apuntes de topografÍa
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APUNTES DE TOPOGRAFÍA
ELEMENTOS GEOGRAFICOS.
o EJE: Eje terrestre es la recta ideal alrededor de la cual gira la Tierra en su movimiento. Apunta sensiblemente en la dirección de la estrella Polar.
o POLOS: Puntos por donde el Eje terrestre atraviesa la superficie terrestre. El que está situado en la parte de la Polar es el Polo Norte y el opuesto, el Polo Sur.
o MERIDIANOS: Plano Meridiano es aquel que contiene al Eje Terrestre. La intersección de un Plano Meridiano con la Superficie terrestre determina un círculo máximo, que pasa por los polos, llamado Meridiano.
o PARALELOS: Línea de intersección con la Superficie Terrestre de todo plano perpendicular al Eje Terrestre. Todos son circunferencias.
o COORDENADAS GEOGRAFICAS: Las Coordenadas Geográficas de un punto son la Longitud y la Latitud.
o LONGITUD: Angulo que forma el plano meridiano que pasa por el punnto y otro plano meridiano que se toma como origen. Si un observador se encontrase enel centro de La Tierra, con la cabeza hacia el Polo Norte y mirando al Meridiano Origen, los puntos situados a su izquierda tendrán longitud positiva y los de su derecha, longitud negativa.
o LATITUD: De un punto es el ángulo cuyo arco es la separación entre dicho punto y el Ecuador. Se cuenta de 0º a 90º con origen en el Ecuador, teniendo latitud Norte o Positiva los puntos que se encuentran en el Hemisferio Norte y Sur o Negativa, aquellos que se encuentran en el Hemisferio Sur.
o MERIDIANA: Linea recta que se genera al cortar el plano meridiano al plano horizontal de un punto en la Superficie Terrestre. Nos marca la dirección Norte-Sur. Toda línea perpendicular a la Meridiana nos marca la dirección Este-Oeste.
UNIDADES DE MEDIDA
o DE SUPERFICIE: En topografía la Unidad de Superficie es la Hectárea (cuadrado de 100 metros de lado).
o ANGULARES: En topografía, los ángulos se miden según tres sistemas diferentes, siendo éstos el sexagesimal, el centesimal y el milesimal y radianes.
o La conversión entre unidades se realiza mediante una regla de tres, egún la siguiente tabla de conversión de unidades:
SEXAGESIMAL CENTESIMAL MILESIMAL RADIANES
90º 100g 1600'' /2
180º 200 g 3200''
270º 300 g 4800'' 3/2
360 400 g 6400'' 2
TEOREMA DE PITAGORAS: En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
COORDENADAS RECTANGULARES:
La distancia Oa es la Abcisa de del punto M y la Ob la Ordenada de dicho punto, y se representa: M(a, b).
TOPOGRAFÍA: Conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de una parte de la Superficie Terrestre, con sus formas y detalles tanto naturales como artificiales. Procede de topo (lugar) y grafos (descripción).
PLANIMETRÍA: Parte de la Topografía que comprende los métodos y procedimientos que tienden a conseguir la representación a escala, sobre una superficie plana, de todos los detalles interesantes del terreno prescindiendo de su relieve.
ALTIMETRIA: Parte de la Topografía que comprende los métodos y procedimientos para determinar y representar la altura o cota de cada uno de los puntos respecto a un plano de referencia. Con ella se consigue representar el relieve del terreno.
LIMITES EN LA EXTENSIÓN DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS:
La Topografía se limita a representar zonas de pequeña extensión en las que la superficie terrestre de referencia puede considerarse plana. Para zonas de mayor extensión, no se puede prescindir de la curvatura terrestre. Es entonces cuando se recurre a la Geodesia y la Cartografía.
MAPAS, CARTAS Y PLANOS:
CARTA: Representación de una parte más o menos extensa de la superficie terrestre que da a conocer la configuración de las costas, islas cabos y canales.
MAPA: Representación geográfica de un país o terreno en una superficie plana.
MAPA TOPOGRÁFICO: El de un lugar de poca extensión donde se detallan la naturaleza del terreno (caminos, canales, ríos, etc.).
PLANO: Representación gráfica de una superficie y, en virtud de unos procedimientos técnicos, de un terreno o de la planta de un campamento, plaza, fortaleza, etc.
CROQUIS: representación del terreno con métodos simples y a escala aproximada. Si lo realizamos a lo largo de un camino, carretera o dirección de marcha se denomina croquis itinerario.
ESCALA : Relación que existe entre la medida de un segmento sobre el papel y la medida de su homólogo en la realidad. Escala = Plano /Terreno =1/D (Denominador de la Escala):
E = P /T = 1/D
Esta fórmula también es válida para superficies: E2 = Splano/Sterreno =1/D2
ESCALAS NUMÉRICAS: En el terreno tenemos que considerar tres distancias entre dos puntos (ver gráfico):
Distancia NATURAL, REAL o TOPOGRÁFICA: la que separa los punto A y B medida sobre el suelo: ADB
Distancia GEOMÉTRICA: la que separa A y B medida sobre la recta imaginaria que los une.
Distancia REDUCIDA u HORIZONTAL: la que resulta de medir la proyección de los puntos A y B sobre el plano horizontal, correspondiéndose la distancia medida enel plano con la distancia horizontal del terreno.
Las escalas MILITARES REGLAMENTARIAS en España son: 1:5.000, 1:10.000, 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 1:200.000, 1:250.000, 1:400.000 y 1:800.000.
ESCALAS GRAFICAS: Representación de una escala numérica sobre una recta; o lo que es lo mismo su representación geométrica.
Sabiendo que: 1Km= 20 mm, 50m = 1mm. A la parte izquierda se le llama talón y se marcará con 500 m la división central.
APRECIACIÓN GRAFICA: Teniendo en cuenta que el valor mínimo del grosor de trazo empleado para representar los detalles del terreno es de 0.2 mm, la Apreciación Gráfica se obtiene mediante la fórmula: Apr = 0.2 x D , siendo D el denominador de la escala.
RELIEVE TOPOGRÁFICO: Superficie actual de la corteza terrestre que se nos presenta ante nuestros ojos.
TERRENO LLANO: aquel con pendientes suaves, sin cambios bruscos de una a otra.
TERRENO ONDULADO: Aquel con elevaciones y depresiones de poca importancia. El movimiento no presenta grandes dificultades.
TERRENO MONTAÑOSO: Las vertientes tienen mayor pendiente y las diferiencias de altura entre las vaguadas y la divisoria es más notoria. Deben conocerse los sitios por donde atravesar o cruzar.
TERRENO ESCARPADO: Posee Vertientes de gran pendiente, incluso verticales y casi inaccesibles. Cambios bruscos de pendientes.
CLASIFICACION DEL TERENO POR SU NATURALEZA: El terreno puede ser SUELTO COMPACTO, PEDREGOSO, ARESINCO O PANTANOSO.
CLASIFICACION DEL TERENO POR SU PRODUCCIÓN: El terreno puede ser ABIERTO (DESPEJADO) o CUBIERTO (ARBOLADO).
PRINCIPALES ACCIDENTES DEL TERRENO:
MONTE: Elevación del terreno respecto del que le rodea. Su parte más alta se llama cumbre o cima (cresta si es alargada, meseta si es ancha y plana y pico si es puntiaguda).
LADERA: o vertiente es la superficie que une la vaguada con la divisoria. Si se aproximan a la vertical se denominan escarpados o paredes.
MOGOTE: Pequeña elevación del terreno respecto del que le rodea, de forma troncocónica; se le llama loma si es de forma alargada.
MONTAÑA: Gran elevación del terreno formada por un grupo de montes.
MACIZO: Agrupación de montañas que se ramifican en todas direcciones, llamándose sierra si éstas van en una sola dirección.
CORDILLERA: Sucesión de sierras.
RIO: Corriente de agua de cierta importancia, llamándose arroyo si el caudal es poco considerable o torrente si sólo circula agua en tiempo de lluvia (de forma turbulenta). La zona por donde circula se denomina cauce o lecho.
CONFLUENCIA: Punto de unión de dos cursos de agua, llamándose desembocadura si es donde un río se une al mar.
DIVISORIA. Línea ideal del terreno que separa las aguas hacia una u otra ladera.
VAGUADA: Unión por la parte inferior de dos laderas opuestas, recibiendo el agua de dichas laderas; se le denomina barranco si la vaguada es estrecha y encajinada.
Entre dos vaguadas hay siempre una divisoria y entre ds divisorias, una vaguada.
COLLADO: Unión de dos entrantes y dos salientes, llamándose también desfiladeros (si son profundos y de laderas con gran pendiente) puertos (si son de fácil acceso) o brechas si son pequeños y de difícil acceso.
VALLE: Zona comprendida entre dos grandes divisorias y por donde, normalmento, circula un río.
VADO: Zona de un cauce por donde se puede cruzar (a pie, a caballo o en vehículo) debido a su poco cauce, lecho firme y poca corriente.
