APUNTES PARA UNA TEORíADE LA RAZÓN

l. La revolución lógica y el horizonte filosófico

Cuando en 1897Burali-Forti publicó la primera paradoja de la teoría delos conjuntos, ni él ni los que en aquella época se interesaban por el funda-mento filosófico de las matemáticas y de la ciencia, sospecharon la trascenden-cia de descubrimiento. La repercusión fue muy grande en los círculos especia-lizados, pero se consideró que se trataba de un problema local, susceptiblede una solución dentro de las posibilidades existentes. La primera consecuen-cia fue la intensificación del moderno movimiento lógico. Desde hacía yamedio siglo la lógica se estaba desarrollando a velocidad creciente, pero eldescubrimiento de las paradojas mostró que el aparato lógico disponible erainsuficiente para abordar el problema de acuerdo con sus exigencias intrínse-cas. Los esfuerzos se concentraron en la elaboración de un instrumento lógicoadecuado para tratar el problema de las paradojas y en general de la deriva-ción matemática. El resultado de este proceso fue descubrir que las posibili-dades de desarrollo de la lógica eran muy superiores a todo lo previsto. Peroel desarrollo del instrumento lógico, al aumentar el poder de análisis, abrióuna serie de inesperadas perspectivas. El resultado más importante fue quela solución de las paradojas no era un problema tan sencillo ni tan limitadocomo pudo parecer en los primeros momentos. Pronto se vio que el ataquedel problema inicial planteaba nuevos problemas cada vez más amplios, querepercutían sobre todo el ámbito de la lógica y de la fundamentación de lasmatemáticas. Estos nuevos problemas exigían cada vez mayor eficiencia delas técnicas de análisis y esto obligaba a elaborar sistemas deductivos cadavez más perfectos y amplios. La exigencia de perfección analítica se hizo tanfuerte que fue inevitable crear una nueva técnica para analizar y justificarel propio instrumento lógico. Nace así la metateoría, primero como sintaxisy luego como semántica. Esta nueva técnica analítica abre horizontes muchomás amplios y renovadores que los que, pocos años antes, había abierto lareelaboración lógica. Se llega a conclusiones totalmente inesperadas sobreel problema de las paradojas y de los fundamentos, se descubren relacionesextraordinariamente profundas entre los métodos metateóricos y los sistemasmatemáticos y se abren perspectivas revolucionarias sobre el significado de lalógica y del conocimiento matemático. Aunque en este gigantesco desarrollose encuentran los más variados temas,el impulso principal es el desarrollo dela lógica como técnica de análisis para fundamentar el conocimiento cientí-

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fico. Por eso puede considerarsetodo el movimiento como una revoluciónlógica,comouna ruptura de los moldestradicionalesdel pensamientodeduc-tivo y comola consecuenterevelaciónde nuevasposibilidadesen la construc-ción y manejode las teoríasexactas.

El impacto de la revolución lógica sobre la concepciónfilosófica de lasmatemáticasha sido dramáticoy su importancia es hoy día universalmentereconocida.Pero no seven aún con la mismaclaridad las consecuenciasqueesteimpactotienepara la temáticafilosóficageneral. Sin embargo,estascon-secuenciasson aún de mayor importancia que las anteriores,porque abarcanun campono sólomásamplio sino másfundamental.Si la lógica esalgo dife-rentede lo que secreía,si los principios que rigenel conocimientodeductivosonmásampliosque los tradicionalmenteconsiderados,entoncesesnecesariorevisartoda la historia de la filosofía. Porque la filosofía ha pretendidojusti-ficar sus tesisracionalmentey para ello se ha valido siempre,de manera ex-plícita o implícita, de la lógica. La concepciónde la lógica de los diversossistemasfilosóficosha presupuestosiempreuna determinadaconcepcióndela razón,y la concepciónde la razón ha sido el fundamentoúltimo de laposibilidad filosófica. Pero no sólo la renovaciónde la lógica formal reper-cute sobre toda la filosofía. Los desarrollosde la técnicaanalítica que cul-minan en el advenimientode la metateoría, desembocanen un nuevo plan-teamientode la teoría de la verdad, profundamentevinculada con la teoríageneralde la razón. Se trata en realidad de aspectosde un mismo plantea-miento: la fundamentaciónúltima de todo conocimientocomo tal.

La revoluciónlógica que se inicia comointentode resolverun problemacientíficamentelocalizado,se desarrolla hasta envolver en su poderoso tor-bellino el corazónmismo de la filosofía. Su verdaderaimportancia residepor esomásque en los resultadosalcanzadospor la modernafilosofía de lasmatemáticas-algunos de ellos asombrosos--en su repercusión filosófica.Esta repercusiónno es parcial sino total y exige por eso el replanteamientode los grandestemasclásicosdesdeuna perspectivadiferente. El replantea-miento a su vezdesembocaen el descubrimientode una problemáticaespeci-fica, característicadel momentofilosófico, cuyo tratamientohabrá de marcarla pautaparauna futura reestructuraciónfilosófica.

En las líneasque siguenintentamosmostrar,de la maneramásresumidaposible, la trayectoriaque lleva de la revolución lógica al replanteamientoy reestructuraciónde la gran temáticafilosófica. No pretendemosde ningunamaneraofrecersoluciones.Lo que interesaesmostrar el sentido profundodel proceso.La reestructuraciónfinal sólopodrá lograrseuna vezque sehayaalcanzadola plena comprensiónde las razonesque obligan a plantear sunecesídad.'

1 La mayoría de los desarrollos que siguen son reelaboraciones (algunas de ellas bas-tante amplias) de trabajos presentados en diversos congresosinteramericanos de filosofía y

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2. El concepto de razón y el rebasamiento de las doctrinas tradicionales

a) Los límites de los formalismos. El resultado más importante y sen-sacional de todos los obtenidos en el proceso descrito, que constituye unverdadero punto de partida en el camino que conduce a resultados cada vezmás imprevistos, es el descubrimiento de que el lenguaje formal, medio expre-sivo esencial al pensamiento matemático, no puede agotar dicho pensamiento.El famoso teorema de incompleción de Kurt Códel, demostrado en 1931, revelóalgo totalmente inesperado: la insuficiencia de la forma expresiva de la ma-temática ante el contenido objetivo. Esto obligó a cambiar todas las expec-tativas sobre el conocimiento matemático.

