apuntes de hidrología urbana
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Apuntes de Hidrología UrbanaTRANSCRIPT
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El aprovechamiento y control de los recursos hdricos requiere de las fases de planeacin, diseo,
construccin, operacin y mantenimiento.
En particular, el diseo de las obras hidrulicas requiere de la estimacin de eventos asociados a
diferentes periodos de retorno, que dependen de la probabilidad de falla y de la vida til de las
estructuras. Dichos eventos son obtenidos mediante el anlisis de los escurrimientos o de las
precipitaciones. Se entiende por precipitacin todo aquello que cae del cielo a la superficie de la
tierra, ya sea en forma de lluvia, granizo o agua nieve.
Este fenmeno se da por la condensacin del vapor de agua con rapidez en la atmosfera y
alcanzando tal peso que no puede seguir flotando como nube, niebla o neblina y se precipita en
las formas ya mencionadas.
Tipos de precipitacin
Para la generacin de tormentas se requiere de la conjuncin de:
a) Aire inestable
b) Contenido de humedad relativamente alta
c) Mecanismo de ascenso de aire hasta niveles superiores
El aire inestable es aquel que si se desplaza de su nivel inicial, se encuentra sometido a una fuerza
que lo tiende a alejar aun ms de dicho nivel. Se requiere alto contenido de humedad para que al
ascender el aire se produzca condensacin con cierta facilidad, y por ultimo debe existir un
proceso quede lugar al ascenso del aire. De acuerdo con este mecanismo la precipitacin puede
ser:
1) Orogrfica
2) Convectiva
3) Ciclnica
Precipitacin Orogrfica
Una corriente de aire puede ser forzada a ascender cuando encuentra en su camino una elevada
forma del terreno, ya sea una sola montaa o una cordillera. Al elevarse el flujo se enfra y
condensa dando lugar al nacimiento de nubes principalmente cmulos y altocmulos. Una vez que
se ha iniciado el movimiento de subida se acelera dando lugar a la formacin de cumulonimbos o
nubes de tormenta.
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Precipitacin Convectiva
El aire tambin puede elevarse por si mismo al calentarse dando lugar a las corrientes de
conveccin. Este proceso es muy comn en verano, pues el aire cercano al suelo se calienta
rpidamente a causa del calor desprendido por la tierra y el irradiado por el sol, por lo que se
vuelve ms liviano que lo rodea y asciende. Esto da origen a cmulos, pero cuando las corrientes
de conveccin son fuertes o penetrantes se forman las nubes de tormenta.
Precipitacin Ciclnica
Una corriente de aire tambin puede elevarse cuando 2 masas de diferentes tipos de aire se
encuentran es decir cuando una masa de aire caliente se tropieza con una montaa de aire
frio, formado lo que se dice un frente, que es el lmite que separa una regin de aire caliente de
una de aire frio si esas dos masas se mueven a distintas velocidades, la mas clida se desliza sobre
el frente ascendiendo a niveles superiores. A medida que el aire va elevndose se van formando
diferentes tipos de nubes siendo ms espesas cuando as cerca estn del suelo cuando da lugar a la
lluvia o nieve en la parte de abajo.
TCNICAS GEOESTADSTICAS
En ocasiones se puede contar con informacin suficiente para realizar un anlisis de la
precipitacin en un sitio de proyecto, sin embargo en la mayora de los casos dicha informacin
presenta escasez, en otras ocasiones esta es nula.
Para contar con el conjunto de datos adecuados se requiere contar con tcnicas estadsticas que
transformen informacin de sitios vecinos al proyecto.
Las tcnicas pueden considerar solo las distancias entre los sitios o con la estructura de correlacin
entre los eventos analizados.
Sean y las coordenadas de un punto j, en espacio bidimensional y una funcin de
las coordenadas y , la que denota el proceso observado en n estaciones de medicin
as, j = 1,, n.
es una estimacin del proceso en un punto con coordenadas y . La estimacin
puntual se hace a travs de una combinacin lineal del tipo
=
=
Donde
; es el factor de peso en los sitios de muestrea j
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1) MTODO DE THIESSEN
La estimacin del proceso en el punto de inters e es igual al valor observado de la estacin
de muestreo ms cercano en el rea, la distancia se obtiene como:
= ( )2 + ( )
2
Donde
"" = min(1, 2, 3, , )
2) MTODO INTERPOLACIN POLINOMIAL
Este mtodo consiste en ajustar una ecuacin global para el rea en estudio empleando una
funcin algebraica o una polinomial siendo la forma general de la funcin polinomial.
