apuntes de optimizaci n y simulaci n de procesos

8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos

1/64

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

Apuntes deOptimización y Simulación de Procesos

Gabriel E. Santana Rodríguez

Julio 2007


2/64

Contenido

Optimización _________________________________________________________ 1

¿Porqué optimizar? ________________________________________________________ 1

Clasificación de modelos________________________________________________ 1

Función objetivo ______________________________________________________ 1

Características esenciales de los problemas de optimización_______________________ 1

Pasos para la solución de problemas de optimización ____________________________1

Ejemplo 1 ________________________________________________________________1

Ejemplo 2 ________________________________________________________________1

Métodos analíticos_____________________________________________________ 1

Derivación Univariable _____________________________________________________ 1 Primera derivada ________________________________________________________________1 Segunda derivada________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1

Derivación Multivariable ___________________________________________________1 Gradiente ______________________________________________________________________1 Hessiano_______________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1 Ejemplo 3______________________________________________________________________1

Multiplicadores de Lagrange ________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1

Métodos numéricos ____________________________________________________ 1

Fibonacci_________________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1

Sección dorada ____________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1

Simplex __________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1

Ejemplo 2______________________________________________________________________1 Nelder-Mead______________________________________________________________ 1

Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1

Máxima Pendiente _________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1

Programación lineal ___________________________________________________ 1

Método gráfico. ___________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1

Método Simplex ___________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1

i


3/64

Programación geométrica_______________________________________________ 1

Ejemplo de polinomios con términos positivos __________________________________ 1

Ejemplo de polinomios con términos positivos y negativos ________________________1

Programación dinámica ________________________________________________ 1

Ejemplo 1 ________________________________________________________________1

Ejemplo 2 ________________________________________________________________1

Bibliografía __________________________________________________________ 1

ii


4/64

GESR

Optimización [1]

La optimización es el uso de métodos específicos para determinar la solución másrentable y más eficiente a un problema o a un diseño para un proceso. Esta técnica esuna de las herramientas cuantitativas principales en la toma de decisión industrial. Una

amplia variedad de problemas en el diseño, la construcción, la operación, y el análisisde plantas químicas (así como muchos otros procesos industriales) se puede resolver porla optimización.

El objetivo de la optimización es encontrar los valores de las variables en el proceso que produzcan el mejor valor del criterio establecido tal como el costo mínimo. Normalmente existe una compensación entre los costos de capital y de operación.

¿Porqué optimizar?

¿Por qué los ingenieros están interesados en la optimización? ¿Qué beneficios resultande usar este método en vez de tomar decisiones intuitivamente? Los ingenieros trabajan

para mejorar el diseño inicial del equipo y se esfuerzan para mejorar la operación de eseequipo una vez que esté instalado de tal modo que realice la mayor producción, elmáximo beneficio, el costo mínimo, el menor uso de energía y así sucesivamente. Elvalor monetario proporciona una medida conveniente de objetivos diversos, pero notodos los problemas tienen que ser considerados en un marco monetario (costo contrarédito).

En operaciones de planta, las ventajas surgen del funcionamiento mejorado de la planta,

tal como mejores producciones de productos valiosos (o producciones reducidas decontaminantes), del consumo de energía reducido, de velocidades de procesamientomayores y de tiempos más largos entre paros. La optimización puede también conducira costos de mantenimiento reducidos, a menos desgaste del equipo y a una utilizaciónmejor del personal. Además, las ventajas intangibles surgen de las interacciones entreoperadores de planta, ingenieros y la gerencia. Es extremadamente provechosoidentificar sistemáticamente el objetivo, las restricciones y los grados de libertad en un

proceso o una planta, conduciendo a beneficios tales como calidad mejorada del diseño,una localización de averías más rápidamente y más confiables, y una toma de decisiónmás rápida.

Los beneficios pronosticados se deben hacer con cuidado. Las variables de operación ydiseño en la mayoría de las plantas se relacionan siempre de cierta manera. Si la cuentadel combustible para una columna de la destilación es $3000 por día, un ahorro del 5

por ciento puede justificar un proyecto sobre conservación de energía. Sin embargo, enuna operación unitaria tal como destilación, es incorrecto simplemente sumar losservicios del intercambiador de calor y hacer una reducción en el calor total requerido.Una reducción en el servicio de calentamiento del rehervidor puede influenciar en la

pureza del producto, que se puede traducir en un cambio en las ganancias y en losrequerimientos de enfriamiento en el condensador. Por lo tanto, puede ser engañoso nohacer caso de los efectos indirectos y de relación que tienen las variables del proceso enlos costos.

1


5/64

GESR

2

¿Qué hay acerca de la discusión, de que el uso formal de la optimización realmente noestá garantizado debido a la incertidumbre que existe en la representación matemáticadel proceso o de los datos utilizados en el modelo del proceso? Tal discusión tieneciertamente cierto mérito. Los ingenieros tienen que usar un juicio en la aplicación detécnicas de optimización a los problemas que tienen una incertidumbre considerable

asociada a ellos, desde el punto de vista de la exactitud y del hecho de que los parámetros de operación de la planta y los alrededores no son siempre estáticos. Enalgunos casos puede ser posible realizar un análisis vía optimización determinista ydespués agregar características estocásticas al análisis para producir prediccionescuantitativas del grado de incertidumbre. Siempre que el modelo de un proceso seidealice y los datos de la entrada y los parámetros se conozcan aproximadamente, losresultados de la optimización se deben tratar juiciosamente. Pueden proporcionar límitessuperiores a las expectativas. Otra manera de evaluar la influencia de parámetrosinciertos en el diseño óptimo es realizar un análisis de sensibilidad. Es posible que elvalor óptimo de una variable de proceso no es afectado por ciertos parámetros(sensibilidad baja); por lo tanto, tener valores exactos para estos parámetros no será

crucial para encontrar el óptimo verdadero.

Clasificación de modelos

Basados en descripcionesestrictamente empíricas

Provienen de la experiencia como de

reglas heurísticas a consecuencia defalta de tiempo o de recursos.

Basados en la teoría física

Involucra balances de masa y energía,

termodinámica, cinética de lareacción química, etc.

x

)( x f

No linear

x

)( x f

Linear

Estado no estacionario (dinámico)

0≠∂

∂

t

Si hay variación respecto al tiempo.

Estado estacionario (estático)

0=∂

∂

t

No hay variación respecto al tiempo.


6/64

GESR

Parámetro agrupado

0=∂

∂

V

Las variaciones espaciales se ignorany las propiedades del sistema son

iguales en todo el volumen

Parámetro distribuido

0≠∂

∂

V

Existen variaciones espaciales y las

propiedades del sistema son

diferentes en todo el volumen

Variable continua

La variable tiene un número infinito

de valores, por ejemplo, los diferentesvalores de presión y temperatura encada etapa de compresión.

Variable discreta

La variable tiene un número finito de

valores, por ejemplo, el número decompresores.

3

Estocásticos

Son sistemas que funcionan por azar

en función de probabilidades. Porejemplo, la forma que toma el vapor

es aleatoria.

Determinísticos

Son sistemas que exhiben el mismo

comportamiento bajo las mismascondiciones y no suceden al azar. Por

ejemplo, un líquido hervirá bajociertas condiciones.


7/64

GESR

Función objetivo [1]

Formular el problema es quizás el paso más crucial de la optimización. La formulacióndel problema requiere identificar los elementos esenciales de una declaraciónconceptual o verbal de una aplicación dada y organizarlos en una forma matemática

prescrita, a saber,

1. La función objetivo (criterio económico)

2. El modelo de proceso (restricciones)

La función objetivo representa los factores tales como beneficio, costo, energía, y producción en términos de las variables claves del proceso que es analizado. El modelodel proceso y las restricciones describen las correlaciones de las variables clave.

Características esenciales de los problemas de optimización

Debido a que la solución de los problemas de optimización implica varias característicasde las matemáticas, la formulación de un problema de optimización debe utilizarexpresiones matemáticas. Tales expresiones no necesitan necesariamente ser muycomplejas. No todos los problemas se pueden indicar o analizar cuantitativamente, perorestringiremos nuestra cobertura a los métodos cuantitativos. Desde un punto de vista práctico, es importante relacionar correctamente la declaración del problema con unatécnica de solución anticipada.

Una variedad amplia de problemas de optimización tiene estructuras asombrosamentesimilares. De hecho, es esta semejanza la que ha permitido el progreso reciente en lastécnicas de optimización. Los ingenieros químicos, ingenieros petroleros, físicos,químicos e ingenieros de tráfico, entre otros, tienen un interés común en la mismaestructura matemática del problema, cada uno con un diverso uso en el del mundo real.Podemos hacer uso esta semejanza estructural para desarrollar un marco o unametodología dentro de la cual puede ser estudiado cualquier problema.

