprimo.1.2.2. N umerosCardinalesCuando en el conjunto de los n umeros naturales incluimos el 0, se denomina como N umerosCardinales, se representa por el smbolo N0, y sus elementos son:N0 = 0, 1, 2, 3, 4, . . . Algunossubconjuntosde N0son:Los n umeros Naturales y todos los subconjuntos de este.Los dgitos; = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 91.2.3. N umerosEnterosEs el conjunto formado por todos los n umeros sin cifra decimal, es decir, los numeros natu-rales, sus inversos aditivos2, y el neutro aditivo3.Z = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . Algunossubconjuntosde Zson:Los n umeros Naturales.Los n umeros Cardinales.etc. . . Observa que . . .A diferencia de los n umeros Naturales, este conjunto si es cerrado bajo la suma,larestaylamultiplicacion; es decir, paratodopar den umeros enteros, susuma,multiplicacionydiferenciaessiempreunn umeroentero.Perocomoel mundonoestanbello,esteconjuntonoconservaaladivision, yaqueunadivisionentredosn umerosenterosnoesnecesariamenteunn umerode Z2Sedicequeunn umeroatieneinversoaditivo, si existeunbtal que, a + b=0, tal bestambienconocidocomo a.3Para cualquier n umero x existe un unico que cumple que x+(ese unico)= x, a ese n umero lo conocemos comoneutroaditivo,(tambienconocidocomo0).Matem aticaP.ParedesM.Ramrez51.N umeros1.2.4. N umerosRacionalesComo te habras dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el prob-lemadequesuselementossepuedenescaparfacilmentedeellos,nosreferimosaquebastaque dos n umeros Naturales se resten (4 5, por ejemplo), para obtener alg un n umero negativoy entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que nosean divisibles entre si (3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un n umeroentero.Para resolver este problema, existe el conjunto de los n umeros Racionles, representados porel smbolo Q y que cumple que para cada par de n umeros racionales, la suma, resta, division ymultiplicacion (sin considerar al 0), es siempre un n umero de Q, a este tipo de conjuntos se lesconoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:Q =_pqp, q Z, q ,= 0_Para cada elemento de este cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplica-tivos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicati-vo). Por ejemplo: 5 15= 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es15, o34 43= 1, por lotanto el inverso multiplicativo de34es43.Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto.FormaFraccionariaEstaformanosexpresaporcionesdealg unentero. Ensuestructuratenemosunalneafraccionaria, unnumerador(n umerosobrelalneafraccionaria), yundenominador(n umerobajolalneafraccionaria).Eldenominadornosindicalacantidaddepartesenquedividimosun entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar.Por ejemplo:Figura 1.2: Representaciones FraccionariasEnelprimercasodividimosuncrculoen8partesiguales,ydeellasocupamos3,locualrepresentamospor:38.Yenelsegundocasodividimosunrectanguloen6partesiguales,con-siderando solo 3 de ellas, lo cual representamos por:36FormaMixtaHay ocasiones en que el numerador de una fraccion es mayor que el denominador. En estassituacionesdividimoselnumeradorporeldenominador,delresultadodeestadivisionconsid-eramosel cuocientecomolaparteentera, yel restocomonumerador delafraccionquelaacompa na.Por ejemplo:6P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.2.ConjuntosNum ericosConsideremos la fraccion85, entonces al efectuar la division se tiene.8 5 = 13.Por lo tanto podemos escribir esta fraccion como:85= 135.FormaDecimalTodafracciontienesurepresentacioncomon umerodecimal,paraobtenerlobastadividir,sin dejar resto, el numerador con el denominador.Por ejemplo, consideremos la fraccion54:5 4 = 1, 2510200.Para pasar un n umero decimal a fraccion existen 3 posibles casos:1. ConDecimalesFinitosEsdecir,cuandolascifrasdecimalesdeunn umerosonnitas,porejemplo4,376esundecimalnitopuestienesolo3dgitosdespuesdelacoma,pero4,333333333333. . . coninnitos 3, uno tras otro, no es un decimal nito pues tiene innitos dgitos despues de lacoma.La manera de pasar este tipo de decimales a fracction es simplemente escribir una fraccioncuyon umeradorseael mismon umeroperosincoma, ycuyodenominadorsea10000. . .con tantos ceros como dgitos tiene el n umero despues de la coma, por ejemplo: 5, 326. .3dgitos=56261000 2, 32..2dgitos=232100 1, 3..1dgitos=1310Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo unico que le sucede aldividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee eldivisor.2. DecimalesPeriodicosLosdecimalesperiodicossonaquellosenquelosn umerosdespuesdelacomaserepiteninnitamente sin alterar su orden, por ejemplo:1,333333333333333. . . es un n umero decimal donde el 3 se repite innitas veces de-spues de la coma, este n umero lo escribiremos de la forma: 1, 3.4,324324324324324324. . . es un n umero decimal donde el n umero 324 se repite inni-tamente despues de la coma, este n umero lo escribiremos de la forma: 4, 324Matem aticaP.ParedesM.Ramrez71.N umeros2,56565656723214569875. . . es un n umero cuyos decimales no tienen ninguna relacionpor lo tanto se dice que NO es un decimal periodico.La fraccion que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n umero escritosin coma ni linea periodica menos la parte entera dividido por 9999. . . con tantos 9 comodecimales periodicos halla, por ejemplo:1, 32 =132199=131991, 586 =15861999=15859996, 2 =6269=56912, 432 =1243212999=124209993. DecimalesSemiperiodicosLos decimales semiperiodicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solouna vez y las demas se repiten innitamente, por ejemplo:1,233333333333333. . . es un n umero decimal donde el 3 se repite innitas veces de-spues del 1, este n umero lo escribiremos de la forma: 1, 23.3,3211111111111111111. . . es un n umero decimal donde el n umero 1 se repite inni-tamente despues del 32, este n umero lo escribiremos de la forma: 3, 3212,532323232323232323232. . . esunn umerodecimal dondeel n umero32serepiteinnitamente despues del 5, este n umero lo escribiremos de la forma: 2, 532Lafraccionquerepresentaaestos decimales es aquellacuyonumerador es el n umeroescrito sin coma ni linea periodica menos la parte no periodica del n umero, dividido por9999. . . 0000. . . con tantos 9 como decimales periodicos halla y tantos ceros como dgitosno perodicos halla despues de la coma, por ejemplo:1, 32 =1321390=119902, 561 =2561256900=23059006, 123 =612361990=606299012, 06 =120612090=108690Algunossubconjuntosde Qson:Los n umeros Naturales, ya que todo n umero naturaln lo podemos escribir comon1.Los n umeros Cardinales.Los n umeros Enteros ya que todo n umero enteroz lo podemos escribir comoz1.etc. . .1.2.5. N umerosIrracionalesEs el conjunto de todos los n umeros que no pertenecen al mundo de los racionales, es decirno se pueden escribir como fraccion ya que tienen innitos decimales sin ninguna relacion. Unaforma de enunciar sus elementos es:I = i [ i , QAlgunos elementos de este conjunto son:, e,2, etc . . .8P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.3.Operatoriaconlosn umerosReales Observa que . . .Entre el conjunto de los n umeros racionales y el de los irracionales no existe ning unelementoencom un.Ademas, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse,odividirsepuedenobtenerunn umeroracional,comoporejemplo;22= 1,y 1noesunn umeroirracional.1.2.6. N umerosRealesEselconjuntoqueobtenemosentrelauniondetodoslosconjuntosqueacabamosdever,pero como te habras dado cuenta, en los n umeros racionales estan ya incluidos los naturales ylos enteros, entonces basta decir que:R = Q IEn la gura 1.3 puedes observar gracamente este hecho.Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos numericos basicos1.3. Operatoriaconlosn umerosReales1.3.1. AxiomasdeCuerpo1. Conmutatividad:Para todoa, b R, se cumple que:a +b = b +a y ab = ba2. Asociatividad:Para todoa, b y c R, se cumple que:a + (b +c) = (a +b) +c y a(bc) = (ab)c3. Distributividad:Para todoa, b y c R, se cumple que:a(b +c) = ab +acMatem aticaP.ParedesM.Ramrez91.N umeros1.3.2. MnimoCom unM ultiploEl mnimocom unm ultiplo(M.C.M), entredosomasn umerosrealesesel n umeromaspeque no entre todos los m ultiplos que tengan en com un. Por ejemplo, para determinar el M.C.Mentre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus m ultiplos.M ultiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .M ultiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .Y la interseccion entre estos dos conjuntos es = 12, 24, 36, 48, . . .Luego, como el mnimo de este ultimo conjunto es 12, entpnces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12.Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla:4 6 22 3 21 3 31Donde se va dividiendo a los n umeros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. sera lamultiplicacion entre los divisores usados.De manera que obtenemos:223 = 121.3.3. MaximoCom unDivisorCuandonosreferimosal divisordeunn umeroreal estamoshablandodeunn umeroquedivide exactamente (sin dejar resto) al n umero en cuestion. El maximo com un divisor (M.C.D)entredosomasn umerosrealesesel divisormasgrandequetienenencom un. Porejemplo,busquemos el maximo com un divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntosde sus respectivos divisores.Divisores de 16 = 1, 2, 4, 8, 16Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40Y la interseccion entre estos dos conjuntos es = 1, 2, 4,8Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8. Observa que . . .Elmnimocom unm ultiployelmaximocom undivisorentredosomasn umerosenterossiempreexiste,yaqueenelpeordeloscasoselM.C.Mseralamultiplicacionentreellos,yelM.C.D.serael1.10P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.3.Operatoriaconlosn umerosReales1.3.4. ReglasdeMultiplicidadyDivisibilidadParamultiplicarodividirn umerosrealesdebestenerencuentaquesusigno(positivoonegativo), importamuchoal momentodeoperarlos. Paraestosiempreconsideralasiguientetabla:++ = + = ++ = + = O si te es mas sencillo, considera la palabra amigo como positivo (+), y enemigo comonegativo (), y recuerda que:El amigo de mi amigo es mi amigoEl enemigo de mi enemigo es mi amigoEl amigo de mi enemigo es mi enemigoEl enemigo de mi amigo es mi enemigoAdemasparaqueteseamasfacillaobtenciondedivisoresom ultiploscomunesesbuenotener presente que:Todos los n umeros son divisibles por 1.Los n umeros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo ultimo dgito es par o 0.Los n umeros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus dgitoses divisible por 3.Los n umeros divisibles por 4, sontodos cuyos ultimos dos dgitos formanunn umerodivisible por 4.Los n umeros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0.Los n umeros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismotiempo.1.3.5. OrdenOperatorioSiempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas, multiplica-ciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existe una prioridad en el desarrollode estas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultadocorrecto.Este orden es el siguiente:1. Potencias.2. Multiplicaciones y divisiones.3. Sumas y restas.Matem aticaP.ParedesM.Ramrez111.N umerosAdemas si aparecen parentesis dentro de alg un ejercicio nos indicara que debemos realizarprimero las operaciones que estan dentro de el.Por ejemplo:6 + 4(14 22 3) 26 2Primerodebemosrealizarel parentesis(lapotencia, luegolamultiplicacionydespueslaresta).Luegolamultiplicacionpor4yladivision26 2.Posteriormenteterminamosconlassumas y restas. Entonces se vera algo as:6 + 4(14 22 3) 26 2 = 6 + 4(14 43) 26 2= 6 + 4(14 12) 26 2= 6 + 4(2) 26 2= 6 + 8 26 2= 6 + 8 13= 14 13= 1 /ctividad1.1.Resuelvelossiguientesejercicioscombinados:1. (2 + (33 + 5)) = 5. (623 [2(45) + 112]) =2. (6 3 (1 + 23 1))2 = 6. [(12 4 + 5)]) + 1 =3. (65 [2 (10 2)] + (53 5)) = 7. [3 + 43 4 (5 + 2)] =4. 5(10 + 33 + 48 6 7) = 8. ((2 + 3) (36 + 5) + 2) =1.3.6. OperacionesconFraccionesMultiplicaciondeFraccionesMultiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y este sera el nu-merador del resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento.Veamos algunos ejemplos:32 67=3627=1814542 =5241=10443 15=4135=415DivisiondeFraccionesDividir fraccionesesunpocomascomplicadoyaquedebemosrealizar loquellamamosunamultiplicacioncruzada, esdecir; el numeradordel resultadodeunadivisionseraloqueobtengamosdemultiplicarel numeradordel dividendoconel denominadordel divisor, delamisma forma el denominador del resultado sera lo que obtengamos de multiplicar el denominadordel dividendo con el numerador del divisor.Como lo anterior parece ser mas complicado de lo que realmente es, tambien podemos trans-formar la division en una multiplicacion y realizar la operacion de esta forma que ya conocemos,recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor.Veamos algunos ejemplos:12P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.3.Operatoriaconlosn umerosReales54 23=54 32=15895 4 =95 14=92065 13=653 =185AdicionySustracciondeFraccionesAntes de continuar vamos a aclarar dos conceptos muy importantes al momento de sumar yrestar fracciones, la amplicacion y la simplicacion. AmplicarSignicaaumentarelnumeradoryeldenominadordeunafraccionenlamismapro-porcion. Por ejemplo, ampliquemos23por 5.23=231 =23 55=1015Estas dos fracciones son llamadas equivalentes, es dcir, representan la misma cantidad. SimplicarAnalogamentesimplicarsignicadisminuirel numeradoryel denominadordeunafraccion (si es que se puede), en una misma proporcion. Por ejemplo, simpliquemos15090 :15090=159

1010=159 1 =53 33=531 =53Enel procesoanteriorprimerosimplicamospor10yluegopor3, obteniendounafraccion irreducible (que no se puede simplicar).Antes de realizar cualquier operacion con fracciones es recomendable simplicar lo masque se pueda.Ahora, para sumar o restar fracciones tenemos dos casos: cuando tienen igual denominadory cuando no.Para el primer caso no existe gran problema ya que consiste simplemente en operar solo losnumeradores, dejando intacto al denominador. Por ejemplo:25 +75=2+75=95= 14567 97=697= 37= 37En cambio para el segundo caso donde tenemos distintos denominadores debemos amplicarcadaunadelasfraccionesenjuegodeformatal queobtengamosel mismodenominadorenambas, el cual no sera al azar, mas bien sera el mnimo com un m ultiplo entre los denominadoresde las fracciones. Por ejemplo:54 +76=54 33 +76 22=1512 +1412=15+1412=2912En el ejemplo anterior primero encontramos el M.C.M entre 6 y 4, que es 12, luego buscamoslosn umerosporlosquedebamosamplicarcadafraccionparaobtenerestedenominadorenambas encontrando el 3 para la primera y el 2 para la segunda. Posteriormente obtuvimos unasuma entre fracciones de igual denominador que ya sabemos operar.Otro ejemplo:Matem aticaP.ParedesM.Ramrez131.N umeros95 34=95 44 +34 55=3620 1520=361520=2120 /ctividad1.2.Sumaorestaseg uncorrespondalassiguientesfracciones:1.23 +13= 7.32 +79 + 84=2.54 14= 8.611 +113+12=3.72 +43= 9.4136 +3172 + 1 =4.94 + 26= 10.606+648 1520 +1236 2418=5.14 54 +24= 11.mn+nm mnn=6.65 13 +43= 12.11+12+22+23+33+34=1.3.7. Potenciaci onyRadicacionPotenciasEsencialmente una potencia nos representa una multiplicacion por sigo mismo de un n umeroque llamamos base, tantas veces como lo indique otro n umero que llamamos exponente.PropiedadesConsideremosa, b R 0 ym, n Z a0= 1 a1= a am an= am+n an=1an_ab_m=ambm_ab_n= _ba_n=bnanaman= amn(an)m= anm= amn= (am)n /ctividad1.3.Utilizandolaspropiedadesdelaspotencias,realizalossiguientesejercicios:1._14_26._23 15_311._125_416._14 65 34_32._23_27. (26)212._423_317._25102_33._65_28._23_4

_654_213._313_618._561150,01_54._105_(2)9._635_414._112_819._0,020,12

323_45._210_310.__34_2_315._214_420.__83_3_214P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.3.Operatoriaconlosn umerosRealesRaicesLasraicessoncasosmasgeneralesdelaspotencias, yaquecorrespondenaunapotencia,pero de ndice racional.Decimos que una raz n-esima de un n umeroa esb, si y solo si la n-esima potencia deb esa,es decir:PropiedadesConsideremosa, b R 0 ym, n Znam=am/n, con esta propiedad podemos generalizar las mismas propiedadesde las potencias a las raices.na nb =nabnanb=n_abn_ma =nma a nb =nan b /ctividad1.4.Utilizandolaspropiedadesdelasraices,realizalossiguientesejercicios:1.416 6.9__564_011.38272162.91625 7.8__649_412.28 363.3864 8._813625_2413.32324.3_271259.327729 14.5 3325.3_18