= ( , )
=1
Donde:
; Valor interpolado en el sitio ( , )
; K-esimo coeficiente polinomial
; K-esimo monomio en trminos de las coordenadas ( , )
m; Nmero total de monomios que dependen de la funcin polinomial ajustada.
Los monomios algebraicos en trminos de para la funcin polinomial hasta grado 6 son:
Representan las coordenadas.
Grado del Polinomio K f k (X,Y) m
0 1 1 1
1 2 a 3 X Y 3
2 4 a 6 X2 XY Y2 6
3 7 a 10 X3 X2Y XY2 Y3 10
4 11 a 15 X4 X3Y X2Y2 XY3 Y4 15
5 16 a 21 X5 X4Y X3Y2 X2Y3 XY4 Y5 21
6 22 a 28 X6 X5Y4 X4Y2 X3Y3 X2Y4 XY5 Y6 28
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2.1 Aproximacin por mnimos cuadrados
El requerimiento es que el nmero de estaciones de medicin n sea mayor al nmero de
monomios m.
[] = [][( , )]
[] = [][]
[] = []1
= ()( )
=1
; Es la multiplicacin de la matriz de monomios [] por []
2.2 Aproximadores de Lagrange
Este mtodo es similar a la aproximacin de mnimos cuadrados solo que se requiere que el
numero de monomios sea igual al nmero de estaciones (m=n). Se emplea las mismas expresiones
3) INTERPOLACIN MULTICUADRTICA
Este mtodo requiere contar con una matriz de distancias entre las estaciones:
[] = [
0 12 13 121
0
1 0
] [] = [
12
]
Los factores de peso se obtienen como [] = [][]
Donde:
[] = []1
4) MTODO DE LA INTERPOLACIN INVERSA
Los factores se obtienen con la expresin:
=
[1
]
[1
]
=1
-
Donde
= 1 ; Interpolacin de la distancia inversa
= 2 ; Interpolacin del cuadrado de la distancia inversa
5) INTERPOLACIN PTIMA
[] = [()]1
[()]
Donde
() ; Es la funcin espacial que se obtiene entre los pares de combinaciones y no
repetidas, la cual puede ajustarse a los siguientes modelos:
a) Modelo inverso () =1
1+
b) Modelo de potencia inversa () =1
(1+
)
c) Modelo exponencial () =
Donde
C y a; Son coeficientes a estimarse por mnimos cuadrados
Las reales son:
() = [
(1)
(2)
()
] () = [(11) (12) (1)
(1) (2) ()
]
En el coeficiente de correlacin entre eventos medidos se obtiene con
() = (
)( )
=1
-
Donde
; Son las observaciones de las series de tiempo del proceso P en la estacin i.
; Son las observaciones de las series de tiempo del proceso P en la estacin j.
; Son las medias de las observaciones en las estaciones i y j.
; Desviaciones estndar de las observaciones en las estaciones i y j.
; Nmero total de datos registrados en comn entre el par de estaciones
Como ya se dijo anteriormente los factores de peos deben sumar uno, como se expresa en la
siguiente formula
=1
= 1
Si esta condicin no se cumple se deber modificar las matrices de la forma
[] = [
12
] () =
[ (1)
(2)
()1 ]
() = [
(11) (12) (1) 1
(1)1
(2)1
() 11 0
]
6) TECNICA KRIGING
[] = [()][()]
() =1
2[(
) ( )]
2
=1
Donde
; Son las observaciones en los sitios k.
; Son las medias de las observaciones en los sitios k.
; Nmero total de observaciones entre el par de estaciones.
Estimacin de variogramas
-
a) Modelo lineal
() =
b) Modelo monmico
() =
Donde b puede tomar valores en (0,2)
c) Modelo exponencial
() = [1 exp()] > 0
d) Modelo Gaussiano
() = [1 exp(2)] > 0
e) Modelo esfrico
() =
2[3
(
)
2
] > 0
Encontrar a y C por mnimos cuadrados
Notacin Kriging
1) Kriging Ordinario Restringido
[] =
[ 12
]
[()] =
[ 11 12 1 121
1
22
1
2 1
11 1 1 0]
[()] =
[ 12
1 ]
2) Kriging Universal
[
0 12 13 1 11 21 12131
111
0 23 2 2132 0 3 31 2 3 0 112 13 1 0
11 1111 11
2
0
21
1
22
2
33
3
2
00
0
0 ]
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PRUEBAS DE HOMOGENIDAD E INDEPENDENCIA
La falta de homogeneidad es inducida por las actividades humanas como pueden ser
deforestacin, ampliaciones de reas de cultivo, modificacin y rectificacin de cauces,
construccin de embalses y reforestaciones, etc. O bien por procesos naturales como incendios
forestales, terremotos, erupciones, desgajamiento de cerros, etc. Las pruebas a considerar en la
homogeneidad son las que se muestran a continuacin:
a) Prueba estadstica de Helmert
De las tcnicas consideradas en esta capitulo es la ms sencilla y consiste en analizar el signo de las
desviaciones de cada evento de la serie j para = 1, 2, 3, , con respecto de su valor
medio . Si una desviacin de cierto signo es seguida de otra del mismo signo, entonces se dice
que se forma una secuencia (s), de lo contrario se considera un cambio (c).
