UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

Facultad de Química

Apuntes de Álgebra lineal hechos por:

Eder Yair

13/09/2015

Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella ecuación que incluye alguna potencia en

cualquiera de sus términos y en que la incógnita aparece en el exponente. La

solución a dichas ecuaciones se ve en dos pasos:

1. Si el argumento o resultado se puede expresar como potencia de la base

solo se igualan exponentes.

2. Se aplican las propiedades de los logaritmos para encontrar el valor de la

incógnita

Adicionalmente se harán uso de sustituciones para hacer mas fácil la

manipulación de dichas ecuaciones. A continuación se muestran unos ejemplos

para su mayor comprensión.

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuación exponencial 𝒆𝟐𝒙 −𝟐𝒆−𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎

a) Primeramente debemos encontrar un valor para que sustituido en la

ecuación exponencial y se hagan las operaciones debidas de cero y se

cumpla la igualdad, ahora para este caso vamos a hacer una sustitución

algebraica para manipular mejor la ecuación, a simple vista no podemos

trabajarla de forma habitual pero si hacemos la sustitución:

𝒚 = 𝒆𝟐𝒙

Ahora vamos a ver la ecuación de forma correcta:

𝒆𝟐𝒙 −𝟐

𝒆𝟐𝒙−𝟏 = 𝟎

Y hacemos la sustitución:

𝒚 −𝟐

𝒚−𝟏 = 𝟎

b) Multiplicamos ambos lados de la igualdad por 𝑦 para quitar el denominador

de la ecuación

𝒚(𝒚 −𝟐

𝒚− 𝟏) = 𝟎 ∗ 𝒚

La ecuación queda como:

𝒚𝟐 −𝒚 − 𝟐 = 𝟎

c) Procedemos a resolver la ecuación cuadrática mediante factorización y

queda como:

(𝒚 − 𝟐)(𝒚+ 𝟏) = 𝟎

Igualamos cada factor a cero y tenemos lo siguiente:

𝒚 − 𝟐 = 𝟎

𝒚 = 𝟐

Y

𝒚 + 𝟏 = 𝟎

𝒚 = −𝟏

De las raíces de la ecuación tomamos la de signo positivo y nos quedamos

con1:

𝒚 = 𝟐

d) Tomando el valor de y del inciso anterior usamos la sustitución 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙

tomamos el valor de 𝑦 obtenido del inciso anterior tenemos lo siguiente:

𝟐 = 𝒆𝟐𝒙

Aplicando las leyes de los logaritmos a ambos lados de la igualdad para

cancelar el término exponencial:

𝐥𝐧(𝒆𝒙) = 𝒙

Despejando a x de la ecuación:

𝐥𝐧(𝟐) = 𝐥𝐧(𝒆𝟐𝒙)

𝐥𝐧(𝟐) = 𝟐𝒙

𝒙 =𝐥𝐧(𝟐)

𝟐

e) Sustituyendo a 𝑥 en la ecuación exponencial original:

𝒆𝟐𝒙 −𝟐

𝒆𝟐𝒙−𝟏 = 𝟎

Tenemos:

1 Para que la sustitución tenga sentido siempre se trabajan con las raíces positivas de la ecuación algebraica, de lo contrario se dice que la ecuación es inconsistente.

𝒆𝟐(𝐥𝐧(𝟐)

𝟐)−

𝟐

𝒆𝟐(𝐥𝐧(𝟐)

𝟐)−𝟏 = 𝟎

𝒆𝐥𝐧(𝟐)−𝟐

𝒆𝐥𝐧(𝟐)− 𝟏 = 𝟎

Aplicando una ley de los exponenciales que cancela a los términos exponenciales:

𝒆𝐥𝐧(𝒙) = 𝒙

Tenemos que:

𝟐 −𝟐

𝟐−𝟏 = 𝟎

𝟐 − 𝟏 −𝟏 = 𝟎

𝟎 = 𝟎

Por lo tanto la solución es

𝒙 =𝐥𝐧(𝟐)

𝟐

Ejemplo 2

Encontrar el valor de la incógnita en la ecuación exponencial 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟑𝟐

a) Sabemos de antemano que 32 puede ser expresado como

𝟐𝟓 = 𝟑𝟐

En la medida de lo posible en ecuaciones exponenciales debemos trabajar

con la misma base, he ahí la razón que expresamos 32 en potencia de dos.