27110.532243 1024 15.3_641.3.8. NotacionCientcaLanotacioncientcaesunaherramientaqueocupamosparapoderescribirn umerosde-masiado peque nos o demasiado grandes con el n de reducir espacio en su escritura.Por ejemplo, 5.000.000.000.000.000.000.000, es un n umero bastante grande, por lo que apren-deremosquepodemosescribiresten umerocomo51021, cuyanotacionesclaramentemaseciente.Matem aticaP.ParedesM.Ramrez151.N umerosPotenciasde10Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias de laforma:10n nZEstas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamosa poner a la derecha del n umero 1. De la misma forma para los enteros negativos nos indicara lacantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir:100= 1 101= 0, 1101= 10 102= 0, 01102= 100 103= 0, 001103= 1000 104= 0, 0001104= 10000 105= 0, 00001......Deestaformapodemos expresar las unidades, decenas, centenas, milesimas, decenas demilesimas, etc. . .. Reemplazando por estas potencias de 10 se tiene por ejemplo:5000 = 5 unidades de mil = 5 1000..3ceros= 510320000 = 2 decenas de mil = 210000. .4ceros= 2104300000000 = 3 centesimas de millonesima = 3100000000. .8ceros= 3108As podemosverqueestetipodeescrituranospuedeserdemuchautilidadcuandode-seemos expresar n umeros excesivamente grandes. Pero tambien utilizando exponentes negativospodemos obtener el mismo resultado, esta vez con n umeros peque nos. Por ejemplo:0,0000000005 = 50,0000000001. .10ceros= 51010Descomposicionden umerosconpotenciasde10Tambien podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer n umeros, ya que comocuandolohacamosenense nanzabasica, losn umeroslospodemossepararenunasumadeunidades, decenas, centenas, etc. . ., ylas potencias debasediezsonprecisamenteeso. Porejemplo:4580403 = 4000000 + 500000 + 80000 + 400 + 3= 41000000 + 5100000 + 810000 + 4100 + 31= 4106+ 5105+ 8104+ 4102+ 3100256,4 = 200 + 50 + 6 + 0,4= 2100 + 510 + 61 + 40,1= 2102+ 5101+ 6100+ 410116P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.4.Mini EnsayoI,N umerosAhora; llamamosespeccamentenotacioncientcacuandoescribimoscualquiern umerorepresentado por un n umero, con un solo dgito antes de la coma, multiplicado por una potenciade diez. Este dgito es el primero del valor original, por ejemplo:Escribamos el n umero 65.300.000 con notacion cientca, entonces tenemos que escribir unn umero de un solo dgito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte65.300.000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios quevamos a correr la coma.Entonces:65.300.000..7espacios= 6,53 107Otros ejemplos:4.568.000. .6espacios= 4,568 10612.050.000..7espacios= 1,205 1070, 0003..4espacios2 = 3,2 1040,00000000000006. .15espacios1 = 6,1 1015 /ctividad1.5.I. Escribelossiguientesvaloresconnotacioncientca:1. 0,00001 = 6. 0,00000639 =2. 0,0000000000235 = 7. 0,000000001001 =3. 125.230= 8. 123.200.000=4. 1.235.300= 9. 998.000.000.000.000.000.000=5. 85.325.000.000= 10. 0,0000000000000000009 =II. Escribelossiguientesn umeroscomodecimalessinnotacioncientca:1. 1, 2 102= 5. 6, 022 1023=2. 3, 456 106= 6. 1, 6232=3. 1, 56 103= 7. 2, 99 108=4. 9, 99 1098. 5, 99 1028=1.4. MiniEnsayoIN umeros1. 3 + 24 (1)2=a) 21b) 19c) 12Matem aticaP.ParedesM.Ramrez171.N umerosd) 10e) Otro valor2. Unn umeroenteropsecomponededosdgitosquesondeizquierdaaderechaaybrespectivamente, entonces el inverso aditivo dep es:a) 10a +bb) 10a +bc) 10b +ad) 10a be) 10b a3. Sia es un n umero natural yb un n umero cardinal, entonces puede darse que:a) a +b = 0b) a b = 0c) b a = 0d) a +b2= be) ba+ 1 = 04. Sim yn son n umeros naturales impares, entonces es (son) siempre un n umero par:I. m+nII. mnIII. m nIV. m+ 1a) Solo Ib) Solo II y IVc) Solo I y IVd) Solo III y IVe) I, II y IV5. Si se divide el mnimo com un m ultiplo por el maximo com un divisor entre los n umeros 30,54, 18 y 12; se obtiene:a) 5b) 15c) 30d) 45e) 906. Sia,b yc son respectivamente los tres primeros n umeros primos, entoncesa +b +c =a) 618P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.4.Mini EnsayoI,N umerosb) 10c) 15d) 17e) 307. Cuantos elementos en com un tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16?a) Ningunob) 1c) 2d) 3e) 48. Si se duplica la expresion 24se obtiene:a) 25b) 28c) 42d) 45e) 469. Si nesunn umerotalquen Z,entoncescual(es)delassiguientesexpresionesrepre-senta(n) tres n umeros pares consecutivos?I. 2n, 2n + 1, 2n + 2II. 4n, 4n + 2, 4n + 4III. 2n 4, 2n 2, 2na) Solo IIIb) I y IIc) I y IIId) II y IIIe) Todas10. Sea el conjuntoA =1,2,5,8,9,11, entonces la cantidad de elementos que existen entre lainterseccion deA con el conjunto de los n umeros primos es:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 611. Se dene (a, b) (c, d) = (ad +bc, ab cd), entonces (2, 1) (3, 2) =Matem aticaP.ParedesM.Ramrez191.N umerosa) (3,1)b) (7,5)c) (8,4)d) (8,4)e) (7,4)12. El sextuplo del n umero par consecutivo de 8 es:a) 16b) 36c) 48d) 60e) 8013. Sia Z yb N, entonces el conjunto mas peque no al que pertenece siempreabes:a) Rb) Ic) Zd) Qe) N14.38 + 2140=a) 4b) 3c) 2d) 1e) 015. 5.432 es equivalente con:a) 5100+ 4101+ 3102+ 2b) 5104+ 4103+ 3102+ 2101c) 5103+ 4102+ 3101+ 210d) 5102+ 4101+ 3102+ 2e) 5103+ 4102+ 3101+ 210016. Cual de las siguientes expresiones NO es racional?a) 3/0b) 2/6c) 0,3d)5320P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria1.4.Mini EnsayoI,N umerose)1(5)17. Al amplicar por 2 el racional34resulta:a)68b) 3/8c)64d) 3,2e)3218. Que n umero dividido por5pda como resultadop5.a)p25b)p5c)5pd) _p5_2e) 119. Al ordenar los n umeros 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quinto terminoes:a) 1/9b) 5c) 1/2d) 4e) 3/420. Sia = 1/2 yb = 1/3, entonces1a+b=a) 1/2b) 6/5c) 1/6d) 6e) 521. 11+ 22+ 33=a) 25b) 26c) 35d) 39e) 6622. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene:Matem aticaP.ParedesM.Ramrez211.N umerosa) 0b) 32c) 12d)32e)1223. Cuantas veces esta contenida la quinta parte de1326en un entero?a) 0,1b) 0,5c) 2,5d) 5e) 1024. Si m=41/3, p=81/6yq=61/8, entoncescual delassiguientesrelacionesesverdadera?a) m > pb) q> mc) p > md) q> pe) m > q22P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaCaptulo2ProporcionalidadEnelmundoquenosrodeaexisteunadisposicionarmoniosaensuestructura,cosasqueasimple vista y con un consenso com un nos parecen bellas, esto es debido a que la naturalezaen general es ordenada, en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo elmuy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci esta basado en una proporcion.Enelpresentecaptuloaprenderaslosconceptosbasicosdelasrazonesylasproporciones,deformaquetambienpuedasaprender,depaso,adeleitarteconlabellezagraciasalaarmonaimplcita en la naturaleza.Versi on1.0,Juliode20072.1. RazonesLa razon es un objeto matematico que utilizamos para comparar dos cantidades cualesquieraparapoderestablecerunacaractersticaquelasrelacione,enparticularambascantidadeslaspodemos comparar principalmente de dos formas; a traves de su diferencia (razon aritmetica),y a traves de su cuociente (razon geometrica):2.1.1. RazonAritmeticaLarazonaritmeticaesunaformadecomparardoscantidadesenlascualesconsideramoscuanto exede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia.Este tipo de razon la podemos escribir de dos modos; separando ambas cantidades a compararcon un signo menos (), o con un punto(.). De esta forma la razon aritmetica entre un par den umerosa yb, es:a b oa.b, y se leea es ab.El primer termino de una razon aritmetica se denominaantecedente, mientras que el se-gundo consecuente.Ejemplo:Un padre quiere repartir la mesada correspondiente a sus dos hijos, pero al n del mes unode ellos se porto mal, por lo cual lo va a castigar dandole $6.000 menos que a su hermano.Si dispone de $20.000 a repartir. Cuanto le corresponde a cada uno?.Respuesta:Para resolver este y todos los otros problemas de este tipo existe