La serie se considera homognea si se cumple:
1 ( ) 1
b) Prueba estadstica t de student
Cuando la causa probable de la perdida de homogeneidad de la serie sea un cambio abrupto en la
media, esta prueba es muy til.
Si se considera una serie para = 1, 2, 3, , , para el sitio j, la cual se divide en dos
conjuntos de tamao 1 = 2 =
2, entonces, el estadstico de prueba se define como:
=1 2
[11
2 + 222
1 + 2 2(
11
+12
)]
12
Donde:
1, 12; Son la media y la varianza de la primera parte del registro de tamao 1
2, 22; Son la media y la varianza de la segunda parte del registro de tamao 2
EL valor absoluto de se compara con el valor de la distribucin t de student de dos colas, y
con = 1 + 2 2 grados de libertad y para un nivel = 0.05.
-
Si y solo si, el valor absoluto de es mayor que aquel de la distribucin t de student, se
concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de consistencia y por lo tanto la serie
se considera homognea.
c) Prueba estadstica de Cramer
Esta prueba se utiliza con el propsito de verificar homogeneidad en el registro de la serie j
para = 1, 2, 3, , .
La prueba compara el valor de del registro total con cada una de3 las medias de los bloques
elegidos 30 y 60
. Para que se considere una serie analizada como estacionaria en la media,
se deber cumplir que no existe una diferencia significativa entre las medias de los bloques.
=
=1
, para una sola muestra analizada
= [1
( 1)(
)
2
=1
]
12
60 =
60
60
=1
60 =
60
60
=1
60 =
60
30 =
30
= {(2)
[1+(
)2]}|
|, = 60 = 30
-
El estadstico tiene distribucin t de Student de dos colas con = 1 + 2 2 grados de
libertad y para un nivel = 0.05.
Si y solo si, el valor absoluto de para = 60 = 30, es mayor que el de la distribucin t
de Student, se concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de inconsistencia y por lo
tanto la serie se considera no homognea.
Prueba de Independencia de Eventos
Para que se pueda llevar a cabo el anlisis de frecuencias se requiere que la muestra de la
serie j para = 1, 2, 3, , , este compuesta por variables aleatorias. Para probarlo se aplica la
prueba de independencia de Anderson, la cual hace uso del coeficiente de autocorrelacin serial
para diferentes de retraso k, por lo que:
= ( )(+
=1 )
( =1 )
2
K; es el tiempo de retraso
Se obtiene desde k=1, hasta K=n/3
(95%) =1 1.96 + 1
Se dice que la serie es independiente si a lo ms el 10% de los sobrepasan los lmites de
confianza
ANLISIS DE FRECUENCIA
Anlisis de frecuencia para eventos extremos mximos para la estimacin de eventos asociados a
diferentes periodos de retorno se requiere ajustar diferentes distribuciones de probabilidad
elegir aquel que represente mejor el comportamiento de la muestra. Esto se hace aplicando los
criterios de bondad de ajustar.
Las distribuciones de probabilidad tienen un conjunto de parmetros que pueden estimarse por
tcnicas de Momentos Convencionales, Mxima Verosimilitud, Mxima Entropa, Momentos de
Probabilidad Pesada, Momentos L, Sextiles, etc.
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Los pasos a seguir para realizar un anlisis de frecuencia son:
1) Ordenar la muestra de mayor a menor
2) Asignarle un periodo de retorno mediante la ley de Weibull
= + 1
Donde: n; tamao de la muestra, m; numero de orden
3) Asignarle una probabilidad
() = 1 1
4) Probar que la serie es aleatoria (Anderson)
5) Ajustar a la muestra las distintas distribuciones de probabilidad
6) Seleccionar la mejor distribucin con el criterio del error estndar de ajuste que se
muestra a continuacin:
= { ( )
2=1
}
1/2
Donde:
; numero de parmetros
; valores reales
; valores calculados
En ambos casos se comparan los para los periodos de retorno del paso 2.
7) Con la mejor distribucin se obtienen los eventos de diseo para T=2, 5, 10, 20, 50, 100,
500, y 1000 aos.