Clásicamente se creyó siempre que todos los problemas matemáticos eran,en principio, solubles. Se tuvo la convicción de que, positiva o negativamente,era posible decidir la validez de una proposición matemática. La soluciónnegativa de una serie de problemas clásicos, como la cuadratura del círculoo la tripartición del ángulo, reforzó la creencia en la decidibilidad fundamen-tal de todo problema. Las matemáticas eran consideradas, por este motivo,como la ciencia más perfecta, en que la razón podía abarcar todas las posi-bilidades y esclarecer todas las oscuridades, aplicando sus principios evidentese inmutables. La dificultad en la solución de los problemas radicaba sólo enlas limitaciones psicológicas individuales. Pero con el suficiente ingenio eraposible resolver -positiva o negativamente- cualquier problema. En princi-pio la razón matemática no tenía límites.

Empero, el descubrimiento de las paradojas mostró que los principiosracionales que se habían empleado en la demostración de los teoremas clási-cos, no eran tan evidentes ni tan inconmovibles. Más aún, existía una enormevaguedad y confusión en el pensamiento de los más ilustres matemáticoscuando se trataba de los principios racionales que se empleaban en la deriva-ción de los teoremas. La única manera de luchar contra las paradojas y deencontrar un modo, no sólo de suprimir las existentes sino de ofrecer unagarantía contra las futuras, era esclarecer rigurosamente el concepto de prin-cipio lógico y de derivación matemática. Pero la única manera de hacer estoera mediante un adecuado proceso de formalización, es decir, mediante unlenguaje que fuera capaz de expresar de manera completa todos los conceptosempleados en las definiciones, todas las reglas utilizadas en la formación delas proposiciones matemáticas, todos los postulados y todos los principioslógicos empleados en la derivación de los teoremas. Mientras esto no se hiciera,el proceso demostrativo seguiría siendo un proceso vago, con el consecuentepeligro de producción de paradojas. La formalización fue, pues, una conse-cuencia natural e inevitable del afán de superar las paradojas. Por otra parte,

en sesionesde la Sociedad Peruana de Filosofía. Las tesis sobre el lenguaje y la expresiónfilosófica son de elaboración reciente.

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el lenguaje matemático ingenuo, comparado con el de otras ciencias, es elmás formalizado. Todo matemático tiene la clara conciencia de que sólo através de la formalización puede lograrse el rigor necesario a su ciencia. Poreso el implacable proceso de formalización del lenguaje matemático que ori-ginó ei descubrimiento de las paradojas, fue visto como un proceso natural,como la culminación de la evolución del conocimiento matemático hacianiveles de rigor cada vez más elevados.

Cuando, después de no pocos esfuerzos y de no poca dosis de genio, losprotagonistas de la revolución lógica lograron formalizar la aritmética y pro-baron que en principio cualquier disciplina matemática podía formalizarse, secreyó que se había logrado rigorizar por completo la ciencia matemática.Naturalmente, en la nueva aritmética formalizada, se pudieron probar todoslos teoremas clásicos y se llegó por eso a la conclusión de que la expresiónformalizada era la culminación de la ciencia matemática. A través de losdesarrollos formales, la razón, gracias a sus principios supremos, podía alcan-zar el conocimiento cabal de su objeto. Por otra parte, una vez conveniente-mente formalizados los diversos sistemasmatemáticos, era posible estudiar suspropiedades formales y determinar si dichos sistemaseran o no susceptibles deengendrar paradojas. Las primeras investigaciones mostraron que gran partede la aritmética era consistente, es decir, que convenientemente formalizada,no podía originar paradojas. La razón no sólo podía alcanzar un conoci-miento completo de su objeto en el campo matemático, sino que ademáspodía liberarse de contradicciones internas. Se había llegado a un estado quepermitía justificar plena y cabalmente todas las expectativas del raciona-lismo.

El teorema de Godel derrumbó todas estas esperanzas. Porque mos-tró que cuando se trataba de la aritmética clásica (no de aspectos parcialesdel sistema sino de todo el sistema tal como se determina mediante los postu-lados de Peano) era imposible demostrar la consistencia de la aritmética pormétodos absolutamente seguros, y además, que el formalismo creado para laaritmética, que parecía un lenguaje perfecto, no era suficiente para derivartodos los teoremas posibles. Kurt Códel probó que era posible construir unaproposición aritmética, con las reglas permitidas en el sistema formal, demanera que ni ella ni su negación podían derivarse dentro del sistema. Probóademás que, desde un punto de vista intuitivo, dicha proposición era ver-dadera. Quedó así establecido que cuando se expresa una teoría matemáticamediante un lenguaje completamente formalizado, existen proposiciones ver-daderas de la teoría, que no pueden derivarse como teoremas dentro dellenguaje formalizado. O, lo que es lo mismo, probó que el objeto del cono-cimiento matemático rebasa la esfera del lenguaje matemático, que la ma-temática no puede confundirse con el lenguaje que la expresa, porque, por

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más perfectoque seaun lenguaje,nunca podrá utilizarse para derivar todoslos posiblesteoremasde la teoríaque formalíza,s

La situación se tornó altamentedesconcertante.De un lado, el enfoqueintuitivo de la matemáticallevó a la aparición de las paradojas. Para elimi-nar las paradojasfue necesarioformalizar la matemática,es decir, crear len-guajes formalescapacesde expresarexplícitamente todos los elementosdelconocimientomatemático. Una vez lograda la formalización se desarrollóun método (metateoría)paramostrar,de manerairrefutable,que era posibleconstruir sistemasformalizadosconsistentes.Pero el resultado fue que nopodía obtenerseesta demostraciónde manera irrefutable y que la formali-zación no agotabala riqueza del conocimientomatemático. El análisis delprocesode formalizaciónque seoriginó en el afán de evitar las vaguedadesintuitivas de la matemáticaque condujeron a las paradojas,obligó a reco-nocer que la matemáticaintuitiva no podía ser eliminada por medio deningún lenguaje formalizado.

