COINCIDENCIAS (MATCHING) DE CURVAS TIPO

CURVAS TIPO

Un aspecto limitante del anlisis semi-log es que solo una porcin de los datos de la prueba es usada para obtener informacin. Dado que la regin de datos pertenecientes al almacenamiento de pozo (pendiente unitaria en coordenada cartesianas) no contiene informacin significativa del yacimiento y que la regin de datos que representan el flujo radial de actuacin infinita (IARF) esta ampliamente dominada por el yacimiento, queda pendiente el tema de la informacin que puede contener los datos correspondientes a ese ciclo y medio (1 ) entre las dos regiones. Estos datos comprendidos en este ciclo y medio representan una transicin en la que la respuesta de presin cambia de ser dominada principalmente por el almacenamiento a ser dominada principalmente por el yacimiento. Por consiguiente dentro de esta porcin de datos hay importante informacin contenida respecto del yacimiento, aunque no identificable por medio de una lnea recta. En algunos casos, como veremos, es posible extraer informacin del yacimiento haciendo coincidir los datos de esta y otra porciones con curvas pre-graficadas de un modelo de interpretacin, mtodo que es conocido como anlisis con curvas tipo. La base principal del anlisis con curvas tipo y su ventaja frente al anlisis semi-log, es la coincidencia del conjunto entero de datos, en vez de solo secciones que muestran lneas rectas en varios grficos. Sin embargo, el anlisis ser correcto al obtenerse resultados consistentes con ambas tcnicas.

COINCIDENCIAS (MATCHING) DE CURVAS TIPOCURVAS TIPO

Fundamentalmente, las curvas tipo son una familia pre-graficada de curvas de declinacin de presin obtenidas de las soluciones de la ecuacin diferencial de flujo (difusividad), sujeta a condiciones inicial y de contornos especficas. Hay curvas tipo para casos de yacimientos homogneos, heterogneos, con fracturas, pozos horizontales, yacimientos de doble porosidad y otros ms. Algunas de estas soluciones son analticas; otras son obtenidas en base a aproximaciones de diferencias-finitas (soluciones numricas) generadas por simuladores de yacimientos.

Con frecuencia, estos grficos utilizan escalas log-log y las coordenadas son funciones de presin adimensional (PD) y de tiempo adimensional (tD). Los mtodos de cotejamiento/coincidencia con curvas tipo que veremos capacitan al ingeniero para que pueda usar, comprender y aplicar las curvas tipo ms recientes, como van estas apareciendo en la literatura. Algunas de las curvas son utilizadas para ayudar a identificar la regin de tiempo medio (RTM) del grfico convencional semilog de interpretacin de pruebas de pozos, mientras que otras curvas tipo son usadas para estimar la permeabilidad, factor de piel, longitud de fractura, etc. Las curvas son empleadas tambin para verificacin de los resultados obtenidos con mtodos convencionales.Para visualizar el fundamento de la tcnica de coincidencia de curvas tipo se parte de las definiciones conocidas siguientes:

Ec. 1

Y,

Ec. 2Sacando logaritmos a ambos lados:

Ec. 3

Ec. 4Las ecuaciones 3 y 4 indican que la graficacin de una prueba real de caa (o declinacin) de presin (log t vs log p) tendr una forma idntica a aquella de la graficacin de log tD vs log PD de la respectiva curva tipo, pero para encontrar la coincidencia de la curva real de los datos de la prueba con una de las curvas tipo (curves matching), tendramos que desplazar los ejes horizontal y vertical (esto es, cambiar el origen del grfico) de la prueba real.Para ver cmo la coincidencia de curvas trabaja, tomemos la ilustracin de E. Peters y considere los dos grficos que se muestran en la Fig. 1. Hagamos que los grficos estn relacionados por las ecuaciones:

Y = y + a

X = x + b

Donde a y b son nmeros positivos. En la Figura resalta que el grafico Y vs X (lnea continua) y el de y vs x (puntos) son los mismos (coinciden) excepto por un desplazamiento de los ejes. Siendo as, a y b pueden ser encontrados escogiendo un punto de coincidencia (punto 1 mostrado) arbitrario y anotando los valores correspondientes de las lecturas x1, X1, y1 y Y1, de dicho punto en sus respectivas coordenadas. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de arriba se tiene:

a = Y1 y1

b = X1 x1Cualquier punto de coincidencia conveniente puede tambin ser escogido y sustituido en las ecuaciones para determinar a y b. Por ejemplo, el punto (2), el cual no cae sobre el grfico mismo, puede ser utilizado.Entonces, con referencia a ecuaciones 3 y 4, se tiene:

Por lo tanto,

Ec. 5de donde

Ec. 6

La M es de match point: lecturas, sobre cada uno de los grficos, de las coordenadas del punto arbitrario seleccionado una vez que al desplazar el plano de los datos reales, la curva del grfico de puntos coincide (matched), se monta, sobre una de las curvas tipo del grfico de parmetros adimensionales.De Ec. 6, puedo despejar k:

Ec. 7De la misma manera se puede demostrar que

Ec. 8

O,

Ec. 9

Fig. 1. Grfico que muestra desplazamiento de ejes.