Cada problema de optimización contiene tres categorías esenciales:

1. Por lo menos una función objetivo que se optimizará (función beneficio, función

costo, etc.)2. Restricciones de igualdad (ecuaciones)3. Restricciones de desigualdad (desigualdades)

Las categorías 2 y 3 constituyen el modelo del proceso o del equipo; la categoría 1 aveces se llama el modelo económico. Por solución factible del problema deoptimización se quiere decir que se trata de un conjunto de variables que satisfacen lascategorías 2 y 3 al grado deseado de precisión.

4


8/64

GESR

Pasos para la solución de problemas de optimización

1. Analizar el proceso para definir las variables de proceso y las característicasespecíficas del interés; es decir, hacer una lista de todas las variables. Puede incluir undiagrama o esquema.

2. Determinar el criterio de optimización (minimizar o maximizar), especificar lafunción objetivo en términos de las variables definidas en el paso 1 junto con loscoeficientes. Este paso proporciona el modelo de optimización (a veces llamado modeloeconómico cuando sea apropiado).

3. Con expresiones matemáticas, desarrolle un modelo válido del proceso o del equipoque relacione las variables de entrada-salida del proceso y los coeficientes asociados.Incluir las restricciones de igualdad y desigualdad. Utilizar principios físicos bienconocidos (balances de masa, balances de energía), relaciones empíricas, conceptosimplícitos y restricciones externas. Identificar las variables independientes ydependientes para obtener el número de grados de libertad.

4. Si la formulación del problema es demasiado grande en alcance:

(a) Divida el problema en partes manejables o,(b) simplifique la función objetivo y el modelo.

5. Aplique una técnica de optimización adecuada a la declaración matemática del problema.

6. Compruebe las respuestas y examine la sensibilidad del resultado a los cambios enlos coeficientes del problema y las suposiciones.

Ejemplo 1

Se desea enfriar un gas [Cp=0.3 Btu/(lb ºF)] de 195 a 90 ºF, usando agua deenfriamiento a 80 ºF. Los costos del agua son $0.20/1000 pies3 y los cargos fijosanuales para el intercambiador son $0.50/pie2 de superficie interna, con un diámetro de0.0875 pies. El coeficiente de transferencia de calor es U=8 Btu/(h pie2 ºF) para ungasto másico de gas de 3000 lb/h. Grafique los costos anuales del agua de enfriamiento

y los cargos fijos del intercambiador como una función de la temperatura del agua desalida. ¿Cuál es el costo total mínimo?

Solución:

Paso 1.

Suposición: Intercambiador de calor de un solo paso por tubos y un solo paso por

coraza en contracorriente y sin cambio de fase.

El perfil de temperatura es:

5


9/64

GESR

195ºF

T0

90ºF80ºF

F pieh

BtuU

F lb

BtuCp

h

lb

m

año pieC

piesC

gas

gas

fijos

agua

º8

º3.0

300

$50.0

$

1000

20.0

2

2

3

=

=

=

=

=

Paso 2.

Minimizar Costos totales como una función de la temperatura del agua de salida.

añoT f Costostotales

$)( 0 ==

Paso 3.

Sumar todos los costos y dejarlos en $/año. Para eso se necesita las ecuaciones quedescriben el proceso:

Suposiciones: Pérdidas de calor despreciables

Se laboran 365 días al año, 24 horas al día.

F lb

Btu

Cpagua º1=

, 34.62 pie

lb

agua =

ρ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

−−−=Δ

Δ=

−=

−=

)8090(

)195(ln

)8090()195(

)90195(

)80(

0

0

0

T

T T

T UAQ

cpmQ

T cpmQ

ml

ml

gasgas

aguaagua

6


10/64

GESR

Los costos son:

año pies A

año pieC

añoaño

h

h

lbm

lb

pie

piesC

fijos

agua

agua

agua

$)($50.0

$)365)(24(1$

1000

20.0

2

2

3

3

==

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

ρ

Donde:

h

lb

T T cp

cpm

T cp

Qm

agua

gasgas

agua

agua =−

−=

−

−=

−=

)80)(1(

)90195)(3.0)(3000(

)80(

)90195(

)80( 000

2

0

0

)8090(

)195(ln

)8090()195()8(

)90195)(3.0)(3000( pies

T

T

T U

Q A

ml

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

−−−

−=

Δ=

Paso 4.

No hay nada que simplificar

Paso 5.

Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable T0.Igualar a cero y encontrar la solución.

=0dT

dC total

5.1200 =T °F

año

$249.40=totalC

Paso 6.

Para comprobar la solución, se puede graficar.

7


11/64

GESR

Ejemplo 2

Un compuesto orgánico se produce en un proceso por lotes donde no se obtiene ningún producto hasta que se termine el procesamiento del lote. Cada ciclo consiste de untiempo de operación necesario para completar la reacción más un tiempo adicional de1.4 h requeridas para descarga y carga. El tiempo de operación por ciclo es igual a1.5P0.25, donde P son los kilogramos de producto producido por lote. Los costos deoperación durante el periodo de operación son $20 por hora, mientras que los costosdurante el periodo de descarga-carga son $15 por hora. Los costos fijos anuales (Cf ) delequipo, varían con el tamaño del lote de la siguiente forma:

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=año

PC f $3408.0

Los cargos por almacenamiento e inventario se pueden despreciar. De ser necesarioasuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año. La producción anual es 106 kg de producto. A esta capacidad, los costos de las materias primas y misceláneas,diferentes a los ya mencionados, son de $260 000 por año. Determine el tiempo delciclo para obtener el mínimo costo anual total.

Paso 1.

1.4 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ciclo

hmuerto tiempo para descarga y carga.

1.5P0.25 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ciclo

hoperación tiempo de operación por ciclo (se asume en horas)

P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ciclo

Kg producto kilogramos de producto producido por lote (1 lote por cada

ciclo)

8


12/64

GESR

20⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

operaciónh

$ Costo durante el periodo de operación

15 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

muertoh

$ Costo durante el periodo de descarga-carga

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

añoPC f

$340 8.0 Costos fijos anuales

106 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

año

Kg producto Producción anual

260 000 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

año

$ Costos de las materias primas y misceláneas

De ser necesario asuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año.

Paso 2.

Minimizar los costos totales anuales en función de la única variable P.

añoP f Costostotales

$)( ==

Paso 3.

Convertir todos los costos a $/año y después sumarlos.

Costo durante el periodo de operación,

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

añoaño

Kg

Kg

ciclo

Pciclo

hP

h

operación

operación

$10

15.1

$20 625.0

Costo durante el periodo de descarga-carga,

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

añoaño

Kg

Kg

ciclo

Pciclo

h

h

muerto

muerto

$10

14.1

$15 6

El costo total es,

Paso 4.

No hay nada que simplificar

9


13/64

GESR

Paso 5.

Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable P.Igualar a cero y encontrar la solución.

=dP

dC total

ciclo

KgP 840.1625=

=totalC año

$

El tiempo de cada ciclo es,

ciclo

h10.94)1.5(1625.81.41.5P4.1 0.250.25 =+=+

El tiempo total al año es,

año

h6704.2

84.1625

109.1010

1

ciclo

h10.9

66 =

⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

año

Kg

Kg

ciclo

P

El tiempo total disponible es de (24)(300)=7200 h/año, es decir, a condiciones óptimasno se requerirá todo el tiempo disponible de operación.

Paso 6.

Para comprobar la solución, se puede graficar.

10


14/64

GESR

Métodos analíticos [2]

Derivación Univariable

Primera derivada. Es la pendiente de una recta y se define como:

h

x f h x f x f

h

)()(lim)('

0

−+=

→

Para una función dada , la pendiente en un punto estacionario (punto mínimo,

máximo o de inflexión) es cero.

)( x f

)( x f

Segunda derivada. Sigue siendo una pendiente, pero su significado es diferente.

La serie de Taylor, es una serie infinita que puede representar una función como:

!

)()(

!2

)()(''))((')()( 00

)(2

00000

n

x x x f

x x x f x x x f x f x f

n

n −++−

+−+= L

Donde: x0 es un punto estacionariox es un punto alrededor de x0

Si la serie se trunca hasta el tercer término,

!2

)()(''))((')()(

20

0000

x x x f x x x f x f x f

−+−+=

!2

)(

)('')()(

20

00

x x

x f x f x f

−+=

)( x

Mínimo

0)(' = x f

0)('Máximo

= x f

0)('

Inflexión

x f =

0 (en un punto estacionario)

11


15/64

GESR

Se despeja ,)('' 0 x f

( )

20

00

)(

)()(!2)(''

x x

x f x f x f

−

−=

En está última ecuación, el término )()( 0 x f x f − varía de signo, los otros términos son

siempre positivos.