La situación era inesperada.Pero no era un mero retorno al punto departida. Entre la matemáticaintuitiva que originó las paradojasy el residuointuitivo que rebasabala formalizaciónrealizada,existía una creaciónmeto-dológicade excepcionalpenetración.Por esoesteimpasse constituyóel puntode partida de nuevasinvestigacionesy de ulterioresy cadavezmásprofundosesclarecimientos.Pero el resultadode Kurt Godel, por sí solo, constituyeuncallejón sin salida para el pensamientoconvencional.Es en sí el primer e in-evitable obstáculoque obliga a la renovación de ciertas manerastradicio-nales de pensar.

b) La insuficiencia de los sistemas tradicionales. La consecuenciafilosó-fica másextraordinariade la demostracióngodelianaes la pérdida de vigen-cia del principio del tercio excluido. Todo el pensamientomatemáticoclásicosehabía desenvueltosobreel presupuestodel "tertium non datur", yes la vigencia indiscutida de esteprincipio lógico lo que constituyóel fun-damentode la creenciaingenuade que todo problemamatemáticoessolublepositiva o negativamente.Pero, en la aritmética formalizada,es siemprepo-sible construir proposicionestalesque, tanto ellas como sus negacionessoninderivables. O sea,que en relación al sistemaformal dichas proposicionesno pueden ser ni verdaderasni falsas,porque,matemáticamente,la verdad

2 Cuando se inició el movimiento formalista, muchos pensadores,especialmentelos in.tuicionistas,sostuvieronque el ideal formalista era inalcanzable. Pero no pudieron probarlo.Sólo Kurt Códel pudo dar una prueba de la limitación enunciada. Pero si los formalistashubieran tenido éxito, si hubieran podido construir un lenguaje que permitiese: r) probarque las matemáticasson consistentes,y 2) que existe un lenguaje que permite expresar yderivar todas las verdadesmatemáticas,se habría llegado a la conclusión de que la esenciade las matemáticasreside en su expresión lingüística y que el conocimientomatemáticoesracionalmenteperfecto.

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o falsedad de toda proposición que no sea un postulado sólo puede determi-narse por medio de la derivación o prueba.

Puede pensarse que esto sucede sólo en relación al sistema formalizado,pero que en relación a la matemática intuitiva, tal como se constituye en lainvestigación clásica, el principio conserva su vigencia. Mas quien comprendelo que significa el teorema de Kurt Godel, no puede hacer esta afirmación,porque si la matemática no se formaliza y se mantiene en el nivel intuitivoclásico, entonces se producen las paradojas o, en el mejor de los casos, des-aparecen todas las garantías contra ellas. Estamos pues ante un verdaderodilema: o se conserva el principio del tercio en la matemática intuitiva y seproduce el peligro de encontrar la contradicción en el fundamento mismodel pensamiento matemático, o se formalizan los sistemas matemáticos y elprincipio del tercio excluido no puede mantener su validez absoluta.

Esta pérdida de vigencia de un principio lógico considerado fundamen-tal es uno de los fenómenos más sorprendentes de la historia de la filosofía,porque se trata de una evolución interna del pensamiento que conduce aconsecuencias inevitables. No se trata de un cambio de perspectiva histórica,no se trata de un cambio en los valores o en las jerarquías, del triunfo de unaescuela sobre otra. Se trata de algo muy diferente: de un resultado lógico,obtenido dentro de las técnicas más rigurosas de la misma lógica. Por otraparte, todas las escuelas habían aceptado siempre su validez, aunque discre-paran en la manera de interpretarlo y sobre todo de Iundamentarlo.s

l. El racionalismo que, a pesar de haber perdido su viejo predominio,se mantenía aún vigoroso en movimientos como la fenomenología, recibe sugolpe de gracia. Porque a través de toda la tradición racionalista se ha ha-blado de los principios supremos del pensamiento y el principio del tercioha sido considerado uno de estos principios. No puede concebirse el racio-nalismo sin la existencia de un sistema de principios captados por medio deuna evidencia intelectual indubitable. El advenimiento de las geometrías noeuclidianas y el impacto producido por la teoría de la relatividad y sobretodo, por la teoría de los quanta, había ya mostrado las dificultades insu-perables del racionalismo. Pero la pérdida de vigencia de uno de los prin-cipios fundamentales de la razón es el derrumbe definitivo. Después de larevolución lógica no puede hablarse más de una razón concebida como unaestructura cerrada de principios evidentes.

11. El empirismo no puede tampoco dar cuenta de la situación. La revo-lución lógica había obligado a los empiristas a reconocer que los principios

3 Incluso los mismos hegelianos y marxistas deben aceptar que, en el campo de losenunciados,deben respetarselos principios lógicos formales y que no tiene sentido enunciardos proposicionescontradictorias o una proposición que no sea ni verdadera ni falsa. 'Lasmodernas tendenciasde la lógica dialéctica, tanto en Occidente (por ejemplo, Lefevbre)como en la Unión Soviética aceptan la validez de los principios lógicos tradicionales.

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lógicos no pueden derivarse de la experiencia. Para evitar el dogma raciona-lista adoptaron una posición convencionalista. Los principios lógicos sonsólo reglas del lenguaje para expresar los fenómenos y estas reglas son conven-cionales. Las matemáticas no son sino la prolongación de la lógica. Los re-sultados de Godel invalidan esta posición. En primer lugar la pérdida devigencia del tertium no se deriva de ningún hecho empírico. Se deriva de unanecesidad del pensamiento lógico y matemático, de una evolución interna delpensamiento racional que parece mostrar que existe algo así como una regiónindependiente de la experiencia con un dinamismo propio. No una razónterminada y arquitectónica, cuyos principios son evidentes, pero sí una ra-zón que impone una necesidad y que no puede reducirse a puras reglasconvencionales. En segundo lugar, y esto es definitivo, el descubrimiento delos límites de los lenguajes formales muestra que las matemáticas no puedenreducirse al lenguaje sino que lo rebasan. Existe pues un mundo matemáticoque no es empírico, pero que no puede reducirse a la categoría de lenguajeconvencional. No hay salida.