Las curvas tipo empezaron a aparecer en la literatura de la industria del petrleo en los aos 70.

Para un yacimiento homogneo e infinito, varios curvas tipos, como se lista abajo, son usadas para interpretar una prueba en un pozo vertical:

Curvas tipo de Agarwal y otros, tambin conocidas como de Ramey;

Curvas tipo de McKinley;

Curvas tipo de Earlougher y Kersch

Curvas tipo de Gringarten y otros

Curvas tipo de Bourdet y otros

F. Davian ha examinado en detalle las aplicaciones de las curvas tipo en los nuevos mtodos de interpretacin de pruebas de pozos y l sugiere que las curvas de Gringarten y otros son las ms completas y prcticas. Estas son las de ms amplio uso en la literatura de la industria petrolera.Presentaremos aqu las curvas tipo de Agarwal y otros, de Gringarten y otros y la de Bourdet y otros, acompaadas del procedimiento para sus usos y la aplicacin de estas en problemas prcticos. CURVAS TIPO DE AGARWAL Y OTROS Y RAMEY JR.

Estas curvas tipo se muestran en la Fig. 2. Fueron generadas para una prueba declinacin de presin, tasa de flujo constante con las caractersticas siguientes: fluido ligeramente compresible, flujo de lquido de una sola fase; homogeneidad suficiente de modo que la ecuacin de difusividad radial modela adecuadamente al flujo en el yacimiento; presin uniforme en el rea de drenaje del pozo antes de la produccin: yacimiento de actuacin como infinito (no efectos de frontera durante el perodo de flujo de inters para los propsitos de anlisis de la prueba); tasa de produccin constante a la superficie; y con almacenamiento de pozo y dao o estimulacin de la formacin concentrado en el pozo y caracterizado por un factor de piel, S. Esta lista de asunciones es tediosa pero importante. Cuando una o ms de estas asunciones no es vlida en un caso especfico, no hay seguridad de que el uso de las curvas tipo pueda llevarnos a una interpretacin vlida de pruebas. Estas curvas tambin pueden usarse para pruebas de restauracin de presin (buildup pressure tests) y para pruebas de pozos de gas.

Algunas propiedades importantes de estas curvas son:

1. A los tiempos ms tempranos cuando la descarga del pozo es responsable por el 100% del flujo en una prueba de declinacin (o cuando la tas del postflujo iguala a la tasa de flujo antes del cierre en una prueba de restauracin), p es una variacin lineal de t (p es la variacin de presin y t es el tiempo transcurrido desde el inicio de la prueba). La tasa constante en superficie es igual a:

Ec. 10

Cuando la es debida enteramente a la descarga del pozo, se tiene

Ec. 11

Ec. 12

Integrando se obtiene:

Ec. 13

asumiendo constante de integracin cero.

Esta ltima ecuacin expresada en trminos logartmicos resulta en

Ec. 14

que indica que los datos de presin bajo estas condiciones y perodo, p, graficados contra t , en papel log-log sern lineales con una pendiente unitaria.

El coeficiente de almacenamiento del pozo, C, puede determinarse de cualquier punto (t, p) sobre esta lnea, Fig. 3, con:

Ec. 15

USL: del ingls unit-slope line

Fig. 3. Uso de la lnea de pendiente unitariapara calcular la constante de almacenamiento del pozo, C.

El xito de la aplicacin de las curvas tipo de Agarwal y otros y Ramey Jr. para anlisis cuantitativo depende de manera importante de nuestra habilidad para establecer el valor correcto de CD que ser usado para el ajuste de coincidencias de curvas tipo para un valor dado de S.