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE 2 PARMETROS
= 0 (1
)
Estimador por Momentos
=
0 =
Donde:
= Media de la muestra
S = Desviacin estndar de la muestra
Estimadores por Mxima Verosimilitud
= [(1)]
1=1
0 = (1)
Donde:
(1) = El valor ms pequeo de la muestra
DISTRIBUCION NORMAL
= +
Estimadores por Momentos y Mxima Verosimilitud
=
=
= 0 + 1 + 2
2
1 + 3 + 42 + 5
3
Donde:
0= 2.515517
-
1= 0.802853
2= 0.010328
3= 1.432788
4= 0.189269
5= 0.001308
= [1
(12
)]
Para 0.5 < () 1 se cambia por.
= [1
(1 1)
2]
Y el signo de cambia de la siguiente manera =
LOG NORMAL DE 2 PARMETROS
= [ + ]
=
=
Donde y son la media y la desviacin estndar de la serie = ()
LOG NORMAL DE 3 PARETROS
= 0 + [ + ]
Estimador por momentos
0 = (1
)
=
=
12/3
1/3 =
(2+4)1/2
2
-
= (
)
1
2(
2 + 1)
= [(2 + 1)]
1/2
Donde:
g = es el coeficiente de asimetra de la muestra
GAMMA DE 2 PARMETROS
= [1 1
9+
1
9]
3
Estimador por Momentos
=2
= (
)2
GAMMA DE 3 PARMETROS
= 0 + [1 1
9+
1
9]
3
Estimador por Momentos
=4
2 =
0 =
DISTRIBUCIN GUMBEL
= + [ (1 1
)]
Estimadores por Momentos
= 0.45 = 0.78
-
DISTRIBUCIN GENERAL DE VALORES EXTREMOS
= +
[1 [ (1
1
)]
]
Curvas i-d-T
Los eventos de diseo asociados a cierto periodo de retorno se estiman a travs de la modelacin
de variables hidrolgicas ya sean escurrimientos (Gastos mx. Anuales) o mediante las relaciones
lluvia-escurrimiento donde la variable analizada es la precipitacin.
En este ltimo caso se puede contar con informacin de pluvigrafos o pluvimetros.
El impulso (intensidad de lluvia) de un modelo lluvia-escurrimiento se obtiene estableciendo
relaciones entre las lluvias de determinada duracin y periodo de retorno si se cuenta con
informacin de pluvigrafos se puede obtener dichas relaciones aplicando modelos del tipo:
=
( + )
, , = Coeficientes por calibracin delas muestras.
= Intensidad (mm/h)
= Duracin de lluvia (h)
De esta se ha establecido
Talbot: =
+
Bernart: =
Kimijima: =
+
Sherman: =
(+)
Las relaciones donde se adiciona el periodo de retorno
=
,, = Son constantes a calibrar
= Intensidad (mm/h)
= Periodo de Retorno (aos)
-
Hargreares: = 1/61/4
= Precipitacin (mm)
= Periodo de Retorno (aos) 5 100
= Duracin de lluvia (min.) 30 4
= Constante de regin calibrada
Bell
1 = 0.45
0.25 0.5 5 120
10 = 0.21() + 0.52 2 100
Donde:
= Precipitacin T (aos) y d (minutos)
1 = Precipitacin T (aos) y d = una hora
10 = Precipitacin T = 10 aos y d (minutos)
Chen
=
110 log (10(2) [ln (
1)]
(1)
)
( + )
Para 5 24
=1
100
110 a, b, c y d; Son constantes de ajuste
Kothyari Garde
=
(24
2 )
a, b, c y d; Son constantes de ajuste T (aos); d (minutos)
242 = Precipitacin ajustada 24h y T = 2 aos
-
Cuando solo se dispone de pluvigrafos se debe obtener la relacin emprica:
=1
2
242
Las obras hidrulicas se disean con un cierto periodo de retorno, que se basa en la probabilidad
de falla de las estructuras.
El periodo de retorno T (aos) se define como el numero de aos que transcurren en promedio
para que un evento de magnitud dada X sea igualada o excedida por lo menos una vez en ese
periodo de tiempo.