HOYA: Depresión del terreno respecto al que le rodea, llamándose laguna o charca si hay agua de forma permanente o lago si es de gran extensión. En zonas montañosas se llama ibón.
COSTA: Parte del terreno que está en contacto con el mar. Si es baja y arenosa, se denomina playa; si es escarpada y de paredes casi verticales, se llama acantilado.
REPRESENTACIÓN DEL TERRENO: TRES modos diferentes:
Mapas en relieve:
Reproducciones (maquetas) del terreno tal y como es en realidad.
Dan una perfecta visión del terreno que representan y en especial de su relieve.
Presentan dificultades para resolver problemas topográficos.
Son de ejecución lenta costosa y difícil.
Son difíciles de transportar.
Hay pocas copias del ejemplar.
Sistema de planos acotados:
Carecen de los inconvenientes de los mapas en relieve. Son los más empleados.
Fotografías:
La representación del terreno es buena, aunque muy limitada en muchos aspectos.
Refleja una fiel representación del terreno, incluso con los diferentes tonalidades de la vegetación tierras etc.
No representa el terreno a escala.
No representa aceptablemente el relieve.
Sólo sirven para porciones de terreno pequeñas.
EQUIDISTANCIA NUMÉRICA O EQUIDISTANCIA: Diferencia constante entre dos curvas de nivel consecutivas. A mayor escala del plano, mayor número de curvas de nivel podremos representar sin perdida de claridad. A mayor pendiente del terreno, más próximas están las curvas de nivel entre si; consideraremos que la pendiente entre dos curvas de nivel es uniforme (Ver representación de accidentes del terreno en el libro (3-15 a 3-21).
ESCALAS Equidistancia Curvas directorasCurvas
intermedias
1:5.000 2m 10m 4
1:10.000 5m 25m 4
1:25.000 10m 50m 4
1:50.000 20m 100m 4
1:100.000 40m 200m 4
1:200.000 100m 400m 3
1:400.000 200m 800 3
1:800.000 400m ---- ----
VENTAJAS DE LAS CURVAS DE NIVEL:
Medir distancias y ángulos.
Calcular pendientes:
Trazar perfiles:
Resolver problemas de lectura de planos.
Dar una imagen del terreno para averiguar como es de forma aproximada, sólo observando el mapa.
MEDICION DE DISTANCIAS: De forma directa (medición de pasos o velocidad de marcha) o indirecta (estadímetro o intersección).
PENDIENTE ENTRE DOS PUNTOS:
tg =BC/AC =BB'-AA'/A'B' =Za -Zb/D
O Lo que es lo mismo, la diferencia entre la cota del punto más elevado y las del más bajo, dividido entre la distancia reducida. Viene expresada en tantos por uno, pero podemo extpresarla en tanto por ciento (%) multiplicando el valor obtenido por 100 o en tanto por mil (o/oo), haciendo lo propio por 1000.
CALCULO DE ALTITUD DE UN PUNTO SITUADO ENTR DOS CURVAS DE NIVEL CONSECUTIVAS:
A B
C
560 570
Como conocemos las altitudes de A y B por ser puntos situados en curvas de nivel consecutivas, sólo hay que medir con una regla las distancias AB y AC y resolver una regla de tres simple:
Ej.: AB = 12mm, AC= 6,5mm. Luego si 12mm son 10m, 6.5 m serán x; calculando x y sumándolo a la cota de A hallaremos la altitud de C.
SENSACIÓN DE RELIEVE DE LOS MAPAS: Se puede conseguir dar sensación de relieve a los mapas mediante tintas hipsométricas o mediante sombreado.
TINTAS HIPSOMETRICAS: Consiste en colorear el espacio comprendido entre dos curvas de nivel (no necesariamente consecutivas) de distintos colores o del mismo color, pero con tonalidades diferentes. Se emplea en mapas de escala pequeña donde las equidistancias de 200 ó 400 metros no permiten apreciar con claridad el relieve del terreno.
SOMBREADO: consiste en oscurecer con distintas intensidades determinadas zonas del mapa suponiendo que existe una fuente de luz procedente del NW (Noroeste) con un inclinación de 45º.
PERFILES: Representación gráfica del terreno al ser cortado por un plano vertical al mismo. Para obtenerlos, necesitamos tres datos; LA ESCALA, EL FACTOR DE REALCE Y LA EQUIDISTANCIA. Para dibujarlos basta con unir dos supuestos puntos A y B con una recta (llamada directriz) y luego levantar sucesivas líneas perpendiculares a esta recta en diversos puntos intermedios (C, D, E, F, ...) que cortan las distintas curvas de nivel. Sobre estas perpendiculares y a partir de una recta horizontal cualquiera (llamada base a la que se asigna la cota del punto más bajo) se toman segmentos proporcionales a las diferencias de nivel de los puntos intermedios. Uniendo con una línea los extremos de estos segmentos obtendremos el perfil deseado (Ver gráfico Pág. 5-5).
Si la escala usada para dibujar el perfil es la misma que la del plano, se obtiene un perfil natural, pero esto representa un inconveniente y es que las diferencias de nivel entre dos curvas no es muy pronunciada y por tanto la pendiente es muy suave. Para evitarlo se emplea una escala vertical mayor que la horizontal, obteniéndose un perfil realzado. El número de veces que esta escala es mayor que la escala horizontal se denomina factor de realce.
Si queremos representar un itinerario, dividiremos el perfil en tramos rectos y dibujamos el perfil de cada uno de ellos, poniéndolos luego uno a continuación del otro, obteniéndose un perfil compuesto.
APLICACIONES IMPORTANTES DE LOS PERFILES:
Determinación de la distancia natural entre dos puntos.
Medición de pendientes. tgP =tg P'/R, donde P es la pendiente natural, P' es la pendiente en perfil y R el factor de realce.
Determinar si un punto es visible o no desde otro (ver método pág 5-10).
ZONAS VISTA Y OCULTAS DESDE UN OBSERVATORIO: Leer Pto. 5.6, Pág. 5-11.
CRESTAS TOPOGRÁFICA Y MILITAR:
Punto Culminante: Punto más alto de un perfil.
CRESTA TOPOGRÁFICA: Unión de todos los puntos culminantes de un perfil.
Punto dominante: El punto más alto desde el que se domina el valle y sus accesos.
CRESTA MILITAR: Unión de todos los puntos dominantes.
LINEA DE DESENFILADA DE UN PUNTO respecto a otro: aquella tangente al obstáculo situado entre ambos.
PROYECCIÓN Y CUADRICULADO UTM:
La Proyección UTM (Universal Transversa Mercator) es la reglamentaria en España desde 1968.
Es CILÍNDRICA porque la superficie sobre la que se proyecta es un cilindro que podemos considerar tangente a la Tierra.
Es TRANSVERSA porque el cilindro de proyección es horizontal (tiene su eje en el plano del Ecuador y el tangente a un meridiano).
Es CONFORME porque los ángulos se conservan en la proyección (los ángulos medidos sobre el mapa y sobre el terreno tienen el mismo valor).
La UTM ha dividido la Tierra en 60 husos de 6º de amplitud cada uno, realizándose del 1 al 60 a partir del ANTIMERIDIANO DE GREENWICH Y DE OESTE A ESTE. Abarcan desde el paralelo 80º N al 80º S.
Los HUSOS se dividen en 20 bandas esféricas de 8º de latitud, alfabetizadas por una letra mayúscula, de Sur a Norte, comenzando por la C y terminando por la X (sin contar CH, I, LL, Ñ y O).
La intersección de husos y bandas genera ZONAS (1200) de 6º de longitud por 8º de latitud designándose por el número de huso seguido de la letra de banda sin repetirse ninguna.
NUMERACIÓN DE HOJAS MILITARES: Ver Págs. 6-14, 6-15 y parte superior 6-16.
RUMBO, DECLINACIÓN ACIMUT Y ORIENTACIÓN:
EL Norte Magnético no coincide con el Norte Geográfico y para España el NM está a la Izquierda del NG.
En Norte de la Cuadrícula NC se materializa por una serie de rectas paralelas al Meridiano central del huso.
El NG de un punto P viene definido por el meridiano que pasa por ese punto.
La posición relativa de los Nortes viene dada por la abcisa del punto, que para el meridiano Central del huso es de 500 Km. Es necesario, por tanto, saber si el punto está situado al Este del McH (x>500 km) o al Oeste del mismo (x<500Km).
NM NC NG NM NG NC
P (X<500KM) P (X>500KM)
RUMBO: Angulo que forman el NM con una dirección dada medido en el sentido de las agujas del reloj. Será inverso si se toma con la dirección opuesta a la dada.
DECLINACIÓN MAGNETICA: Angulo que forman el NM con el NG. Para España la declinación es occidental.
DECLINACIÓN UTM: Angulo que forman el NM con el NC. Este dato viene siempre en las hojas militares españolas.