Las curvas para diferentes valores de CD tienen una forma muy parecida lo cual hace difcil encontrar el mejor ajuste sin un conocimiento previo de CD. El clculo directo de C y as de CD, de valores conocidos de Awb y wb o Cwb y Vwb, no caracteriza las condiciones de la prueba tan bien como el valor de C determinado del comportamiento de una prueba real como se refleja en la lnea de pendiente unitaria.2. El almacenamiento de pozo cesa de distorsionar los datos de presin transiente de una prueba cuando la curva tipo para el valor de CD propio de la prueba llega a ser idntica a la curva tipo para CD = 0, como se ilustra en la Fig. 4. Esto usualmente ocurre a 1 - 2 ciclos desde cuando finaliza la lnea de pendiente unitaria. De este modo, estas curvas tipo pueden ser usadas para determinar cuales datos (si acaso queda alguno) pueden analizarse por mtodos convencionales, tal como el grfico de Horner para pruebas de restauracin.

Fig. 4. Uso de las curvas tipo para determinar el fin de la distorsin

del almacenamiento de pozo.3. Las curvas tipo, las cuales fueron desarrolladas para pruebas de declinacin, pueden tambin ser usadas para el anlisis de pruebas de restauracin bajo ciertas circunstancias si un tiempo de cierre equivalente, , es usado como la variable de tiempo. El tiempo equivalente es vlido bajo cualquiera de estas dos condiciones.a. Las respuestas de presin tanto del perodo de flujo como del perodo de cierre deben caer dentro de la regin de tiempo medio. Especficamente, estas respuestas de presin deben poderse describir por la aproximacin logartmica de la funcin Ei; esto es, la asuncin de flujo radial en medio homogneo de actuacin como infinito debe ser aplicable.PROCEDIMIENTO PARA EL USO DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY JR.

1. Grafique (pi - pwf) vs. t (prueba de declinacin) o (pws - pwf) vs. (prueba de restauracin) sobre papel log log del mismo tamao que el de las curvas tipo de Ramey. Atencin: A menos que se use una curva tipo que no se haya distorsionado en el proceso de reproduccin sta no tendr las mismas dimensiones que las del papel de graficacin comercialmente disponible y el encontrar una coincidencia puede ser difcil sino imposible. La mejor solucin es usar una curva tipo sin distorsin; una alternativa aceptable es graficar los datos de la prueba sobre papel de calcar o de plano usando el mallado de la curva tipo distorsionada como una ayuda de graficacin.2. Si la prueba tiene una regin de pendiente uniforme (lnea de 45 a tiempos tempranos) escoja cualquier punto o sobre la lnea de pendiente unitaria (USL, del ingls: unitary slope line) y calcule el coeficiente de almacenamiento del pozo, C:

Ec. 16

Luego calcule el coeficiente adimensional del almacenamiento de pozo:

Ec. 17Ntese que a este punto se requiere estimados de y .Si una pendiente unitaria no est presente, C y CD debern calcularse de las propiedades del pozo e imprecisiones resultarn si estas propiedades no describen el comportamiento real de la prueba.3. Usando las curvas tipo con CD como se calcul en paso 2, encuentre la curva ms cercanamente coincida con los datos graficados. Esta curva ser caracterizada por un factor de piel, S; registre su valor. La interpolacin entre las curvas debe mejorar la precisin del anlisis pero puede resultar complicado. An para valores fijos de CD de la curva tipo unitaria, el analista puede tener dificultad n la determinacin de que un valor de S provee un mejor ajuste que otro, particularmente si todos los datos estn distorsionados por el almacenamiento de pozo o si la dispersin o ruido que caracteriza a muchos datos reales de campo est presente. Si CD no es conocido con certeza, la posible ambigedad en encontrar el mejor ajuste es an ms pronunciada.

4. Con el grfico de los datos de la prueba real ubicado en la posicin de mejor ajuste, lea los valores correspondientes de (pi pwf, pD) y (t, tD) de un punto d coincidencia conveniente.5. Calcule k y con las ecuaciones 7 y 9. La Ec. 9 no establece en base al rendimiento de la prueba a menos que CD haya sido establecido sin asumir valores para ; esta solo reproduce los valores asumidos en paso 2. En resumen, el procedimiento descrito en pasos 1 al 5 provee estimados de k, S y C.

