1 Dos funciones reales de importancia.

• En este parrafo estudiamos dos funciones de fundamental importancia, tanto en mate-maticas (Calculo) como en otras areas: Las funciones exponenciales y sus inversas lasfunciones logaritmicas.

Suponemos conocidas las propiedades de potencias con exponente entero

Para expresiones del tipo:

ax; con x ∈ Q, a ∈R+, a = 1

recordemos que:

a0 = 1

amn = (am)

1n = n√am, con m,n ∈ Zy n > 0.

ar+s = aras ; ars = (ar)s = (as)r con r, s ∈ QPara aplicar el Calculo al estudio de esta funcion es necesario ampliar el dominio dedefinicion de los exponentes de manera de incluir a todos los numeros reales. De talmanera que sea posible por ejemplo definir la potencia a

√2.

Un intento de definir a√2 es por medio de aproximaciones.

Sabemos que√2 es un numero irracional que posee una representacion decimal infinita

no periodica.

El real√2 = 1.414214... es el unico real α que satisface

1 < α < 21.4 < α < 1.51.41 < α < 1.421.414 < α < 1.4151.4142 < α < 1.4143...

...... etc.

Es posible demostrar que existe un unico real β que satisface

a1 < β < a2

a1.4 < β < a1.5

a1.41 < β < a1.42

a1.414 < β < a1.415

a1.4142 < β < a1.4143

......

... etc.

resulta natural entonces definir a a√2 como este real β. Usando este procedimiento es

posible definir ax para cualquier real x (por ahora una simple calculadora cientifica nospermitira calcular potencias con exponente real)

Funcion Exponencial

• DefinicionSea a ∈R+, a = 1 la funcion que denotaremos por expa

expa : R −→ R+x −→ ax

se llama “Funcion Exponencial con base a ”.

1

Analizando la grafica de esta funcion, vemos que:

• Si a > 1, expa(x) = ax, es estrictamente creciente y asintotica al eje x.

x 3210-1-2-3

8

6

4

2

0

2x

• Si a < 1, expa(x) = ax, es estrictamente decreciente y asintotica al eje x.

x 3210-1-2-3

8

6

4

2

0

(12)x

En cualquiera de los casos se observa que Rec(expa) =R+, o sea, se trata de una funcionepiyectiva.

Por otro lado si expa(x) = expa(y)⇐⇒ ax = ay ⇐⇒ ax−y = a0 =⇒ x = y

luego expa es una funcion biyectiva, lo que permite afirmar que su relacion inversa esfuncion:

Funcion Logaritmica

• DefinicionLa funcion inversa de expa

exp−1a : R+ −→ Rx −→ exp−1a (x)

se llama “Funcion Logaritmica de base a”.

Notacion: En lugar de usar la notacion exp−1a para representar a la funcion inversade expa se usa la notacion loga y se lee “funcion logaritmica en base a”

Luego loga(x) = y ⇐⇒ (x, y) ∈ loga ⇐⇒ (y, x) ∈ expa ⇐⇒ ay = x

es decir, loga(x) = y ⇐⇒ ay = x

2

• ObservacionEn general, exp−1a = loga ; log−1a = expa, y

Dom(expa) =R ; Rec(expa) =R+Dom(loga) =R+ ; Rec(loga) =R.

La funcion logaritmica: loga, esta definida para x > 0, cualquiera sea a > 0 y es,

estrictamente creciente si a > 1, como se observa en la siguiente figura:

x 3210-1-2

1

0

-1

-2

-3

-4

log3(x)

En cambio si a < 1, es estrictamente decreciente, como se observa en la siguiente figura:

x 3210-1-2-3

5

4

3

2

1

0

-1

log 12(x)

Ahora podemos precisar los conceptos de logaritmo y exponencial de un numero dadoy estudiar sus propiedades.

• DefinicionSea a ∈R+; a = 1 y x ∈ IR+ entoncesdiremos que:

b es el logaritmo del real positivo x en base a

Si y solo si ab= x.;

lo que denotaremos por “loga(x) = b”

Es decir el logaritmo de un numero real positivo en una base positiva a = 1 dada,es el exponente de la potencia a la cual la base debe ser elevada para que sea igualal numero real. Asi si un numero positivo M es expresado como una potencia dea; a ∈ IR+; a = 1 entonces el exponente de dicha potencia es el logaritmo de M enla base a; luego tenemos la siguiente equivalencia que puede ser usada como definicionde logaritmo del numero M en la base a