ACIMUT: Angulo que forman el NG con una dirección dada medido en el sentido de las agujas del reloj. Será inverso si se toma con la dirección opuesta a la dada.
ORIENTACIÓN: Angulo que forman el NC con una dirección dada medido en el sentido de las agujas del reloj. Será inversa si se toma con la dirección opuesta a la dada.
CONVERGENCIA: Angulo que forman el NC con el NG. Para los puntos situados al Oeste del McH la convergencia es occidental.
NM NC NG NM NG NC
P (X<500KM) P (X>500KM)
UTM =DECLINACION UTM
=DECLINACION
=CONVERGENCIATopografía
1.2. Errores 3. Levantamientos Topográficos 4. Brújula 5. Tránsito 6. El Anteojo 7. Medida de Ángulos 8. Agrimensura
TOPOGRAFÍA.- Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la superficie de la tierra,
por medio de medidas según los 3 elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección
y una elevación.
Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud ( en sistema métrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco. (grados sexagesimales)
El conjunto de operaciones necesarias para determinar las posiciones de puntos y posteriormente su representación en un plano es lo que se llama
comúnmente "Levantamiento".
La mayor parte de los levantamientos, tienen por objeto el cálculo de superficies y volúmenes, y la representación de las medidas tomadas en le campo mediante perfiles y planos, por lo cual estos trabajos también se consideran dentro de la topografía.
-Clases de Levantamientos
-Errores
-Levantamientos
-Empleo de la Cinta en medidas de Distancias
-Superficies
-Direcciones de las líneas y ángulos horizontales
-Brújula
-Transito
-Medida de Ángulos
-Teoría
-Agrimensura
-Precisión de los cálculos en que intervienen Funciones Trigonométricas
-Plancheta
Topografía
Definición.- Estudia el conjunto de procedimientos para determinar la posición de u punto sobre la superficie terrestre, por medio de medidas según los tres elementos del espacio: dos distancias y una elevación o una distancia, una elevación y una dirección. Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (en sistema métrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales).
Levantamientos
El levantamiento es un conjunto de operaciones que determinan las posiciones de puntos, la mayoría calculan superficies y volúmenes y la representación de medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos entonces son topográficos.
Clases de levantamientos
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Topográficos
Por abarcar superficies reducidas se realizan despreciando la curvatura de la tierra sin error apreciable.
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Geodésicos
Son levantamientos en grandes extensiones y se considera la curvatura terrestre
Los levantamientos topográficos son los mas comunes y los que mas interesan, los geodésicos son de motivo especial al
cual se dedica la Geodesia.
- Tipos de levantamientos topográficos:
1. De terrenos en general - Marcan linderos o los localizan, miden y dividen superficies, ubican terrenos en planos generales
ligando con levantamientos anteriores, o proyectos obras y construcciones.
2. De vías de comunicación - Estudia y construye caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, etc.
3. De minas - Fija y controla la posición de trabajos subterráneos y los relaciona con otros superficiales.
4. Levantamientos catastrales -Se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijare linderos o estudiar las obras
urbanas.
5. Levantamientos aéreos -Se hacen por fotografía, generalmente desde aviones y se usan como auxiliares muy valiosos
de todas las otras clases de levantamientos.
La teoría de la topografía se basa esencialmente en la Geometría Plana y Del Espacio, Trigonometría y Matemáticas en general.
Hay que tomar en cuenta las cualidades personales como la iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a
las personas, confianza en si mismo y buen criterio general.
Precisión.- Hay imperfecciones en los aparatos y en el manejo de los mismos, por tanto ninguna medida es exacta en topografía
y es por eso que la naturalaza y magnitud de los errores deben ser comprendidas para obtener buenos resultados.
Las equivocaciones son producidas por falta de cuidado, distracción o falta de conocimiento.
En la precisión de las medidas deben hacerse tan aproximadas como sea necesario.
Comprobaciones.- Siempre se debe comprobar las medidas y los cálculos ejecutados, estos descubren errores y equivocaciones
y determinan el grado de precisión obtenida.
Notas de Campo.- Siempre deben tomarse en libretas especiales de registro, y con toda claridad para no tener que pasarlas
posteriormente, es decir, se toman en limpio; deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar malas
interpretaciones ya que es muy común que los dibujos los hagan diferentes personas encargadas del trabajo de campo.
Errores
Generalidades.-
Instrumentales
Orígenes de los errores Personales
Naturales
Los errores se dividen en dos clases:
Sistemáticos Accidentales
Sistemático.- En condiciones de trabajo fijas en el campo son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, por ejemplo: en medidas de ángulos, en aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en el transito, cintas o estadales mal graduadas, error por temperatura.
Accidentales.- Se dan indiferentemente en un sentido o en otro y por tanto puede ser que tengan signo positivo o negativo, por ejemplo: en medidas de ángulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la señal, en medidas de distancias, et.. Muchos de estos errores se elimina por que se compensan.
El valor mas probable de una cantidad medida varias, es el promedio de las medidas tomadas o media aritmética, esto se aplica tanto en ángulos como en distancias y desniveles.
Las equivocaciones se evitan con la comprobación, los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el número de medidas.
Los errores sistemáticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlos.
Levantamientos Topográficos
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Planimetría o Control Horizontal
Para su estudio lo dividimos en Altimetría o Control Vertical
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Planimetría y Altimetría Simultáneas
Planimetría.
En este capítulo se estudian los procedimientos para fijar las posiciones de puntos proyectados en un plano horizontal, sin importar sus elevaciones.
Las medidas de distancias entre puntos pueden hacerse:
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Directas (con Longímetros)
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Indirectas (con Telémetros)
Las medidas indirectas se estudian en la parte relativa a levantamientos Taquimétricos.
Medidas Directas.-
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Cinta de lienzo (con entramado metálico)
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Cinta de fibra de vidrio
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Cadena (trabajos de pocas aproximaciones o terreno abrupto)
Las cintas son conocidas comúnmente, la cadena está hecha con eslabones metálicos de 20 cm. y a cada metro tiene una placa.
Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos en planos, siempre son horizontales. Por tanto, las distancias siempre que se puede se miden horizontales o se convierten a horizontales con datos auxiliares (ángulo vertical o pendiente)
EMPLEO DE LA CINTA EN MEDIDAS DE DISTANCIAS
a) Terreno horizontal
Se va poniendo la cinta paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos clavando estacas o "fichas", o pintando cruces.
Al medir con longímetro es preferible que este no toque el terreno, pues los cambios de temperatura al arrastrarlo, o al contacto simple, influyen sensiblemente en las medidas.
LAs cintas de acero con una tensión de aproximadamente 4Kg por cada 20m de longitud, dan la medida marcada, esta tensión se mide con Dinamómetro en medidas de precisión, y las cintas deben compararse con la medida patrón. Para trabajos ordinarios con cintas de 20 a 30 m, después de haber experimentado la fuerza necesaria para templar con 4 o 5Kg no es necesario el uso constante del Dinamómetro.
b) Terreno inclinado - Pendiente constante
c) Terreno irregular
Siempre se mide en tramos horizontales para evitar el exceso de datos de inclinaciones de la cinta en cada tramo.
Superficies
La superficie dentro del Polígono se calcula sumando la de todos.
La de un triángulo será:
La superficie dentro del Perímetro levantado se obtiene sumando o restando a la del Polígono, la superficie bajo las curvas o puntos fuera del Polígono, la que a su vez se puede calcular: calculando por separado la superficie de cada trapecio o triángulo irregular que se forme, o tomando normales a intervalos iguales para formar trapecios y triángulos de alturas iguales.
En ambos casos el perímetro se supone formado por una serie de rectas.
Trazo de ángulos con cinta.-
a) Calculando los lados de un triángulo rectángulo con las funciones naturales de los ángulos por trazar en (A).
b) Empleando toda la longitud de la cinta.
Largo de la cinta = K
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
c sen A + c cos A + c = K
c (1 + sen A + cos A) = K
La suma de (a + b + c) debe ser igual a la longitud de la cinta (K).
Estirando la cinta sostenida en las marcas calculadas, se fija el ángulo (A) que debe trazarse
DIRECCIONES DE LAS LINEAS Y ANGULOS HORIZONTALES
La dirección de una línea se puede definir por el Rumbo o por su Azimut. Ambos pueden ser magnéticos o astronómicos. Los datos astronómicos se consideran invariables, y también se les llama verdaderos.
Rumbo es el ángulo que forma una línea con el eje Norte - Sur, contando de 0º a 90º, a partir del Norte o a partir del Sur, hacia el Este o el Oeste.
Tomando la línea AB, su rumbo directo es el que tiene estando parado uno en (A) y viendo hacia (B).
El rumbo Inverso es el que tiene en sentido opuesto, o sea el de BA.
Azimut Angulo que forma una línea con la dirección Norte - Sur, medido de 0º a 360º a partir del norte, en el sentido del movimiento del reloj.