Ejercicio propuesto: Anlisis de una prueba de declinacin usando las curvas tipo de Ramey Jr.Determine k, S y C de los datos siguientes y de la Tabla 1 los cuales fueron obtenidos en una prueba de declinacin de presin en un pozo de petrleo.

q = 500 stb/d

rw = 0.3 pies

= 0.2

h = 56 pies

= 0.8 cp

= 1.2 RB/stb

= 10 x 10-6 psi-1

pi = 3000 psia

Tabla 1. Datos de la Prueba de Declinacin

t (horas)pwf(psi)t (horas)pwf(psi)t (horas)pwf(psi)

0.010929760.16426932.181768

0.016429640.2826112.731734

0.021829530.27325363.281712

0.027329420.32824693.821696

0.032829300.38224084.371684

0.038229190.43723524.911674

0.043729080.49123025.461665

0.049128970.54622566.551651

0.054628861.0919528.741630

0.10927851.64182810.91614

16.41587

CURVAS TIPO DE GRINGARTEN Y OTROS. Estas curvas tienen base en las soluciones de la ecuacin de difusividad que modela el flujo de un lquido ligeramente compresible en una formacin que acta como si fuera homognea. La condicin inicial es presin uniforme en toda el rea de drenaje del pozo. La condicin de frontera exterior corresponde a un yacimiento que acta como si fuera infinito o sin fronteras, mientras que la condicin de frontera interna es de tasa de flujo constante con almacenamiento de pozo y efecto de piel. Estas condiciones inicial y de fronteras son las mismas condiciones asumidas en las soluciones graficadas en las curvas tipo de Ramey Jr. Gringarten y otros regraficaron las soluciones de Ramey Jr. Para facilitar la aplicacin de las curvas tipo. En la FIG, pD es graficado contra la funcin de tiempo, tD/CD, y como una funcin del parmetro de correlacin CDeS.Algunas de las propiedades importantes de las curvas de Gringarten y otros son:

1. Mientras la descarga del pozo d cuenta de todo el flujo durante una prueba de declinacin o mientras el postflujo d cuenta del 100% de la tasa de flujo antes del cierre n una prueba de restauracin, una lnea con pendiente igual a uno aparecer a tiempos tempranos sobre un grfico log-log. En variables adimensionales, la lnea de pendiente unitaria tiene la propiedad:

Ec. 18

donde CD = coeficiente adimensional de almacenamiento de pozo definido por:

Ec. 19 y C = coeficiente de almacenamiento de pozo (bbl/psi). Para un nivel de lquido que asciende o desciende en el pozo, C es calculado de:

Ec. 20

y para un pozo lleno con lquido o gas, de una sola fase:

Ec. 21

Las variables en las ecuaciones 20 y 21 son definidas como = rea del pozo, pie2; = densidad del lquido en el pozo, lbm/pie3; = volumen del pozo, bbl; y = compresibilidad del fluido en el pozo, psi-1.

El coeficiente de almacenamiento del pozo, C, puede ser determinado de cualquier punto sobre la lnea de pendiente unitaria. Sustituyendo las definiciones de pD, tD y CD para un lquido ligeramente compresible en la Ec. 18, encontramos que, para un punto sobre la pendiente unitaria,

Ec. 22

El coeficiente adimensional de almacenamiento, CD, es:

Ec. 23

2. La lnea discontinua en el grfico de curvas tipo de Gringarten marca el inicio aproximado de la lnea recta semi-log o regin de tiempo medio. Entre ms pronunciado sea el efecto de almacenamiento sobre la respuesta de presin durante una prueba, mayor demora habr en el inicio de la regin de tiempo medio.

Una lnea discontinua casi horizontal que cruza las curvas tipo para valores fraccionales de CDeS cae sobre la regin de pozo fracturado, de las curvas de Gringarten. Como antes, esta lnea indica el comienzo de una lnea recta en el grfico semi-log de los datos de la prueba para soluciones de pozos fracturados graficados sobre las curvas tipo de Gringarten. Sin embargo, el almacenamiento no retrasa el inicio de la regin de tiempo medio. Ms bien, la lnea casi horizontal marca la transicin de un rgimen de flujo caracterizado por flujo lineal desde el yacimiento hacia una fractura vertical de alta conductividad hidrulica a flujo esencialmente radial, llamado flujo seudoradial. Ni la transicin de flujo lineal o seudoradial ni la lnea recta semi-log aparecern hasta que la graficacin de los datos de la prueba cruce esta lnea.

3. Las curvas tipo de Gringarten estn fundamentadas en soluciones a ecuaciones que modelan tasa de flujo constante. Para una prueba de declinacin, se hace un grfico de como una funcin de tiempo de flujo, t. Las curvas tipo tambin pueden utilizarse para analizar pruebas de restauracin si el tiempo de produccin antes del cierre es mucho mayor a la duracin de la prueba de restauracin; esto es, ((. Sin embargo, para situaciones en las cuales el tiempo de produccin antes del cierre del pozo es menor a 10 veces al tiempo mximo de cierre a ser analizado (esto es, (0.1, las curvas tipo de declinacin no pueden usarse para el anlisis de datos de restauracin de presin con precisin.

