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ecuaciones diferencialesTRANSCRIPT
INGENIERÍA EN
MANTENIMIENTO
INDUSTRIAL APUNTES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
NOMBRE DEL ALUMNO
_____________________________________________________
Nazario Sampayo Carballo
1. NOTAS SOBRE LA EVALUACIÓN
1. Tienes tres oportunidades durante el curso (ordinaria, recuperación y extraordinaria) para acreditar cada unidad.
2. Para tener derecho a examen de recuperación DEBES acreditar a la primera oportunidad al menos 60% de la unidad
o unidades.
3. Para el extraordinario, en el examen recuperación deberás alcanzar el 70%.
4. La calificación de los exámenes de recuperación sustituye a la calificación anterior.
5. La participación en el curso tomará en cuenta aspectos como: actitud, participación en clase, contribuciones, calidad
de las intervenciones.
2. FUNCIONAMIENTO DE LA CLASE Y SUGERENCIAS
1. LO MÁS IMPORTANTE: se aceptan sugerencias y críticas de tu parte. El éxito de nuestro curso depende de que
exista una comunicación constante en ambos sentidos.
2. Las dudas más generales se resolverán en clase, las otras en ASESORÍA.
3. Al inicio de cada unidad se te proporcionarán unas NOTAS DE CLASE. Estas notas incluyen casi todas las
definiciones y casi todas las proposiciones que veremos, de tal manera que tengas una idea clara y precisa del
contenido y de la extensión del curso.
4. La intención principal de darte las notas es la de evitar que te la pases escribiendo durante la clase, tu atención
debe estar centrada a la comprensión de los conceptos que vayamos viendo. A la clase NO debes llegar con una
ACTITUD PASIVA sino que debes llegar a discutir con el maestro y con tus compañeros.
5. Subraya en las notas lo que sea más importante y escribe sobre ellas notas complementarias. En tu cuaderno escribe
los ejemplos vistos en clase y todas las observaciones que creas pertinentes sobre lo discutido en clase.
6. Las matemáticas NO SE APRENDEN DE MEMORIA, es más importante saber dónde hallar las cosas y como
utilizarlas por lo que en el examen puedes usar tus notas de clase, libros, apuntes o calculadoras.
7. Regularmente habrá en las clases INTERROGACIONES ORALES lo que servirá para evaluar tu participación.
8. Trata de hacer tus TAREAS y PRÁCTICAS lo más rápido posible para que haya el necesario TIEMPO DE
MADURACIÓN de los conceptos. Si no haces las tareas y prácticas esto se reflejará en la evaluación.
9. El EXAMEN de cada unidad lo debes comenzar a preparar el día que iniciamos el estudio de la unidad respectiva:
- está atento en clase y participa en la discusión;
- después de clase repasa los conceptos que se estudiaron;
- consulta si es necesario alguno de los libros de la bibliografía;
- comienza a hacer tus tareas y prácticas;
- todas las dudas que tengas consúltalas con tus compañeros o con el maestro en la clase siguiente;
- LO PEOR QUE PUEDES HACER es tratar de estudiar dos o tres días antes del examen: aprendes menos y corres
el riesgo de reprobar la materia.
10. Trata de ENTENDER todos los conceptos y las proposiciones que estudiemos:
- a que se refieren;
- en qué contexto surgen;
- cuáles son los supuestos y
- cuáles las conclusiones.
De esta manera podrás aplicar dichos conceptos a la solución no sólo de ejercicios rutinarios sino incluso a ejercicios
más complejos y a la solución de problemas.
11. Buscaremos que trabajes en EQUIPO, de esta manera se hace un menor esfuerzo, se aprende de una manera más
rápida y te enseñas a colaborar con un grupo aparte de que conoces a otras gentes y te conoces mejor a ti mismo.
Trata de ser responsable con el equipo y no esperar que los demás hagan lo que a ti te corresponde y no seas
egoísta con tus compañeros que aprenden más lentamente que tú. Tú das algo a alguien y recibes algo de alguien.
12. Por respeto a los demás, queda ESTRICTAMENTE PROHIBIDO, durante la clase:
- el uso de celulares y audífonos.
- el uso de iPod y mp’s.
- salir del salón (salvo alguna emergencia).
- tomar alimentos y bebidas (incluye golosinas).
- tirar basura.
13. Se MANTENDRÁ la limpieza y el orden.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE XICOTEPEC DE JUÁREZ
INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
NOMBRE DEL ALUMNO: __________________________________________________________________ APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)
MAESTRO: NAZARIO SAMPAYO CARBALLO
INSTRUCCIONES: CONTESTE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. TRABAJE EN FORMA
CLARA Y ORDENADA Y JUSTIFIQUE DEBIDAMENTE SU RESPUESTA.
1.- ¿Qué es para ti una función?
2.- ¿Para qué sirven las funciones?
3.- ¿Has utilizado un software de matemáticas en alguno de tus cursos precedentes? ¿Cuáles?