Declinación Magnética.- Es el ángulo formado entre la dirección Norte-Astronómica y la Norte magnética. Cada lugar de la tierra, tiene su declinación que puede ser hacia el Este o hacia el Oeste, según se desvíe la punta Norte de la aguja magnética.
El meridiano de un lugar de la tierra sigue la dirección Norte-Sur astronómica .La declinación magnética en un lugar puede obtenerse determinado la dirección astronómica y la magnética de una línea; también se puede obtener de tablas de posiciones geográficas, queda la declinación de diversos lugares y poblaciones; o mediante planos de curvas Isogónicas.
La declinación sufre variaciones que se clasifican en: Seculares, Anuales, Diurnas e Irregulares, las tres primeras son variaciones que sufren con el tiempo, y por eso es importante cuando se usa la orientación magnética, anotar la fecha y la hora en que se hizo la orientación.
Las variaciones irregulares no se pueden determinar, pues se deben a atracciones locales, o tormentas magnéticas y pueden ser variaciones muy grandes.
Brújula
Definición: Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripié, o en un bastón, o en una vara cualquiera.
Las letras (E) y (W) de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. Las pínulas sirven para dirigir la visual, a la cual se va a medir el Rumbo.
Brújula de mano de Reflexión.-
Con el espejo se puede ver la aguja y el nivel circular al tiempo que se dirige la visual o con el espejo el punto visado. El nivel de tubo, que se mueve con una manivela exterior, en combinación con la graduación que tiene en el fondo de la caja y con el espejo, sirve para medir ángulos verticales y pendientes.
Las brújulas fabricadas para trabajar en el hemisferio Norte, traen un contrapeso en la punta Sur para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical. esto ayuda para identificar las puntas Norte y Sur.
Para leer el rumbo directo de una línea se dirige el Norte de la caja al otro extremo de la línea, y se lee el rumbo con la punta Norte de la aguja.
La Brújula, como los demás aparatos de medición debe reunir determinadas condiciones para que dé resultados correctos.
Condiciones que debe reunir una brújula.-
La línea de los Ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la visual definida por la Pínulas.
Si esto no se cumple, las líneas cuyos rumbos se miden quedarán desorientadas, aunque a veces se desorienta a propósito para eliminar la declinación.
La recta que une las 2 puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación, es decir, la aguja en sí debe ser una línea recta.
Se revisa observando si la diferencia de las lecturas entre las 2 puntas es de 180°, en cualquier posición de la aguja.
Se corrige enderezando la aguja.
El eje de rotación debe coincidir con el centro geométrico de la graduación.
Se revisa observando si la diferencia de lecturas de las 2 puntas es de 180° en alguna posición y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de giro de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando el pivote convenientemente, en el sentido normal a la posición de la aguja que acuse la máxima diferencia a 180°.
Nota:
Los ajustes que requiera la brújula conviene que se hagan de preferencia en taller, para evitar que la aguja se desmagnetice. La aguja debe quedar apretada cuando no se usa, para que no se golpee al transportarla y se doble el pivote.
Usos de la Brújula.-
Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos, etc..
No debe emplearse la brújula en zonas donde quede sujeta a atracciones locales (poblaciones, líneas de transmisión eléctrica, etc.).
Levantamientos de Polígonos con Brújula y Cinta.
El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los vértices, rumbos directos e inversos de los lados que allí concurran, pues así, por diferencia de rumbos se calcula en cada punto el valor de ángulo interior, correctamente, aunque haya alguna atracción local. Con esto se logra obtener los ángulos interiores de polígono, verdaderos a pesar de que haya atracciones locales, en caso de existir, sólo producen desorientación de las líneas. El procedimiento usual es:
Se miden Rumbos hacia atrás y hacia delante en cada vértice. (Rumbos Observados).
A partir de éstos, se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos, en cada vértice.
Se escoge un rumbo base ( que pueda ser el de un lado cuyos rumbos directos e inverso hayan coincidido mejor).
A partir del rumbo base, con los ángulos interiores calculados se calculan nuevos rumbos para todos los lados, que serán los rumbos calculados.
Tránsito
El "tránsito", es el aparato universal para la Topografía, debido a la gran variedad de usos que se le dan. Puede usarse para medir y trazar ángulos horizontales y direcciones, ángulos verticales, y diferencias en elevación; para la prolongación de líneas; y para determinación de distancias. Aunque debido a la variedad de fabricantes de tránsitos éstos difieren algo en cuanto a sus detalles de construcción, en lo que respecta a sus características esenciales son sumamente parecidos.
Un tránsito para ingenieros, completo, que es el tipo más común, consiste de un disco superior o disco del vernier, al cual está unido un armazón
con dos patas en forma de "A" que soportan el anteojo; y de un disco inferior al cual está fijo un círculo graduado o limbo horizontal. Los discos superior e inferior están sujetos a ejes interior y exterior, respectivamente, concéntricos, y los dos coincidiendo con el centro geométrico del círculo graduado. El carrete o eje exterior se encuentra asentado en un hueco cónico de la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo una articulación de rodilla que fija el aparato al plato de base, pero permitiendo la rotación, quedando la misma articulación como centro.
Cuando se gira el disco inferior, su carrete, exterior, gira dentro de su propio soporte en la cabeza de nivelación, y a éste movimiento se le llama MOVIMIENTO GENERAL. Este carrete exterior del disco inferior puede fijarse en cualquier posición apretando el tornillo de sujeción inferior o tornillo del movimiento general. De un modo similar, el eje inferior que queda dentro del carrete exterior, puede fijarse a éste por medio del tornillo sujetador superior. El movimiento de un disco con respecto al otro (disco del vernier y disco olimbo de la graduación) es lo que se llama MOVIMIENTO PARTICUALAR , y el tornillo superior mencionado es el tornillo del movimiento particular. A cada disco pueden dársele movimientos pequeños y lentos, accionando los tornillos del movimiento tangencial o de aproximación, pero éstos tornillos solo trabajan cuando está apretado el tornillo que fija el movimiento. El eje geométrico alrededor del cuál giran ambos ejes se denomina eje vertical del aparato o eje azimutal.
Los niveles del limbo horizontal se encuentran montados formando ángulos rectos entre ellos, quedando a veces uno sobre el disco y otro en uno de los soportes del telescopio. Tienen por objeto nivelar el aparato, de tal modo que en el plano en el que se encuentra el círculo horizontal queda realmente horizontal cuando se hagan lecturas.
Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el plato de base. cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre la articulación de rodilla, cuando todos los tornillos de nivelación se encuentran flojos no habrá presión contra el plato de base y el tránsito puede moverse lateralmente con respecto al plato.
Del extremo del eje, y justamente en el centro de curvatura de la articulación, se encuentra suspendida una cadena con una gancho para colgar la plomada.
El aparato se monta en un tripié atornillado el plato de base al cabezal del tripié.
El anteojo se encuentra en un eje horizontal transversal que descansa sobre los soportes mencionados antes, en forma de "A". Puede girarse alrededor de este eje horizontal, y podrá fijarse en cualquier posición en un plano vertical apretando el tornillo sujetador. Pueden hacerse pequeños movimientos del anteojo alrededor del eje horizontal accionado
su tornillo tangencial. Unido al eje horizontal se encuentra el círculo vertical. El anteojo tiene generalmente un nivel en su parte inferior.
La mayoría de los aparatos vienen dotados de una brújula sobre el disco superior. Si el círculo de la brújula es fijo, sus puntos Norte y Sur se encontrarán en el mismo plano vertical de la visual del anteojo. En muchos casos el círculo de la brújula puede girarse con respecto al disco superior, para marcar la declinación magnética, y leer directamente orientaciones verdaderas. A un lado de la brújula se encuentra un tornillo, ó seguro de la aguja, para apretarla cuando no está en uso, evitando así que se pueda doblar su pivote de apoyo con los movimientos que sufre el aparato al transportarlo.
En resumen, las características fundamentales de éste aparato son:
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El centro del tránsito puede colocarse con toda precisión sobre un punto determinado, aflojando todos los tornillos de nivelación y moviéndolo lateralmente dentro de la holgura que permite el plato de base.
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El aparato puede nivelarse con los niveles del limbo, accionando los tornillos niveladores.
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El anteojo puede girar tanto alrededor del eje vertical como del horizontal.
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Cuando el tornillo sujetador inferior (Tornillo del movimiento general) se encuentra apretado (particular) flojo, al girar el aparato alrededor del eje vertical, no habrá movimiento relativo entre el vernier y el círculo graduado.
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Cuando el tornillo sujetador inferior (Tornillo del movimiento general) se encuentra apretado y el superior (particular) flojo, al girar el aparato alrededor del eje vertical, el disco del vernier gira, pero el círculo graduado se mantendrá fijo.
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Cuando ambos tornillos se encuentran apretados el aparato no podrá girar alrededor del eje vertical.
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El anteojo puede girarse alrededor de su eje horizontal y fijarse en cualquier dirección en una plano vertical, apretando el sujetador y afinando la posición con el tornillo del movimiento tangencial del mismo.