III. El pragmatismo no ofrece una mejor posibilidad. De acuerdo consu tesis fundamental, los resultados descritos deberían poderse compren-der en relación con la eficacia de la acción. Pero el profundo proceso queconduce a los sorprendentes resultados de Godel no tiene nada que ver conla acción. El proceso que conduce a las paradojas y al intento de ofrecer ga-rantías contra ellas, es un proceso interno del pensamiento. En ningún mo-mento la urgencia de la acción ha orientado el movimiento. La revelaciónfinal de que el lenguaje no puede agotar el contenido de las matemáticas, deque existe un residuo intuitivo en el pensamiento matemático del cual nonos podemos librar y que nos remite a un tipo muy especial de intuiciónintelectual, no tiene nada que ver con la eficacia de la acción. Todo el pro-ceso es el resultado de un movimiento interno del pensamiento que culminaen una serie de resultados inevitables, que se imponen por una indiscutiblenecesidad racional.

Pero hay más todavía. El principio del tercio excluido ha demostradoa través de la historia su extraordinaria eficacia para la acción. No sólo elpensamiento científico clásico y el pensamiento técnico, sino hasta la acciónpolítica lo han empleado de manera ininterrumpida y con éxito indiscutible.Y, sin embargo, por un proceso totalmente abstracto del pensamiento alejadode la realidad, y sin ninguna repercusión práctica, se ha tenido que limitaren su universalidad.t

4 Podría pensarseque la utilidad del principio del tercio para la acción es sólo en rela-ción con el mundo físico, en regiones finitas del universo, y en consecuencia,en relacióna conjuntos finitos de objetos. Pero el principio del tercio excluido es también útil para lademostraciónde teoremasde la teoría de los conjuntos y del análisis, es decir, en relacióna la determinación de propiedadesde conjuntos infinitos. Ciertos teoremasfundamentalesdel análisis no pueden demostrarsesin su ayuda, y el análisis es el instrumento fundamen-

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IV. El materialismo no es una escuelacomparablea las anteriores,puesse trata de una posición que se define medianteuna tesis de carácter con-creto: todo en el universo es material, el espíritu es un epifenómeno.Aun-que por lo generalno se hace suficiente hincapié sobre la relación entre elracionalismo y el materialismo,esteúltimo no es sino un tipo de doctrinametafísicay, como tal, estáclásicamenteunida al racionalismo. Pero es inte-resantereferirse al materialismo debido a que una de sus especies,el ma-terialismo dialéctico, ha querido interpretar los resultadosde Güdel comouna confirmación de los principios dialécticos.P Segúnel materialismo dia-léctico los resultadosde Godel, en el sentidode que no puede demostrarsede manera indubitable (como se creyó en un principio que se podría) laconsistenciade la aritmética, demuestraque la contradicción es el motordel pensamientomatemático. Nada menosfundado que esta interpretación.El pensamientomatemáticojamás ha procedido impulsado por el afán desuperar contradicciones,sino por el afán de encontrar nuevas verdadesyde resolverproblemasque en sí nada tenían de contradictorios,ni contrade-cían otros aspectosdel sistema. En todos sus desarrollos ha presupuestosiempre,como el principio supremo,el principio de no contradicción, y estal la vigencia de esteprincipio que apenasse descubrieronlas paradojasse trató de inmediato de eliminarlas. Se ha podido eliminarlas, y el resul-tado no ha sido de ninguna manera un sistemaen que las paradojas hansido incorporadascomoelementosde una síntesissuperior. La dificultad deencontraruna garantíadefinitiva contra ellas no significa que el pensamien-to matemáticoprogresea travésde contradicciones.El hecho de que se des-cubrierancontradiccionesque han sido eliminadas (aunquesin una garantíaabsolutade que no se descubrirán nuevas)no significa que el pensamientomarchedialécticamente.Que el pensamientohumano se tope frecuentemen-te con contradiccionesy que trate de superarlases un hechoque se ha reco-nocido clásicamente.Pero el pensamientodialéctico no consisteen afirmaresto,sino en la maneracomo concibe el procesoque generala existenciadela contradiccióny la superación de la misma. Nada de esto puede encon-trarseen el pensamientoque se origina en el descubrimientode las paradojasy que asciendehasta la perspectivametateórica.

V. La imposibilidad de dar cuenta del procesoque conduceal teoremade Kurt G6del y a sus resultados por las escuelasclásicas,sólo deja unapuerta abierta: el relativismo. El hecho de que durante milenios se hayaconsiderado,no sólo en la filosofía oficial, sino en los presupuestosde la in-vestigacióncientífica,que el principio del tercioexcluido tienevalor absoluto

tal de la técnica,es decir, de la trasformacióndel mundo. La eficaciade la acciónpresiona.como se ve, en-un sentido inverso al del movimiento que ha culminado en la pérdida delvalor absolutodel tertium,

5 Ver el prólogo de Haldane a la edición españolade la Filosofía de la Naturaleza deEngels.

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y universal, y que repentinamente se haya demostrado su limitación y hayasido incluso rechazado sistemáticamente por una escuela filosófico-matemá-tica, demuestra, según los relativistas, que los principios racionales son funciónde la época histórica y que el conocimiento es relativo a las vigencias exigidaspor una situación vital determinada.