4.- ¿Qué son para ti las matemáticas?
5.- ¿Te gustan las matemáticas?
6.- ¿Para qué sirve el Cálculo Diferencial?
a) Analizar procesos físicos
b) Realizar gráficas
c) Determinar máximos y mínimos
d) Todas las anteriores
7.- ¿Qué es la derivada de una función?
a) Ruta de cambio de una función
b) En un punto dado de la curva que representa la función, equivale a la pendiente de la recta secante a
dicha curva en un punto dado.
c) Cambio de una variable con respecto a otra.
d) Representa el valor de la pendiente de una recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado.
8.- ¿Qué es una Integral?
a) Es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
b) Es la operación contraria a la derivada
c) Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños
trozos verticales.
9.- ¿A cuánto equivale 2+2?
a) 5 b) 4 c) 22 d) 44
10.- ¿A cuánto equivale 23/4?
a) 5 b) 5>x>6 c) 5.7 d) ninguna
INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL
HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS
1. NOMBRE DE LA ASIGNATURA Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
2. COMPETENCIAS Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores
humanos, tecnológicos, económicos y financieros, para la elaboración y
administración del plan maestro de mantenimiento que garantice la
disponibilidad y confiabilidad de planta, contribuyendo a la competitividad de la
empresa.
3. CUATRIMESTRE Segundo
4. HORAS PRÁCTICAS 45
5. HORAS TEÓRICAS 30
6. HORAS TOTALES 75
7. HORAS TOTALES POR SEMANA
CUATRIMESTRE
5
8. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA El alumno aplicará las ecuaciones diferenciales, las transformadas de Laplace y
las series de Fourier para mejorar las condiciones de operación de la empresa
mediante la modelación y evaluación de condiciones de los fenómenos
eléctricos, electrónicos y mecánicos en los equipos que intervienen en los
procesos productivos de la misma.
UNIDADES TEMÁTICAS HORAS
PRÁCTICAS TEÓRICAS TOTALES
I. Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales 5 5 10
II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 10 5 15
III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior 10 10 20
IV. Transformada de Laplace. 10 5 15
V. Series de Fourier. 10 5 15
TOTALES 45 30 75
1. Unidad Temática I.- Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales
2. Horas Prácticas 5
3. Horas Teóricas 5
4. Horas Totales 10
5. Objetivo
Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y su
interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas electromecánicos, mediante
el estudio de casos.
Temas Saber Saber hacer Ser
Definiciones y
terminología.
Describir los criterios de
clasificación de las ecuaciones
diferenciales.
Identificar los tipos de ecuaciones
diferenciales, grado y linealidad
Comprobar soluciones de ecuaciones
diferenciales.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Teorema de existencia y
unicidad.
Enunciar el teorema de existencia y
unicidad.
Emplear el teorema de existencia y unicidad
en soluciones de ecuaciones.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Problemas de valor
inicial y condiciones de
frontera.
Describir los problemas con valores
iniciales y con condiciones de
frontera.
Emplear condiciones iniciales y de frontera
en soluciones de ecuaciones.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Las ecuaciones
diferenciales como
modelos matemáticos.
Describir los modelos de sistemas
que emplean ecuaciones
diferenciales.
Interpretar los modelos matemáticos de
sistemas por medio de ecuaciones
diferenciales.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Introducción general a la problemática relativa a la teoría de las ecuaciones diferenciales. La teoría de las Ecuaciones Diferenciales (ED) comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi
simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral y constituyen una rama extensa y muy importante
de las matemáticas modernas. Desde su inicio, han sido y continúan siendo un campo importante de investigaciones
teóricas y aplicaciones prácticas. Ahora
1. ¿Qué es una ED? y ¿qué significa?
2. ¿Dónde y cómo se originan las ED? y ¿cuál es su utilidad?
3. Cuando se encuentra una ED, ¿Qué debo hacer?, ¿cómo se debe hacer? y ¿cuáles son los resultados de
tal actividad?
Estas preguntas señalan tres aspectos importantes del tema: teoría, métodos y aplicación. En esta unidad veremos
los aspectos básicos de las ED al mismo tiempo que nos haremos haciendo una idea general de los aspectos antes
citados y que abordaremos en las siguientes unidades, es decir, se presenta un panorama general del curso.
Las ecuaciones que habías encontrado hasta ahora respondían en su mayor parte la necesidad de obtener los valores
numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y mínimos de funciones se resolvía una
ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función o cuando se
consideraba el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata de hallar siempre números concretos.
Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente:
problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas
variables respecto a otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar
cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo, para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o
de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas
ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa, de hecho
podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones
implícitas.
La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ED, esto es, ecuaciones en las que además de la función
desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversas órdenes.
La enorme importancia de las ED en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al
hecho de que la investigación de muchos problemas de la ciencia y tecnología, pueden reducirse a la solución de
tales ecuaciones.
Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de los dispositivos radiotécnicos, el cálculo de las
trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción
química, todo ello depende de la solución de ED.
En el momento actual, las ED se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de fenómenos
naturales. En la Mecánica, la astronomía, la física y la tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de
las ED del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas
empíricamente por Kepler. En 1846 Leverrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el
cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
La física y las ecuaciones diferenciales
Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ED, por lo que éstas,
en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo, las leyes de conservación de la masa y de
la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ED.
Por ejemplo la siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la materia en un volumen Ω que delimitaremos
mentalmente en el espacio y mantenemos fijo:
0
z
vρ
y
vρ
x
vρ
t
ρ zyx
En donde ρ representa a la densidad de la masa en el instante t y v es la velocidad.
La siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la energía calorífica ( C es la capacidad calorífica, T la
temperatura en el instante t , representa el vector conducción de calor y q es la densidad de productividad de la
fuente):
qzyxt
TC zyx
El siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones representa la segunda ley de Newton:
zz
yy
xx F
z
ρ
dt
dvρ,F
y
ρ
dt
dvρ,F
x
ρ
dt
dvρ
ρ representa la densidad de partículas en el volumen dado, p es la presión sobre el fluido, v es la velocidad en el
instante t y F representa a las fuerzas exteriores.
Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas, oscilaciones acústicas de
gases en tubos, oscilaciones electromagnéticas, etc.) se describen mediante ED, entre semejantes ecuaciones la más
simple es la ecuación que de una cuerda vibrante que está dada por:
2
2
2
2
t
uρ
x
uT
Aquí T representa la tensión en la cuerda, ρ la masa contenida en cada centímetro de longitud de la cuerda y u(x,t)
representa desplazamiento.
La ecuación dt
dxabx
dt
xdm
2
2
Figura 1
Describe el movimiento de una masa m moviéndose en un medio resistente bajo la influencia elástica de dos resortes.
Figura 2
La ecuación xV
kps
dt
xdρl
2
2
Describe el movimiento de una masa a través del resonador acústico de
Helmholtz, aquí, ρ es la densidad del aire, l la longitud del cuello, k es la
constante de la ley adiabática, p es la presión, s el área de la sección
transversal del cuello, V es el volumen y x representa el desplazamiento de
la masa del aire en el instante t .
En el análisis de un tubo electrónico generador de oscilaciones
electromagnéticas aparece la ecuación:
0vdt
dvv3av2aaMR
dt
vdL 2
3212
2
Donde L es la inductancia, R la resistencia, M el coeficiente de
acoplamiento de las bobinas y v el voltaje en el instante t . Figura 3
Los procesos de la conductibilidad térmica y difusión conducen a ED. En el caso unidimensional la ecuación más simple
de conductibilidad térmica tiene la forma:
2
2
x
u
cρ
k
t
u
Donde k es el coeficiente de conductibilidad térmica, c el calor específico y ρ la densidad del medio.
Definición y clasificación de las ecuaciones diferenciales A partir de esta unidad realizaremos un estudio sistemático sobre los métodos de solución de las ED. Cada método
depende del tipo de ecuación o del tipo de sistema de ecuaciones por resolver por lo que debes tener la habilidad
para identificar el tipo de ecuación o del sistema de ecuaciones, luego elegir un método adecuado, y finalmente
utilizar dicho método para hallar la solución de la ecuación o del sistema dado
Definición 1 (ED).
Una ecuación diferencial, es una ecuación que contiene las derivadas (o diferenciales) de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables dependientes y en donde la incógnita es la variable dependiente o
algunas de las variables dependientes (o todas).
Definición 2 (ED ORDINARIA).
Una ED se dice ordinaria si sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a
una sola variable independiente.
Los problemas de la física y la tecnología conducen a menudo a un sistema de ED ordinarias con varias funciones
incógnitas, dependiendo todas de la misma variable y de sus derivadas respecto a esa variable.
Definición 3 (ED PARCIAL)
Una ED se dice parcial si contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de
una variable independiente.
La teoría de las ED en derivadas parciales tiene muchos rasgos peculiares que la hacen esencialmente diferente de la
teoría de las EDO.
Definición 4 (ORDEN DE UNA ED)
El orden de una ED se define como el orden de la más alta derivada que contiene la ecuación
Definición 5 (FORMA ESTÁNDAR)
Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t, decimos que se halla en
forma estándar si está escrita de la siguiente manera: g(t)(t)y,(t);y(t),yy(t),t,F n
es decir, del lado izquierdo se hallan todos los términos que contienen a la incógnita y a sus derivadas y del lado
derecho sólo los términos que contiene a la variable independiente.
Definición 6 (ECUACIÓN HOMOGÉNEA)
Si en la ecuación de la definición anterior 0g(t) la ecuación se dice homogénea, en caso contrario se dice no
homogénea y en este último caso g(t) se dice término homogéneo.