M = ax ⇐⇒ x = loga (M)

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• Ejemplolog10(10) = 1, ya que 10

1 = 10.; log10(1) = 0, ya que 100 = 1.

loga(a) = 1, ya que a1 = a.; loga(1) = 0, ya que a

0 = 1.

loga(ab) = b, ya que ab = ab. log4(64) = 3, ya que 4

3 = 64;

log8(132) = −5

3, ya que si log8(

132) = x,entonces

8x = 132⇐⇒ (23)x = 2−5 ⇐⇒ 23x = 2−5 =⇒ 3x = −5 =⇒ x = −5

3

Evalue la expresion A =log49(7)− log8(64)log9(27) + log10(100)

, primero calculando cada logaritmo y

luego realizando las operaciones indicadas.

Es inmediato que log49(7) =12; log8(64) = 2; log10(100) = 2

para calcular log9(27); sea log9(27) = x⇐⇒ 32x = 33 ( Por que )

luego log9(27) =2

3=⇒ A =

12− 2

23+ 2

=−3283

=−916

• ProposicionSean x, y ∈ IR+, a ∈ IR+; a = 1 entonces:(a) loga(x · y) = loga(x) + loga(y);(b) loga(

x

y) = loga(x)− loga(y);

(c) loga(1

x) = −loga(x); (d) loga(xα) = αloga(x). con α ∈ IR

Demostracion

(a) Seanloga(x · y) = u ⇐⇒ au = x · yloga(x) = v ⇐⇒ av = x;loga(y) = w ⇐⇒ aw = y

Luego au = x · y = av · aw = av+w =⇒ u = v + w, es decir,

loga(x · y) = loga(x) + loga(y)

.

(b) Sean

loga(x

y) = u; ⇐⇒ au =

x

yloga(x) = v ⇐⇒ av = xloga(y) = w ⇐⇒ aw = y

Luego au = xy= av

aw= av−w =⇒ u = v − w, es decir,

loga(x

y) = loga(x)− loga(y)

.

(c) Aplicando (b), se tiene: loga(1x) = loga(1)− loga(x) = −loga(x).

(d) Ejercicio

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• Proposicion∀a ∈ IR+,

(1) aloga(x)= x ∀x ∈ IR+; (2) loga(ax) = x ∀x ∈ IR

Demostracion

(1) Como loga es la inversa de expa luego por proposicion 3.12 tenemos que:

expa ◦ loga = IR+ ⇐⇒ (expa ◦ loga)(x) = IR+(x)expa ◦ loga = IR+ ⇐⇒ (expa ◦ loga)(x) = IR+(x)

⇐⇒ expa(loga(x)) = x=⇒ aloga(x) = x

(2) ejercicio

• Observacion

El numero real definido por el Lımn→∞ 1 +1

n

n

denotado por e, es irracional con

representacion decimal infinita no-periodica cuyo valor aproximado es e = 2,71828182...

Los logaritmos en base e, son llamados “Logaritmos Naturales”, y

en lugar de loge(x) se denota, simplemente como ln(x),

Teniendo presente lo anterior y la proposicion anterior obtenemos la siguiente relacionpara expresar la potencia de un real positivo con exponente real:

“xα= eαln(x), ∀x > 0 y ∀α ∈R”

• Ejemplo20,5 = e0,5·ln(2) = e0,3465735903 = 1, 414213562.

• ProposicionSean x ∈R+, α, β ∈R, entonces:(a) (xα)β = xαβ, (b) xα · xβ = xα+β.Demostracion

(a)

(xα)β = (eαln(x))β = eβ(αln(x)) = eαβln(x) = e(αβ)ln(x) = xαβ.

(b)

xα · xβ = eαln(x)eβln(x)

= eαln(x)+βln(x))= e(α+β)ln(x)

= xα+β

Sean a, b,M ∈R+ y b =1, asumamos que por medio de una tabla o de una calculadorapodemos conocer el loga(x) para cualquier x > 0 ? >Es posible calcular el logb(M) conlo que disponemos ? o bien ¿que relacion hay entre loga(M) y logb(M) ?. La respuestaa esta situacion esta dada por la siguiente proposicion.

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• ProposicionSi a, b,M ∈R+ y b =1 entonces logb(M) =

loga(M)loga(b)

Demostracion

Sea logb(M) = x; ⇐⇒ M = bx tomando logaritmo a cada lado con respecto a labase a obtenemos

loga(M) = loga(bx) =⇒ loga(M) = xloga(b), como b = 1

=⇒ x = loga(M)loga(b)

=⇒ logb(M) =loga(M)loga(b)

es decir,

logb(M) =loga(M)

loga(b).