Fuera de las dificultades insalvables a las que conduce todo relativismo(la imposibilidad de justificar el valor absoluto de la propia tesis), el carác-ter de la situación hace imposible una salida relativista. Porque dentro delhecho total existe un hecho parcial, que no ha sido suficientemente obser-vado y que invalida ab initio toda interpretación relativista: la pérdida devigencia absoluta del principio del tercio excluido se debe a la imposibili-dad de prescindir del principio de no contradicción," Es, en efecto, la nece-sidad de eliminar las paradojas y de ofrecer una garantía contra ellas, lo quegenera el hondo proceso que conduce a la limitación de la validez del prin-cipio del tercio. Metafóricamente hablando, se sacrifica un principio racio-nal para salvar otro. Y se hace esto por una necesidad absoluta. En todo elproceso el principio de no contradicción se manifiesta con una evidenciaincontrastable. El proceso, en lugar de mostrar que los principios racionalesson relativos, muestra que existe un principio absoluto, el principio antifá-sico, cuya vigencia inconmovible obliga a limitar otro principio que tam-bién se creía absoluto. De acuerdo con la estructura constitutiva de la lógica,si en un sistema deductivo puede demostrarse una contradicción, entoncespuede demostrarse cualquier proposición construible dentro del sistema. Osea, que la existencia de una contradicción deductivamente fundada (o, porsupuesto, puramente postulacional), anula ipso tacto el sistema. Esta conse-cuencia es inescapable, es una propiedad estructural de todo sistema deduc-tivo, es una exigencia permanente del pensamiento. Todo hace pensar quese trata de una vigencia suprahistórica de la razón.

La situación es por cierto desconcertante, tan desconcertante que, comoacabamos de ver, rebasa las posibilidades de los planteamientos clásicos. Y, sinembargo, debe ser enfocada e interpretada de algún modo, pues se trata deuna temática que incide profunda y esencialmente sobre los problemas fun-damentales del pensamiento tradicional,"

6 En 1954,hice por primera vez referencia a este hecho que considero fundamental,en un ciclo de conferenciasen el Instituto Riva Agüero de la Universidad Católica deLima sobre "Lógicas no aristotélicas". En 1956,en un trabajo aparecido en la Reuuede Methoptrysique et de Mora/e, "Crise de la scienceet théorie de la raíson" me refiero alprocesoque hemosdescritoen las líneas que antecedeny hago hincapié sobreel hechomen-cionado.

7 Lo dicho vale para todo sistemade lógica, incluso para aquellos, como el de Fitch,en los que se considera,ademásde proposicionesverdaderasy falsas,proposicionesde untercervalor (indefinidas). En estetipo de sistemasno tiene vigencia el principio del tercio,pero el principio de no contradicción tiene el mismo valor que en los sistemas;si no fuera

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c) Hacia una teoría de la razón. La imposibilidad de las escuelastradi-cionalesde dar cuentade la situación originadapor el procesode la revolu-ción lógicamuestrala necesidadde replanteary reelaborarimportantestemasclásicos. Si se interpretanadecuadamenteel significadode estostemasy larelación que existeentreellos --evidencia de los principios racionales,nece-sidad de limitar la vigencia de uno de ellos para mantenerla vigencia deotro, limitación de los sistemasformalespara expresartodaslas posibilidadesintuitivas, descubrimientode un residuo intuitivo- se ve que todosconver-genhaciaun núcleocentral:el temade la razón. En efecto,el problemadela intuición intelectual,de los principios, de las posibilidadesexpresivasdellenguaje,sólo tienensentidoen relacióna la actividadfundamentaldel cono-cimiento racional. El interés de todos los problemasreveladosa través delanterior análisis,resideen que inciden directamenteen el problemadel co-nocimientocientífico. Bastaestehechoparaqueel temade la razónaparezcaen el fondo de todos los problemas. Pero el hecho de tratarsedel conoci-miento matemático,muestra que se trata del conocimiento racional porexcelencia.Y estorefuerzae intensifica la convergenciaproblemáticahaciael temacentralde la razón.

El resultadomás importante del análisis efectuadoes que, aunque lasposicionesclásicasson incapacesde ofreceruna comprensiónadecuadadelprocesodescrito,ello no significa de ninguna maneraque se trate de algocaóticoo sin sentido.Hemos visto que se trata de un movimientoque siguepautaspropias,de un dinamismode desarrollointrínsecoque conduceinexo-rablementehacia ciertos resultados. Estos resultadosson desconcertantesen tanto rebasanlos moldesclásicosy las costumbresinveteradasde pensar.Peroesterebasamientoy estedesconciertosedebenprecisamentea la necesidadinterna del proceso.Todos nos obliga a aceptarque existeuna dinámica dela razón,una manerade funcionar del pensamientoracional que, debido asu profundidady a la falta de mediosanalíticosadecuados,ha escapadoa lacomprensiónfilosófica.

La única manera,por eso,de comprenderlos fenómenosdescubiertos,eselevarsedesdeellos hastauna visión generalde la razón,para poder des-cubrir la unidad y el sentidode todo el proceso.La necesidadde una teoríade la razónes evidente," Se trata de una tareafilosófica que no puede evi-tarseporque constituyeel campo de exploración impuestopor la dinámicade la marchadel conocimientoracional: se trata de una reelaboraciónde lateoríade la razón.

así, a todo teoremapodría oponersesu contradictorio,lo que reducirla el sistemaa unconjunto sin ningún valor.

8 No debemosolvidar que la única manera de obtener esta demostración es mediantela formalización de la teoría cuya consistenciase quiere establecer.

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3. El problema de la razón y el replanteamiento de la temática clásica

a) La intuición intelectual. El temade la razón es el punto de conver-gencia de un complejo temáticoque comienzacon el replanteamientodeciertos temasfundamentalesdel pensamientoclásico. En lo que sigueexpo-nemos,de manerasucinta, los primeros resultadosde este replanteamientoque partede temasespecíficos,derivadosde la situacióndescrita,y que culrni-na en una tomade posicióngeneralsobrela estructuray el dinamismode larazón.