Para un mínimo

)( x f

)( x 0 x

Para un máximo

x x

)( x f

)( 0 x f

)( x f

Como :)()( 0 x f x f >

)()( 0 x f x f − siempre es positivo

∴ es un mínimo0)('' 0 > x f

)( x f

)( x 0 x

)( 0 x f

)( x f

x x

Como :)()( 0 x f x f <

)()( 0 x f x f − siempre es negativo

∴ es un máximo0)('' 0


16/64

GESR

El resultado anterior se puede generalizar.

Si el orden de la derivada es un número par (n):

Si f (n)(xopt)>0 se trata de un mínimo

Si f (n)

(xopt

)0 se trata de un punto de inflexiónSi f (m)(xopt)


17/64

GESR

Ejemplo 2

unto estacionario de la función f(x)=x5. Decir de qué tipo se trata.

derivada es,

e la ecuación anterior es x=0.

’(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor

(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor

(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor

(x=0)=120 como el orden de la derivada es impar (m=5), se trata de un punto de inflexión.

Encontrar el p Solución:

La primera

f’(x)=5x

4

=0

La solución d La segunda derivada de la función es,

f’’(x)=20x3 f’ La tercera derivada de la función es,

f (3)

(x)=60x2

)f (3

La cuarta derivada de la función es,

f (4)(x)=120x)f (4

La quinta derivada de la función es,

f (5)(x)=120)

f (5

14


18/64

GESR

La gráfica de l

a función es:

x=0Punto de inflexión

15


19/64

GESR

Derivación Multivariable

Gradiente

El gradiente es la derivada parcial de una función respecto a cada una de las variablesindependientes:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

=∇

n

n

x

f

x

f

x

f

x x x f

M

L2

1

21 ),,,(

Para una función dada , su gradiente en un punto estacionario (mínimo,máximo u otro) es cero.

),,,( 21 n x x x f L

Por ejemplo, para la función: 22 )1()2(),( −+−= y x y x f

Su gradiente es: [ ]T T

y x y

f

x

f y x f )1(2)2(2),( −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂

∂

∂=∇

Su gradiente representa la pendiente de un plano. En el punto mínimo de la función, la pendiente de este plano respecto al eje “x” y “y” es cero

xy

f(x, y)

),( y x f

plano

Hessiano

La serie de Taylor se puede usar para desarrollar el criterio de un mínimo o un máximode una función de dos variables,

L+−

+−−

+

+−

+−+−+=

!2

)(),(!2

))((),(

!2

)(),())(,())(,(),(),(

2

0000000

20

0000000000

y y y x f

y y x x y x f

x x y x f x x y x f x x y x f y x f y x f

yy xy

xx y x

16


20/64

GESR

Donde los subíndices “x”,”y” indican diferenciación parcial respecto a aquellasvariables.

Si truncamos la serie de Taylor hasta los términos de segundo orden y puesto que las primeras derivadas evaluadas en el punto estacionario (x0, y0) son cero:

!2

)(),(

!2

))((),(

!2

)(),())(,())(,(),(),(

20

0000

00

20

0000000000

y y y x f

y y x x y x f

x x y x f x x y x f x x y x f y x f y x f

yy xy

xx y x

−+

−−+

+−

+−+−+=

0 0

!2

)(),(

!2

))((),(

!2

)(),(),(),(

20

0000

00

20

0000

y y y x f

y y x x y x f

x x y x f y x f y x f yy xy xx

−+

−−+

−+=

En forma matricial,

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+=

)(

)()()(

2

1),(),(

0

0

0000 y y

x x

f f

f f y y x x y x f y x f

yy yx

xy xx

Donde:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

yy yx

xy xx

f f

f f es la matriz de segundas derivadas parciales evaluada en el

punto estacionario (x0, y0), a esta matriz se le llama matriz Hessiana.

Para una función de n variables, la matriz Hessiana se puede escribir como,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2

2

3

2

2

2

1

2

3

2

23

2

23

2

13

22

2

32

2

22

2

12

21

2

31

2

21

2

21

2

nnnn

n

n

n

x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x x

f

x

f

H

L

MMMMM

L

L

L

)( 0 x f r

es un mínimo si:

H0 tiene determinantes donde i = 1, 2, …, n0>i D

(H0 se denomina positiva definida)

)( 0 x f r

es un máximo si:

H0 tiene determinantes 0i D

(H0 se denomina negativa definida)

Donde: i, representa el tamaño de la matriz H0 (filas y columnas)

17


21/64

GESR

Si el resultado es cero para cualquier valor de Di, se dice que la matriz es semi-definida positiva o semi-definida negativa, no se puede definir si se trata de un mínimo o unmáximo y por lo tanto se requiere de una derivada de orden mayor para definirlo.

Ejemplo 1

Para una función de dos variables: . Encontrar los puntos

estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda definircomo tal.

22 )1()2(),( −+−= y x y x f

Su gradiente es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂∂

∂

=∇)1(2

)2(2),(

y

x

f

f

y

f x

f

y x f y

x

En el punto estacionario, el gradiente es cero:

0)2(2 =−= x f x

0)1(2 =−= y f y

La solución del sistema de ecuaciones anterior es:

1

2

0

0

=

=

y

x

Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana, es decir:

H= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

−∂

∂

−∂∂

−∂

∂

−∂

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

20

02

))1(2())1(2(

))2(2())2(2(

y

y

x

y

y

x

x

x

y

f

x

f

y

f

x

f

y y

x x

Evaluada en el punto estacionario 1,2 00 == y x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

220 H

La matriz Hessiana es de tamaño i=2, se calcula la determinante de la matriz H0 detamaño (1 x 1) y de (2 x 2), como:

18


22/64

GESR

220

02

2

2

1

==

=

D

D

Como D1 >0 y D2 >0, la matriz H0 es positiva definida, por lo tanto se trata de unmínimo.

0)1,2( 00 === y x f

La gráfica de la función es:

Ejemplo 2

Para la siguiente función: . Encontrar los puntos

estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda definir

como tal.

Su gradiente es:

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂∂

∂

=∇

y

f x

f

y x f ),(


⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

0

0

19


23/64

GESR


Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana:

En el punto 1:

=0 H

=1 D

=1 D

=2 D

=2 D

Como D1 =0 y D2 0 y D2 >0, se trata de un mínimo.

3611.2)91618.0,6541.0( 00 =−== y x f

La gráfica de la función es:

20


24/64

GESR

Ejemplo 3

Para la siguiente función: . Encontrar los

puntos estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda

definir como tal.

Su gradiente es:

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

z f

y f

x f

y x f ),(


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0

00


Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana:

21


25/64

GESR

En el punto estacionario:

=0 H

=1 D

=1 D

=2 D

=2

D

=3 D

=3 D

Como D1 >0, D2


26/64

GESR

Multiplicadores de Lagrange

Se aplica a problemas de optimización multivariable con restricciones de igualdad ydesigualdad

Ejemplo 1

Optimizar: 2121 ),( x x x x f +=

Sujeto a: 01),( 222121 =−+= x x x xh

En tercera dimensión, el problema se ve como:

El plano inclinado es la funciónobjetivo a optimizar que corta alcilindro que es la restricción.

Si se ve desde arriba, obtendremos una gráfica que se llama de contornos

f = 0.7000

f = -0.7000

f = 0.0000

f = 1.4142

f = -1.4142

Cada recta representa un valorconstante de y el valor

óptimo debe estar sobre el círculo(porque es una restricción deigualdad).

),( 21 x x f

De la gráfica anterior se puede ver que el problema tiene dos valores óptimos, unmínimo en )7071.0,7071.0( 21 −=−= x x f =-1.4142 y un máximo en

= 1.4142.)7071.0,7071.0( 21 == x x f

23


27/64

GESR

Sólo en un punto estacionario, los vectores h∇ y f ∇ se pueden relacionarvectorialmente, en este caso:

h

h f ∇=∇ λ

El valor y signo de la variable λ (llamada multiplicador de Lagrange) no tiene ningúnsignificado cualitativo, solo relaciona el gradiente de la función objetivo con elgradiente de las restricciones de igualdad.

Resolviendo el problema por multiplicadores de Lagrange.