Las recomendaciones para el T son:
1) Drenaje Pluvial T (aos) a)Lateral libre en calles y poblados donde se tolera encharcamientos 2 b)Mismo caso a pero donde no se tolera encharcamientos 5 c)Zonas Agrcolas 5 d)Zonas Urbanas poblados < 100,000 habitantes 2-5 100,000 < poblados < 1,000,000 habitantes 5-10 e)Zonas Urbanas poblados > 1,000,000 habitantes 10-50 f)Aeropuertos, estaciones, ferrocarril y autobuses 10 g)Cunetas y contracunetas en caminos y carreteras 5
2) Estructuras de Cruce a)Puentes Carreteros Caminos Locales 20-50 Caminos Regionales 50-100 Caminos que comunican grandes poblaciones 500-1000 b)Puentes de Ferrocarril Vas Locales 50-100 Vas Secundarias y Regionales 100-500 Vas Principales 500-1000 c)Puentes canales o tuberas de conduccin de agua Para riego < 1,000 Ha 10-20 Para riego entre 1,000 Ha y 10,000 Ha 20-50 Para riego > 10,000 Ha 50-100 Abastecimiento Industrial 50-100 Abastecimiento de Agua Potable 100-500 d)Puentes para tuberas de petrleo y gas Abastecimiento Local 20-50 Abastecimiento Regional 50-100 Abastecimiento Primario 100-500
3) Alcantarillas para el paso de Corrientes a)Caminos Locales 20-50 b)Caminos Regionales 50-100 c)Caminos Primarios 100-500
4) Delimitacin de Zona Federal
-
a)Zonas Semiridas a Hmedas 5 b)Zonas ridas, con rgimen errtico 10 c)Corrientes con obras de control 10
5) Encauzamiento de Corrientes a)Agrcola < 1,000 Ha 10-20 b)Agrcola entre 1,000 y 10,000 Ha 20-50 c)Agrcola > 10,000 Ha 50-100 d)Para proteccin a Poblaciones pequeas 50-100 Poblaciones medianas 100-500 Poblaciones grandes 500-1000
6) Presas Derivadoras Zonas < 1,000 Ha 50-100 Zonas entre 1,000 y 10,000 Ha 100-500 Zonas > 10,000 ha 500-1000
7) Obras de Desvi Presas pequeas 10-20 Presas medianas 20-50 Presas grandes 50-100 Cauces de alivio 20-50
8) Obras de Almacenamiento Presa pequea capacidad < 1.5 mills m3, altura < 15 metros Daos Materiales menor que el costo del la presa 500 Del orden del costo de la presa 1000 Mayor que el costo de la presa 10000 Presa mediana entre 1.5 mills de m3 y 60 mills de m3, altura entre 12-30 metros Capacidad Financiera Dentro de la capacidad financiera 100 Ligeramente mayor de la capacidad financiera 1000 Mayor que la capacidad financiera 10000 Presa mayor > 60 mills de m3, altura superior a 30 metros Costo excesivo o como la norma poltica establezca 10000
Coeficientes de escurrimiento
Caractersticas de la superficie Periodo de Retorno 2 5 10 20 50 100 500 rea desarrollada Asfltica 0.73 0.77 0.81 0.86 0.90 0.95 1 Concreto 0.75 0.8 0.83 0.88 0.92 0.97 1 Zonas Verdes con cubiertas menores al 50% rea Suelos Planos 0-2% 0.32 0.34 0.37 0.4 0.44 0.47 0.58 Promedio 2-7% 0.37 0.4 0.43 0.46 0.49 0.53 0.61 Superior 7% 0.4 0.43 0.45 0.49 0.52 0.55 0.62 Zonas Verdes con cubiertas del 50 al 75% Suelos Planos 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 0.53
-
Promedio 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 0.58 Superior 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 0.60 Zonas Verdes con cubiertas del 50 al 75% Suelos Planos 0-2% 0.21 0.23 0.25 0.29 0.32 0.36 0.49 Promedio 2-7% 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.46 0.56 Superior 7% 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 0.51 0.58 reas de cultivo Suelos Planos 0-2% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 0.57 Promedio 2-7% 0.35 0.38 0.41 0.44 0.48 0.51 0.60 Superior 7% 0.39 0.42 0.44 0.48 0.51 0.54 0.61 Pastizales Suelos Planos 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 0.53 Promedio 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 0.58 Superior 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 0.60 Bosques Suelos Planos 0-2% 0.22 0.25 0.28 0.31 0.35 0.39 0.48 Promedio 2-7% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 0.56 Superior 7% 0.35 0.39 0.41 0.45 0.48 0.52 0.58
Tiempo de Concentracin
La intensidad de la lluvia de diseo, corresponde a aquella con una duracin igual al tiempo de
concentracin el cual se define como aquel que demora una partcula en llegar desde ese punto
mas alejado de la cuenca hasta su salida.
En el caso de cuencas urbanas se puede estimar el tiempo de concentracin definiendo las
velocidades medias del agua empleando por ejemplo la formula de manning.