El temaque se imponeen el punto de partida esel de la intuición inte-lectual, no sólo porque la mayor parte de las teorías tradicionalessobre larazón han girado en torno de este temasino porque el procesoque anali-zamosse desenvuelvesobrela basede la relación entre la matemáticaintui-tiva y la matemáticaformalizada.Como hemosvisto, el origen del procesoes la necesidadde superar las paradojasderivadasde una metodologíabaosadaen la utilización ingenuade ciertasverdadesmatemáticasy de determi-nadas principios lógicos. y el punto de llegadaes la comprobaciónde quela formalización,que es el procedimientometodológiconecesariopara laeliminación principista de las paradojas,no puedeagotarla verdad intuitivade las matemáticas.Todo el procesose desarrollacomouna lucha entre lanecesidadde formalizary la imposibilidad de librarse de conocimientosinte-lectualesintuitivos. Por eso,mientrasno se esclarezcacuál es el verdaderosentidode estosconocimientosy de la imposibilidadde eliminarlos,no pue-de comprendersela temáticarestante,que, en todo momento,la presupone.

El primer resultadoque se desprendedel análisis,es que, sin ningunaduda, los criterios clásicospara determinarla existenciade evidenciasabso-lutas,no puedenya mantenerse.. Pero estono significaque debamosrechazarla existenciade una intuición intelectualy de una evidenciacorrespondiente.Lo que no puedenegarsees que el complejo de evidenciasracionalesqueconstituyóla basedel racionalismoclásico,se ha disuelto. Pero lo que noha sido debidamenterealzadoes que no han desaparecidotodas las eviden-cias. Algunasde las evidenciasdel complejo,comola del principio antífásico,sehanmantenido,mientrasqueotrashan desaparecido,comola del principiodel tercio. Se trata de un fenómenosui generis, muy diferentede otrospro·cesasdisolutivos,como,por ejemplo,el de la evidenciageométrica.El adveni-miento de las geometríasno euclidianasmostró que no puede hablarsedeevidenciageométrica.No hay ninguna intuición indubitable de cualidadeso relacionesentreentesquepuedanser llamadosgeométricos.

Pero estono significaque todaslas disolucionesde evidenciasdebanserdel mismo tipo. La disoluciónde las evidenciaslógicases de tipo muy dife-rente. Porque uno de los principios ha permanecidoinconmovible. Es posi-ble rehacer la geometríaprescindiendode cualquiera de los axiomaseucli-

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dianos,-puestoque todosson independientes.Pero no es posible rehacer lalógica prescindiendode cualquiera de sus principios. El principio del tercioy el de no contradicción son independientes,puestoque es posible rehacerla lógica prescindiendodel primero. Pero a pesarde su independencianopuedeprescindirsedel segundo.?

El análisisdel procesonos poneasí en el cauceque debeseguirse.Existeuna intuición intelectual, pero es diferente de lo que siempre ha creído elpensamientoracionalista. Esta diferencia sederivadel hechode que la cons-telaciónde evidenciaslógicas que siempreaceptóel racionalismose ha des-granado.

El procesode desgranamientonos conducea su vez a un problema quepuedeconsiderarse,en relación a la situación existente,el problema funda-mental de la intuición intelectual: si existe un procesohistórico según elcual ciertas evidencias universalmenteaceptadasdurante un determinadoperiodo permanecen,mientrasotraspierden su vigencia,¿cuál es el criterioque permite distinguir las evidencias permanentesde las transitorias? Elhallazgode este Criteriohabrá de constituir, sin duda, la solución, o, por lomenos,el encauzamientoadecuadodel análisis.

Hemos visto que en el término del procesode formalización necesariopara probar la consistenciade las matemáticasse descubreun residuo intui-tivo que la formalizaciónno puede agotar, es decir, se descubrenverdadesmatemáticasintuitivas que no pueden enmarcarsedentro del sistemaforma-lizado. Ahora bien, antesde la formalización,en la teoríamatemáticaintui-tiva, tal como se presentaclásicamente,se aplican determinadosprincipioslógicos,que son tomadospor el científico comoevidenciasabsolutas.Cuandose formaliza la teoría intuitiva, se incluyen en la formalización todos losprincipios lógicos que sirven de base a dicha teoría. Pero una vez que seanaliza metateóricamentela teoría formalizada se descubreque algunos deestosprincipios no tienen el valor absolutoque les reconocíala teoría intui-tiva. La teoría formalizadaha servido,pues,comocedazo,como filtro, de losprincipios de la teoría intuitiva. Una vez que nos convencemosde que cier-tos principios que la teoría intuitiva aceptabacomo absolutos tienen unaaplicación limitada, tenemosque pensar que no hay ninguna razón paraseguirusándolosen la teoria intuitiva. Porque si los seguimosusando,esta-mos rebasandosu campo de aplicación. Si no tienen valor universal y losaplicamosuniversalmente,podemosdemostraruna seriede teoremassin ver-daderofundamento (puestoque en el desarrollo intuitivo no existe el con-trol insobrepasabledel análisis de las posibilidadesderivativas). Pero si enla teoría intuitiva no pueden reconstruirsetodoslos teoremasprescindiendode estos'principios, la situación sería desesperada.Existiría un verdadero

9 Por supuesto,puede partirse de postulados que no sean una expresión directa delprincipio antífásíco, pero de los cuales éste se pueda derivar.

APUNTES PARA UNA TEORíA DE LA RAZÓN

callejón sin salida: de un lado, formalizando la teoría intuitiva se llega a laconclusión, a través del análisis metateórico, de que un principio no tiene vi-gencia universal; del otro se impone el empleo universal de este principiocomo única posibilidad de desarrollar cabalmente la teoría intuitiva. Lateoría formalizada no sólo no agotaría a la teoría intuitiva, sino que nos im-pondría condiciones que no podrían ser verificadas en la intuición. La ri-gorización obtenida a través de la formalización, no sólo sería incompleta,sería, además, inútil, puesto que las limitaciones descubiertas a través delanálisis metateórico, no podrían mantenerse en la intuición.