Ejercicio 1.- Dadas las siguientes ecuaciones, clasifícalas según su tipo (ordinarias o parciales) y según su
orden.
Ecuación Ordinaria o Parcial Orden
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Ejercicio 2.- De cada una de las ecuaciones anteriores, escribe la función incógnita así como la o las
variable(s) independiente(s).
Ecuación Función incógnita Variables independientes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Definición 7 (ED LINEAL)
Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t se dice lineal si tiene (o se
puede expresar en) la siguiente forma: g(t)(t)yayay(t)a(t)ya(t)ya 012
1n1n
nn
En caso contario la ecuación se dice no lineal.
Observa que la característica central es que una vez que la ecuación se ha escrito en forma estándar los coeficientes
de y y de sus derivadas no dependen de y , pero además no deben aparecer potencias de y ni de sus derivadas, ni
tampoco funciones trascendentes aplicadas ni a y ni a sus derivadas.
Este tipo de ecuaciones se clasifican también, según sean los coeficientes de la ecuación en ecuación con
coeficientes constantes o coeficientes variables.
Observa que en el caso de las ecuaciones lineales homogéneas, la función constante 0y(t) siempre es solución.
Ejercicio 3.- Dadas las siguientes EDO, escríbelas en la forma estándar de la definición 5, determina si las
ecuaciones son homogéneas o no y en su caso da el término no homogéneo, luego da los coeficientes de la
función incógnita y de cada una de las derivadas (en orden decreciente), clasifica las ecuaciones según tengan
coeficientes constantes o variables. Finalmente determina si las ecuaciones son lineales o no, en caso de que
no lo sean escribe el o los términos no homogéneos.
Ecuación ¿forma ESTÁNDAR SI o NO? ¿Homogénea SI o NO? Término no homogéneo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ecuación Coeficientes de las derivadas
(en orden decreciente)
Coeficientes ¿constantes
o variables?
¿Lineal SI o
NO? Términos no lineales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
En la siguiente figura, se da una clasificación de las ecuaciones de acuerdo a los métodos analíticos de solución.
Figura 4.- Clasificación de las ED de acuerdo a los métodos de solución.
Definición 8.- (SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL)
Dada la EDO de n-ésimo orden g(t)(t)y,(t);y(t),yy(t),t,F n
Una función (t) se dice solución de la ED si al sustituir y(t) por (t) , (t)y
por ,(t), (t)y n
por (t)n ,
resulta una identidad.
Para describir en términos generales los problemas de la teoría de las ED, observemos primero que toda ED tiene, en
general, no una, sino un número infinito de soluciones, así, cualquier ED define, en general toda una clase de funciones
que la satisfacen. El problema básico de la teoría consiste en estudiar las funciones que satisfacen las ED.
Por ejemplo, en la gráfica de la figura 5 se presentan en algunas soluciones de la ecuación 22 4x2yxy
y en la
gráfica de la figura 6 se presentan las soluciones de la ecuación dydxy1x 2
Figura 5: gráfica de 22
x
cxy Figura 6: gráfica de
c
2
xseny
2
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
LINEALES
COEFICIENTES CONSTANTES
HOMOGÉNEAS NO
HOMOGÉNEAS
TÉRMINO NO HOMOGÉNEO CONTINUO
TÉRMINO NO HOMOGÉNEO
DISCONTÍNUO
DE ACUERDO AL ORDEN
PRIMER SEGUNDO TERCER ... N-ÉSIMO
COEFICIENTES VARIABLES
NO LINEALES
PARCIALES
La teoría de estas ecuaciones debe proporcionar una idea suficientemente amplia de las propiedades de todas las
funciones que satisfacen la ecuación, requisito que es particularmente importante al aplicar estas ecuaciones a las
ciencias naturales. Además, la teoría debe suministrar el medio de encontrar valores numéricos de una función
cuando éstos se necesiten en el transcurso de un cálculo.
A continuación damos una serie de definiciones que serán muy importantes en todo el curso.
DEFINICIONES BÁSICAS
En la tema anterior, durante la discusión se los sistemas masa-resorte, observaste que la forma de la solución
depende de los valores iniciales que toman tanto la variable dependiente como su derivada, a continuación se
generaliza esta situación para ED generales.
Definición 9 (CONDICIONES INICIALES)
Dada la ecuación de la definición 8, si para un “valor inicial” de la variable independiente asignamos un “valor inicial” a
la función desconocida y a todas sus derivadas hasta la de orden n-1, se dice entonces que hemos asignado a la
ecuación condiciones iniciales.
Se puede advertir que los valores iniciales de la función y de las n-1 primeras derivadas pueden fijarse
arbitrariamente. Cada elección de estos n valores definirá un “estado inicial” para la solución buscada.
Definición 10 (PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Y DE VALORES EN LA FRONTERA)
Si la ecuación de la definición 8 viene acompañada por condiciones iniciales, se dice que se tiene un problema de
valores iniciales. Si se dan condiciones relativas diferentes de la variable independiente se dice que tiene un
problema de valores en la frontera.