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El anteojo puede nivelarse mediante su propio nivel, y podrá emplearse así como un aparato de nivelación directa.
Con el círculo vertical y su vernier, pueden determinarse ángulos verticales y por tanto puede emplearse para nivelaciones trigonométricas.
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Con la brújula pueden determinarse orientaciones magnéticas.
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Con el círculo horizontal graduado y el vernier, pueden medirse ángulos horizontales.
Indicaciones para centrar el Tránsito
1.- Colóquese el aparato cerca del puente, con las patas abiertas y la altura que acomode. Haciendo caso omiso del punto, muévase las patas que el plato quede aproximadamente nivelad. En terreno inclinado pueden alargarse o acotarse una o dos patas para lograr esto, o levantar dos patas para que apoyado en una pueda fácilmente colocar como convenga.
2.- Levántese el aparato completo sin cambiar la posición relativa de las patas y del plato.
3.- Colóquese nuevamente en el suelo, procurando ahora sí, que la plomada queda casi sobre el punto, más o menos a 2 ó 3 centímetros. después puede acercarse más aún la plomada, hasta 1 ó 2 cm del punto, moviendo las patas, o alargándolas y acortándolas ligeramente según convenga.
4.- Si es necesario pueden moverse una o mas patas en arco de círculo para nivelar a ojo el plato, sin que este movimiento afecte prácticamente la posición de la plomada.
5.- Encájense con firmeza en el terreno para asegurar la permanencia del aparato en su posición, pero cuidando que la plomada quede finalmente como estaba, a 1 o 2 cm del punto, y el plato casi a nivel.
6.- Ahora ya que se puede sentar la punta de la plomada exactamente sobre el punto, aflojando dos tornillos niveladores adyacentes para que la cabeza niveladora pueda desplazarse horizontalmente. Este movimiento horizontal tiene aproximadamente 2 cm de juego. Una vez centrado el aparato se aprietan nuevamente los tornillos niveladores y se procede a nivelarlo cuidadosamente.
Los niveles son de frasco tubular generalmente. Su sensibilidad depende del radio de curvatura del frasco.
Al centrar la burbuja en las marcas del frasco, la línea imaginaria tangente al frasco en el centro de él quedará horizontal; esta línea es la se llama DIRECTRIZ del NIVEL. El radio de curvatura al centro del frasco, es normal a la directriz, y quedará vertical al centrar la burbuja.
Para nivelarlo, los niveles del limbo graduado horizontal se colocan aproximadamente según la dirección de los tornillos niveladores diagonales
opuestos. Al nivelar el aparato la burbuja se mueve según la dirección del pulgar izquierdo al girara los tornillos niveladores.
Los tornillos deben moverse en sentidos opuestos al mismo tiempo, primero dos y luego los otros dos de la diagonal normal, para nivelar el otro nivel.
Los aparatos de 3 tornillos se nivelan operando primero dos de ellos y luego con el otro solamente.
El Anteojo
El anteojo o telescopio puede girar totalmente en su eje hasta quedar invertido. Esta cualidad es la que lo caracteriza y le da del nombre de " Tránsito" por su semejanza con los telescopios astronómicos que pueden girar así para observar en tránsito de las estrellas por el meridiano del lugar. Los Teodolitos antiguos no tenían esta característica. En la actualidad también se les llama Teodolitos a aparatos semejantes pero de mayor precisión para trabajos especiales.
En el interior del tubo del anteojo está el sistema óptico que le da el poder amplificador. El poder amplificador, según los diversos aparatos, varía entre 18 y 30 diámetros generalmente. Como parte muy importante del anteojo está la RETICULA de hilos, que sirve para precisar la visual que se dirige. Puede estar hecha con hilos pegados a un anillo metálico citado. Este anillo es de diámetro ligeramente menor que el del tubo para permitir que se mueva dentro de él, y se fija al tubo mediante 4 tornillos generalmente; esto permite el poder acomodar la retícula en su posición correcta.
La retícula de los tránsitos consta de un hilo vertical, y el horizontal de en medio son los hilos principales. La línea imaginaria definida por el punto donde se cruzan los hilos principales y el centro del ocular, es la visual principal con que se trabaja y se le denomina LINEA DE COLIMACIÓN. Los otros dos hilos horizontales sirven para la determinación indirecta de distancias, lo cual se verá más adelante; se les llama "hilos de estadía".
Lo primero que debe hacerse al emplear el anteojo es enfocar con toda claridad los hilos de la retícula, moviendo el ocular, para acercarlo o alejarlo, ajustándolo a la agudeza visual del operador. Después ya se pueden enfocar los objetos que se visen a las diversas distancias, mediante el tornillo de enfoque correspondiente, que queda encima o a un lado del anteojo.
Con algunos anteojos la imagen se ve invertida, y otros tienen un juego inversor de lentes para enderezarla. Algunos fabricantes prefieren no emplear el juego inversor para mayor claridad, en aparatos de precisión mayor.
El anteojo puede utilizarse en POSCIÓN DIRECTA, que es cuando queda apuntado viendo en la dirección de la marca del Norte de la caja de la Brújula; en esta posición, el nivel del anteojo queda abajo, en la mayoría de los aparatos, y también puede usarse en POSICIÓN INVERSA, que es la contraria. El giro que se le da al anteojo para pasar de una posición a otra es lo que se llama VUELTA DE CAMPANA.
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados, se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para los ángulos horizontales, los aparatos en su mayoría tienen dos vernieres, colocados a 180° uno del otro. En medidas requieren buena precisión deben aplicarse ciertos sistemas de medición de ángulos para prevenir posibles errores de construcción de los aparatos, desajustes, defectos en las graduaciones y excentricidades de los vernieres o de los ejes.
Condiciones que debe un tránsito y ajustes que se le hacen.
Nota.- Los ajustes deben hacerse precisamente en orden para no desarreglar una condición al ajustar otra.
1.- Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser perpendiculares al eje vertical o Azimutal.
Se revisa y corrige cada nivel por el procedimiento de doble posición:
Se nivela, se gira 180°, y si la burbuja se desplaza, lo que se separa del centro es el doble del error. Se corrige moviendo la burbuja, la mitad con los tornillos niveladores. La operación se repite hasta lograr el ajuste, es decir, que no se salga la burbuja del centro, al girarlo 180°.
2.- Los hilos de la Retícula deben ser perpendiculares a los ejes respectivos. Por construcción los hilos deben ser perpendiculares entre sí, pero conviene rectificarlo cuando la retícula es de hilos, (no es necesario esto cuando son líneas grabadas en cristal).
Se revisa enfocando un punto fijo, coincidiendo en el extremo de uno de los hilos de la retícula: se aprietan los movimientos y se gira lentamente el aparato con uno de los tornillos de movimiento tangencial. El punto debe verse coincidiendo con el hilo hasta el otro extremo.
Si el punto se separa del hilo, deberá enderezarse la retícula aflojando los tornillos que se sujetan al tubo, moviéndola y apretándolos nuevamente. puede hacerse esto con uno o con los hilos, vertical y horizontal.
3.- No debe existir error de paralaje en el anteojo, lo cual se descubre observando si un objeto enfocado, cambia de posición con respecto a la retícula al moverse el observador en el campo del ocular. se corrige ajustando el enfoque de la retícula y del objetivo que es lo que produce el defecto óptico. esto no es realmente desajuste de aparato.
4.- La línea de colimación debe ser perpendicular al eje horizontal o de alturas.
Medida de Ángulos
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Simple
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Por repeticiones Por reiteraciones
Medida Simple.-
Puede hacerse marcando el cero de la graduación para ver el extremo de una línea, girando después para ver la otra línea y leyendo en el vernier simplemente.
Medida por Repeticiones.-
Consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando las lecturas, o sea, que el punto que primero se visó se vuelve a ver cada vez teniendo la lectura anterior marcada. Esto tiene por objeto ir acumulando pequeñas fracciones que no se puedan leer con una lectura simple por ser menores que lo que aproxima el vernier, pero acumuladas pueden ya dar una fracción que sí se puede leer con dicho vernier.
Por ejemplo, supongamos que se va a medir un ángulo entre dos líneas que están abiertas 20°11'17", con un aparato de aproximación =01'. Los 17" no se podrán apreciar con una medida simple, pero cada vez que se gira el tránsito, quedan incluidos y se van acumulando hasta sumar un minuto, o excederlo, y ese minuto sí lo acusa el vernier.
Primera medida : 20°11' (17")
Segunda medida : 40° 22' (34")
Tercera medida : 60° 33' (51")
Cuarta medida : 80° 44' (68") , se leerá 80°45'
Así, el ángulo repetido 4 veces, la última lectura arrojó un minuto más, y su valor obtenido será (80°45')/4 = 20°11'15" que se aproxima más al valor verdadero, y se obtuvieron segundos con el mismo aparato. se entiende que al valor verdadero, que desconocemos, no se llega salvo en casos especiales de múltiplos de segundos que acumulen minutos cerrados, pero sí se logra un valor más aproximado a la realidad.