Felizmente éste no es el caso. La teoría intuitiva cuya formalizaciónlleva a las conclusiones expuestas, es decir, a la demostración de la limita-ción del principio del tercio, es la aritmética. Y se ha demostrado que esposible derivar todos los teoremas de la aritmética clásica intuitiva, prescin-diendo del principio del tercio. O sea, que intuitivamente queda verificadala limitación descubierta por medio del análisis de las propiedades de lateoría formalizada. Existe, como se ve, una relación de adaptabilidad entrela versión formalizada y el desarrollo intuitivo. Esta coincidencia permitepensar que se trata de un posible criterio para determinar la validez de lasevidencias intelectuales. Cuando la formalización de una teoría intuitiva con-duce al desgranamiento de algún complejo de evidencias tradicionalmenteaceptadas, conduce también a una selección: aquellos principios evidentes queconservan su vigencia en el sistema formalizado y que no pueden ser elimi-nados del residuo intuitivo, poseen una validez absoluta. En cambio, aquellosprincipios que sufren algún tipo de limitación o eliminación como resultadodel proceso de formalización y de los cuales puede prescindirse en el residuointuitivo, se revelan como purarnente relativos, derivados de algún tipo deextrapolación o metabasís que ha formado intuición a través del hábito.

El proceso descrito que nos lleva a vislumbrar un criterio para discrimi-nar el valor de las evidencias, caracteriza la formalización de la aritmética. Sipudiese descubrirse el mismo proceso en otros sistemas formalizados, la gene-ralidad de los síntomas reforzaría el criterio propuesto. Vale la pena por esohacer algunas consideraciones sobre la situación actual en la formalizaciónde las teorías matemáticas. El proceso de la formalización de la aritméticaes de importancia capital porque la aritmética es una teoría base. Al ladode la aritmética sólo hay otra teoría fundamentadora de tanta importancia:la teoría de los conjuntos. Si se analizan los resultados de la formalizaciónen este caso se llega a conclusiones muy interesantes. El resultado del aná-lisis metateórico revela que, como en el caso de la aritmética, el formalismono agota el contenido intuitivo de la teoría. De acuerdo con el teorema deKurt Godel, si un formalismo permite expresar la aritmética es sintáctica-mente incompleto; y éste es el caso de la teoría de los conjuntos. Si el sis-tema es incompleto, entonces existen proposiciones sintácticamente indecídí-

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bles.wLuego,el principio del tercioqueda,comoen el casode la ,aritméticaformalizada,limitado. Pero esta limitación no puede verificarse intuitiva-mente,porquehay una serie de teoremasde fundamentalimportanciaen lateoría'de los conjuntos,que no puedendemostrarsesin recurrir al principiodel tercio. O sea,nos encontremosaquí con el callejón sin salida mencio-nado anteriormente.

En apariencia,el criterio propuestofallaría en el casode la teoríade losconjuntos. Pero, en realidad, sucedealgo muy importante,que permite re-afirmarlo. Porqueen la teoríade los conjuntosno existeun verdaderoplanointuitivo, en el cual se desarrollela teoría. En el casode la aritméticaesteplano existe. Nadie duda que hay una teoría intuitiva de la aritmética,quepuededesarrollarsesobre la intuición de las propiedadesbásicasde los nú-merosnaturales.Pero,en cambio,en la teoríade los conjuntosno existeunaintuición o evidenciade las propiedadesfundamentalesde los conjuntos.Elobjetoconjuntono seda a la intuición intelectualde la mismamaneracomoseda el objetonúmeronatural. Ambos objetospertenecena esferascomple-tamentedistintas,por esomientrashay acuerdouniversal sobre lo que sig-nifica la teoría intuitiva de los números,no hay no puede haber acuerdosobre lo que sería una teoría intuitiva de los conjuntos. Se ve, así, que elcriterio de la coincidenciaentre las posibilidadesde la formalizacióny.el re-siduo intuitivo no secumple,porque no hay un verdaderoresiduo intuitivo.En la teoría de los conjuntos el desarrollo intuitivo puede llamarse intui-tivo porque no se han expresadode maneraexplícita (formal) todos lospresupuestosde la teoría. Pero no puede llamarseintuitiva porque se baseen ciertasintuicionesintelectuales.Lo que sucedeesque la expresión"teoríaintuitiva" tieneun doble sentido:un primer sentidogeneral,en que se tomala expresióncomosinónimode teoría ingenua,de teoríacon presupuestosnoanalizados,y otro sentidoparticular en que significa,ademásde lo anterior,teoría cuyospostuladosexpresandeterminadasevidencias. En este segundosentidosedice que existeuna teoría intuitiva de la aritmética. Pero no pue-de decirseentoncesque existeuna teoría intuitiva de los conjuntos. y estoconcuerdaperfectamentecon el sentidoy origende la teoría. La teoría delos conjuntosnace como intento de expresarmatemáticamentelas propie-dadesde las multiplicidades infinitas. Y por principio, el infinito no puedecaptarseintuitivamente..Por eso,desdesu nacimiento,encontró fuertes re-sistenciasentre importantesmatemáticos,que criticaban la manera comoprescindíade las intuiciones báaicas.P Vemos,pues, que en el caso de la

10 Basándoseen el teoremade Lówenheim-Skokem,Wang ha mostrado que la teoríade los conjuntoses semánticamenteincompleta.

11 No debe creerseque la situación es simple. Es. cierto que no existe una "intuiciónintelectual" del conjunto infinito y de las relacionesentre conjuntos, Pero es innegableque en la presentaciónprimitiva de la teoría sé encuentranuna 'serie de principios y de.reglasque sonverdaderamenteintuitivos. El análisisde estosfactoresesde importancia para

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teoríade los conjuntos,no puedehablarsede una falla del criterio propuesto,porque no existeun verdaderoresiduo íntuítívo.w El análisis del procesode formalizaciónde la teoría de los conjuntosnos permite así precisar elcriterio propuesto:la posibilidad de conservaruniversalmenteciertos prin-cipios, (despuésque han sido limitadosotros),en el sistemaformalizadoy enla teoríaintuitiva, significaque los principiossonabsolutosy que su evidenciaes auténticamenteintuitiva.