Para tomar en cuenta los efectos del tiempo de produccin sobre las pruebas de restauracin de presin, Agarwal propuso un tiempo equivalente definido por:

Ec. 24

El significado del tiempo equivalente es que un cambio dado de presin, , que ocurri al tiempo de cierre durante una prueba de restauracin habr ocurrido a un tiempo equivalente, , durante una prueba de flujo a tasa constante. Para analizar las pruebas de restauracin se recomienda graficar

como un funcin del tiempo equivalente, . La definicin del tiempo equivalente es estricta solo para flujo radial en yacimientos homogneos de actuar infinito con datos de la prueba no distorsionados por el efecto de almacenamiento de pozo. Puede ser usado para analizar datos de flujo radial distorsionados por el almacenamiento; pero, los datos de las pruebas afectados por las fronteras son usualmente mejor graficarlos contra . Para flujo lineal, el cual ocurre a tiempos tempranos de la prueba en muchos de los pozos hidrulicamente fracturados, otra expresin para el tiempo equivalente es ms apropiada.4. Para una prueba de declinacin en un pozo que produce un lquido ligeramente compresible, un grfico log-log de pD vs tD/CD difiere de un grfico log-log de vs. t solo por el desplazamiento de ambas coordenadas por ciertas constantes, de modo:

Ec. 25

Ec. 26

y

Ec. 27

Tomando logaritmos a ambos lados se tiene

Ec. 28

Similarmente, tomando logaritmos a cada lado de se tiene:

Ec. 29

As, un grfico de los datos de una prueba de declinacin (log vs log t ) tendr una forma idntica a aquella de un grfico de log pD vs log tD/CD pero con los ejes horizontal y vertical desplazados.

Para usar las curvas tipo de Gringarten, se compara un grfico de los datos de la prueba con las curvas tipo. Los datos de la prueba son graficados ya sea en papel plano o en papel de grfico log-log con el mismo tamao del ciclo log de las curvas tipo. A continuacin, el grfico de datos es sobre puesto a las curvas tipo y desplazado en busca de una coincidencia con la curva tipo que tiene la misma forma que la del grafico de los datos de la prueba. Cuando la coincidencia es encontrada, el parmetro de correlacin, CDe2S, de la curva tipo de coincidencia es registrado y los valores correspondientes de presin y tiempo de los puntos de coincidencia, (pD, p) y (tD/CD, t), respectivamente, son seleccionados. Cualquier valor adimensional CD conveniente y el valor correspondiente real pueden usarse cuando se escoge el punto de coincidencia. Finalmente las propiedades de la formacin pueden ser estimadas utilizando los puntos de la coincidencia y las definiciones de las variables adimensionales.

Recomendamos el procedimiento siguiente en el anlisis de pruebas de restauracin y de flujo con las curvas tipo de Gringarten.

1. Grafique cambios de presin, vs. tiempo de flujo, t, para una prueba de declinacin o cambio de presin, (t = 0), vs. tiempo de cierre equivalente, , para una prueba de restauracin. Haga el grfico ya sea en papel plano o de calcar o en papel de grfico log-log con el mismo tamao de los ciclos log de las curvas tipo de Gringarten.2. Si una lnea de pendiente unitaria est presente en el grfico de los datos de la prueba a tiempos tempranos, calcule el coeficiente adimensional de almacenamiento de pozo, CD, con un punto dado (t o , p)USL de la lnea de pendiente unitaria.

Ec. 30

Si se lo desea, calcule el coeficiente dimensional de almacenamiento, C, con el mismo punto de la lnea unitaria:

Ec. 31

Note que, aunque no est presente la lnea de pendiente unitaria a tiempos tempranos, podemos an determinar CD con el punto de coincidencia de tiempo (Paso 6).3. Monte los datos de la prueba sobre las curvas tipo y encuentre la curva tipo que mas cercanamente se ajuste a todos los datos graficados de la prueba. Registre el valor del parmetro de correlacin de la curva tipo, CDe2S, que corresponde a la curva tipo de coincidencia. Esta coincidencia probablemente no ser nica; esto es, otras curvas pueden coincidir igual bien con los datos.4. Con el grfico de los datos de la prueba en posicin de coincidencia con la curva tipo, seleccione convenientemente los puntos de coincidencia de presin y tiempo. Registre los valores (p,pD) y (t, tD/CD) para una prueba de declinacin o (te, tD/CD) para una prueba de restauracin, al punto de coincidencia. Los valores de presin al punto de coincidencia (p, pD) son los valores correspondientes de las variables de presin en, ambos, el grfico de los datos y de la curva tipo, mientras que los valores de tiempo al punto de coincidencia (t, tD/CD) o (te, tD/CD) son los valores correspondientes de las variables de tiempo en el grfico de los datos y de la curva tipo. 5. Usando la definicin de presin adimensional calcule la permeabilidad utilizando el punto de coincidencia de presin