Con este procedimiento la aproximación del aparato se divide entre el número de repeticiones, es decir, aumenta la aproximación. Pero como al girar el aparato varias veces en el mismo sentido, por la fricción del limbo se puede arrastrar algo la graduación, esto hace que se pierda la aproximación después de varios giros, debido a lo cual se recomienda que el número máximo de repeticiones sea de 5, o 7.
Medida por reiteraciones.-
Con este procedimiento los valores de los ángulos se determinan por diferencias de direcciones. El origen de las direcciones puede ser una línea cualquiera ó la dirección Norte.
Se aplica éste procedimiento principalmente cuando el tránsito es del tipo que no tiene los dos movimientos, general y particular, que permite medir por repeticiones, ó cuando hay que medir varios ángulos alrededor de un punto , pero también se aplica con aparatos repetidores.
Conviene tomar cuando menos dos orígenes diferentes, ó mejor, tomar tantos orígenes como líneas concurran a la estación.
Cuando se mide un solo ángulo, se va cambiando la lectura de origen alrededor de toda la graduación, tantas veces como reiteraciones se vayan a hacer, así, si se van a hacer 5 reiteraciones, los orígenes para medir serán: 0, 72, 144, 216, 288.
Con este sistema se utiliza toda la graduación del limbo horizontal para prevenir cualquier error de ella, y el general,
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Del aparato
para prevenirse de fallas
Del Excentricidad al centrar
De lectura de vernier
Medir en Posición Directa y en Inversa
Conviene:
Leer en los dos vernieres
También cada ángulo puede medirse por repeticiones, y en el registro se anotará entonces en cada ángulo, la 1a. y la última lectura.
En esta forma se obtienen varios valores de los ángulos leídos directamente, y también otros valores por diferencias entre los ángulos alrededor del vértice. El valor más probable de cada ángulo será el promedio de los valores obtenidos.
Trazo de ángulos con tránsito.-
Cuando se requiere trazar un ángulo con un aparato de aproximación (a), si se hace un trazo simple el ángulo marcado puede tener un error que queda entre (+a/2) y (-a/2), por lo cual, el procedimiento que conviene seguir es como sigue:
1°.- Se traza
2°.- Se mide por Repeticiones
3°.- Se calcula la corrección lineal que a la distancia d, hay que hacer para variar la diferencia angular encontrada con las repeticiones.
Corrección Lineal, C = d tan alfa alfa= corrección angular
Ejemplo:
Si se requiere trazar un ángulo de 46°24' con un aparato de a = 01', el trazo simple puede quedar entre 46° 23' 30" y 46° 24' 30". Entonces, si se mide por repeticiones y da 46° 24' 20", habrá que mover la marca colocada, una distancia d tan 20".
Teoría de los Errores
Al hacer varias observaciones de una cantidad (medición de ángulos o medición de distancias), se obtienen en general valores diferentes a causa de los ERRORES ACCIDENTALES.
Los errores sistemáticos no intervienen en este análisis.
suponiendo que se hagan (n) medidas, se tiene lo siguiente.
Valor Obtenido Errores
1a. Medida: a1 e1 = M - a1
2a. Medida: a2 e2 = M - a2
3a. Medida: a3 e3 = M - a3
------------------------------------------------------------
n. Medida: an en = M - an
1a. Medida: a1 e1 = M - a
-------------------------------------------------------------
Valor mas probables( a1 + a2 + a3 + ..........+ an) / n
E errores accd. = E total = ± e1 ± e2 ± e3 ± ..........± en
Para evitar la ambigüedad de signo se eleva al cuadrado, y como los dobles productos se eliminan, pues con igual probabilidad pueden ser (+) ó (-) y su suma tiende a cero, se pude poner:
ET 2 = e12 + e22 + e32 + ............en2
Error medio cuadrático, es el que se puede sustituir en todas las (e) dando la misma suma.
En lugar de (n) se pone (n-1) para generalizar la fórmula, pues en el caso de una sola observación: M = a1, y e1 = M - a1 = 0, y entonces resulta que Em2 = 0, lo cual no es cierto, pues en este caso el problema es indeterminado.
Y así, para una sola observación resulta 0/0 que es el símbolo de la indeterminación.
En una serie de medidas, el error residual que no se compensó, es proporcional a la raíz cuadrada del numero de oportunidades de que ocurra el error medio, o sea del número de observaciones.
También se considera que la tolerancia o error máximo admisible es, 2ET, pues solo hay 5% de probabilidades de que ocurra un error doble del medio, según el cálculo de Probabilidades.
Todo lo anterior supone que las medidas fueron hechas en igualdad de circunstancias, es decir, que todas tienen igual Peso. "Peso" es el grado de confianza que tiene una medida.
Puede asignarse arbitrariamente ó
Para cada medida: el Peso
Puede ser el resultado del número de observaciones.
Y también puede ser una combinación de ambas circunstancias.
El observador puede asignar arbitrariamente el Peso a las medidas que haya hecho, según su criterio, basándose en las condiciones y circunstancias bajo las cuales se hicieron esas medidas ( Aparatos buenos, nuevos, desajustados, usados, malos, etc.; Operadores experimentados, cuidadosos, honrados, responsables, novatos, descuidados, desinteresados, etc.; y Condiciones Climatológicas, desfavorable, viento, calor excesivo, polvo, frío, neblina, oscuro, lluvioso o satisfactorias o desfavorables). Así simplemente puede estimar, por ejemplo, que una medida le inspira el doble o el triple de confianza que otra, con lo cual resulta que si a esa otra le asignemos Peso P = 1, la primera citada tendrá P = 2 ó P = 3. Esta relación de pesos es relativa, pues lo mismo resultaría si se le dará a la otra P = 2 y a la primera P = 4 ó P = 6.
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En el caso de que se hagan varias observaciones para las medidas, los pesos de cada una serán DIRECTAMENTE proporcionales al número de observaciones o medidas (n). Así por ejemplo, si una medida se tomó una vez y otra cuatro veces, sus pesos respectivos serán 1 y 4.
P1 ÷ n1 = P2 ÷ n2 .................
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Esto trae como consecuencia que, como los Errores probables son inversamente proporcionales al número de observaciones, los pesos son también inversamente proporcionales a los Ep de cada medida.
Ep1 ÷ Ep2 = P2 ÷ P1
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En otras palabras, si el error probable de una medida es pequeño, su peso será mayor al compararlo con otras medidas con errores más grandes.
AGRIMENSURA
La Agrimensura estudia la medición y división de superficies de terrenos.
Superficies.
Las superficies encerradas dentro de los polígonos pueden calcularse:
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Por Triangulación del polígono.
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Por coordenadas
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Mecánicamente( con planímetro )
El procedimiento de triangular el polígono sólo se emplea para trabajos de dimensiones reducidas y donde se pueden medir las diagonales y formas los triángulos, como en los levantamientos con cinta exclusivamente.
Por Coordenadas.- Este es el método más empleado. La fórmula general se obtiene formando con cada lado, cuyas bases son las (x) de los vértices y sus alturas las diferencias de (y) en cada uno; así se obtendrá la fórmula aunque podría igualmente hacerse con las (y) como bases y la diferencia de (x) como la altura.
El sistema llamado DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS, (DDM) es en esencia lo mismo que el de coordenadas.
Tomando el eje (y) como meridiano, la (x) de cada vértice será su distancia al meridiano, y la superficie de un trapecio formado por un lado será:
sup. = 1/2 (dist. de un extremo + dist. del otro extremo) Proy. y del lado.
El término entre paréntesis es la DDM del alto.
Este sistema es adecuado para emplearlo con máquina calculadora, pues al ir calculando en orden las DDM, no hay que borrar en la máquina, pues la DDM del alado anterior sirve para calcular la siguiente, ya que la DDM de un lado = (DDM del lado anterior) - (x del vértice anterior) + (x del vértice siguiente).
Finalmente, tabulando las DDM, la suma de sus productos por la proyección en Y de cada lado nos da el doble de la superficie del polígono. El signo de los productos, que se separan en dos columnas, lo da el signo de la proyección en Y.
Mecánicamente.- También se pueden determinar superficies mecánicamente, con planímetro. Este procedimiento es útil, especialmente cuando la superficie que se necesita determinar está limitada por un perímetro irregular, con curvas y rectas, y a veces sin forma muy precisa.
Hay dos clases de planímetros: Polar y Rodante. El Polar es el que más se emplea por ser sencilla su operación, y a él se hará referencia únicamente.
El planímetro Polar, como se ve en la figura, se apoya en tras puntos: el polo fijo (P) la rueda integrante (R), y la punta trazadora (T). El brazo polar se engancha al armazón del planímetro. El brazo trazador (A) tiene marcada una graduación para ajustar su longitud, marcándola con el índice (J) según la escala del dibujo que se tenga. Este brazo (A) se fija en la posición deseada con el tornillo (B) y el tornillo de aproximación (C).