La restricción se iguala acero y la función L es:

Se calcula el gradiente de L y cada una de las ecuaciones se iguala a cero:

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, la solución es:

Solución 1 Solución 2

∇

f ∇

f ∇

h∇

24


28/64

GESR

Cuando existen restricciones de desigualdad que llegan a formar parte de la solución, esdecir, desigualdades que se convierten en igualdades, los multiplicadores de Lagrangese conoce como condiciones de Kuhn-Tucker o Karush- Kuhn-Tucker.

Hasta el momento no se puede definir si se trata de un mínimo o un máximo. Para eso

se tendrían que calcular las condiciones de segundo orden.

Ejemplo 2

Optimizar: f = x + 2y2 + z2 Sujeta a: x + y + z =1

x – y = -2

Las restricciones se igualan acero y la función L es:

Se calcula el gradiente de L y cada una de las ecuaciones se iguala a cero:

Resolviendo el sistema de ecuaciones, la solución es:

25


29/64

GESR

Métodos numéricos [2]

Fibonacci

El método de Fibonacci es considerado como uno de los mejores métodos paraoptimización univariable.

A partir de un intervalo de solución dado (a, b), el método de Fibonacci reduce ésteintervalo calculando dos puntos intermedios simétricos (x1, x2), la función objetivo f(x)se evalúa en estos dos puntos; Para minimizar se elimina el punto con el mayor valor def(x) y para maximizar se elimina el punto con el menor valor de f(x)); el proceso deeliminación se repite hasta un número determinado de intervalos.

∆

∆

f(x1)f(x2)

a bx1 x2

Para la siguienteiteración este intervalose elimina

En la gráfica de abajo se muestra un ejemplo del método de Fibonacci. Se realizan 4iteraciones con 5 intervalos calculados. Se supone que el punto “b” no cambia.

26


30/64

GESR

|

En la última iteración 4, si δ es muy pequeño 0→δ .

24

5

Δ=Δ

Despejando y sustituyendo de la iteración 4 hasta la iteración 1,4Δ

54 2Δ=Δ

555543 32 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ

555432 523 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ

Iteración 4

224

5

δ +

Δ=Δ

∆4

∆5

δ

x3 x5x4

Iteración 3

543 Δ+Δ=Δ

x3x2 x4

∆3

∆4∆5

Iteración 1

321 Δ+Δ=Δ

x2a x1

∆1

∆3 ∆2

b

∆2

Iteración 2

x1 x3x2

∆4 ∆3

b

432 +Δ=Δ Δ

b

b

27


31/64

GESR

555321 835 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ

Igualando el intervalo de la iteración 1 y la iteración 2,5Δ

58

215

Δ=

Δ=Δ

En la iteración 1,

)(1 ab −=Δ

)( 12 xb −=Δ ó )( 22 a x −=Δ

5

)(

8

)( 1 xbab −=−

ó

5

)(

8

)( 2 a xab −=−

8

)(51

abb x

−−= ó

8

)(52

aba x

−+=

Si se realizarán “n” iteraciones,

Δ−= b x1

Δ+= a x2

Donde:

)(1

ab f

f

m

m −=Δ+

m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … m

m f 21 −− += mmm f f f 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

m: es el número de intervalos calculados, m=n+1n: es el número de iteraciones

Ejemplo

Maximizar: 2463 x x y −+=

Intervalo inicial: a=0, b=1Iteraciones: n = 4 (m=n+1=5 intervalos)

Solución:

Con m= 5 intervalos, y55 = f 86 = f

28


32/64

GESR

625.0)01(8

5=−=Δ

Iteración 1

a=0 375.0625.00.11 =−=Δ−= b x 625.0625.00.02 =+=Δ+= a x b=1

6875.4)375.0( 11 === x f f 1875.5)625.0( 22 === x f f

21 f f <

Se elimina el punto a=0

El nuevo intervalo es:a=0.375 < x < b=1.0

375.0)625.00.1( =−=Δ

Iteración 2

a=0.375 625.01 = x 750.0375.0375.02 =+=Δ+= a x b=1

1875.51 = f 2500.5)750.0( 22 === x f f

21 f f <

Se elimina el punto a=0.375


250.0)750.00.1( =−=Δ

Iteración 3

a=0.625 750.01 = x 875.0250.0625.02 =+=Δ+= a x b=1.0

2500.51 = f 1875.5)875.0( 22 === x f f

21 f f >

Se elimina el punto b=1.0


125.0)625.0750.0( =−=Δ

Iteración 4

a=0.625 750.0125.0875.01 =−=Δ−= b x 750.02 = x b=0.875

2500.5)750.0( 11 === x f f 2500.52 = f

21 f f =

La solución es x= 0.750

29


33/64

GESR

Sección dorada

El método de sección dorada es similar al método de Fibonacci.

∆1Iteración 1

321 Δ+Δ=Δ

13

2

3

1 +Δ

Δ=

Δ

Δ

b

∆4

∆5

x3 x4

∆6

b

x1 x3x2

∆4 ∆3

b

b x2a x1

∆3 ∆2

x3x2 x4

∆3

∆4∆5

∆2Iteración 2

432 Δ+Δ=Δ

14

3

4

2 +Δ

Δ=

Δ

Δ

Iteración 3

543 Δ+Δ=Δ

15

4

5

3 +Δ

Δ=

Δ

Δ

Iteración 4

654 Δ+Δ=Δ

16

5

6

4 +Δ

Δ=

Δ

Δ

x5

De la gráfica anterior, se puede obtener lo siguiente:

30


34/64

GESR

ϕ =Δ

Δ=

Δ

Δ=

Δ

Δ=

Δ

Δ

6

5

5

4

4

3

3

2 (ϕ es una constante)

En la iteración 2 tenemos,

14

3

4

2

+Δ

Δ

=Δ

Δ

Si dividimos y multiplicamos el lado izquierdo por 3Δ ,

14

3

4

3

3

2 +Δ

Δ=

Δ

Δ

Δ

Δ

1+=ϕ ϕϕ

012 =−−ϕ ϕ

En la iteración 1,

ϕ =Δ

Δ

3

2

)(1 ab −=Δ

)( 12 xb −=Δ ó )( 22 a x −=Δ

ϕ =−

−

)(

)(

1 xb

ab ó ϕ =

−

−

)(

)(

2 a x

ab

ϕ

)(1

abb x

−−= ó

ϕ

)(2

aba x

−+=

Ejemplo

Minimizar )exp(5.0)( 2 x x x f −−=

En el intervalo: a=0, b=2Iteraciones: n=4

Tolerancia t=0.1

31


35/64

GESR

2361.1618.1

)02()(=

−=

−=Δ

ϕ

ab

Iteración 1

a=0 0.76392361.121

=−=Δ−= b x 1.23612361.101

=+=Δ+= a x b=2

0.0738)0.7639( 11 === x f f 0.2318)1.2361( 22 === x f f

21 f f <

Se elimina el punto b=2

El nuevo intervalo es: a=0 < x < b=1.2361

2361.102361.1 =−=error

7639.0)07639.0( =−=Δ

Iteración 2

a=0 0.47217639.02361.11 =−=Δ−= b x 0.76391 = x b=1.2361

0.1222)0.4721( 11 === x f f 0.07382 = f

21 f f >

Se elimina el punto a=0

El nuevo intervalo es: a=0.4721 < x < b=1.2361

0.76404721.02361.1 =−=error

4722.0)7639.02361.1( =−=Δ

Iteración 3

a=0.4721 7639.01 = x 9443.04722.04721.01 =+=Δ+= a x b=1.2361

0738.01 = f 1129.0)0.9443( 22 === x f f

21 f f <



0.47224721.09443.0 =−=error

2918.0)4721.07639.0( =−=Δ

Iteración 4

a=0.4721 6525.02918.09443.01 =−=Δ−= b x 7639.01 = x b=0.9443

0737.0)0.6525( 11 === x f f 0738.02 = f

21 f f <



0.29184721.07639.0 =−=error

32


36/64

GESR

Se cumplen las 4 iteraciones, pero no se cumple la tolerancia. El mejor punto obtenidoes x1=0.6525

Simplex [3]

El método de máxima pendiente se aplica a problemas multivariables sin restricciones.

En geometría, un simplex o n-simplex es el análogo en “n” dimensiones de un triángulo.Por ejemplo, un 0-simplex es un punto; un 1-simplex un segmento de una línea; un 2-simplex un triángulo; un 3-simplex es un tetraedro; y un 4-simplex es un pentácoron.

En la optimización problemas multivariables, para resolver un problema de 2 variablesindependientes necesitaremos un triángulo, para 3 variables un tetraedro, para 4variables un pentácoron y así sucesivamente.