un metodo bastante sencilloautilizar. Consisteendividirel intervaloendospartesiguales(enestecaso$20.000: 2=232.Proporcionalidad$10.000), e incorporar a cada parte la mitad de la diferencia que existe entre el antecedente y elconsecuente de la razon, es decir $3.000 para cada lado en este caso, por lo tanto tenemos que:Figura 2.1: Division por Razon AritmeticaLuego, resulta ser la cantidad que aparece gris en la gura 2.1 la que le corresponde al hijoque se porto bien, $13.000, y el resto es para el mal hijo, $7.000.2.1.2. Raz onGeometricaCada vez que se habla de razon en realidad se quiere hacer referencia a una razon geometrica.La razon geometrica entre dos cantidades a y b es la comparacion por cuociente entre ambas,es decir, la division entre ellas. Este tipo de razon la podemos representar de dos formas; a travesde un signo de division ( o :), o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se leea esab.Al igual que la razon aritmetica el primer termino se denomina antecedente y el segundoconsecuente.El tratamiento de las razones geometricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman,restan, multiplican, dividen, simplican y amplican de la misma forma.Ahora; a que nos referimos especcamente cuando decimos 3 es a 5? por ejemplo. Bueno,la respuesta es muy sencilla, quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecendentetendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.Ejemplo:Alsiguientemes,elmismopadredelejemploanteriortieneelmismoproblema,unodesus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos mesada que a su hermano, peroesta vez quiere que cada $3 del hermano que se porto bien, el otro reciba solo $2, es decirquiere repartir el dinero a razon de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de $20.000, Cuantodinero le correspondera a cada uno?.Respuesta:Para este tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente metodo; el entero que se vaa repartir (en este caso $20.000), divdelo en el total de partes mas conveniente para repartirse,la cual siempre resulta ser la suma entre el antecedente y el consecuente de la razon geometrica,es decir, en este caso debes dividir $20.000 en 5 partes igules, ya que 3+2 = 5, y luego 3 de esas24P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.2.Proporcionesparteslecorresponderanal antecedente(hijoqueseportobien), ylasotras2al consecuente(hijo que se porto mal).Observa el siguiente diagrama:Figura 2.2: Division por Razon GeometricaDondelapartegriseslaquelecorrespondealhijoquehizotodassusobligaciones.Obvi-amente esta division del dinero que eligio su padre para castigarlo le conviene mas al mal hijoque la anterior. Claro que esto no quiere decir que siempre sea as, haz de ejercicio los mismosdos ejemplos pero que el padre disponga de $40.000 para repartir y te podras dar cuenta.Otroejemplo:Losangulosdeuntrianguloestanarazonde1:2:3(recuerdaqueestoselee;unoesadosesatres), Sabiendoquelasumadelosangulosinterioresdeuntrianguloes180grados. Cuanto miden sus angulos?.Respuesta:Sabiendoquelasumadelosangulosinterioresdel trianguloes180, debemosdividir180gradosen6partes, yaqueentrelaspartesquelecorrespondenal primero, al segundoyaltercero suman 6.180 6 = 30Entonces; cada parte resulta ser de 30 grados, por lo tanto los angulo son:Al primero le corresponde una parte, es decir 130 = 30Al segundo le corresponden dos partes, es decir 230 = 60Al tercero le corresponden tres partes, es decir 330 = 902.2. ProporcionesUna proporcion es una igualdad entre dos razones equivalentes.11Dosrazonesaritmeticassonequivalentessi ladiferenciaentresusantecedentesyconsecuentessonrespecti-vamenteiguales.Dosrazonesgeometricassonequivalentessielcuocienteentresusantecedentesyconsecuentessonrespectiva-menteigualesMatem aticaP.ParedesM.Ramrez252.Proporcionalidad2.2.1. ProporcionAritmeticaEslaigualaciondedosrazonesaritmeticasequivalentes. Aladiferenciaentrelasrazonesinvolucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmetica.Este tipo de proporcion no es particularmente importante, es por esto que no le dedicaremosmas paginas de estudio.2.2.2. ProporcionGeometricaUna proporcion geometrica (o simplemente proporcion), es la igualacion de dos razones ge-ometricas equivalentes. En una proporcion podemos distinguir sus partes por distintos nombres,estan los extremos, que son el antecedente de la primera razon y el consecuente de la segunda,y los medios, que son el consecuente de la primera razon y el antecedente de la segunda.Otra forma, ademas de la equivalencia entre razones, de comprobar si una proporcion real-mente lo es, es vericar que el producto entre los extremos sea igual al producto entre los medioses decir:a : b = c : d ad = bcEjemplos:3 : 2 = 9 : 6 es una proporcion, pues 36 = 294 : 3 = 5 : 2 NO es una proporcion, pues 42 ,= 35Con esta ultima propiedad podemos resolver ejercicios para determinar algunos de los ele-mentos de una proporcion. Por ejemplo:Dadalaproporcion7: 3=21: x, determinemosel valordexutilizandolaigualacionentre el producto de medios y extremos:7 : 3 = 21 : x 7x = 321 7 17x = 321 17 1x =3217 x = 9 /ctividad2.1.Encuentraelterminoquefaltaenlassiguientesproporciones:1. 3 : 5 = 4 : x 6.14456=x1411.4x=x362. 2 : x = 5 : 10 7. 3 : x = x : 12 12.123=x123.59=x188. x : 16 = 4 : x 13.x9=1x4. 9 : 25 = x : 5 9.9345=3x14.39=9x5.2341=x12310. 72 : 9 = 24 : x 15. x : 8 = 32 : x26P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.2.Proporciones2.2.3. ProporcionalidadDirectaHasta ahora solo hemos trabajado con este tipo de proporcionalidades, ya que dos magnitudessondirectamenteproporcionalessi multiplicandoodividiendounadeellasporunn umerolaotraquedamultiplicadaodivididaporel mismon umero, queesprecisamenteel casodelasproporciones que hemos visto.Tambien decimos que dos cantidadesa yb son directamente proporcionales si su cuocientees constante, es decir:ab= k, Conk constanteEjemplo:Siparacomprardoskilogramosdepannecesitas$1.300,Cuantodineronecesitasparacomprar 5 kilogramos de pan?Respuesta:Nospodemosdarcuentaqueel ejemploessobreunaproporcionalidaddirectayaquesiaumentalacantidaddekilogramosdepan,entoncesaumentaeldinero.Porlotantosedebecumplir que:DineroKilos= k $1.3002=x5 2x = 5$1.300 x =$6.5002= $3.250Y as puedes vericar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero que necesitespara comprarlo tendran un cuociente constante. En este caso ese cuociente (k) es igual a 1,300 :2 = 650.Unaformaderepresentardoscantidadesquesondirectamenteproporcionalesesatravesde un graco, graquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos 2 con 1300, 4con 2600, 6 con 3900, etc.Siempre dos cantidades directamente proporcionales al ser gracadas representaran una rectaque pasa por el (0,0) u origen.Matem aticaP.ParedesM.Ramrez272.Proporcionalidad2.2.4. ProporcionalidadInversaDos cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por un n umerola otra queda dividida por ese mismo n umero y viceversa. Tambien decimos que dos magnitudesa yb son inversamente proporcionales si su producto es constante, es decir:ab = k, Conk constanteEjemplo:2trabajadoressedemoran24horasenpintarunacasa,Cuantosedemoraran6traba-jadores?Respuesta:Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad inversa debido a quesi aumenta una de las magnitudes la otra disminuye ( si hay mas trabajadores se demoran menostiempo), por lo tanto se debe cumplir que:TrabajadoresHoras = k 224 = 6x486= x x = 8 horas.Una forma de representar dos cantidades que son inversamente proporcionales es a traves deun graco, graquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos cuyo productoes 48 (pues 48 es la constantek de el ejemplo), entre ellos estan, 1 con 48, 2 con 24, 3 con 16, 8con 6 y 6 con 8.2.2.5. ProporcionalidadCompuestaHastaahorasolohemos vistocasos condos variables, sinembargopuedepasar quelasvariables en juego para una proporcion sean mas de dos, lo que provoca que la forma de analizarel problema sea un poco mas complicada.Ejemplo:Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 das, Cuantos kilos de