1) Formula de Kirpich
= 0.01950.77
0.385
Donde:
tc; tiempo de concentracin (min)
L; longitud (m)
S; pendiente
2) California Practice
= 60(0.873
)
0.385
tc; tiempo de concentracin (min)
-
L; longitud del cauce principal (m)
H; diferencia mxima de alturas entre entrada y salida (H)
3) Federal Aviation Agency
= (1.1 )(3.36)0.5
0.33
tc; tiempo de concentracin (min)
L; longitud del cauce principal (m)
Ce; coeficiente de escurrimiento
S; pendiente
4) Temez
= 0.3 (
0.25)0.76
tc; tiempo de concentracin (hrs)
L; longitud del cauce principal (Km)
S; pendiente
5) Bruce y Clark
= (37.03()()
)0.467
tc; tiempo de concentracin (hrs)
L; longitud del cauce principal (m)
S; pendiente
; Coeficiente de rugosidad
Tipo de Cubierta Coeficiente Impermeable 0.02
Suelo sin cubierto vegetal 0.1
Pastizales pobres o cultivos 0.2
Pastizales abundantes 0.4
Bosques 0.8
-
6) Vente Chow
= 0.8773(
)0.64
tc; tiempo de concentracin (hrs)
L; longitud del cauce principal (Km)
S; pendiente
7) Picking
= 5.3(2
)
0.33
tc; tiempo de concentracin (hrs)
L; longitud del cauce principal (Km)
S; pendiente
8) Clark
= 0.335 (
)0.593
tc; tiempo de concentracin (hrs)
A; rea de la cuenca (Km2)
S; pendiente
9) Dassini
= 0.023 (
)0.5
tc; tiempo de concentracin (min)
A; rea de la cuenca (Km2)
S; pendiente
L; longitud del cauce principal (Km)
10) Pizarro
= 13.548(2
)
0.77
tc; tiempo de concentracin (min)
-
L; longitud del cauce principal (Km)
H; diferencia mxima de alturas entre entrada y salida (H)
El crecimiento poblacional y el desarrollo urbano causa severos daos por efectos de inundaciones
en las ciudades, por lo que las estructuras de drenaje pluvial juegan un papel importante para su
manejo.
En particular la construccin de casas, edificios, estacionamientos centros comerciales, caminos
incrementan la cubierta impermeable, en una cuenca y reducen la infiltracin. Ademas la variacin
en el patrn de precipitaciones pueden reducir en el mediano plazo las condiciones de diseo de
los drenajes pluviales.
Estas consideraciones debern tenerse en cuenta para el diseo de los sistemas de drenaje pluvial
El sistema de alcantarillado pluvial es una red de tuberas utilizada para conducir el escurrimiento
de una tormenta a travs de una ciudad. El diseo involucra la determinacin de dimetros,
pendientes, elevaciones de clave para cada uno de los tubos
La seleccin y distribucin de la red depende de la localizacin de calles y los cambios de
pendiente fuerte.
El diseo en si puede dividir en 2 partes: prediccin del caudal y la obtencin del
dimensionamiento del sistema.
Las siguientes restricciones y suposiciones son de uso comn en la prctica del diseo de
alcantarillado pluvial.
1) El sistema trabaja a superficie libre
2) Las tuberas son de seccin circular con dimetros comerciales no menores a ocho
pulgadas
3) Las tuberas deben colocarse a una profundidad tal que no sea susceptible de
congelamientos y que tenga un colchn suficiente para prevenir los rompimientos debidos
a cargas en la superficie del terreno, teniendo esto en cuenta deben especificar las
profundidades de recubrimiento mnimas
4) Las alcantarillas deben estar unidas en los nodos de tal manera que la elevacin de la clase
del alcantarillado aguas arriba no sea inferior que la del alcantarillado aguas abajo
5) Con el fin de prevenir o reducir la sedimentacin excesiva de material solido en los
alcantarillados deben especificarse una velocidad de flujo mnimo permisible para el
caudal de diseo
6) Para evitar la socavacin y otros efectos no deseables debidas a las altas velocidades de
flujo, se debe establecer una velocidad mxima permisible
-
7) La cota de un pozo de inspeccin aguas arriba no podr nunca ser menor que la de un
pozo localizado aguas abajo
8) El sistema de alcantarillado es una red dentfrica o con brazos que convergen en la
direccin aguas abajo sin ningn circuito cerrado
El Caudal dentro de cada tubo dentro del sistema puede obtenerse mediante formulas empricas
la ms comn es la llamada formula racional:
= 0.00278
Donde:
= Caudal en [m3/s]
= Coeficiente de escurrimiento que depende de T y de las condiciones de uso de suelo y
pendiente
= Intensidad de lluvia (mm/h) que depende de la duracin de lluvia d y del periodo de retorno T
y se obtiene de las curvas i-d-T
= rea drenada de la cuenca en Hectreas
La formula racional se limita su uso a una superficie de 80 hectreas.