Por ejemplo, un simplex regular para 2 variables independientes es,

centroide

1

2

3

4

x1

x2

La función se evalúa en los puntos 1, 2 y 3, para minimizar se elimina el

punto que produzca el menor valor de (para maximizar se elimina el punto que

produzca el mayor valor de ). Si se elimina el punto 1, este punto se proyecta

al lado contrario para encontrar un nuevo punto 4. El proceso se repite hasta que ya nosea posible minimizar más la función.

),( 21 x x f

),( 21 x x f

),( 21 x x f

De los textos de geometría analítica se puede demostrar que las coordenadas de losvértices de un simplex regular se pueden obtener de la siguiente tabla:

33


37/64

GESR

n variablesm puntos

1 2 3 ... n

1 x1 x2 x3 … xn2 d 1 + x1 d 2 + x2 d 2 + x3 … d 2 + xn3 d 2 + x1 d 1 + x2 d 2 + x3 … d 2 + xn4 d 2 + x1 d 2 + x2 d 1 + x3 … d 2 + xnM M M M M M

m=n+1 d 2 + x1 d 2 + x2 d 2 + x3 … d 1 + xn

Donde:

( )112

1 −++= nnn

t d

( )1122 −+= n

nt d

t , es la distancia entre dos puntos del simplex (o bien, es la tolerancia)

Ejemplo 1

Minimizar: 222

121 )4()3(),( −+−= x x x x f

Punto inicial: x1=0.5, x2=1.0

Tolerancia: t=0.1

Solución:

El problema es de 2 variables independientes “x1” y “x2”, se necesitan m=2+1=3 puntos.

( ) ( ) 0.0966121222

1.011

21 =−++=−++= nn

n

t d

( ) ( ) 0.0258911222

1.011

22 =−+=−+= n

n

t d

Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 5.0 0.1 15.25002 5.00.0966 + 0.10.0259 + 14.62183 5.00.0259 + 0.10.0966 + 14.5510 1, 2, 3

Para minimizar, se elimina el punto con el mayor valor de , en este caso es el

punto 1.

),( 21 x x f

Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.6218

34


38/64

GESR

3 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 3

Centroide:

( )[ ]eC x xn

x 1111

−= ∑ ( )[ ]eC x xn

x 2221

−= ∑

Donde el superíndice “c” es para centroide y “e” es para eliminado

( )[ ] 0.561255.05259.05966.05.02

11 =−++=C

x

( )[ ] 1.061250.10966.10259.10.12

12 =−++=C

x

Punto reflejado:

eC x x x 111 2 −=

eC x x x 222 2 −=

0.62255.0)0.56125(21 =−= x 1.12250.1)1.06125(22 =−= x

Como el valor de la función en el punto 4, es menor que el punto eliminado 1, el proceso se repite de lo contrario se detiene.

Para minimizar, se elimina el punto con el mayor valor de , en este caso es el

punto 2.

),( 21 x x f

Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo

1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 34 0.6225 1.1225 13.9328 2, 3, 4

Centroide:

( )[ ] 0.57425966.06225.05259.05966.0211 =−++=C x

( )[ ] 1.109550259.11225.10966.10259.12

12 =−++=C

x

Punto reflejado:

0.55185966.0)0.5742(21 =−= x 1.19320259.1)1.10955(22 =−= x

35


39/64

GESR

Como el valor de la función en el punto 5, es menor que el punto eliminado 2, el

Se elimina el pun l m f n es punto 3.

proceso se repite de lo contrario se detiene.

to con e ayor valor de ), 21 x x , e te caso es el(

Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 34 0.6225 1.1225 13.9328 2, 3, 45 0.5518 1.1932 13.8721 3, 4, 5

La tabla co e re

mpleta d sultados es,

Punto x1 x2 f(x1,x2) Triángulo1 0.5000 1.0000 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1 2 34 0.6225 1.1225 13.9328 4 2 35 0.5518 1.1932 13.8721 4 5 36 0.6484 1.2191 13.2638 4 5 67 0.5776 1.2898 13.2131 7 5 68 0.6742 1.3157 12.6149 7 8 69 0.6035 1.3864 12.5741 7 8 9

10 0.7001 1.4123 11.9859 10 8 9

M M M M M M M 81 2.7374 3.6616 0.1835 81 80 7882 2.7632 3.7582 0.1145 81 80 8283 2.6925 3.8289 0.1238 83 80 8284 2.7891 3.8548 0.0655 83 84 8285 2.8598 3.7841 0.0663 85 84 8286 2.8857 3.8807 0.0273 85 84 8687 2.8150 3.9514 0.0366 87 84 8688 2.9116 3.9773 0.0083 87 88 8689 2.9823 3.9066 0.0090 89 88 8690 3.0082 4.0032 0.0001 89 88 90

En el punto 90, se obtiene el resultado final de:

0001.0)0032.4,0082.3(

0032.4

0082.3

21

2

1

===

=

=

x x f

x

x

36


40/64

GESR

Ejemplo 2

1 )5()4 −+− x

unto inicial: x1=0.0, x2=0.0, x3=0.0: t=0.1

Soluci

2 ()3( +−= x x 232

2Minimizar: 21 ),( x x f

PTolerancia

ón:

Punto x1 x2 x3 f(x1,x2,x3) Tetraedro

1 0.0000 0.0000 0.0000 50.0000 1 2 3 42 0.0943 0.0236 0.0236 49.0201 1 2 3 43 0.0236 0.0943 0.0236 48.8786 1 2 3 44 0.0236 0.0236 0.0943 48.7372 1 2 3 4

5 0.0943 0.0943 0.0943 47.7639 5 2 3 46 0.0000 0.1179 0.1179 47.9065 5 6 3 47 0.0550 0.0629 0.1807 47.3998 5 6 7 48 0.0759 0.1598 0.1676 46.6496 5 6 7 89 0.1502 0.0934 0.1772 46.6424 5 9 7 8

10 0.0931 0.1164 0.2561 46.0372 10 9 7 8

M M M M M M M M M 230 2.9066 3.8418 4.8971 0.0443 229 230 228 227231 2.9671 3.8929 4.8361 0.0394 229 230 231 227232 2.9335 3.9353 4.9202 0.0150 229 230 231 232

233 3.0006 3.8614 4.9249 0.0249 233 230 231 232234 3.0275 3.9513 4.8903 0.0152 233 234 231 232235 3.0073 3.9390 4.9875 0.0039 233 234 235 232236 2.9782 4.0224 4.9405 0.0045 236 234 235 232237 2.9185 3.9799 5.0085 0.0071 236 237 235 232238 3.0026 4.0256 5.0374 0.0021 236 237 235 238239 3.0736 4.0115 4.9685 0.0065 236 239 235 238


0065.0)9685.4,0115.4,0736.3(

9685.4

0115.4

0736.3

321

2

2

1

====

=

==

x x x f

x

x

x

37


41/64

GESR

Nelder-Mead [4]

El método de Nelder-Mead es una versión más eficiente del método simplex que

permite que las figuras geométricas se reflejen agregando un coeficiente α , secontraigan con un coeficiente β o se expandan con un coeficiente γ . El mé

busto para hacerlo manualmente, pero se implementa fácilmente en un código de

Los valores de los coeficientes

todo es muy

rocomputadora.

α , β y γ recomendados por los autores del método son:

1=α 5.0= β

2=γ

Ejemplo 1

)4()3( −+−= x x

unto inicial: x1=0.5, x2=1.0: t=0.1

Solución:

22

21Minimizar: 21 ),( x x f

PTolerancia

Punto x1 x2 f(x) error

1 0.5259 1.0970 14.5500 0.31422 0.7449 1.2450 12.6800 0.90123 0.7519 1.6050 10.7900 1.53604 1.4160 2.4110 5.0340 3.25005 2.1010 4.2980 0.8971 4.05606 2.1010 4.2980 0.8971 1.86807 2.1010 4.2980 0.8971 0.19908 2.1790 4.1280 0.6909 0.24109 2.1790 4.1280 0.6909 0.0889


x

6909.0)1280.4,1790.2(

1280.4

1790.2

21

2

1

===

=

=

x x f

x

38


42/64

GESR

Ejemplo 2

inimizar: 23222121 )5()4()3(),( −+−+−= x x x x x f MPunto inicial: x1=0.0, x2=0.0, x3=0.0

olerancia: t=0.1

Solución:

T

iter ónaci x1 x2 x3 f(x) error

1 0.0236 0.0236 0.0943 48.7400 0.49582 0.1886 0.1886 0.1886 45.5800 1.43103 0.1886 0.1886 0.1886 45.5800 1.4320

4 0.2959 0.2409 0.5474 41.2700 2.70505 0.6591 0.7429 0.9393 32.5800 5.49306 0.6591 0.7429 0.9393 32.5800 5.45307 1.6400 1.5470 2.6650 13.3200 10.29008 1.6400 1.5470 2.6650 13.3200 9.81209 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 11.4800