pasto comeran 15 vacasen 10 das?.28P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.2.ProporcionesRespuesta:Como puedes ver las variables en juego son ahora tres, el n umero de vacas, la cantidad dekilosdepastoyel n umerodedas. Paracomenzaresbuenoesquematizarel problemacomosigue:Vacas Kilos Das10 30 2015 x 10Para resolver este tipo de ejercicios te recomendamos utilizar el siguiente metodo.Iguala una de las columnas procurando hacer la correccion sobre las variables de la la quecorregiste, esto quiere decir si por ejemplo queremos igualar el n umero de das, o aumentamosal doble las vacas, o aumentamos al doble los kilos de pasto, ya que si 15 vacas comenx kilosen 10 das, entonces 15 vacas comeran 2x kilos en 20 das (el doble de comida en el doble detiempo), luego la proporcion la podemos cambiar por:Vacas Kilos Das10 30 2015 2x 20Luego, cuando tenemos una columna igualada ese valor pasa a ser un dato mas del problema,ya que no existe diferencia entre una situacion y la otra. Entonces ahora la pregunta es:Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto, Cuantos kilos de pasto comeran 15 vacas?.Vacas Kilos10 3015 2xSimplementeeliminamos lacolumnaquecoincida. Ynos quedaunaproporciondedosmagnitudes, que es directamente proporcional (mientras mas vacas, mas pasto comen), y que yasabemos resolver.102x = 301520x = 450x =452x = 22,5 kilosOtroejemplo:8 obreros trabajan 18 das para poner 16 metros cuadrados de ceramica, Cuantos metroscuadrados de ceramica pondr an 10 obreros si trabajan 9 das?.Respuesta:El esquema del problema es algo como:Obreros Das Metros cuadrados8 18 1610 9 xMatem aticaP.ParedesM.Ramrez292.ProporcionalidadDelamismaformaqueenel ejemploanterior, igualamosunadelascolumnas. Comolamas sencilla resulta ser la columna de los das, entonces nos preguntamos, Cuantos obreros senecesitan para hacer el mismo trabajo en el doble de das?, claramente la respuesta es la mitad,yaquesihaymenosobreros,sedemoranmasdas(proporcionalidadinversa),porlotantoelesquema nos quedara de la forma:Obreros Metros cuadrados8 165 xAhora vemos que nos queda una proporcion directa (a mas obreros, mas metros cuadrados),y resolvemos como ya sabemos:8x = 165x =808x = 10 m2 /ctividad2.2.I. ProporcionDirecta:1. Si5pantalonescuestan$60.000,cuantocostaran8pantalones?. (R. $96.000)2. Siunvehculosemantieneconvelocidadconstantede60m/s,cuantosmetrosrecorreraenunminuto?. (R. 3.600m)3. Unapersonaaciertahoradeldadaunasombrade3m,siunarbolde4mdealturadaunasombrade6m,cuantomidelapersona?. (R. 2m)4. Si los ni nos ylas ni nas deuncursoestanarazonde3: 4respectivamente,cuantasni nashaysielcursoesde35personas?. (R. 20ni nas)II. ProporcionInversa:1. Si 2personasrealizanuntrabajoen5horas, cuantotiempodemoran5per-sonas?. (R. 2horas)2. Si unvehculoaunavelocidadde70Km/hrsedemora3horasenllegardelaciudadAalaciudadB,aquevelocidaddebedesplazarseparademorarse2horasentreambasciudades?. (R. 105Km/hr)3. Si 5personas se comen100completos en35minutos, cuantodemoraran7personasencomerlamismacantidad?. (R. 25minutos)4. Unartesanohace10tazasdeceramicaporhora,cuantosedemoraran3arte-sanosenhacerlamismacantidaddetasas?. (R. 20minutos)III. ProporcionCompuesta1. Si trespersonasarmanunrompecabezasen24horas, cuantosrompecabezasarmaran36personasen48horas?. (R. 24rompecabezas)2. 5trabajadores construyenunamurallaen6horas, cuantos trabajadores senecesitanparacontruir8murallasensolounda?. (R. 10trabajadores)30P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.3.Porcentaje2.3. PorcentajeEn la vida cotidiana siempre nos encontramos con expresiones como Liquidatodo, hasta un70 % de dscto, Con un interes del 0,01 %, Mata el 99,9 % de los germenes y bacterias, etc.Bueno para que tengas a un mas claro el signicado de estas expresiones, veremos el signicadomatematico del tanto por ciento.Cuando hablamos de porcentaje, no nos referimos a otra cosa que a una razon, pero una muyespecial, es una razon cuyo consecuente es 100, es decir x% = x/100, por lo tanto el tratamientoque se haga con un porcentaje es el mismo que con una razon.Cuandoqueremosbuscareltantoporcientodeunacantidadsolodebemosformarlapro-porcion geometrica y directa entre la cantidad y la incognita versus el porcentaje. As se tiene:Ela % deb lo obtenemos resolviendo la siguiente proporcion:?b=a100 ? = b a100=ba100Por lo tanto tenemos que siempre ela % deb es:ba100= ba %Veamos algunos ejemplos:El 30 % de 60 se obtiene de la forma:? = 6030 % = 60 30100= 63 = 18Por lo tanto, el 30 % de 60 es 18.El 15 % de 80 se obtiene de la forma:? = 8015 % = 80 15100= 81,5 = 12Por lo tanto, el 15 % de 80 es 12.2.3.1. PorcentajedeunaCantidadCuandoqueremos determinar el porcentajequeunacantidadAes deotraB, debemosconsiderar una proporcion donde el antecedente de la primera razon sea A y el consecuente B,yenlasegundarazonel antecedenteeslaincognitamientrasqueel consecuentees100. Porejemplo:Si queremos conocer que porcentaje es 36 de 40. Entonces debemos decir 36 es a 40 comox es a 100, esto escrito matematicamente se ve como:3640=x100o 36 : 40 = x : 100Resolviendo como ya sabemos hacerlo:40x = 36100 x =360040 x =3604 x = 90 36 es el 90 % de 40Matem aticaP.ParedesM.Ramrez312.Proporcionalidad /ctividad2.3.I. Ubicael20 %,el30 %yel40 %de:1. 100 4. 60 7. 10 10. 1.0002. 90 5. 50 8. 12,5 11. 9563. 80 6. 45 9. 54.800 12. 831II. Queporcentajeeslaprimeracantidaddelasegunda:1. 30de90 4. 20de680 7. 55de330 10. 35de702. 45de360 5. 68de300 8. 364de4 11. 956de4783. 1de200 6. 23de89 9. 96de32 12. 45693de4582.3.2. PorcentajedeunPorcentajeMuchasveceshabrasescuchadoenunaliquidacion40 %dedescuento, masun20 %adi-cional, ante esta estupenda promocion la mayora de la gente cree que le estan dando un 60 % dedescuento en total. Como veremos a continuacion este pensamiento esta completamente erroneoya que cuando se dice un 20 % adicional se hace referencia a un descuento sobre la cantidadya descontada, lo que resulta ser menor al 20 % de la suma original.Veamosunejemplo:Un abrigo cuesta originalmente $60.000. Si tiene un descuento de un 40 % y luego al pagarcontarjetadecredito, ledescuentanun20 %adicional. Quevalordebecancelarunapersona que lo compra con tarjeta de credito?.Respuesta:Primero debemos calcular el primer descuento. Es decir:$60.00040 % = $60.000 40100= $6.0004 = $24.000 de descuentoEsto quiere decir que el abrigono cuesta $60.000 $24.000 = $36.000. Luego, como pagamoscon tarjeta de credito nos dan de nuevo un descuento de:$36.00020 % = $36.000 20100= $3.6002 = $7.200 de descuento adicionalEs decir, el abrigo nos sale por: $36.000 $7.200 = $28.800Ahora comparemos el precio si es que hubieramos considerado un descuento de 40 % + 20 %= 60 %.$60.00060 % = $60.000 60100= $6.0006 = $3.600 de descuentoEs decir, el abrigo nos saldra por una cantidad de $60.000 - $36.000 = $24.000, que clara-menteesdistintoalasumaanteriorde$28.800queesloquesalerealmenteelabrigo.Porlotanto, que no te hagan tonto, te descuentas menos de lo que parece.Masengeneral,parapoderdeterminarelporcentajedelporcentajedeunacantidadsim-plemente se vuelve a multiplicar por el siguiente porcentaje. En el caso anterior, como 40 % y32P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.4.Mini EnsayoII,Proporcionalidad20 % son descuentos (lo que quiere decir que cancelas 60 % con el primer descuento y 80 % conel segundo), entonces el ejercicio se debio efectuar de la forma:$60.000 60100 80100= $60068 = $3.6008 = $28.800Otrosejemplos:El 25 % del 80 % de 200 es:20080 % 25 % = 200 80100 25100= 200 45 14=2005= 40El 60 % del 30 % de 90 es:9030 % 60 % = 90 30100 60100= 93 35=815= 16,22.4. MiniEnsayoIIProporcionalidad1. Unadocenadepastelescuesta$6m, ymediadocenadequequescuesta$12n, cual delas expresiones siguientes representa el valor en pesos de media docena de pasteles y dosdocenas de queques?a) 3(m+ 8n)b) 3(m+ 16n)c) 6(4m+n)d) 12(m+ 4n)e) 24(m+ 2n)2. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, entonces la razon entre hombres y mujeresrespectivamente es:a) 1 : 2b) 2 : 3c) 24 : 12d) 36 : 12e) 36 : 243. En una esta hay 12 hombres, si la razon entre mujeres y hombres que hay en la esta es2 : 3, cuantas personas hay en la esta?a) 8b) 16c) 18d) 20e) 24Matem aticaP.ParedesM.Ramrez332.Proporcionalidad4. Tres kilos de papas cuestan $x, 6 kilos cuestan $(x + 30), entonces el valor de 3 kilos depapas es:a) $30b) $40c) $50d) $60e) $705. La diferencia entre dos n umeros es 48, y estan a razon de 5 : 9, cual es el menor de ellos?a) 5b) 9c) 12d) 60e) 1086. Si 3 ladrillos pesan 6kg, cuanto pesaran una decena de ladrillos?a) 18kgb) 20kgc) 22kgd) 24kge) 26kg7. 7 obreros cavan en 2 horas una zanja de 10m, cuantos metros cavaran en el mismo tiempo42 obreros?a) 6b) 30c) 60d) 69e) 908. Las edades de Gonzalo y Cristian estan a razon de 1 : 3, si Gonzalo tiene 10 a nos, cuantosa nos suman sus edades?a) 20b) 30c) 40d) 50e) 609. En una granja hay patos y gallinas en razon 9 : 10, si en una esta se sacrican 19 gallinasla razon se invierte, cuantas gallinas haba inicialmente?34P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria2.4.Mini EnsayoII,Proporcionalidada) 10b) 81c) 90d) 100e) 11910. La suma de 6 enteros pares consecutivos es 90, en que razon estan los 2 n umeros centrales?a) 1 : 2b) 3 : 4c) 6 : 7d) 7 : 8e) 8 : 911. Si una repisa con libros pesa 44 kg, y la razon entre el peso de la bandeja y el de los libroses110, cuanto pesa la repisa?a) 4kgb) 4,4kgc) 6kgd) 6,6kge) 8kg12. Cristian tiene que pagar $90.000, si le rabajan el 5 % de su deuda, cuanto le queda porcancelar todava?a) $450b) $4.550c) $85.500d) $89.500e) $94.55013. De 125 alumnos de un colegio, el 36 % son damas, Cuantos varones hay?a) 89b) 80c) 45d) 36e) 2514. Que porcentaje de rebaja se hace sobre una deuda de $4.500 que se reduca a $3.600?a) 80 %b) 60 %c) 40 %Matem aticaP.ParedesM.Ramrez352.Proporcionalidadd) 20 %e) 10 %15. El 35 % de una hora es equivalente en minutos a:a) 2b) 21c) 35d)135e)71216. Unni norepartio40dulcesentresusamigos, aCristianledio25del total, aGonzaloel25 %del restoyaPaolael 50 %deloquelequedaba, concuantosdulcessequedoelni no?a) 9b) 7c) 5d) 4e) 317. Un tubo se parte en cuatro partes iguales, a que porcentaje del tubo equivale cada parte?a) 40 %b) 33,3 %c) 25 %d) 20 %e) 75 %18. Que porcentaje es 1/3 de 1/6?a) 50 %b) 100 %c) 150 %d) 200 %e) 400 %19. De que cantidad 80 es el 25 %?a) 160b) 200c) 240d) 320e) 40036P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaCaptulo3Introducci onalAlgebraLapalabraalgebraderivadel nombredel libroAl-jebrAl-muqabalaescritoenel a no825 D.C. por el matematico y astronomo musulman Mohamad ibn M usa Al-Khwarizmi. Elalgebra es la rama de la matematica que estudia estructuras, relaciones y cantidades de un modomas general que la aritmetica, pues utiliza letras o smbolos que pueden tomar cualquier valorpara desarrollar distintos tipos de problemas que pueden tener multiples y cambiantes factoresque intervengan.Para trabajar con el algebra es necesario conocer el denominado Lenguaje Algebraico, me-dianteel cual escribimosfrasesyproposicionesdel lenguajecom un, pormediodesmbolosyletrasparayaquede estamanerapodemosplantearproblemasquesequierenresolver. Parahacer un lenguaje mas uido.Versi on1.0,Febrerode20083.1. SignosdelAlgebraEnlaescrituraalgebraicageneralmenteserepresentaacantidadesquenossonconocidasporlasprimerasletrasdelalfabeto(a, b, c, d, e, . . .),ypararepresentarlascantidadesquenossondesconocidasutilizaremoslas ultimasletrasdel alfabeto(. . .v, w, x, y, z). Paraunirestascantidades utilizamos signos de operacion, de relacion y de agrupacion, los cuales son:Signos de operacion: a +b a mas b a b a menos b ab a multiplicado por b (o simplemente, a por b) a : b (oab) a dividido por b aba elevado a bba la raz b-esima de a.Signos de relacion:= igual a > mayor que < menor que.Signos de agrupacion: parentesis(), , [ ]373.Introducci onalAlgebra3.2. LenguajeAlgebraicoParapodertrabajarconel algebraesnecesariomanejarlaequivalenciaentreel lenguajecom un o cotidiano con el lenguaje algebraico. A continuacion haremos un paralelo entre los doslenguajes, para as poder aplicarlo en el planteamiento de problemas.LenguajeAlgebraico LenguajeCotidiano+ Mas, suma, adicion, a nadir, aumentar Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar De, del, veces, producto, por, factor:, Division, cuociente, razon, es a= Igual, es da, resulta, se obtiene, equivale ax Un n umero cualquierax + 1 Sucesor de un n umerox 1 Antecesor de un n umero2x Doble de un n umero, duplo, dos veces, n umeropar, m ultiplo de dos3x Triple de un n umero, triplo, tres veces, m ultiplode 34x Cuadruplo de un n umerox2Cuadrado de un n umerox3Cubo de un n umero12x ox2Mitad de un n umero, un medio de1x3ox3Tercera parte de un n umero, un tercio de1xInverso multiplicativo2x + 1 o 2x 1 N umero imparx+y2Semi suma de dos n umerosxy2Semi diferencia de dos n umerosx, x + 1, x + 2, x + 3, . . . N umeros consecutivos2x, 2x + 2, 2x + 4, 2x + 6, . . . N umeros pares consecutivos2x + 1, 2x + 3, 2x + 5, 2x + 7, . . . N umeros impares consecutivos4x, 4x + 4, 4x + 8, 4x + 12, . . . M ultiplos consecutivos de 45x, 5x + 5, 5x + 10, 5x + 15, . . . M ultiplos consecutivos de 510x +y N umero de dos cifras, N umero de dos dgitos /ctividad3.1.Escribirenlenguajecotidianolassiguientesexpresionesalgebraicas:1. x 4 7.2x3y413.3x2(2y)342. 2x + 3y 8.(x+y)2314. (x2)2y223. 5x y 9. x +x415.2(x2+y3)34.x4 + 3y 10. (7x)316. x2(x + 1) 15. (x 3)211. 7(x)317.3x23x46. x23 12. (2x)24y318. (2x y)338P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria3.3.ExpresionesAlgebr aicas /ctividad3.2.Escribirenlenguajecotidianolassiguientesexpresiones:1. Eldobledeunn umerodisminuidoeneltripledeotron umero2. Unn umeroaumentadoensumitad3. Elexcesoden umerosobretres4. Elcuadrupledelexcesodeunn umerosobreocho5. Elexcesodelquntuplodeunn umerosobrediez6. Eldobledelcubodeunn umero7. Elcubodelcuadrupledeunn umero8. Ladiferenciaentre lacuartaparte del cubode unn umeroylaterceraparte delcuadradodeotron umero9. Lamitaddelexcesodelcuadradodeltripledeunn umerosobreeldobledelcubodeotron umero10. Lasumadedosm ultiplosconsecutivoscualesquieradeocho3.3. ExpresionesAlgebraicasEs la representacion de una o mas operaciones algebraicas.Ejemplos:(a +b)62a3bab3.3.1. TerminoEs una expresion algebraica formada por varios smbolos no separados entre si por (+) o ()Ejemplos:7b3a4x15xz aLos elementos de un termino son el signo, el coeciente, la parte literal y el gradoEjemplos: 3b2, es un termino negativo, su coeciente es 3, la parte literal esb2y el grado es 2.Matem aticaP.ParedesM.Ramrez393.Introducci onalAlgebra Observa que . . .El coeciente puede ser numerico o literal, por lo general se toma el primer elemento ycomo se acostumbra poner el n umero antes que la letra, este n umero es el coeciente.Elgradopuedeserabsolutooconrespectoaunaletra.4a2b3c4, el grado absoluto es 9 ya que es la suma de los exponentes de los factores literales,con respecto a a es 2, a b es 3, a c es 4.3.3.2. Clasicaci ondelasExpresionesAlgebraicasMonomio : Consta de un solo termino.Ejemplos:4b 8c4abc2Polinomio : Consta de mas de un termino.Ejemplos:4a + 2bcbab+3y5b3a25 9c4d 14 + 11yLos polimonios mas utilizados son:Binomios: Consta de 2 terminosTrinomios: Consta de 3 terminos3.3.3. TerminosSemejantesDos o mas terminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e igualesexponentes).12p, 3,5p y7p2 , son terminos semejantes. Observa que . . .Soloteniendoterminossemejantestupuedessumarorestar.40P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria3.4.ProductosAlgebraicos3.3.4. EliminaciondeParentesisSi al parentesis lo antecede un signo positivo (+), ponemos este y todos los terminos quedanigual, no sucede lo mismo con el signo negativo (), ya que este invierte todos los signos de losterminos del parentesis. /ctividad3.3.Resuelvereduciendoterminossemejantes.1. 7a 9b + 6a 4b2. 71a3b 82a4b2+ 50a3b + 84a4b2+ 45a3b3. am+2+xm+35 + 8 3am+2+ 5xm+36 +am+25xm+34. a +b + 2b 2c + 3a + 2c 3b5.3m252mn +1m2101mn3+ 2mn 2m26. [(a +b c)] +[(c a +b)] + [a + (b)]3.4. ProductosAlgebraicos3.4.1. MultiplicaciondeMonomiosSe multiplican los coecientes y luego las letras en orden alfabetico.