Observe que loga(b) =0 ya que b =1,

Esta relacion permite hacer un cambio de base. Para el caso particular de conocer loslogaritmos naturales tenemos:

logb(x) =ln(x)

ln(b).

Los logaritmos en base 10, son llamados “Logaritmos de Briggs o LogaritmosVulgares”, y en lugar de log10(x) se denota, simplemente como log(x)

• EjemploSi log(3) = 0, 47712 y log(2) = 0, 30102 determine el logaritmo de:

(a) a = 3 · 108, (b) b = 3 · 10−1, (c) log3(100), (d) log(5), (e) log(15)

(f) log5(20)

Solucion

(a) log(a) = log(3 · 108) = log(3) + log(108) = 0, 47712 + 8 = 8, 47712,(b) log(b) = log(3 · 10−1) = log(3) + log(10−1) = 0, 47712− 1 = −0, 52288,(c) log3(100) =

log(100)log(3)

= 20,47712

= 4, 191817..

(d) log(5) = log(102) = log(10)− log(2) = 1− 0, 30102 = 0, 69898

(e) log(15) = log(5 · 3) = log(5) + log(3) = 0, 69898 + 0, 47712 = 1.1761(f) log5(20) = log5(5) + log5(4) = 1 +

log(4)log(5)

= 1 + 2 log(2)0,69898

= 1, 86134

Aplicaciones

a) Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en donde la incognita esta en el exponente, por ejemplo:

10x−2 = 5; ax = b; 3−2x2

= 81−2; etc.

Para resolverlas debemos usar; propiedades de potencias, definicion de logaritmo,propiedades de logaritmos, por ejemplo tenemos que la primera ecuacion es equiva-lente a decir que:

log(5) = x− 2 de donde obtenemos que x = 2 + log(5)la tercera ecuacion equivale a:

3−2x2= (34)−2 ⇐⇒ 3−2x

2= 3−8 =⇒ −2x2 = −8 =⇒ x = ±2

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• Ejemploresolver 5x = 3x+2, tomando log en cada lado de la igualdad

log(5x) = log(3x+2) =⇒ x log(5) = (x+ 2) log(3)

x(log(5)− log(3)) = 2log(3) =⇒ x = log(9)log(5)−log(3) =

0,95420,2219

= 4, 299

b) Simplificacion de expresiones

Por ejemplo, simplifique la siguiente expresion:

log(√x5) + log(

3√x2) + log( 4

√x) + log(

√x3) + log( 12

√x).

Solucion

log(√x5) + log(

3√x2) + log( 4

√x) + log(

√x3) + log( 12

√x) =

log(x52 ) + log(x

23 ) + log(x

14 ) + log(x

32 ) + log(x

112 ) =

log(x52 · x 23 · x14 · x 32 · x 1

12 ) = log(x52+23+ 14+32+ 112 ) = log(x

6012 ) =

log(x5) = 5log(x).

c) Calculo de expresiones numericas en productos y cuocientes

• Ejemplo

Calcular x =4√8· 3√76√2·√12 .

Solucion

Aplicando logaritmo, se tiene:

log(x) = log( 4√8 · 3√7)− log( 6√2 ·√12)

= log( 4√8) + log( 3

√7)− log( 6√2)− log(√12)

= 14· log(8) + 1

3· log(7)− 1

6· log(2)− 1

2· log(12)

= 3 log(2)4

+ log 73− log(2)

6− 2 log(2)+log(3)

2

= 9 log(2)+4 log(7)−2 log(2)−12 log(2)−6 log(3)12

= −5 log(2)+4 log(7)−6 log(3)12

= −1,50514+3,38039−2,8627212

= −0,9874712

= −0, 08228, luegolog(x) = −0, 08228 =⇒ x = 10−0,08228

x = 0, 8274085417

d) Ecuaciones con logaritmos

Son ecuaciones que involucran logaritmos de expresiones que contienen a la incognita.

• Ejercicios1.- Resuelva:

(i) log(√x− 1) + log(√x+ 4) = log(x+ 1).

(ii) log3(2x2 + 3x+ 7)− log3(9) = 3.

(iii) log6(x+ 3) = 1− log6(x+ 4)2.- Para las siguientes ecuaciones, despeje x:

a) 2x · 6−2 = 52x · 71−x. b) log(3x+ 2) = log(x− 4) + 1.

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