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Profesor Jesús Olivares Belinchón Topografía de Obras E.T.S.I.C.G y Topografía. UPV

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APUNTES

MODELOS DIGITALES ELEVACIONES

1.INTRODUCCIÓN

Podemos hablar de la modelización del terreno desde puntos de vista diferentes, pero la

generación y representación de este será similar. Por una parte podemos tener como fin el

obtener el modelo de una determinada superficie de terreno, para disponer de una

representación de este que nos sirva como base de partida para posibles actuaciones, por

ejemplo, como cartografía de base para proyectar un jardín. O quizás el objetivo de nuestra

modelización sea obtener una vista tridimensional del jardín ya diseñado. En cualquier caso

es imprescindible disponer de un modelo digital del terreno.

Modelado terreno Modelado proyecto

Detalle modelo terreno Detalle modelo proyecto


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Siendo éste uno de los objetivos básicos del Ingeniero proyectista, rápidamente los

diseñadores de software entendieron este campo de actuación y actualmente son

innumerables los programas informáticos que disponen de las herramientas necesarias para

generar modelos digitales del terreno.

Sin duda, estas aplicaciones informáticas son indispensables para diseñar cualquier

actuación sobre el territorio, pero no debemos de olvidar los fundamentos matemáticos y

cartográficos que tienen como base. El uso “autómata” de estos programas nos puede llevar

a productos que no definan la realidad física buscada, en nuestro caso el relieve del terreno.

Así, la actuación diseñada sobre una base incorrecta nos genera de forma directa un

producto mediocre.

2.CONCEPTO DE MODELO DIGITAL DEL TERRENO

Un Modelo Digital del Terreno (MDT) es una función numérica de datos que describen la

distribución espacial de una característica del terreno. Si la característica del terreno a

definir es la cota o altitud se le llama Modelo Digital de Elevación (MDE). Su expresión:

z= F (x,y)

donde F es la función que relaciona la variable de la altitud (z) con su posición geográfica,

definida ésta por sus coordenadas cartesianas ( x,y ) en el correspondiente sistema de

proyección cartográfico. Esta función representa una superficie cuya altitud es una variable

continua.

La superficie física está formada por un número infinito de puntos, cuya totalidad sería

imposible de tratar para obtener un modelo idéntico al real del terreno. La alternativa es

hacer simplificaciones mediante un conjunto limitado de puntos con cota, lo que nos lleva a

diferentes métodos para generar los MDT/MDE.

Al tratar un conjunto limitado de puntos debemos redefinir el MDE como “una aproximación

matemática del relieve del terreno, obtenida a partir de una base de datos de puntos del

terreno con (x,y,z)”.


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3. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MDT

La simplificación de datos del terreno puede seguir dos tipos de estructuras dependiendo se

su distribución planimétrica: regular o irregular.

3.1.Métodos regulares (o raster)

Se sigue una red regular de distribución de puntos en el terreno. La retícula puede adoptar

varias forma y dimensiones. La más utilizada es la red cuadrada y la dimensión de la

cuadrícula dependerá de la escala y precisión que buscamos.

El gran inconveniente que

tiene este método es que la

distribución regular de los

puntos de la base de datos no

guarda ninguna relación con

las características del relieve

del terreno. En relieves muy

abruptos se puede densificar

la cuadrícula disminuyendo su

área, así generamos más

precisión, pero también más

información a tratar.

Este método es adecuado

cuando queremos obtener un

MDE de una zona de gran

extensión y sin mucha

precisión, por ejemplo para

estudios del territorio a escala

con denominador grande. Para

trabajos de ingeniería, donde

necesitamos precisión para

abordar el diseño de obras, no

son adecuados.


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3.2. Métodos irregulares ( o vectoriales)

Están basados en entidades de puntos, líneas y polígonos definidas por sus coordenadas y

con una distribución irregular. El modelo vectorial más empleado es el TIN ( triagulated

irregular netword). Está compuesto por una red de triángulos irregulares que se ajusta a la

superficie real del terreno. La simplificación del modelado del terreno se consigue con una

distribución de triángulos que se ajuste a éste.

Partimos de puntos distribuidos de forma irregular en el terreno de los cuales conocemos

sus coordenadas (x,y,z), formando con ellos una red de triángulos como la de la figura.

Fig. Distribución irregular de puntos

Fig. Red irregular de triángulos


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La generación automática de estos triángulos debe de cumplir las siguientes condiciones:

- Triángulos lo más equiláteros posibles.

- Longitud de los lados mínima.

- El conjunto de los triángulos debe ser único.

El algoritmo que más se utiliza es:

Triangulación de Delaunay: se basa en definir geométricamente la región de influencia de un

punto sobre una superficie. Para ello se utilizan los llamados vértices de Thiessen. Así

conseguimos una red irregular de triángulos que cumple las tres condiciones.