Ec. 32

donde para prueba de declinacin o para una prueba de restauracin de presin. 6. Calcule el coeficiente adimensional de almacenamiento de pozo, CD, con el punto de coincidencia de tiempo

Ec. 33

Este valor debera ser comparable con aquel calculado en el paso 2 usando un punto de datos sobre la lnea de pendiente unitaria. Las inconsistencias entre los dos valores indican posibles errores en anlisis.7. Calcule el factor de piel, S, con el parmetro de correlacin de las curvas tipo, CDe2S, del paso 3 y del coeficiente adimensional de almacenamiento, CD, determinado del punto de coincidencia de tiempo en paso 6:

Ec. 34

Ejercicio propuesto: Anlisis de una prueba de restauracin de presin con las curvas tipo de Gringarten.Los datos sumarizados en la tabla 2 son de una prueba de restauracin en un pozo de petrleo. Puesto que la presin del yacimiento est an arriba de la presin original del punto de burbujeo, solo petrleo fluye en el yacimiento. Estime la permeabilidad efectiva al petrleo, factor de piel y el coeficiente de almacenamiento con las curvas tipo de Gringarten. Adems, analice los datos con el mtodo de graficacin semilog de Horner y compare los resultados.

q = 600 stb/d

rw = 0.365 pies

= 0.20

h = 78 pies

= 1 cp

= 1.1 RB/stb

= 1.61 x 10-5 psi-1

tp = 1400 hrs

= 3000 psia = 250 psiaTabla 2. Datos de la Prueba de Restauracin de Presin

t (horas)pws(psi)t (horas)pws(psi)t (horas)pws(psi)

02500.06491515.620.02192.0

0.0001254.090.1041714.025.02205.2

0.0002258.160.1651837.030.02215.9

0.0005270.300.2641907.435.02225.0

0.0008282.330.4211950.040.02232.8

0.0010290.290.6721983.245.02239.6

0.0030367.391.072013.550.02245.7

0.0050440.401.712043.155.02251.2

0.0080542.992.732072.160.02256.2

0.0100607.114.362100.765.02260.8

0.0160780.686.502124.970.02265.0

0.02551005.110.52153.772.02266.6

0.04061263.215.12175.480.02272.6

Uno de los problemas innatos con el anlisis de curvas tipos es la dificultad de encontrar una coincidencia nica de los datos. Debido a la forma similar de las curvas tipo con un amplio rango del parmetro de correlacin, los datos de campo con frecuencia pueden coincidir con ms de una curva tipo; consecuentemente, ms de una solucin es posible. Para eliminar este problema, podemos iterar entre curva tipo y anlisis semi-log hasta obtener resultados consistentes. Esta tcnica iterativa es un mtodo viable, sin embargo, solo si el anlisis semilog es posible; esto es, los efectos de almacenamiento de pozo y de frontera de yacimiento pueden distorsionar la regin de tiempo medio, volviendo as imposible el anlisis semilog.

An cuando el acuerdo entre los resultados obtenidos con las curvas tipo de Gringarten y la tcnica de graficacin semilog de Horner nos d nimo en nuestro anlisis, la tcnica de graficacin de la derivada de presin provee una alternativa a los grficos presin/tiempo. La derivada de presin ha encontrado gran utilidad en el anlisis de prueba de pozos y usualmente es empleada simultneamente con los grficos de presin/tiempo para reducir la ambigedad del anlisis con curvas tipo.DERIVADA DE BOURDET Y OTROS. Tiab y Kumar introdujeron (1980) el uso de derivadas de presin para anlisis de prueba de pozos en la industria del petrleo, utilizando las derivadas de presin para identificar fallas sellantes de manera nica en pruebas de interferencia. Similarmente, Bourdet y otros (1983) desarrollaron una curva tipo, la cual incluye una funcin de derivada de presin, con base en la solucin analtica desarrollada por Agarwal y otros y graficada sobre las curvas tipo de Gringarten. La funcin adimensional de derivada de presin pDx (tD/CD) es graficada como una funcin de tD/CD para varios colores del parmetro de correlacin CDe2S. Para estos tipos de curvas, la derivada es definida por:

La curva tipo de derivada tiene las tiles propiedades que se resumen a continuacin.