El tambor graduado (D) de la rueda (R) tiene 100 divisiones, y se lee en ellas mediante un vernier (E). El disco (F) está acoplado al tambor para registrar vueltas de éste; el disco da vuelta por diez del tambor. Sobre el disco se lee con un índice, después el tambor marca centésimos de vuelta de la rueda, y con el vernier se obtienen milésimos.
Para determinar una superficie, se coloca la punta del polo en el lugar que convenga y el peso (W) la mantiene en su posición. La punta trazadora se coloca en un punto determinado del perímetro, y en esa posición se hace que el tambor marque cero, o mejor se toma la lectura que este marcando, la cual es la lectura inicial. Después se sigue el contorno con la punta trazadora hasta volver al punto de origen con toda precisión, y se toma la lectura fina. El movimiento de la punta trazadora al seguir el perímetro deberá ser siempre en el sentido del reloj. Si el polo queda fuera de la figura, la lectura final será mayor que la inicial, y la diferencia de lectura es proporcional a la superficie descrita. El factor de proporcionalidad a la superficie descrita. El factor de proporcionalidad, que es la constante del aparato, el producto de la longitud del brazo trazador por la circunferencia de la rueda integrante.
Al mover el perímetro para obtener una superficie, la rueda a veces gira y a veces sólo se desliza en ciertas posiciones. Hay una cierta distancia fija, del polo a la punta trazadora, a la que, si se describe una circunferencia, el tambor no gira, o sea que no registra ésta superficie. Por esta razón, si el polo del aparato se coloca dentro de la figura cuya superficie se va a determinar, la diferencia de lecturas que se obtiene corresponderá únicamente a la superficie que quede del círculo de "área cero", y a veces resultan lecturas positivas y a veces negativas.
Debido a lo anterior, lo más conveniente es colocar el polo fuera de la figura, y si ésta es grande, se puede dividir en varias fracciones y determinar sus superficies por separado.
Para cada perímetro debe determinarse la constante por la que hay que multiplicar la diferencia de lecturas para obtener la superficie. La mejor forma de hacerlo, es dibujar una figura regular de su perímetro. La operación se puede repetir varias veces para promediar los valores de la constante, se puede hacer por tanteos, modificando la longitud del brazo trazador.
La precisión en la determinación de superficies con planímetro depende en gran parte de la habilidad del operador para seguir el contorno con la punta trazadora. Si la figura es grande el error relativo en la superficie será pequeño, y viceversa. Ordinariamente, en pequeñas figuras, el error que puede tenerse en la superficie es del orden del 1%, y en figuras muy grandes el error puede ser quizás 0.1% á 0.2%.
Precisión de los cálculos en que intervienen Funciones Trigonométricas
Las distancias, alturas u otros valores calculados trigonométrica mente, resultarán con cierta precisión dependiendo de la aproximación de los ángulos y de la función trigonométrica empleada. La presesión que dan las funciones es variable según el valor del ángulo.
La tabla siguiente ilustra las precisiones que se obtienen al calcular con determinadas funciones y según la aproximación de los ángulos.
De la tabla se puede deducir, por ejemplo, que si se debe utilizar el SENO de un ángulo de 45° aproximadamente, y se requiere el resultado con una precisión de 1/10.000, el valor de ángulo debe tener una aproximación del ángulo de ± 20",
si se utiliza la TANGENTE la aproximación del ángulo deberá ser ± 10" para obtener la máxima precisión en el cálculo.
Es por eso que esto resulta muy poca precisión en los cálculos cuando se emplean senos, tangentes o cotangentes de ángulos pequeños, y lo mismo cuando se utilizan cosenos, tangentes o cotangentes de ángulos cercanos a 90°. Para estos casos la aproximación de los ángulos deberá ser mucho mejor que para los casos usuales.
Plancheta
Es un aparato muy efectivo para levantamientos topográficos que requieren configuración y detalles del terreno. Consiste en un tripié en el cual se monta un restirador de dibujo que puede ser nivelado y girado para orientarlo convenientemente. Sobre el restirador se fija el papel, el cual se dibuja el levantamiento directamente en el terreno. Las visuales se toman mediante la ALIDADA que se coloca sobre la mesa de dibujo. Consiste la alidada de un anteojo similar al de un Tránsito, con su eje de alturas descansando en un soporte tipo (Y), cuyo postes apoya a su vez rígidamente en una regla.
En algunas alidadas el tubo del anteojo puede girar dentro de una abrazadera, en otras el anteojo está rígidamente unido al eje de alturas. Siendo la línea de colimación del anteojo paralela a la arista de la regla, las visuales se dibujan inmediatamente con la regla.
La cabeza del tripié a la que se fija el restirador, tiene generalmente unos tornillos de mariposa, que corresponden respectivamente al movimiento de rodilla para nivelar y al movimiento horizontal. En otros aparatos el montaje y los movimientos son semejantes a los de un tránsito. Para nivelar el restirador se emplea un nivel circular que está fijo en la regla de la alidada. También generalmente la alidada tiene una aguja magnética dentro de una caja, lo que constituye el "declinador" para auxiliar en la orientación; este dispositivo solo sirve para marcar la dirección Norte - Sur magnética.
Como el anteojo no tiene nivel como el Tránsito, para revisar y ajustar el aparato, se emplea como accesorio separado un nivel que se le puede montar, llamado "nivel montante".
Las alidadas vienen dotadas de un nivel de control para el vernier del círculo vertical. Este nivel viene unido al vernier mediante un brazo, y pueden moverse ambos conjuntamente con un tornillo de movimiento tangencial, independientemente del movimiento del anteojo. Es de gran utilidad este nivel de control, porque aunque el restirador se nivele, fácilmente se desnivela al estar trabajando y la inclinación que sufra se compensa moviendo el vernier para modificar la lectura del ángulo vertical; este movimiento del vernier se hace con el tornillo tangencial hasta sentar la burbuja del nivel de control. Así, para cada visual, antes de leer el ángulo debe centrarse la burbuja del nivel de control.
Para facilitar el trabajo en el campo, donde se debe dibujar inmediatamente, casi todas las planchetas vienen dotadas de algún dispositivo para reducir de inmediato las lecturas de estadía, a distancia horizontales y desniveles en función del ángulo vertical. Un dispositivo común en aparatos norteamericanos es el
círculo BEAMAN, que consiste en unas escalas especiales, una para distancias horizontales y otra para desniveles, grabadas en el mismo círculo vertical del aparato, y en las cuales se lee mediante unos índices fijos. estas escalas, "HOR" y "VERT", marcan PORCENTAJE DE LA DISTANCIA INCLINADA (C x A), para obtener (D) y (H) respectivamente.
Comúnmente en las alidadas, cuando el anteojo está nivelado se lee 50 en la escala para desniveles ("VERT") y entonces, para obtener el porcentaje que debe usarse hay que restarle 50 a la lectura. El objeto de esto, es que para ángulos de depresión en los cuáles se tienen lecturas menores de 50, al restarles esta cantidad, el porcentaje resulte con el signo negativo, correspondiendo a un desnivel negativo hacia el punto visado. Cosa semejante sucede con el vernier para leer ángulos verticales, el cual marca 30 estando el anteojo nivelado, o sea que para obtener el ángulo vertical deben restarse 30 grados a la lectura, y así los ángulos de depresión resultan negativos automáticamente.
Cabe recordar que las lecturas en la graduación del círculo Beaman, al igual que las de ángulos verticales, deben hacerse después de centrar la burbuja del nivel de control. Las constantes de estadía de las alidadas se determinan en igual forma que en los tránsitos.
Otro aditamento, que no siempre tienen las planchetas por su poca aplicación, es la plomada con falsa escuadra. Sirve para hacer coincidir exactamente el punto-estación con el punto del dibujo correspondiente. Esto es en general un refinamiento innecesario, pues a las escalas a que se trabaja y con la aproximación que da la estadía para las distancias, es despreciable el error por no estar centrado.
Para centrar la plancheta, primero se orienta aproximadamente el restirador a la posición que finalmente tendrá, y luego se mueve con todo y tripié, paralelamente a esa posición, hasta quedar aproximadamente el punto del dibujo sobre el punto en el terreno, y si se quiere comprobar se deja caer una piedrita desde un lugar que quede debajo del punto del dibujo, la cual deberá dar el punto del terreno.
Orientar la plancheta.- Es hacer que las líneas del dibujo queden paralelas o coincidiendo con sus correspondientes del terreno.
Plancheta Centrada y Orientada.- Casi siempre el trabajo de plancheta se apoyo sobre un sistema de control previamente establecido, el cual se lleva ya dibujado en el papel y es el que sirve para orientar. Centrada la plancheta en un punto de una línea, se hace coincidir la regla con esa línea en el dibujo, y luego se gira el restirador hasta ver con el anteojo otro punto de la línea en el terreno, y al lograrlo quedará orientada.