10 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 6.180011 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 5.045012 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 1.496013 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.677014 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.532215 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.425516 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.123917 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.138618 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.113219 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.0095


x

x

3938.0)4530.5,6360.3,2370.3(

4530.5

6360.3

2370.3

321

2

2

1

====

=

=

=

x x x f

x

39


43/64

GESR

Máxima Pendiente [1]

El método de máxima pendiente se aplica a problemas multivariables sin restricciones.

ara una función objetivo de la forma: )( x f f r

= donde xr

P es un vector. Elrocedimiento de cálculo es el siguiente: p

[ ]1Paso 1. Estimar un punto inicial xr Paso 2. [ ]n x f x f x f x f ∂∂∂=∇

r Calcular el gradiente de la función 1)(

1

∂ ∂∂L2

Paso 3. Sustituir el punto inicial [ ] x en: [ ] [ ] [ ]nnr n 1 x f x )( xr r r∇−= α i raciones

+

Donde n = 1, 2 , …, número máximo de te1+nr

Paso 4. Sustituir [ ] x en la función objetivo: [ ] [ ] )())(( α α f x f x f f nn =∇−= rr

Paso 5. función )(α f y sustituir α Minimizar laPaso 6. Repetir pasos 3 a 5 hasta cumplir la tolerancia o un número máximo de

ones.

−+−== y x y f

úmero máximo de iteraciones: 5olerancia: 0.01

Se calcula el gradiente de la función objetivo:

iteraci

Ejemplo 1

22 )6()2()Minimizar: ,( x f

Punto inicial x=0.5, y=0.8 NT

Solución:

)6(2

)2(2

−=∂

∂

−=∂

∂

y x

f

x x

f

Calcular un nuevo punto (x, y):

))6(2(

))2(2(

−−=∂

∂−=

−−=∂

∂−=

y y y

f y y

x x x

f x x

α α

α α

Iteración 1

Se hace la sustitución del punto inicial en el sistema de ecuaciones,

40


44/64

GESR

Se sustituye en la función objetivo, se deriva respecto a α y se obtiene el valor de α,

Se sustituye α y se obtiene un nuevo punto inicial,

El error es,

Iteración 2

Se hace la sustitución del punto inicial,

Como ya no aparece la variable α, se termina y el valor final es,

El error es,

Los resultados s en sigu nte

e resumen la ie tabla,

Iteración x y f(x, y) error=m xn+1

-xn║ áx║

0 0.5 0.8 29.29 -1 2.0 6.0 0 5.22 2.0 6.0 0 0

41


45/64

GESR

Ejemplo 2

222 32),,( z y x z y x f Minimizar: f ++==

z= 1

Se calcula el gradiente de la función objetivo:

Punto inicial x=2, y= -2, Número máximo de iteraciones: 5Tolerancia: 0.5

z

z

f

y x

f

x x

f

6

2

4

=

∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

Calcular un nuevo punto (x, y, z):

)6(

)2(

)4(

z z z

f z z

y y y

f y y

x x x

f x x

α α

α α

α α

−=∂

∂−=

−=∂

∂−=

−=∂

∂−=

Iteración 1



Se sustituyeα

y se obtiene un nuevo punto inicial,

42


46/64

GESR

El error es,

Iteración 2




El error es,

43


47/64

GESR

Iteración 3




El error es,

Los res ados s e nt

ult e resumen n la siguie e tabla,

Iteración x y z f(x, y) error=1-x

n║máx║xn+

0 2 -2 1 15 -1 0.15873 -1.07937 -0.38095 1.65079 1.84122 0.00424 -0.55409 0.17522 0.39916 0.556173 -0.00011 -0.26956 -0.09471 0.09957 0.28453

44


48/64

GESR

Programación lineal [1,2]

En este método, la palabra programación significa optimización y no a la generación deun código de computadora. Un problema de programación lineal invo

lucra la

de igualdad y

on:

a problemas de 2 variables independientes.oblemas de 2 o más variables independientes.

unto interior, aplicable a problemas de 2 o más variables independientes.

étodo gráfico.

Maximizar:

ujeto a:

optimización de una función objetivo lineal sujeta a restricciones

desigualdad, que también son lineales.

Los métodos utilizados para resolver un problema de programación lineal s Gráfico, solo aplicableSimplex, aplicable a pr P

M

Ejemplo

1 3 x x f += 2

121 ≤+− x xS (1)

(2)

(3)

221 ≤+ x x

121 ≥+ x x

0,0 21 ≥≥ x x

Solución:

Graficar

Se grafican las restricciones que son rectas (para graficar una recta se necesitan dos puntos):

Para la restricción 1: x x , se toma como igualdad, 121 =+− x x 121 ≤+−

Si x1=0, entonces x2=-1, punto 1 (x ,x )=(0,1)

Para la restricción 2: , se toma como igualdad

1 2Si x2=0, entonces x1=1, punto 2 (x1,x2)=(-1,0)

221 ≤+ x x , 221 =+ x x

Si x1=0, entonces x2=2, punto 1 (x1,x2)=(0,2)

Para la restricción 3: , se toma como igualdad

Si x2=0, entonces x1=2, punto 2 (x1,x2)=(2,0)

121 ≥+ x x , 121 =+ x x

i x1=0, entonces x2=2, punto 1 (x1,x2)=(0,1)i x2=0, entonces x1=2, punto 2 (x1,x2)=(1,0)

SS

45


49/64

GESR

egión factible

0-1 1 2

x2121− + x x221 ≤+ x x ≤

2

121 ≥+ x x 1

x1

R

Se tom punto de ferenc o el origen que tiene coordenadas,x2)=(0,0). Se sustituye cada es:

x :

a un re ia, por ejempl(x1 en una de las restriccion

121 ≤+− x 100 ≤+− , 10 ≤ Verdadero

221 ≤+ x x : 200

≤+, 20

≤ Verdadero

121 ≥+ x x : 100 ≥+ , 10 ≥ Falso

01 ≥ x , 02 ≥ x indican el primer cuadrante

a región factible de cada recta apunta hacia el punto de referencia, en este caso, si elsultado es verdadero hacia el origen, si es falso hacia el lado opuesto del origen.

Lre

0

x2121− + x x221 ≤+ x x ≤

2

121 ≥+ x x1

-1 1x1

2

46


50/64

GESR

Se señala la región factible que satisface a todas las restricciones. Es la región, cuyosdos señalan todos hacia adentro.

unto óptimo

la

0-1 1 2x1

1

2

x2121 ≤+− x x221 ≤+ x x

121 ≥+ x x

P

e evalúan las coordenadas de c/u de las esquinas de la región factibleS

0-1

x2121− + x x221 ≤+ x x ≤

2

121 ≥+ x x 1

Punto x1 x2 f(x1,x2)A 0.5000 1.500 5.000B 0.000 1.000 3.000C 2.000 0.000 2.000D 1.000 0.000 1.000

el mayor valor de f(x1, x2) es el punto A.El punto con

1 2x1

47


51/64

GESR

Método Simplex

Ejemplo

Maximizar:

ujeto a:21 3 x x f +=

121 ≤+− x xS (1)

Las variables de la función objetivo y las restricciones se pasan al lado izquierdo,dejando las constantes del lado derecho.

221 ≤+ x x (2)

121 ≥+ x x (3)

0,0 21 ≥≥ x x

03 21 =−− x x f

121 ≤+ x x −221 ≤+ x x

121 ≥+ x x

0,0 21

Las desigualdades se convierten a iguald

≥≥ x x

ades, agregando una variable de holgura

o, s ldad

positiva por cada restricción.

Por ejempl i tuviéramos la desigua 53 ≤ , tenemos dos opciones para convertirlanúmero positivo 2.

pción 1: sumar del lado menor

a igualdad agregando el

523 =+ O

Opción 2: restar del lado mayor 253 −=

Para nuestro problema,

03 21 =−− x x f

1321 =++− x x x

2421 =++ x x x

1521 =−+ x x x

0,0,0,0,0 54321 ≥≥≥≥≥ x x x x x

Se hace una tabla con los coeficientes de la función objetivo y las restricciones,

Tabla 1

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

E1 1 -1 -3 0 0 0 0

0 -1 1 1 0 0 1E2

E3 0 1 1 0 1 0 2E4 0 1 1 0 0 -1 1

48


52/64

GESR

Solución parcial

Variables básicas. Una variable es básica si tiene solamente un coeficiente diferente decero y su valor es la división de la constante “b” entre el coeficiente.

no básicas. Una vari le es no bási si tiene más de un coeficiente diferentesu valor cero.