En general, puede demostrarse, bajo hipótesis muy amplias, que la ED de la definición 8 tiene infinitas soluciones.
Para hallar una fórmula que incluya, de ser posible, todas las soluciones de una ED de orden n, aquella deberá
contener n constantes independientes, lo que permitirá imponer n condiciones iniciales, lo que justifica la definición.
Definición 11 (SOLUCIÓN GENERAL)
La solución de una ED de orden n que contiene n constantes arbitrarias independientes recibe el nombre de solución
general de la ecuación.
Pero, bajo las condiciones señaladas en el siguiente teorema (que es el más importante del curso y que mencionamos
sin demostración), puede probarse que la solución es única.
TEOREMA 1 (TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD)
Dada la ecuación de la definición 8, esta está acompañada de condiciones iniciales, entonces, existe una sola
solución de la ecuación con estos valores iniciales asignados.
En el caso anterior, la solución está completamente determinada, lo que justifica la siguiente definición.
Definición 12 (SOLUCIÓN PARTICULAR)
A la solución de un problema de valores iniciales asociado a la ecuación de la definición 8, se le llama solución
particular de la ecuación.
Definición 13 (SOLUCIONES EXPLÍCITAS Y SOLUCIONES IMPLÍCITAS)
Si la función solución de una ED es una función explícita, se dice que tenemos una solución explícita, en caso
contrario se dice que tenemos una solución implícita.
NOTA 1.- Una solución implícita es tan válida como una explícita ya que utilizando computadoras es posible obtener
y(t) para cada valor de t con la precisión deseada.
OTROS PROBLEMAS DE LA TEORÍA
La obtención de fórmulas que permitan calcular la solución en forma explícita será uno de los primeros problemas de
la teoría. Tales fórmulas sólo podrán obtenerse en casos muy sencillos, pero, si se encuentran, serán de gran ayuda
en el cálculo y estudio de la solución.
La teoría deberá suministrar algún medio para obtener propiedades referentes al comportamiento de una solución: si
es monótona u oscilatoria, si es periódica o se aproxima a una función periódica, etc.
También deberá proporcionar un cuadro cualitativo, y si fuese posible cuantitativo, del comportamiento, no sólo de
las soluciones particulares de una ecuación, sino también de una solución general.
Si variamos los valores iniciales de la función incógnita y de sus derivadas, esto es, si modificamos el estado inicial
del sistema físico, entonces variará también la solución, puesto que el proceso físico tendrá lugar ahora de manera
diferente. La teoría deberá suministrar la posibilidad de predecir cuál será ese cambio. en particular, para pequeños
cambios en los valores iniciales, ¿se modificará también la solución en una pequeña cantidad, siendo por tanto
“estable” a este respecto, o podrá ocurrir que pequeños cambios en las condiciones iniciales dan lugar a grandes
modificaciones en la solución, de modo que esta última sea “inestable”?
En la construcción de maquinaria se plantea a menudo la cuestión de elegir los parámetros que caracterizan a un
aparato o máquina, de modo tal que garanticen un funcionamiento satisfactorio. Los parámetros de un aparato
aparecen en forma de ciertas magnitudes en la ED correspondiente. La teoría deberá ayudar a aclarar que le
sucederá a la solución (al aparato) si se modifica la ecuación (los parámetros del aparato)
Finalmente, cuando sea necesario realizar un cálculo se necesitará encontrar la solución numérica de una ecuación, y
la teoría deberá proporcionar al ingeniero y al físico los métodos más rápidos y económicos de calcular las soluciones.
Nota 2.- A partir de esta unidad trabajaremos mucho con funciones logarítmicas y exponenciales por lo que conviene
recordar las siguientes propiedades (y conviene tomar en cuenta que las propiedades de la 1 a la 6, la 9 y la 10 se
usan en ambos sentidos.
a) Propiedades para transformar expresiones
lnblnaabln1) lnblnab
aln2) lna naln3) n
lnbb
1ln4) baba eee5) a
a
e
1e6)
b) Valores particulares importantes 0ln17) 1lne8)
c) Propiedades para despejar flne9) f f10)elnf
d) Derivadas ff
1lnf 11)
fee 12) ff
e) Integrales ttlntlntdt13) tt edte 14)
f) Exponencial compleja iSenββCoseeC,βiαzdado15) αz
ESQUEMA GENERAL DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA CON ECUACIONES DIFERENCIALES
Terminamos esta unidad haciendo una breve discusión sobre las etapas de construcción y análisis de un modelo
matemático general pero pensando al caso específico de las ecuaciones diferenciales.