También puede orientarse la plancheta usando el declinador para hacerla coincidir con una línea Norte-Sur, o mediante el procedimiento de tres vértices que se estudiará más adelante.
Aplicación de la Plancheta.-Se usa preferentemente para obtención de curvas de nivel, pues es donde es más eficiente. Cuando en un trabajo, la mayoría de puntos por situar son detalles especiales importantes, con poco trabajo de configuración, se prefiere hacerlo con Tránsito.
Los polígonos, cuadrículas o triangulaciones en que se apoya el trabajo de plancheta se levantan por separado con tránsito.
Se utiliza mucho para configurar apoyándose en una cuadrícula trazada en el terreno, pues quedan definidas las zonas por cubrir con cada hoja de dibujo, y se van "rellenando" los cuadros con hojas de configuración, que después se hacen coincidir para formar un "mosaico" al unirlas.
Aunque con cualquier papel puede trabajarse, se prefiere usar papeles gruesos, de color, tipo Duplex, o papel especial que resiste el sol y no se deforma con cambios de temperatura.
Las deformaciones por temperatura son muy importantes cuando se fijan puntos y se dibuja, en el campo, son diferentes a las condiciones en que después se usarán las hojas para los estudios y proyectos. Actualmente se están empleando películas de poliéster, principalmente el llamado Mylar, en sustitución de las hojas especiales de papel para la plancheta. Este material tiene deformaciones mínimas y gran graduación.
Ventajas de la Plancheta.-
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El dibujo se hace a la vista del terreno, resultando una reproducción más fiel y completa que con tránsito.
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No se miden ángulos horizontales ni se lleva registro, ahorrándose tiempo y evitando fuentes de errores.
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Cualquier error o equivocación se descubre en el campo y puede corregirse de inmediato.
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Se requieren menos puntos para configurar que con tránsito.
Desventajas.-
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Es un aparato más pesado y molesto para transportar.
Requiere más trabajo de campo que con tránsito.
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El observador debe ser más diestro para este trabajo.
La aproximación del trabajo es menor que con tránsito.
Condiciones que debe reunir una Plancheta, y ajustes que se le hacen.-
Las condiciones y ajustes son semejantes a los del Nivel Americano y a los del tránsito. No se necesitan afinarse tanto como los del Tránsito, pues como el
anteojo no se invierte, no hay gran error por la falta de perpendicularidad entre la línea de colimación y el eje de alturas .La orilla de la regla con que se dibuja no está en el mismo plano vertical de la línea de culminación, pero el error es despreciable por las escalas grandes a que se dibuja, y si no son paralelas entre sí, lo único que sucede es que el dibujo queda desorientado pero correcto, pues todo guarda una relación constante.
Para alidadas cuyo anteojo pueda girar dentro de su abrazadera, las condiciones y ajustes son:
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La directriz del nivel de la regla debe ser paralela a la base de ella. Se revisa y corrige por doble posición, invirtiendo la alidada 180°, sin girar la mesa.
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El hilo vertical de la retícula debe ser perpendicular al eje de alturas del anteojo. Se revisa y corrige igual que el Tránsito.
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La línea de colimación debe coincidir con el eje del tubo del anteojo. Se revisa y corrige igual que el Nivel Americano, aflojando el tornillo que sujeta el anteojo a la abrazadera, para poder girarlo.
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La directriz del nivel montante debe ser paralela al eje del tubo del anteojo, y por lo tanto a la línea de colimación. Se revisa y corrige, ajustando por doble posición del nivel montante, con la alidada fija.
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El vernier marcará cero cuando esté centrada la burbuja del nivel montante. Se revisa y corrige, ajustando la posición de la placa del vernier con el tornillo que mueve el nivel de control.
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El nivel de control deberá estar nivelado, igual que el montante, cuando el vernier marque cero grados. Se ajusta centrando la burbuja con sus tornillos de corrección.
Cuando la alidada es de tubo fijo (no gira dentro de abrazadera), la línea de culminación se hace paralela a la directriz del nivel montante, por el procedimiento de estaca en el ocular, en vez de las correcciones 3a y 4a, todos los demás ajustes son iguales.
Realizado por:
Santiago Fernando Guevara Naranjo
Jorge Alfredo Fuentes Carvajal
Bajo la tutoría de el Licenciado Geovanni Ninahualpa, Licenciado de la UNIDAD EDUCATIVA TUMBACO, en las materias de "Informática" y " Matemáticas".
ÁnguloDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).
Un ángulo positivo de 45°.
Ángulo de 1°(amplitud de 1 grado sexagesimal).
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Contenido
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1 Definiciones o 1.1 Definiciones clásicas
2 Las unidades de medida de ángulos 3 Clasificación de ángulos
o 3.1 Ángulos convexo y cóncavo 4 Ángulos relacionados 5 Ángulos de un polígono 6 Ángulos respecto de una circunferencia 7 Trisección del ángulo 8 Ángulos tridimensionales
o 8.1 Coordenadas angulares tridimensionales 9 Ángulos en el espacio vectorial 10 Galería de ángulos 11 Véase también 12 Referencias 13 Enlaces externos
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersectaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades) Grado centesimal Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manijas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
Tipo Descripción
Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo
tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor
de 0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de rad
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completoo perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]
Tipo Descripción
Ángulo convexoo saliente Es el que mide menos de rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,reflejo o entrante Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).
Ángulos relacionados
En función de su posición, se denominan:
ángulos adyacentes , los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
ángulos consecutivos , los que tienen un lado y el vértice común, ángulos opuestos por el vértice , aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
En función de su amplitud, se denominan:
ángulos congruentes , aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
ángulos complementarios , aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°, ángulos suplementarios , aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°, ángulos conjugados , aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Ángulos de un polígono
En función de su posición, se denominan:
ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
Trisección del ánguloArtículo principal: Trisección del ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.
Ángulos tridimensionales
El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.
Coordenadas angulares tridimensionales
Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.
Ángulos en el espacio vectorial
Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.
Galería de ángulos
(pi = = 3.141592...)
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4) (3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Áreas de Superficies
un cubo = 6 a2
un prisma: (área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r2
érico
ANEXO:
Figuras geométricasDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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[editar] Figuras de dos dimensiones[editar] Polígonos
Nombre Área interior Perímetro Aristas Vértices Comentarios
Triángulo
b es la longitud de la base, h la altura, a y c la longitud de los otros dos lados
Triángulo equilátero
a es la longitud de un lado
Cuadradoa es la longitud de un lado
Rombo
a es la longitud de un lado, AC la diagonal menor, y BD la diagonal mayor
Rectángulo 2(b + h)
b es la longitud de la base, h es la altura
Paralelogramo 2(a + b)
b es la longitud de la base, a es la longitud del lado no paralelo al anterior, h es la altura
Trapecio a es la longitud de un lado paralelo, c es la longitud del otro lado paralelo, h es la altura, b y d los
otros lados
Pentágono regular
a es la longitud de un lado
Polígono regular
a es la longitud de un lado, b es la apotema del polígono, y n el número de lados
Polígono regular
a es la longitud de un lado, r es la distancia desde el centro a un vértice, n es el número de lados del polígono. El ángulo está en radianes.
[editar] Figuras curvas
Nombre Área Perímetro Comentarios
Círculo donde es la longitud del radio
Elipse es la longitud de un semieje, y la longitud del otro
[editar] Figuras de tres dimensiones[editar] Poliedros
Nombre Volumen Superficie CarasArista
sVértices Comentarios
Cubo a es la longitud de la arista
Tetraedro
a es la longitud de la arista
[editar] Figuras curvas
Nombre Volumen Superficie Comentarios
Cilindror es la longitud del radio, h es la altura
Conor es la longitud del radio, h es la altura
Esfera r es la longitud del radio
Esferoide
siendo a y c los semiejes, estando situado c en el eje de coordenadas z, siendo e la excentricidad de la elipse.
Elipsoidesiendo a, b y c los semiejes del elipsoide.
Toro
r es la longitud del radio interior (circunferencia rotada), y R la longitud del radio de revolución.
Toroide
A es el área interior de la figura generatriz, y R es la longitud del radio de revolución (desde el eje al centro de simetría de la figura generatriz).
[editar] Figuras de cuatro dimensiones[editar] Politopos
Nombre Hiper-volumenHiper-área
Poliedros Caras Aristas Vértices Comentarios
Hipercuboa es la longitud de la arista
Pentácoron
a es la longitud de la arista
[editar] Figuras curvas
Nombre Hiper-volumen Hiper-área Comentarios
Hiperesfera
r es la longitud del radio
[editar] Figuras de n dimensiones
Familia Espacio (n)Espacio (n-
1)Comentarios
Cuadrado, cubo, hipercubo...a es la longitud de una arista, n es la dimensión
Triángulo equilátero, tetraedro, pentácoron...
a es la longitud de una arista, n es la dimensión
Círculo, esfera, hiperesfera...r es la longitud del radio, n es la dimensión
esférica