1. Para los datos de la prueba sobre la lnea de pendiente unitaria, pD = tD/CD; as, y pDx (tD/CD) = tD/CD.

Entonces, log pDx (tD/CD) = log tD/CD y la pendiente de un grfico de pDx (tD/CD) vs tD/CD sobre escalas log-log es unitaria (=1). Consecuentemente, a tiempos tempranos un grfico de curvas tipo pD vs tD/CD debe coincidir con el grfico pDx (tD/CD) vs tD/CD s los datos tempranos estn distorsionados por el almacenamiento de pozo y son caracterizados por una lnea de pendiente unitaria.2. Para los datos de la prueba sobre la lnea recta semilog, la presin adimensional puede ser modelada con la aproximacin logartmica de la solucin de lnea fuente:

Aadiendo y substrayendo ln CD dentro del parntesis se tiene:

o

As , y pDx (tD/CD) = 0.5

lo cual indica que las derivadas adimensionales de presin de la lnea recta semilog o regin de tiempo medio (RTM) formar una lnea horizontal a pDx (tD/CD) = 0.5 sobre la curva tipo de derivadas.3. La Fig. X ilustra las curvas tipo de derivadas con lneas de pendiente unitaria a tiempos tempranos, una lnea horizontal a tiempos tardes, y formas ms complejas a tiempos intermedios. Los yacimientos exhiben formas distintas a estos tiempos intermedios, haciendo a la curva de derivada una herramienta poderosa para identificar el modelo de yacimiento correcto en el anlisis de prueba de pozos.4. Las curvas tipo de pD y pDx (tD/CD) pueden y deben ser incluidas ambas en un solo grfico, y permitir un anlisis simultaneo de curvas tipo tanto con las curvas de presin y de derivadas de presin Fig. X y reducir la antigedad (falta de unicidad) de las curvas tipo de Gringarten y Agarwal (Ramey Jr.).PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS DE PRUEBAS CON LAS CURVAS TIPO DE DERIVADAS.

El procedimiento siguiente es recomendado para el uso de las curvas tipo de derivadas de Bourdet y otros en el anlisis de datos de pruebas de pozos.1. Calcule las funciones de derivada de presin de los datos de la prueba de pozo. Para pruebas de declinacin, calcule:

Para una prueba de restauracin, calcule la derivada de presin en trminos del tiempo equivalente,

2. Grafique (o ) y como una funcin de t (o o para pruebas con efectos de frontera) ya sea sobre papel de calcar o sobre papel de graficacin log-log con el mismo tamao de los ciclos log del grfico de curvas tipo de Bourdet.3. Si es posible, procure una coincidencia de los datos con la curva tipo en la direccin vertical alineando la regin aplanada de los datos de la prueba con la lnea pDx (tD/CD) = 0.5 de las curvas tipo.4. Si es posible, procure una coincidencia en la direccin horizontal alineando las regiones de pendiente unitaria del grfico de los datos de derivadas de la prueba y grfico de las curvas tipo de derivadas. Si una lnea de pendiente unitaria est presente en el grfico de los datos de la prueba, calcule el coeficiente adimensional de almacenamiento del pozo, CD, usando un puerto dato (t o , )USL de la lnea de pendiente unitaria,

Si se desea, calcule el coeficiente dimensional de almacenamiento, C, con el mismo punto de la lnea de pendiente unitaria,

5. Determine CDe2S del parmetro de coincidencia de la curva tipo de derivadas de la coincidencia. Este mismo parmetro tambin caracteriza al ajuste sobre la curva tipo de cambio de presin (pD vs tD/CD). Selecciones los puntos de coincidencia de presin y de tiempo (t o ). 6. Calcule la permeabilidad, k, con el punto de coincidencia de presin

7. Calcule el coeficiente adimensional de almacenamiento de pozo, CD, con el punto de coincidencia de tiempo y comprelo con el valor calculado con la lnea de pendiente unitaria si tal lnea esta presente,