Este método es el adecuado para obtener MDE necesarios para proyectos de obras.


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4. OBTENCIÓN DE DATOS

Hemos hablado de diferentes métodos de generar un MDE haciendo referencia a la

distribución de sus datos de partida (regulares e irregulares), pero es imprescindible hacer

referencia al origen de esos datos iniciales.

La forma más utilizada y precisa es la obtención de puntos con coordenadas (x,y,z) de forma

directa a partir de datos topográficos. Para la obtención de un buen MDE son fundamentales

los datos de partida originales y la profesionalidad del técnico que los ha tomado. De nada

servirá tomar muchos puntos del terreno si la precisión en su medición no es la adecuada.

Esto se puede agravar más si estamos en un modelo TIN donde es fundamental la elección

de la distribución de los puntos en el terreno. Es muy importante no confundir la

distribución irregular de los puntos con una distribución aleatoria. Si se da este último

caso el resultado del MDE será irreal. Por tanto debemos considerar la primera fase de

obtención de datos como fundamental para generar un buen MDE.

Los métodos de Topografía clásica se utilizan más para obtener modelos TIN. Se utilizan

fundamentalmente Estaciones Totales, aunque se esta incorporando cada vez más el GPS.

De esta forma se obtienen los MDE más precisos. Por su laboriosidad se utilizan para zonas

de poca superficie. En el proceso de toma de datos es imprescindible definir los puntos de

relleno y las líneas de rotura.

Los métodos Fotogramétricos se fundamentan en la formación de un modelo estereoscópico

a partir de dos fotografías, obtenidas desde diferentes lugares, de una misma porción de

terreno. Tras un proceso de apoyo en campo y orientación de los fotogramas, se pueden

medir coordenadas en estos. Se utilizan para obtener MDE de superficies más grandes,

dado que se obtienen mejores rendimientos. La precisión en la toma de datos es menor , por

eso se utiliza para escalas pequeñas. Aunque es más utilizado para generar modelos

regulares también se pueden obtener modelos TIN. Es muy utilizada la combinación de una

cuadrícula regular con líneas de cambio de rotura.

Los datos de partida se pueden obtener de forma indirecta a partir de una cartografía ya

existente. Es una generalización de los datos directos, y por tanto más imprecisa. Hay que

tener claro que la precisión obtenida siempre será menor que la de los datos originales. Es

habitual a partir de un modelo TIN obtener una red regular. Una vez generado el modelo TIN

es necesario interpolar en este una red regular, normalmente por el método de amplitud. En

este método se determina la cota de un nudo de la red regular por interpolación a partir de

los puntos originales cercanos hasta un determinada amplitud


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5. LINEAS DE ROTURA

Para la obtención de un buen modelo del terreno la definición de las líneas de rotura es

fundamental. Cualquier programa informático que no contemple la inclusión de estas líneas

debemos de descartarlo de antemano. En la actualidad prácticamente todos contemplan su

inclusión.

Una vez obtenida la distribución irregular de los triángulos con el algoritmo de Delaunay,

podíamos pensar que está resuelto nuestro modelado del terreno. La realidad es otra, ya

que si nos quedamos en esta fase nuestro modelo no se va ajustar a la realidad. Es

imprescindible incluir en el modelo las llamadas líneas de rotura, a mi modo de ver mal

llamadas, ya que como veremos algunas si que producen roturas y otras no. Quizás sería

mas apropiado llamarlas líneas de condición, ya que en definitiva con estas líneas vamos a

imponer una serie de condiciones. Dependiendo del tipo de condición las llamaremos:

5.1. Líneas de cambio de pendiente.

Son líneas donde hay un quiebro o cambio bien definido del relieve o pendiente del terreno,

como son las líneas de vaguada, líneas de talud, etc. El ejemplo más característico, que

representa claramente la importancia de definir estas líneas, es el de talud de un camino. En

la figura vemos una porción de camino con un talud de terraplén con las líneas de cabeza de

talud y pie de talud que lo definen.

Cabeza talud

Pie de talud


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Supongamos una simplificación de modelo midiendo en campo los cinco puntos de la figura.

Vemos su distribución en perspectiva y abajo a la izquierda tenemos la triangulación de

Delaunay resultante así como su representación en planta a la derecha.

Recordemos que el objetivo buscado en un modelo TIN era obtener una red irregular de

triángulos que se ajuste al relieve del terreno. Observando la figura anterior en su vista en

perspectiva podemos comprobar que la arista de triángulo resaltada en negro no cumple el

objetivo, aunque si cumple las condiciones de Delaunay. En este caso bastará con definir

nuestras dos líneas de cambio de pendiente que teníamos en azul en la figura anterior.

Cuando definimos una líneas de cambio de pendiente la condición que imponemos es que

los triángulos cercanos deben de tener como una de sus aristas la líneas de cambio de

pendiente.