b) Ahora reescribimos la ecuación como:

𝟐𝒙+𝟏 = 𝟐𝟓

Nos damos cuenta que tenemos la misma base que es 2 y los exponentes

son distintos (esta parte no importa tanto, es prioritario que se tenga la

misma base en ambos lados de la igualdad).

c) Si tomamos el punto 1 de la forma en cómo se resuelven estas ecuaciones

solamente vamos a igualar exponentes ya que asumimos que son lo

mismo, por lo tanto hacemos la igualdad entre el exponente del lado

izquierdo con el de lado derecho así:

𝒙 + 𝟏 = 𝟓

Resolvemos la ecuación de primer grado tenemos el valor de la incógnita

que es:

𝒙 = 𝟒

d) Probamos el valor de la incógnita en la ecuación original:

𝟐𝒙+𝟏 = 𝟑𝟐

Sustituimos lo que vale x queda

𝟐𝟒+𝟏 = 𝟑𝟐

𝟐𝟓 = 𝟑𝟐

Si se sabe que 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐

𝟑𝟐 = 𝟑𝟐

Por lo tanto la solución es

𝒙 = 𝟒

Ejemplo 3

Hallar el valor de la siguiente ecuación exponencial: 𝟐𝒙𝟐= 𝟖𝟐𝒙−𝟑

a) Debe de observarse algo, a simple vista no se posee la misma base

¿cierto?, pero tenemos que 8 es resultado de una potencia de dos y se

expresa como sigue:

𝟐𝟑 = 𝟖

Pero hay una ley de los exponentes que dice lo siguiente:

(𝒙𝒎)𝒏 = 𝒙𝒎∗𝒏

b) Así que transformamos la ecuación exponencial para que quede en

términos de base dos:

𝟐𝒙𝟐= (𝟐𝟑)𝟐𝒙−𝟑

Usando la ley de los exponentes anterior tenemos:

𝟐𝒙𝟐= 𝟐𝟔𝒙−𝟗

Igualando exponentes

𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 − 𝟗

c) Resolviendo la ecuación igualando a cero

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙+𝟗 = 𝟎

(𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟎

𝒙 − 𝟑 = 𝟎

𝒙 = 𝟑

d) Sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original

𝟐𝒙𝟐= 𝟖𝟐𝒙−𝟑

𝟐(𝟑)𝟐= 𝟖𝟐(𝟑)−𝟑

Resolviendo las operaciones tenemos

𝟐𝟗 = 𝟖𝟑

Sabemos que 23 = 8 y aplicando las leyes de los exponentes se tiene

𝟐𝟗 = (𝟐𝟑)𝟑

𝟐𝟗 = 𝟐𝟗

Por lo tanto la solución es

𝒙 = 𝟑

Una alternativa de resolver estas ecuaciones exponenciales es con el uso de

logaritmos ya sea de base 10 también llamado logaritmo decimal o usando

logaritmo Neperiano (en base al número de Euler). Se muestran unos

ejemplos a continuación.

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación exponencial 𝟓𝒙 = 𝟔𝟐𝟓

a) Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad

𝐥𝐨𝐠(𝟓𝒙) = 𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟐𝟓)

b) Se sabe que por leyes de los logaritmos que 𝐥𝐨𝐠(𝒂𝒙) = 𝒙𝐥𝐨𝐠(𝒂) donde a

puede ser la base del logaritmo o no; aplicamos al ejercicio

𝒙 𝐥𝐨𝐠(𝟓) = 𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟐𝟓)

c) Despejando a x tenemos

𝒙 =𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟐𝟓)

𝐥𝐨𝐠(𝟓)

𝒙 = 𝟒

d) Sustituyendo en la ecuación logarítmica

𝟓𝟒 = 𝟔𝟐𝟓

Si elevamos cinco a la cuarta potencia tenemos que

𝟔𝟐𝟓 = 𝟔𝟐𝟓

Por lo tanto la solución es:

𝒙 = 𝟒

Ejemplo 5

Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 𝟕𝟑𝒙−𝟑 = 𝟑𝟒𝟑

a) Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:

𝐥𝐧(𝟕𝟑𝒙−𝟑) = 𝐥𝐧(𝟑𝟒𝟑)

b) Realizando las operaciones con logaritmos:

(𝟑𝒙− 𝟑)𝐥𝐧(𝟕) = 𝐥𝐧(𝟑𝟒𝟑)

c) Despejando a x

𝟑𝒙− 𝟑 =𝐥𝐧(𝟑𝟒𝟑)

𝐥𝐧(𝟕)

𝟑𝒙 =𝐥𝐧(𝟑𝟒𝟑)

𝐥𝐧(𝟕)+ 𝟑

𝒙 =

𝐥𝐧(𝟑𝟒𝟑)

𝐥𝐧 (𝟕)+ 𝟑

𝟑

𝒙 = 𝟐

d) Sustituyendo el valor de x en la ecuación

𝟕𝟑𝒙−𝟑 = 𝟑𝟒𝟑

𝟕𝟑(𝟐)−𝟑 = 𝟑𝟒𝟑

𝟕𝟑 = 𝟑𝟒𝟑

Si se sabe que 73 = 343 tenemos

𝟑𝟒𝟑 = 𝟑𝟒𝟑

Por lo tanto la solución es

𝒙 = 𝟐

Ejemplo 6

Resolver la ecuación: 𝟐𝟐𝒙 −𝟏𝟐(𝟐𝒙) + 𝟑𝟓 = 𝟎

a) Sabemos que el primer término de la ecuación se ve como:

𝟐𝟐𝒙 = (𝟐𝒙)𝟐

Reescribiendo la ecuación logarítmica tenemos (𝟐𝒙)𝟐−𝟏𝟐(𝟐𝒙)+ 𝟑𝟓 = 𝟎

b) Haciendo el cambio de variable

𝒚 = 𝟐𝒙

Y sustituyendo en la ecuación tenemos

𝒚𝟐− 𝟏𝟐𝒚+ 𝟑𝟓 = 𝟎

c) Resolviendo la ecuación auxiliar:

(𝒚 − 𝟕)(𝒚− 𝟓) = 𝟎

𝒚 − 𝟕 = 𝟎

𝒚 = 𝟕

Y

𝒚 − 𝟓 = 𝟎

𝒚 = 𝟓

d) Al ser números positivos podemos usar ambas raíces, usamos por

comodidad la más chica, si volvemos a la sustitución de 𝑦 queda como

𝒚 = 𝟐𝒙

Sustituyendo 𝑦:

𝟓 = 𝟐𝒙

Hallando el valor de x

𝒍𝒐𝒈(𝟓) = 𝒍𝒐𝒈(𝟐𝒙)

𝒍𝒐𝒈(𝟓) = 𝒙𝒍𝒐𝒈(𝟐)

𝒙 =𝒍𝒐𝒈(𝟓)

𝒍𝒐𝒈(𝟐)

e) Sustituyendo el valor de 𝑥 en la ecuación logarítmica original:

𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟐(𝟐𝒙) + 𝟑𝟓 = 𝟎

𝟐𝟐(

𝒍𝒐𝒈(𝟓)

𝒍𝒐𝒈(𝟐))−𝟏𝟐(𝟐

(𝒍𝒐𝒈(𝟓)

𝒍𝒐𝒈(𝟐))) + 𝟑𝟓 = 𝟎

Queda

𝟎 = 𝟎

Usando 𝑦 = 7 el valor para 𝑥 queda como:

𝒙 =𝒍𝒐𝒈(𝟕)

𝒍𝒐𝒈(𝟐)

Sustituyendo en la ecuación original queda como:

𝟐𝟐(

𝒍𝒐𝒈(𝟕)

𝒍𝒐𝒈(𝟐))−𝟏𝟐(𝟐

(𝒍𝒐𝒈(𝟕)

𝒍𝒐𝒈(𝟐))) + 𝟑𝟓 = 𝟎

0 = 0

Las soluciones quedan de la siguiente manera:

𝑥1 =𝒍𝒐𝒈(𝟓)

𝒍𝒐𝒈(𝟐)

𝑥2 =𝒍𝒐𝒈(𝟕)

𝒍𝒐𝒈(𝟐)