ásicas:

Variables ab cade cero y es

B 11

3

1== x , 2

14

2== x , 1

1

15

No básicas: 01 = x , = x

−=−

= x

r de la función objetivo es

02

0)0,0( 21 === x x f El valo (valor en la esquina superior

erecha de la tabla)d

Pivote

Columna pivote. En el primer renglón (función objetivo), se elige el menor númeronegativo. Si no hay negativos, se detiene el proceso iterativo.

ente de la columnaivote. Se elige el menor número positivo diferente de cero.

El pivote es la inte cción a a pivo el re pivote.

Renglón pivote. Se divide la constante “b” entre su respectivo coefici p

rse de l column te y nglón

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

1 -1 -3 0 0 0 0

-1 1/1= 10 1 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 2 2/1= 20 1 1 0 0 -1 1 1/1= 1

Eliminación

e hacen ceros los coeficientes arriba y abajo del pivote. El modo de eliminación es:

Ecuación = Ecuación – (número a elim

S

inar/ pivote) Ecuación pivote

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

E1=E1-(1/-3)E2 1-(-3/1)0 -1-(-3/1)-1 -3-(-3/1)1 0-(-3/1)1 0-(-3/1)0 0-(-3/1)0 0-(-3/1)1

E2=E2 0 -1 1 1 0 0 1E3=E3-(1/1)E2 0-(1/1)0 1-(1/1)-1 1-(1/1)1 0-(1/1)1 1-(1/1)0 0-(1/1)0 2-(1/1)1

E4=E4-(1/1)E2 0-(1/1)0 1-(1/1)1 1-(1/1)1 0-(1/1)0 0-(1/1)1 -1-(1/1)0 1-(1/1)2

49


53/64

GESR

Tabla 2

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

E1 1 -4 0 3 0 0 3

E2 0 -1 1 1 0 0 1E3 0 2 0 -1 1 0 1

0 2 0 -1 0 -1 0E4

Solución parcial

11

12 1

1

14 = , 0

1

05 =

−= x Básicas: == x , x =

, 03 = x 01 = x No básicas:

3)1,0( 21 === x x f El valor de la función objetivo es:

Pivote

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

1 -4 0 3 0 0 3

0 -1 1 1 0 0 1 1/-1= -10 2 0 -1 1 0 1 1/2= 0.50 2 0 -1 0 -1 0 0/2= 0

Eliminación

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

E1=E1-(-4/2)E3 1-( -4- )2 0-( 3-( 1 0-( 1 0-( 0 3-( 14/2)0 (4/2 4/2)0 4/2)- 4/2) 4/2) 4/2)

E2=E2-(-1/2)E3 0-(-1/2)0 -1-(-1/2)2 1-(-1/2)0 1-(-1/2)-1 0-(-1/2)1 0-(-1/2)0 1-(-1/2)1

E3 0 2 0 -1 1 0 1E )E3 0-(2/2)0 2-(2/2)2 0-(2/2)0 -1-(2/2)-1 0-(2/2)1 -1-(2/2)0 0-(2/2)14=E4-(2/2

Tabla 3

f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b

1 0 0 1 2 0 50 0 1 0.5 0.5 0 1.5

0 2 0 -1 1 0 1

0 0 0 0 -1 -1 -1

Solución final (porque ya no hay números negativos en el primer renglón)

5.02

11 5.1

1

5.12 == , 1

1

15 =

−

−= x Básicas: == x , x

03 = x 04 = x , No básicas:

El valor de la función objetivo es: 0( 1 5)5.1,5.= = =2 x x f

50


54/64

GESR

Programación geométrica [2]

La programación geométrica se aplica a polinomios.

Ejemplo de polinomios con términos positivos

286.0

Minimizar:32100

⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝

+⎟ ⎠

⎜⎝

=PP

W

286.0

3

286.0

2 1000 ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ PP

s recomendable que las variables y constantes que están dividiendo, pasen deldenominador al numerador.

cada sumando se le divide por una variable wi y esta división se eleva a la misma w i,con i =1,2, …, # total de sumandos. Para formar una multiplicatoria:

E

286.0

3286.0286.0

3

286.0

2

286.0

2286.0 1000100

−−− ++= PPPPW

A

3286.0

3286.0

2286.0

3

286.0

2

1286.0

2286.0

3

1000

21w ⎜⎝ ⎟

⎠⎜⎝

100www

w

P

w

PPPW ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎛

⎟ ⎞

⎜⎛

=−−−

Se separan las constantes de las variables:

3286.02286.0

3

2286.01286.0

2

3286.021286.0

321 wwwW

⎜

⎜

⎝ ⎟

⎠⎜⎝ ⎟

⎟

⎠⎜

⎜

⎝

=10001100 wwww

www

PP −−

−

⎟

⎟

⎠

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛

El exponente de cada variable se ig

la sum wi igual a 1.

w1 + w2 + w3 = 1

Se resuelve el sistema de ecuacione

0.286 w1 – 0.286 w2 = 0

w2 + w3 = 1

La solución del sistema de ecuaciones es:

w2=1/3

w3=1/3

uala a cero:

0.286 w1 – 0.286 w2 = 00.286 w2 – 0.286 w3 = 0

Y se agrega una ecuación que es

atoria de todas las

s:

0.286 w2 – 0.286 w3 = 0w1 +

w1=1/3

51


55/64

GESR

Se sustituyen los valores de wi:

73.33/13/13/1

32⎟ ⎠

⎜⎝ ⎠⎝

⎟ ⎠

⎜⎝

100011003/1286.03/13/1286.0

=⎟ ⎞

⎜⎛

⎟ ⎞

⎜⎛ ⎟

⎞⎜⎛

=−

PPW mínimo

Cada sumando se divide entre su wi y se iguala al valor óptimo de la función objetivo,

00

1

1

100286.0

2286.0

w

PW

mínimo−

= 3/1

10073.3

286.0

2286.0 P−

=

2

286.0

3

286.0

2

w

PPW

mínimo

−

= 3/1

73.3286.0

3

286.0

2 PP −

=

3wW =

1000286.0

3286.0 Pmínimo

−

3/173.3 =

1000286.0

3286.0 −P

De las ecuaciones anteriores, se obtiene el variables independientes:

P2=215.44P3=464.16

Ejemplo de polinomios con términos positivos y negativos

inimizar:

valor de las

M 332

26.01.1

125.0 211533 x x x x y −−−=

s recomendable que las variables y constantes que están dividiendo, pasen deldenominador al numerador.

1 x x

E

31

31

26.0

21.1

1

cada término se le divide por un peso w i y esta división se eleva a la misma wi. con

e hace la división de la multiplicatoria de los términos positivos entre la multiplicatoriae los términos negativos.

25.01 211533 x x x x x x y −−−=

−−

1

Términos negativos

Ai=1,2, …, # total de términos.

Sd

3

3

213

12

26.02

1.11

125.01

4

2

3

115

2

3

1

3

www

w

w

x

w

x x

w

x x

w

x

y

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−−

Términos positivos

52


56/64

GESR

S

e separan las constantes de las variables:

0326.0

021.1125.0

=

=+−

433

326.02

21.1125.014

3

32

1

42

3115

23

1

3

wwwwww

www

w

x x x

w x

ww

w y

−+−−

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

El exponente de cada variable se iguala a cero:

− =

3 − 04w

ww

ww

se agrega una ecuación que es la sumatoria de todas las w i de los términos positivosmenos la suma de todas las wi de los términos negativos igual a 1.

w

Y

14321 =−−− wwww

e resuelve el sistema de ecuaciones:

1

3

026.0

021.

=−

−

−

S

1125.0

1432 −−

04 =

3 =+

=−

wwww

ww

w

w

iones es:

w1=2

Cada término se divide entre su wi y se iguala al valor óptimo de la función objetivo,

w

w

La solución del sistema de ecuac

w2=5/11w3=3/11w4=3/11

Se sustituyen los valores de wi:

1067.0

11/311/3

115

11/5

3

2 03

02

0111/11/5

=

⎠⎝ ⎠⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎠⎝ = x x x ymínimo

23

3

11/3

⎟ ⎞

⎜⎛

⎟ ⎞ x

32

⎟ ⎞

⎜⎛

1 1 1

1

3 25.01w

x

y

mínimo = 2

3

1067.0

25.01 x=

53


57/64

GESR

2

3 6.021.1

1

w

x x y

mínimo = 11/5

31067.0

6.02

1.11 x x=

3w

115 131

2 x x ymínimo

−−

=

11/3

1151067.0

13

12

−−

= x x

4

2 3 x ymínimo = 11/3

21067.0 3

x=

w

e las ecuaciones anteriores, se obtiene el valor de las variables independientes:

1 = 2.560 × 10-5, x2 = 2.716 × 10

5, x3 = 1.455 × 10-2

D x

54


58/64

GESR

Programación dinámica [2]

a programación dinámica resuelve un problema de optimización por etapas y obtieneo con un número de combinaciones menor a todas las combinaciones posibles.