El cálculo a realizar es determinar el punto de cruce entre los triángulos iniciales con la línea

de cambio de pendiente. A ese punto de cruce se le asigna la cota de la línea de cambio de

pendiente y se generan nuevos triángulos con este ultimo punto. Así obtenemos los puntos

remarcados en azul en la siguiente figura, obteniendo una nueva triangulación , la de la

derecha.


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Si mentalmente superponemos esos triángulos definidos sobre la vista en perspectiva

comprobaremos que ahora si hemos conseguido nuestro objetivo: que se ajusten nuestros

triángulos al relieve del terreno.

En las siguientes figuras podemos ver el proceso para obtener un caso real. Primero se

marcan las líneas de cambio de pendiente. En la triangulación generada podemos apreciar

que ningún lado de triángulo se cruza con las líneas. En la última imagen podemos apreciar

la visualización perfecta de curvas de nivel siguiendo el relieve del terreno, donde se

aprecian los taludes perfectamente.


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5.2. Líneas de inclusión.

Con estas líneas definimos los límites de nuestro modelo. Parece lógico pensar que no se

debe obtener MDE de zonas donde no se han tomado puntos de campo. La formación

automática de los triángulos por el algoritmo de Delaunay siempre se apoya en puntos

tomados en campo pero a veces su distribución por los límites da lugar a casos como el de

la figura.

Fig. triangulación inicial

Los triángulos exteriores falsean el modelo. Por ese motivo debemos incluir las líneas de

inclusión o límite. Estas si que son líneas de rotura, limitando la formación de triángulos a su

interior. Ver figura.

Fig. Líneas de inclusión o límite


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Como podemos apreciar en la siguiente figura no hay ningún triángulo de interpolación fuera

de la zona marcada como límite de trabajo. Esto mejorará el modelo, ya que de no incluirlas

se producen errores graves como podemos apreciar en la diferencia entre los dos modelos

de curvas de nivel.

Fig. Triangulación aplicando líneas de rotura de inclusión

Fig. Modelo de curvas de nivel sin líneas de límite y con ellas.


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5.3. Líneas de omisión.

Con las líneas de rotura de omisión definimos una zona donde no se va a modelar. Esto

normalmente es debido a que no conocemos los puntos interiores y en muchos casos es

imposible conocerlos. El caso más habitual de omisión son los límites de una edificación. En

las figuras siguientes vemos que es el caso contrario a las líneas de inclusión anteriores.

Edificio

Fig. Líneas de omisión. Triangulación inicial

Fig Zona de omisión de modelo


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6. VISUALIZACIÓN DE MDE.

Una vez tenemos definido de forma digital nuestro modelado del terreno existen varias

opciones para visualizar el resultado.

6.1. Curvas de nivel

La forma tradicional es la representación del relieve del terreno con curvas de nivel. Se

utiliza la teoría de planos acotados, ya conocida, donde cada curva de nivel representa la

intersección de un plano horizontal con el terreno. Es muy importante elegir la equidistancia

adecuada de curvas de nivel. Hay que tener claro que equidistancias muy pequeñas

necesitas de mas puntos iniciales del terreno.

Se calculan los puntos de paso en cada lado del triángulo de las cotas enteras elegidas, de

forma similar a como se ha interpolado siempre. Definiendo posteriormente la curva que

mejor de ajusta a los puntos de paso. La solución matemática rigurosa nos produce curvas

formadas por segmentos rectos como los de la figura.

Fig Curvas sin suavizado

Los programas suelen tener una opción de suavizado para así conseguir un efecto más

artístico y tradicional de las curvas de nivel (Ver figura). Hay que vigilar el grado de

suavizado, ya que un exceso de suavizado puede llevarnos a cortes entre curvas de nivel, el

cual es un error muy frecuente imposible de pasar por alto, ya que jamas se pueden cortas

dos curvas de nivel.


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Fig Detalle corte de curvas 6.2. Vista en perspectiva Partiendo de los puntos tomados

inicialmente para definir el modelo,

actualmente a casi todos los

programas se les puede asignar la

tercera dimensión( la cota ) a cada

uno de los puntos que definen

nuestras figuras geométricas

ajustadas al terreno. Así, en la figura

siguiente, podemos ver una malla regular vista en perspectiva, visualizando de forma simple

el relieve del terreno.


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Si a estas figuras le asignamos diferentes colores o tramas y lo tratamos con programas

para tres dimensiones podemos obtener visualizaciones de nuestro modelo como los de la

figura, con mucha mas sensación de realidad.


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La técnica avanza sin parar y actualmente ya se pueden conseguir vistas tridimensionales

del terreno combinando los datos de nuestro Modelo Digital de Elevaciones con vistas

fotográficas, obteniéndose imágenes como la de la figura, donde la vista parece real.(Foto

realismo)

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