METODO RACIONAL ADAPTADO AL CLCULO DE UN HIDROGRAMA
Se divide la cuenca en subcuencas consecutivas de caractersticas , los ndices j son
crecientes de salida hacia aguas arriba, se supone que los valores de ""; son independientes de
la lluvia y el caudal, y que el tiempo de transito del agua de la subcuenca j+1 a la subcuenca j
es igual a "". Se considera la lluvia que cae sobre la subcuenca j durante el tiempo ""
La lluvia sobre todo la cuenca se supone homognea:
Al cabo del tiempo 1 el caudal de salida es: 1 = 1111
Al cabo del tiempo 2 el caudal de salida es: 2 = 1112 + 2222
Al cabo del tiempo 3 el caudal de salida es: 3 = 1113 + 2223 + 3333
Al cabo del tiempo el caudal de salida es: =
Se obtiene un hidrogramas de barras queda para cada intervalo de tiempo ""
IMGENES
HIDROGRAMA UNITARIO GEOMORFOLGICO
-
La cuenca funciona como una gran receptora de precipitaciones y las transforma a escurrimientos,
la transferencia se realiza con perdidas y es una funcin bastante compleja de numerosos factores
climticos y fisiogrficos.
La determinacin de los parmetros fsicos de una cuenca estn gobernados tanto por la cantidad,
calidad y factor de escala cartogrfica, la relacin entre las caractersticas fsicas de la cuenca que
son prcticamente estoicos y sus respuestas hidrolgicas que son altamente aleatorias son muy
complejas por lo que no se ha logrado desarrollar en modelos lluvia-escurrimiento libre de
errores.
La geomorfologa se emplea para llevar a cabo medidas de similitud geomtrica entre cuencas
especialmente entre sus redes de ros
Leyes de Horton
Horton desarrollo un sistema para ordenar las redes de los ros y derivo algunas leyes al relacionar
el nmero y la longitud de los ros de diferente orden. El sistema de ordenamiento de ros de
Horton, modificando por Strhaler enuncia lo siguiente:
Las corrientes reconocibles ms pequeas se designan de orden 1, normalmente estas corrientes
fluyen solo durante pocas de lluvia, cuando dos corrientes de orden 1 se unen resulta una
corriente de orden 2.
En general cuando 2 corrientes i se unen resulta una corriente de orden i+1, por otro lado si
una corriente de orden i se encuentra con otra de orden i+1, la corriente de orden mayor
prevalece.
Por lo que el orden de la cuenca es el mismo que del rio a su salida. Este nmero es muy relevante
en las condiciones de drenado de la cuenca, y en el orden del modelo empleado en el Hidrograma
Unitario Instantneo Geomorfolgico (HUIG).
La determinacin de la corriente principal se lleva desde el punto de salida de la cuenca hacia
aguas arriba, siguiendo a la corriente de mayor orden, entonces la rama o cauce que tenga una
mayor rea de cuenca se deber seleccionar para evaluar estas caractersticas, se recomienda
empleas planos con escala 1:50,000.
a) Ley de numero de cauces
Horton introdujo el concepto de relacin de bifurcacin (Rb) o relacin de numero nj de
corrientes i y el numero ni+1 de corrientes de orden i+1. Adems encontr que esta relacin
es relativamente constante de un orden a otro:
=
+1
-
La relacin 3.0 < RB < 5.0 para el caso donde las estructuras geolgicas no distorsionan el modelo
de drenaje de la cuenca. El valor mismo terico es 2 y en condiciones promedio este valor es 3.5
Tomando en cuenta que la relacin de bifurcacin es una propiedad a dimensional y que los
sistemas de drenaje en materiales homogneos tienden a mostrar similitud geomtrica no es
sorprender que tal parmetro muestre pequeas variaciones de una regin a otra, de lo cual se
puede establecer la ley de nmero de cauces
=
Donde:
= numero de corrientes de orden i
= relacin de bifurcacin
= numero de orden de la corriente principal
b) Ley de longitud de cauces
El promedio de longitud de los ros de cada orden, puede obtenerse al medir la longitud de cada
una de las corrientes.