Peroestonosconducede inmediatoa una nuevaaltura del recorrido.Por-que para que el criterio propuestotengaeficacia,se requiere que exista unverdaderoresiduointuitivo. Estosucedeen el casode la aritmética.Y significa,por tanto,que debede existir, ademásde la intuición de los principios lógi-cos,una intuición de otro tipo de verdades.Esto se debe a que el residuointuitivo se determina como una incompleción del formalismo aritmético.La proposiciónindecidible construidapor Codel, y todaslas que sehan cons-truido después,sonproposicionesque no puedenderivarse (ellaso susnega-ciones)dentro del formalismo. Pero lo esenciales que tienen un significadointuitivo, lo quedemuestraque hayverdadesaritméticasque no puedenderi-varsepor medio del formalismo.Ademásde los principios lógicos,encontra-mos,pues,en el residuointuitivo, nadamenosque la mismaaritmética. Hayverdadesaritméticascaptadasintuitivamentepor medio de la intuición inte-lectual.

.Ahora bien, de acuerdocon el criterio propuestopuedepensarseen lacoincidenciaentre las eliminacionesy las retencionesdel sistemaformalizadoy las posibilidadesde desarrollarla teoría intuitiva de acuerdocon estosre-sultados.Pero estanecesidadno existe,porqueen el casode las intuicionesaritméticasno hay ningún resultadode la teoría formalizadaque obligue alimitar o a rechazaralgún principio aritméticointuitivo. El criterio propues-to no tiene aplicación en estecasoporque se trata de un casodiferente. Elcriterio sólo seaplica en los casosde limitación de principios,esdecir,en loscasosen que la formalizaciónconducea situacionesen que se descubrequealgunosde los principios que se creían evidentesno funcionan de acuerdocon lo previsto.

En los casosen queno existelimitación,entoncesel criterio válido parece

la exploración del problema de la intuición intelectual. Pero hasta donde llega nuestrainformación,aún no se ha hecho. Por otra parte, en relación al tema que nos interesa,esdecir, a la confrontaciónentre el sistemaformalizadoy el residuo intuitivo, no puedeha-blarse de intuición intelectual, porque se trata de la captación intuitiva de las propiedadesde los conjuntos infinitos y esta captaciónno existe.

12 Este hecho abre un nuevo y hondo problema en relación a la incompleción de lateoría de los conjuntos. Si la incompleción es sintáctica es imposible determinar conprecisión el significado de la proposiciónindecidible. Se trataría de una proposiciónpura-mente simbólica. Si es una incompleción semánticael problema se generaliza,pues elloquerría decir que se han determinadocriterios de validez semánticay esto es precisamentelo que no puede hacerse. . .

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ser la existencia del propio residuo intuitivo. Cuando, por más esfuerzosque sehagan,se demuestrala imposibilidad de que un formalismo abarqueuna determinadateoría y comoresultadode esta imposibilidad se revelaunresiduointuitivo, cuya evidenciase impone a travésde significacionesunívo-cas,entoncesexisteevidenciaintelectual.

Puede pensarseque la limitación del formalismo no está ligada a laexistenciade esta intuición. Puede pensarseque es perfectamenteposibleque el formalismocoincida con el estratointuitivo y que entoncesel criteriopropuestono tieneaplicación. Pero,en estecasohipotético,no podría sabersesi la intuición eso no esabsoluta. No existiría manerade mostrarque existeuna intuición intelectualque no sederivadel hábito psicológico. Si la forma-lización de la aritmética no hubiera sido incompleta todos los matemáticoshabrían adoptadoun criterio formalistay habrían consideradoque las ma-temáticasno son sino sistemasformalesque pueden construirse arbitraria-mente. La semánticasólo habría tenido sentido en el casode la aplicaciónde las teoríasmatemáticasa la realidad. Lo reveladores que el estratointui-tivo no ha podido ser eliminado. Esto significamuchomás que la existenciade una intuición intelectual y nos lleva, como veremosa continuación, alsignificadoúltimo del lenguaje. Pero significade todasmanerasque hay unaintuición que rebasatodo esfuerzode formalizacióny que esta intuición im-pone sus evidencias. Hay una coincidencia entre el residuo intuitivo y elcontenidode la teoría intuitiva. El residuo intuitivo, la verdad aritméticaquesepruebaintuitivamenteno pertenecea una aritméticadiferente. Es unaverdadqueperteneceal campode la teoríade los númerosnaturales,esdecir,a la teoríaque se funda en ciertasintuicionesbásicas.La existenciadel resí-duo intuitivo redescubre,ratifica, la evidenciade la intuición aritmética ypor esopuede tomarsecomo criterio de evidencia.

Con lo avanzadose ha recorrido ya algún trechoen el cauce impuestopor el análisisdel procesoque conducea la nuevasituación. Se ha mostradoque la nuevasituación originada por la revolución lógica no anula la posi-bilidad de queexista la intuición intelectualbasadaen evidenciasde vigencianecesariay universal. Seha mostradoque no puedenaceptarseingenuamentetodaslas evidenciastradicionales,pero que, en el casode disolución que sedescubrecomoun inevitable desarrollointrínseco,puedeencontrarseun cri-terio de selección.Este criterio se basaen las relacionesentre la teoría for-malizada y su correspondienteintuitivo. El criterio indicado se desprendedel análisisde sólo dos casos:de la aritméticay de la teoría de los conjuntos(quesirve,de acuerdoa los resultadospeculiaresde la limitación de su for-malismo,para reforzar la aplicación positiva del criterio en la aritmética).Es necesarioencontrarnuevoscasosque muestrenque se trata de un criteriogeneral.

Pero de todasmanerasel hecho de que el criterio se funde en estas

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dosteoríasbásicasmuestraque no setrata deuna generalizaciónprecipitada.Y, aunqueno puedeaún llegarsea conclusionesdefinitivas, el planteamientoexpuestomuestrala existenciade vías de exploraciónmuy diferentesde lastradicionales.

(Continuará)

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