(3x2)(4xy2)=12x2+1y2=12x3y2(5a3)(3ab)=15a3+1b=15a4b /ctividad3.4.Multipliquelossiguientesmonomios:1. (5x3y)(xy2) 10. (12a2)(45a3b)2. (4a2b)(ab2) 11. (35x3y4)(56a2by5)3. (a2b3)(3ax) 12. (29axbm+1)(35ax1bm)4. (15x4y3)(16a2x3) 13. (a)(3a)(a2)5. (5ambn)(6a2b3x) 14. (m2n)(3m2)(mn3)6. (xmync)(xmyncx) 15. (ambx)(a2)(2ab)(3a2x)7. (mxna)(6m2n) 16. (23am)(34a2b4)(3a4bx+1)8. (3an+4bn+1)(4an+2bn+3) 17. (35m3)(5a2m)(110axma)9. (4xa+2ba+4)(5xa+5ba+1) 18. (12x2y)(35xy2)(103x3)(34x2y)3.4.2. MultiplicaciondePolinomioporMonomioMultiplicamos el monomio por cada uno de los terminos del polinomio.(3a27a + 4)4ax2=(3a2)(4ax2) (7a)(4ax2) +a(4ax2)=12a3x228a2x2+ 16ax2Matem aticaP.ParedesM.Ramrez413.Introducci onalAlgebra Observa que . . .Al multiplicar letras tienes que sumar los exponentes. Siempre tienes que reducirterminossemejantes. /ctividad3.5.Multiplicar:1. (8x62y 3y2)(2ax3)2. (m43m2n2+ 7n4)(4m3x)3. (a35a62b 8ab2)(4a4m2)4. (an+33an + 2 4an+1an)(anx2)5. (a83a6b2+a4b43a2b6)(5a3)6. (ambn+ 3am1bn+2am2bn+4+am3bn+6)(4amb3)7. (13x225xy 14y2)(32y3)8. (3a 5b + 6c)(310a2x3)9. (29x4x2y2+13y4)(32x3y4)10. (12a213b2+14x215y62)(58a2m)11. (23m3+12m2n 56mn219n3)(34m2n3)12. (25x613x4y2+35x2y4110y6)(57a3x4y3)3.4.3. Multiplicaci ondePolinomioporPolinomioPara multiplicar tomamos el 1ertermino del 1erpolinomio y lo multiplicamos con el 2dopoli-nomio, luego tomamos el 2dotermino del 1erpolinomio y lo multiplicamos con el 2dopolinomio,y as continuamos sucesivamente hasta terminar con el polinomio.(a + 5)(a23)=a(a23) + 5(a23)=a33a + 5a215=a3+ 5a215(a+a2+a3+ +an)(b+b2+b3+ +bn) = a(b+b2+b3+ +bn)+a2(b+b2+b3+ +bn)+a3(b+b2+b3+ +bn)+ +an(b+b2+b3+ +bn) = ab+ab2+ab3+abn+a2b+a2b2+a2b3+ +a2bn+a3b +a3b2+a3b3+ +a3bn+ +anb +anb2+anb3+anbn /ctividad3.6.Multiplicar:1. (a + 3)(a 1) 7. (axax+1+ax+2)(a + 1)2. (6m5n)(n +m) 8. (ax1bn1)(a b)3. (x2+xy +y2)(x y) 9. (a2m+15a2m+23a2m)(a3m3+ 6a3m18a3m2)4. (m33m2n + 2mn2)(m22mn 8n2) 10. (12a 13b)(13a +11b)5. (x2+y2+z2xy xz yz)(x +y +z) 11. (25m2+13mn 12n2)(32m2+ 2n2mn)6. (5y43y3+ 4y2+ 2y)(y43y21) 12. (14a2ab +23b2)(14a 32b)42P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria3.5.Mini EnsayoIII,ExpresionesdelAlgebra3.5. MiniEnsayoIIIExpresionesdelAlgebra1. Cual de las siguientes expresiones representa mejor al quntuplo del cubo de un n umerocualquiera?a) (5x)3b) 5x3c) 53xd) (3x)5e) 3x52. La expresion 6(x + 1) x 2 esta mejor representada por:a) El sextuplo del sucesor de un n umero cualquiera menos el doble del mismo n umero.b) El sextuplo del antecesor de un n umero cualquiera menos la mitad del mismo n umero.c) El sextuplo del sucesor de un n umero cualquiera menos la mitad del mismo n umero.d) La diferencia entre el sextuplo de un n umero cualquiera y su mitad.e) El exceso de la mitad de un n umero cualquiera sobre seis veces el mismo n umero.3. La expresion 2a + 3b + 4c (4a + 3b + 2c) es equivalente con:a) 2(c a)b) 4(c a)c) 2(a c)d) 6(a +b +c)e) 6b4. El producto entre un binomio y un monomio da por resultado:a) Un monomio.b) Un binomio.c) Un trinomio.d) Un termino algebraico.e) Una expresion de 3 terminos algebraicos.5. 4x2y3z4(14x2y2z412x3y3z4) =a) (y 52x)5b) y552x5c) y52x5d) y32x4e) z52x56. Cuantas unidades mas tienex que 2x y?Matem aticaP.ParedesM.Ramrez433.Introducci onalAlgebraa) x yb) y xc) x +yd) y 2xe) 2x y7. Que n umero hay que restar a 3a 2b para obtenera +b?a) 2a 3bb) 2a bc) 4a + 3bd) 4a be) 4a 3b8. El area de un rectangulo viene dada por ab, siendo a su largo y b su alto, que le sucedera alarea del rectangulo si duplicamos su alto y cuadruplicamos su largo?a) Se duplica.b) Queda igual.c) Aumenta 4 veces.d) Aumenta en 8 unidades.e) Aumenta 8 veces.9. Que expresion algebraica representa a la sucesion de n umeros (. . . 9, 13, 17, 21, . . . )?a) 9 + 2nb) 4n + 5c) 3n + 1d) Todase) Ninguna10. La diferencia entre el cuadrado del sucesor de un n umero cualquiera y el doble de dichon umero es:a) x2+ 1b) (x + 1)2c) x2+ 1 2xd) (x 1)22xe) No se puede determinar.11. Cual de las siguientes expresiones es FALSA?a) 1/6 de hora equivale a 10 minutos.b) 3/4 de un da equivale a 18 horas.c) 5/6 de un a no equivale a 10 meses.44P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria3.5.Mini EnsayoIII,ExpresionesdelAlgebrad) 1/8 de kilo equivale a 125 gramos.e) 1/6 de un angulo extendido equivale a 36.12. Si la mitad den es igual al triple dem, entonces la mitad dem es:a)n12b) n/6c)n4d) n/3e)n213. Al resolverx [x (x y) (x)] se obtiene:a) 2x yb) 2x yc) 2x +yd) 2x +ye) 4x y14. El valor dea(a +b) a(a b) es:a) 2a + 2abb) abc) a2+abd) 2a2be) 2ab15. Que fraccion debe agregarce a 1 para obtener95a) 1/5b) 2/5c) 3/5d) 4/5e) 1/516. Al n umeron se le suma m, esta suma se divide pork y el resultado se multiplica porp,se representa por:a) (n +mk)pb) (n +m p) kc) n k +m pd) [(n +m) k]pe) np +mk17. La expresion (2x)3se lee:Matem aticaP.ParedesM.Ramrez453.Introducci onalAlgebraa) El doble del cubo de un n umero.b) El doble del triple de un n umero.c) El cubo del doble de un n umero.d) El cubo del cuadrado de un n umero.e) El triple del doble de un n umero.46P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaCaptulo4DesarrolloAlgebraicoEnel presentecaptuloaprenderastecnicasparasimplicarexpresionesalgebraicas, re-duciendo la mayor cantidad de terminos de cada expresion para lograr una apariencia masagradable y breve, esto es lo que conocemos como factorizacion y reduccion de las expresionesalgebraicas.Existen muchos metodos distintos para lograr estos objetivos, pero sin duda que para todosellosteserademuchautilidadconocerlosllamadosProductosNotables, quenospermitiransimplicar enormemente nuestro trabajo.Versi on1.0,Febrerode20084.1. ProductosNotablesEstos sonproductos quecumplenconciertas reglas, quenos permitenhacer mas uidonuestros calculos.4.1.1. CuadradodeBinomioEsel 1erterminoal cuadrado(+)o()el dobleproductodel 1eroporel 2do(+)el 2dotermino al cuadrado.(a b)2= a22ab +b24.1.2. SumaporsuDiferenciaEs el 1ertermino al cuadrado () el segundo termino la cuadrado.(a +b)(a b) = a2b24.1.3. CubodeBinomioEs el 1ertermino al cubo (+) o () el triple producto del 1eroal cuadrado por el segundo(+) el triple producto del 1eropor el 2doal cuadrado (+) o () el 2dotermino al cubo.(a b)3= a33a2b + 3ab2b3474.DesarrolloAlgebraico4.1.4. Multiplicaci ondebinomiosconunterminoencom unEs el termino en com un al cuadrado mas (+) la suma de los termino distintos por el terminoen com un mas (+) el producto entre los terminos distintos.(x +a)(x +b) = x2+ (a +b)x +ab /ctividad4.1.Resuelvelossiguientesproductosnotables:1. (5 +x)28. (xa+13xa2)215. (1 3y)32. (a2x +by2)29. (1 3ax)(3ax + 1) 16. (a22b)33. (3a45b2)210. (6x2m2x)(6x2+m2x) 17. (4n + 3)34. (8x2y + 9m3)211. (3xa5ym)(5ym+ 3xa) 18. (2x + 3y)35. (x53ay2)212. (x2+a2)(x2a2) 19. (1 a2)36. (xa+1+yx2)213. (ax+12bx1)(2bx1+ax+1) 20. (2x 3y3)37. (ax25)214. (2x + 1)34.1.5. BinomioaunaPotenciaNaturalCorresponde a la manera de generalizar el cuadrado de binomio, el cubo de binomio, binomioa la cuarta, etc. A un binomio a lan, donden es un n umero natural.(x y)n= a0xna1xn1y +a2xn2y2a3xn3y3+ anynEn la formula anterior existe una relacion interesante de conocer en cada uno de sus termi-nos,notemosqueenelprimerterminoaparecexn,enelsegundoxn1enelterceroxx2,. . .en el mesimo xn(m1), es decir x va disminuyendo su potencia partiendo desde n hasta llegara 0 en el ultimo termino1, en el caso deyocurre absolutamente lo contrario, la potencia partede0enel primerterminohastallegaranenel ultimo. Deestamaneraobtendremosfacil-mente los coecientes literales de esta expresion, sin embargo los coecientes a0, a1, a2, . . ., anvienendeterminadosporunaestructuraconocidacomoel TriangulodePascal, quevemosacontinuacion:TriangulodePascaln = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1n = 6 1 6 15 20 15 6 1...La manera de obtener este triangulo es partir de las dos primeras las, y de ah en adelantesumar hacia abajo los coecientes para obtener la la que contin ua. Observa que en la tercera1Observaquelacantidaddeterminosqueresultandelaexpresi on(a + b)nesn + 1.48P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria4.2.Factorizaci ony lacuarta la aparecenlos coecientes delcuadrado y delcubode binomio respectivamente,cuandon = 2 yn = 3.Deestamanerapodemosobtener(conociendolalaquecorrespondeenel triangulodePascal), cualquier potencia de un binomio.Ejemplo 1:Encontremos la expresion expandida de (a +b)5.Respuesta; loscoecientesquelecorrespondensonlosdelasextaladel triangulodePascal, puesn = 5, entonces el primer paso es:(a +b)5= 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1Ahora ponemos los terminoa yb con las potencias respectivas.