=+1
Para cuencas 1.5 < RB < 3.5
=1
=1
As, la ley de longitud es
= ()1
Donde:
; Longitud promedio de los cauces de orden i.
c) Ley de reas de los cauces similares a los anteriores
=+1
-
Para cuencas 3 < RA < 6
=1
=1
Donde:
; Es el rea que contribuye al escurrimiento de orden i y no al rea que drena directamente a la
corriente de orden i
FIGURA
Las leyes de Horton indican una progresin geomtrica de numero, longitud y area de las
corrientes de una cuenca, y por lo tanto grficamente las leyes corresponden a las relaciones
lineales entre el numero de orden y los logaritmos del numero de cauce
Por lo que estas relaciones se calculan grficamente los valores , y en una escala
logartmica contra el orden del rio en una escala lineal. Las relaciones , y , se obtienen a
travs de las pendientes de las rectas
= +
= 1;
Para y son situaciones similares
El Hidrograma Unitario Instantneo Geomorfolgico (HUIG) de una cuenca es igual a la funcin de
densidad de probabilidad del tiempo, de viaje TB a la salida de la cuenca de una gota de agua que
cae en esta de forma aleatoria con distribucin uniforme.
A lo largo del viaje de la gota va teniendo transiciones de corriente de menor o mayor orden. Una
transicin se define como un cambio de estado.
El vieje de la gota se rige por las siguientes hiptesis:
1) Para una gota que cae en la ladera su correspondiente estado es ei, donde i es el orden de
la corriente asociada.
2) Del estado ei necesariamente se pasa al estado correspondiente
3) De un estado rj se puede pasar a cualquier estado rk si k>j
4) Necesariamente se pasa por rn y de ah con probabilidad uno, al estado n+1, el cual es el
orden de la cuenca
El tiempo que una gota requiere para encontrar una corriente despus de caer en una ladera es
muy pequea en comparacin con el tiempo en que permanece en el, por lo que se desprecia el
tiempo ei.
-
Para una corriente de orden 3 las trayectorias posibles son:
1 = 1 2 3
2 = 1 3
3 = 2 3
4 = 3
Con tales condiciones la funcin de distribucin de probabilidad del tiempo de escurrimiento de
una gota hasta la salida de la cuenca esta dad por:
( ) = ( ) ()
Donde:
; Tiempo de viaje hasta la salida de la cuenca
; Tiempo de viaje de una trayectoria
() ; Probabilidad de que una gota tome una trayectoria
; Conjunto de todas las trayectorias posibles
La funcin de densidad de probabilidad del tiempo de viaje Ts en una trayectoria particular es
igual a la suma del tiempo de viaje de los elementos de esa trayectoria, asi para el caso anterior:
1 = 1 2 3
1 = 1 + 2 + 3
2 = 1 3
2 = 1 + 3
3 = 2 3
3 = 2 + 3
4 = 3
4 = 3
Dada la cantidad de laderas y corriente de orden dado, los diferentes tiempos se consideran como
variables aleatorias con funcin de densidad ()
Por lo tanto, la funcin de probabilidad de los tiempos de viaje total de una trayectoria Ts estar
dada por la convolucin de las funciones de densidad de cada tramo de trayectoria
-
() = () +1() +()
Para la cuenca de orden 3 la funcin de distribucin de probabilidad de los tiempos de
escurrimiento ser:
( ) = (1 )(1) + (2 )(2) + (2 )(3)
Se puede considerar que el tiempo de viaje de una gota de una corriente de orden W sigue una
densidad exponencial
() =
=
=
1
Donde v es una velocidad caracterstica que se supone igual en cualquier parte de la cuenca, en
cualquier tiempo dado e igual a la velocidad de pico para cualquier evento dentro de la cuenca.
Esta velocidad se puede calcular mediante el cociente de la longitud del cauce principal entre el
tiempo de concentracin de la cuenca.
Si se considera 2 funciones de densidad
=
Su convolucin se expresa como:
= (
) ()
0
()
= (
) [ 1]
Este proceso se puede repetir para convoluciones tres, cuatro, cinco o mas funciones de densidad.
La probabilidad de que una partcula siga una trayectoria dada; () donde s se expresa como:
() =
Donde es la probabilidad de que la gota caiga en la ladera adyacente a una corriente de orden i y
es la probabilidad de transicin de una corriente r a una corriente j
Tales probabilidades son funcin de la geomorfologa, su interpretacin es:
=
=
-
A partir de las leyes de Horton se puede determinar que
=( 2+1)(, )
(, )=+1
+2+1
+1,
Donde
+1, = 1 si i+1 = j y cero en caso contrario
(, ); seala el nmero promedio de enlaces interiores de orden i en una red finita de orden
Un enlace interior es el segmento de red de corrientes entre 2 sucesivas o entre dos salidas y la
primera unin aguas arriba
(, ) = 1 1
2 1
=2
= 2,3, ,
La probabilidad de que una gota caiga en un rea de orden w es:
=
[ (
)
1
=1
] = 2, 3, ,
Para el caso de w =1; =