últiples etapas:

l problema se comienza a resolver, a partir de la etapa final (etapa 1), debido a quesión que se tome en esta etapa (d 1) no tendrá efecto en etapasl flujo de información es de izquierda a derecha. El diagrama de etapas

uede tener ramificaciones que no se contemplan aquí.

Lel óptim

Cada etapa tiene 4 variables:

Etapa iSi (Estado)

R i (Resultado)

Di Decisión

iS ~ (Transición)

Para m

F2=F1+R 2 F1=R 1F3=F2+R 3

R 2R 3

Ecualquier decisubsecuentes, e p

Etapa 3

3~S S3

d 3

Etapa 2 Etapa 1

2

~S S2

d 2

1

~S

R 1

d 1

S1

55


59/64

GESR

Ejemplo 1

n carr ado a cualquier puerto importante en la costa este para su envío a Europa. El costo

e envío a través del Atlántico es esencialmente igual en todos los puertos principales

te. Se desea para seleccionar la ruta óptima (el kilometraje de caminoás bajo) de San Francisco a la costa este. Las distancias relativas entre las ciudades a

rgo de las rutas posibles se muestran en el siguiente diagrama:

iagrama por etapas.

U o tanque transporta un producto fabricado en San Francisco que debe serentregd

de la costa del esmlo la

N0

C0

S0

C4

D

ara este problema, las etapas son el traslado de un nodo a otro:P

F2=F1+R 2 F1=R 1F4=F3+R 4 F3=F2+R 3

Identificar las variables de cada etapa (S i ,d i , Ri , iS

~)

Variable de estado (Si): El nodo de salidaVariable de decisión (d i): Seleccionar una rutaV b e ultado i traje cum d Variable de transi ón

aria le d res (R i): El k lome a ula oci ( iS

~ ): l no o de gad

E d lle a

Etapa 3

3

~S S3

R 3

d 3

Etapa 2

2

~S

2

d 2

R R 4

S2

Etapa 11

~S

R 1

S1

d 1

Etapa 4

4

~S S4

d 4

56


60/64

GESR

Definir todos los estados posibles para todas las etapas

todos los nodos de salida.Los estados de cada etapa son

3

~S 4

~S S2 d 2 F2 2

~S S1 d 1 F1 1

~S S4 d 4 F4 S3 d 3 F3

C4 N3 N2 N1 1 1 N0C3 C2 C1 3 3 N0S3 S2 S1 7 7 C0

Combinaciones

Combinaciones de la etapa 2

S2 R 2 F2 2~S F2= 2F1+R

N2 8 8 N1 9 ←menor

N2 7 7 C1 10

C2 6 6 N1 ←m nor 7 eC2 5 5 C1 8C2 4 4 S1 11

S2 3 3 C1 6 ←m nor eS2 2 2 S1 9


S3 R 3 F3 3~S F3= R 3F2+

N3 1 1 N2 10 ←menor N3 3 3 C2 10 ←menor

C3 5 5 N2 14C3 6 6 C2 13 ←menor C3 7 7 S2 13 ←m nor e

S3 8 8 C2 15 ←menor S3 9 9 S2 15 ←menor


S4 R 4 F4 4~S F4=F3+R 4

C4 6 6 N3 16 ←menor C4 5 5 C3 18C4 4 4 S3 19

Se eligen las ejores comb i s e e me r m je se t lasiguiente tabla:

m inac one (los qu tien el no kilo etra ) y ob iene

57


61/64

GESR

R 1 = 0.08F1 - (N1/100)2 R 3 = 0.08F3 - 3(N /100)

2 R 2 = 0.08F2 - 2(N2/100)2 3

S d F4 4 4 4~S S3 d 3 F3 3

~S S2 d 2 F2 2

~S S1 d 1 F1 1

~S

C4 6 16 N3 N3 1,3 10 N2,C2 N2 8 9 N1 N1 1 1 N0 C3 6,7 13 C2,S2 C2 6 7 N1 C1 3 3 N0 S3 8,9 15 C2,S2 S2 3 6 C1 S1 7 7 C0

Ejemplo

Un flujo másico de 700 lb/h se debe de distribuir entre tres reactores químicos que peran en paralelo:

Cada reactor tiene un catalizador diferente y condiciones de operación diferentes. Eldetermina por el flujo másico que se

alimenta a cada reactor y es B1, B2 y B3 para N1, N2 y N3 respectivamente. Maximizar el

eneficio.

iagrama por eta s

2

o

Reactor3 Reactor2 Reactor1

700 N1 N2 N3

beneficio que se obtiene en cada reactor se

b

D pa

ara este problem las etapas son cada rea tor:P a c

entificar las variables de cada etapa (S Id i ,d i , Ri , iS

~)

Etapa 3

3

~S

R 3

S3

d 3

Etapa 2

2

~S

R 2

S2

d 2

Etapa 1

1

~S

R 1

S1

d 1

F3=F2+R 3 F2=F1+R 2 F1=R 1

58


62/64

GESR

Definir todos los estados posibles para todas las etapas

Es el flujo disponible antes e pasa or un o n inc entos de100 (entre menor e incremento, exa a la so ución ero m om cion yviceversa)

S d F

d r p reactor y lo dividirem s e reml más ct l p ás c bina es

3 3 3 3~S S2 d F2 2 2

~S S1 d 1 F1 1

~S

700

200 200 200 12 -300 300 300 15 -400 400 400 16 -500 500 500 15 -600 600 600 12 -

700 700 7 -

Combinaciones

0 0 0 0 -100 100 100 7 -

700

C nac de tap

ombi iones la e a 2

S2 d 2 R 2 2~S F2= R 2F1+

700 700 -42 0 -42700 6 -24 -17700 500 -10 200

3

←m yor

00 1002

700 400 0 00 15

700 300 6 400 22700 200 8 500 23 a700 100 6 600 18700 0 0 700 7

600 6 -2400 0 -24600 500 -10 100 -3

2

←m yor

600 400 0 00 12600 300 6 300 21600 200 8 400 24 a600 100 6 500 21

600 0 0 600 12

500 500 -10 -100500 400 0 1

←m yor

00 7500 300 6 200 18500 200 8 300 23 a500 100 6 400 22500 0 0 500 15

400 400 0 0 0

400 300 6 100 13400 200 8 200 20

59


63/64

GESR

400 100 6 300 ←m yor 400 0 16

21 a0 400

300 300 6 0 6300 200 8 100

300 100 6 200 18 ←m yor 3

15

a300 0 0 00 15

200 200 8 0 8200 100 6 100200 0 0 200 12

13 ←mayor

100 100 6 0 6100 0 0 100 7 ←mayor

0 0 0 0 0 ←m yor a

C nac de tap

ombi iones la e a 3

S3 d 3 R 3 3~S F3= R 3F2+

700 700 -91 0 -91700 6 -60700 500 -35 200 -22700 400 -16 300 2

4 500 27700 100 5 600 29 ←mayor

0 7 0 23

00 100 -53

700 300 -3 400 18

700 200

70 0 0 0

Se eligen las mej res com inac (l e ti el m be io, se enela iguien tabla: S d F

o b iones os qu ene ayor nefic F) y obtis te

3 3 3 3~S S2 d 2 F2 2

~S S1 d 1 F1 1

~S

7 1 29 6

200 100 13 100 200 200 12 -300 100 18 200 300 300 15 -400 100 21 300 400 400 16 -500 200 23 300 500 500 15 -600 200 24 400 600 600 12 -700 200 23 500 700 700 7 -

00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 -

100 0 7 100 100 100 7 -

60


64/64

GESR

Bibliografía

ex.html, 2001

[3] D.M. Himmelblau, “Applied nonlinear programming”, McGraw-Hill, 1972

[4] J.A. Nelder and R. Mead, “A simplex method for function minimization”, ComputerJournal, vol 7, p 308-313, 1965

[1] T.F. Edgar, D.M. Himmelblau and L.S. Lasdon, “Optimization of Chemicalrocesses”. McGraw-Hill, 2nd ed. 2001P

[2] R.W. Pike, “Optimization for Engineering Systems”,http://www.mpri.lsu.edu/bookind

apuntes de optimizaci n y simulaci n de procesos

Documents