El primer problema central de la teoría de las ED se refiere al origen de las ED. Hasta antes del nacimiento de la
informática, el proceso de modelación matemática de un proceso físico (ve el esquema de la Figura ) podía
describirse de una manera más particularizada mediante las siguientes etapas:
1. Descripción del fenómeno físico que se desea analizar;
2. Planteamiento del problema en lenguaje común;
3. Planteamiento del problema en lenguaje matemático (construcción del modelo matemático).
4. Solución del problema. (En el caso de que el modelo sea una ecuación, solución de la ecuación)
5. Análisis e interpretación de la solución.
6. Validación del modelo confrontándolo con el proceso físico analizado para decidir si el modelo es
adecuado dentro de la exactitud requerida o si es necesario ajustarlo, si la respuesta es positiva, el
problema está resuelto si la respuesta es negativa se debe ajustar el modelo.
7. En su caso ajustar el modelo y repetir el proceso con el nuevo modelo obtenido. En ocasiones un modelo
funciona bien durante un determinado tiempo por lo que el ajuste está determinado en base a que
nuevos requerimientos o nuevos descubrimientos acerca del fenómeno vuelven obsoletos los datos con los
que se trabajó.
Implementación del modelo.
Fenómeno de la "realidad" "matematizable"
MODELO MATEMATICO(problema en lenguaje matemático)
Confrontación con la realidad.El modelo:
1) ¿Explica?2) ¿Describe?
3) ¿Predice?
Ajustar
Poner un problema en lenguaje cotidiano
NoSi
Fenómeno de la "realidad" "matematizable"
MODELO MATEMATICO(problema en lenguaje matemático)
Confrontación con la realidad.El modelo:1) ¿Explica?2) ¿Describe?
3) ¿Predice?
Ajustar
Poner un problema en lenguaje cotidiano
MODELO COMPUTACIONAL(algoritmos - programación)
NoSi
Figura 4: esquema de la modelación matemática en las eras pre-informática (izquierda) e informática (derecha).
En el caso particular de la modelación matemática con ED, las etapas 1, 2 y 7 son idénticas, las demás pueden
describirse de la siguiente manera:
3. Construcción de una ecuación diferencial o de un sistema de ED.
4. Solución de la ecuación diferencial o solución del sistema de ED.
5. Análisis y estudio de la función o de las funciones obtenidas así como interpretación de sus propiedades con
respecto al proceso físico que se está estudiando.
6. Determinar si la función o las funciones obtenidas describen adecuadamente el proceso con la exactitud
requerida, si la respuesta es positiva puede pasarse a la etapa 8.
8. Uso de la función o de las funciones obtenidas para hacer predicciones, en cuyo caso se debe tener mucho
cuidado en determinar el intervalo de tiempo para el que las predicciones son válidas.
Naturalmente, esta no es la única propuesta para describir las etapas del proceso de modelación, por ejemplo, en
Dreyer (1993, pp. 1-2) se describen las siguientes 7 etapas (y como señala el autor, en un problema específico puede
ser que no se usen todas o que algunas de ellas sean banales):
1. Reconocimiento. Debe clarificarse la cuestión que debe resolverse. En el caso de situaciones
físicas los mecanismos subyacentes deben identificarse cuidadosamente. Se formula el problema con
palabras y se documentan los datos relevantes.
2. Hipótesis. Debe analizarse el problema para decidir cuáles factores son importantes y cuáles
pueden ignorarse en manera tal que puedan hacerse suposiciones realísticas.
3. Construcción. Se trata de la traducción del problema al lenguaje matemático, usualmente una
colección de ecuaciones y/o desigualdades una vez que han sido identificadas las variables. El
problema “en palabras” se transforma en un problema matemático abstracto.
4. Análisis. Se resuelve el problema matemático en manera tal que las cantidades desconocidas se
expresen en términos de las conocidas y/o se analiza para obtener información acerca de los
parámetros.
5. Interpretación. La solución del problema abstracto debe compararse con el problema original “en
palabras” para ver si tiene sentido en la situación real. Si no es así, se reformulan hipótesis más
realistas y se construye un nuevo modelo.
6. Validación. Se verifica que la solución sea congruente con los datos reales del problema. Si la
correlación no es satisfactoria, se regresa al problema “en palabras” y se revisan tanto los datos como
las suposiciones para luego modificar o agregar hipótesis y se construye un nuevo modelo.
7. Implementación. Si la solución concuerda con los datos, el modelo puede ser usado para predecir lo
que pasará en futuro o pueden extraerse conclusiones que pueden ser útiles en una planeación futura,
etc. En el caso de predicciones debe tenerse mucho cuidado para determinar el intervalo de tiempo en
el que las predicciones son válidas.
Implementación
Validación
Interpretación
Análisis
Construcción
Hipótesis
Reconocimiento
Proceso de evaluación
Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos
Elaborará un mapa conceptual en el que
identificará los tipos (orden, grado,
linealidad, ordinaria/parcial) y
aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales.
1.- Identificar las ecuaciones diferenciales y
sus tipos
2.- Comprender el proceso de verificación de
soluciones de ecuaciones diferenciales.