8. Calcule el factor de piel, S, con CD del paso 7 y CDe2S del paso 5,

DETERMINACION DE LA DERIVADA DE LOS DATOS DE PRESINLa determinacin de las derivadas requiere una aritmtica tan tediosa que un programa computacional se hace indispensable. Varios programas para realizar estos clculos, as como otros y para anlisis de pruebas de pozos, son actualmente comercializados para uso en microcomputadores.A continuacin se presenta algunos algoritmos para el clculo de las derivadas de presin de los datos de presin.La derivada a un punto determinado es encontrada obteniendo un promedio ponderado de las pendientes a un punto precedente y a un punto siguiente, como se ilustra en la Fig X. El parmetro L define la distancia mnima a estos puntos, con el propsito de suavizar los rudos en la vecindad del punto central. As, L es definido como ln t para una prueba de flujo o como (ln te) para una prueba de restauracin. La experiencia indica que un valor de L entre 0.1 y 0.3 es usualmente satisfactorio entre estar demasiado alejado del punto central que se perdera detalles y estar demasiado cercano al punto central que una gran cantidad de ruido sera introducida. El procedimiento de prueba y error puede indicar, sin embargo, que otros valores de L son ms apropiados en una situacin dada.

El proceso de clculo de las derivadas de presin puede ilustrarse con un ejemplo tomado de datos de campo.

Suponga que deseamos determinar la derivada a horas con los datos de declinacin en Tabla 1 y que escogemos .Primero calculamos ln(t) para todos los tiempos de la prueba, obteniendo a horas. Entonces 3.1764 L = 3.1764 0.3 = 2.8764, y 3.1764 + L = 3.1764 + 0.3 = 3.4764 como se muestra en la ltima columna, creando una ventana alrededor del punto central. Usamos los puntos datos justo ms alla de esta ventana para calcular la derivada de presin, , como sigue:Tabla 1. Datos para el clculo de la Derivada

t (horas)p (psi)ln tVENTANA PARA LA DERIVADA

11.998302.4841

15.988392.7713

2.8764

19.978452.9942

23.968503.17643.1764

29.938593.3989

3.4764

39.888643.6859

49.328693.8983

21

_1148797043.unknown

_1149059745.unknown

_1149320496.unknown

_1149325466.unknown

_1149326300.unknown

_1149326444.unknown

_1149326611.unknown

_1478803495.unknown

_1491238568.unknown

_1149326541.unknown

_1149326406.unknown

_1149325785.unknown

_1149326271.unknown

_1149325580.unknown

_1149322401.unknown

_1149323292.unknown

_1149325087.unknown

_1149325168.unknown

_1149325427.unknown

_1149323472.unknown

_1149322880.unknown

_1149323047.unknown

_1149322846.unknown

_1149320635.unknown

_1149321756.unknown

_1149322190.unknown

_1149321740.unknown

_1149320555.unknown

_1149320610.unknown

_1149320520.unknown

_1149316051.unknown

_1149317292.unknown

_1149320184.unknown

_1149320337.unknown

_1149318452.unknown

_1149317025.unknown

_1149317159.unknown

_1149316237.unknown

_1149066035.unknown

_1149140949.unknown

_1149141049.unknown

_1149146882.dwg

_1149140845.unknown

_1149059829.unknown

_1149060150.unknown

_1149059785.unknown

_1148967785.unknown

_1148975623.dwg

_1148988566.unknown

_1148989117.unknown

_1148990281.unknown

_1148988680.unknown

_1148977789.dwg

_1148988555.unknown

_1148976521.dwg

_1148972023.unknown

_1148972379.unknown

_1148972539.unknown

_1148972544.unknown

_1148972651.unknown

_1148972485.unknown

_1148972174.unknown

_1148972240.unknown

_1148972110.unknown

_1148967963.unknown

_1148968578.unknown

_1148967894.unknown

_1148798137.unknown

_1148967284.unknown

_1148967569.unknown

_1148967739.unknown

_1148967306.unknown

_1148967105.unknown

_1148967252.unknown

_1148801392.unknown

_1148797325.unknown

_1148797484.unknown

_1148797847.unknown

_1148797365.unknown

_1148797227.unknown

_1148797272.unknown

_1148797157.unknown

_1146383532.unknown

_1148679552.unknown

_1148681423.unknown

_1148796577.unknown

_1148796685.unknown

_1148681296.unknown

_1148681311.unknown

_1148681334.unknown

_1148680697.unknown

_1148679181.unknown

_1148679448.unknown

_1148679520.unknown

_1148679408.unknown

_1148677764.unknown

_1148679173.unknown

_1146383782.unknown

_1146374453.unknown

_1146383292.unknown

_1146383366.unknown

_1146383419.unknown

_1146383337.unknown

_1146374937.unknown

_1146383163.unknown

_1146374772.unknown

_1146374232.unknown

_1146374307.unknown

_1146374367.unknown

_1146374275.unknown

_1146373109.unknown

_1146373159.unknown

_1146372889.unknown