(a +b)5= 1a5 b0+ 5a4 b1+ 10a3 b2+ 10a2 b3+ 5a1 b4+ 1a0 b5= a5+ 5a4b + 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5Ejemplo 2:Encontremos la expresion expandida de (2x 3)4Respuesta:loscoecientesquelecorrespondensonlosdelaquintaladeltriangulodePascal, puesn = 4, entonces el primer paso es:(2x 3)4= 1 4 + 6 4 + 1Ahora ponemos los termino 2x y 3 con las potencias respectivas.(2x 3)4= 1(2x)4 304(2x)3 31+ 6(2x)2 324(2x)1 33+ 1(2x)0 34= 64x496x3+ 216x2216x + 814.2. FactorizacionAl factorizar buscamos dos o m as factores cuyo producto sea igual a la expresion que quer-emos obtener.Notodoslospolinomiossepuedenfactorizar, yaquehayalgunosquesolosondivisiblespor si mismo y por 1, como por ejemplo: x + y. Pero hay que tener ojo ya que este polinomionoesdivisibleenlosreales R(queesdondeestamostrabajando),estonosignicaquenosepueda factorizar en otro conjunto numerico mayor, por ejemplox + ysi se puede factorizar enlos complejos C, quedando: (x +yi)(x yi).Por ahora solo trabajaremos en los reales R.4.2.1. FactorCom unFactorCom undeunMonomioEjemplos:5x + 25x2y = 5x(1 + 5xy)18mxy254m2x2y2+ 36my2= 18my2(x 3mx2+ 2)Matem aticaP.ParedesM.Ramrez494.DesarrolloAlgebraicoFactorCom undeunPolinomioEjemplos: x(a +b) +m(a +b) = (x +m)(a +b)2x(a 1) y(a 1) = (2x y)(a 1) a(x + 1) x 1 = a(x + 1) (x + 1) = (a 1)(x + 1)FactorCom unporAgrupaciondeTerminosEjemplos: ax +bx +ay +by = (ax +bx) + (ay +by) = x(a +b) +y(a +b) = (x +y)(a +b)2x23xy4x+6y = (2x23xy)(4x6y) = x(2x3y)2(2x3y) = (x2)(2x3y)4.2.2. FactorizaciondeTrinomiosTrinomioCuadradoPerfectoParafactorizaruntrinomiocuadradoperfecto, primerotenemosqueordenarel trinomiodejando a los extremos los cuadrados perfectos.Por ejemplo:2m+m2+ 1 = m2+ 2m+ 1Luego extraemos la raz cuadrada a los cuadrados perfectos.dem2esm y de 1 es 1 obteniendo:(m+ 1)(m+ 1) = (m+ 1)2Trinomiodelaformax2+bx +cTomemos el trinomiox27x + 12 el cual ya esta ordenado, entonces escribiremos:x27x + 12 = (x )(x )Luego nos preguntamos que n umeros sumados me dan 7 y a la vez multiplicados me den 12,estos n umeros son 3 y 4, estos los colocamos en los parentesis.x27x + 12 = (x 3)(x 4)Trinomiodelaformaax2+bx +cTomemos el trinomio 6x27x 3, ya ordenado amplicaremos por el coeciente que acom-pa na ax2, que en este caso es 6 quedando:(6x27x 3)6 = (6x)27(6x) 18Ahora buscamos dos n umeros que multiplicados den 18 y sumados 7, estos son 9 y 2.Como anteriormente amplicamos la expresion por 6 ahora hay que dividir por 6.50P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria4.2.Factorizaci on6x27x 3 =(6x)27(6x) 186=36x27(6x) 186=(6x )(6x )6=(6x 9)(6x + 2)6=3(2x 3)2(3x + 1)6=6(2x 3)(3x + 1)6= (2x 3)(3x + 1)4.2.3. FactorizaciondeCubosCuboperfectodeBinomioTenemos que ordenar la expresion con respecto a una letra. Y debe cumplir con las siguientescondiciones:1. Debe tener cuatro terminos2. El 1eroy el ultimo termino deben ser cubos perfectos3. El 2dosea mas o menos el triple del 1eroal cuadrado por el 2do.4. Y que el 3ertermino sea el triple del 1eropor el 2doal cuadrado.Tomemos 27 +27x 9x2+x3ordenado queda:x39x2+27x 27 Tiene cuatro terminos, laraz c ubica de x3es x y la de 27 es 3, ademas 3x2 3 es el 2dotermino y 3x(x)2el 3ero.SumaoDiferenciadeCubosPerfectosa3+b3= (a +b)(a2ab +b2)a3b3= (a b)(a2+ab +b2)4.2.4. DiferenciadeCuadradosPerfectosTenemos que extraer la raz cuadrada a los dos terminos y luego multiplicamos la diferenciade las races con la suma de estas.a2b2= (a +b)(a b)Ya que la raz dea2esa y la deb2esb.Matem aticaP.ParedesM.Ramrez514.DesarrolloAlgebraico4.2.5. Completaci ondeCuadradosdeBinomioTomemosy28y + 15.Digamos quey2y 8y son parte de un cuadrado perfecto.Luegonos faltarael ultimoterminoquees el cuadradodelamitaddel coecientequeacompa na ax, que es 16.Sumemos y restemos este ultimo termino.Arreglando los terminos convenientemente llegamos a la diferencia de dos cuadrados perfecto.Y aplicamos desde luego suma por su diferencia.y28y + 15 = y28y + 15 16 + 16= (y28y + 16) + (15 16)= (y 4)21= (y 4 1)(y 4 + 1)= (y 5)(y 3)De manera mas general:ax2+bx = 0x2+bax = 0x2+bax + 0 = 0x2+bax +b24a2. .Uncuadradoperfectob24a2= 0_x +b2a_2=b24a2 Observa que . . .Paracomprobarsi lafactorizacionquehicimosestacorrectatenemosqueaplicarelaxiomadedistributividad.veasepagina952P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria4.3.Mini EnsayoIV,Factorizaci on /ctividad4.2.Factorizautilizandocualesquiermetodo,sisepuedesimplica:1. ax +bx ay by 11.a24ab +b221. x27x 302. 2a2x + 2ax23ax 12. 16x62x3y2+y41622. m220m3003. 4x(mn) +n m 13. 196x2y4289b4m10 23. x4+ 7ax260a24. (x +y)(n + 1) 3(n + 1) 14.x649 4a1012124. 8a214a 155. x(a + 2) a 2 + 3(a + 2) 15. a2nb2n25. m6 + 15m26. 6m9n + 21nx 14mx 16. 64m2(m2n)226. 20x2y2+ 9xy 207. n2x 5a2y2n2y2+ 5a2x 17. 4y2+ 9x427. 125a3+ 150a2b + 60ab2+ 8b38. a3+a2+a + 1 18. 25 x216y2+ 8xy 28. 27a3b39. 20ax 5bx 2by + 8ay 19. 1 2a 9n2+ 6an 29. x212x + 1110. 36 + 12m2+m420. 28 +a211a 30. y2+ 16y + 204.3. MiniEnsayoIVFactorizacion1. Al simplicar la expresion(x2ky2k) xk+1xykyk+1+xkyResulta:a)y2(xk+yk)xb)(xk+yk)2xy2c)xy(xk+yk)2d)xy(xk+yk)e) Ninguna de las anteriores.2. a24b2=a) a + 2bb) a 2bc) (a 2b)(a + 2b)d) (2b a)(2b +a)e) Ninguna de las anteriores.3. Cual(es) de los siguientes terminos se puede(n) agregar a la expresion 4x2+ 1 para com-pletar el desarrollo del cuadrado de binomio?I. 4x2II. 4xIII. 4x2a) Solo IMatem aticaP.ParedesM.Ramrez534.DesarrolloAlgebraicob) Solo IIc) Solo IIId) I y IIIe) II y III4. En la expresion algebraica (y 5)(y58)(y 3) el termino libre (sin factor literal), es:a) 120b) 0c) 16d) 80e) 1205. El grado de la expresion 5x3y4z es:a) 3b) 4c) 5d) 7e) 86. El producto entre la suma del cuadrado dea y el cubo deb y su diferencia es:a) a4b) 2a42b6c) a4b9d) a4b6e) 2a22b97. Al dividir (x2y2) por (x +y)(x y) se obtiene:a) 0b)xyx+yc)x+yxyd)1x+ye) 18. Cual es el area de un rectangulo de lados (m+n) y (mn)?a) m2+ 2mn +n2b) m2+n2c) m2n2d) m22mn +n2e) nm2+mn254P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitaria4.3.Mini EnsayoIV,Factorizaci on9. La expresion equivalente a (3m5p)2es:a) 6m210p2b) 9m225p2c) 6m215mp + 25p2d) 9m230mp 25p2e) 9m230mp + 25p210.a6b15a2b5=a) 97b) a8b10c) a4b20d) a3b3e) 911. El cuociente entre (52n+125n) y 52n+2es:a) 1/5b) 5c) 25/4d) (2/5)2e) 514n12. Six2+y2= 36 yxy = 32 entonces el valor de (x +y) es:a) 1b) 0c) 1d) 10e) 3213. Si la cuarta parte del area de un cuadrado es14x2+x+1, entonces el doble de su permetroes:a) x + 2b) (x + 2)2c) 4x + 8d) 2x + 4e) 8x + 1614. El area de un cuadrado de lado (2 x) es:a) 8 4xb) 4 4x +x2c) 4 +x2d) 4 2xe) 4 + 4x +x2Matem aticaP.ParedesM.Ramrez554.DesarrolloAlgebraico56P.ParedesM.RamrezPruebadeSelecci onUniversitariaCaptulo5EcuacionesAlgebraicasMuchos de los problemas que nos acontecenenlavidadiaria, basansusolucionenelconocimiento de distintos factores que lo involucran, como por ejemplo, es necesario conocerla distancia y el tiempo del que dispongo para llegar a alg un lugar para determinar la velocidada la que necesitare ir. Por lo tanto se hace muy importante buscar formas de obtener valores quenossondesconocidos,ysinduda,laformamasexactadeencontralaseslograrinterpretarlosmatematicamente en algo que denominamos ecuacion.En el captulo anterior aprendiste a interpretar el lenguaje hablado como lenguaje matematico,en este captulo aprenderas como aprovechar ese conocimiento para formar ecuaciones y poderresolverlas.Versi on1.0,Enerode20085.1. ConceptosBasicosEcuacion: Las ecuaciones son expresiones algebrai