Ejercicios prácticos
lista de verificación
1. Unidad Temática II.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
2. Horas Prácticas 10
3. Horas Teóricas 5
4. Horas Totales 15
5. Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones
diferenciales de primer orden, para su aplicación a modelos relacionados con la ingeniería en
mantenimiento industrial, mediante las técnicas básicas de solución y el uso de software para
matemáticas.
Capítulo 2.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (págs. 34-81)
Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill
Temas Saber Saber hacer Ser
Ecuaciones de variables
separables.
Explicar el proceso de solución de
ecuaciones de variables separables Resolver ecuaciones de variables separables
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Ecuaciones exactas. Explicar el proceso de solución de
ecuaciones exactas Resolver ecuaciones exactas
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Solución de ecuaciones
por sustitución.
Explicar el proceso de solución de
ecuaciones por sustitución Resolver ecuaciones mediante sustitución
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Ecuaciones lineales y de
Bernoulli.
Explicar el proceso de solución de
ecuaciones lineales y de Bernoulli Resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer
orden.
Explicar las aplicaciones en
cinemática de mecanismos y
circuitos en serie RC y RL
Resolver modelos de sistemas mecánicos y
eléctricos que requieren de ecuaciones
diferenciales (circuitos RC, RL), ley de
enfriamiento, entre otros
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Proceso de evaluación
Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos
Solucionará problemas orientados al
mantenimiento, empleando las
ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden como cinemática, circuitos
eléctricos (RC, RL), enfriamiento y
resistencia de materiales.
1.- Identificar los tipos de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden
2.- Comprender el procedimiento para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden
3.- Analizar las aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden relacionadas con
mantenimiento (circuitos RC y RL, dinámica,
enfriamiento).
Ejercicios prácticos
Lista de verificación.
1. Unidad Temática III.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
2. Horas Prácticas 10
3. Horas Teóricas 10
4. Horas Totales 20
5. Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones
diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en
mantenimiento industrial, mediante el análisis de los casos más representativos.
Capítulo 4.-Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior (págs. 117-180) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill
Temas Saber Saber hacer Ser
Ecuaciones homogéneas y
no homogéneas.
Explicar los conceptos de:
• Ecuaciones homogéneas y no
homogéneas
• Principio de unicidad
• Dependencia e Independencia
lineal
• Wronskiano
Resolver problemas del valor inicial y de
frontera.
Utilizar el criterio de funciones
linealmente independientes. Dependencia
lineal e independencia lineal y el principio
de súper posición.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Ecuaciones lineales
homogéneas con
coeficientes constantes.
Explicar los conceptos de: Método
de coeficientes constantes. (raíces
reales, raíces reales repetidas,
raíces complejas conjugadas)
Resolver ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas con coeficientes constantes
mediante los métodos de:
• raíces reales,
• raíces reales repetidas,
• raíces complejas conjugadas
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Ecuaciones lineales
homogéneas con
coeficientes
indeterminados.
Explicar los conceptos del método
de coeficientes indeterminados.
Resolver problemas de ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas con
coeficientes indeterminados por medio del
los métodos:
Superposición.
Anulador.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de segundo orden.
Explicar los conceptos
fundamentales de porque estas
ecuaciones sirven como modelos
matemáticos que facilitan el análisis
de fenómenos físicos y de ingeniería
eléctrica, mecánica y química.
Aplicar las ecuaciones diferenciales
ordinarias de orden superior al estudio de:
Movimiento armónico simple.
Movimiento amortiguado.
Movimiento forzado.
Circuitos eléctricos RLC.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Proceso de evaluación
Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos
Solucionará problemas orientados al
mantenimiento, aplicando las ecuaciones
diferenciales ordinarias de orden
superior en como cinemática, circuitos
eléctricos (RLC), enfriamiento y
resistencia de materiales.
1.- Identificar los tipos de ecuaciones
diferenciales ordinarias de orden superior
2.- Resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias de orden superior
3.- Analizar las aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales ordinarias de orden
superior relacionadas con mantenimiento
(circuitos RLC, sistemas amortiguados)
Ejercicios prácticos
Lista de verificación
1. Unidad Temática IV.- Transformada de Laplace
2. Horas Prácticas 10
3. Horas Teóricas 5
4. Horas Totales 15
5. Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de sistemas de
ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace, aplicándolas a modelos
relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante la compresión de los
conceptos básicos.
Capítulo 7.- La transformada de Laplace (págs. 255-302)
Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill
Temas Saber Saber hacer Ser
Definición de la
transformada de Laplace.
Explicar los conceptos de:
• Transformada de Laplace.
• Linealidad.
• Funciones continuas por tramos.
• Existencia de la Transformada de
Laplace.
Calcular transformadas de Laplace
directas.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Transformada inversa. Explicar los conceptos de transformada
de Laplace inversa.
Calcular transformadas de Laplace
inversas de funciones potenciales,
exponenciales y trigonométricas.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Teoremas de traslación y
derivadas de una
transformada.
Explicar el teorema de derivada de una
transformada basados en el primero y
segundo teorema de traslación.
Calcular transformadas de Laplace
basados en los teoremas de translación
y derivada de una transformada.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Transformadas de
derivadas, integrales y
funciones periódicas.
Explicar los teoremas de:
•transformada de una derivada,
• convolución,
• transformada de una función periódica.
Calcular transformadas de:
• derivadas,
• integrales,
• funciones periódicas.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Aplicaciones. Explicar la función delta de Dirac Solucionar problemas relacionados con
mecánica de mecanismos y circuitos en
serie RC y RL
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Sistemas de ecuaciones
lineales.
Explicar los métodos de:
• Operaciones,
• Transformadas de Laplace.
Determinar sistemas de ecuaciones
lineales de primer orden.
Solucionar problemas relacionados con
mecánica de mecanismos, circuitos
eléctricos sistemas degradados.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Proceso de evaluación
Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos
Solucionará ecuaciones diferenciales
aplicadas al mantenimiento aplicando las
transformadas de Laplace como en
dinámica, circuitos eléctricos (RLC),
resistencia de materiales y fluidos.
1.- Comprender los conceptos de
transformadas directas e inversas de
Laplace.
2.- Analizar las aplicaciones de la
transformada de Laplace relacionadas con el
mantenimiento industrial (sistemas
amortiguados).
Ejercicios prácticos
Lista de verificación
1. Unidad Temática V.- Series de Fourier
2. Horas Prácticas 10
3. Horas Teóricas 5
4. Horas Totales 15
5. Objetivo
El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas relacionados
con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la energía y
vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.
Capítulo 11.- Funciones Ortogonales y Series de Fourier (págs. 397-435.)
Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill
Temas Saber Saber hacer Ser
Funciones
ortogonales
Explicar el concepto de
ortogonalidad de la función.
Resolver problemas definiendo la ortogonalidad de
la función en el intervalo y por medio de la integral
de la función de peso indicada.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Series de Fourier Explicar el teorema de
convergencia de una serie de
Fourier.
Solucionar problemas relacionados con convergencia
de una serie en intervalos dados.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Series de Fourier
de senos y cosenos
Explicar los conceptos y
propiedades matemáticas de las
funciones pares e impares.
Resolver problemas de las series pares e impares
por medio de las series de senos y cosenos.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Aplicaciones. Explicar las aplicaciones de las
series de Fourier en el área
electromecánica.
Modelar y analizar aplicando las series de Fourier
en el vibraciones mecánicas
Aplicar las series de Fourier en el modelado y
análisis de armónicas conceptos.
Responsabilidad
Puntualidad
Proactividad
Motivación
Proceso de evaluación
Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos
Realizará estudios de generación de
formas de onda de corriente o tensión
eléctrica, análisis de comportamiento
armónico de señales y estudios de
respuesta en el tiempo de una variable
de circuitos eléctricos aplicando las
series de Fourier al mantenimiento.
1.- Comprender los conceptos de las series
de Fourier
2.- Analizar la aplicación de las series de
Fourier en problemas relacionados con
mantenimiento (vibraciones).
Ejercicios prácticos
Lista de verificación
CAPACIDADES DERIVADAS DE LAS COMPETENCIAS PROFESIONALES A LAS QUE CONTRIBUYE LA ASIGNATURA
Capacidad Criterios de Desempeño
Diagnosticar maquinaria y equipo mediante técnicas
predictivas con ensayos no destructivos (termografía,
vibraciones, ultrasonido, tribología, entre otras) aplicando
modelos matemáticos y otras herramientas para la
detección oportuna de fallas y optimización de las
actividades de mantenimiento.
Presenta el diagnóstico de las condiciones de operación de los
sistemas electromecánicos utilizando técnicas predictivas
(inspección visual, lubricación, termografía, ultrasonido, vibraciones,
alineación con láser y otras pruebas no destructivas).
FUENTES BIBLIOGRÁFICAS
Autor Año Título del Documento Ciudad País Editorial
D.G. Zill (2002) Ecuaciones Diferenciales con
aplicaciones
Madrid España Iberoamericana
Isabel Carmona
Jover
(1998) Ecuaciones diferenciales México México Pearson
Daniel A. Marcus (1993) Ecuaciones diferenciales México México CECSA
E.D. Rainville (1999) Ecuaciones diferenciales
elementales
México México Trillas
Paul Blanchard et al (1999) Ecuaciones diferenciales México México Thomson
M.Braun (1990) Ecuaciones diferenciales y sus
aplicaciones
México México Iberoamericana
C.C. Rolando & G.R.
Rodrigo
Ecuaciones diferenciales (Curso
de introducción)
México México Trillas
Bronson/ Costa (2008) Ecuaciones diferenciales México México McGraw-Hill
Simmons (2007) Ecuaciones diferenciales (Teoría,
Técnica y Práctica)
México México McGraw-Hill